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Manejo de la calculadora financiera y tutorial en Excel
Garciacutea Montoya Dariacuteo Ingenieriacutea econoacutemica talleres y praacutectica -- 1ordf ed -- Bogotaacute
Ecoe Ediciones Universidad Tecnoloacutegica de Pereira 2011 322 p 24 cm ndash (Ingenieriacutea y arquitectura Ingenieriacutea)
ISBN 978-958-648-696-5
1 Economiacutea industrial 2 Matemaacuteticas financieras I Tiacutetulo II Serie
CDD 65815 ed 20 CO-BoBNndash a746933
Catalogacioacuten en la publicacioacuten ndash Biblioteca Nacional de Colombia
Coleccioacuten Ingenieriacutea y arquitectura Aacuterea Ingenieriacutea
Primera edicioacuten Bogotaacute DC 2011
ISBN 978-958-648-696-5
copy Dariacuteo Garciacutea Montoya E-mail dagarmonhotmailcom
copy Ecoe Ediciones E-mail correoecoeedicionescom wwwecoeedicionescom Carrera 19 No 63C-32 Pbx 2481449 fax 3461741
Coordinacioacuten editorial Alexander Acosta Quintero Disentildeo y diagramacioacuten Emilse Londontildeo Disentildeo de caraacutetula Edwin Nelson Penagos Palacio Correccioacute de estilo Alejandro Molina Impresioacuten Litoperla Impresores Carrera 25 No 8-84 Tel 3711916
Impreso y hecho en Colombia
CONTENIDO
Capiacutetulo 1 Generalidades y conceptos 1 Ingenieriacutea Econoacutemica 3 El intereacutes y su clasificacioacuten 3
Intereacutes simple 4 Tasa de intereacutes 4
La igualdad y la equivalencia 8 Flujos de caja 9
Ejemplos de flujos de caja 9 Pagos uacutenicos 9
Valor presente (P) 9 Valor futuro (F) 10
Pagos seriados uniformes (A) 10 Seriados crecientes o decrecientes aritmeacuteticamente 10 Seriados crecientes o decrecientes geomeacutetricamente 10
Nomenclatura 11 Periacuteodos 11 Diagramas de flujos de caja 11
Cuadros o tableros de flujos de caja 15
Capiacutetulo 2interEacutes coMpUesto 17 Definiciones 21
Periacuteodo de pago (PP) 21 Periacuteodo de capitalizacioacuten (PC) 21 Las tasas de intereacutes 21
Intereacutes nominal (i) 21 Intereacutes efectivo (ie) 22 Intereacutes anticipado (ia) 22
Manejo y equivalencias de las tasas de Intereacutes 22
INgENIEriacutea ECONoacutemICa
Transformacioacuten de un intereacutes nominal a un intereacutes efectivo 23 Primer caso Periacuteodo de Pago = Periacuteodo de Capitalizacioacuten (PP = PC) 23 Segundo caso Periacuteodo de Pago lt Periacuteodo de Capitalizacioacuten (PP lt PC) 23 Tercer caso Periacuteodo de Pago gt Periacuteodo de Capitalizacioacuten (PP gt PC) 24
Uso de las calculadoras 24 Intereacutes anticipado 25
Transformacioacuten de intereacutes anticipado a intereacutes efectivo 25 Primer caso PP = PC Periacuteodo de pago = Periacuteodo de capitalizacioacuten 26 Segundo caso PP gt PC Periacuteodo de pago gt Periacuteodo de capitalizacioacuten 27 Tercer caso cuando PP lt PC Primero se reduce la ia
a igual periacuteodo del PP 28 Meacutetodo praacutectico 28 Tasas combinadas (ic) 31
Foacutermula para calcular la tasa combinada 32 Tasa combinada en descuentos 33
Problemas sobre tasas de intereacutes 34
Capiacutetulo 3FOacuterMUlas y Factores de recUperaciOacuten de capital 39 Foacutermulas y factores con pagos uacutenicos 41
Cantidad futura compuesta pago uacutenico (F) 41 Uso de los factores 45
Configuracioacuten de la calculadora 45 Valor presente pago uacutenico 48
Capiacutetulo 4 la aMortiZacion y la capitaliZaciOacuten 57 Foacutermulas y factores para flujos de caja con series uniformes 59 Uso del factor 61
Configuracioacuten de la calculadora 61 Cuadro de pagos o cuadro de amortizacioacuten 62 Valor presente de una serie uniforme 69 Vida infinita o perenne 74
Costo capitalizado y recuperacioacuten de capital cuando la vida es infinita 74 Problemas generales sobre series 77 Fondo de capitalizacioacuten (cuotas capitalizables) 81 Cantidad futura compuesta serie uniforme 85
Cantidad acumulada (capital maacutes intereses) con una serie de depoacutesitos iguales 85
VI
Contenido
Problemas que involucran series uniformes y pagos uacutenicos en periacuteodos diferentes 90 Problemas propuestos 94
Capiacutetulo 5 GASTOS RECURRENTES 101
Capiacutetulo 6PERIacuteODOS DESCONOCIDOS Y DE LA TIR 109 Caacutelculo de n periacuteodos desconocidos 111 Tasa Interna de Retorno (TIR) 116
Procedimiento para calcular la TIR 117 Problemas con series y con periacuteodos diferentes 124 Problemas propuestos 125
Capiacutetulo 7FOacuteRMULAS QUE INVOLUCRAN SERIES ARITMEacuteTICAS GRADIENTES ARITMEacuteTICOS CRECIENTES Y DECRECIENTES 131 Seriados crecientes o decrecientes aritmeacuteticamente 133 Valor presente del gradiente aritmeacutetico creciente 134 Manejo del gradiente creciente 135 Programacioacuten de la calculadora financiera 139 Poblemas propuestos 146 Transformacioacuten de una serie gradiente creciente en una serie uniforme 147 Gradiente aritmeacutetico creciente infinito 151 Gradiente aritmeacutetico decreciente Equivalencia en valor presente 152 Manejo del signo del gradiente 157 Taller de gradientes aritmeacuteticos Caacutelculo de i y de n 158 Gradiente aritmeacutetico decreciente infinito 162 Transformacioacuten del gradiente decreciente a una serie uniforme 163 Caso especial de los gradientes aritmeacuteticos decrecientes 166
Problemas propuestos 167 Problemas con gradientes aritmeacuteticos y periacuteodos diferentes 168 Gradiente Aritmeacutetico Escalonado 171 Manejo matemaacutetico de los gradientes aritmeacuteticos escalonados 172
Capiacutetulo 8GRADIENTES GEOMEacuteTRICOS (ESCALERA PORCENTUALES) 179 Diagrama del gradiente porcentual creciente 182
Dariacuteo Garciacutea Montoya VII
INgENIEriacutea ECONoacutemICa
Foacutermula para calcular el P de una serie creciente porcentual 182 Foacutermula para calcular la primera cuota de una serie creciente porcentual 183 Gradiente porcentual decreciente 190 Problemas propuestos gradientes aritmeacuteticos y porcentuales 201 Problemas con gradientes aritmeacuteticos geomeacutetricos y con periacuteodos diferentes 206 Gradientes geomeacutetricos escalonados crecientes o decrecientes 208 Presentacioacuten general del gradiente geomeacutetrico escalonado 211 Foacutermula para calcular el valor presente de un gradiente geomeacutetrico o porcentual escalonado 212 Problemas propuestos 231
Capiacutetulo 9 la UVr 233 Unidad de Valor Real (UVR) 235 Manejo financiero de la UVR 236 Problemas propuestos 239 Creacutedito Hipotecario en UVR 241 Problemas propuestos 252
Capiacutetulo 10eValUaciOacuten econOacuteMica de alternatiVas 257 Comparacioacuten en valor presente de alternativas con vidas uacutetiles iguales 259 Comparacioacuten en valor presente de alternativas con vidas uacutetiles diferentes 264 Comparacioacuten de alternativas con el meacutetodo del CAUE (Costo Anual Uniforme Equivalente) 269 Problemas propuestos 276
Capiacutetulo 11 Bonos 281 Terminologiacutea baacutesica 283 Ejemplo de un proyecto de emisioacuten de bonos 284 Manejo Financiero de los bonos 290 Problemas generales de bonos 292
Capiacutetulo 12inFlaciOacuten 297 Causas principales 299 Otras causas laterales 299
VIII
Contenido
Efectos 299 Forma de remover los efectos de la inflacioacuten 299 Caacutelculos de VF considerando la inflacioacuten 301 Tasa para convertir los pesos de hoy en pesos del futuro
con poder de compra de hoy 301 Caacutelculo para factores de recuperacioacuten de capital 302
Problemas sobre la inflacioacuten 303 Problemas sobre devaluacioacuten 305
Bibliografiacutea 306
Dariacuteo Garciacutea Montoya IX
Con mucho carintildeo y reconocimiento a mi esposa y familia por su comprensioacuten
estiacutemulo y sacrificio Igualmente a mis alumnos que han
colaborado en la elaboracioacuten y presentacioacuten de este material
P r oacute L O g O
Las actividades y operaciones financieras han sido a traveacutes de la historia de la hushymanidad el eje principal del desarrollo y progreso que han permitido e impulsado la industrializacioacuten
Para lograr las mejores decisiones econoacutemicas cuando se hace el anaacutelisis de alternativas de inversioacuten es necesario conocer los principios baacutesicos de los proceshydimientos econoacutemicos y sus aplicaciones en el proceso del estudio de inversiones que garanticen una rentabilidad adecuada y un desarrollo progresivo en teacuterminos econoacutemicos
La decisioacuten de invertir tiene que ver con la estructura operacional de la empreshysa y con una de las funciones de la Administracioacuten Financiera que es definir coacutemo cuaacutendo y doacutende invertir
El estudio de la Ingenieriacutea Econoacutemica ofrece los conocimientos baacutesicos neshycesarios para la toma de decisiones y constituye una herramienta fundamental actualizada y equilibrada para manejar el dinero eficientemente a traveacutes del tiempo y teniendo como fines primordiales rentabilidad y oportunidades de inversioacuten
Se pretende en este texto que los estudiosos de esta disciplina encuentren las herramientas procedimientos matemaacuteticos y en general los elementos necesarios y suficientes para el anaacutelisis econoacutemico y la evaluacioacuten de alternativas de inversioacuten
Para lograr este objetivo la distribucioacuten de los temas se inicia con los conshyceptos baacutesicos necesarios para entender la terminologiacutea en el campo financiero y progresivamente se introduciraacuten los meacutetodos matemaacuteticos que se utilizan en el manejo del dinero cuando se tiene la posibilidad de inversioacuten
Uno de los factores determinantes en estos procesos es el conocimiento y el manejo de las tasas de intereacutes en sus diferentes denominaciones y sus transforshymaciones a las equivalencias que se deben utilizar Este tema seraacute estudiado en el capiacutetulo 2 para poder utilizarlas en los capiacutetulos posteriores cuando se presenten diferentes periacuteodos de pago que hagan necesario el uso de tasas equivalentes
Las herramientas que se utilizaraacuten ademaacutes de las foacutermulas y factores seraacuten inicialmente las calculadoras financieras de las cuales ademaacutes de ensentildear el manejo normal de ellas se explicaraacute la forma de programarlas cuando sea necesario
INgENIEriacutea ECONoacutemICa
La segunda gran herramienta es Excel y sus aplicaciones financieras A lo larshygo del texto se muestran soluciones obtenidas en esta hoja electroacutenica cuadros de pagos y graacuteficas explicativas
Adicionalmente en el complemento virtual elaborado para el libro se disentildeoacute un tutorial que ensentildea a resolver cualquier problema de los expuestos como ejemshyplos o propuestos y que antes fueron resueltos manualmente o con el uso de la calculadora
Con el estudio del archivos que componen este complemento virtual subido al Sistema de Informacioacuten en Liacutenea de ECOE y con el conocimiento de los conshyceptos teoacutericos y definiciones baacutesicas es posible que cualquier persona no experta en temas financieros pueda resolver sin la utilizacioacuten de foacutermulas ni calculadoras problemas de Ingenieriacutea Econoacutemica
En general el libro es un compendio sobre temas fundamentales del campo de las finanzas necesario para entender el mundo de los negocios Se utilizoacute un lenguaje claro sencillo praacutectico rico en conceptos con una amplia gama de casos resueltos utilizando foacutermulas y funciones financieras de Excel
Debo agradecer a mis alumnos de la Universidad Libre de Pereira quienes con sus inquietudes preguntas e intereacutes en el tema han apoyado la elaboracioacuten de este trabajo
El autor
XIV
Capiacutetulo 1
generalidades
generalidades
INgENIEriacutea ECONoacutemICa Es una teacutecnica que utiliza procedimientos meacutetodos y foacutermulas matemaacuteticas para analizar evaluar y comparar alternativas econoacutemicas y determinar cuaacutel es la mejor en teacuterminos econoacutemicos
En ingenieriacutea econoacutemica se utilizan algunos teacuterminos de los cuales es necesashyrio conocer su significado Ellos son
Analizar es un estudio sobre cuaacuteles seraacuten los ingresos y egresos que generaraacute la inversioacuten durante su vida uacutetil o tiempo de operacioacuten en una situacioacuten financiera o econoacutemica tal como una inversioacuten que se pretenda realizar
Evaluacioacuten una vez conocidos los flujos proyectados de caja (ingresos y egreshysos) que generaraacute la inversioacuten analizada se cuantifican los valores econoacutemicos a traveacutes del tiempo utilizando foacutermulas y procedimientos matemaacuteticos para detershyminar la rentabilidad y la viabilidad econoacutemica del proyecto
Esta evaluacioacuten se haraacute en teacuterminos porcentuales (tasa de retorno de la invershysioacuten rendimiento porcentual) y en teacuterminos de dinero
Alternativa se refiere a una opcioacuten u oportunidad de inversioacuten Por ejemplo proyectar el montaje de empresa industrial comercial de servicios comprar acshyciones bonos o constituir depoacutesitos (ahorros) en entidades financieras etceacutetera A cada alternativa siempre se le opone la contraria que consiste en no hacer la inversioacuten o en preferir otra si su rendimiento financiero es mejor
Los elementos de medida que se utilizan en la evaluacioacuten y comparacioacuten de alternativas son el dinero y el rendimiento o utilidad porcentual que genere cada alternativa (tasa de intereacutes)
El dinero es un medio circulante con poder de compra o adquisicioacuten de bieshynes o servicios Al igual que cualquier bien raiacutez (vehiacuteculos maquinaria etceacutetera) que se puede arrendar para que genere un canon de arrendamiento el dinero tambieacuten se puede arrendar (prestar depositar en una entidad financiera) para que genere un rendimiento pero en este caso este rendimiento se llama intereacutes
EL INTErEacuteS Y Su CLaSIFICaCIoacuteN El intereacutes es el dinero que genera maacutes dinero a traveacutes del tiempo cuando se invierte Es el valor del dinero en el tiempo o maacutes precisamente el cambio en la cantidad de dinero dushyrante un periacuteodo de tiempo cuando eacuteste se ha tomado en preacutestamo o se ha invertido
Asiacute como se paga por ejemplo un arrendamiento de un inmueble por usarlo de igual manera podriacuteamos asimilar el intereacutes como el dinero que se debe pagar por el uso de un capital tomado en preacutestamo
Ahora bien el intereacutes se clasifica en simple y compuesto (este uacuteltimo se estushydiaraacute completamente en el capiacutetulo 2)
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INgENIEriacutea ECONoacutemICa
Intereacutes simple Una operacioacuten financiera se hace con intereacutes simple cuando durante todo el tiempo de la transaccioacuten soacutelo el capital genera intereses independientemente de si eacutestos se retiran (se cancelan) o no Es decir el intereacutes simple no se le adiciona al capital para generar nuevos intereses
El intereacutes se representa por la letra I (mayuacutescula) y se calcula asiacute
Intereacutes (I) = Cantidad acumulada - Inversioacuten inicial
Cantidad acumulada Cf
Cantidad inicial Ci
Ejemplo para cancelar una deuda de $10000 dentro de 3 antildeos debo pagar $13000 iquestCuaacutel es el intereacutes ganado
I = 13000 - 10000 = $3000
Observe que la unidad de medida del intereacutes son pesos (dinero)
Tasa de intereacutes
Es el intereacutes expresado en porcentaje y por unidad de tiempo Se representa con la letra i y se calcula asiacute
I = Cf ndash Ci (a) o Cf = Ci + I (b) Foacutermula 1
i = Intereacutes acumulado por unidad de tiempo
Cantidad inicial xx 100 i =
I
Ci x 100
Cuando se tienen varios periacuteodos unitarios (2 3 4hellip n periacuteodos) la foacutermula anterior se divide por el nuacutemero de periacuteodos
Simboacutelicamente la foacutermula se expresa asiacute
Foacutermula 2i = I x 100
n x Cantidad inicial i =
I x 100
n x Ci
siacutembolos CF Cantidad acumulada (Capital final Valor futuro) Ci Cantidad inicial (Capital inicial Valor presente) n Nuacutemero de periacuteodos (antildeos semestres meses trimestres diacuteas etc) I Intereacutes i Tasa de intereacutes
4
generalidades
La tasa de intereacutes simple se puede multiplicar o dividir para expresarla en unidades de tiempo diferentes Ejemplo una tasa del 2 simple mensual es equishyvalente a una tasa del 24 simple anual se multiplicoacute por 12 que son los meses del antildeo Una tasa del 9 simple semestral es equivalente a una tasa del 15 simple mensual se dividioacute por 6 que son los meses del semestre
Con el fin de simplificar la escritura de las foacutermulas omitiremos la escritura del valor ldquo100rdquo y utilizamos el i como nuacutemero iacutendice es decir el porcentaje expreshysado como nuacutemero decimal ejemplo i = 4 lo escribimos como i = 004
De acuerdo con la nomenclatura anterior y aplicando la simplificacioacuten antes descrita las ecuaciones o foacutermulas dadas se representan asiacute
Foacutermula 1 Foacutermula 2 Foacutermula 3
Remplazando en (b) la foacutermula 2
I = Cf ndash Ci (a) i = I
n i Ci Cf = Ci + i bull n bull Ci
Despejando Cf
Cf = Ci + I (b) I = i bull n bull Ci Cf = Ci (I + i bull n)
Problema 1 Se recibieron $60000 de intereacutes durante un semestre por un depoacutesito en un banshyco comercial Si el banco reconoce una tasa de intereacutes simple del 7 trimestral y liquida a sus clientes sobre saldos trimestrales iquestcuaacutel fue el capital depositado inicialmente respuesta $42857143
I = n bull i bull Ci I = $60000 n = 2 trimestres (un semestre) Ci = 60000007 x 2 = $42857143 I
Ci = i = 7 trimestral i i n
Problema 2 Si las condiciones de un preacutestamo con intereacutes simple se expresan mediante la ecuacioacuten
VF= 500 + 120 t
Donde VF es el valor futuro y t es el tiempo en antildeos determine a) La tasa de intereacutes simple R 24 b) El tiempo transcurrido para que el inversionista reciba $600 de intereacutes total
R 5 antildeos c) iquestCuaacutel seraacute la deuda inicial del quinto antildeo si el banco prestamista no ha recibido
intereses de mora y no cobra intereacutes de mora R 98000
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INgENIEriacutea ECONoacutemICa
solucioacuten a) I = Cf ndash Ci rarr Cf = Ci + I rarr Cf = Ci + Ci bull i bull n de foacutermula 4
de 1 darr darr darr
VF = 500 + 120t 120t = 500 x i x t de de3 porque t = n 2
i = 24
b) 120t = Ci bull i bull n = Intereacutes (I) = 600 t = 600120 = 5 antildeos
c) Cf4 = 500 + 120 x 4 = $980 Porque el final del antildeo 4 es el principio del antildeo 5
Problema 3 Pedro Ramiacuterez posee una letra de cambio de tres meses de vencimiento a intereacutes simple del 4 mensual Por necesidades de dinero lleva esta letra a una agencia de cambio (AC) y Ramiacuterez admite recibir un adelanto de $150000 de la AC iquestCuaacutento dinero debe recibir al final del traacutemite si la AC cobra un intereacutes simple del 7 menshysual en todas las operaciones y el valor nominal de la letra es de $300000 respuesta $154500
Problema 4 Juan Peacuterez recibe un preacutestamo extrabancario de $200000 Si el intereacutes convenido es del 6 mensual simple y canceloacute en total intereses por $216000 iquestpor cuaacutento tiempo mantuvo Peacuterez el preacutestamo
I = Ciin 216000 = 200000 x 006 x n n = 18 meses
Problema 5 El contador Morales consigue un preacutestamo de $3000000 a dos antildeos de plazo con una tasa de intereacutes simple del 3 bimestral iquestCuaacutento pagaraacute al final de los dos antildeos respuesta $4080000
Problema 6 iquestEn cuaacutento tiempo se triplica una inversioacuten con un intereacutes simple del 23 anual respuesta 869 antildeos
Cf = Ci + Ciin rarr 3Ci = Ci + Ci 023 n rarr n = 2023 = 869 antildeos
Conversioacuten a antildeos meses y diacuteas 069 x 12 = 828 meses 028 x 30 = 8 diacuteas 8 antildeos 8 meses 8 diacuteas
Problema 7 Una deuda se pactoacute pagarla en tres cuotas asiacute dentro de dos meses $100000 denshytro de cuatro meses $300000 dentro de cinco meses $500000 El intereacutes es simple
6
generalidades
y del 27 mensual El deudor le ofrece a su acreedor pagarle toda la deuda dentro de un mes con $840000 iquestSe debe aceptar esta propuesta
i = 27 mensual (simple) Cf = Ci (1 + i bull n) Ci = Cf divide (1 + i bull n) Calculamos la deuda hoy trasladando los flujos al periacuteodo cero Inicial de la cuota de 100000 en 2 Ci = 100000 divide (1 + 0027 x 2) Ci = 94877 Inicial de la cuota de 100000 en 4 Ci = 300000 divide (1 + 0027 x 4) Ci = 270758 Inicial de la cuota de 100000 en 5 Ci = 500000 divide (1 + 0027 x 5) Ci = 440529
Total hoy 806163 La deuda hoy llevaba al mes uno Cf = Ci (1 + i bull n)
Cf = 806163 (1 + 0027 x 1) Cf = 827930
Se debe aceptar la propuesta porque le ofrecen una cantidad mayor
Problema 8 iquestCuaacutel de las siguientes opciones de gratificacioacuten conviene maacutes a los intereses de un empleado a) recibir ahora $700 b) recibir ahora $200 y $600 a los 60 diacuteas c) recibir tres pagos iguales de $250 cu a 30 60 y 90 diacuteas
Tasa de intereacutes simple del 42 anual respuesta a) $700 b) $76064 c) $70142 mejor b
Problema 9 Usted tiene 3 cheques posfechados parar cobrar asiacute $150000 para dentro de 6 meses $135000 para dentro de ocho meses y $350000 para dentro de 12 meses Debido a una urgencia de efectivo se ve en la necesidad de negociar estos cheques en una casa de cambio que le cobra el 28 mensual simple iquestCuaacutento dinero espera recibir siacute la negociacioacuten la realiza en el diacutea de hoy respuesta $50069482
Problema 10 Pedro debe pagar tres deudas asiacute $1500000 dentro de cuatro meses $2500000 para dentro de seis meses y $3000000 para dentro de ocho meses Estas deudas fueron calculadas con un intereacutes simple de 25 mensual Pedro le propone a su acreedor pagarle hoy $6500000 para cancelar toda la deuda iquestDebe aceptar el acreedor esta oferta respuesta Valor deuda original en pesos de hoy $6037549 Debe aceptar la oferta de Pedro
Problema 11 Pedro tiene que pagar una letra de cambio de $2000000 dentro de ocho meses y otra de $3000000 dentro de 18 meses Su acreedor le acepta cambiar estos pagos por uno de $1500000 en el diacutea de hoy y otro pago al final del antildeo Calcular el valor de este uacuteltimo pago si la tasa de intereacutes es del 2 mensual simple
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INgENIEriacutea ECONoacutemICa
respuesta $301322515
Problema 12 Una empresa tiene que cancelar dentro de dos antildeos una obligacioacuten de $5500000 y desea liquidarla sustituyeacutendola por dos pagos iguales en los meses 10 y 22 Si la tasa de intereacutes simple es del 3 mensual iquestcuaacutel es el valor de las cuotas respuesta $2217742
La IguaLDaD Y La EQuIVaLENCIa Estos dos conceptos a menudo se confunden o no se interpretan adecuadamente en teacuterminos econoacutemicos Vamos a tratar de establecer la diferencia entre ellos
Si asumimos una inflacioacuten de 10 anual y un artiacuteculo hoy vale $10000 dentro de un antildeo el mismo artiacuteculo tendraacute un costo de $11000 Esto quiere decir que hoy $10000 tendraacuten el mismo poder de compra que $11000 dentro de un antildeo Debeshymos entender que $10000 hoy son equivalentes a $11000 dentro de un antildeo pero no son iguales en cantidad
De otra manera si queremos comprar dentro de un antildeo un artiacuteculo que hoy vale $10000 debemos invertir el dinero hoy a una tasa del 10 anual para conseguir un intereacutes de $1000 y reunir $11000 dentro de un antildeo para comprar el mismo artiacuteculo
Si el precio de los artiacuteculos se infla a traveacutes del tiempo el dinero tambieacuten debe inflarse con una tasa financiera para conservar el poder de compra Si la tasa finanshyciera de la inversioacuten es igual a la inflacioacuten decimos que nuestro dinero conserva el poder compra Si la tasa financiera es mayor que la inflacioacuten por ejemplo 15 anual al cabo de un antildeo tendriacuteamos $11500 lo que genera una utilidad real de la inversioacuten por encima de la inflacioacuten de $500
Pero si la tasa financiera es inferior a la inflacioacuten por ejemplo 8 anual al cabo de un antildeo la inversioacuten logra acumular $10800 dinero que no alcanza a comshyprar el mismo artiacuteculo Decimos que nuestro dinero ha perdido poder de compra aunque tengamos $800 maacutes
En general cuando invertimos el dinero hoy a una tasa financiera al cabo de cierto tiempo este dinero se ha inflado con los intereses acumulados Si esperamos recibir dentro de cierto tiempo una cantidad de dinero y la negociacioacuten la hacemos hoy (tiempo presente) para saber a cuaacutento equivale hoy la negociacioacuten debemos desinflar esa cantidad (quitarle el intereacutes)
En resumen el dinero de hoy invertido a una tasa i durante un tiempo se infla (aumenta) pero el dinero del futuro llevado a valor presente se desinfla con la tasa i
La igualdad del dinero solo se puede dar cuando los diferentes flujos de dinero son trasladados todos a un mismo periacuteodo futuro o al presente
8
generalidades
conclusiones 1 Los dineros colocados en periacuteodos diferentes pueden ser equivalentes pero
nunca iguales 2 La igualdad del dinero soacutelo puede darse cuando los diferentes flujos de dinero
son trasladados a un mismo periacuteodo
Esto nos debe advertir que las foacutermulas que utilizaremos que son igualdades (=) tendraacuten como uno de los fines que trasladar dineros del presente al futuro (inflar) o del futuro al presente (desinflar)
FLuJOS DE CaJa Son los ingresos y egresos de dinero que ocurren en una empresa por su activad econoacutemica en un periacuteodo determinado Estos flujos de caja pueden ser pagos uacutenishycos (ocurren solo una vez) o seriados Los seriados pueden ser iguales (constantes en valor uniformes) crecientes cada vez o decrecientes cada vez
El crecimiento o decrecimiento puede ser constante aritmeacutetica o porcenshytualmente
Valor presente (P) Pagos uacutenicos Valor futuro (F)
Series uniformes (A) Flujos de caja
Crecientes o decrecientes aritmeacuteticamente Pagos seriados No uniformes
Crecientes o decrecientes en porcentaje
Graacutefico 1 Flujos de caja
Ejemplos de flujos de caja
Pagos uacutenicos
Cuando se hace referencia a pagos uacutenicos nos referimos taacutecitamente a los ingresos y egresos La misma referencia para los seriados Son uacutenicos porque solo ocurren una vez
Valor presente (P)
Pagar hoy un equipo un vehiacuteculo una propiedad cobrar hoy un dinero vender hoy un bien etceacutetera
Dariacuteo Garciacutea Montoya | CaPiacuteTuLO 1 9
INgENIEriacutea ECONoacutemICa
Valor futuro (F)
Vender algo dentro de cierto tiempo pagar una deuda dentro de cierto tiempo en general tener ingresos o egresos por una sola vez en tiempo futuro
Los conceptos de presente y futuro son relativos entre ellos Asumamos un ingreso hoy de $10000 un ingreso dentro de dos antildeos de $5000 y un ingreso de $8000 dentro de cinco
El ingreso de $10000 hoy es presente para los para los periacuteodos dos y cinco El ingreso de $5000 dentro de dos antildeos es futuro para el periacuteodo de hoy y
presente para el periacuteodo cinco El ingreso de $8000 es futuro para los periacuteodos de hoy y para el periacuteodo dos
Pagos seriados uniformes (a)
Recordemos que una serie es consecutiva por lo tanto los pagos deben ser conseshycutivos sin interrupciones y para que sean uniformes deben tener el mismo valor Ejemplos los sueldos fijos de un trabajador el canon de arrendamiento durante los 12 meses las cuotas iguales para pagar un creacutedito las dos primas semestrales el cargo fijo mensual de los servicios puacuteblicos etceacutetera
Seriados crecientes o decrecientes aritmeacuteticamente
Pagos mensuales trimestrales semestrales anuales etceacutetera de cuotas u obligacioshynes iniciando con un valor determinado y cada pago posterior se aumenta en una cantidad fija de pesos o disminuye una cantidad fija de pesos
Pagar o recibir cinco cuotas mensuales empezando con $200 y cada vez aushymenta o disminuye en $20
Creciente 200 220 240 260 280 Decreciente 200 180 160 140 120 El incremento o decrecimiento de $20 se llama Gradiente (G)
Seriados crecientes o decrecientes geomeacutetricamente
Pagos mensuales o anuales de cuotas u obligaciones iniciando con un valor detershyminado y cada pago se aumenta o disminuye en un porcentaje constante
Pagar o recibir cinco cuotas mensuales empezando con 200 y cada vez aumenshyta o disminuye en 10
Creciente 200 220 242 2662 29282 Decreciente 200 180 162 1458 13122
10
generalidades
Nomenclatura Los diferentes flujos de caja se representaraacuten mediante siacutembolos alfabeacuteticos para simplificar su escritura
Valor presente P Valor futuro F Serie uniforme A Tasa de intereacutes i Periacuteodos n
Las series crecientes o decrecientes las estudiaremos maacutes adelante
Periacuteodos Los periacuteodos son las diferentes unidades de tiempo que usualmente se utilizan en las operaciones financieras anuales semestrales o bianuales cuatrimestrales trishymestrales bimestrales o cada dos meses mensuales quincenales o bimensuales semanal y diario
Otras unidades de tiempo menos usadas son bienio o cada dos antildeos trienio o cada tres antildeos cuatrienio o cada cuatro antildeos quinquenio o lustro o cada cinco antildeos etceacutetera
Diagramas de flujos de caja Los diferentes flujos de caja se deben representar en diagramas que faciliten la vishysualizacioacuten y la interpretacioacuten de ellos para determinar la metodologiacutea que se debe seguir en la solucioacuten del problema econoacutemico propuesto
Para el diagrama se utiliza el plano cartesiano El eje horizontal de las X se denominaraacute eje del tiempo o de los periacuteodos En eacutel se dibujaraacuten los diferentes peshyriacuteodos (n) El eje vertical o de la ordenada se denominaraacute eje del dinero o flujo ($) Los ingresos se representan con flecha hacia arriba (flujo positivo) y los egresos con flecha hacia abajo (flujo negativo) El tiempo futuro se representa desde el origen hacia la derecha y el tiempo pasado desde el origen hacia la izquierda Por simplificacioacuten se puede omitir el dibujo del eje vertical
Dariacuteo Garciacutea Montoya | CaPiacuteTuLO 1 11
INgENIEriacutea ECONoacutemICa
Tiempo pasado $ Tiempo futuro Ingresos Ingresos
2000 hace 4 antildeos hubo 1000 ingreso uacutenico dentro de un ingreso dos antildeos
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 antildeos
Tiempo pasado 3000 cuatro cuotas anuales iguales Egresos Egresos
6000 una inversioacuten hoy Tiempo futuro Egresos
Graacutefico 2 Diagrama de flujos de caja
Problema 13 Graficar los siguientes flujos de caja una inversioacuten hoy de $20000 desde hace cinco antildeos y hasta dentro de dos antildeos ingresos de $4000 un ingreso de $5000 dentro de seis antildeos gastos desde hace un antildeo y hasta dentro de tres antildeos de $6000 anuales
5000 A = 4000
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6antildeos
A = 6000
P = 20000
Una forma maacutes simplificada para dibujar el diagrama anterior es omitiendo las flechas intermedias de las series uniformes y se sustituyen por una liacutenea horizontal que una el primer pago de la serie con el uacuteltimo
12
generalidades
5000A = 4000
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6antildeos
A = 6000 P = 20000
Problema 14 Elaborar el diagrama del siguiente flujo de caja ingresos anuales e iguales de $19000 desde hoy hasta el antildeo 27 un ingreso de $12500 en el sexto antildeo un ingreso de 80000 en el antildeo 31 otro ingreso de $42000 en antildeo 29 un egreso de $8000 en el antildeo 2 egresos anuales uniformes de $5000 del antildeo 4 al 28 y otro egreso anual uniforme de $25000 del antildeo 6 al 31
15000 42000
19000 80000
0 1 2 3 4 5 6 26 27 28 29 30 31antildeos
8000
25000
5000
Problema 15 Hoy se hace un depoacutesito en una entidad financiera por un valor de $16000000 A partir del quinto semestre se empezaraacute a retirar cada vez $250000 y hasta el semestre 16 Adicionalmente en el semestre 16 se podraacute retirar el resto del dinero que seraacute $10000000 y dejar la cuenta en cero Elaborar el diagrama de flujo de caja
Dariacuteo Garciacutea Montoya | CaPiacuteTuLO 1 13
INgENIEriacutea ECONoacutemICa
solucioacuten
F = 10000000
A = 250000 0 1 2 3 4 5 16 Semestres
P = $16000000
Problema 16 Dentro de nueve meses tengo una obligacioacuten hipotecaria por un valor de $4500000 Para cancelar este valor he decidido abrir hoy una cuenta bancaria La apertura de esta cuenta la hareacute con $500000 y cada mes posterior y hasta el final del noveno mes hareacute depoacutesitos iguales de $350000 Elaborar el diagrama de flujo de caja solucioacuten
F = 4500000
0 1 2 8 9 meses
A = 350000500000
Problema 17 Supongamos que una empresa pronostica que los primeros tres antildeos de funcionashymiento produciraacute peacuterdidas anuales decrecientes asiacute el primer antildeo perderaacute $9000 el segundo perderaacute $6000 el tercero perderaacute $3000 el cuarto estaraacute en el punto de equilibrio es decir tendraacute utilidades de $000 Del quinto antildeo en adelante empezaraacute a ganar $3000 el sexto ganaraacute $6000 y asiacute sucesivamente hasta el deacutecimo antildeo El valor inicial de la inversioacuten es de $50000 Elaborar el diagrama de flujo de caja solucioacuten
12000 15000 18000
P = 50000
6000 9000 0 3000
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 antildeos 9000 6000 3000
14
Garciacutea Montoya Dariacuteo Ingenieriacutea econoacutemica talleres y praacutectica -- 1ordf ed -- Bogotaacute
Ecoe Ediciones Universidad Tecnoloacutegica de Pereira 2011 322 p 24 cm ndash (Ingenieriacutea y arquitectura Ingenieriacutea)
ISBN 978-958-648-696-5
1 Economiacutea industrial 2 Matemaacuteticas financieras I Tiacutetulo II Serie
CDD 65815 ed 20 CO-BoBNndash a746933
Catalogacioacuten en la publicacioacuten ndash Biblioteca Nacional de Colombia
Coleccioacuten Ingenieriacutea y arquitectura Aacuterea Ingenieriacutea
Primera edicioacuten Bogotaacute DC 2011
ISBN 978-958-648-696-5
copy Dariacuteo Garciacutea Montoya E-mail dagarmonhotmailcom
copy Ecoe Ediciones E-mail correoecoeedicionescom wwwecoeedicionescom Carrera 19 No 63C-32 Pbx 2481449 fax 3461741
Coordinacioacuten editorial Alexander Acosta Quintero Disentildeo y diagramacioacuten Emilse Londontildeo Disentildeo de caraacutetula Edwin Nelson Penagos Palacio Correccioacute de estilo Alejandro Molina Impresioacuten Litoperla Impresores Carrera 25 No 8-84 Tel 3711916
Impreso y hecho en Colombia
CONTENIDO
Capiacutetulo 1 Generalidades y conceptos 1 Ingenieriacutea Econoacutemica 3 El intereacutes y su clasificacioacuten 3
Intereacutes simple 4 Tasa de intereacutes 4
La igualdad y la equivalencia 8 Flujos de caja 9
Ejemplos de flujos de caja 9 Pagos uacutenicos 9
Valor presente (P) 9 Valor futuro (F) 10
Pagos seriados uniformes (A) 10 Seriados crecientes o decrecientes aritmeacuteticamente 10 Seriados crecientes o decrecientes geomeacutetricamente 10
Nomenclatura 11 Periacuteodos 11 Diagramas de flujos de caja 11
Cuadros o tableros de flujos de caja 15
Capiacutetulo 2interEacutes coMpUesto 17 Definiciones 21
Periacuteodo de pago (PP) 21 Periacuteodo de capitalizacioacuten (PC) 21 Las tasas de intereacutes 21
Intereacutes nominal (i) 21 Intereacutes efectivo (ie) 22 Intereacutes anticipado (ia) 22
Manejo y equivalencias de las tasas de Intereacutes 22
INgENIEriacutea ECONoacutemICa
Transformacioacuten de un intereacutes nominal a un intereacutes efectivo 23 Primer caso Periacuteodo de Pago = Periacuteodo de Capitalizacioacuten (PP = PC) 23 Segundo caso Periacuteodo de Pago lt Periacuteodo de Capitalizacioacuten (PP lt PC) 23 Tercer caso Periacuteodo de Pago gt Periacuteodo de Capitalizacioacuten (PP gt PC) 24
Uso de las calculadoras 24 Intereacutes anticipado 25
Transformacioacuten de intereacutes anticipado a intereacutes efectivo 25 Primer caso PP = PC Periacuteodo de pago = Periacuteodo de capitalizacioacuten 26 Segundo caso PP gt PC Periacuteodo de pago gt Periacuteodo de capitalizacioacuten 27 Tercer caso cuando PP lt PC Primero se reduce la ia
a igual periacuteodo del PP 28 Meacutetodo praacutectico 28 Tasas combinadas (ic) 31
Foacutermula para calcular la tasa combinada 32 Tasa combinada en descuentos 33
Problemas sobre tasas de intereacutes 34
Capiacutetulo 3FOacuterMUlas y Factores de recUperaciOacuten de capital 39 Foacutermulas y factores con pagos uacutenicos 41
Cantidad futura compuesta pago uacutenico (F) 41 Uso de los factores 45
Configuracioacuten de la calculadora 45 Valor presente pago uacutenico 48
Capiacutetulo 4 la aMortiZacion y la capitaliZaciOacuten 57 Foacutermulas y factores para flujos de caja con series uniformes 59 Uso del factor 61
Configuracioacuten de la calculadora 61 Cuadro de pagos o cuadro de amortizacioacuten 62 Valor presente de una serie uniforme 69 Vida infinita o perenne 74
Costo capitalizado y recuperacioacuten de capital cuando la vida es infinita 74 Problemas generales sobre series 77 Fondo de capitalizacioacuten (cuotas capitalizables) 81 Cantidad futura compuesta serie uniforme 85
Cantidad acumulada (capital maacutes intereses) con una serie de depoacutesitos iguales 85
VI
Contenido
Problemas que involucran series uniformes y pagos uacutenicos en periacuteodos diferentes 90 Problemas propuestos 94
Capiacutetulo 5 GASTOS RECURRENTES 101
Capiacutetulo 6PERIacuteODOS DESCONOCIDOS Y DE LA TIR 109 Caacutelculo de n periacuteodos desconocidos 111 Tasa Interna de Retorno (TIR) 116
Procedimiento para calcular la TIR 117 Problemas con series y con periacuteodos diferentes 124 Problemas propuestos 125
Capiacutetulo 7FOacuteRMULAS QUE INVOLUCRAN SERIES ARITMEacuteTICAS GRADIENTES ARITMEacuteTICOS CRECIENTES Y DECRECIENTES 131 Seriados crecientes o decrecientes aritmeacuteticamente 133 Valor presente del gradiente aritmeacutetico creciente 134 Manejo del gradiente creciente 135 Programacioacuten de la calculadora financiera 139 Poblemas propuestos 146 Transformacioacuten de una serie gradiente creciente en una serie uniforme 147 Gradiente aritmeacutetico creciente infinito 151 Gradiente aritmeacutetico decreciente Equivalencia en valor presente 152 Manejo del signo del gradiente 157 Taller de gradientes aritmeacuteticos Caacutelculo de i y de n 158 Gradiente aritmeacutetico decreciente infinito 162 Transformacioacuten del gradiente decreciente a una serie uniforme 163 Caso especial de los gradientes aritmeacuteticos decrecientes 166
Problemas propuestos 167 Problemas con gradientes aritmeacuteticos y periacuteodos diferentes 168 Gradiente Aritmeacutetico Escalonado 171 Manejo matemaacutetico de los gradientes aritmeacuteticos escalonados 172
Capiacutetulo 8GRADIENTES GEOMEacuteTRICOS (ESCALERA PORCENTUALES) 179 Diagrama del gradiente porcentual creciente 182
Dariacuteo Garciacutea Montoya VII
INgENIEriacutea ECONoacutemICa
Foacutermula para calcular el P de una serie creciente porcentual 182 Foacutermula para calcular la primera cuota de una serie creciente porcentual 183 Gradiente porcentual decreciente 190 Problemas propuestos gradientes aritmeacuteticos y porcentuales 201 Problemas con gradientes aritmeacuteticos geomeacutetricos y con periacuteodos diferentes 206 Gradientes geomeacutetricos escalonados crecientes o decrecientes 208 Presentacioacuten general del gradiente geomeacutetrico escalonado 211 Foacutermula para calcular el valor presente de un gradiente geomeacutetrico o porcentual escalonado 212 Problemas propuestos 231
Capiacutetulo 9 la UVr 233 Unidad de Valor Real (UVR) 235 Manejo financiero de la UVR 236 Problemas propuestos 239 Creacutedito Hipotecario en UVR 241 Problemas propuestos 252
Capiacutetulo 10eValUaciOacuten econOacuteMica de alternatiVas 257 Comparacioacuten en valor presente de alternativas con vidas uacutetiles iguales 259 Comparacioacuten en valor presente de alternativas con vidas uacutetiles diferentes 264 Comparacioacuten de alternativas con el meacutetodo del CAUE (Costo Anual Uniforme Equivalente) 269 Problemas propuestos 276
Capiacutetulo 11 Bonos 281 Terminologiacutea baacutesica 283 Ejemplo de un proyecto de emisioacuten de bonos 284 Manejo Financiero de los bonos 290 Problemas generales de bonos 292
Capiacutetulo 12inFlaciOacuten 297 Causas principales 299 Otras causas laterales 299
VIII
Contenido
Efectos 299 Forma de remover los efectos de la inflacioacuten 299 Caacutelculos de VF considerando la inflacioacuten 301 Tasa para convertir los pesos de hoy en pesos del futuro
con poder de compra de hoy 301 Caacutelculo para factores de recuperacioacuten de capital 302
Problemas sobre la inflacioacuten 303 Problemas sobre devaluacioacuten 305
Bibliografiacutea 306
Dariacuteo Garciacutea Montoya IX
Con mucho carintildeo y reconocimiento a mi esposa y familia por su comprensioacuten
estiacutemulo y sacrificio Igualmente a mis alumnos que han
colaborado en la elaboracioacuten y presentacioacuten de este material
P r oacute L O g O
Las actividades y operaciones financieras han sido a traveacutes de la historia de la hushymanidad el eje principal del desarrollo y progreso que han permitido e impulsado la industrializacioacuten
Para lograr las mejores decisiones econoacutemicas cuando se hace el anaacutelisis de alternativas de inversioacuten es necesario conocer los principios baacutesicos de los proceshydimientos econoacutemicos y sus aplicaciones en el proceso del estudio de inversiones que garanticen una rentabilidad adecuada y un desarrollo progresivo en teacuterminos econoacutemicos
La decisioacuten de invertir tiene que ver con la estructura operacional de la empreshysa y con una de las funciones de la Administracioacuten Financiera que es definir coacutemo cuaacutendo y doacutende invertir
El estudio de la Ingenieriacutea Econoacutemica ofrece los conocimientos baacutesicos neshycesarios para la toma de decisiones y constituye una herramienta fundamental actualizada y equilibrada para manejar el dinero eficientemente a traveacutes del tiempo y teniendo como fines primordiales rentabilidad y oportunidades de inversioacuten
Se pretende en este texto que los estudiosos de esta disciplina encuentren las herramientas procedimientos matemaacuteticos y en general los elementos necesarios y suficientes para el anaacutelisis econoacutemico y la evaluacioacuten de alternativas de inversioacuten
Para lograr este objetivo la distribucioacuten de los temas se inicia con los conshyceptos baacutesicos necesarios para entender la terminologiacutea en el campo financiero y progresivamente se introduciraacuten los meacutetodos matemaacuteticos que se utilizan en el manejo del dinero cuando se tiene la posibilidad de inversioacuten
Uno de los factores determinantes en estos procesos es el conocimiento y el manejo de las tasas de intereacutes en sus diferentes denominaciones y sus transforshymaciones a las equivalencias que se deben utilizar Este tema seraacute estudiado en el capiacutetulo 2 para poder utilizarlas en los capiacutetulos posteriores cuando se presenten diferentes periacuteodos de pago que hagan necesario el uso de tasas equivalentes
Las herramientas que se utilizaraacuten ademaacutes de las foacutermulas y factores seraacuten inicialmente las calculadoras financieras de las cuales ademaacutes de ensentildear el manejo normal de ellas se explicaraacute la forma de programarlas cuando sea necesario
INgENIEriacutea ECONoacutemICa
La segunda gran herramienta es Excel y sus aplicaciones financieras A lo larshygo del texto se muestran soluciones obtenidas en esta hoja electroacutenica cuadros de pagos y graacuteficas explicativas
Adicionalmente en el complemento virtual elaborado para el libro se disentildeoacute un tutorial que ensentildea a resolver cualquier problema de los expuestos como ejemshyplos o propuestos y que antes fueron resueltos manualmente o con el uso de la calculadora
Con el estudio del archivos que componen este complemento virtual subido al Sistema de Informacioacuten en Liacutenea de ECOE y con el conocimiento de los conshyceptos teoacutericos y definiciones baacutesicas es posible que cualquier persona no experta en temas financieros pueda resolver sin la utilizacioacuten de foacutermulas ni calculadoras problemas de Ingenieriacutea Econoacutemica
En general el libro es un compendio sobre temas fundamentales del campo de las finanzas necesario para entender el mundo de los negocios Se utilizoacute un lenguaje claro sencillo praacutectico rico en conceptos con una amplia gama de casos resueltos utilizando foacutermulas y funciones financieras de Excel
Debo agradecer a mis alumnos de la Universidad Libre de Pereira quienes con sus inquietudes preguntas e intereacutes en el tema han apoyado la elaboracioacuten de este trabajo
El autor
XIV
Capiacutetulo 1
generalidades
generalidades
INgENIEriacutea ECONoacutemICa Es una teacutecnica que utiliza procedimientos meacutetodos y foacutermulas matemaacuteticas para analizar evaluar y comparar alternativas econoacutemicas y determinar cuaacutel es la mejor en teacuterminos econoacutemicos
En ingenieriacutea econoacutemica se utilizan algunos teacuterminos de los cuales es necesashyrio conocer su significado Ellos son
Analizar es un estudio sobre cuaacuteles seraacuten los ingresos y egresos que generaraacute la inversioacuten durante su vida uacutetil o tiempo de operacioacuten en una situacioacuten financiera o econoacutemica tal como una inversioacuten que se pretenda realizar
Evaluacioacuten una vez conocidos los flujos proyectados de caja (ingresos y egreshysos) que generaraacute la inversioacuten analizada se cuantifican los valores econoacutemicos a traveacutes del tiempo utilizando foacutermulas y procedimientos matemaacuteticos para detershyminar la rentabilidad y la viabilidad econoacutemica del proyecto
Esta evaluacioacuten se haraacute en teacuterminos porcentuales (tasa de retorno de la invershysioacuten rendimiento porcentual) y en teacuterminos de dinero
Alternativa se refiere a una opcioacuten u oportunidad de inversioacuten Por ejemplo proyectar el montaje de empresa industrial comercial de servicios comprar acshyciones bonos o constituir depoacutesitos (ahorros) en entidades financieras etceacutetera A cada alternativa siempre se le opone la contraria que consiste en no hacer la inversioacuten o en preferir otra si su rendimiento financiero es mejor
Los elementos de medida que se utilizan en la evaluacioacuten y comparacioacuten de alternativas son el dinero y el rendimiento o utilidad porcentual que genere cada alternativa (tasa de intereacutes)
El dinero es un medio circulante con poder de compra o adquisicioacuten de bieshynes o servicios Al igual que cualquier bien raiacutez (vehiacuteculos maquinaria etceacutetera) que se puede arrendar para que genere un canon de arrendamiento el dinero tambieacuten se puede arrendar (prestar depositar en una entidad financiera) para que genere un rendimiento pero en este caso este rendimiento se llama intereacutes
EL INTErEacuteS Y Su CLaSIFICaCIoacuteN El intereacutes es el dinero que genera maacutes dinero a traveacutes del tiempo cuando se invierte Es el valor del dinero en el tiempo o maacutes precisamente el cambio en la cantidad de dinero dushyrante un periacuteodo de tiempo cuando eacuteste se ha tomado en preacutestamo o se ha invertido
Asiacute como se paga por ejemplo un arrendamiento de un inmueble por usarlo de igual manera podriacuteamos asimilar el intereacutes como el dinero que se debe pagar por el uso de un capital tomado en preacutestamo
Ahora bien el intereacutes se clasifica en simple y compuesto (este uacuteltimo se estushydiaraacute completamente en el capiacutetulo 2)
Dariacuteo Garciacutea Montoya | CaPiacuteTuLO 1 3
INgENIEriacutea ECONoacutemICa
Intereacutes simple Una operacioacuten financiera se hace con intereacutes simple cuando durante todo el tiempo de la transaccioacuten soacutelo el capital genera intereses independientemente de si eacutestos se retiran (se cancelan) o no Es decir el intereacutes simple no se le adiciona al capital para generar nuevos intereses
El intereacutes se representa por la letra I (mayuacutescula) y se calcula asiacute
Intereacutes (I) = Cantidad acumulada - Inversioacuten inicial
Cantidad acumulada Cf
Cantidad inicial Ci
Ejemplo para cancelar una deuda de $10000 dentro de 3 antildeos debo pagar $13000 iquestCuaacutel es el intereacutes ganado
I = 13000 - 10000 = $3000
Observe que la unidad de medida del intereacutes son pesos (dinero)
Tasa de intereacutes
Es el intereacutes expresado en porcentaje y por unidad de tiempo Se representa con la letra i y se calcula asiacute
I = Cf ndash Ci (a) o Cf = Ci + I (b) Foacutermula 1
i = Intereacutes acumulado por unidad de tiempo
Cantidad inicial xx 100 i =
I
Ci x 100
Cuando se tienen varios periacuteodos unitarios (2 3 4hellip n periacuteodos) la foacutermula anterior se divide por el nuacutemero de periacuteodos
Simboacutelicamente la foacutermula se expresa asiacute
Foacutermula 2i = I x 100
n x Cantidad inicial i =
I x 100
n x Ci
siacutembolos CF Cantidad acumulada (Capital final Valor futuro) Ci Cantidad inicial (Capital inicial Valor presente) n Nuacutemero de periacuteodos (antildeos semestres meses trimestres diacuteas etc) I Intereacutes i Tasa de intereacutes
4
generalidades
La tasa de intereacutes simple se puede multiplicar o dividir para expresarla en unidades de tiempo diferentes Ejemplo una tasa del 2 simple mensual es equishyvalente a una tasa del 24 simple anual se multiplicoacute por 12 que son los meses del antildeo Una tasa del 9 simple semestral es equivalente a una tasa del 15 simple mensual se dividioacute por 6 que son los meses del semestre
Con el fin de simplificar la escritura de las foacutermulas omitiremos la escritura del valor ldquo100rdquo y utilizamos el i como nuacutemero iacutendice es decir el porcentaje expreshysado como nuacutemero decimal ejemplo i = 4 lo escribimos como i = 004
De acuerdo con la nomenclatura anterior y aplicando la simplificacioacuten antes descrita las ecuaciones o foacutermulas dadas se representan asiacute
Foacutermula 1 Foacutermula 2 Foacutermula 3
Remplazando en (b) la foacutermula 2
I = Cf ndash Ci (a) i = I
n i Ci Cf = Ci + i bull n bull Ci
Despejando Cf
Cf = Ci + I (b) I = i bull n bull Ci Cf = Ci (I + i bull n)
Problema 1 Se recibieron $60000 de intereacutes durante un semestre por un depoacutesito en un banshyco comercial Si el banco reconoce una tasa de intereacutes simple del 7 trimestral y liquida a sus clientes sobre saldos trimestrales iquestcuaacutel fue el capital depositado inicialmente respuesta $42857143
I = n bull i bull Ci I = $60000 n = 2 trimestres (un semestre) Ci = 60000007 x 2 = $42857143 I
Ci = i = 7 trimestral i i n
Problema 2 Si las condiciones de un preacutestamo con intereacutes simple se expresan mediante la ecuacioacuten
VF= 500 + 120 t
Donde VF es el valor futuro y t es el tiempo en antildeos determine a) La tasa de intereacutes simple R 24 b) El tiempo transcurrido para que el inversionista reciba $600 de intereacutes total
R 5 antildeos c) iquestCuaacutel seraacute la deuda inicial del quinto antildeo si el banco prestamista no ha recibido
intereses de mora y no cobra intereacutes de mora R 98000
Dariacuteo Garciacutea Montoya | CaPiacuteTuLO 1 5
INgENIEriacutea ECONoacutemICa
solucioacuten a) I = Cf ndash Ci rarr Cf = Ci + I rarr Cf = Ci + Ci bull i bull n de foacutermula 4
de 1 darr darr darr
VF = 500 + 120t 120t = 500 x i x t de de3 porque t = n 2
i = 24
b) 120t = Ci bull i bull n = Intereacutes (I) = 600 t = 600120 = 5 antildeos
c) Cf4 = 500 + 120 x 4 = $980 Porque el final del antildeo 4 es el principio del antildeo 5
Problema 3 Pedro Ramiacuterez posee una letra de cambio de tres meses de vencimiento a intereacutes simple del 4 mensual Por necesidades de dinero lleva esta letra a una agencia de cambio (AC) y Ramiacuterez admite recibir un adelanto de $150000 de la AC iquestCuaacutento dinero debe recibir al final del traacutemite si la AC cobra un intereacutes simple del 7 menshysual en todas las operaciones y el valor nominal de la letra es de $300000 respuesta $154500
Problema 4 Juan Peacuterez recibe un preacutestamo extrabancario de $200000 Si el intereacutes convenido es del 6 mensual simple y canceloacute en total intereses por $216000 iquestpor cuaacutento tiempo mantuvo Peacuterez el preacutestamo
I = Ciin 216000 = 200000 x 006 x n n = 18 meses
Problema 5 El contador Morales consigue un preacutestamo de $3000000 a dos antildeos de plazo con una tasa de intereacutes simple del 3 bimestral iquestCuaacutento pagaraacute al final de los dos antildeos respuesta $4080000
Problema 6 iquestEn cuaacutento tiempo se triplica una inversioacuten con un intereacutes simple del 23 anual respuesta 869 antildeos
Cf = Ci + Ciin rarr 3Ci = Ci + Ci 023 n rarr n = 2023 = 869 antildeos
Conversioacuten a antildeos meses y diacuteas 069 x 12 = 828 meses 028 x 30 = 8 diacuteas 8 antildeos 8 meses 8 diacuteas
Problema 7 Una deuda se pactoacute pagarla en tres cuotas asiacute dentro de dos meses $100000 denshytro de cuatro meses $300000 dentro de cinco meses $500000 El intereacutes es simple
6
generalidades
y del 27 mensual El deudor le ofrece a su acreedor pagarle toda la deuda dentro de un mes con $840000 iquestSe debe aceptar esta propuesta
i = 27 mensual (simple) Cf = Ci (1 + i bull n) Ci = Cf divide (1 + i bull n) Calculamos la deuda hoy trasladando los flujos al periacuteodo cero Inicial de la cuota de 100000 en 2 Ci = 100000 divide (1 + 0027 x 2) Ci = 94877 Inicial de la cuota de 100000 en 4 Ci = 300000 divide (1 + 0027 x 4) Ci = 270758 Inicial de la cuota de 100000 en 5 Ci = 500000 divide (1 + 0027 x 5) Ci = 440529
Total hoy 806163 La deuda hoy llevaba al mes uno Cf = Ci (1 + i bull n)
Cf = 806163 (1 + 0027 x 1) Cf = 827930
Se debe aceptar la propuesta porque le ofrecen una cantidad mayor
Problema 8 iquestCuaacutel de las siguientes opciones de gratificacioacuten conviene maacutes a los intereses de un empleado a) recibir ahora $700 b) recibir ahora $200 y $600 a los 60 diacuteas c) recibir tres pagos iguales de $250 cu a 30 60 y 90 diacuteas
Tasa de intereacutes simple del 42 anual respuesta a) $700 b) $76064 c) $70142 mejor b
Problema 9 Usted tiene 3 cheques posfechados parar cobrar asiacute $150000 para dentro de 6 meses $135000 para dentro de ocho meses y $350000 para dentro de 12 meses Debido a una urgencia de efectivo se ve en la necesidad de negociar estos cheques en una casa de cambio que le cobra el 28 mensual simple iquestCuaacutento dinero espera recibir siacute la negociacioacuten la realiza en el diacutea de hoy respuesta $50069482
Problema 10 Pedro debe pagar tres deudas asiacute $1500000 dentro de cuatro meses $2500000 para dentro de seis meses y $3000000 para dentro de ocho meses Estas deudas fueron calculadas con un intereacutes simple de 25 mensual Pedro le propone a su acreedor pagarle hoy $6500000 para cancelar toda la deuda iquestDebe aceptar el acreedor esta oferta respuesta Valor deuda original en pesos de hoy $6037549 Debe aceptar la oferta de Pedro
Problema 11 Pedro tiene que pagar una letra de cambio de $2000000 dentro de ocho meses y otra de $3000000 dentro de 18 meses Su acreedor le acepta cambiar estos pagos por uno de $1500000 en el diacutea de hoy y otro pago al final del antildeo Calcular el valor de este uacuteltimo pago si la tasa de intereacutes es del 2 mensual simple
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respuesta $301322515
Problema 12 Una empresa tiene que cancelar dentro de dos antildeos una obligacioacuten de $5500000 y desea liquidarla sustituyeacutendola por dos pagos iguales en los meses 10 y 22 Si la tasa de intereacutes simple es del 3 mensual iquestcuaacutel es el valor de las cuotas respuesta $2217742
La IguaLDaD Y La EQuIVaLENCIa Estos dos conceptos a menudo se confunden o no se interpretan adecuadamente en teacuterminos econoacutemicos Vamos a tratar de establecer la diferencia entre ellos
Si asumimos una inflacioacuten de 10 anual y un artiacuteculo hoy vale $10000 dentro de un antildeo el mismo artiacuteculo tendraacute un costo de $11000 Esto quiere decir que hoy $10000 tendraacuten el mismo poder de compra que $11000 dentro de un antildeo Debeshymos entender que $10000 hoy son equivalentes a $11000 dentro de un antildeo pero no son iguales en cantidad
De otra manera si queremos comprar dentro de un antildeo un artiacuteculo que hoy vale $10000 debemos invertir el dinero hoy a una tasa del 10 anual para conseguir un intereacutes de $1000 y reunir $11000 dentro de un antildeo para comprar el mismo artiacuteculo
Si el precio de los artiacuteculos se infla a traveacutes del tiempo el dinero tambieacuten debe inflarse con una tasa financiera para conservar el poder de compra Si la tasa finanshyciera de la inversioacuten es igual a la inflacioacuten decimos que nuestro dinero conserva el poder compra Si la tasa financiera es mayor que la inflacioacuten por ejemplo 15 anual al cabo de un antildeo tendriacuteamos $11500 lo que genera una utilidad real de la inversioacuten por encima de la inflacioacuten de $500
Pero si la tasa financiera es inferior a la inflacioacuten por ejemplo 8 anual al cabo de un antildeo la inversioacuten logra acumular $10800 dinero que no alcanza a comshyprar el mismo artiacuteculo Decimos que nuestro dinero ha perdido poder de compra aunque tengamos $800 maacutes
En general cuando invertimos el dinero hoy a una tasa financiera al cabo de cierto tiempo este dinero se ha inflado con los intereses acumulados Si esperamos recibir dentro de cierto tiempo una cantidad de dinero y la negociacioacuten la hacemos hoy (tiempo presente) para saber a cuaacutento equivale hoy la negociacioacuten debemos desinflar esa cantidad (quitarle el intereacutes)
En resumen el dinero de hoy invertido a una tasa i durante un tiempo se infla (aumenta) pero el dinero del futuro llevado a valor presente se desinfla con la tasa i
La igualdad del dinero solo se puede dar cuando los diferentes flujos de dinero son trasladados todos a un mismo periacuteodo futuro o al presente
8
generalidades
conclusiones 1 Los dineros colocados en periacuteodos diferentes pueden ser equivalentes pero
nunca iguales 2 La igualdad del dinero soacutelo puede darse cuando los diferentes flujos de dinero
son trasladados a un mismo periacuteodo
Esto nos debe advertir que las foacutermulas que utilizaremos que son igualdades (=) tendraacuten como uno de los fines que trasladar dineros del presente al futuro (inflar) o del futuro al presente (desinflar)
FLuJOS DE CaJa Son los ingresos y egresos de dinero que ocurren en una empresa por su activad econoacutemica en un periacuteodo determinado Estos flujos de caja pueden ser pagos uacutenishycos (ocurren solo una vez) o seriados Los seriados pueden ser iguales (constantes en valor uniformes) crecientes cada vez o decrecientes cada vez
El crecimiento o decrecimiento puede ser constante aritmeacutetica o porcenshytualmente
Valor presente (P) Pagos uacutenicos Valor futuro (F)
Series uniformes (A) Flujos de caja
Crecientes o decrecientes aritmeacuteticamente Pagos seriados No uniformes
Crecientes o decrecientes en porcentaje
Graacutefico 1 Flujos de caja
Ejemplos de flujos de caja
Pagos uacutenicos
Cuando se hace referencia a pagos uacutenicos nos referimos taacutecitamente a los ingresos y egresos La misma referencia para los seriados Son uacutenicos porque solo ocurren una vez
Valor presente (P)
Pagar hoy un equipo un vehiacuteculo una propiedad cobrar hoy un dinero vender hoy un bien etceacutetera
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Valor futuro (F)
Vender algo dentro de cierto tiempo pagar una deuda dentro de cierto tiempo en general tener ingresos o egresos por una sola vez en tiempo futuro
Los conceptos de presente y futuro son relativos entre ellos Asumamos un ingreso hoy de $10000 un ingreso dentro de dos antildeos de $5000 y un ingreso de $8000 dentro de cinco
El ingreso de $10000 hoy es presente para los para los periacuteodos dos y cinco El ingreso de $5000 dentro de dos antildeos es futuro para el periacuteodo de hoy y
presente para el periacuteodo cinco El ingreso de $8000 es futuro para los periacuteodos de hoy y para el periacuteodo dos
Pagos seriados uniformes (a)
Recordemos que una serie es consecutiva por lo tanto los pagos deben ser conseshycutivos sin interrupciones y para que sean uniformes deben tener el mismo valor Ejemplos los sueldos fijos de un trabajador el canon de arrendamiento durante los 12 meses las cuotas iguales para pagar un creacutedito las dos primas semestrales el cargo fijo mensual de los servicios puacuteblicos etceacutetera
Seriados crecientes o decrecientes aritmeacuteticamente
Pagos mensuales trimestrales semestrales anuales etceacutetera de cuotas u obligacioshynes iniciando con un valor determinado y cada pago posterior se aumenta en una cantidad fija de pesos o disminuye una cantidad fija de pesos
Pagar o recibir cinco cuotas mensuales empezando con $200 y cada vez aushymenta o disminuye en $20
Creciente 200 220 240 260 280 Decreciente 200 180 160 140 120 El incremento o decrecimiento de $20 se llama Gradiente (G)
Seriados crecientes o decrecientes geomeacutetricamente
Pagos mensuales o anuales de cuotas u obligaciones iniciando con un valor detershyminado y cada pago se aumenta o disminuye en un porcentaje constante
Pagar o recibir cinco cuotas mensuales empezando con 200 y cada vez aumenshyta o disminuye en 10
Creciente 200 220 242 2662 29282 Decreciente 200 180 162 1458 13122
10
generalidades
Nomenclatura Los diferentes flujos de caja se representaraacuten mediante siacutembolos alfabeacuteticos para simplificar su escritura
Valor presente P Valor futuro F Serie uniforme A Tasa de intereacutes i Periacuteodos n
Las series crecientes o decrecientes las estudiaremos maacutes adelante
Periacuteodos Los periacuteodos son las diferentes unidades de tiempo que usualmente se utilizan en las operaciones financieras anuales semestrales o bianuales cuatrimestrales trishymestrales bimestrales o cada dos meses mensuales quincenales o bimensuales semanal y diario
Otras unidades de tiempo menos usadas son bienio o cada dos antildeos trienio o cada tres antildeos cuatrienio o cada cuatro antildeos quinquenio o lustro o cada cinco antildeos etceacutetera
Diagramas de flujos de caja Los diferentes flujos de caja se deben representar en diagramas que faciliten la vishysualizacioacuten y la interpretacioacuten de ellos para determinar la metodologiacutea que se debe seguir en la solucioacuten del problema econoacutemico propuesto
Para el diagrama se utiliza el plano cartesiano El eje horizontal de las X se denominaraacute eje del tiempo o de los periacuteodos En eacutel se dibujaraacuten los diferentes peshyriacuteodos (n) El eje vertical o de la ordenada se denominaraacute eje del dinero o flujo ($) Los ingresos se representan con flecha hacia arriba (flujo positivo) y los egresos con flecha hacia abajo (flujo negativo) El tiempo futuro se representa desde el origen hacia la derecha y el tiempo pasado desde el origen hacia la izquierda Por simplificacioacuten se puede omitir el dibujo del eje vertical
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Tiempo pasado $ Tiempo futuro Ingresos Ingresos
2000 hace 4 antildeos hubo 1000 ingreso uacutenico dentro de un ingreso dos antildeos
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 antildeos
Tiempo pasado 3000 cuatro cuotas anuales iguales Egresos Egresos
6000 una inversioacuten hoy Tiempo futuro Egresos
Graacutefico 2 Diagrama de flujos de caja
Problema 13 Graficar los siguientes flujos de caja una inversioacuten hoy de $20000 desde hace cinco antildeos y hasta dentro de dos antildeos ingresos de $4000 un ingreso de $5000 dentro de seis antildeos gastos desde hace un antildeo y hasta dentro de tres antildeos de $6000 anuales
5000 A = 4000
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6antildeos
A = 6000
P = 20000
Una forma maacutes simplificada para dibujar el diagrama anterior es omitiendo las flechas intermedias de las series uniformes y se sustituyen por una liacutenea horizontal que una el primer pago de la serie con el uacuteltimo
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generalidades
5000A = 4000
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6antildeos
A = 6000 P = 20000
Problema 14 Elaborar el diagrama del siguiente flujo de caja ingresos anuales e iguales de $19000 desde hoy hasta el antildeo 27 un ingreso de $12500 en el sexto antildeo un ingreso de 80000 en el antildeo 31 otro ingreso de $42000 en antildeo 29 un egreso de $8000 en el antildeo 2 egresos anuales uniformes de $5000 del antildeo 4 al 28 y otro egreso anual uniforme de $25000 del antildeo 6 al 31
15000 42000
19000 80000
0 1 2 3 4 5 6 26 27 28 29 30 31antildeos
8000
25000
5000
Problema 15 Hoy se hace un depoacutesito en una entidad financiera por un valor de $16000000 A partir del quinto semestre se empezaraacute a retirar cada vez $250000 y hasta el semestre 16 Adicionalmente en el semestre 16 se podraacute retirar el resto del dinero que seraacute $10000000 y dejar la cuenta en cero Elaborar el diagrama de flujo de caja
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solucioacuten
F = 10000000
A = 250000 0 1 2 3 4 5 16 Semestres
P = $16000000
Problema 16 Dentro de nueve meses tengo una obligacioacuten hipotecaria por un valor de $4500000 Para cancelar este valor he decidido abrir hoy una cuenta bancaria La apertura de esta cuenta la hareacute con $500000 y cada mes posterior y hasta el final del noveno mes hareacute depoacutesitos iguales de $350000 Elaborar el diagrama de flujo de caja solucioacuten
F = 4500000
0 1 2 8 9 meses
A = 350000500000
Problema 17 Supongamos que una empresa pronostica que los primeros tres antildeos de funcionashymiento produciraacute peacuterdidas anuales decrecientes asiacute el primer antildeo perderaacute $9000 el segundo perderaacute $6000 el tercero perderaacute $3000 el cuarto estaraacute en el punto de equilibrio es decir tendraacute utilidades de $000 Del quinto antildeo en adelante empezaraacute a ganar $3000 el sexto ganaraacute $6000 y asiacute sucesivamente hasta el deacutecimo antildeo El valor inicial de la inversioacuten es de $50000 Elaborar el diagrama de flujo de caja solucioacuten
12000 15000 18000
P = 50000
6000 9000 0 3000
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 antildeos 9000 6000 3000
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CONTENIDO
Capiacutetulo 1 Generalidades y conceptos 1 Ingenieriacutea Econoacutemica 3 El intereacutes y su clasificacioacuten 3
Intereacutes simple 4 Tasa de intereacutes 4
La igualdad y la equivalencia 8 Flujos de caja 9
Ejemplos de flujos de caja 9 Pagos uacutenicos 9
Valor presente (P) 9 Valor futuro (F) 10
Pagos seriados uniformes (A) 10 Seriados crecientes o decrecientes aritmeacuteticamente 10 Seriados crecientes o decrecientes geomeacutetricamente 10
Nomenclatura 11 Periacuteodos 11 Diagramas de flujos de caja 11
Cuadros o tableros de flujos de caja 15
Capiacutetulo 2interEacutes coMpUesto 17 Definiciones 21
Periacuteodo de pago (PP) 21 Periacuteodo de capitalizacioacuten (PC) 21 Las tasas de intereacutes 21
Intereacutes nominal (i) 21 Intereacutes efectivo (ie) 22 Intereacutes anticipado (ia) 22
Manejo y equivalencias de las tasas de Intereacutes 22
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Transformacioacuten de un intereacutes nominal a un intereacutes efectivo 23 Primer caso Periacuteodo de Pago = Periacuteodo de Capitalizacioacuten (PP = PC) 23 Segundo caso Periacuteodo de Pago lt Periacuteodo de Capitalizacioacuten (PP lt PC) 23 Tercer caso Periacuteodo de Pago gt Periacuteodo de Capitalizacioacuten (PP gt PC) 24
Uso de las calculadoras 24 Intereacutes anticipado 25
Transformacioacuten de intereacutes anticipado a intereacutes efectivo 25 Primer caso PP = PC Periacuteodo de pago = Periacuteodo de capitalizacioacuten 26 Segundo caso PP gt PC Periacuteodo de pago gt Periacuteodo de capitalizacioacuten 27 Tercer caso cuando PP lt PC Primero se reduce la ia
a igual periacuteodo del PP 28 Meacutetodo praacutectico 28 Tasas combinadas (ic) 31
Foacutermula para calcular la tasa combinada 32 Tasa combinada en descuentos 33
Problemas sobre tasas de intereacutes 34
Capiacutetulo 3FOacuterMUlas y Factores de recUperaciOacuten de capital 39 Foacutermulas y factores con pagos uacutenicos 41
Cantidad futura compuesta pago uacutenico (F) 41 Uso de los factores 45
Configuracioacuten de la calculadora 45 Valor presente pago uacutenico 48
Capiacutetulo 4 la aMortiZacion y la capitaliZaciOacuten 57 Foacutermulas y factores para flujos de caja con series uniformes 59 Uso del factor 61
Configuracioacuten de la calculadora 61 Cuadro de pagos o cuadro de amortizacioacuten 62 Valor presente de una serie uniforme 69 Vida infinita o perenne 74
Costo capitalizado y recuperacioacuten de capital cuando la vida es infinita 74 Problemas generales sobre series 77 Fondo de capitalizacioacuten (cuotas capitalizables) 81 Cantidad futura compuesta serie uniforme 85
Cantidad acumulada (capital maacutes intereses) con una serie de depoacutesitos iguales 85
VI
Contenido
Problemas que involucran series uniformes y pagos uacutenicos en periacuteodos diferentes 90 Problemas propuestos 94
Capiacutetulo 5 GASTOS RECURRENTES 101
Capiacutetulo 6PERIacuteODOS DESCONOCIDOS Y DE LA TIR 109 Caacutelculo de n periacuteodos desconocidos 111 Tasa Interna de Retorno (TIR) 116
Procedimiento para calcular la TIR 117 Problemas con series y con periacuteodos diferentes 124 Problemas propuestos 125
Capiacutetulo 7FOacuteRMULAS QUE INVOLUCRAN SERIES ARITMEacuteTICAS GRADIENTES ARITMEacuteTICOS CRECIENTES Y DECRECIENTES 131 Seriados crecientes o decrecientes aritmeacuteticamente 133 Valor presente del gradiente aritmeacutetico creciente 134 Manejo del gradiente creciente 135 Programacioacuten de la calculadora financiera 139 Poblemas propuestos 146 Transformacioacuten de una serie gradiente creciente en una serie uniforme 147 Gradiente aritmeacutetico creciente infinito 151 Gradiente aritmeacutetico decreciente Equivalencia en valor presente 152 Manejo del signo del gradiente 157 Taller de gradientes aritmeacuteticos Caacutelculo de i y de n 158 Gradiente aritmeacutetico decreciente infinito 162 Transformacioacuten del gradiente decreciente a una serie uniforme 163 Caso especial de los gradientes aritmeacuteticos decrecientes 166
Problemas propuestos 167 Problemas con gradientes aritmeacuteticos y periacuteodos diferentes 168 Gradiente Aritmeacutetico Escalonado 171 Manejo matemaacutetico de los gradientes aritmeacuteticos escalonados 172
Capiacutetulo 8GRADIENTES GEOMEacuteTRICOS (ESCALERA PORCENTUALES) 179 Diagrama del gradiente porcentual creciente 182
Dariacuteo Garciacutea Montoya VII
INgENIEriacutea ECONoacutemICa
Foacutermula para calcular el P de una serie creciente porcentual 182 Foacutermula para calcular la primera cuota de una serie creciente porcentual 183 Gradiente porcentual decreciente 190 Problemas propuestos gradientes aritmeacuteticos y porcentuales 201 Problemas con gradientes aritmeacuteticos geomeacutetricos y con periacuteodos diferentes 206 Gradientes geomeacutetricos escalonados crecientes o decrecientes 208 Presentacioacuten general del gradiente geomeacutetrico escalonado 211 Foacutermula para calcular el valor presente de un gradiente geomeacutetrico o porcentual escalonado 212 Problemas propuestos 231
Capiacutetulo 9 la UVr 233 Unidad de Valor Real (UVR) 235 Manejo financiero de la UVR 236 Problemas propuestos 239 Creacutedito Hipotecario en UVR 241 Problemas propuestos 252
Capiacutetulo 10eValUaciOacuten econOacuteMica de alternatiVas 257 Comparacioacuten en valor presente de alternativas con vidas uacutetiles iguales 259 Comparacioacuten en valor presente de alternativas con vidas uacutetiles diferentes 264 Comparacioacuten de alternativas con el meacutetodo del CAUE (Costo Anual Uniforme Equivalente) 269 Problemas propuestos 276
Capiacutetulo 11 Bonos 281 Terminologiacutea baacutesica 283 Ejemplo de un proyecto de emisioacuten de bonos 284 Manejo Financiero de los bonos 290 Problemas generales de bonos 292
Capiacutetulo 12inFlaciOacuten 297 Causas principales 299 Otras causas laterales 299
VIII
Contenido
Efectos 299 Forma de remover los efectos de la inflacioacuten 299 Caacutelculos de VF considerando la inflacioacuten 301 Tasa para convertir los pesos de hoy en pesos del futuro
con poder de compra de hoy 301 Caacutelculo para factores de recuperacioacuten de capital 302
Problemas sobre la inflacioacuten 303 Problemas sobre devaluacioacuten 305
Bibliografiacutea 306
Dariacuteo Garciacutea Montoya IX
Con mucho carintildeo y reconocimiento a mi esposa y familia por su comprensioacuten
estiacutemulo y sacrificio Igualmente a mis alumnos que han
colaborado en la elaboracioacuten y presentacioacuten de este material
P r oacute L O g O
Las actividades y operaciones financieras han sido a traveacutes de la historia de la hushymanidad el eje principal del desarrollo y progreso que han permitido e impulsado la industrializacioacuten
Para lograr las mejores decisiones econoacutemicas cuando se hace el anaacutelisis de alternativas de inversioacuten es necesario conocer los principios baacutesicos de los proceshydimientos econoacutemicos y sus aplicaciones en el proceso del estudio de inversiones que garanticen una rentabilidad adecuada y un desarrollo progresivo en teacuterminos econoacutemicos
La decisioacuten de invertir tiene que ver con la estructura operacional de la empreshysa y con una de las funciones de la Administracioacuten Financiera que es definir coacutemo cuaacutendo y doacutende invertir
El estudio de la Ingenieriacutea Econoacutemica ofrece los conocimientos baacutesicos neshycesarios para la toma de decisiones y constituye una herramienta fundamental actualizada y equilibrada para manejar el dinero eficientemente a traveacutes del tiempo y teniendo como fines primordiales rentabilidad y oportunidades de inversioacuten
Se pretende en este texto que los estudiosos de esta disciplina encuentren las herramientas procedimientos matemaacuteticos y en general los elementos necesarios y suficientes para el anaacutelisis econoacutemico y la evaluacioacuten de alternativas de inversioacuten
Para lograr este objetivo la distribucioacuten de los temas se inicia con los conshyceptos baacutesicos necesarios para entender la terminologiacutea en el campo financiero y progresivamente se introduciraacuten los meacutetodos matemaacuteticos que se utilizan en el manejo del dinero cuando se tiene la posibilidad de inversioacuten
Uno de los factores determinantes en estos procesos es el conocimiento y el manejo de las tasas de intereacutes en sus diferentes denominaciones y sus transforshymaciones a las equivalencias que se deben utilizar Este tema seraacute estudiado en el capiacutetulo 2 para poder utilizarlas en los capiacutetulos posteriores cuando se presenten diferentes periacuteodos de pago que hagan necesario el uso de tasas equivalentes
Las herramientas que se utilizaraacuten ademaacutes de las foacutermulas y factores seraacuten inicialmente las calculadoras financieras de las cuales ademaacutes de ensentildear el manejo normal de ellas se explicaraacute la forma de programarlas cuando sea necesario
INgENIEriacutea ECONoacutemICa
La segunda gran herramienta es Excel y sus aplicaciones financieras A lo larshygo del texto se muestran soluciones obtenidas en esta hoja electroacutenica cuadros de pagos y graacuteficas explicativas
Adicionalmente en el complemento virtual elaborado para el libro se disentildeoacute un tutorial que ensentildea a resolver cualquier problema de los expuestos como ejemshyplos o propuestos y que antes fueron resueltos manualmente o con el uso de la calculadora
Con el estudio del archivos que componen este complemento virtual subido al Sistema de Informacioacuten en Liacutenea de ECOE y con el conocimiento de los conshyceptos teoacutericos y definiciones baacutesicas es posible que cualquier persona no experta en temas financieros pueda resolver sin la utilizacioacuten de foacutermulas ni calculadoras problemas de Ingenieriacutea Econoacutemica
En general el libro es un compendio sobre temas fundamentales del campo de las finanzas necesario para entender el mundo de los negocios Se utilizoacute un lenguaje claro sencillo praacutectico rico en conceptos con una amplia gama de casos resueltos utilizando foacutermulas y funciones financieras de Excel
Debo agradecer a mis alumnos de la Universidad Libre de Pereira quienes con sus inquietudes preguntas e intereacutes en el tema han apoyado la elaboracioacuten de este trabajo
El autor
XIV
Capiacutetulo 1
generalidades
generalidades
INgENIEriacutea ECONoacutemICa Es una teacutecnica que utiliza procedimientos meacutetodos y foacutermulas matemaacuteticas para analizar evaluar y comparar alternativas econoacutemicas y determinar cuaacutel es la mejor en teacuterminos econoacutemicos
En ingenieriacutea econoacutemica se utilizan algunos teacuterminos de los cuales es necesashyrio conocer su significado Ellos son
Analizar es un estudio sobre cuaacuteles seraacuten los ingresos y egresos que generaraacute la inversioacuten durante su vida uacutetil o tiempo de operacioacuten en una situacioacuten financiera o econoacutemica tal como una inversioacuten que se pretenda realizar
Evaluacioacuten una vez conocidos los flujos proyectados de caja (ingresos y egreshysos) que generaraacute la inversioacuten analizada se cuantifican los valores econoacutemicos a traveacutes del tiempo utilizando foacutermulas y procedimientos matemaacuteticos para detershyminar la rentabilidad y la viabilidad econoacutemica del proyecto
Esta evaluacioacuten se haraacute en teacuterminos porcentuales (tasa de retorno de la invershysioacuten rendimiento porcentual) y en teacuterminos de dinero
Alternativa se refiere a una opcioacuten u oportunidad de inversioacuten Por ejemplo proyectar el montaje de empresa industrial comercial de servicios comprar acshyciones bonos o constituir depoacutesitos (ahorros) en entidades financieras etceacutetera A cada alternativa siempre se le opone la contraria que consiste en no hacer la inversioacuten o en preferir otra si su rendimiento financiero es mejor
Los elementos de medida que se utilizan en la evaluacioacuten y comparacioacuten de alternativas son el dinero y el rendimiento o utilidad porcentual que genere cada alternativa (tasa de intereacutes)
El dinero es un medio circulante con poder de compra o adquisicioacuten de bieshynes o servicios Al igual que cualquier bien raiacutez (vehiacuteculos maquinaria etceacutetera) que se puede arrendar para que genere un canon de arrendamiento el dinero tambieacuten se puede arrendar (prestar depositar en una entidad financiera) para que genere un rendimiento pero en este caso este rendimiento se llama intereacutes
EL INTErEacuteS Y Su CLaSIFICaCIoacuteN El intereacutes es el dinero que genera maacutes dinero a traveacutes del tiempo cuando se invierte Es el valor del dinero en el tiempo o maacutes precisamente el cambio en la cantidad de dinero dushyrante un periacuteodo de tiempo cuando eacuteste se ha tomado en preacutestamo o se ha invertido
Asiacute como se paga por ejemplo un arrendamiento de un inmueble por usarlo de igual manera podriacuteamos asimilar el intereacutes como el dinero que se debe pagar por el uso de un capital tomado en preacutestamo
Ahora bien el intereacutes se clasifica en simple y compuesto (este uacuteltimo se estushydiaraacute completamente en el capiacutetulo 2)
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Intereacutes simple Una operacioacuten financiera se hace con intereacutes simple cuando durante todo el tiempo de la transaccioacuten soacutelo el capital genera intereses independientemente de si eacutestos se retiran (se cancelan) o no Es decir el intereacutes simple no se le adiciona al capital para generar nuevos intereses
El intereacutes se representa por la letra I (mayuacutescula) y se calcula asiacute
Intereacutes (I) = Cantidad acumulada - Inversioacuten inicial
Cantidad acumulada Cf
Cantidad inicial Ci
Ejemplo para cancelar una deuda de $10000 dentro de 3 antildeos debo pagar $13000 iquestCuaacutel es el intereacutes ganado
I = 13000 - 10000 = $3000
Observe que la unidad de medida del intereacutes son pesos (dinero)
Tasa de intereacutes
Es el intereacutes expresado en porcentaje y por unidad de tiempo Se representa con la letra i y se calcula asiacute
I = Cf ndash Ci (a) o Cf = Ci + I (b) Foacutermula 1
i = Intereacutes acumulado por unidad de tiempo
Cantidad inicial xx 100 i =
I
Ci x 100
Cuando se tienen varios periacuteodos unitarios (2 3 4hellip n periacuteodos) la foacutermula anterior se divide por el nuacutemero de periacuteodos
Simboacutelicamente la foacutermula se expresa asiacute
Foacutermula 2i = I x 100
n x Cantidad inicial i =
I x 100
n x Ci
siacutembolos CF Cantidad acumulada (Capital final Valor futuro) Ci Cantidad inicial (Capital inicial Valor presente) n Nuacutemero de periacuteodos (antildeos semestres meses trimestres diacuteas etc) I Intereacutes i Tasa de intereacutes
4
generalidades
La tasa de intereacutes simple se puede multiplicar o dividir para expresarla en unidades de tiempo diferentes Ejemplo una tasa del 2 simple mensual es equishyvalente a una tasa del 24 simple anual se multiplicoacute por 12 que son los meses del antildeo Una tasa del 9 simple semestral es equivalente a una tasa del 15 simple mensual se dividioacute por 6 que son los meses del semestre
Con el fin de simplificar la escritura de las foacutermulas omitiremos la escritura del valor ldquo100rdquo y utilizamos el i como nuacutemero iacutendice es decir el porcentaje expreshysado como nuacutemero decimal ejemplo i = 4 lo escribimos como i = 004
De acuerdo con la nomenclatura anterior y aplicando la simplificacioacuten antes descrita las ecuaciones o foacutermulas dadas se representan asiacute
Foacutermula 1 Foacutermula 2 Foacutermula 3
Remplazando en (b) la foacutermula 2
I = Cf ndash Ci (a) i = I
n i Ci Cf = Ci + i bull n bull Ci
Despejando Cf
Cf = Ci + I (b) I = i bull n bull Ci Cf = Ci (I + i bull n)
Problema 1 Se recibieron $60000 de intereacutes durante un semestre por un depoacutesito en un banshyco comercial Si el banco reconoce una tasa de intereacutes simple del 7 trimestral y liquida a sus clientes sobre saldos trimestrales iquestcuaacutel fue el capital depositado inicialmente respuesta $42857143
I = n bull i bull Ci I = $60000 n = 2 trimestres (un semestre) Ci = 60000007 x 2 = $42857143 I
Ci = i = 7 trimestral i i n
Problema 2 Si las condiciones de un preacutestamo con intereacutes simple se expresan mediante la ecuacioacuten
VF= 500 + 120 t
Donde VF es el valor futuro y t es el tiempo en antildeos determine a) La tasa de intereacutes simple R 24 b) El tiempo transcurrido para que el inversionista reciba $600 de intereacutes total
R 5 antildeos c) iquestCuaacutel seraacute la deuda inicial del quinto antildeo si el banco prestamista no ha recibido
intereses de mora y no cobra intereacutes de mora R 98000
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INgENIEriacutea ECONoacutemICa
solucioacuten a) I = Cf ndash Ci rarr Cf = Ci + I rarr Cf = Ci + Ci bull i bull n de foacutermula 4
de 1 darr darr darr
VF = 500 + 120t 120t = 500 x i x t de de3 porque t = n 2
i = 24
b) 120t = Ci bull i bull n = Intereacutes (I) = 600 t = 600120 = 5 antildeos
c) Cf4 = 500 + 120 x 4 = $980 Porque el final del antildeo 4 es el principio del antildeo 5
Problema 3 Pedro Ramiacuterez posee una letra de cambio de tres meses de vencimiento a intereacutes simple del 4 mensual Por necesidades de dinero lleva esta letra a una agencia de cambio (AC) y Ramiacuterez admite recibir un adelanto de $150000 de la AC iquestCuaacutento dinero debe recibir al final del traacutemite si la AC cobra un intereacutes simple del 7 menshysual en todas las operaciones y el valor nominal de la letra es de $300000 respuesta $154500
Problema 4 Juan Peacuterez recibe un preacutestamo extrabancario de $200000 Si el intereacutes convenido es del 6 mensual simple y canceloacute en total intereses por $216000 iquestpor cuaacutento tiempo mantuvo Peacuterez el preacutestamo
I = Ciin 216000 = 200000 x 006 x n n = 18 meses
Problema 5 El contador Morales consigue un preacutestamo de $3000000 a dos antildeos de plazo con una tasa de intereacutes simple del 3 bimestral iquestCuaacutento pagaraacute al final de los dos antildeos respuesta $4080000
Problema 6 iquestEn cuaacutento tiempo se triplica una inversioacuten con un intereacutes simple del 23 anual respuesta 869 antildeos
Cf = Ci + Ciin rarr 3Ci = Ci + Ci 023 n rarr n = 2023 = 869 antildeos
Conversioacuten a antildeos meses y diacuteas 069 x 12 = 828 meses 028 x 30 = 8 diacuteas 8 antildeos 8 meses 8 diacuteas
Problema 7 Una deuda se pactoacute pagarla en tres cuotas asiacute dentro de dos meses $100000 denshytro de cuatro meses $300000 dentro de cinco meses $500000 El intereacutes es simple
6
generalidades
y del 27 mensual El deudor le ofrece a su acreedor pagarle toda la deuda dentro de un mes con $840000 iquestSe debe aceptar esta propuesta
i = 27 mensual (simple) Cf = Ci (1 + i bull n) Ci = Cf divide (1 + i bull n) Calculamos la deuda hoy trasladando los flujos al periacuteodo cero Inicial de la cuota de 100000 en 2 Ci = 100000 divide (1 + 0027 x 2) Ci = 94877 Inicial de la cuota de 100000 en 4 Ci = 300000 divide (1 + 0027 x 4) Ci = 270758 Inicial de la cuota de 100000 en 5 Ci = 500000 divide (1 + 0027 x 5) Ci = 440529
Total hoy 806163 La deuda hoy llevaba al mes uno Cf = Ci (1 + i bull n)
Cf = 806163 (1 + 0027 x 1) Cf = 827930
Se debe aceptar la propuesta porque le ofrecen una cantidad mayor
Problema 8 iquestCuaacutel de las siguientes opciones de gratificacioacuten conviene maacutes a los intereses de un empleado a) recibir ahora $700 b) recibir ahora $200 y $600 a los 60 diacuteas c) recibir tres pagos iguales de $250 cu a 30 60 y 90 diacuteas
Tasa de intereacutes simple del 42 anual respuesta a) $700 b) $76064 c) $70142 mejor b
Problema 9 Usted tiene 3 cheques posfechados parar cobrar asiacute $150000 para dentro de 6 meses $135000 para dentro de ocho meses y $350000 para dentro de 12 meses Debido a una urgencia de efectivo se ve en la necesidad de negociar estos cheques en una casa de cambio que le cobra el 28 mensual simple iquestCuaacutento dinero espera recibir siacute la negociacioacuten la realiza en el diacutea de hoy respuesta $50069482
Problema 10 Pedro debe pagar tres deudas asiacute $1500000 dentro de cuatro meses $2500000 para dentro de seis meses y $3000000 para dentro de ocho meses Estas deudas fueron calculadas con un intereacutes simple de 25 mensual Pedro le propone a su acreedor pagarle hoy $6500000 para cancelar toda la deuda iquestDebe aceptar el acreedor esta oferta respuesta Valor deuda original en pesos de hoy $6037549 Debe aceptar la oferta de Pedro
Problema 11 Pedro tiene que pagar una letra de cambio de $2000000 dentro de ocho meses y otra de $3000000 dentro de 18 meses Su acreedor le acepta cambiar estos pagos por uno de $1500000 en el diacutea de hoy y otro pago al final del antildeo Calcular el valor de este uacuteltimo pago si la tasa de intereacutes es del 2 mensual simple
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respuesta $301322515
Problema 12 Una empresa tiene que cancelar dentro de dos antildeos una obligacioacuten de $5500000 y desea liquidarla sustituyeacutendola por dos pagos iguales en los meses 10 y 22 Si la tasa de intereacutes simple es del 3 mensual iquestcuaacutel es el valor de las cuotas respuesta $2217742
La IguaLDaD Y La EQuIVaLENCIa Estos dos conceptos a menudo se confunden o no se interpretan adecuadamente en teacuterminos econoacutemicos Vamos a tratar de establecer la diferencia entre ellos
Si asumimos una inflacioacuten de 10 anual y un artiacuteculo hoy vale $10000 dentro de un antildeo el mismo artiacuteculo tendraacute un costo de $11000 Esto quiere decir que hoy $10000 tendraacuten el mismo poder de compra que $11000 dentro de un antildeo Debeshymos entender que $10000 hoy son equivalentes a $11000 dentro de un antildeo pero no son iguales en cantidad
De otra manera si queremos comprar dentro de un antildeo un artiacuteculo que hoy vale $10000 debemos invertir el dinero hoy a una tasa del 10 anual para conseguir un intereacutes de $1000 y reunir $11000 dentro de un antildeo para comprar el mismo artiacuteculo
Si el precio de los artiacuteculos se infla a traveacutes del tiempo el dinero tambieacuten debe inflarse con una tasa financiera para conservar el poder de compra Si la tasa finanshyciera de la inversioacuten es igual a la inflacioacuten decimos que nuestro dinero conserva el poder compra Si la tasa financiera es mayor que la inflacioacuten por ejemplo 15 anual al cabo de un antildeo tendriacuteamos $11500 lo que genera una utilidad real de la inversioacuten por encima de la inflacioacuten de $500
Pero si la tasa financiera es inferior a la inflacioacuten por ejemplo 8 anual al cabo de un antildeo la inversioacuten logra acumular $10800 dinero que no alcanza a comshyprar el mismo artiacuteculo Decimos que nuestro dinero ha perdido poder de compra aunque tengamos $800 maacutes
En general cuando invertimos el dinero hoy a una tasa financiera al cabo de cierto tiempo este dinero se ha inflado con los intereses acumulados Si esperamos recibir dentro de cierto tiempo una cantidad de dinero y la negociacioacuten la hacemos hoy (tiempo presente) para saber a cuaacutento equivale hoy la negociacioacuten debemos desinflar esa cantidad (quitarle el intereacutes)
En resumen el dinero de hoy invertido a una tasa i durante un tiempo se infla (aumenta) pero el dinero del futuro llevado a valor presente se desinfla con la tasa i
La igualdad del dinero solo se puede dar cuando los diferentes flujos de dinero son trasladados todos a un mismo periacuteodo futuro o al presente
8
generalidades
conclusiones 1 Los dineros colocados en periacuteodos diferentes pueden ser equivalentes pero
nunca iguales 2 La igualdad del dinero soacutelo puede darse cuando los diferentes flujos de dinero
son trasladados a un mismo periacuteodo
Esto nos debe advertir que las foacutermulas que utilizaremos que son igualdades (=) tendraacuten como uno de los fines que trasladar dineros del presente al futuro (inflar) o del futuro al presente (desinflar)
FLuJOS DE CaJa Son los ingresos y egresos de dinero que ocurren en una empresa por su activad econoacutemica en un periacuteodo determinado Estos flujos de caja pueden ser pagos uacutenishycos (ocurren solo una vez) o seriados Los seriados pueden ser iguales (constantes en valor uniformes) crecientes cada vez o decrecientes cada vez
El crecimiento o decrecimiento puede ser constante aritmeacutetica o porcenshytualmente
Valor presente (P) Pagos uacutenicos Valor futuro (F)
Series uniformes (A) Flujos de caja
Crecientes o decrecientes aritmeacuteticamente Pagos seriados No uniformes
Crecientes o decrecientes en porcentaje
Graacutefico 1 Flujos de caja
Ejemplos de flujos de caja
Pagos uacutenicos
Cuando se hace referencia a pagos uacutenicos nos referimos taacutecitamente a los ingresos y egresos La misma referencia para los seriados Son uacutenicos porque solo ocurren una vez
Valor presente (P)
Pagar hoy un equipo un vehiacuteculo una propiedad cobrar hoy un dinero vender hoy un bien etceacutetera
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Valor futuro (F)
Vender algo dentro de cierto tiempo pagar una deuda dentro de cierto tiempo en general tener ingresos o egresos por una sola vez en tiempo futuro
Los conceptos de presente y futuro son relativos entre ellos Asumamos un ingreso hoy de $10000 un ingreso dentro de dos antildeos de $5000 y un ingreso de $8000 dentro de cinco
El ingreso de $10000 hoy es presente para los para los periacuteodos dos y cinco El ingreso de $5000 dentro de dos antildeos es futuro para el periacuteodo de hoy y
presente para el periacuteodo cinco El ingreso de $8000 es futuro para los periacuteodos de hoy y para el periacuteodo dos
Pagos seriados uniformes (a)
Recordemos que una serie es consecutiva por lo tanto los pagos deben ser conseshycutivos sin interrupciones y para que sean uniformes deben tener el mismo valor Ejemplos los sueldos fijos de un trabajador el canon de arrendamiento durante los 12 meses las cuotas iguales para pagar un creacutedito las dos primas semestrales el cargo fijo mensual de los servicios puacuteblicos etceacutetera
Seriados crecientes o decrecientes aritmeacuteticamente
Pagos mensuales trimestrales semestrales anuales etceacutetera de cuotas u obligacioshynes iniciando con un valor determinado y cada pago posterior se aumenta en una cantidad fija de pesos o disminuye una cantidad fija de pesos
Pagar o recibir cinco cuotas mensuales empezando con $200 y cada vez aushymenta o disminuye en $20
Creciente 200 220 240 260 280 Decreciente 200 180 160 140 120 El incremento o decrecimiento de $20 se llama Gradiente (G)
Seriados crecientes o decrecientes geomeacutetricamente
Pagos mensuales o anuales de cuotas u obligaciones iniciando con un valor detershyminado y cada pago se aumenta o disminuye en un porcentaje constante
Pagar o recibir cinco cuotas mensuales empezando con 200 y cada vez aumenshyta o disminuye en 10
Creciente 200 220 242 2662 29282 Decreciente 200 180 162 1458 13122
10
generalidades
Nomenclatura Los diferentes flujos de caja se representaraacuten mediante siacutembolos alfabeacuteticos para simplificar su escritura
Valor presente P Valor futuro F Serie uniforme A Tasa de intereacutes i Periacuteodos n
Las series crecientes o decrecientes las estudiaremos maacutes adelante
Periacuteodos Los periacuteodos son las diferentes unidades de tiempo que usualmente se utilizan en las operaciones financieras anuales semestrales o bianuales cuatrimestrales trishymestrales bimestrales o cada dos meses mensuales quincenales o bimensuales semanal y diario
Otras unidades de tiempo menos usadas son bienio o cada dos antildeos trienio o cada tres antildeos cuatrienio o cada cuatro antildeos quinquenio o lustro o cada cinco antildeos etceacutetera
Diagramas de flujos de caja Los diferentes flujos de caja se deben representar en diagramas que faciliten la vishysualizacioacuten y la interpretacioacuten de ellos para determinar la metodologiacutea que se debe seguir en la solucioacuten del problema econoacutemico propuesto
Para el diagrama se utiliza el plano cartesiano El eje horizontal de las X se denominaraacute eje del tiempo o de los periacuteodos En eacutel se dibujaraacuten los diferentes peshyriacuteodos (n) El eje vertical o de la ordenada se denominaraacute eje del dinero o flujo ($) Los ingresos se representan con flecha hacia arriba (flujo positivo) y los egresos con flecha hacia abajo (flujo negativo) El tiempo futuro se representa desde el origen hacia la derecha y el tiempo pasado desde el origen hacia la izquierda Por simplificacioacuten se puede omitir el dibujo del eje vertical
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Tiempo pasado $ Tiempo futuro Ingresos Ingresos
2000 hace 4 antildeos hubo 1000 ingreso uacutenico dentro de un ingreso dos antildeos
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 antildeos
Tiempo pasado 3000 cuatro cuotas anuales iguales Egresos Egresos
6000 una inversioacuten hoy Tiempo futuro Egresos
Graacutefico 2 Diagrama de flujos de caja
Problema 13 Graficar los siguientes flujos de caja una inversioacuten hoy de $20000 desde hace cinco antildeos y hasta dentro de dos antildeos ingresos de $4000 un ingreso de $5000 dentro de seis antildeos gastos desde hace un antildeo y hasta dentro de tres antildeos de $6000 anuales
5000 A = 4000
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6antildeos
A = 6000
P = 20000
Una forma maacutes simplificada para dibujar el diagrama anterior es omitiendo las flechas intermedias de las series uniformes y se sustituyen por una liacutenea horizontal que una el primer pago de la serie con el uacuteltimo
12
generalidades
5000A = 4000
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6antildeos
A = 6000 P = 20000
Problema 14 Elaborar el diagrama del siguiente flujo de caja ingresos anuales e iguales de $19000 desde hoy hasta el antildeo 27 un ingreso de $12500 en el sexto antildeo un ingreso de 80000 en el antildeo 31 otro ingreso de $42000 en antildeo 29 un egreso de $8000 en el antildeo 2 egresos anuales uniformes de $5000 del antildeo 4 al 28 y otro egreso anual uniforme de $25000 del antildeo 6 al 31
15000 42000
19000 80000
0 1 2 3 4 5 6 26 27 28 29 30 31antildeos
8000
25000
5000
Problema 15 Hoy se hace un depoacutesito en una entidad financiera por un valor de $16000000 A partir del quinto semestre se empezaraacute a retirar cada vez $250000 y hasta el semestre 16 Adicionalmente en el semestre 16 se podraacute retirar el resto del dinero que seraacute $10000000 y dejar la cuenta en cero Elaborar el diagrama de flujo de caja
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solucioacuten
F = 10000000
A = 250000 0 1 2 3 4 5 16 Semestres
P = $16000000
Problema 16 Dentro de nueve meses tengo una obligacioacuten hipotecaria por un valor de $4500000 Para cancelar este valor he decidido abrir hoy una cuenta bancaria La apertura de esta cuenta la hareacute con $500000 y cada mes posterior y hasta el final del noveno mes hareacute depoacutesitos iguales de $350000 Elaborar el diagrama de flujo de caja solucioacuten
F = 4500000
0 1 2 8 9 meses
A = 350000500000
Problema 17 Supongamos que una empresa pronostica que los primeros tres antildeos de funcionashymiento produciraacute peacuterdidas anuales decrecientes asiacute el primer antildeo perderaacute $9000 el segundo perderaacute $6000 el tercero perderaacute $3000 el cuarto estaraacute en el punto de equilibrio es decir tendraacute utilidades de $000 Del quinto antildeo en adelante empezaraacute a ganar $3000 el sexto ganaraacute $6000 y asiacute sucesivamente hasta el deacutecimo antildeo El valor inicial de la inversioacuten es de $50000 Elaborar el diagrama de flujo de caja solucioacuten
12000 15000 18000
P = 50000
6000 9000 0 3000
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 antildeos 9000 6000 3000
14
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Transformacioacuten de un intereacutes nominal a un intereacutes efectivo 23 Primer caso Periacuteodo de Pago = Periacuteodo de Capitalizacioacuten (PP = PC) 23 Segundo caso Periacuteodo de Pago lt Periacuteodo de Capitalizacioacuten (PP lt PC) 23 Tercer caso Periacuteodo de Pago gt Periacuteodo de Capitalizacioacuten (PP gt PC) 24
Uso de las calculadoras 24 Intereacutes anticipado 25
Transformacioacuten de intereacutes anticipado a intereacutes efectivo 25 Primer caso PP = PC Periacuteodo de pago = Periacuteodo de capitalizacioacuten 26 Segundo caso PP gt PC Periacuteodo de pago gt Periacuteodo de capitalizacioacuten 27 Tercer caso cuando PP lt PC Primero se reduce la ia
a igual periacuteodo del PP 28 Meacutetodo praacutectico 28 Tasas combinadas (ic) 31
Foacutermula para calcular la tasa combinada 32 Tasa combinada en descuentos 33
Problemas sobre tasas de intereacutes 34
Capiacutetulo 3FOacuterMUlas y Factores de recUperaciOacuten de capital 39 Foacutermulas y factores con pagos uacutenicos 41
Cantidad futura compuesta pago uacutenico (F) 41 Uso de los factores 45
Configuracioacuten de la calculadora 45 Valor presente pago uacutenico 48
Capiacutetulo 4 la aMortiZacion y la capitaliZaciOacuten 57 Foacutermulas y factores para flujos de caja con series uniformes 59 Uso del factor 61
Configuracioacuten de la calculadora 61 Cuadro de pagos o cuadro de amortizacioacuten 62 Valor presente de una serie uniforme 69 Vida infinita o perenne 74
Costo capitalizado y recuperacioacuten de capital cuando la vida es infinita 74 Problemas generales sobre series 77 Fondo de capitalizacioacuten (cuotas capitalizables) 81 Cantidad futura compuesta serie uniforme 85
Cantidad acumulada (capital maacutes intereses) con una serie de depoacutesitos iguales 85
VI
Contenido
Problemas que involucran series uniformes y pagos uacutenicos en periacuteodos diferentes 90 Problemas propuestos 94
Capiacutetulo 5 GASTOS RECURRENTES 101
Capiacutetulo 6PERIacuteODOS DESCONOCIDOS Y DE LA TIR 109 Caacutelculo de n periacuteodos desconocidos 111 Tasa Interna de Retorno (TIR) 116
Procedimiento para calcular la TIR 117 Problemas con series y con periacuteodos diferentes 124 Problemas propuestos 125
Capiacutetulo 7FOacuteRMULAS QUE INVOLUCRAN SERIES ARITMEacuteTICAS GRADIENTES ARITMEacuteTICOS CRECIENTES Y DECRECIENTES 131 Seriados crecientes o decrecientes aritmeacuteticamente 133 Valor presente del gradiente aritmeacutetico creciente 134 Manejo del gradiente creciente 135 Programacioacuten de la calculadora financiera 139 Poblemas propuestos 146 Transformacioacuten de una serie gradiente creciente en una serie uniforme 147 Gradiente aritmeacutetico creciente infinito 151 Gradiente aritmeacutetico decreciente Equivalencia en valor presente 152 Manejo del signo del gradiente 157 Taller de gradientes aritmeacuteticos Caacutelculo de i y de n 158 Gradiente aritmeacutetico decreciente infinito 162 Transformacioacuten del gradiente decreciente a una serie uniforme 163 Caso especial de los gradientes aritmeacuteticos decrecientes 166
Problemas propuestos 167 Problemas con gradientes aritmeacuteticos y periacuteodos diferentes 168 Gradiente Aritmeacutetico Escalonado 171 Manejo matemaacutetico de los gradientes aritmeacuteticos escalonados 172
Capiacutetulo 8GRADIENTES GEOMEacuteTRICOS (ESCALERA PORCENTUALES) 179 Diagrama del gradiente porcentual creciente 182
Dariacuteo Garciacutea Montoya VII
INgENIEriacutea ECONoacutemICa
Foacutermula para calcular el P de una serie creciente porcentual 182 Foacutermula para calcular la primera cuota de una serie creciente porcentual 183 Gradiente porcentual decreciente 190 Problemas propuestos gradientes aritmeacuteticos y porcentuales 201 Problemas con gradientes aritmeacuteticos geomeacutetricos y con periacuteodos diferentes 206 Gradientes geomeacutetricos escalonados crecientes o decrecientes 208 Presentacioacuten general del gradiente geomeacutetrico escalonado 211 Foacutermula para calcular el valor presente de un gradiente geomeacutetrico o porcentual escalonado 212 Problemas propuestos 231
Capiacutetulo 9 la UVr 233 Unidad de Valor Real (UVR) 235 Manejo financiero de la UVR 236 Problemas propuestos 239 Creacutedito Hipotecario en UVR 241 Problemas propuestos 252
Capiacutetulo 10eValUaciOacuten econOacuteMica de alternatiVas 257 Comparacioacuten en valor presente de alternativas con vidas uacutetiles iguales 259 Comparacioacuten en valor presente de alternativas con vidas uacutetiles diferentes 264 Comparacioacuten de alternativas con el meacutetodo del CAUE (Costo Anual Uniforme Equivalente) 269 Problemas propuestos 276
Capiacutetulo 11 Bonos 281 Terminologiacutea baacutesica 283 Ejemplo de un proyecto de emisioacuten de bonos 284 Manejo Financiero de los bonos 290 Problemas generales de bonos 292
Capiacutetulo 12inFlaciOacuten 297 Causas principales 299 Otras causas laterales 299
VIII
Contenido
Efectos 299 Forma de remover los efectos de la inflacioacuten 299 Caacutelculos de VF considerando la inflacioacuten 301 Tasa para convertir los pesos de hoy en pesos del futuro
con poder de compra de hoy 301 Caacutelculo para factores de recuperacioacuten de capital 302
Problemas sobre la inflacioacuten 303 Problemas sobre devaluacioacuten 305
Bibliografiacutea 306
Dariacuteo Garciacutea Montoya IX
Con mucho carintildeo y reconocimiento a mi esposa y familia por su comprensioacuten
estiacutemulo y sacrificio Igualmente a mis alumnos que han
colaborado en la elaboracioacuten y presentacioacuten de este material
P r oacute L O g O
Las actividades y operaciones financieras han sido a traveacutes de la historia de la hushymanidad el eje principal del desarrollo y progreso que han permitido e impulsado la industrializacioacuten
Para lograr las mejores decisiones econoacutemicas cuando se hace el anaacutelisis de alternativas de inversioacuten es necesario conocer los principios baacutesicos de los proceshydimientos econoacutemicos y sus aplicaciones en el proceso del estudio de inversiones que garanticen una rentabilidad adecuada y un desarrollo progresivo en teacuterminos econoacutemicos
La decisioacuten de invertir tiene que ver con la estructura operacional de la empreshysa y con una de las funciones de la Administracioacuten Financiera que es definir coacutemo cuaacutendo y doacutende invertir
El estudio de la Ingenieriacutea Econoacutemica ofrece los conocimientos baacutesicos neshycesarios para la toma de decisiones y constituye una herramienta fundamental actualizada y equilibrada para manejar el dinero eficientemente a traveacutes del tiempo y teniendo como fines primordiales rentabilidad y oportunidades de inversioacuten
Se pretende en este texto que los estudiosos de esta disciplina encuentren las herramientas procedimientos matemaacuteticos y en general los elementos necesarios y suficientes para el anaacutelisis econoacutemico y la evaluacioacuten de alternativas de inversioacuten
Para lograr este objetivo la distribucioacuten de los temas se inicia con los conshyceptos baacutesicos necesarios para entender la terminologiacutea en el campo financiero y progresivamente se introduciraacuten los meacutetodos matemaacuteticos que se utilizan en el manejo del dinero cuando se tiene la posibilidad de inversioacuten
Uno de los factores determinantes en estos procesos es el conocimiento y el manejo de las tasas de intereacutes en sus diferentes denominaciones y sus transforshymaciones a las equivalencias que se deben utilizar Este tema seraacute estudiado en el capiacutetulo 2 para poder utilizarlas en los capiacutetulos posteriores cuando se presenten diferentes periacuteodos de pago que hagan necesario el uso de tasas equivalentes
Las herramientas que se utilizaraacuten ademaacutes de las foacutermulas y factores seraacuten inicialmente las calculadoras financieras de las cuales ademaacutes de ensentildear el manejo normal de ellas se explicaraacute la forma de programarlas cuando sea necesario
INgENIEriacutea ECONoacutemICa
La segunda gran herramienta es Excel y sus aplicaciones financieras A lo larshygo del texto se muestran soluciones obtenidas en esta hoja electroacutenica cuadros de pagos y graacuteficas explicativas
Adicionalmente en el complemento virtual elaborado para el libro se disentildeoacute un tutorial que ensentildea a resolver cualquier problema de los expuestos como ejemshyplos o propuestos y que antes fueron resueltos manualmente o con el uso de la calculadora
Con el estudio del archivos que componen este complemento virtual subido al Sistema de Informacioacuten en Liacutenea de ECOE y con el conocimiento de los conshyceptos teoacutericos y definiciones baacutesicas es posible que cualquier persona no experta en temas financieros pueda resolver sin la utilizacioacuten de foacutermulas ni calculadoras problemas de Ingenieriacutea Econoacutemica
En general el libro es un compendio sobre temas fundamentales del campo de las finanzas necesario para entender el mundo de los negocios Se utilizoacute un lenguaje claro sencillo praacutectico rico en conceptos con una amplia gama de casos resueltos utilizando foacutermulas y funciones financieras de Excel
Debo agradecer a mis alumnos de la Universidad Libre de Pereira quienes con sus inquietudes preguntas e intereacutes en el tema han apoyado la elaboracioacuten de este trabajo
El autor
XIV
Capiacutetulo 1
generalidades
generalidades
INgENIEriacutea ECONoacutemICa Es una teacutecnica que utiliza procedimientos meacutetodos y foacutermulas matemaacuteticas para analizar evaluar y comparar alternativas econoacutemicas y determinar cuaacutel es la mejor en teacuterminos econoacutemicos
En ingenieriacutea econoacutemica se utilizan algunos teacuterminos de los cuales es necesashyrio conocer su significado Ellos son
Analizar es un estudio sobre cuaacuteles seraacuten los ingresos y egresos que generaraacute la inversioacuten durante su vida uacutetil o tiempo de operacioacuten en una situacioacuten financiera o econoacutemica tal como una inversioacuten que se pretenda realizar
Evaluacioacuten una vez conocidos los flujos proyectados de caja (ingresos y egreshysos) que generaraacute la inversioacuten analizada se cuantifican los valores econoacutemicos a traveacutes del tiempo utilizando foacutermulas y procedimientos matemaacuteticos para detershyminar la rentabilidad y la viabilidad econoacutemica del proyecto
Esta evaluacioacuten se haraacute en teacuterminos porcentuales (tasa de retorno de la invershysioacuten rendimiento porcentual) y en teacuterminos de dinero
Alternativa se refiere a una opcioacuten u oportunidad de inversioacuten Por ejemplo proyectar el montaje de empresa industrial comercial de servicios comprar acshyciones bonos o constituir depoacutesitos (ahorros) en entidades financieras etceacutetera A cada alternativa siempre se le opone la contraria que consiste en no hacer la inversioacuten o en preferir otra si su rendimiento financiero es mejor
Los elementos de medida que se utilizan en la evaluacioacuten y comparacioacuten de alternativas son el dinero y el rendimiento o utilidad porcentual que genere cada alternativa (tasa de intereacutes)
El dinero es un medio circulante con poder de compra o adquisicioacuten de bieshynes o servicios Al igual que cualquier bien raiacutez (vehiacuteculos maquinaria etceacutetera) que se puede arrendar para que genere un canon de arrendamiento el dinero tambieacuten se puede arrendar (prestar depositar en una entidad financiera) para que genere un rendimiento pero en este caso este rendimiento se llama intereacutes
EL INTErEacuteS Y Su CLaSIFICaCIoacuteN El intereacutes es el dinero que genera maacutes dinero a traveacutes del tiempo cuando se invierte Es el valor del dinero en el tiempo o maacutes precisamente el cambio en la cantidad de dinero dushyrante un periacuteodo de tiempo cuando eacuteste se ha tomado en preacutestamo o se ha invertido
Asiacute como se paga por ejemplo un arrendamiento de un inmueble por usarlo de igual manera podriacuteamos asimilar el intereacutes como el dinero que se debe pagar por el uso de un capital tomado en preacutestamo
Ahora bien el intereacutes se clasifica en simple y compuesto (este uacuteltimo se estushydiaraacute completamente en el capiacutetulo 2)
Dariacuteo Garciacutea Montoya | CaPiacuteTuLO 1 3
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Intereacutes simple Una operacioacuten financiera se hace con intereacutes simple cuando durante todo el tiempo de la transaccioacuten soacutelo el capital genera intereses independientemente de si eacutestos se retiran (se cancelan) o no Es decir el intereacutes simple no se le adiciona al capital para generar nuevos intereses
El intereacutes se representa por la letra I (mayuacutescula) y se calcula asiacute
Intereacutes (I) = Cantidad acumulada - Inversioacuten inicial
Cantidad acumulada Cf
Cantidad inicial Ci
Ejemplo para cancelar una deuda de $10000 dentro de 3 antildeos debo pagar $13000 iquestCuaacutel es el intereacutes ganado
I = 13000 - 10000 = $3000
Observe que la unidad de medida del intereacutes son pesos (dinero)
Tasa de intereacutes
Es el intereacutes expresado en porcentaje y por unidad de tiempo Se representa con la letra i y se calcula asiacute
I = Cf ndash Ci (a) o Cf = Ci + I (b) Foacutermula 1
i = Intereacutes acumulado por unidad de tiempo
Cantidad inicial xx 100 i =
I
Ci x 100
Cuando se tienen varios periacuteodos unitarios (2 3 4hellip n periacuteodos) la foacutermula anterior se divide por el nuacutemero de periacuteodos
Simboacutelicamente la foacutermula se expresa asiacute
Foacutermula 2i = I x 100
n x Cantidad inicial i =
I x 100
n x Ci
siacutembolos CF Cantidad acumulada (Capital final Valor futuro) Ci Cantidad inicial (Capital inicial Valor presente) n Nuacutemero de periacuteodos (antildeos semestres meses trimestres diacuteas etc) I Intereacutes i Tasa de intereacutes
4
generalidades
La tasa de intereacutes simple se puede multiplicar o dividir para expresarla en unidades de tiempo diferentes Ejemplo una tasa del 2 simple mensual es equishyvalente a una tasa del 24 simple anual se multiplicoacute por 12 que son los meses del antildeo Una tasa del 9 simple semestral es equivalente a una tasa del 15 simple mensual se dividioacute por 6 que son los meses del semestre
Con el fin de simplificar la escritura de las foacutermulas omitiremos la escritura del valor ldquo100rdquo y utilizamos el i como nuacutemero iacutendice es decir el porcentaje expreshysado como nuacutemero decimal ejemplo i = 4 lo escribimos como i = 004
De acuerdo con la nomenclatura anterior y aplicando la simplificacioacuten antes descrita las ecuaciones o foacutermulas dadas se representan asiacute
Foacutermula 1 Foacutermula 2 Foacutermula 3
Remplazando en (b) la foacutermula 2
I = Cf ndash Ci (a) i = I
n i Ci Cf = Ci + i bull n bull Ci
Despejando Cf
Cf = Ci + I (b) I = i bull n bull Ci Cf = Ci (I + i bull n)
Problema 1 Se recibieron $60000 de intereacutes durante un semestre por un depoacutesito en un banshyco comercial Si el banco reconoce una tasa de intereacutes simple del 7 trimestral y liquida a sus clientes sobre saldos trimestrales iquestcuaacutel fue el capital depositado inicialmente respuesta $42857143
I = n bull i bull Ci I = $60000 n = 2 trimestres (un semestre) Ci = 60000007 x 2 = $42857143 I
Ci = i = 7 trimestral i i n
Problema 2 Si las condiciones de un preacutestamo con intereacutes simple se expresan mediante la ecuacioacuten
VF= 500 + 120 t
Donde VF es el valor futuro y t es el tiempo en antildeos determine a) La tasa de intereacutes simple R 24 b) El tiempo transcurrido para que el inversionista reciba $600 de intereacutes total
R 5 antildeos c) iquestCuaacutel seraacute la deuda inicial del quinto antildeo si el banco prestamista no ha recibido
intereses de mora y no cobra intereacutes de mora R 98000
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solucioacuten a) I = Cf ndash Ci rarr Cf = Ci + I rarr Cf = Ci + Ci bull i bull n de foacutermula 4
de 1 darr darr darr
VF = 500 + 120t 120t = 500 x i x t de de3 porque t = n 2
i = 24
b) 120t = Ci bull i bull n = Intereacutes (I) = 600 t = 600120 = 5 antildeos
c) Cf4 = 500 + 120 x 4 = $980 Porque el final del antildeo 4 es el principio del antildeo 5
Problema 3 Pedro Ramiacuterez posee una letra de cambio de tres meses de vencimiento a intereacutes simple del 4 mensual Por necesidades de dinero lleva esta letra a una agencia de cambio (AC) y Ramiacuterez admite recibir un adelanto de $150000 de la AC iquestCuaacutento dinero debe recibir al final del traacutemite si la AC cobra un intereacutes simple del 7 menshysual en todas las operaciones y el valor nominal de la letra es de $300000 respuesta $154500
Problema 4 Juan Peacuterez recibe un preacutestamo extrabancario de $200000 Si el intereacutes convenido es del 6 mensual simple y canceloacute en total intereses por $216000 iquestpor cuaacutento tiempo mantuvo Peacuterez el preacutestamo
I = Ciin 216000 = 200000 x 006 x n n = 18 meses
Problema 5 El contador Morales consigue un preacutestamo de $3000000 a dos antildeos de plazo con una tasa de intereacutes simple del 3 bimestral iquestCuaacutento pagaraacute al final de los dos antildeos respuesta $4080000
Problema 6 iquestEn cuaacutento tiempo se triplica una inversioacuten con un intereacutes simple del 23 anual respuesta 869 antildeos
Cf = Ci + Ciin rarr 3Ci = Ci + Ci 023 n rarr n = 2023 = 869 antildeos
Conversioacuten a antildeos meses y diacuteas 069 x 12 = 828 meses 028 x 30 = 8 diacuteas 8 antildeos 8 meses 8 diacuteas
Problema 7 Una deuda se pactoacute pagarla en tres cuotas asiacute dentro de dos meses $100000 denshytro de cuatro meses $300000 dentro de cinco meses $500000 El intereacutes es simple
6
generalidades
y del 27 mensual El deudor le ofrece a su acreedor pagarle toda la deuda dentro de un mes con $840000 iquestSe debe aceptar esta propuesta
i = 27 mensual (simple) Cf = Ci (1 + i bull n) Ci = Cf divide (1 + i bull n) Calculamos la deuda hoy trasladando los flujos al periacuteodo cero Inicial de la cuota de 100000 en 2 Ci = 100000 divide (1 + 0027 x 2) Ci = 94877 Inicial de la cuota de 100000 en 4 Ci = 300000 divide (1 + 0027 x 4) Ci = 270758 Inicial de la cuota de 100000 en 5 Ci = 500000 divide (1 + 0027 x 5) Ci = 440529
Total hoy 806163 La deuda hoy llevaba al mes uno Cf = Ci (1 + i bull n)
Cf = 806163 (1 + 0027 x 1) Cf = 827930
Se debe aceptar la propuesta porque le ofrecen una cantidad mayor
Problema 8 iquestCuaacutel de las siguientes opciones de gratificacioacuten conviene maacutes a los intereses de un empleado a) recibir ahora $700 b) recibir ahora $200 y $600 a los 60 diacuteas c) recibir tres pagos iguales de $250 cu a 30 60 y 90 diacuteas
Tasa de intereacutes simple del 42 anual respuesta a) $700 b) $76064 c) $70142 mejor b
Problema 9 Usted tiene 3 cheques posfechados parar cobrar asiacute $150000 para dentro de 6 meses $135000 para dentro de ocho meses y $350000 para dentro de 12 meses Debido a una urgencia de efectivo se ve en la necesidad de negociar estos cheques en una casa de cambio que le cobra el 28 mensual simple iquestCuaacutento dinero espera recibir siacute la negociacioacuten la realiza en el diacutea de hoy respuesta $50069482
Problema 10 Pedro debe pagar tres deudas asiacute $1500000 dentro de cuatro meses $2500000 para dentro de seis meses y $3000000 para dentro de ocho meses Estas deudas fueron calculadas con un intereacutes simple de 25 mensual Pedro le propone a su acreedor pagarle hoy $6500000 para cancelar toda la deuda iquestDebe aceptar el acreedor esta oferta respuesta Valor deuda original en pesos de hoy $6037549 Debe aceptar la oferta de Pedro
Problema 11 Pedro tiene que pagar una letra de cambio de $2000000 dentro de ocho meses y otra de $3000000 dentro de 18 meses Su acreedor le acepta cambiar estos pagos por uno de $1500000 en el diacutea de hoy y otro pago al final del antildeo Calcular el valor de este uacuteltimo pago si la tasa de intereacutes es del 2 mensual simple
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respuesta $301322515
Problema 12 Una empresa tiene que cancelar dentro de dos antildeos una obligacioacuten de $5500000 y desea liquidarla sustituyeacutendola por dos pagos iguales en los meses 10 y 22 Si la tasa de intereacutes simple es del 3 mensual iquestcuaacutel es el valor de las cuotas respuesta $2217742
La IguaLDaD Y La EQuIVaLENCIa Estos dos conceptos a menudo se confunden o no se interpretan adecuadamente en teacuterminos econoacutemicos Vamos a tratar de establecer la diferencia entre ellos
Si asumimos una inflacioacuten de 10 anual y un artiacuteculo hoy vale $10000 dentro de un antildeo el mismo artiacuteculo tendraacute un costo de $11000 Esto quiere decir que hoy $10000 tendraacuten el mismo poder de compra que $11000 dentro de un antildeo Debeshymos entender que $10000 hoy son equivalentes a $11000 dentro de un antildeo pero no son iguales en cantidad
De otra manera si queremos comprar dentro de un antildeo un artiacuteculo que hoy vale $10000 debemos invertir el dinero hoy a una tasa del 10 anual para conseguir un intereacutes de $1000 y reunir $11000 dentro de un antildeo para comprar el mismo artiacuteculo
Si el precio de los artiacuteculos se infla a traveacutes del tiempo el dinero tambieacuten debe inflarse con una tasa financiera para conservar el poder de compra Si la tasa finanshyciera de la inversioacuten es igual a la inflacioacuten decimos que nuestro dinero conserva el poder compra Si la tasa financiera es mayor que la inflacioacuten por ejemplo 15 anual al cabo de un antildeo tendriacuteamos $11500 lo que genera una utilidad real de la inversioacuten por encima de la inflacioacuten de $500
Pero si la tasa financiera es inferior a la inflacioacuten por ejemplo 8 anual al cabo de un antildeo la inversioacuten logra acumular $10800 dinero que no alcanza a comshyprar el mismo artiacuteculo Decimos que nuestro dinero ha perdido poder de compra aunque tengamos $800 maacutes
En general cuando invertimos el dinero hoy a una tasa financiera al cabo de cierto tiempo este dinero se ha inflado con los intereses acumulados Si esperamos recibir dentro de cierto tiempo una cantidad de dinero y la negociacioacuten la hacemos hoy (tiempo presente) para saber a cuaacutento equivale hoy la negociacioacuten debemos desinflar esa cantidad (quitarle el intereacutes)
En resumen el dinero de hoy invertido a una tasa i durante un tiempo se infla (aumenta) pero el dinero del futuro llevado a valor presente se desinfla con la tasa i
La igualdad del dinero solo se puede dar cuando los diferentes flujos de dinero son trasladados todos a un mismo periacuteodo futuro o al presente
8
generalidades
conclusiones 1 Los dineros colocados en periacuteodos diferentes pueden ser equivalentes pero
nunca iguales 2 La igualdad del dinero soacutelo puede darse cuando los diferentes flujos de dinero
son trasladados a un mismo periacuteodo
Esto nos debe advertir que las foacutermulas que utilizaremos que son igualdades (=) tendraacuten como uno de los fines que trasladar dineros del presente al futuro (inflar) o del futuro al presente (desinflar)
FLuJOS DE CaJa Son los ingresos y egresos de dinero que ocurren en una empresa por su activad econoacutemica en un periacuteodo determinado Estos flujos de caja pueden ser pagos uacutenishycos (ocurren solo una vez) o seriados Los seriados pueden ser iguales (constantes en valor uniformes) crecientes cada vez o decrecientes cada vez
El crecimiento o decrecimiento puede ser constante aritmeacutetica o porcenshytualmente
Valor presente (P) Pagos uacutenicos Valor futuro (F)
Series uniformes (A) Flujos de caja
Crecientes o decrecientes aritmeacuteticamente Pagos seriados No uniformes
Crecientes o decrecientes en porcentaje
Graacutefico 1 Flujos de caja
Ejemplos de flujos de caja
Pagos uacutenicos
Cuando se hace referencia a pagos uacutenicos nos referimos taacutecitamente a los ingresos y egresos La misma referencia para los seriados Son uacutenicos porque solo ocurren una vez
Valor presente (P)
Pagar hoy un equipo un vehiacuteculo una propiedad cobrar hoy un dinero vender hoy un bien etceacutetera
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Valor futuro (F)
Vender algo dentro de cierto tiempo pagar una deuda dentro de cierto tiempo en general tener ingresos o egresos por una sola vez en tiempo futuro
Los conceptos de presente y futuro son relativos entre ellos Asumamos un ingreso hoy de $10000 un ingreso dentro de dos antildeos de $5000 y un ingreso de $8000 dentro de cinco
El ingreso de $10000 hoy es presente para los para los periacuteodos dos y cinco El ingreso de $5000 dentro de dos antildeos es futuro para el periacuteodo de hoy y
presente para el periacuteodo cinco El ingreso de $8000 es futuro para los periacuteodos de hoy y para el periacuteodo dos
Pagos seriados uniformes (a)
Recordemos que una serie es consecutiva por lo tanto los pagos deben ser conseshycutivos sin interrupciones y para que sean uniformes deben tener el mismo valor Ejemplos los sueldos fijos de un trabajador el canon de arrendamiento durante los 12 meses las cuotas iguales para pagar un creacutedito las dos primas semestrales el cargo fijo mensual de los servicios puacuteblicos etceacutetera
Seriados crecientes o decrecientes aritmeacuteticamente
Pagos mensuales trimestrales semestrales anuales etceacutetera de cuotas u obligacioshynes iniciando con un valor determinado y cada pago posterior se aumenta en una cantidad fija de pesos o disminuye una cantidad fija de pesos
Pagar o recibir cinco cuotas mensuales empezando con $200 y cada vez aushymenta o disminuye en $20
Creciente 200 220 240 260 280 Decreciente 200 180 160 140 120 El incremento o decrecimiento de $20 se llama Gradiente (G)
Seriados crecientes o decrecientes geomeacutetricamente
Pagos mensuales o anuales de cuotas u obligaciones iniciando con un valor detershyminado y cada pago se aumenta o disminuye en un porcentaje constante
Pagar o recibir cinco cuotas mensuales empezando con 200 y cada vez aumenshyta o disminuye en 10
Creciente 200 220 242 2662 29282 Decreciente 200 180 162 1458 13122
10
generalidades
Nomenclatura Los diferentes flujos de caja se representaraacuten mediante siacutembolos alfabeacuteticos para simplificar su escritura
Valor presente P Valor futuro F Serie uniforme A Tasa de intereacutes i Periacuteodos n
Las series crecientes o decrecientes las estudiaremos maacutes adelante
Periacuteodos Los periacuteodos son las diferentes unidades de tiempo que usualmente se utilizan en las operaciones financieras anuales semestrales o bianuales cuatrimestrales trishymestrales bimestrales o cada dos meses mensuales quincenales o bimensuales semanal y diario
Otras unidades de tiempo menos usadas son bienio o cada dos antildeos trienio o cada tres antildeos cuatrienio o cada cuatro antildeos quinquenio o lustro o cada cinco antildeos etceacutetera
Diagramas de flujos de caja Los diferentes flujos de caja se deben representar en diagramas que faciliten la vishysualizacioacuten y la interpretacioacuten de ellos para determinar la metodologiacutea que se debe seguir en la solucioacuten del problema econoacutemico propuesto
Para el diagrama se utiliza el plano cartesiano El eje horizontal de las X se denominaraacute eje del tiempo o de los periacuteodos En eacutel se dibujaraacuten los diferentes peshyriacuteodos (n) El eje vertical o de la ordenada se denominaraacute eje del dinero o flujo ($) Los ingresos se representan con flecha hacia arriba (flujo positivo) y los egresos con flecha hacia abajo (flujo negativo) El tiempo futuro se representa desde el origen hacia la derecha y el tiempo pasado desde el origen hacia la izquierda Por simplificacioacuten se puede omitir el dibujo del eje vertical
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Tiempo pasado $ Tiempo futuro Ingresos Ingresos
2000 hace 4 antildeos hubo 1000 ingreso uacutenico dentro de un ingreso dos antildeos
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 antildeos
Tiempo pasado 3000 cuatro cuotas anuales iguales Egresos Egresos
6000 una inversioacuten hoy Tiempo futuro Egresos
Graacutefico 2 Diagrama de flujos de caja
Problema 13 Graficar los siguientes flujos de caja una inversioacuten hoy de $20000 desde hace cinco antildeos y hasta dentro de dos antildeos ingresos de $4000 un ingreso de $5000 dentro de seis antildeos gastos desde hace un antildeo y hasta dentro de tres antildeos de $6000 anuales
5000 A = 4000
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6antildeos
A = 6000
P = 20000
Una forma maacutes simplificada para dibujar el diagrama anterior es omitiendo las flechas intermedias de las series uniformes y se sustituyen por una liacutenea horizontal que una el primer pago de la serie con el uacuteltimo
12
generalidades
5000A = 4000
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6antildeos
A = 6000 P = 20000
Problema 14 Elaborar el diagrama del siguiente flujo de caja ingresos anuales e iguales de $19000 desde hoy hasta el antildeo 27 un ingreso de $12500 en el sexto antildeo un ingreso de 80000 en el antildeo 31 otro ingreso de $42000 en antildeo 29 un egreso de $8000 en el antildeo 2 egresos anuales uniformes de $5000 del antildeo 4 al 28 y otro egreso anual uniforme de $25000 del antildeo 6 al 31
15000 42000
19000 80000
0 1 2 3 4 5 6 26 27 28 29 30 31antildeos
8000
25000
5000
Problema 15 Hoy se hace un depoacutesito en una entidad financiera por un valor de $16000000 A partir del quinto semestre se empezaraacute a retirar cada vez $250000 y hasta el semestre 16 Adicionalmente en el semestre 16 se podraacute retirar el resto del dinero que seraacute $10000000 y dejar la cuenta en cero Elaborar el diagrama de flujo de caja
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solucioacuten
F = 10000000
A = 250000 0 1 2 3 4 5 16 Semestres
P = $16000000
Problema 16 Dentro de nueve meses tengo una obligacioacuten hipotecaria por un valor de $4500000 Para cancelar este valor he decidido abrir hoy una cuenta bancaria La apertura de esta cuenta la hareacute con $500000 y cada mes posterior y hasta el final del noveno mes hareacute depoacutesitos iguales de $350000 Elaborar el diagrama de flujo de caja solucioacuten
F = 4500000
0 1 2 8 9 meses
A = 350000500000
Problema 17 Supongamos que una empresa pronostica que los primeros tres antildeos de funcionashymiento produciraacute peacuterdidas anuales decrecientes asiacute el primer antildeo perderaacute $9000 el segundo perderaacute $6000 el tercero perderaacute $3000 el cuarto estaraacute en el punto de equilibrio es decir tendraacute utilidades de $000 Del quinto antildeo en adelante empezaraacute a ganar $3000 el sexto ganaraacute $6000 y asiacute sucesivamente hasta el deacutecimo antildeo El valor inicial de la inversioacuten es de $50000 Elaborar el diagrama de flujo de caja solucioacuten
12000 15000 18000
P = 50000
6000 9000 0 3000
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 antildeos 9000 6000 3000
14
Contenido
Problemas que involucran series uniformes y pagos uacutenicos en periacuteodos diferentes 90 Problemas propuestos 94
Capiacutetulo 5 GASTOS RECURRENTES 101
Capiacutetulo 6PERIacuteODOS DESCONOCIDOS Y DE LA TIR 109 Caacutelculo de n periacuteodos desconocidos 111 Tasa Interna de Retorno (TIR) 116
Procedimiento para calcular la TIR 117 Problemas con series y con periacuteodos diferentes 124 Problemas propuestos 125
Capiacutetulo 7FOacuteRMULAS QUE INVOLUCRAN SERIES ARITMEacuteTICAS GRADIENTES ARITMEacuteTICOS CRECIENTES Y DECRECIENTES 131 Seriados crecientes o decrecientes aritmeacuteticamente 133 Valor presente del gradiente aritmeacutetico creciente 134 Manejo del gradiente creciente 135 Programacioacuten de la calculadora financiera 139 Poblemas propuestos 146 Transformacioacuten de una serie gradiente creciente en una serie uniforme 147 Gradiente aritmeacutetico creciente infinito 151 Gradiente aritmeacutetico decreciente Equivalencia en valor presente 152 Manejo del signo del gradiente 157 Taller de gradientes aritmeacuteticos Caacutelculo de i y de n 158 Gradiente aritmeacutetico decreciente infinito 162 Transformacioacuten del gradiente decreciente a una serie uniforme 163 Caso especial de los gradientes aritmeacuteticos decrecientes 166
Problemas propuestos 167 Problemas con gradientes aritmeacuteticos y periacuteodos diferentes 168 Gradiente Aritmeacutetico Escalonado 171 Manejo matemaacutetico de los gradientes aritmeacuteticos escalonados 172
Capiacutetulo 8GRADIENTES GEOMEacuteTRICOS (ESCALERA PORCENTUALES) 179 Diagrama del gradiente porcentual creciente 182
Dariacuteo Garciacutea Montoya VII
INgENIEriacutea ECONoacutemICa
Foacutermula para calcular el P de una serie creciente porcentual 182 Foacutermula para calcular la primera cuota de una serie creciente porcentual 183 Gradiente porcentual decreciente 190 Problemas propuestos gradientes aritmeacuteticos y porcentuales 201 Problemas con gradientes aritmeacuteticos geomeacutetricos y con periacuteodos diferentes 206 Gradientes geomeacutetricos escalonados crecientes o decrecientes 208 Presentacioacuten general del gradiente geomeacutetrico escalonado 211 Foacutermula para calcular el valor presente de un gradiente geomeacutetrico o porcentual escalonado 212 Problemas propuestos 231
Capiacutetulo 9 la UVr 233 Unidad de Valor Real (UVR) 235 Manejo financiero de la UVR 236 Problemas propuestos 239 Creacutedito Hipotecario en UVR 241 Problemas propuestos 252
Capiacutetulo 10eValUaciOacuten econOacuteMica de alternatiVas 257 Comparacioacuten en valor presente de alternativas con vidas uacutetiles iguales 259 Comparacioacuten en valor presente de alternativas con vidas uacutetiles diferentes 264 Comparacioacuten de alternativas con el meacutetodo del CAUE (Costo Anual Uniforme Equivalente) 269 Problemas propuestos 276
Capiacutetulo 11 Bonos 281 Terminologiacutea baacutesica 283 Ejemplo de un proyecto de emisioacuten de bonos 284 Manejo Financiero de los bonos 290 Problemas generales de bonos 292
Capiacutetulo 12inFlaciOacuten 297 Causas principales 299 Otras causas laterales 299
VIII
Contenido
Efectos 299 Forma de remover los efectos de la inflacioacuten 299 Caacutelculos de VF considerando la inflacioacuten 301 Tasa para convertir los pesos de hoy en pesos del futuro
con poder de compra de hoy 301 Caacutelculo para factores de recuperacioacuten de capital 302
Problemas sobre la inflacioacuten 303 Problemas sobre devaluacioacuten 305
Bibliografiacutea 306
Dariacuteo Garciacutea Montoya IX
Con mucho carintildeo y reconocimiento a mi esposa y familia por su comprensioacuten
estiacutemulo y sacrificio Igualmente a mis alumnos que han
colaborado en la elaboracioacuten y presentacioacuten de este material
P r oacute L O g O
Las actividades y operaciones financieras han sido a traveacutes de la historia de la hushymanidad el eje principal del desarrollo y progreso que han permitido e impulsado la industrializacioacuten
Para lograr las mejores decisiones econoacutemicas cuando se hace el anaacutelisis de alternativas de inversioacuten es necesario conocer los principios baacutesicos de los proceshydimientos econoacutemicos y sus aplicaciones en el proceso del estudio de inversiones que garanticen una rentabilidad adecuada y un desarrollo progresivo en teacuterminos econoacutemicos
La decisioacuten de invertir tiene que ver con la estructura operacional de la empreshysa y con una de las funciones de la Administracioacuten Financiera que es definir coacutemo cuaacutendo y doacutende invertir
El estudio de la Ingenieriacutea Econoacutemica ofrece los conocimientos baacutesicos neshycesarios para la toma de decisiones y constituye una herramienta fundamental actualizada y equilibrada para manejar el dinero eficientemente a traveacutes del tiempo y teniendo como fines primordiales rentabilidad y oportunidades de inversioacuten
Se pretende en este texto que los estudiosos de esta disciplina encuentren las herramientas procedimientos matemaacuteticos y en general los elementos necesarios y suficientes para el anaacutelisis econoacutemico y la evaluacioacuten de alternativas de inversioacuten
Para lograr este objetivo la distribucioacuten de los temas se inicia con los conshyceptos baacutesicos necesarios para entender la terminologiacutea en el campo financiero y progresivamente se introduciraacuten los meacutetodos matemaacuteticos que se utilizan en el manejo del dinero cuando se tiene la posibilidad de inversioacuten
Uno de los factores determinantes en estos procesos es el conocimiento y el manejo de las tasas de intereacutes en sus diferentes denominaciones y sus transforshymaciones a las equivalencias que se deben utilizar Este tema seraacute estudiado en el capiacutetulo 2 para poder utilizarlas en los capiacutetulos posteriores cuando se presenten diferentes periacuteodos de pago que hagan necesario el uso de tasas equivalentes
Las herramientas que se utilizaraacuten ademaacutes de las foacutermulas y factores seraacuten inicialmente las calculadoras financieras de las cuales ademaacutes de ensentildear el manejo normal de ellas se explicaraacute la forma de programarlas cuando sea necesario
INgENIEriacutea ECONoacutemICa
La segunda gran herramienta es Excel y sus aplicaciones financieras A lo larshygo del texto se muestran soluciones obtenidas en esta hoja electroacutenica cuadros de pagos y graacuteficas explicativas
Adicionalmente en el complemento virtual elaborado para el libro se disentildeoacute un tutorial que ensentildea a resolver cualquier problema de los expuestos como ejemshyplos o propuestos y que antes fueron resueltos manualmente o con el uso de la calculadora
Con el estudio del archivos que componen este complemento virtual subido al Sistema de Informacioacuten en Liacutenea de ECOE y con el conocimiento de los conshyceptos teoacutericos y definiciones baacutesicas es posible que cualquier persona no experta en temas financieros pueda resolver sin la utilizacioacuten de foacutermulas ni calculadoras problemas de Ingenieriacutea Econoacutemica
En general el libro es un compendio sobre temas fundamentales del campo de las finanzas necesario para entender el mundo de los negocios Se utilizoacute un lenguaje claro sencillo praacutectico rico en conceptos con una amplia gama de casos resueltos utilizando foacutermulas y funciones financieras de Excel
Debo agradecer a mis alumnos de la Universidad Libre de Pereira quienes con sus inquietudes preguntas e intereacutes en el tema han apoyado la elaboracioacuten de este trabajo
El autor
XIV
Capiacutetulo 1
generalidades
generalidades
INgENIEriacutea ECONoacutemICa Es una teacutecnica que utiliza procedimientos meacutetodos y foacutermulas matemaacuteticas para analizar evaluar y comparar alternativas econoacutemicas y determinar cuaacutel es la mejor en teacuterminos econoacutemicos
En ingenieriacutea econoacutemica se utilizan algunos teacuterminos de los cuales es necesashyrio conocer su significado Ellos son
Analizar es un estudio sobre cuaacuteles seraacuten los ingresos y egresos que generaraacute la inversioacuten durante su vida uacutetil o tiempo de operacioacuten en una situacioacuten financiera o econoacutemica tal como una inversioacuten que se pretenda realizar
Evaluacioacuten una vez conocidos los flujos proyectados de caja (ingresos y egreshysos) que generaraacute la inversioacuten analizada se cuantifican los valores econoacutemicos a traveacutes del tiempo utilizando foacutermulas y procedimientos matemaacuteticos para detershyminar la rentabilidad y la viabilidad econoacutemica del proyecto
Esta evaluacioacuten se haraacute en teacuterminos porcentuales (tasa de retorno de la invershysioacuten rendimiento porcentual) y en teacuterminos de dinero
Alternativa se refiere a una opcioacuten u oportunidad de inversioacuten Por ejemplo proyectar el montaje de empresa industrial comercial de servicios comprar acshyciones bonos o constituir depoacutesitos (ahorros) en entidades financieras etceacutetera A cada alternativa siempre se le opone la contraria que consiste en no hacer la inversioacuten o en preferir otra si su rendimiento financiero es mejor
Los elementos de medida que se utilizan en la evaluacioacuten y comparacioacuten de alternativas son el dinero y el rendimiento o utilidad porcentual que genere cada alternativa (tasa de intereacutes)
El dinero es un medio circulante con poder de compra o adquisicioacuten de bieshynes o servicios Al igual que cualquier bien raiacutez (vehiacuteculos maquinaria etceacutetera) que se puede arrendar para que genere un canon de arrendamiento el dinero tambieacuten se puede arrendar (prestar depositar en una entidad financiera) para que genere un rendimiento pero en este caso este rendimiento se llama intereacutes
EL INTErEacuteS Y Su CLaSIFICaCIoacuteN El intereacutes es el dinero que genera maacutes dinero a traveacutes del tiempo cuando se invierte Es el valor del dinero en el tiempo o maacutes precisamente el cambio en la cantidad de dinero dushyrante un periacuteodo de tiempo cuando eacuteste se ha tomado en preacutestamo o se ha invertido
Asiacute como se paga por ejemplo un arrendamiento de un inmueble por usarlo de igual manera podriacuteamos asimilar el intereacutes como el dinero que se debe pagar por el uso de un capital tomado en preacutestamo
Ahora bien el intereacutes se clasifica en simple y compuesto (este uacuteltimo se estushydiaraacute completamente en el capiacutetulo 2)
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Intereacutes simple Una operacioacuten financiera se hace con intereacutes simple cuando durante todo el tiempo de la transaccioacuten soacutelo el capital genera intereses independientemente de si eacutestos se retiran (se cancelan) o no Es decir el intereacutes simple no se le adiciona al capital para generar nuevos intereses
El intereacutes se representa por la letra I (mayuacutescula) y se calcula asiacute
Intereacutes (I) = Cantidad acumulada - Inversioacuten inicial
Cantidad acumulada Cf
Cantidad inicial Ci
Ejemplo para cancelar una deuda de $10000 dentro de 3 antildeos debo pagar $13000 iquestCuaacutel es el intereacutes ganado
I = 13000 - 10000 = $3000
Observe que la unidad de medida del intereacutes son pesos (dinero)
Tasa de intereacutes
Es el intereacutes expresado en porcentaje y por unidad de tiempo Se representa con la letra i y se calcula asiacute
I = Cf ndash Ci (a) o Cf = Ci + I (b) Foacutermula 1
i = Intereacutes acumulado por unidad de tiempo
Cantidad inicial xx 100 i =
I
Ci x 100
Cuando se tienen varios periacuteodos unitarios (2 3 4hellip n periacuteodos) la foacutermula anterior se divide por el nuacutemero de periacuteodos
Simboacutelicamente la foacutermula se expresa asiacute
Foacutermula 2i = I x 100
n x Cantidad inicial i =
I x 100
n x Ci
siacutembolos CF Cantidad acumulada (Capital final Valor futuro) Ci Cantidad inicial (Capital inicial Valor presente) n Nuacutemero de periacuteodos (antildeos semestres meses trimestres diacuteas etc) I Intereacutes i Tasa de intereacutes
4
generalidades
La tasa de intereacutes simple se puede multiplicar o dividir para expresarla en unidades de tiempo diferentes Ejemplo una tasa del 2 simple mensual es equishyvalente a una tasa del 24 simple anual se multiplicoacute por 12 que son los meses del antildeo Una tasa del 9 simple semestral es equivalente a una tasa del 15 simple mensual se dividioacute por 6 que son los meses del semestre
Con el fin de simplificar la escritura de las foacutermulas omitiremos la escritura del valor ldquo100rdquo y utilizamos el i como nuacutemero iacutendice es decir el porcentaje expreshysado como nuacutemero decimal ejemplo i = 4 lo escribimos como i = 004
De acuerdo con la nomenclatura anterior y aplicando la simplificacioacuten antes descrita las ecuaciones o foacutermulas dadas se representan asiacute
Foacutermula 1 Foacutermula 2 Foacutermula 3
Remplazando en (b) la foacutermula 2
I = Cf ndash Ci (a) i = I
n i Ci Cf = Ci + i bull n bull Ci
Despejando Cf
Cf = Ci + I (b) I = i bull n bull Ci Cf = Ci (I + i bull n)
Problema 1 Se recibieron $60000 de intereacutes durante un semestre por un depoacutesito en un banshyco comercial Si el banco reconoce una tasa de intereacutes simple del 7 trimestral y liquida a sus clientes sobre saldos trimestrales iquestcuaacutel fue el capital depositado inicialmente respuesta $42857143
I = n bull i bull Ci I = $60000 n = 2 trimestres (un semestre) Ci = 60000007 x 2 = $42857143 I
Ci = i = 7 trimestral i i n
Problema 2 Si las condiciones de un preacutestamo con intereacutes simple se expresan mediante la ecuacioacuten
VF= 500 + 120 t
Donde VF es el valor futuro y t es el tiempo en antildeos determine a) La tasa de intereacutes simple R 24 b) El tiempo transcurrido para que el inversionista reciba $600 de intereacutes total
R 5 antildeos c) iquestCuaacutel seraacute la deuda inicial del quinto antildeo si el banco prestamista no ha recibido
intereses de mora y no cobra intereacutes de mora R 98000
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solucioacuten a) I = Cf ndash Ci rarr Cf = Ci + I rarr Cf = Ci + Ci bull i bull n de foacutermula 4
de 1 darr darr darr
VF = 500 + 120t 120t = 500 x i x t de de3 porque t = n 2
i = 24
b) 120t = Ci bull i bull n = Intereacutes (I) = 600 t = 600120 = 5 antildeos
c) Cf4 = 500 + 120 x 4 = $980 Porque el final del antildeo 4 es el principio del antildeo 5
Problema 3 Pedro Ramiacuterez posee una letra de cambio de tres meses de vencimiento a intereacutes simple del 4 mensual Por necesidades de dinero lleva esta letra a una agencia de cambio (AC) y Ramiacuterez admite recibir un adelanto de $150000 de la AC iquestCuaacutento dinero debe recibir al final del traacutemite si la AC cobra un intereacutes simple del 7 menshysual en todas las operaciones y el valor nominal de la letra es de $300000 respuesta $154500
Problema 4 Juan Peacuterez recibe un preacutestamo extrabancario de $200000 Si el intereacutes convenido es del 6 mensual simple y canceloacute en total intereses por $216000 iquestpor cuaacutento tiempo mantuvo Peacuterez el preacutestamo
I = Ciin 216000 = 200000 x 006 x n n = 18 meses
Problema 5 El contador Morales consigue un preacutestamo de $3000000 a dos antildeos de plazo con una tasa de intereacutes simple del 3 bimestral iquestCuaacutento pagaraacute al final de los dos antildeos respuesta $4080000
Problema 6 iquestEn cuaacutento tiempo se triplica una inversioacuten con un intereacutes simple del 23 anual respuesta 869 antildeos
Cf = Ci + Ciin rarr 3Ci = Ci + Ci 023 n rarr n = 2023 = 869 antildeos
Conversioacuten a antildeos meses y diacuteas 069 x 12 = 828 meses 028 x 30 = 8 diacuteas 8 antildeos 8 meses 8 diacuteas
Problema 7 Una deuda se pactoacute pagarla en tres cuotas asiacute dentro de dos meses $100000 denshytro de cuatro meses $300000 dentro de cinco meses $500000 El intereacutes es simple
6
generalidades
y del 27 mensual El deudor le ofrece a su acreedor pagarle toda la deuda dentro de un mes con $840000 iquestSe debe aceptar esta propuesta
i = 27 mensual (simple) Cf = Ci (1 + i bull n) Ci = Cf divide (1 + i bull n) Calculamos la deuda hoy trasladando los flujos al periacuteodo cero Inicial de la cuota de 100000 en 2 Ci = 100000 divide (1 + 0027 x 2) Ci = 94877 Inicial de la cuota de 100000 en 4 Ci = 300000 divide (1 + 0027 x 4) Ci = 270758 Inicial de la cuota de 100000 en 5 Ci = 500000 divide (1 + 0027 x 5) Ci = 440529
Total hoy 806163 La deuda hoy llevaba al mes uno Cf = Ci (1 + i bull n)
Cf = 806163 (1 + 0027 x 1) Cf = 827930
Se debe aceptar la propuesta porque le ofrecen una cantidad mayor
Problema 8 iquestCuaacutel de las siguientes opciones de gratificacioacuten conviene maacutes a los intereses de un empleado a) recibir ahora $700 b) recibir ahora $200 y $600 a los 60 diacuteas c) recibir tres pagos iguales de $250 cu a 30 60 y 90 diacuteas
Tasa de intereacutes simple del 42 anual respuesta a) $700 b) $76064 c) $70142 mejor b
Problema 9 Usted tiene 3 cheques posfechados parar cobrar asiacute $150000 para dentro de 6 meses $135000 para dentro de ocho meses y $350000 para dentro de 12 meses Debido a una urgencia de efectivo se ve en la necesidad de negociar estos cheques en una casa de cambio que le cobra el 28 mensual simple iquestCuaacutento dinero espera recibir siacute la negociacioacuten la realiza en el diacutea de hoy respuesta $50069482
Problema 10 Pedro debe pagar tres deudas asiacute $1500000 dentro de cuatro meses $2500000 para dentro de seis meses y $3000000 para dentro de ocho meses Estas deudas fueron calculadas con un intereacutes simple de 25 mensual Pedro le propone a su acreedor pagarle hoy $6500000 para cancelar toda la deuda iquestDebe aceptar el acreedor esta oferta respuesta Valor deuda original en pesos de hoy $6037549 Debe aceptar la oferta de Pedro
Problema 11 Pedro tiene que pagar una letra de cambio de $2000000 dentro de ocho meses y otra de $3000000 dentro de 18 meses Su acreedor le acepta cambiar estos pagos por uno de $1500000 en el diacutea de hoy y otro pago al final del antildeo Calcular el valor de este uacuteltimo pago si la tasa de intereacutes es del 2 mensual simple
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respuesta $301322515
Problema 12 Una empresa tiene que cancelar dentro de dos antildeos una obligacioacuten de $5500000 y desea liquidarla sustituyeacutendola por dos pagos iguales en los meses 10 y 22 Si la tasa de intereacutes simple es del 3 mensual iquestcuaacutel es el valor de las cuotas respuesta $2217742
La IguaLDaD Y La EQuIVaLENCIa Estos dos conceptos a menudo se confunden o no se interpretan adecuadamente en teacuterminos econoacutemicos Vamos a tratar de establecer la diferencia entre ellos
Si asumimos una inflacioacuten de 10 anual y un artiacuteculo hoy vale $10000 dentro de un antildeo el mismo artiacuteculo tendraacute un costo de $11000 Esto quiere decir que hoy $10000 tendraacuten el mismo poder de compra que $11000 dentro de un antildeo Debeshymos entender que $10000 hoy son equivalentes a $11000 dentro de un antildeo pero no son iguales en cantidad
De otra manera si queremos comprar dentro de un antildeo un artiacuteculo que hoy vale $10000 debemos invertir el dinero hoy a una tasa del 10 anual para conseguir un intereacutes de $1000 y reunir $11000 dentro de un antildeo para comprar el mismo artiacuteculo
Si el precio de los artiacuteculos se infla a traveacutes del tiempo el dinero tambieacuten debe inflarse con una tasa financiera para conservar el poder de compra Si la tasa finanshyciera de la inversioacuten es igual a la inflacioacuten decimos que nuestro dinero conserva el poder compra Si la tasa financiera es mayor que la inflacioacuten por ejemplo 15 anual al cabo de un antildeo tendriacuteamos $11500 lo que genera una utilidad real de la inversioacuten por encima de la inflacioacuten de $500
Pero si la tasa financiera es inferior a la inflacioacuten por ejemplo 8 anual al cabo de un antildeo la inversioacuten logra acumular $10800 dinero que no alcanza a comshyprar el mismo artiacuteculo Decimos que nuestro dinero ha perdido poder de compra aunque tengamos $800 maacutes
En general cuando invertimos el dinero hoy a una tasa financiera al cabo de cierto tiempo este dinero se ha inflado con los intereses acumulados Si esperamos recibir dentro de cierto tiempo una cantidad de dinero y la negociacioacuten la hacemos hoy (tiempo presente) para saber a cuaacutento equivale hoy la negociacioacuten debemos desinflar esa cantidad (quitarle el intereacutes)
En resumen el dinero de hoy invertido a una tasa i durante un tiempo se infla (aumenta) pero el dinero del futuro llevado a valor presente se desinfla con la tasa i
La igualdad del dinero solo se puede dar cuando los diferentes flujos de dinero son trasladados todos a un mismo periacuteodo futuro o al presente
8
generalidades
conclusiones 1 Los dineros colocados en periacuteodos diferentes pueden ser equivalentes pero
nunca iguales 2 La igualdad del dinero soacutelo puede darse cuando los diferentes flujos de dinero
son trasladados a un mismo periacuteodo
Esto nos debe advertir que las foacutermulas que utilizaremos que son igualdades (=) tendraacuten como uno de los fines que trasladar dineros del presente al futuro (inflar) o del futuro al presente (desinflar)
FLuJOS DE CaJa Son los ingresos y egresos de dinero que ocurren en una empresa por su activad econoacutemica en un periacuteodo determinado Estos flujos de caja pueden ser pagos uacutenishycos (ocurren solo una vez) o seriados Los seriados pueden ser iguales (constantes en valor uniformes) crecientes cada vez o decrecientes cada vez
El crecimiento o decrecimiento puede ser constante aritmeacutetica o porcenshytualmente
Valor presente (P) Pagos uacutenicos Valor futuro (F)
Series uniformes (A) Flujos de caja
Crecientes o decrecientes aritmeacuteticamente Pagos seriados No uniformes
Crecientes o decrecientes en porcentaje
Graacutefico 1 Flujos de caja
Ejemplos de flujos de caja
Pagos uacutenicos
Cuando se hace referencia a pagos uacutenicos nos referimos taacutecitamente a los ingresos y egresos La misma referencia para los seriados Son uacutenicos porque solo ocurren una vez
Valor presente (P)
Pagar hoy un equipo un vehiacuteculo una propiedad cobrar hoy un dinero vender hoy un bien etceacutetera
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Valor futuro (F)
Vender algo dentro de cierto tiempo pagar una deuda dentro de cierto tiempo en general tener ingresos o egresos por una sola vez en tiempo futuro
Los conceptos de presente y futuro son relativos entre ellos Asumamos un ingreso hoy de $10000 un ingreso dentro de dos antildeos de $5000 y un ingreso de $8000 dentro de cinco
El ingreso de $10000 hoy es presente para los para los periacuteodos dos y cinco El ingreso de $5000 dentro de dos antildeos es futuro para el periacuteodo de hoy y
presente para el periacuteodo cinco El ingreso de $8000 es futuro para los periacuteodos de hoy y para el periacuteodo dos
Pagos seriados uniformes (a)
Recordemos que una serie es consecutiva por lo tanto los pagos deben ser conseshycutivos sin interrupciones y para que sean uniformes deben tener el mismo valor Ejemplos los sueldos fijos de un trabajador el canon de arrendamiento durante los 12 meses las cuotas iguales para pagar un creacutedito las dos primas semestrales el cargo fijo mensual de los servicios puacuteblicos etceacutetera
Seriados crecientes o decrecientes aritmeacuteticamente
Pagos mensuales trimestrales semestrales anuales etceacutetera de cuotas u obligacioshynes iniciando con un valor determinado y cada pago posterior se aumenta en una cantidad fija de pesos o disminuye una cantidad fija de pesos
Pagar o recibir cinco cuotas mensuales empezando con $200 y cada vez aushymenta o disminuye en $20
Creciente 200 220 240 260 280 Decreciente 200 180 160 140 120 El incremento o decrecimiento de $20 se llama Gradiente (G)
Seriados crecientes o decrecientes geomeacutetricamente
Pagos mensuales o anuales de cuotas u obligaciones iniciando con un valor detershyminado y cada pago se aumenta o disminuye en un porcentaje constante
Pagar o recibir cinco cuotas mensuales empezando con 200 y cada vez aumenshyta o disminuye en 10
Creciente 200 220 242 2662 29282 Decreciente 200 180 162 1458 13122
10
generalidades
Nomenclatura Los diferentes flujos de caja se representaraacuten mediante siacutembolos alfabeacuteticos para simplificar su escritura
Valor presente P Valor futuro F Serie uniforme A Tasa de intereacutes i Periacuteodos n
Las series crecientes o decrecientes las estudiaremos maacutes adelante
Periacuteodos Los periacuteodos son las diferentes unidades de tiempo que usualmente se utilizan en las operaciones financieras anuales semestrales o bianuales cuatrimestrales trishymestrales bimestrales o cada dos meses mensuales quincenales o bimensuales semanal y diario
Otras unidades de tiempo menos usadas son bienio o cada dos antildeos trienio o cada tres antildeos cuatrienio o cada cuatro antildeos quinquenio o lustro o cada cinco antildeos etceacutetera
Diagramas de flujos de caja Los diferentes flujos de caja se deben representar en diagramas que faciliten la vishysualizacioacuten y la interpretacioacuten de ellos para determinar la metodologiacutea que se debe seguir en la solucioacuten del problema econoacutemico propuesto
Para el diagrama se utiliza el plano cartesiano El eje horizontal de las X se denominaraacute eje del tiempo o de los periacuteodos En eacutel se dibujaraacuten los diferentes peshyriacuteodos (n) El eje vertical o de la ordenada se denominaraacute eje del dinero o flujo ($) Los ingresos se representan con flecha hacia arriba (flujo positivo) y los egresos con flecha hacia abajo (flujo negativo) El tiempo futuro se representa desde el origen hacia la derecha y el tiempo pasado desde el origen hacia la izquierda Por simplificacioacuten se puede omitir el dibujo del eje vertical
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Tiempo pasado $ Tiempo futuro Ingresos Ingresos
2000 hace 4 antildeos hubo 1000 ingreso uacutenico dentro de un ingreso dos antildeos
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 antildeos
Tiempo pasado 3000 cuatro cuotas anuales iguales Egresos Egresos
6000 una inversioacuten hoy Tiempo futuro Egresos
Graacutefico 2 Diagrama de flujos de caja
Problema 13 Graficar los siguientes flujos de caja una inversioacuten hoy de $20000 desde hace cinco antildeos y hasta dentro de dos antildeos ingresos de $4000 un ingreso de $5000 dentro de seis antildeos gastos desde hace un antildeo y hasta dentro de tres antildeos de $6000 anuales
5000 A = 4000
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6antildeos
A = 6000
P = 20000
Una forma maacutes simplificada para dibujar el diagrama anterior es omitiendo las flechas intermedias de las series uniformes y se sustituyen por una liacutenea horizontal que una el primer pago de la serie con el uacuteltimo
12
generalidades
5000A = 4000
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6antildeos
A = 6000 P = 20000
Problema 14 Elaborar el diagrama del siguiente flujo de caja ingresos anuales e iguales de $19000 desde hoy hasta el antildeo 27 un ingreso de $12500 en el sexto antildeo un ingreso de 80000 en el antildeo 31 otro ingreso de $42000 en antildeo 29 un egreso de $8000 en el antildeo 2 egresos anuales uniformes de $5000 del antildeo 4 al 28 y otro egreso anual uniforme de $25000 del antildeo 6 al 31
15000 42000
19000 80000
0 1 2 3 4 5 6 26 27 28 29 30 31antildeos
8000
25000
5000
Problema 15 Hoy se hace un depoacutesito en una entidad financiera por un valor de $16000000 A partir del quinto semestre se empezaraacute a retirar cada vez $250000 y hasta el semestre 16 Adicionalmente en el semestre 16 se podraacute retirar el resto del dinero que seraacute $10000000 y dejar la cuenta en cero Elaborar el diagrama de flujo de caja
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solucioacuten
F = 10000000
A = 250000 0 1 2 3 4 5 16 Semestres
P = $16000000
Problema 16 Dentro de nueve meses tengo una obligacioacuten hipotecaria por un valor de $4500000 Para cancelar este valor he decidido abrir hoy una cuenta bancaria La apertura de esta cuenta la hareacute con $500000 y cada mes posterior y hasta el final del noveno mes hareacute depoacutesitos iguales de $350000 Elaborar el diagrama de flujo de caja solucioacuten
F = 4500000
0 1 2 8 9 meses
A = 350000500000
Problema 17 Supongamos que una empresa pronostica que los primeros tres antildeos de funcionashymiento produciraacute peacuterdidas anuales decrecientes asiacute el primer antildeo perderaacute $9000 el segundo perderaacute $6000 el tercero perderaacute $3000 el cuarto estaraacute en el punto de equilibrio es decir tendraacute utilidades de $000 Del quinto antildeo en adelante empezaraacute a ganar $3000 el sexto ganaraacute $6000 y asiacute sucesivamente hasta el deacutecimo antildeo El valor inicial de la inversioacuten es de $50000 Elaborar el diagrama de flujo de caja solucioacuten
12000 15000 18000
P = 50000
6000 9000 0 3000
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 antildeos 9000 6000 3000
14
INgENIEriacutea ECONoacutemICa
Foacutermula para calcular el P de una serie creciente porcentual 182 Foacutermula para calcular la primera cuota de una serie creciente porcentual 183 Gradiente porcentual decreciente 190 Problemas propuestos gradientes aritmeacuteticos y porcentuales 201 Problemas con gradientes aritmeacuteticos geomeacutetricos y con periacuteodos diferentes 206 Gradientes geomeacutetricos escalonados crecientes o decrecientes 208 Presentacioacuten general del gradiente geomeacutetrico escalonado 211 Foacutermula para calcular el valor presente de un gradiente geomeacutetrico o porcentual escalonado 212 Problemas propuestos 231
Capiacutetulo 9 la UVr 233 Unidad de Valor Real (UVR) 235 Manejo financiero de la UVR 236 Problemas propuestos 239 Creacutedito Hipotecario en UVR 241 Problemas propuestos 252
Capiacutetulo 10eValUaciOacuten econOacuteMica de alternatiVas 257 Comparacioacuten en valor presente de alternativas con vidas uacutetiles iguales 259 Comparacioacuten en valor presente de alternativas con vidas uacutetiles diferentes 264 Comparacioacuten de alternativas con el meacutetodo del CAUE (Costo Anual Uniforme Equivalente) 269 Problemas propuestos 276
Capiacutetulo 11 Bonos 281 Terminologiacutea baacutesica 283 Ejemplo de un proyecto de emisioacuten de bonos 284 Manejo Financiero de los bonos 290 Problemas generales de bonos 292
Capiacutetulo 12inFlaciOacuten 297 Causas principales 299 Otras causas laterales 299
VIII
Contenido
Efectos 299 Forma de remover los efectos de la inflacioacuten 299 Caacutelculos de VF considerando la inflacioacuten 301 Tasa para convertir los pesos de hoy en pesos del futuro
con poder de compra de hoy 301 Caacutelculo para factores de recuperacioacuten de capital 302
Problemas sobre la inflacioacuten 303 Problemas sobre devaluacioacuten 305
Bibliografiacutea 306
Dariacuteo Garciacutea Montoya IX
Con mucho carintildeo y reconocimiento a mi esposa y familia por su comprensioacuten
estiacutemulo y sacrificio Igualmente a mis alumnos que han
colaborado en la elaboracioacuten y presentacioacuten de este material
P r oacute L O g O
Las actividades y operaciones financieras han sido a traveacutes de la historia de la hushymanidad el eje principal del desarrollo y progreso que han permitido e impulsado la industrializacioacuten
Para lograr las mejores decisiones econoacutemicas cuando se hace el anaacutelisis de alternativas de inversioacuten es necesario conocer los principios baacutesicos de los proceshydimientos econoacutemicos y sus aplicaciones en el proceso del estudio de inversiones que garanticen una rentabilidad adecuada y un desarrollo progresivo en teacuterminos econoacutemicos
La decisioacuten de invertir tiene que ver con la estructura operacional de la empreshysa y con una de las funciones de la Administracioacuten Financiera que es definir coacutemo cuaacutendo y doacutende invertir
El estudio de la Ingenieriacutea Econoacutemica ofrece los conocimientos baacutesicos neshycesarios para la toma de decisiones y constituye una herramienta fundamental actualizada y equilibrada para manejar el dinero eficientemente a traveacutes del tiempo y teniendo como fines primordiales rentabilidad y oportunidades de inversioacuten
Se pretende en este texto que los estudiosos de esta disciplina encuentren las herramientas procedimientos matemaacuteticos y en general los elementos necesarios y suficientes para el anaacutelisis econoacutemico y la evaluacioacuten de alternativas de inversioacuten
Para lograr este objetivo la distribucioacuten de los temas se inicia con los conshyceptos baacutesicos necesarios para entender la terminologiacutea en el campo financiero y progresivamente se introduciraacuten los meacutetodos matemaacuteticos que se utilizan en el manejo del dinero cuando se tiene la posibilidad de inversioacuten
Uno de los factores determinantes en estos procesos es el conocimiento y el manejo de las tasas de intereacutes en sus diferentes denominaciones y sus transforshymaciones a las equivalencias que se deben utilizar Este tema seraacute estudiado en el capiacutetulo 2 para poder utilizarlas en los capiacutetulos posteriores cuando se presenten diferentes periacuteodos de pago que hagan necesario el uso de tasas equivalentes
Las herramientas que se utilizaraacuten ademaacutes de las foacutermulas y factores seraacuten inicialmente las calculadoras financieras de las cuales ademaacutes de ensentildear el manejo normal de ellas se explicaraacute la forma de programarlas cuando sea necesario
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La segunda gran herramienta es Excel y sus aplicaciones financieras A lo larshygo del texto se muestran soluciones obtenidas en esta hoja electroacutenica cuadros de pagos y graacuteficas explicativas
Adicionalmente en el complemento virtual elaborado para el libro se disentildeoacute un tutorial que ensentildea a resolver cualquier problema de los expuestos como ejemshyplos o propuestos y que antes fueron resueltos manualmente o con el uso de la calculadora
Con el estudio del archivos que componen este complemento virtual subido al Sistema de Informacioacuten en Liacutenea de ECOE y con el conocimiento de los conshyceptos teoacutericos y definiciones baacutesicas es posible que cualquier persona no experta en temas financieros pueda resolver sin la utilizacioacuten de foacutermulas ni calculadoras problemas de Ingenieriacutea Econoacutemica
En general el libro es un compendio sobre temas fundamentales del campo de las finanzas necesario para entender el mundo de los negocios Se utilizoacute un lenguaje claro sencillo praacutectico rico en conceptos con una amplia gama de casos resueltos utilizando foacutermulas y funciones financieras de Excel
Debo agradecer a mis alumnos de la Universidad Libre de Pereira quienes con sus inquietudes preguntas e intereacutes en el tema han apoyado la elaboracioacuten de este trabajo
El autor
XIV
Capiacutetulo 1
generalidades
generalidades
INgENIEriacutea ECONoacutemICa Es una teacutecnica que utiliza procedimientos meacutetodos y foacutermulas matemaacuteticas para analizar evaluar y comparar alternativas econoacutemicas y determinar cuaacutel es la mejor en teacuterminos econoacutemicos
En ingenieriacutea econoacutemica se utilizan algunos teacuterminos de los cuales es necesashyrio conocer su significado Ellos son
Analizar es un estudio sobre cuaacuteles seraacuten los ingresos y egresos que generaraacute la inversioacuten durante su vida uacutetil o tiempo de operacioacuten en una situacioacuten financiera o econoacutemica tal como una inversioacuten que se pretenda realizar
Evaluacioacuten una vez conocidos los flujos proyectados de caja (ingresos y egreshysos) que generaraacute la inversioacuten analizada se cuantifican los valores econoacutemicos a traveacutes del tiempo utilizando foacutermulas y procedimientos matemaacuteticos para detershyminar la rentabilidad y la viabilidad econoacutemica del proyecto
Esta evaluacioacuten se haraacute en teacuterminos porcentuales (tasa de retorno de la invershysioacuten rendimiento porcentual) y en teacuterminos de dinero
Alternativa se refiere a una opcioacuten u oportunidad de inversioacuten Por ejemplo proyectar el montaje de empresa industrial comercial de servicios comprar acshyciones bonos o constituir depoacutesitos (ahorros) en entidades financieras etceacutetera A cada alternativa siempre se le opone la contraria que consiste en no hacer la inversioacuten o en preferir otra si su rendimiento financiero es mejor
Los elementos de medida que se utilizan en la evaluacioacuten y comparacioacuten de alternativas son el dinero y el rendimiento o utilidad porcentual que genere cada alternativa (tasa de intereacutes)
El dinero es un medio circulante con poder de compra o adquisicioacuten de bieshynes o servicios Al igual que cualquier bien raiacutez (vehiacuteculos maquinaria etceacutetera) que se puede arrendar para que genere un canon de arrendamiento el dinero tambieacuten se puede arrendar (prestar depositar en una entidad financiera) para que genere un rendimiento pero en este caso este rendimiento se llama intereacutes
EL INTErEacuteS Y Su CLaSIFICaCIoacuteN El intereacutes es el dinero que genera maacutes dinero a traveacutes del tiempo cuando se invierte Es el valor del dinero en el tiempo o maacutes precisamente el cambio en la cantidad de dinero dushyrante un periacuteodo de tiempo cuando eacuteste se ha tomado en preacutestamo o se ha invertido
Asiacute como se paga por ejemplo un arrendamiento de un inmueble por usarlo de igual manera podriacuteamos asimilar el intereacutes como el dinero que se debe pagar por el uso de un capital tomado en preacutestamo
Ahora bien el intereacutes se clasifica en simple y compuesto (este uacuteltimo se estushydiaraacute completamente en el capiacutetulo 2)
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Intereacutes simple Una operacioacuten financiera se hace con intereacutes simple cuando durante todo el tiempo de la transaccioacuten soacutelo el capital genera intereses independientemente de si eacutestos se retiran (se cancelan) o no Es decir el intereacutes simple no se le adiciona al capital para generar nuevos intereses
El intereacutes se representa por la letra I (mayuacutescula) y se calcula asiacute
Intereacutes (I) = Cantidad acumulada - Inversioacuten inicial
Cantidad acumulada Cf
Cantidad inicial Ci
Ejemplo para cancelar una deuda de $10000 dentro de 3 antildeos debo pagar $13000 iquestCuaacutel es el intereacutes ganado
I = 13000 - 10000 = $3000
Observe que la unidad de medida del intereacutes son pesos (dinero)
Tasa de intereacutes
Es el intereacutes expresado en porcentaje y por unidad de tiempo Se representa con la letra i y se calcula asiacute
I = Cf ndash Ci (a) o Cf = Ci + I (b) Foacutermula 1
i = Intereacutes acumulado por unidad de tiempo
Cantidad inicial xx 100 i =
I
Ci x 100
Cuando se tienen varios periacuteodos unitarios (2 3 4hellip n periacuteodos) la foacutermula anterior se divide por el nuacutemero de periacuteodos
Simboacutelicamente la foacutermula se expresa asiacute
Foacutermula 2i = I x 100
n x Cantidad inicial i =
I x 100
n x Ci
siacutembolos CF Cantidad acumulada (Capital final Valor futuro) Ci Cantidad inicial (Capital inicial Valor presente) n Nuacutemero de periacuteodos (antildeos semestres meses trimestres diacuteas etc) I Intereacutes i Tasa de intereacutes
4
generalidades
La tasa de intereacutes simple se puede multiplicar o dividir para expresarla en unidades de tiempo diferentes Ejemplo una tasa del 2 simple mensual es equishyvalente a una tasa del 24 simple anual se multiplicoacute por 12 que son los meses del antildeo Una tasa del 9 simple semestral es equivalente a una tasa del 15 simple mensual se dividioacute por 6 que son los meses del semestre
Con el fin de simplificar la escritura de las foacutermulas omitiremos la escritura del valor ldquo100rdquo y utilizamos el i como nuacutemero iacutendice es decir el porcentaje expreshysado como nuacutemero decimal ejemplo i = 4 lo escribimos como i = 004
De acuerdo con la nomenclatura anterior y aplicando la simplificacioacuten antes descrita las ecuaciones o foacutermulas dadas se representan asiacute
Foacutermula 1 Foacutermula 2 Foacutermula 3
Remplazando en (b) la foacutermula 2
I = Cf ndash Ci (a) i = I
n i Ci Cf = Ci + i bull n bull Ci
Despejando Cf
Cf = Ci + I (b) I = i bull n bull Ci Cf = Ci (I + i bull n)
Problema 1 Se recibieron $60000 de intereacutes durante un semestre por un depoacutesito en un banshyco comercial Si el banco reconoce una tasa de intereacutes simple del 7 trimestral y liquida a sus clientes sobre saldos trimestrales iquestcuaacutel fue el capital depositado inicialmente respuesta $42857143
I = n bull i bull Ci I = $60000 n = 2 trimestres (un semestre) Ci = 60000007 x 2 = $42857143 I
Ci = i = 7 trimestral i i n
Problema 2 Si las condiciones de un preacutestamo con intereacutes simple se expresan mediante la ecuacioacuten
VF= 500 + 120 t
Donde VF es el valor futuro y t es el tiempo en antildeos determine a) La tasa de intereacutes simple R 24 b) El tiempo transcurrido para que el inversionista reciba $600 de intereacutes total
R 5 antildeos c) iquestCuaacutel seraacute la deuda inicial del quinto antildeo si el banco prestamista no ha recibido
intereses de mora y no cobra intereacutes de mora R 98000
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solucioacuten a) I = Cf ndash Ci rarr Cf = Ci + I rarr Cf = Ci + Ci bull i bull n de foacutermula 4
de 1 darr darr darr
VF = 500 + 120t 120t = 500 x i x t de de3 porque t = n 2
i = 24
b) 120t = Ci bull i bull n = Intereacutes (I) = 600 t = 600120 = 5 antildeos
c) Cf4 = 500 + 120 x 4 = $980 Porque el final del antildeo 4 es el principio del antildeo 5
Problema 3 Pedro Ramiacuterez posee una letra de cambio de tres meses de vencimiento a intereacutes simple del 4 mensual Por necesidades de dinero lleva esta letra a una agencia de cambio (AC) y Ramiacuterez admite recibir un adelanto de $150000 de la AC iquestCuaacutento dinero debe recibir al final del traacutemite si la AC cobra un intereacutes simple del 7 menshysual en todas las operaciones y el valor nominal de la letra es de $300000 respuesta $154500
Problema 4 Juan Peacuterez recibe un preacutestamo extrabancario de $200000 Si el intereacutes convenido es del 6 mensual simple y canceloacute en total intereses por $216000 iquestpor cuaacutento tiempo mantuvo Peacuterez el preacutestamo
I = Ciin 216000 = 200000 x 006 x n n = 18 meses
Problema 5 El contador Morales consigue un preacutestamo de $3000000 a dos antildeos de plazo con una tasa de intereacutes simple del 3 bimestral iquestCuaacutento pagaraacute al final de los dos antildeos respuesta $4080000
Problema 6 iquestEn cuaacutento tiempo se triplica una inversioacuten con un intereacutes simple del 23 anual respuesta 869 antildeos
Cf = Ci + Ciin rarr 3Ci = Ci + Ci 023 n rarr n = 2023 = 869 antildeos
Conversioacuten a antildeos meses y diacuteas 069 x 12 = 828 meses 028 x 30 = 8 diacuteas 8 antildeos 8 meses 8 diacuteas
Problema 7 Una deuda se pactoacute pagarla en tres cuotas asiacute dentro de dos meses $100000 denshytro de cuatro meses $300000 dentro de cinco meses $500000 El intereacutes es simple
6
generalidades
y del 27 mensual El deudor le ofrece a su acreedor pagarle toda la deuda dentro de un mes con $840000 iquestSe debe aceptar esta propuesta
i = 27 mensual (simple) Cf = Ci (1 + i bull n) Ci = Cf divide (1 + i bull n) Calculamos la deuda hoy trasladando los flujos al periacuteodo cero Inicial de la cuota de 100000 en 2 Ci = 100000 divide (1 + 0027 x 2) Ci = 94877 Inicial de la cuota de 100000 en 4 Ci = 300000 divide (1 + 0027 x 4) Ci = 270758 Inicial de la cuota de 100000 en 5 Ci = 500000 divide (1 + 0027 x 5) Ci = 440529
Total hoy 806163 La deuda hoy llevaba al mes uno Cf = Ci (1 + i bull n)
Cf = 806163 (1 + 0027 x 1) Cf = 827930
Se debe aceptar la propuesta porque le ofrecen una cantidad mayor
Problema 8 iquestCuaacutel de las siguientes opciones de gratificacioacuten conviene maacutes a los intereses de un empleado a) recibir ahora $700 b) recibir ahora $200 y $600 a los 60 diacuteas c) recibir tres pagos iguales de $250 cu a 30 60 y 90 diacuteas
Tasa de intereacutes simple del 42 anual respuesta a) $700 b) $76064 c) $70142 mejor b
Problema 9 Usted tiene 3 cheques posfechados parar cobrar asiacute $150000 para dentro de 6 meses $135000 para dentro de ocho meses y $350000 para dentro de 12 meses Debido a una urgencia de efectivo se ve en la necesidad de negociar estos cheques en una casa de cambio que le cobra el 28 mensual simple iquestCuaacutento dinero espera recibir siacute la negociacioacuten la realiza en el diacutea de hoy respuesta $50069482
Problema 10 Pedro debe pagar tres deudas asiacute $1500000 dentro de cuatro meses $2500000 para dentro de seis meses y $3000000 para dentro de ocho meses Estas deudas fueron calculadas con un intereacutes simple de 25 mensual Pedro le propone a su acreedor pagarle hoy $6500000 para cancelar toda la deuda iquestDebe aceptar el acreedor esta oferta respuesta Valor deuda original en pesos de hoy $6037549 Debe aceptar la oferta de Pedro
Problema 11 Pedro tiene que pagar una letra de cambio de $2000000 dentro de ocho meses y otra de $3000000 dentro de 18 meses Su acreedor le acepta cambiar estos pagos por uno de $1500000 en el diacutea de hoy y otro pago al final del antildeo Calcular el valor de este uacuteltimo pago si la tasa de intereacutes es del 2 mensual simple
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respuesta $301322515
Problema 12 Una empresa tiene que cancelar dentro de dos antildeos una obligacioacuten de $5500000 y desea liquidarla sustituyeacutendola por dos pagos iguales en los meses 10 y 22 Si la tasa de intereacutes simple es del 3 mensual iquestcuaacutel es el valor de las cuotas respuesta $2217742
La IguaLDaD Y La EQuIVaLENCIa Estos dos conceptos a menudo se confunden o no se interpretan adecuadamente en teacuterminos econoacutemicos Vamos a tratar de establecer la diferencia entre ellos
Si asumimos una inflacioacuten de 10 anual y un artiacuteculo hoy vale $10000 dentro de un antildeo el mismo artiacuteculo tendraacute un costo de $11000 Esto quiere decir que hoy $10000 tendraacuten el mismo poder de compra que $11000 dentro de un antildeo Debeshymos entender que $10000 hoy son equivalentes a $11000 dentro de un antildeo pero no son iguales en cantidad
De otra manera si queremos comprar dentro de un antildeo un artiacuteculo que hoy vale $10000 debemos invertir el dinero hoy a una tasa del 10 anual para conseguir un intereacutes de $1000 y reunir $11000 dentro de un antildeo para comprar el mismo artiacuteculo
Si el precio de los artiacuteculos se infla a traveacutes del tiempo el dinero tambieacuten debe inflarse con una tasa financiera para conservar el poder de compra Si la tasa finanshyciera de la inversioacuten es igual a la inflacioacuten decimos que nuestro dinero conserva el poder compra Si la tasa financiera es mayor que la inflacioacuten por ejemplo 15 anual al cabo de un antildeo tendriacuteamos $11500 lo que genera una utilidad real de la inversioacuten por encima de la inflacioacuten de $500
Pero si la tasa financiera es inferior a la inflacioacuten por ejemplo 8 anual al cabo de un antildeo la inversioacuten logra acumular $10800 dinero que no alcanza a comshyprar el mismo artiacuteculo Decimos que nuestro dinero ha perdido poder de compra aunque tengamos $800 maacutes
En general cuando invertimos el dinero hoy a una tasa financiera al cabo de cierto tiempo este dinero se ha inflado con los intereses acumulados Si esperamos recibir dentro de cierto tiempo una cantidad de dinero y la negociacioacuten la hacemos hoy (tiempo presente) para saber a cuaacutento equivale hoy la negociacioacuten debemos desinflar esa cantidad (quitarle el intereacutes)
En resumen el dinero de hoy invertido a una tasa i durante un tiempo se infla (aumenta) pero el dinero del futuro llevado a valor presente se desinfla con la tasa i
La igualdad del dinero solo se puede dar cuando los diferentes flujos de dinero son trasladados todos a un mismo periacuteodo futuro o al presente
8
generalidades
conclusiones 1 Los dineros colocados en periacuteodos diferentes pueden ser equivalentes pero
nunca iguales 2 La igualdad del dinero soacutelo puede darse cuando los diferentes flujos de dinero
son trasladados a un mismo periacuteodo
Esto nos debe advertir que las foacutermulas que utilizaremos que son igualdades (=) tendraacuten como uno de los fines que trasladar dineros del presente al futuro (inflar) o del futuro al presente (desinflar)
FLuJOS DE CaJa Son los ingresos y egresos de dinero que ocurren en una empresa por su activad econoacutemica en un periacuteodo determinado Estos flujos de caja pueden ser pagos uacutenishycos (ocurren solo una vez) o seriados Los seriados pueden ser iguales (constantes en valor uniformes) crecientes cada vez o decrecientes cada vez
El crecimiento o decrecimiento puede ser constante aritmeacutetica o porcenshytualmente
Valor presente (P) Pagos uacutenicos Valor futuro (F)
Series uniformes (A) Flujos de caja
Crecientes o decrecientes aritmeacuteticamente Pagos seriados No uniformes
Crecientes o decrecientes en porcentaje
Graacutefico 1 Flujos de caja
Ejemplos de flujos de caja
Pagos uacutenicos
Cuando se hace referencia a pagos uacutenicos nos referimos taacutecitamente a los ingresos y egresos La misma referencia para los seriados Son uacutenicos porque solo ocurren una vez
Valor presente (P)
Pagar hoy un equipo un vehiacuteculo una propiedad cobrar hoy un dinero vender hoy un bien etceacutetera
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Valor futuro (F)
Vender algo dentro de cierto tiempo pagar una deuda dentro de cierto tiempo en general tener ingresos o egresos por una sola vez en tiempo futuro
Los conceptos de presente y futuro son relativos entre ellos Asumamos un ingreso hoy de $10000 un ingreso dentro de dos antildeos de $5000 y un ingreso de $8000 dentro de cinco
El ingreso de $10000 hoy es presente para los para los periacuteodos dos y cinco El ingreso de $5000 dentro de dos antildeos es futuro para el periacuteodo de hoy y
presente para el periacuteodo cinco El ingreso de $8000 es futuro para los periacuteodos de hoy y para el periacuteodo dos
Pagos seriados uniformes (a)
Recordemos que una serie es consecutiva por lo tanto los pagos deben ser conseshycutivos sin interrupciones y para que sean uniformes deben tener el mismo valor Ejemplos los sueldos fijos de un trabajador el canon de arrendamiento durante los 12 meses las cuotas iguales para pagar un creacutedito las dos primas semestrales el cargo fijo mensual de los servicios puacuteblicos etceacutetera
Seriados crecientes o decrecientes aritmeacuteticamente
Pagos mensuales trimestrales semestrales anuales etceacutetera de cuotas u obligacioshynes iniciando con un valor determinado y cada pago posterior se aumenta en una cantidad fija de pesos o disminuye una cantidad fija de pesos
Pagar o recibir cinco cuotas mensuales empezando con $200 y cada vez aushymenta o disminuye en $20
Creciente 200 220 240 260 280 Decreciente 200 180 160 140 120 El incremento o decrecimiento de $20 se llama Gradiente (G)
Seriados crecientes o decrecientes geomeacutetricamente
Pagos mensuales o anuales de cuotas u obligaciones iniciando con un valor detershyminado y cada pago se aumenta o disminuye en un porcentaje constante
Pagar o recibir cinco cuotas mensuales empezando con 200 y cada vez aumenshyta o disminuye en 10
Creciente 200 220 242 2662 29282 Decreciente 200 180 162 1458 13122
10
generalidades
Nomenclatura Los diferentes flujos de caja se representaraacuten mediante siacutembolos alfabeacuteticos para simplificar su escritura
Valor presente P Valor futuro F Serie uniforme A Tasa de intereacutes i Periacuteodos n
Las series crecientes o decrecientes las estudiaremos maacutes adelante
Periacuteodos Los periacuteodos son las diferentes unidades de tiempo que usualmente se utilizan en las operaciones financieras anuales semestrales o bianuales cuatrimestrales trishymestrales bimestrales o cada dos meses mensuales quincenales o bimensuales semanal y diario
Otras unidades de tiempo menos usadas son bienio o cada dos antildeos trienio o cada tres antildeos cuatrienio o cada cuatro antildeos quinquenio o lustro o cada cinco antildeos etceacutetera
Diagramas de flujos de caja Los diferentes flujos de caja se deben representar en diagramas que faciliten la vishysualizacioacuten y la interpretacioacuten de ellos para determinar la metodologiacutea que se debe seguir en la solucioacuten del problema econoacutemico propuesto
Para el diagrama se utiliza el plano cartesiano El eje horizontal de las X se denominaraacute eje del tiempo o de los periacuteodos En eacutel se dibujaraacuten los diferentes peshyriacuteodos (n) El eje vertical o de la ordenada se denominaraacute eje del dinero o flujo ($) Los ingresos se representan con flecha hacia arriba (flujo positivo) y los egresos con flecha hacia abajo (flujo negativo) El tiempo futuro se representa desde el origen hacia la derecha y el tiempo pasado desde el origen hacia la izquierda Por simplificacioacuten se puede omitir el dibujo del eje vertical
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Tiempo pasado $ Tiempo futuro Ingresos Ingresos
2000 hace 4 antildeos hubo 1000 ingreso uacutenico dentro de un ingreso dos antildeos
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 antildeos
Tiempo pasado 3000 cuatro cuotas anuales iguales Egresos Egresos
6000 una inversioacuten hoy Tiempo futuro Egresos
Graacutefico 2 Diagrama de flujos de caja
Problema 13 Graficar los siguientes flujos de caja una inversioacuten hoy de $20000 desde hace cinco antildeos y hasta dentro de dos antildeos ingresos de $4000 un ingreso de $5000 dentro de seis antildeos gastos desde hace un antildeo y hasta dentro de tres antildeos de $6000 anuales
5000 A = 4000
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6antildeos
A = 6000
P = 20000
Una forma maacutes simplificada para dibujar el diagrama anterior es omitiendo las flechas intermedias de las series uniformes y se sustituyen por una liacutenea horizontal que una el primer pago de la serie con el uacuteltimo
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generalidades
5000A = 4000
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6antildeos
A = 6000 P = 20000
Problema 14 Elaborar el diagrama del siguiente flujo de caja ingresos anuales e iguales de $19000 desde hoy hasta el antildeo 27 un ingreso de $12500 en el sexto antildeo un ingreso de 80000 en el antildeo 31 otro ingreso de $42000 en antildeo 29 un egreso de $8000 en el antildeo 2 egresos anuales uniformes de $5000 del antildeo 4 al 28 y otro egreso anual uniforme de $25000 del antildeo 6 al 31
15000 42000
19000 80000
0 1 2 3 4 5 6 26 27 28 29 30 31antildeos
8000
25000
5000
Problema 15 Hoy se hace un depoacutesito en una entidad financiera por un valor de $16000000 A partir del quinto semestre se empezaraacute a retirar cada vez $250000 y hasta el semestre 16 Adicionalmente en el semestre 16 se podraacute retirar el resto del dinero que seraacute $10000000 y dejar la cuenta en cero Elaborar el diagrama de flujo de caja
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solucioacuten
F = 10000000
A = 250000 0 1 2 3 4 5 16 Semestres
P = $16000000
Problema 16 Dentro de nueve meses tengo una obligacioacuten hipotecaria por un valor de $4500000 Para cancelar este valor he decidido abrir hoy una cuenta bancaria La apertura de esta cuenta la hareacute con $500000 y cada mes posterior y hasta el final del noveno mes hareacute depoacutesitos iguales de $350000 Elaborar el diagrama de flujo de caja solucioacuten
F = 4500000
0 1 2 8 9 meses
A = 350000500000
Problema 17 Supongamos que una empresa pronostica que los primeros tres antildeos de funcionashymiento produciraacute peacuterdidas anuales decrecientes asiacute el primer antildeo perderaacute $9000 el segundo perderaacute $6000 el tercero perderaacute $3000 el cuarto estaraacute en el punto de equilibrio es decir tendraacute utilidades de $000 Del quinto antildeo en adelante empezaraacute a ganar $3000 el sexto ganaraacute $6000 y asiacute sucesivamente hasta el deacutecimo antildeo El valor inicial de la inversioacuten es de $50000 Elaborar el diagrama de flujo de caja solucioacuten
12000 15000 18000
P = 50000
6000 9000 0 3000
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 antildeos 9000 6000 3000
14
Contenido
Efectos 299 Forma de remover los efectos de la inflacioacuten 299 Caacutelculos de VF considerando la inflacioacuten 301 Tasa para convertir los pesos de hoy en pesos del futuro
con poder de compra de hoy 301 Caacutelculo para factores de recuperacioacuten de capital 302
Problemas sobre la inflacioacuten 303 Problemas sobre devaluacioacuten 305
Bibliografiacutea 306
Dariacuteo Garciacutea Montoya IX
Con mucho carintildeo y reconocimiento a mi esposa y familia por su comprensioacuten
estiacutemulo y sacrificio Igualmente a mis alumnos que han
colaborado en la elaboracioacuten y presentacioacuten de este material
P r oacute L O g O
Las actividades y operaciones financieras han sido a traveacutes de la historia de la hushymanidad el eje principal del desarrollo y progreso que han permitido e impulsado la industrializacioacuten
Para lograr las mejores decisiones econoacutemicas cuando se hace el anaacutelisis de alternativas de inversioacuten es necesario conocer los principios baacutesicos de los proceshydimientos econoacutemicos y sus aplicaciones en el proceso del estudio de inversiones que garanticen una rentabilidad adecuada y un desarrollo progresivo en teacuterminos econoacutemicos
La decisioacuten de invertir tiene que ver con la estructura operacional de la empreshysa y con una de las funciones de la Administracioacuten Financiera que es definir coacutemo cuaacutendo y doacutende invertir
El estudio de la Ingenieriacutea Econoacutemica ofrece los conocimientos baacutesicos neshycesarios para la toma de decisiones y constituye una herramienta fundamental actualizada y equilibrada para manejar el dinero eficientemente a traveacutes del tiempo y teniendo como fines primordiales rentabilidad y oportunidades de inversioacuten
Se pretende en este texto que los estudiosos de esta disciplina encuentren las herramientas procedimientos matemaacuteticos y en general los elementos necesarios y suficientes para el anaacutelisis econoacutemico y la evaluacioacuten de alternativas de inversioacuten
Para lograr este objetivo la distribucioacuten de los temas se inicia con los conshyceptos baacutesicos necesarios para entender la terminologiacutea en el campo financiero y progresivamente se introduciraacuten los meacutetodos matemaacuteticos que se utilizan en el manejo del dinero cuando se tiene la posibilidad de inversioacuten
Uno de los factores determinantes en estos procesos es el conocimiento y el manejo de las tasas de intereacutes en sus diferentes denominaciones y sus transforshymaciones a las equivalencias que se deben utilizar Este tema seraacute estudiado en el capiacutetulo 2 para poder utilizarlas en los capiacutetulos posteriores cuando se presenten diferentes periacuteodos de pago que hagan necesario el uso de tasas equivalentes
Las herramientas que se utilizaraacuten ademaacutes de las foacutermulas y factores seraacuten inicialmente las calculadoras financieras de las cuales ademaacutes de ensentildear el manejo normal de ellas se explicaraacute la forma de programarlas cuando sea necesario
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La segunda gran herramienta es Excel y sus aplicaciones financieras A lo larshygo del texto se muestran soluciones obtenidas en esta hoja electroacutenica cuadros de pagos y graacuteficas explicativas
Adicionalmente en el complemento virtual elaborado para el libro se disentildeoacute un tutorial que ensentildea a resolver cualquier problema de los expuestos como ejemshyplos o propuestos y que antes fueron resueltos manualmente o con el uso de la calculadora
Con el estudio del archivos que componen este complemento virtual subido al Sistema de Informacioacuten en Liacutenea de ECOE y con el conocimiento de los conshyceptos teoacutericos y definiciones baacutesicas es posible que cualquier persona no experta en temas financieros pueda resolver sin la utilizacioacuten de foacutermulas ni calculadoras problemas de Ingenieriacutea Econoacutemica
En general el libro es un compendio sobre temas fundamentales del campo de las finanzas necesario para entender el mundo de los negocios Se utilizoacute un lenguaje claro sencillo praacutectico rico en conceptos con una amplia gama de casos resueltos utilizando foacutermulas y funciones financieras de Excel
Debo agradecer a mis alumnos de la Universidad Libre de Pereira quienes con sus inquietudes preguntas e intereacutes en el tema han apoyado la elaboracioacuten de este trabajo
El autor
XIV
Capiacutetulo 1
generalidades
generalidades
INgENIEriacutea ECONoacutemICa Es una teacutecnica que utiliza procedimientos meacutetodos y foacutermulas matemaacuteticas para analizar evaluar y comparar alternativas econoacutemicas y determinar cuaacutel es la mejor en teacuterminos econoacutemicos
En ingenieriacutea econoacutemica se utilizan algunos teacuterminos de los cuales es necesashyrio conocer su significado Ellos son
Analizar es un estudio sobre cuaacuteles seraacuten los ingresos y egresos que generaraacute la inversioacuten durante su vida uacutetil o tiempo de operacioacuten en una situacioacuten financiera o econoacutemica tal como una inversioacuten que se pretenda realizar
Evaluacioacuten una vez conocidos los flujos proyectados de caja (ingresos y egreshysos) que generaraacute la inversioacuten analizada se cuantifican los valores econoacutemicos a traveacutes del tiempo utilizando foacutermulas y procedimientos matemaacuteticos para detershyminar la rentabilidad y la viabilidad econoacutemica del proyecto
Esta evaluacioacuten se haraacute en teacuterminos porcentuales (tasa de retorno de la invershysioacuten rendimiento porcentual) y en teacuterminos de dinero
Alternativa se refiere a una opcioacuten u oportunidad de inversioacuten Por ejemplo proyectar el montaje de empresa industrial comercial de servicios comprar acshyciones bonos o constituir depoacutesitos (ahorros) en entidades financieras etceacutetera A cada alternativa siempre se le opone la contraria que consiste en no hacer la inversioacuten o en preferir otra si su rendimiento financiero es mejor
Los elementos de medida que se utilizan en la evaluacioacuten y comparacioacuten de alternativas son el dinero y el rendimiento o utilidad porcentual que genere cada alternativa (tasa de intereacutes)
El dinero es un medio circulante con poder de compra o adquisicioacuten de bieshynes o servicios Al igual que cualquier bien raiacutez (vehiacuteculos maquinaria etceacutetera) que se puede arrendar para que genere un canon de arrendamiento el dinero tambieacuten se puede arrendar (prestar depositar en una entidad financiera) para que genere un rendimiento pero en este caso este rendimiento se llama intereacutes
EL INTErEacuteS Y Su CLaSIFICaCIoacuteN El intereacutes es el dinero que genera maacutes dinero a traveacutes del tiempo cuando se invierte Es el valor del dinero en el tiempo o maacutes precisamente el cambio en la cantidad de dinero dushyrante un periacuteodo de tiempo cuando eacuteste se ha tomado en preacutestamo o se ha invertido
Asiacute como se paga por ejemplo un arrendamiento de un inmueble por usarlo de igual manera podriacuteamos asimilar el intereacutes como el dinero que se debe pagar por el uso de un capital tomado en preacutestamo
Ahora bien el intereacutes se clasifica en simple y compuesto (este uacuteltimo se estushydiaraacute completamente en el capiacutetulo 2)
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Intereacutes simple Una operacioacuten financiera se hace con intereacutes simple cuando durante todo el tiempo de la transaccioacuten soacutelo el capital genera intereses independientemente de si eacutestos se retiran (se cancelan) o no Es decir el intereacutes simple no se le adiciona al capital para generar nuevos intereses
El intereacutes se representa por la letra I (mayuacutescula) y se calcula asiacute
Intereacutes (I) = Cantidad acumulada - Inversioacuten inicial
Cantidad acumulada Cf
Cantidad inicial Ci
Ejemplo para cancelar una deuda de $10000 dentro de 3 antildeos debo pagar $13000 iquestCuaacutel es el intereacutes ganado
I = 13000 - 10000 = $3000
Observe que la unidad de medida del intereacutes son pesos (dinero)
Tasa de intereacutes
Es el intereacutes expresado en porcentaje y por unidad de tiempo Se representa con la letra i y se calcula asiacute
I = Cf ndash Ci (a) o Cf = Ci + I (b) Foacutermula 1
i = Intereacutes acumulado por unidad de tiempo
Cantidad inicial xx 100 i =
I
Ci x 100
Cuando se tienen varios periacuteodos unitarios (2 3 4hellip n periacuteodos) la foacutermula anterior se divide por el nuacutemero de periacuteodos
Simboacutelicamente la foacutermula se expresa asiacute
Foacutermula 2i = I x 100
n x Cantidad inicial i =
I x 100
n x Ci
siacutembolos CF Cantidad acumulada (Capital final Valor futuro) Ci Cantidad inicial (Capital inicial Valor presente) n Nuacutemero de periacuteodos (antildeos semestres meses trimestres diacuteas etc) I Intereacutes i Tasa de intereacutes
4
generalidades
La tasa de intereacutes simple se puede multiplicar o dividir para expresarla en unidades de tiempo diferentes Ejemplo una tasa del 2 simple mensual es equishyvalente a una tasa del 24 simple anual se multiplicoacute por 12 que son los meses del antildeo Una tasa del 9 simple semestral es equivalente a una tasa del 15 simple mensual se dividioacute por 6 que son los meses del semestre
Con el fin de simplificar la escritura de las foacutermulas omitiremos la escritura del valor ldquo100rdquo y utilizamos el i como nuacutemero iacutendice es decir el porcentaje expreshysado como nuacutemero decimal ejemplo i = 4 lo escribimos como i = 004
De acuerdo con la nomenclatura anterior y aplicando la simplificacioacuten antes descrita las ecuaciones o foacutermulas dadas se representan asiacute
Foacutermula 1 Foacutermula 2 Foacutermula 3
Remplazando en (b) la foacutermula 2
I = Cf ndash Ci (a) i = I
n i Ci Cf = Ci + i bull n bull Ci
Despejando Cf
Cf = Ci + I (b) I = i bull n bull Ci Cf = Ci (I + i bull n)
Problema 1 Se recibieron $60000 de intereacutes durante un semestre por un depoacutesito en un banshyco comercial Si el banco reconoce una tasa de intereacutes simple del 7 trimestral y liquida a sus clientes sobre saldos trimestrales iquestcuaacutel fue el capital depositado inicialmente respuesta $42857143
I = n bull i bull Ci I = $60000 n = 2 trimestres (un semestre) Ci = 60000007 x 2 = $42857143 I
Ci = i = 7 trimestral i i n
Problema 2 Si las condiciones de un preacutestamo con intereacutes simple se expresan mediante la ecuacioacuten
VF= 500 + 120 t
Donde VF es el valor futuro y t es el tiempo en antildeos determine a) La tasa de intereacutes simple R 24 b) El tiempo transcurrido para que el inversionista reciba $600 de intereacutes total
R 5 antildeos c) iquestCuaacutel seraacute la deuda inicial del quinto antildeo si el banco prestamista no ha recibido
intereses de mora y no cobra intereacutes de mora R 98000
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solucioacuten a) I = Cf ndash Ci rarr Cf = Ci + I rarr Cf = Ci + Ci bull i bull n de foacutermula 4
de 1 darr darr darr
VF = 500 + 120t 120t = 500 x i x t de de3 porque t = n 2
i = 24
b) 120t = Ci bull i bull n = Intereacutes (I) = 600 t = 600120 = 5 antildeos
c) Cf4 = 500 + 120 x 4 = $980 Porque el final del antildeo 4 es el principio del antildeo 5
Problema 3 Pedro Ramiacuterez posee una letra de cambio de tres meses de vencimiento a intereacutes simple del 4 mensual Por necesidades de dinero lleva esta letra a una agencia de cambio (AC) y Ramiacuterez admite recibir un adelanto de $150000 de la AC iquestCuaacutento dinero debe recibir al final del traacutemite si la AC cobra un intereacutes simple del 7 menshysual en todas las operaciones y el valor nominal de la letra es de $300000 respuesta $154500
Problema 4 Juan Peacuterez recibe un preacutestamo extrabancario de $200000 Si el intereacutes convenido es del 6 mensual simple y canceloacute en total intereses por $216000 iquestpor cuaacutento tiempo mantuvo Peacuterez el preacutestamo
I = Ciin 216000 = 200000 x 006 x n n = 18 meses
Problema 5 El contador Morales consigue un preacutestamo de $3000000 a dos antildeos de plazo con una tasa de intereacutes simple del 3 bimestral iquestCuaacutento pagaraacute al final de los dos antildeos respuesta $4080000
Problema 6 iquestEn cuaacutento tiempo se triplica una inversioacuten con un intereacutes simple del 23 anual respuesta 869 antildeos
Cf = Ci + Ciin rarr 3Ci = Ci + Ci 023 n rarr n = 2023 = 869 antildeos
Conversioacuten a antildeos meses y diacuteas 069 x 12 = 828 meses 028 x 30 = 8 diacuteas 8 antildeos 8 meses 8 diacuteas
Problema 7 Una deuda se pactoacute pagarla en tres cuotas asiacute dentro de dos meses $100000 denshytro de cuatro meses $300000 dentro de cinco meses $500000 El intereacutes es simple
6
generalidades
y del 27 mensual El deudor le ofrece a su acreedor pagarle toda la deuda dentro de un mes con $840000 iquestSe debe aceptar esta propuesta
i = 27 mensual (simple) Cf = Ci (1 + i bull n) Ci = Cf divide (1 + i bull n) Calculamos la deuda hoy trasladando los flujos al periacuteodo cero Inicial de la cuota de 100000 en 2 Ci = 100000 divide (1 + 0027 x 2) Ci = 94877 Inicial de la cuota de 100000 en 4 Ci = 300000 divide (1 + 0027 x 4) Ci = 270758 Inicial de la cuota de 100000 en 5 Ci = 500000 divide (1 + 0027 x 5) Ci = 440529
Total hoy 806163 La deuda hoy llevaba al mes uno Cf = Ci (1 + i bull n)
Cf = 806163 (1 + 0027 x 1) Cf = 827930
Se debe aceptar la propuesta porque le ofrecen una cantidad mayor
Problema 8 iquestCuaacutel de las siguientes opciones de gratificacioacuten conviene maacutes a los intereses de un empleado a) recibir ahora $700 b) recibir ahora $200 y $600 a los 60 diacuteas c) recibir tres pagos iguales de $250 cu a 30 60 y 90 diacuteas
Tasa de intereacutes simple del 42 anual respuesta a) $700 b) $76064 c) $70142 mejor b
Problema 9 Usted tiene 3 cheques posfechados parar cobrar asiacute $150000 para dentro de 6 meses $135000 para dentro de ocho meses y $350000 para dentro de 12 meses Debido a una urgencia de efectivo se ve en la necesidad de negociar estos cheques en una casa de cambio que le cobra el 28 mensual simple iquestCuaacutento dinero espera recibir siacute la negociacioacuten la realiza en el diacutea de hoy respuesta $50069482
Problema 10 Pedro debe pagar tres deudas asiacute $1500000 dentro de cuatro meses $2500000 para dentro de seis meses y $3000000 para dentro de ocho meses Estas deudas fueron calculadas con un intereacutes simple de 25 mensual Pedro le propone a su acreedor pagarle hoy $6500000 para cancelar toda la deuda iquestDebe aceptar el acreedor esta oferta respuesta Valor deuda original en pesos de hoy $6037549 Debe aceptar la oferta de Pedro
Problema 11 Pedro tiene que pagar una letra de cambio de $2000000 dentro de ocho meses y otra de $3000000 dentro de 18 meses Su acreedor le acepta cambiar estos pagos por uno de $1500000 en el diacutea de hoy y otro pago al final del antildeo Calcular el valor de este uacuteltimo pago si la tasa de intereacutes es del 2 mensual simple
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respuesta $301322515
Problema 12 Una empresa tiene que cancelar dentro de dos antildeos una obligacioacuten de $5500000 y desea liquidarla sustituyeacutendola por dos pagos iguales en los meses 10 y 22 Si la tasa de intereacutes simple es del 3 mensual iquestcuaacutel es el valor de las cuotas respuesta $2217742
La IguaLDaD Y La EQuIVaLENCIa Estos dos conceptos a menudo se confunden o no se interpretan adecuadamente en teacuterminos econoacutemicos Vamos a tratar de establecer la diferencia entre ellos
Si asumimos una inflacioacuten de 10 anual y un artiacuteculo hoy vale $10000 dentro de un antildeo el mismo artiacuteculo tendraacute un costo de $11000 Esto quiere decir que hoy $10000 tendraacuten el mismo poder de compra que $11000 dentro de un antildeo Debeshymos entender que $10000 hoy son equivalentes a $11000 dentro de un antildeo pero no son iguales en cantidad
De otra manera si queremos comprar dentro de un antildeo un artiacuteculo que hoy vale $10000 debemos invertir el dinero hoy a una tasa del 10 anual para conseguir un intereacutes de $1000 y reunir $11000 dentro de un antildeo para comprar el mismo artiacuteculo
Si el precio de los artiacuteculos se infla a traveacutes del tiempo el dinero tambieacuten debe inflarse con una tasa financiera para conservar el poder de compra Si la tasa finanshyciera de la inversioacuten es igual a la inflacioacuten decimos que nuestro dinero conserva el poder compra Si la tasa financiera es mayor que la inflacioacuten por ejemplo 15 anual al cabo de un antildeo tendriacuteamos $11500 lo que genera una utilidad real de la inversioacuten por encima de la inflacioacuten de $500
Pero si la tasa financiera es inferior a la inflacioacuten por ejemplo 8 anual al cabo de un antildeo la inversioacuten logra acumular $10800 dinero que no alcanza a comshyprar el mismo artiacuteculo Decimos que nuestro dinero ha perdido poder de compra aunque tengamos $800 maacutes
En general cuando invertimos el dinero hoy a una tasa financiera al cabo de cierto tiempo este dinero se ha inflado con los intereses acumulados Si esperamos recibir dentro de cierto tiempo una cantidad de dinero y la negociacioacuten la hacemos hoy (tiempo presente) para saber a cuaacutento equivale hoy la negociacioacuten debemos desinflar esa cantidad (quitarle el intereacutes)
En resumen el dinero de hoy invertido a una tasa i durante un tiempo se infla (aumenta) pero el dinero del futuro llevado a valor presente se desinfla con la tasa i
La igualdad del dinero solo se puede dar cuando los diferentes flujos de dinero son trasladados todos a un mismo periacuteodo futuro o al presente
8
generalidades
conclusiones 1 Los dineros colocados en periacuteodos diferentes pueden ser equivalentes pero
nunca iguales 2 La igualdad del dinero soacutelo puede darse cuando los diferentes flujos de dinero
son trasladados a un mismo periacuteodo
Esto nos debe advertir que las foacutermulas que utilizaremos que son igualdades (=) tendraacuten como uno de los fines que trasladar dineros del presente al futuro (inflar) o del futuro al presente (desinflar)
FLuJOS DE CaJa Son los ingresos y egresos de dinero que ocurren en una empresa por su activad econoacutemica en un periacuteodo determinado Estos flujos de caja pueden ser pagos uacutenishycos (ocurren solo una vez) o seriados Los seriados pueden ser iguales (constantes en valor uniformes) crecientes cada vez o decrecientes cada vez
El crecimiento o decrecimiento puede ser constante aritmeacutetica o porcenshytualmente
Valor presente (P) Pagos uacutenicos Valor futuro (F)
Series uniformes (A) Flujos de caja
Crecientes o decrecientes aritmeacuteticamente Pagos seriados No uniformes
Crecientes o decrecientes en porcentaje
Graacutefico 1 Flujos de caja
Ejemplos de flujos de caja
Pagos uacutenicos
Cuando se hace referencia a pagos uacutenicos nos referimos taacutecitamente a los ingresos y egresos La misma referencia para los seriados Son uacutenicos porque solo ocurren una vez
Valor presente (P)
Pagar hoy un equipo un vehiacuteculo una propiedad cobrar hoy un dinero vender hoy un bien etceacutetera
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Valor futuro (F)
Vender algo dentro de cierto tiempo pagar una deuda dentro de cierto tiempo en general tener ingresos o egresos por una sola vez en tiempo futuro
Los conceptos de presente y futuro son relativos entre ellos Asumamos un ingreso hoy de $10000 un ingreso dentro de dos antildeos de $5000 y un ingreso de $8000 dentro de cinco
El ingreso de $10000 hoy es presente para los para los periacuteodos dos y cinco El ingreso de $5000 dentro de dos antildeos es futuro para el periacuteodo de hoy y
presente para el periacuteodo cinco El ingreso de $8000 es futuro para los periacuteodos de hoy y para el periacuteodo dos
Pagos seriados uniformes (a)
Recordemos que una serie es consecutiva por lo tanto los pagos deben ser conseshycutivos sin interrupciones y para que sean uniformes deben tener el mismo valor Ejemplos los sueldos fijos de un trabajador el canon de arrendamiento durante los 12 meses las cuotas iguales para pagar un creacutedito las dos primas semestrales el cargo fijo mensual de los servicios puacuteblicos etceacutetera
Seriados crecientes o decrecientes aritmeacuteticamente
Pagos mensuales trimestrales semestrales anuales etceacutetera de cuotas u obligacioshynes iniciando con un valor determinado y cada pago posterior se aumenta en una cantidad fija de pesos o disminuye una cantidad fija de pesos
Pagar o recibir cinco cuotas mensuales empezando con $200 y cada vez aushymenta o disminuye en $20
Creciente 200 220 240 260 280 Decreciente 200 180 160 140 120 El incremento o decrecimiento de $20 se llama Gradiente (G)
Seriados crecientes o decrecientes geomeacutetricamente
Pagos mensuales o anuales de cuotas u obligaciones iniciando con un valor detershyminado y cada pago se aumenta o disminuye en un porcentaje constante
Pagar o recibir cinco cuotas mensuales empezando con 200 y cada vez aumenshyta o disminuye en 10
Creciente 200 220 242 2662 29282 Decreciente 200 180 162 1458 13122
10
generalidades
Nomenclatura Los diferentes flujos de caja se representaraacuten mediante siacutembolos alfabeacuteticos para simplificar su escritura
Valor presente P Valor futuro F Serie uniforme A Tasa de intereacutes i Periacuteodos n
Las series crecientes o decrecientes las estudiaremos maacutes adelante
Periacuteodos Los periacuteodos son las diferentes unidades de tiempo que usualmente se utilizan en las operaciones financieras anuales semestrales o bianuales cuatrimestrales trishymestrales bimestrales o cada dos meses mensuales quincenales o bimensuales semanal y diario
Otras unidades de tiempo menos usadas son bienio o cada dos antildeos trienio o cada tres antildeos cuatrienio o cada cuatro antildeos quinquenio o lustro o cada cinco antildeos etceacutetera
Diagramas de flujos de caja Los diferentes flujos de caja se deben representar en diagramas que faciliten la vishysualizacioacuten y la interpretacioacuten de ellos para determinar la metodologiacutea que se debe seguir en la solucioacuten del problema econoacutemico propuesto
Para el diagrama se utiliza el plano cartesiano El eje horizontal de las X se denominaraacute eje del tiempo o de los periacuteodos En eacutel se dibujaraacuten los diferentes peshyriacuteodos (n) El eje vertical o de la ordenada se denominaraacute eje del dinero o flujo ($) Los ingresos se representan con flecha hacia arriba (flujo positivo) y los egresos con flecha hacia abajo (flujo negativo) El tiempo futuro se representa desde el origen hacia la derecha y el tiempo pasado desde el origen hacia la izquierda Por simplificacioacuten se puede omitir el dibujo del eje vertical
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Tiempo pasado $ Tiempo futuro Ingresos Ingresos
2000 hace 4 antildeos hubo 1000 ingreso uacutenico dentro de un ingreso dos antildeos
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 antildeos
Tiempo pasado 3000 cuatro cuotas anuales iguales Egresos Egresos
6000 una inversioacuten hoy Tiempo futuro Egresos
Graacutefico 2 Diagrama de flujos de caja
Problema 13 Graficar los siguientes flujos de caja una inversioacuten hoy de $20000 desde hace cinco antildeos y hasta dentro de dos antildeos ingresos de $4000 un ingreso de $5000 dentro de seis antildeos gastos desde hace un antildeo y hasta dentro de tres antildeos de $6000 anuales
5000 A = 4000
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6antildeos
A = 6000
P = 20000
Una forma maacutes simplificada para dibujar el diagrama anterior es omitiendo las flechas intermedias de las series uniformes y se sustituyen por una liacutenea horizontal que una el primer pago de la serie con el uacuteltimo
12
generalidades
5000A = 4000
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6antildeos
A = 6000 P = 20000
Problema 14 Elaborar el diagrama del siguiente flujo de caja ingresos anuales e iguales de $19000 desde hoy hasta el antildeo 27 un ingreso de $12500 en el sexto antildeo un ingreso de 80000 en el antildeo 31 otro ingreso de $42000 en antildeo 29 un egreso de $8000 en el antildeo 2 egresos anuales uniformes de $5000 del antildeo 4 al 28 y otro egreso anual uniforme de $25000 del antildeo 6 al 31
15000 42000
19000 80000
0 1 2 3 4 5 6 26 27 28 29 30 31antildeos
8000
25000
5000
Problema 15 Hoy se hace un depoacutesito en una entidad financiera por un valor de $16000000 A partir del quinto semestre se empezaraacute a retirar cada vez $250000 y hasta el semestre 16 Adicionalmente en el semestre 16 se podraacute retirar el resto del dinero que seraacute $10000000 y dejar la cuenta en cero Elaborar el diagrama de flujo de caja
Dariacuteo Garciacutea Montoya | CaPiacuteTuLO 1 13
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solucioacuten
F = 10000000
A = 250000 0 1 2 3 4 5 16 Semestres
P = $16000000
Problema 16 Dentro de nueve meses tengo una obligacioacuten hipotecaria por un valor de $4500000 Para cancelar este valor he decidido abrir hoy una cuenta bancaria La apertura de esta cuenta la hareacute con $500000 y cada mes posterior y hasta el final del noveno mes hareacute depoacutesitos iguales de $350000 Elaborar el diagrama de flujo de caja solucioacuten
F = 4500000
0 1 2 8 9 meses
A = 350000500000
Problema 17 Supongamos que una empresa pronostica que los primeros tres antildeos de funcionashymiento produciraacute peacuterdidas anuales decrecientes asiacute el primer antildeo perderaacute $9000 el segundo perderaacute $6000 el tercero perderaacute $3000 el cuarto estaraacute en el punto de equilibrio es decir tendraacute utilidades de $000 Del quinto antildeo en adelante empezaraacute a ganar $3000 el sexto ganaraacute $6000 y asiacute sucesivamente hasta el deacutecimo antildeo El valor inicial de la inversioacuten es de $50000 Elaborar el diagrama de flujo de caja solucioacuten
12000 15000 18000
P = 50000
6000 9000 0 3000
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 antildeos 9000 6000 3000
14
Con mucho carintildeo y reconocimiento a mi esposa y familia por su comprensioacuten
estiacutemulo y sacrificio Igualmente a mis alumnos que han
colaborado en la elaboracioacuten y presentacioacuten de este material
P r oacute L O g O
Las actividades y operaciones financieras han sido a traveacutes de la historia de la hushymanidad el eje principal del desarrollo y progreso que han permitido e impulsado la industrializacioacuten
Para lograr las mejores decisiones econoacutemicas cuando se hace el anaacutelisis de alternativas de inversioacuten es necesario conocer los principios baacutesicos de los proceshydimientos econoacutemicos y sus aplicaciones en el proceso del estudio de inversiones que garanticen una rentabilidad adecuada y un desarrollo progresivo en teacuterminos econoacutemicos
La decisioacuten de invertir tiene que ver con la estructura operacional de la empreshysa y con una de las funciones de la Administracioacuten Financiera que es definir coacutemo cuaacutendo y doacutende invertir
El estudio de la Ingenieriacutea Econoacutemica ofrece los conocimientos baacutesicos neshycesarios para la toma de decisiones y constituye una herramienta fundamental actualizada y equilibrada para manejar el dinero eficientemente a traveacutes del tiempo y teniendo como fines primordiales rentabilidad y oportunidades de inversioacuten
Se pretende en este texto que los estudiosos de esta disciplina encuentren las herramientas procedimientos matemaacuteticos y en general los elementos necesarios y suficientes para el anaacutelisis econoacutemico y la evaluacioacuten de alternativas de inversioacuten
Para lograr este objetivo la distribucioacuten de los temas se inicia con los conshyceptos baacutesicos necesarios para entender la terminologiacutea en el campo financiero y progresivamente se introduciraacuten los meacutetodos matemaacuteticos que se utilizan en el manejo del dinero cuando se tiene la posibilidad de inversioacuten
Uno de los factores determinantes en estos procesos es el conocimiento y el manejo de las tasas de intereacutes en sus diferentes denominaciones y sus transforshymaciones a las equivalencias que se deben utilizar Este tema seraacute estudiado en el capiacutetulo 2 para poder utilizarlas en los capiacutetulos posteriores cuando se presenten diferentes periacuteodos de pago que hagan necesario el uso de tasas equivalentes
Las herramientas que se utilizaraacuten ademaacutes de las foacutermulas y factores seraacuten inicialmente las calculadoras financieras de las cuales ademaacutes de ensentildear el manejo normal de ellas se explicaraacute la forma de programarlas cuando sea necesario
INgENIEriacutea ECONoacutemICa
La segunda gran herramienta es Excel y sus aplicaciones financieras A lo larshygo del texto se muestran soluciones obtenidas en esta hoja electroacutenica cuadros de pagos y graacuteficas explicativas
Adicionalmente en el complemento virtual elaborado para el libro se disentildeoacute un tutorial que ensentildea a resolver cualquier problema de los expuestos como ejemshyplos o propuestos y que antes fueron resueltos manualmente o con el uso de la calculadora
Con el estudio del archivos que componen este complemento virtual subido al Sistema de Informacioacuten en Liacutenea de ECOE y con el conocimiento de los conshyceptos teoacutericos y definiciones baacutesicas es posible que cualquier persona no experta en temas financieros pueda resolver sin la utilizacioacuten de foacutermulas ni calculadoras problemas de Ingenieriacutea Econoacutemica
En general el libro es un compendio sobre temas fundamentales del campo de las finanzas necesario para entender el mundo de los negocios Se utilizoacute un lenguaje claro sencillo praacutectico rico en conceptos con una amplia gama de casos resueltos utilizando foacutermulas y funciones financieras de Excel
Debo agradecer a mis alumnos de la Universidad Libre de Pereira quienes con sus inquietudes preguntas e intereacutes en el tema han apoyado la elaboracioacuten de este trabajo
El autor
XIV
Capiacutetulo 1
generalidades
generalidades
INgENIEriacutea ECONoacutemICa Es una teacutecnica que utiliza procedimientos meacutetodos y foacutermulas matemaacuteticas para analizar evaluar y comparar alternativas econoacutemicas y determinar cuaacutel es la mejor en teacuterminos econoacutemicos
En ingenieriacutea econoacutemica se utilizan algunos teacuterminos de los cuales es necesashyrio conocer su significado Ellos son
Analizar es un estudio sobre cuaacuteles seraacuten los ingresos y egresos que generaraacute la inversioacuten durante su vida uacutetil o tiempo de operacioacuten en una situacioacuten financiera o econoacutemica tal como una inversioacuten que se pretenda realizar
Evaluacioacuten una vez conocidos los flujos proyectados de caja (ingresos y egreshysos) que generaraacute la inversioacuten analizada se cuantifican los valores econoacutemicos a traveacutes del tiempo utilizando foacutermulas y procedimientos matemaacuteticos para detershyminar la rentabilidad y la viabilidad econoacutemica del proyecto
Esta evaluacioacuten se haraacute en teacuterminos porcentuales (tasa de retorno de la invershysioacuten rendimiento porcentual) y en teacuterminos de dinero
Alternativa se refiere a una opcioacuten u oportunidad de inversioacuten Por ejemplo proyectar el montaje de empresa industrial comercial de servicios comprar acshyciones bonos o constituir depoacutesitos (ahorros) en entidades financieras etceacutetera A cada alternativa siempre se le opone la contraria que consiste en no hacer la inversioacuten o en preferir otra si su rendimiento financiero es mejor
Los elementos de medida que se utilizan en la evaluacioacuten y comparacioacuten de alternativas son el dinero y el rendimiento o utilidad porcentual que genere cada alternativa (tasa de intereacutes)
El dinero es un medio circulante con poder de compra o adquisicioacuten de bieshynes o servicios Al igual que cualquier bien raiacutez (vehiacuteculos maquinaria etceacutetera) que se puede arrendar para que genere un canon de arrendamiento el dinero tambieacuten se puede arrendar (prestar depositar en una entidad financiera) para que genere un rendimiento pero en este caso este rendimiento se llama intereacutes
EL INTErEacuteS Y Su CLaSIFICaCIoacuteN El intereacutes es el dinero que genera maacutes dinero a traveacutes del tiempo cuando se invierte Es el valor del dinero en el tiempo o maacutes precisamente el cambio en la cantidad de dinero dushyrante un periacuteodo de tiempo cuando eacuteste se ha tomado en preacutestamo o se ha invertido
Asiacute como se paga por ejemplo un arrendamiento de un inmueble por usarlo de igual manera podriacuteamos asimilar el intereacutes como el dinero que se debe pagar por el uso de un capital tomado en preacutestamo
Ahora bien el intereacutes se clasifica en simple y compuesto (este uacuteltimo se estushydiaraacute completamente en el capiacutetulo 2)
Dariacuteo Garciacutea Montoya | CaPiacuteTuLO 1 3
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Intereacutes simple Una operacioacuten financiera se hace con intereacutes simple cuando durante todo el tiempo de la transaccioacuten soacutelo el capital genera intereses independientemente de si eacutestos se retiran (se cancelan) o no Es decir el intereacutes simple no se le adiciona al capital para generar nuevos intereses
El intereacutes se representa por la letra I (mayuacutescula) y se calcula asiacute
Intereacutes (I) = Cantidad acumulada - Inversioacuten inicial
Cantidad acumulada Cf
Cantidad inicial Ci
Ejemplo para cancelar una deuda de $10000 dentro de 3 antildeos debo pagar $13000 iquestCuaacutel es el intereacutes ganado
I = 13000 - 10000 = $3000
Observe que la unidad de medida del intereacutes son pesos (dinero)
Tasa de intereacutes
Es el intereacutes expresado en porcentaje y por unidad de tiempo Se representa con la letra i y se calcula asiacute
I = Cf ndash Ci (a) o Cf = Ci + I (b) Foacutermula 1
i = Intereacutes acumulado por unidad de tiempo
Cantidad inicial xx 100 i =
I
Ci x 100
Cuando se tienen varios periacuteodos unitarios (2 3 4hellip n periacuteodos) la foacutermula anterior se divide por el nuacutemero de periacuteodos
Simboacutelicamente la foacutermula se expresa asiacute
Foacutermula 2i = I x 100
n x Cantidad inicial i =
I x 100
n x Ci
siacutembolos CF Cantidad acumulada (Capital final Valor futuro) Ci Cantidad inicial (Capital inicial Valor presente) n Nuacutemero de periacuteodos (antildeos semestres meses trimestres diacuteas etc) I Intereacutes i Tasa de intereacutes
4
generalidades
La tasa de intereacutes simple se puede multiplicar o dividir para expresarla en unidades de tiempo diferentes Ejemplo una tasa del 2 simple mensual es equishyvalente a una tasa del 24 simple anual se multiplicoacute por 12 que son los meses del antildeo Una tasa del 9 simple semestral es equivalente a una tasa del 15 simple mensual se dividioacute por 6 que son los meses del semestre
Con el fin de simplificar la escritura de las foacutermulas omitiremos la escritura del valor ldquo100rdquo y utilizamos el i como nuacutemero iacutendice es decir el porcentaje expreshysado como nuacutemero decimal ejemplo i = 4 lo escribimos como i = 004
De acuerdo con la nomenclatura anterior y aplicando la simplificacioacuten antes descrita las ecuaciones o foacutermulas dadas se representan asiacute
Foacutermula 1 Foacutermula 2 Foacutermula 3
Remplazando en (b) la foacutermula 2
I = Cf ndash Ci (a) i = I
n i Ci Cf = Ci + i bull n bull Ci
Despejando Cf
Cf = Ci + I (b) I = i bull n bull Ci Cf = Ci (I + i bull n)
Problema 1 Se recibieron $60000 de intereacutes durante un semestre por un depoacutesito en un banshyco comercial Si el banco reconoce una tasa de intereacutes simple del 7 trimestral y liquida a sus clientes sobre saldos trimestrales iquestcuaacutel fue el capital depositado inicialmente respuesta $42857143
I = n bull i bull Ci I = $60000 n = 2 trimestres (un semestre) Ci = 60000007 x 2 = $42857143 I
Ci = i = 7 trimestral i i n
Problema 2 Si las condiciones de un preacutestamo con intereacutes simple se expresan mediante la ecuacioacuten
VF= 500 + 120 t
Donde VF es el valor futuro y t es el tiempo en antildeos determine a) La tasa de intereacutes simple R 24 b) El tiempo transcurrido para que el inversionista reciba $600 de intereacutes total
R 5 antildeos c) iquestCuaacutel seraacute la deuda inicial del quinto antildeo si el banco prestamista no ha recibido
intereses de mora y no cobra intereacutes de mora R 98000
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solucioacuten a) I = Cf ndash Ci rarr Cf = Ci + I rarr Cf = Ci + Ci bull i bull n de foacutermula 4
de 1 darr darr darr
VF = 500 + 120t 120t = 500 x i x t de de3 porque t = n 2
i = 24
b) 120t = Ci bull i bull n = Intereacutes (I) = 600 t = 600120 = 5 antildeos
c) Cf4 = 500 + 120 x 4 = $980 Porque el final del antildeo 4 es el principio del antildeo 5
Problema 3 Pedro Ramiacuterez posee una letra de cambio de tres meses de vencimiento a intereacutes simple del 4 mensual Por necesidades de dinero lleva esta letra a una agencia de cambio (AC) y Ramiacuterez admite recibir un adelanto de $150000 de la AC iquestCuaacutento dinero debe recibir al final del traacutemite si la AC cobra un intereacutes simple del 7 menshysual en todas las operaciones y el valor nominal de la letra es de $300000 respuesta $154500
Problema 4 Juan Peacuterez recibe un preacutestamo extrabancario de $200000 Si el intereacutes convenido es del 6 mensual simple y canceloacute en total intereses por $216000 iquestpor cuaacutento tiempo mantuvo Peacuterez el preacutestamo
I = Ciin 216000 = 200000 x 006 x n n = 18 meses
Problema 5 El contador Morales consigue un preacutestamo de $3000000 a dos antildeos de plazo con una tasa de intereacutes simple del 3 bimestral iquestCuaacutento pagaraacute al final de los dos antildeos respuesta $4080000
Problema 6 iquestEn cuaacutento tiempo se triplica una inversioacuten con un intereacutes simple del 23 anual respuesta 869 antildeos
Cf = Ci + Ciin rarr 3Ci = Ci + Ci 023 n rarr n = 2023 = 869 antildeos
Conversioacuten a antildeos meses y diacuteas 069 x 12 = 828 meses 028 x 30 = 8 diacuteas 8 antildeos 8 meses 8 diacuteas
Problema 7 Una deuda se pactoacute pagarla en tres cuotas asiacute dentro de dos meses $100000 denshytro de cuatro meses $300000 dentro de cinco meses $500000 El intereacutes es simple
6
generalidades
y del 27 mensual El deudor le ofrece a su acreedor pagarle toda la deuda dentro de un mes con $840000 iquestSe debe aceptar esta propuesta
i = 27 mensual (simple) Cf = Ci (1 + i bull n) Ci = Cf divide (1 + i bull n) Calculamos la deuda hoy trasladando los flujos al periacuteodo cero Inicial de la cuota de 100000 en 2 Ci = 100000 divide (1 + 0027 x 2) Ci = 94877 Inicial de la cuota de 100000 en 4 Ci = 300000 divide (1 + 0027 x 4) Ci = 270758 Inicial de la cuota de 100000 en 5 Ci = 500000 divide (1 + 0027 x 5) Ci = 440529
Total hoy 806163 La deuda hoy llevaba al mes uno Cf = Ci (1 + i bull n)
Cf = 806163 (1 + 0027 x 1) Cf = 827930
Se debe aceptar la propuesta porque le ofrecen una cantidad mayor
Problema 8 iquestCuaacutel de las siguientes opciones de gratificacioacuten conviene maacutes a los intereses de un empleado a) recibir ahora $700 b) recibir ahora $200 y $600 a los 60 diacuteas c) recibir tres pagos iguales de $250 cu a 30 60 y 90 diacuteas
Tasa de intereacutes simple del 42 anual respuesta a) $700 b) $76064 c) $70142 mejor b
Problema 9 Usted tiene 3 cheques posfechados parar cobrar asiacute $150000 para dentro de 6 meses $135000 para dentro de ocho meses y $350000 para dentro de 12 meses Debido a una urgencia de efectivo se ve en la necesidad de negociar estos cheques en una casa de cambio que le cobra el 28 mensual simple iquestCuaacutento dinero espera recibir siacute la negociacioacuten la realiza en el diacutea de hoy respuesta $50069482
Problema 10 Pedro debe pagar tres deudas asiacute $1500000 dentro de cuatro meses $2500000 para dentro de seis meses y $3000000 para dentro de ocho meses Estas deudas fueron calculadas con un intereacutes simple de 25 mensual Pedro le propone a su acreedor pagarle hoy $6500000 para cancelar toda la deuda iquestDebe aceptar el acreedor esta oferta respuesta Valor deuda original en pesos de hoy $6037549 Debe aceptar la oferta de Pedro
Problema 11 Pedro tiene que pagar una letra de cambio de $2000000 dentro de ocho meses y otra de $3000000 dentro de 18 meses Su acreedor le acepta cambiar estos pagos por uno de $1500000 en el diacutea de hoy y otro pago al final del antildeo Calcular el valor de este uacuteltimo pago si la tasa de intereacutes es del 2 mensual simple
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respuesta $301322515
Problema 12 Una empresa tiene que cancelar dentro de dos antildeos una obligacioacuten de $5500000 y desea liquidarla sustituyeacutendola por dos pagos iguales en los meses 10 y 22 Si la tasa de intereacutes simple es del 3 mensual iquestcuaacutel es el valor de las cuotas respuesta $2217742
La IguaLDaD Y La EQuIVaLENCIa Estos dos conceptos a menudo se confunden o no se interpretan adecuadamente en teacuterminos econoacutemicos Vamos a tratar de establecer la diferencia entre ellos
Si asumimos una inflacioacuten de 10 anual y un artiacuteculo hoy vale $10000 dentro de un antildeo el mismo artiacuteculo tendraacute un costo de $11000 Esto quiere decir que hoy $10000 tendraacuten el mismo poder de compra que $11000 dentro de un antildeo Debeshymos entender que $10000 hoy son equivalentes a $11000 dentro de un antildeo pero no son iguales en cantidad
De otra manera si queremos comprar dentro de un antildeo un artiacuteculo que hoy vale $10000 debemos invertir el dinero hoy a una tasa del 10 anual para conseguir un intereacutes de $1000 y reunir $11000 dentro de un antildeo para comprar el mismo artiacuteculo
Si el precio de los artiacuteculos se infla a traveacutes del tiempo el dinero tambieacuten debe inflarse con una tasa financiera para conservar el poder de compra Si la tasa finanshyciera de la inversioacuten es igual a la inflacioacuten decimos que nuestro dinero conserva el poder compra Si la tasa financiera es mayor que la inflacioacuten por ejemplo 15 anual al cabo de un antildeo tendriacuteamos $11500 lo que genera una utilidad real de la inversioacuten por encima de la inflacioacuten de $500
Pero si la tasa financiera es inferior a la inflacioacuten por ejemplo 8 anual al cabo de un antildeo la inversioacuten logra acumular $10800 dinero que no alcanza a comshyprar el mismo artiacuteculo Decimos que nuestro dinero ha perdido poder de compra aunque tengamos $800 maacutes
En general cuando invertimos el dinero hoy a una tasa financiera al cabo de cierto tiempo este dinero se ha inflado con los intereses acumulados Si esperamos recibir dentro de cierto tiempo una cantidad de dinero y la negociacioacuten la hacemos hoy (tiempo presente) para saber a cuaacutento equivale hoy la negociacioacuten debemos desinflar esa cantidad (quitarle el intereacutes)
En resumen el dinero de hoy invertido a una tasa i durante un tiempo se infla (aumenta) pero el dinero del futuro llevado a valor presente se desinfla con la tasa i
La igualdad del dinero solo se puede dar cuando los diferentes flujos de dinero son trasladados todos a un mismo periacuteodo futuro o al presente
8
generalidades
conclusiones 1 Los dineros colocados en periacuteodos diferentes pueden ser equivalentes pero
nunca iguales 2 La igualdad del dinero soacutelo puede darse cuando los diferentes flujos de dinero
son trasladados a un mismo periacuteodo
Esto nos debe advertir que las foacutermulas que utilizaremos que son igualdades (=) tendraacuten como uno de los fines que trasladar dineros del presente al futuro (inflar) o del futuro al presente (desinflar)
FLuJOS DE CaJa Son los ingresos y egresos de dinero que ocurren en una empresa por su activad econoacutemica en un periacuteodo determinado Estos flujos de caja pueden ser pagos uacutenishycos (ocurren solo una vez) o seriados Los seriados pueden ser iguales (constantes en valor uniformes) crecientes cada vez o decrecientes cada vez
El crecimiento o decrecimiento puede ser constante aritmeacutetica o porcenshytualmente
Valor presente (P) Pagos uacutenicos Valor futuro (F)
Series uniformes (A) Flujos de caja
Crecientes o decrecientes aritmeacuteticamente Pagos seriados No uniformes
Crecientes o decrecientes en porcentaje
Graacutefico 1 Flujos de caja
Ejemplos de flujos de caja
Pagos uacutenicos
Cuando se hace referencia a pagos uacutenicos nos referimos taacutecitamente a los ingresos y egresos La misma referencia para los seriados Son uacutenicos porque solo ocurren una vez
Valor presente (P)
Pagar hoy un equipo un vehiacuteculo una propiedad cobrar hoy un dinero vender hoy un bien etceacutetera
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Valor futuro (F)
Vender algo dentro de cierto tiempo pagar una deuda dentro de cierto tiempo en general tener ingresos o egresos por una sola vez en tiempo futuro
Los conceptos de presente y futuro son relativos entre ellos Asumamos un ingreso hoy de $10000 un ingreso dentro de dos antildeos de $5000 y un ingreso de $8000 dentro de cinco
El ingreso de $10000 hoy es presente para los para los periacuteodos dos y cinco El ingreso de $5000 dentro de dos antildeos es futuro para el periacuteodo de hoy y
presente para el periacuteodo cinco El ingreso de $8000 es futuro para los periacuteodos de hoy y para el periacuteodo dos
Pagos seriados uniformes (a)
Recordemos que una serie es consecutiva por lo tanto los pagos deben ser conseshycutivos sin interrupciones y para que sean uniformes deben tener el mismo valor Ejemplos los sueldos fijos de un trabajador el canon de arrendamiento durante los 12 meses las cuotas iguales para pagar un creacutedito las dos primas semestrales el cargo fijo mensual de los servicios puacuteblicos etceacutetera
Seriados crecientes o decrecientes aritmeacuteticamente
Pagos mensuales trimestrales semestrales anuales etceacutetera de cuotas u obligacioshynes iniciando con un valor determinado y cada pago posterior se aumenta en una cantidad fija de pesos o disminuye una cantidad fija de pesos
Pagar o recibir cinco cuotas mensuales empezando con $200 y cada vez aushymenta o disminuye en $20
Creciente 200 220 240 260 280 Decreciente 200 180 160 140 120 El incremento o decrecimiento de $20 se llama Gradiente (G)
Seriados crecientes o decrecientes geomeacutetricamente
Pagos mensuales o anuales de cuotas u obligaciones iniciando con un valor detershyminado y cada pago se aumenta o disminuye en un porcentaje constante
Pagar o recibir cinco cuotas mensuales empezando con 200 y cada vez aumenshyta o disminuye en 10
Creciente 200 220 242 2662 29282 Decreciente 200 180 162 1458 13122
10
generalidades
Nomenclatura Los diferentes flujos de caja se representaraacuten mediante siacutembolos alfabeacuteticos para simplificar su escritura
Valor presente P Valor futuro F Serie uniforme A Tasa de intereacutes i Periacuteodos n
Las series crecientes o decrecientes las estudiaremos maacutes adelante
Periacuteodos Los periacuteodos son las diferentes unidades de tiempo que usualmente se utilizan en las operaciones financieras anuales semestrales o bianuales cuatrimestrales trishymestrales bimestrales o cada dos meses mensuales quincenales o bimensuales semanal y diario
Otras unidades de tiempo menos usadas son bienio o cada dos antildeos trienio o cada tres antildeos cuatrienio o cada cuatro antildeos quinquenio o lustro o cada cinco antildeos etceacutetera
Diagramas de flujos de caja Los diferentes flujos de caja se deben representar en diagramas que faciliten la vishysualizacioacuten y la interpretacioacuten de ellos para determinar la metodologiacutea que se debe seguir en la solucioacuten del problema econoacutemico propuesto
Para el diagrama se utiliza el plano cartesiano El eje horizontal de las X se denominaraacute eje del tiempo o de los periacuteodos En eacutel se dibujaraacuten los diferentes peshyriacuteodos (n) El eje vertical o de la ordenada se denominaraacute eje del dinero o flujo ($) Los ingresos se representan con flecha hacia arriba (flujo positivo) y los egresos con flecha hacia abajo (flujo negativo) El tiempo futuro se representa desde el origen hacia la derecha y el tiempo pasado desde el origen hacia la izquierda Por simplificacioacuten se puede omitir el dibujo del eje vertical
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Tiempo pasado $ Tiempo futuro Ingresos Ingresos
2000 hace 4 antildeos hubo 1000 ingreso uacutenico dentro de un ingreso dos antildeos
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 antildeos
Tiempo pasado 3000 cuatro cuotas anuales iguales Egresos Egresos
6000 una inversioacuten hoy Tiempo futuro Egresos
Graacutefico 2 Diagrama de flujos de caja
Problema 13 Graficar los siguientes flujos de caja una inversioacuten hoy de $20000 desde hace cinco antildeos y hasta dentro de dos antildeos ingresos de $4000 un ingreso de $5000 dentro de seis antildeos gastos desde hace un antildeo y hasta dentro de tres antildeos de $6000 anuales
5000 A = 4000
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6antildeos
A = 6000
P = 20000
Una forma maacutes simplificada para dibujar el diagrama anterior es omitiendo las flechas intermedias de las series uniformes y se sustituyen por una liacutenea horizontal que una el primer pago de la serie con el uacuteltimo
12
generalidades
5000A = 4000
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6antildeos
A = 6000 P = 20000
Problema 14 Elaborar el diagrama del siguiente flujo de caja ingresos anuales e iguales de $19000 desde hoy hasta el antildeo 27 un ingreso de $12500 en el sexto antildeo un ingreso de 80000 en el antildeo 31 otro ingreso de $42000 en antildeo 29 un egreso de $8000 en el antildeo 2 egresos anuales uniformes de $5000 del antildeo 4 al 28 y otro egreso anual uniforme de $25000 del antildeo 6 al 31
15000 42000
19000 80000
0 1 2 3 4 5 6 26 27 28 29 30 31antildeos
8000
25000
5000
Problema 15 Hoy se hace un depoacutesito en una entidad financiera por un valor de $16000000 A partir del quinto semestre se empezaraacute a retirar cada vez $250000 y hasta el semestre 16 Adicionalmente en el semestre 16 se podraacute retirar el resto del dinero que seraacute $10000000 y dejar la cuenta en cero Elaborar el diagrama de flujo de caja
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solucioacuten
F = 10000000
A = 250000 0 1 2 3 4 5 16 Semestres
P = $16000000
Problema 16 Dentro de nueve meses tengo una obligacioacuten hipotecaria por un valor de $4500000 Para cancelar este valor he decidido abrir hoy una cuenta bancaria La apertura de esta cuenta la hareacute con $500000 y cada mes posterior y hasta el final del noveno mes hareacute depoacutesitos iguales de $350000 Elaborar el diagrama de flujo de caja solucioacuten
F = 4500000
0 1 2 8 9 meses
A = 350000500000
Problema 17 Supongamos que una empresa pronostica que los primeros tres antildeos de funcionashymiento produciraacute peacuterdidas anuales decrecientes asiacute el primer antildeo perderaacute $9000 el segundo perderaacute $6000 el tercero perderaacute $3000 el cuarto estaraacute en el punto de equilibrio es decir tendraacute utilidades de $000 Del quinto antildeo en adelante empezaraacute a ganar $3000 el sexto ganaraacute $6000 y asiacute sucesivamente hasta el deacutecimo antildeo El valor inicial de la inversioacuten es de $50000 Elaborar el diagrama de flujo de caja solucioacuten
12000 15000 18000
P = 50000
6000 9000 0 3000
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 antildeos 9000 6000 3000
14
P r oacute L O g O
Las actividades y operaciones financieras han sido a traveacutes de la historia de la hushymanidad el eje principal del desarrollo y progreso que han permitido e impulsado la industrializacioacuten
Para lograr las mejores decisiones econoacutemicas cuando se hace el anaacutelisis de alternativas de inversioacuten es necesario conocer los principios baacutesicos de los proceshydimientos econoacutemicos y sus aplicaciones en el proceso del estudio de inversiones que garanticen una rentabilidad adecuada y un desarrollo progresivo en teacuterminos econoacutemicos
La decisioacuten de invertir tiene que ver con la estructura operacional de la empreshysa y con una de las funciones de la Administracioacuten Financiera que es definir coacutemo cuaacutendo y doacutende invertir
El estudio de la Ingenieriacutea Econoacutemica ofrece los conocimientos baacutesicos neshycesarios para la toma de decisiones y constituye una herramienta fundamental actualizada y equilibrada para manejar el dinero eficientemente a traveacutes del tiempo y teniendo como fines primordiales rentabilidad y oportunidades de inversioacuten
Se pretende en este texto que los estudiosos de esta disciplina encuentren las herramientas procedimientos matemaacuteticos y en general los elementos necesarios y suficientes para el anaacutelisis econoacutemico y la evaluacioacuten de alternativas de inversioacuten
Para lograr este objetivo la distribucioacuten de los temas se inicia con los conshyceptos baacutesicos necesarios para entender la terminologiacutea en el campo financiero y progresivamente se introduciraacuten los meacutetodos matemaacuteticos que se utilizan en el manejo del dinero cuando se tiene la posibilidad de inversioacuten
Uno de los factores determinantes en estos procesos es el conocimiento y el manejo de las tasas de intereacutes en sus diferentes denominaciones y sus transforshymaciones a las equivalencias que se deben utilizar Este tema seraacute estudiado en el capiacutetulo 2 para poder utilizarlas en los capiacutetulos posteriores cuando se presenten diferentes periacuteodos de pago que hagan necesario el uso de tasas equivalentes
Las herramientas que se utilizaraacuten ademaacutes de las foacutermulas y factores seraacuten inicialmente las calculadoras financieras de las cuales ademaacutes de ensentildear el manejo normal de ellas se explicaraacute la forma de programarlas cuando sea necesario
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La segunda gran herramienta es Excel y sus aplicaciones financieras A lo larshygo del texto se muestran soluciones obtenidas en esta hoja electroacutenica cuadros de pagos y graacuteficas explicativas
Adicionalmente en el complemento virtual elaborado para el libro se disentildeoacute un tutorial que ensentildea a resolver cualquier problema de los expuestos como ejemshyplos o propuestos y que antes fueron resueltos manualmente o con el uso de la calculadora
Con el estudio del archivos que componen este complemento virtual subido al Sistema de Informacioacuten en Liacutenea de ECOE y con el conocimiento de los conshyceptos teoacutericos y definiciones baacutesicas es posible que cualquier persona no experta en temas financieros pueda resolver sin la utilizacioacuten de foacutermulas ni calculadoras problemas de Ingenieriacutea Econoacutemica
En general el libro es un compendio sobre temas fundamentales del campo de las finanzas necesario para entender el mundo de los negocios Se utilizoacute un lenguaje claro sencillo praacutectico rico en conceptos con una amplia gama de casos resueltos utilizando foacutermulas y funciones financieras de Excel
Debo agradecer a mis alumnos de la Universidad Libre de Pereira quienes con sus inquietudes preguntas e intereacutes en el tema han apoyado la elaboracioacuten de este trabajo
El autor
XIV
Capiacutetulo 1
generalidades
generalidades
INgENIEriacutea ECONoacutemICa Es una teacutecnica que utiliza procedimientos meacutetodos y foacutermulas matemaacuteticas para analizar evaluar y comparar alternativas econoacutemicas y determinar cuaacutel es la mejor en teacuterminos econoacutemicos
En ingenieriacutea econoacutemica se utilizan algunos teacuterminos de los cuales es necesashyrio conocer su significado Ellos son
Analizar es un estudio sobre cuaacuteles seraacuten los ingresos y egresos que generaraacute la inversioacuten durante su vida uacutetil o tiempo de operacioacuten en una situacioacuten financiera o econoacutemica tal como una inversioacuten que se pretenda realizar
Evaluacioacuten una vez conocidos los flujos proyectados de caja (ingresos y egreshysos) que generaraacute la inversioacuten analizada se cuantifican los valores econoacutemicos a traveacutes del tiempo utilizando foacutermulas y procedimientos matemaacuteticos para detershyminar la rentabilidad y la viabilidad econoacutemica del proyecto
Esta evaluacioacuten se haraacute en teacuterminos porcentuales (tasa de retorno de la invershysioacuten rendimiento porcentual) y en teacuterminos de dinero
Alternativa se refiere a una opcioacuten u oportunidad de inversioacuten Por ejemplo proyectar el montaje de empresa industrial comercial de servicios comprar acshyciones bonos o constituir depoacutesitos (ahorros) en entidades financieras etceacutetera A cada alternativa siempre se le opone la contraria que consiste en no hacer la inversioacuten o en preferir otra si su rendimiento financiero es mejor
Los elementos de medida que se utilizan en la evaluacioacuten y comparacioacuten de alternativas son el dinero y el rendimiento o utilidad porcentual que genere cada alternativa (tasa de intereacutes)
El dinero es un medio circulante con poder de compra o adquisicioacuten de bieshynes o servicios Al igual que cualquier bien raiacutez (vehiacuteculos maquinaria etceacutetera) que se puede arrendar para que genere un canon de arrendamiento el dinero tambieacuten se puede arrendar (prestar depositar en una entidad financiera) para que genere un rendimiento pero en este caso este rendimiento se llama intereacutes
EL INTErEacuteS Y Su CLaSIFICaCIoacuteN El intereacutes es el dinero que genera maacutes dinero a traveacutes del tiempo cuando se invierte Es el valor del dinero en el tiempo o maacutes precisamente el cambio en la cantidad de dinero dushyrante un periacuteodo de tiempo cuando eacuteste se ha tomado en preacutestamo o se ha invertido
Asiacute como se paga por ejemplo un arrendamiento de un inmueble por usarlo de igual manera podriacuteamos asimilar el intereacutes como el dinero que se debe pagar por el uso de un capital tomado en preacutestamo
Ahora bien el intereacutes se clasifica en simple y compuesto (este uacuteltimo se estushydiaraacute completamente en el capiacutetulo 2)
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Intereacutes simple Una operacioacuten financiera se hace con intereacutes simple cuando durante todo el tiempo de la transaccioacuten soacutelo el capital genera intereses independientemente de si eacutestos se retiran (se cancelan) o no Es decir el intereacutes simple no se le adiciona al capital para generar nuevos intereses
El intereacutes se representa por la letra I (mayuacutescula) y se calcula asiacute
Intereacutes (I) = Cantidad acumulada - Inversioacuten inicial
Cantidad acumulada Cf
Cantidad inicial Ci
Ejemplo para cancelar una deuda de $10000 dentro de 3 antildeos debo pagar $13000 iquestCuaacutel es el intereacutes ganado
I = 13000 - 10000 = $3000
Observe que la unidad de medida del intereacutes son pesos (dinero)
Tasa de intereacutes
Es el intereacutes expresado en porcentaje y por unidad de tiempo Se representa con la letra i y se calcula asiacute
I = Cf ndash Ci (a) o Cf = Ci + I (b) Foacutermula 1
i = Intereacutes acumulado por unidad de tiempo
Cantidad inicial xx 100 i =
I
Ci x 100
Cuando se tienen varios periacuteodos unitarios (2 3 4hellip n periacuteodos) la foacutermula anterior se divide por el nuacutemero de periacuteodos
Simboacutelicamente la foacutermula se expresa asiacute
Foacutermula 2i = I x 100
n x Cantidad inicial i =
I x 100
n x Ci
siacutembolos CF Cantidad acumulada (Capital final Valor futuro) Ci Cantidad inicial (Capital inicial Valor presente) n Nuacutemero de periacuteodos (antildeos semestres meses trimestres diacuteas etc) I Intereacutes i Tasa de intereacutes
4
generalidades
La tasa de intereacutes simple se puede multiplicar o dividir para expresarla en unidades de tiempo diferentes Ejemplo una tasa del 2 simple mensual es equishyvalente a una tasa del 24 simple anual se multiplicoacute por 12 que son los meses del antildeo Una tasa del 9 simple semestral es equivalente a una tasa del 15 simple mensual se dividioacute por 6 que son los meses del semestre
Con el fin de simplificar la escritura de las foacutermulas omitiremos la escritura del valor ldquo100rdquo y utilizamos el i como nuacutemero iacutendice es decir el porcentaje expreshysado como nuacutemero decimal ejemplo i = 4 lo escribimos como i = 004
De acuerdo con la nomenclatura anterior y aplicando la simplificacioacuten antes descrita las ecuaciones o foacutermulas dadas se representan asiacute
Foacutermula 1 Foacutermula 2 Foacutermula 3
Remplazando en (b) la foacutermula 2
I = Cf ndash Ci (a) i = I
n i Ci Cf = Ci + i bull n bull Ci
Despejando Cf
Cf = Ci + I (b) I = i bull n bull Ci Cf = Ci (I + i bull n)
Problema 1 Se recibieron $60000 de intereacutes durante un semestre por un depoacutesito en un banshyco comercial Si el banco reconoce una tasa de intereacutes simple del 7 trimestral y liquida a sus clientes sobre saldos trimestrales iquestcuaacutel fue el capital depositado inicialmente respuesta $42857143
I = n bull i bull Ci I = $60000 n = 2 trimestres (un semestre) Ci = 60000007 x 2 = $42857143 I
Ci = i = 7 trimestral i i n
Problema 2 Si las condiciones de un preacutestamo con intereacutes simple se expresan mediante la ecuacioacuten
VF= 500 + 120 t
Donde VF es el valor futuro y t es el tiempo en antildeos determine a) La tasa de intereacutes simple R 24 b) El tiempo transcurrido para que el inversionista reciba $600 de intereacutes total
R 5 antildeos c) iquestCuaacutel seraacute la deuda inicial del quinto antildeo si el banco prestamista no ha recibido
intereses de mora y no cobra intereacutes de mora R 98000
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solucioacuten a) I = Cf ndash Ci rarr Cf = Ci + I rarr Cf = Ci + Ci bull i bull n de foacutermula 4
de 1 darr darr darr
VF = 500 + 120t 120t = 500 x i x t de de3 porque t = n 2
i = 24
b) 120t = Ci bull i bull n = Intereacutes (I) = 600 t = 600120 = 5 antildeos
c) Cf4 = 500 + 120 x 4 = $980 Porque el final del antildeo 4 es el principio del antildeo 5
Problema 3 Pedro Ramiacuterez posee una letra de cambio de tres meses de vencimiento a intereacutes simple del 4 mensual Por necesidades de dinero lleva esta letra a una agencia de cambio (AC) y Ramiacuterez admite recibir un adelanto de $150000 de la AC iquestCuaacutento dinero debe recibir al final del traacutemite si la AC cobra un intereacutes simple del 7 menshysual en todas las operaciones y el valor nominal de la letra es de $300000 respuesta $154500
Problema 4 Juan Peacuterez recibe un preacutestamo extrabancario de $200000 Si el intereacutes convenido es del 6 mensual simple y canceloacute en total intereses por $216000 iquestpor cuaacutento tiempo mantuvo Peacuterez el preacutestamo
I = Ciin 216000 = 200000 x 006 x n n = 18 meses
Problema 5 El contador Morales consigue un preacutestamo de $3000000 a dos antildeos de plazo con una tasa de intereacutes simple del 3 bimestral iquestCuaacutento pagaraacute al final de los dos antildeos respuesta $4080000
Problema 6 iquestEn cuaacutento tiempo se triplica una inversioacuten con un intereacutes simple del 23 anual respuesta 869 antildeos
Cf = Ci + Ciin rarr 3Ci = Ci + Ci 023 n rarr n = 2023 = 869 antildeos
Conversioacuten a antildeos meses y diacuteas 069 x 12 = 828 meses 028 x 30 = 8 diacuteas 8 antildeos 8 meses 8 diacuteas
Problema 7 Una deuda se pactoacute pagarla en tres cuotas asiacute dentro de dos meses $100000 denshytro de cuatro meses $300000 dentro de cinco meses $500000 El intereacutes es simple
6
generalidades
y del 27 mensual El deudor le ofrece a su acreedor pagarle toda la deuda dentro de un mes con $840000 iquestSe debe aceptar esta propuesta
i = 27 mensual (simple) Cf = Ci (1 + i bull n) Ci = Cf divide (1 + i bull n) Calculamos la deuda hoy trasladando los flujos al periacuteodo cero Inicial de la cuota de 100000 en 2 Ci = 100000 divide (1 + 0027 x 2) Ci = 94877 Inicial de la cuota de 100000 en 4 Ci = 300000 divide (1 + 0027 x 4) Ci = 270758 Inicial de la cuota de 100000 en 5 Ci = 500000 divide (1 + 0027 x 5) Ci = 440529
Total hoy 806163 La deuda hoy llevaba al mes uno Cf = Ci (1 + i bull n)
Cf = 806163 (1 + 0027 x 1) Cf = 827930
Se debe aceptar la propuesta porque le ofrecen una cantidad mayor
Problema 8 iquestCuaacutel de las siguientes opciones de gratificacioacuten conviene maacutes a los intereses de un empleado a) recibir ahora $700 b) recibir ahora $200 y $600 a los 60 diacuteas c) recibir tres pagos iguales de $250 cu a 30 60 y 90 diacuteas
Tasa de intereacutes simple del 42 anual respuesta a) $700 b) $76064 c) $70142 mejor b
Problema 9 Usted tiene 3 cheques posfechados parar cobrar asiacute $150000 para dentro de 6 meses $135000 para dentro de ocho meses y $350000 para dentro de 12 meses Debido a una urgencia de efectivo se ve en la necesidad de negociar estos cheques en una casa de cambio que le cobra el 28 mensual simple iquestCuaacutento dinero espera recibir siacute la negociacioacuten la realiza en el diacutea de hoy respuesta $50069482
Problema 10 Pedro debe pagar tres deudas asiacute $1500000 dentro de cuatro meses $2500000 para dentro de seis meses y $3000000 para dentro de ocho meses Estas deudas fueron calculadas con un intereacutes simple de 25 mensual Pedro le propone a su acreedor pagarle hoy $6500000 para cancelar toda la deuda iquestDebe aceptar el acreedor esta oferta respuesta Valor deuda original en pesos de hoy $6037549 Debe aceptar la oferta de Pedro
Problema 11 Pedro tiene que pagar una letra de cambio de $2000000 dentro de ocho meses y otra de $3000000 dentro de 18 meses Su acreedor le acepta cambiar estos pagos por uno de $1500000 en el diacutea de hoy y otro pago al final del antildeo Calcular el valor de este uacuteltimo pago si la tasa de intereacutes es del 2 mensual simple
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INgENIEriacutea ECONoacutemICa
respuesta $301322515
Problema 12 Una empresa tiene que cancelar dentro de dos antildeos una obligacioacuten de $5500000 y desea liquidarla sustituyeacutendola por dos pagos iguales en los meses 10 y 22 Si la tasa de intereacutes simple es del 3 mensual iquestcuaacutel es el valor de las cuotas respuesta $2217742
La IguaLDaD Y La EQuIVaLENCIa Estos dos conceptos a menudo se confunden o no se interpretan adecuadamente en teacuterminos econoacutemicos Vamos a tratar de establecer la diferencia entre ellos
Si asumimos una inflacioacuten de 10 anual y un artiacuteculo hoy vale $10000 dentro de un antildeo el mismo artiacuteculo tendraacute un costo de $11000 Esto quiere decir que hoy $10000 tendraacuten el mismo poder de compra que $11000 dentro de un antildeo Debeshymos entender que $10000 hoy son equivalentes a $11000 dentro de un antildeo pero no son iguales en cantidad
De otra manera si queremos comprar dentro de un antildeo un artiacuteculo que hoy vale $10000 debemos invertir el dinero hoy a una tasa del 10 anual para conseguir un intereacutes de $1000 y reunir $11000 dentro de un antildeo para comprar el mismo artiacuteculo
Si el precio de los artiacuteculos se infla a traveacutes del tiempo el dinero tambieacuten debe inflarse con una tasa financiera para conservar el poder de compra Si la tasa finanshyciera de la inversioacuten es igual a la inflacioacuten decimos que nuestro dinero conserva el poder compra Si la tasa financiera es mayor que la inflacioacuten por ejemplo 15 anual al cabo de un antildeo tendriacuteamos $11500 lo que genera una utilidad real de la inversioacuten por encima de la inflacioacuten de $500
Pero si la tasa financiera es inferior a la inflacioacuten por ejemplo 8 anual al cabo de un antildeo la inversioacuten logra acumular $10800 dinero que no alcanza a comshyprar el mismo artiacuteculo Decimos que nuestro dinero ha perdido poder de compra aunque tengamos $800 maacutes
En general cuando invertimos el dinero hoy a una tasa financiera al cabo de cierto tiempo este dinero se ha inflado con los intereses acumulados Si esperamos recibir dentro de cierto tiempo una cantidad de dinero y la negociacioacuten la hacemos hoy (tiempo presente) para saber a cuaacutento equivale hoy la negociacioacuten debemos desinflar esa cantidad (quitarle el intereacutes)
En resumen el dinero de hoy invertido a una tasa i durante un tiempo se infla (aumenta) pero el dinero del futuro llevado a valor presente se desinfla con la tasa i
La igualdad del dinero solo se puede dar cuando los diferentes flujos de dinero son trasladados todos a un mismo periacuteodo futuro o al presente
8
generalidades
conclusiones 1 Los dineros colocados en periacuteodos diferentes pueden ser equivalentes pero
nunca iguales 2 La igualdad del dinero soacutelo puede darse cuando los diferentes flujos de dinero
son trasladados a un mismo periacuteodo
Esto nos debe advertir que las foacutermulas que utilizaremos que son igualdades (=) tendraacuten como uno de los fines que trasladar dineros del presente al futuro (inflar) o del futuro al presente (desinflar)
FLuJOS DE CaJa Son los ingresos y egresos de dinero que ocurren en una empresa por su activad econoacutemica en un periacuteodo determinado Estos flujos de caja pueden ser pagos uacutenishycos (ocurren solo una vez) o seriados Los seriados pueden ser iguales (constantes en valor uniformes) crecientes cada vez o decrecientes cada vez
El crecimiento o decrecimiento puede ser constante aritmeacutetica o porcenshytualmente
Valor presente (P) Pagos uacutenicos Valor futuro (F)
Series uniformes (A) Flujos de caja
Crecientes o decrecientes aritmeacuteticamente Pagos seriados No uniformes
Crecientes o decrecientes en porcentaje
Graacutefico 1 Flujos de caja
Ejemplos de flujos de caja
Pagos uacutenicos
Cuando se hace referencia a pagos uacutenicos nos referimos taacutecitamente a los ingresos y egresos La misma referencia para los seriados Son uacutenicos porque solo ocurren una vez
Valor presente (P)
Pagar hoy un equipo un vehiacuteculo una propiedad cobrar hoy un dinero vender hoy un bien etceacutetera
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Valor futuro (F)
Vender algo dentro de cierto tiempo pagar una deuda dentro de cierto tiempo en general tener ingresos o egresos por una sola vez en tiempo futuro
Los conceptos de presente y futuro son relativos entre ellos Asumamos un ingreso hoy de $10000 un ingreso dentro de dos antildeos de $5000 y un ingreso de $8000 dentro de cinco
El ingreso de $10000 hoy es presente para los para los periacuteodos dos y cinco El ingreso de $5000 dentro de dos antildeos es futuro para el periacuteodo de hoy y
presente para el periacuteodo cinco El ingreso de $8000 es futuro para los periacuteodos de hoy y para el periacuteodo dos
Pagos seriados uniformes (a)
Recordemos que una serie es consecutiva por lo tanto los pagos deben ser conseshycutivos sin interrupciones y para que sean uniformes deben tener el mismo valor Ejemplos los sueldos fijos de un trabajador el canon de arrendamiento durante los 12 meses las cuotas iguales para pagar un creacutedito las dos primas semestrales el cargo fijo mensual de los servicios puacuteblicos etceacutetera
Seriados crecientes o decrecientes aritmeacuteticamente
Pagos mensuales trimestrales semestrales anuales etceacutetera de cuotas u obligacioshynes iniciando con un valor determinado y cada pago posterior se aumenta en una cantidad fija de pesos o disminuye una cantidad fija de pesos
Pagar o recibir cinco cuotas mensuales empezando con $200 y cada vez aushymenta o disminuye en $20
Creciente 200 220 240 260 280 Decreciente 200 180 160 140 120 El incremento o decrecimiento de $20 se llama Gradiente (G)
Seriados crecientes o decrecientes geomeacutetricamente
Pagos mensuales o anuales de cuotas u obligaciones iniciando con un valor detershyminado y cada pago se aumenta o disminuye en un porcentaje constante
Pagar o recibir cinco cuotas mensuales empezando con 200 y cada vez aumenshyta o disminuye en 10
Creciente 200 220 242 2662 29282 Decreciente 200 180 162 1458 13122
10
generalidades
Nomenclatura Los diferentes flujos de caja se representaraacuten mediante siacutembolos alfabeacuteticos para simplificar su escritura
Valor presente P Valor futuro F Serie uniforme A Tasa de intereacutes i Periacuteodos n
Las series crecientes o decrecientes las estudiaremos maacutes adelante
Periacuteodos Los periacuteodos son las diferentes unidades de tiempo que usualmente se utilizan en las operaciones financieras anuales semestrales o bianuales cuatrimestrales trishymestrales bimestrales o cada dos meses mensuales quincenales o bimensuales semanal y diario
Otras unidades de tiempo menos usadas son bienio o cada dos antildeos trienio o cada tres antildeos cuatrienio o cada cuatro antildeos quinquenio o lustro o cada cinco antildeos etceacutetera
Diagramas de flujos de caja Los diferentes flujos de caja se deben representar en diagramas que faciliten la vishysualizacioacuten y la interpretacioacuten de ellos para determinar la metodologiacutea que se debe seguir en la solucioacuten del problema econoacutemico propuesto
Para el diagrama se utiliza el plano cartesiano El eje horizontal de las X se denominaraacute eje del tiempo o de los periacuteodos En eacutel se dibujaraacuten los diferentes peshyriacuteodos (n) El eje vertical o de la ordenada se denominaraacute eje del dinero o flujo ($) Los ingresos se representan con flecha hacia arriba (flujo positivo) y los egresos con flecha hacia abajo (flujo negativo) El tiempo futuro se representa desde el origen hacia la derecha y el tiempo pasado desde el origen hacia la izquierda Por simplificacioacuten se puede omitir el dibujo del eje vertical
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Tiempo pasado $ Tiempo futuro Ingresos Ingresos
2000 hace 4 antildeos hubo 1000 ingreso uacutenico dentro de un ingreso dos antildeos
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 antildeos
Tiempo pasado 3000 cuatro cuotas anuales iguales Egresos Egresos
6000 una inversioacuten hoy Tiempo futuro Egresos
Graacutefico 2 Diagrama de flujos de caja
Problema 13 Graficar los siguientes flujos de caja una inversioacuten hoy de $20000 desde hace cinco antildeos y hasta dentro de dos antildeos ingresos de $4000 un ingreso de $5000 dentro de seis antildeos gastos desde hace un antildeo y hasta dentro de tres antildeos de $6000 anuales
5000 A = 4000
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6antildeos
A = 6000
P = 20000
Una forma maacutes simplificada para dibujar el diagrama anterior es omitiendo las flechas intermedias de las series uniformes y se sustituyen por una liacutenea horizontal que una el primer pago de la serie con el uacuteltimo
12
generalidades
5000A = 4000
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6antildeos
A = 6000 P = 20000
Problema 14 Elaborar el diagrama del siguiente flujo de caja ingresos anuales e iguales de $19000 desde hoy hasta el antildeo 27 un ingreso de $12500 en el sexto antildeo un ingreso de 80000 en el antildeo 31 otro ingreso de $42000 en antildeo 29 un egreso de $8000 en el antildeo 2 egresos anuales uniformes de $5000 del antildeo 4 al 28 y otro egreso anual uniforme de $25000 del antildeo 6 al 31
15000 42000
19000 80000
0 1 2 3 4 5 6 26 27 28 29 30 31antildeos
8000
25000
5000
Problema 15 Hoy se hace un depoacutesito en una entidad financiera por un valor de $16000000 A partir del quinto semestre se empezaraacute a retirar cada vez $250000 y hasta el semestre 16 Adicionalmente en el semestre 16 se podraacute retirar el resto del dinero que seraacute $10000000 y dejar la cuenta en cero Elaborar el diagrama de flujo de caja
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solucioacuten
F = 10000000
A = 250000 0 1 2 3 4 5 16 Semestres
P = $16000000
Problema 16 Dentro de nueve meses tengo una obligacioacuten hipotecaria por un valor de $4500000 Para cancelar este valor he decidido abrir hoy una cuenta bancaria La apertura de esta cuenta la hareacute con $500000 y cada mes posterior y hasta el final del noveno mes hareacute depoacutesitos iguales de $350000 Elaborar el diagrama de flujo de caja solucioacuten
F = 4500000
0 1 2 8 9 meses
A = 350000500000
Problema 17 Supongamos que una empresa pronostica que los primeros tres antildeos de funcionashymiento produciraacute peacuterdidas anuales decrecientes asiacute el primer antildeo perderaacute $9000 el segundo perderaacute $6000 el tercero perderaacute $3000 el cuarto estaraacute en el punto de equilibrio es decir tendraacute utilidades de $000 Del quinto antildeo en adelante empezaraacute a ganar $3000 el sexto ganaraacute $6000 y asiacute sucesivamente hasta el deacutecimo antildeo El valor inicial de la inversioacuten es de $50000 Elaborar el diagrama de flujo de caja solucioacuten
12000 15000 18000
P = 50000
6000 9000 0 3000
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 antildeos 9000 6000 3000
14
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La segunda gran herramienta es Excel y sus aplicaciones financieras A lo larshygo del texto se muestran soluciones obtenidas en esta hoja electroacutenica cuadros de pagos y graacuteficas explicativas
Adicionalmente en el complemento virtual elaborado para el libro se disentildeoacute un tutorial que ensentildea a resolver cualquier problema de los expuestos como ejemshyplos o propuestos y que antes fueron resueltos manualmente o con el uso de la calculadora
Con el estudio del archivos que componen este complemento virtual subido al Sistema de Informacioacuten en Liacutenea de ECOE y con el conocimiento de los conshyceptos teoacutericos y definiciones baacutesicas es posible que cualquier persona no experta en temas financieros pueda resolver sin la utilizacioacuten de foacutermulas ni calculadoras problemas de Ingenieriacutea Econoacutemica
En general el libro es un compendio sobre temas fundamentales del campo de las finanzas necesario para entender el mundo de los negocios Se utilizoacute un lenguaje claro sencillo praacutectico rico en conceptos con una amplia gama de casos resueltos utilizando foacutermulas y funciones financieras de Excel
Debo agradecer a mis alumnos de la Universidad Libre de Pereira quienes con sus inquietudes preguntas e intereacutes en el tema han apoyado la elaboracioacuten de este trabajo
El autor
XIV
Capiacutetulo 1
generalidades
generalidades
INgENIEriacutea ECONoacutemICa Es una teacutecnica que utiliza procedimientos meacutetodos y foacutermulas matemaacuteticas para analizar evaluar y comparar alternativas econoacutemicas y determinar cuaacutel es la mejor en teacuterminos econoacutemicos
En ingenieriacutea econoacutemica se utilizan algunos teacuterminos de los cuales es necesashyrio conocer su significado Ellos son
Analizar es un estudio sobre cuaacuteles seraacuten los ingresos y egresos que generaraacute la inversioacuten durante su vida uacutetil o tiempo de operacioacuten en una situacioacuten financiera o econoacutemica tal como una inversioacuten que se pretenda realizar
Evaluacioacuten una vez conocidos los flujos proyectados de caja (ingresos y egreshysos) que generaraacute la inversioacuten analizada se cuantifican los valores econoacutemicos a traveacutes del tiempo utilizando foacutermulas y procedimientos matemaacuteticos para detershyminar la rentabilidad y la viabilidad econoacutemica del proyecto
Esta evaluacioacuten se haraacute en teacuterminos porcentuales (tasa de retorno de la invershysioacuten rendimiento porcentual) y en teacuterminos de dinero
Alternativa se refiere a una opcioacuten u oportunidad de inversioacuten Por ejemplo proyectar el montaje de empresa industrial comercial de servicios comprar acshyciones bonos o constituir depoacutesitos (ahorros) en entidades financieras etceacutetera A cada alternativa siempre se le opone la contraria que consiste en no hacer la inversioacuten o en preferir otra si su rendimiento financiero es mejor
Los elementos de medida que se utilizan en la evaluacioacuten y comparacioacuten de alternativas son el dinero y el rendimiento o utilidad porcentual que genere cada alternativa (tasa de intereacutes)
El dinero es un medio circulante con poder de compra o adquisicioacuten de bieshynes o servicios Al igual que cualquier bien raiacutez (vehiacuteculos maquinaria etceacutetera) que se puede arrendar para que genere un canon de arrendamiento el dinero tambieacuten se puede arrendar (prestar depositar en una entidad financiera) para que genere un rendimiento pero en este caso este rendimiento se llama intereacutes
EL INTErEacuteS Y Su CLaSIFICaCIoacuteN El intereacutes es el dinero que genera maacutes dinero a traveacutes del tiempo cuando se invierte Es el valor del dinero en el tiempo o maacutes precisamente el cambio en la cantidad de dinero dushyrante un periacuteodo de tiempo cuando eacuteste se ha tomado en preacutestamo o se ha invertido
Asiacute como se paga por ejemplo un arrendamiento de un inmueble por usarlo de igual manera podriacuteamos asimilar el intereacutes como el dinero que se debe pagar por el uso de un capital tomado en preacutestamo
Ahora bien el intereacutes se clasifica en simple y compuesto (este uacuteltimo se estushydiaraacute completamente en el capiacutetulo 2)
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INgENIEriacutea ECONoacutemICa
Intereacutes simple Una operacioacuten financiera se hace con intereacutes simple cuando durante todo el tiempo de la transaccioacuten soacutelo el capital genera intereses independientemente de si eacutestos se retiran (se cancelan) o no Es decir el intereacutes simple no se le adiciona al capital para generar nuevos intereses
El intereacutes se representa por la letra I (mayuacutescula) y se calcula asiacute
Intereacutes (I) = Cantidad acumulada - Inversioacuten inicial
Cantidad acumulada Cf
Cantidad inicial Ci
Ejemplo para cancelar una deuda de $10000 dentro de 3 antildeos debo pagar $13000 iquestCuaacutel es el intereacutes ganado
I = 13000 - 10000 = $3000
Observe que la unidad de medida del intereacutes son pesos (dinero)
Tasa de intereacutes
Es el intereacutes expresado en porcentaje y por unidad de tiempo Se representa con la letra i y se calcula asiacute
I = Cf ndash Ci (a) o Cf = Ci + I (b) Foacutermula 1
i = Intereacutes acumulado por unidad de tiempo
Cantidad inicial xx 100 i =
I
Ci x 100
Cuando se tienen varios periacuteodos unitarios (2 3 4hellip n periacuteodos) la foacutermula anterior se divide por el nuacutemero de periacuteodos
Simboacutelicamente la foacutermula se expresa asiacute
Foacutermula 2i = I x 100
n x Cantidad inicial i =
I x 100
n x Ci
siacutembolos CF Cantidad acumulada (Capital final Valor futuro) Ci Cantidad inicial (Capital inicial Valor presente) n Nuacutemero de periacuteodos (antildeos semestres meses trimestres diacuteas etc) I Intereacutes i Tasa de intereacutes
4
generalidades
La tasa de intereacutes simple se puede multiplicar o dividir para expresarla en unidades de tiempo diferentes Ejemplo una tasa del 2 simple mensual es equishyvalente a una tasa del 24 simple anual se multiplicoacute por 12 que son los meses del antildeo Una tasa del 9 simple semestral es equivalente a una tasa del 15 simple mensual se dividioacute por 6 que son los meses del semestre
Con el fin de simplificar la escritura de las foacutermulas omitiremos la escritura del valor ldquo100rdquo y utilizamos el i como nuacutemero iacutendice es decir el porcentaje expreshysado como nuacutemero decimal ejemplo i = 4 lo escribimos como i = 004
De acuerdo con la nomenclatura anterior y aplicando la simplificacioacuten antes descrita las ecuaciones o foacutermulas dadas se representan asiacute
Foacutermula 1 Foacutermula 2 Foacutermula 3
Remplazando en (b) la foacutermula 2
I = Cf ndash Ci (a) i = I
n i Ci Cf = Ci + i bull n bull Ci
Despejando Cf
Cf = Ci + I (b) I = i bull n bull Ci Cf = Ci (I + i bull n)
Problema 1 Se recibieron $60000 de intereacutes durante un semestre por un depoacutesito en un banshyco comercial Si el banco reconoce una tasa de intereacutes simple del 7 trimestral y liquida a sus clientes sobre saldos trimestrales iquestcuaacutel fue el capital depositado inicialmente respuesta $42857143
I = n bull i bull Ci I = $60000 n = 2 trimestres (un semestre) Ci = 60000007 x 2 = $42857143 I
Ci = i = 7 trimestral i i n
Problema 2 Si las condiciones de un preacutestamo con intereacutes simple se expresan mediante la ecuacioacuten
VF= 500 + 120 t
Donde VF es el valor futuro y t es el tiempo en antildeos determine a) La tasa de intereacutes simple R 24 b) El tiempo transcurrido para que el inversionista reciba $600 de intereacutes total
R 5 antildeos c) iquestCuaacutel seraacute la deuda inicial del quinto antildeo si el banco prestamista no ha recibido
intereses de mora y no cobra intereacutes de mora R 98000
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solucioacuten a) I = Cf ndash Ci rarr Cf = Ci + I rarr Cf = Ci + Ci bull i bull n de foacutermula 4
de 1 darr darr darr
VF = 500 + 120t 120t = 500 x i x t de de3 porque t = n 2
i = 24
b) 120t = Ci bull i bull n = Intereacutes (I) = 600 t = 600120 = 5 antildeos
c) Cf4 = 500 + 120 x 4 = $980 Porque el final del antildeo 4 es el principio del antildeo 5
Problema 3 Pedro Ramiacuterez posee una letra de cambio de tres meses de vencimiento a intereacutes simple del 4 mensual Por necesidades de dinero lleva esta letra a una agencia de cambio (AC) y Ramiacuterez admite recibir un adelanto de $150000 de la AC iquestCuaacutento dinero debe recibir al final del traacutemite si la AC cobra un intereacutes simple del 7 menshysual en todas las operaciones y el valor nominal de la letra es de $300000 respuesta $154500
Problema 4 Juan Peacuterez recibe un preacutestamo extrabancario de $200000 Si el intereacutes convenido es del 6 mensual simple y canceloacute en total intereses por $216000 iquestpor cuaacutento tiempo mantuvo Peacuterez el preacutestamo
I = Ciin 216000 = 200000 x 006 x n n = 18 meses
Problema 5 El contador Morales consigue un preacutestamo de $3000000 a dos antildeos de plazo con una tasa de intereacutes simple del 3 bimestral iquestCuaacutento pagaraacute al final de los dos antildeos respuesta $4080000
Problema 6 iquestEn cuaacutento tiempo se triplica una inversioacuten con un intereacutes simple del 23 anual respuesta 869 antildeos
Cf = Ci + Ciin rarr 3Ci = Ci + Ci 023 n rarr n = 2023 = 869 antildeos
Conversioacuten a antildeos meses y diacuteas 069 x 12 = 828 meses 028 x 30 = 8 diacuteas 8 antildeos 8 meses 8 diacuteas
Problema 7 Una deuda se pactoacute pagarla en tres cuotas asiacute dentro de dos meses $100000 denshytro de cuatro meses $300000 dentro de cinco meses $500000 El intereacutes es simple
6
generalidades
y del 27 mensual El deudor le ofrece a su acreedor pagarle toda la deuda dentro de un mes con $840000 iquestSe debe aceptar esta propuesta
i = 27 mensual (simple) Cf = Ci (1 + i bull n) Ci = Cf divide (1 + i bull n) Calculamos la deuda hoy trasladando los flujos al periacuteodo cero Inicial de la cuota de 100000 en 2 Ci = 100000 divide (1 + 0027 x 2) Ci = 94877 Inicial de la cuota de 100000 en 4 Ci = 300000 divide (1 + 0027 x 4) Ci = 270758 Inicial de la cuota de 100000 en 5 Ci = 500000 divide (1 + 0027 x 5) Ci = 440529
Total hoy 806163 La deuda hoy llevaba al mes uno Cf = Ci (1 + i bull n)
Cf = 806163 (1 + 0027 x 1) Cf = 827930
Se debe aceptar la propuesta porque le ofrecen una cantidad mayor
Problema 8 iquestCuaacutel de las siguientes opciones de gratificacioacuten conviene maacutes a los intereses de un empleado a) recibir ahora $700 b) recibir ahora $200 y $600 a los 60 diacuteas c) recibir tres pagos iguales de $250 cu a 30 60 y 90 diacuteas
Tasa de intereacutes simple del 42 anual respuesta a) $700 b) $76064 c) $70142 mejor b
Problema 9 Usted tiene 3 cheques posfechados parar cobrar asiacute $150000 para dentro de 6 meses $135000 para dentro de ocho meses y $350000 para dentro de 12 meses Debido a una urgencia de efectivo se ve en la necesidad de negociar estos cheques en una casa de cambio que le cobra el 28 mensual simple iquestCuaacutento dinero espera recibir siacute la negociacioacuten la realiza en el diacutea de hoy respuesta $50069482
Problema 10 Pedro debe pagar tres deudas asiacute $1500000 dentro de cuatro meses $2500000 para dentro de seis meses y $3000000 para dentro de ocho meses Estas deudas fueron calculadas con un intereacutes simple de 25 mensual Pedro le propone a su acreedor pagarle hoy $6500000 para cancelar toda la deuda iquestDebe aceptar el acreedor esta oferta respuesta Valor deuda original en pesos de hoy $6037549 Debe aceptar la oferta de Pedro
Problema 11 Pedro tiene que pagar una letra de cambio de $2000000 dentro de ocho meses y otra de $3000000 dentro de 18 meses Su acreedor le acepta cambiar estos pagos por uno de $1500000 en el diacutea de hoy y otro pago al final del antildeo Calcular el valor de este uacuteltimo pago si la tasa de intereacutes es del 2 mensual simple
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respuesta $301322515
Problema 12 Una empresa tiene que cancelar dentro de dos antildeos una obligacioacuten de $5500000 y desea liquidarla sustituyeacutendola por dos pagos iguales en los meses 10 y 22 Si la tasa de intereacutes simple es del 3 mensual iquestcuaacutel es el valor de las cuotas respuesta $2217742
La IguaLDaD Y La EQuIVaLENCIa Estos dos conceptos a menudo se confunden o no se interpretan adecuadamente en teacuterminos econoacutemicos Vamos a tratar de establecer la diferencia entre ellos
Si asumimos una inflacioacuten de 10 anual y un artiacuteculo hoy vale $10000 dentro de un antildeo el mismo artiacuteculo tendraacute un costo de $11000 Esto quiere decir que hoy $10000 tendraacuten el mismo poder de compra que $11000 dentro de un antildeo Debeshymos entender que $10000 hoy son equivalentes a $11000 dentro de un antildeo pero no son iguales en cantidad
De otra manera si queremos comprar dentro de un antildeo un artiacuteculo que hoy vale $10000 debemos invertir el dinero hoy a una tasa del 10 anual para conseguir un intereacutes de $1000 y reunir $11000 dentro de un antildeo para comprar el mismo artiacuteculo
Si el precio de los artiacuteculos se infla a traveacutes del tiempo el dinero tambieacuten debe inflarse con una tasa financiera para conservar el poder de compra Si la tasa finanshyciera de la inversioacuten es igual a la inflacioacuten decimos que nuestro dinero conserva el poder compra Si la tasa financiera es mayor que la inflacioacuten por ejemplo 15 anual al cabo de un antildeo tendriacuteamos $11500 lo que genera una utilidad real de la inversioacuten por encima de la inflacioacuten de $500
Pero si la tasa financiera es inferior a la inflacioacuten por ejemplo 8 anual al cabo de un antildeo la inversioacuten logra acumular $10800 dinero que no alcanza a comshyprar el mismo artiacuteculo Decimos que nuestro dinero ha perdido poder de compra aunque tengamos $800 maacutes
En general cuando invertimos el dinero hoy a una tasa financiera al cabo de cierto tiempo este dinero se ha inflado con los intereses acumulados Si esperamos recibir dentro de cierto tiempo una cantidad de dinero y la negociacioacuten la hacemos hoy (tiempo presente) para saber a cuaacutento equivale hoy la negociacioacuten debemos desinflar esa cantidad (quitarle el intereacutes)
En resumen el dinero de hoy invertido a una tasa i durante un tiempo se infla (aumenta) pero el dinero del futuro llevado a valor presente se desinfla con la tasa i
La igualdad del dinero solo se puede dar cuando los diferentes flujos de dinero son trasladados todos a un mismo periacuteodo futuro o al presente
8
generalidades
conclusiones 1 Los dineros colocados en periacuteodos diferentes pueden ser equivalentes pero
nunca iguales 2 La igualdad del dinero soacutelo puede darse cuando los diferentes flujos de dinero
son trasladados a un mismo periacuteodo
Esto nos debe advertir que las foacutermulas que utilizaremos que son igualdades (=) tendraacuten como uno de los fines que trasladar dineros del presente al futuro (inflar) o del futuro al presente (desinflar)
FLuJOS DE CaJa Son los ingresos y egresos de dinero que ocurren en una empresa por su activad econoacutemica en un periacuteodo determinado Estos flujos de caja pueden ser pagos uacutenishycos (ocurren solo una vez) o seriados Los seriados pueden ser iguales (constantes en valor uniformes) crecientes cada vez o decrecientes cada vez
El crecimiento o decrecimiento puede ser constante aritmeacutetica o porcenshytualmente
Valor presente (P) Pagos uacutenicos Valor futuro (F)
Series uniformes (A) Flujos de caja
Crecientes o decrecientes aritmeacuteticamente Pagos seriados No uniformes
Crecientes o decrecientes en porcentaje
Graacutefico 1 Flujos de caja
Ejemplos de flujos de caja
Pagos uacutenicos
Cuando se hace referencia a pagos uacutenicos nos referimos taacutecitamente a los ingresos y egresos La misma referencia para los seriados Son uacutenicos porque solo ocurren una vez
Valor presente (P)
Pagar hoy un equipo un vehiacuteculo una propiedad cobrar hoy un dinero vender hoy un bien etceacutetera
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Valor futuro (F)
Vender algo dentro de cierto tiempo pagar una deuda dentro de cierto tiempo en general tener ingresos o egresos por una sola vez en tiempo futuro
Los conceptos de presente y futuro son relativos entre ellos Asumamos un ingreso hoy de $10000 un ingreso dentro de dos antildeos de $5000 y un ingreso de $8000 dentro de cinco
El ingreso de $10000 hoy es presente para los para los periacuteodos dos y cinco El ingreso de $5000 dentro de dos antildeos es futuro para el periacuteodo de hoy y
presente para el periacuteodo cinco El ingreso de $8000 es futuro para los periacuteodos de hoy y para el periacuteodo dos
Pagos seriados uniformes (a)
Recordemos que una serie es consecutiva por lo tanto los pagos deben ser conseshycutivos sin interrupciones y para que sean uniformes deben tener el mismo valor Ejemplos los sueldos fijos de un trabajador el canon de arrendamiento durante los 12 meses las cuotas iguales para pagar un creacutedito las dos primas semestrales el cargo fijo mensual de los servicios puacuteblicos etceacutetera
Seriados crecientes o decrecientes aritmeacuteticamente
Pagos mensuales trimestrales semestrales anuales etceacutetera de cuotas u obligacioshynes iniciando con un valor determinado y cada pago posterior se aumenta en una cantidad fija de pesos o disminuye una cantidad fija de pesos
Pagar o recibir cinco cuotas mensuales empezando con $200 y cada vez aushymenta o disminuye en $20
Creciente 200 220 240 260 280 Decreciente 200 180 160 140 120 El incremento o decrecimiento de $20 se llama Gradiente (G)
Seriados crecientes o decrecientes geomeacutetricamente
Pagos mensuales o anuales de cuotas u obligaciones iniciando con un valor detershyminado y cada pago se aumenta o disminuye en un porcentaje constante
Pagar o recibir cinco cuotas mensuales empezando con 200 y cada vez aumenshyta o disminuye en 10
Creciente 200 220 242 2662 29282 Decreciente 200 180 162 1458 13122
10
generalidades
Nomenclatura Los diferentes flujos de caja se representaraacuten mediante siacutembolos alfabeacuteticos para simplificar su escritura
Valor presente P Valor futuro F Serie uniforme A Tasa de intereacutes i Periacuteodos n
Las series crecientes o decrecientes las estudiaremos maacutes adelante
Periacuteodos Los periacuteodos son las diferentes unidades de tiempo que usualmente se utilizan en las operaciones financieras anuales semestrales o bianuales cuatrimestrales trishymestrales bimestrales o cada dos meses mensuales quincenales o bimensuales semanal y diario
Otras unidades de tiempo menos usadas son bienio o cada dos antildeos trienio o cada tres antildeos cuatrienio o cada cuatro antildeos quinquenio o lustro o cada cinco antildeos etceacutetera
Diagramas de flujos de caja Los diferentes flujos de caja se deben representar en diagramas que faciliten la vishysualizacioacuten y la interpretacioacuten de ellos para determinar la metodologiacutea que se debe seguir en la solucioacuten del problema econoacutemico propuesto
Para el diagrama se utiliza el plano cartesiano El eje horizontal de las X se denominaraacute eje del tiempo o de los periacuteodos En eacutel se dibujaraacuten los diferentes peshyriacuteodos (n) El eje vertical o de la ordenada se denominaraacute eje del dinero o flujo ($) Los ingresos se representan con flecha hacia arriba (flujo positivo) y los egresos con flecha hacia abajo (flujo negativo) El tiempo futuro se representa desde el origen hacia la derecha y el tiempo pasado desde el origen hacia la izquierda Por simplificacioacuten se puede omitir el dibujo del eje vertical
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Tiempo pasado $ Tiempo futuro Ingresos Ingresos
2000 hace 4 antildeos hubo 1000 ingreso uacutenico dentro de un ingreso dos antildeos
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 antildeos
Tiempo pasado 3000 cuatro cuotas anuales iguales Egresos Egresos
6000 una inversioacuten hoy Tiempo futuro Egresos
Graacutefico 2 Diagrama de flujos de caja
Problema 13 Graficar los siguientes flujos de caja una inversioacuten hoy de $20000 desde hace cinco antildeos y hasta dentro de dos antildeos ingresos de $4000 un ingreso de $5000 dentro de seis antildeos gastos desde hace un antildeo y hasta dentro de tres antildeos de $6000 anuales
5000 A = 4000
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6antildeos
A = 6000
P = 20000
Una forma maacutes simplificada para dibujar el diagrama anterior es omitiendo las flechas intermedias de las series uniformes y se sustituyen por una liacutenea horizontal que una el primer pago de la serie con el uacuteltimo
12
generalidades
5000A = 4000
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6antildeos
A = 6000 P = 20000
Problema 14 Elaborar el diagrama del siguiente flujo de caja ingresos anuales e iguales de $19000 desde hoy hasta el antildeo 27 un ingreso de $12500 en el sexto antildeo un ingreso de 80000 en el antildeo 31 otro ingreso de $42000 en antildeo 29 un egreso de $8000 en el antildeo 2 egresos anuales uniformes de $5000 del antildeo 4 al 28 y otro egreso anual uniforme de $25000 del antildeo 6 al 31
15000 42000
19000 80000
0 1 2 3 4 5 6 26 27 28 29 30 31antildeos
8000
25000
5000
Problema 15 Hoy se hace un depoacutesito en una entidad financiera por un valor de $16000000 A partir del quinto semestre se empezaraacute a retirar cada vez $250000 y hasta el semestre 16 Adicionalmente en el semestre 16 se podraacute retirar el resto del dinero que seraacute $10000000 y dejar la cuenta en cero Elaborar el diagrama de flujo de caja
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solucioacuten
F = 10000000
A = 250000 0 1 2 3 4 5 16 Semestres
P = $16000000
Problema 16 Dentro de nueve meses tengo una obligacioacuten hipotecaria por un valor de $4500000 Para cancelar este valor he decidido abrir hoy una cuenta bancaria La apertura de esta cuenta la hareacute con $500000 y cada mes posterior y hasta el final del noveno mes hareacute depoacutesitos iguales de $350000 Elaborar el diagrama de flujo de caja solucioacuten
F = 4500000
0 1 2 8 9 meses
A = 350000500000
Problema 17 Supongamos que una empresa pronostica que los primeros tres antildeos de funcionashymiento produciraacute peacuterdidas anuales decrecientes asiacute el primer antildeo perderaacute $9000 el segundo perderaacute $6000 el tercero perderaacute $3000 el cuarto estaraacute en el punto de equilibrio es decir tendraacute utilidades de $000 Del quinto antildeo en adelante empezaraacute a ganar $3000 el sexto ganaraacute $6000 y asiacute sucesivamente hasta el deacutecimo antildeo El valor inicial de la inversioacuten es de $50000 Elaborar el diagrama de flujo de caja solucioacuten
12000 15000 18000
P = 50000
6000 9000 0 3000
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 antildeos 9000 6000 3000
14
Capiacutetulo 1
generalidades
generalidades
INgENIEriacutea ECONoacutemICa Es una teacutecnica que utiliza procedimientos meacutetodos y foacutermulas matemaacuteticas para analizar evaluar y comparar alternativas econoacutemicas y determinar cuaacutel es la mejor en teacuterminos econoacutemicos
En ingenieriacutea econoacutemica se utilizan algunos teacuterminos de los cuales es necesashyrio conocer su significado Ellos son
Analizar es un estudio sobre cuaacuteles seraacuten los ingresos y egresos que generaraacute la inversioacuten durante su vida uacutetil o tiempo de operacioacuten en una situacioacuten financiera o econoacutemica tal como una inversioacuten que se pretenda realizar
Evaluacioacuten una vez conocidos los flujos proyectados de caja (ingresos y egreshysos) que generaraacute la inversioacuten analizada se cuantifican los valores econoacutemicos a traveacutes del tiempo utilizando foacutermulas y procedimientos matemaacuteticos para detershyminar la rentabilidad y la viabilidad econoacutemica del proyecto
Esta evaluacioacuten se haraacute en teacuterminos porcentuales (tasa de retorno de la invershysioacuten rendimiento porcentual) y en teacuterminos de dinero
Alternativa se refiere a una opcioacuten u oportunidad de inversioacuten Por ejemplo proyectar el montaje de empresa industrial comercial de servicios comprar acshyciones bonos o constituir depoacutesitos (ahorros) en entidades financieras etceacutetera A cada alternativa siempre se le opone la contraria que consiste en no hacer la inversioacuten o en preferir otra si su rendimiento financiero es mejor
Los elementos de medida que se utilizan en la evaluacioacuten y comparacioacuten de alternativas son el dinero y el rendimiento o utilidad porcentual que genere cada alternativa (tasa de intereacutes)
El dinero es un medio circulante con poder de compra o adquisicioacuten de bieshynes o servicios Al igual que cualquier bien raiacutez (vehiacuteculos maquinaria etceacutetera) que se puede arrendar para que genere un canon de arrendamiento el dinero tambieacuten se puede arrendar (prestar depositar en una entidad financiera) para que genere un rendimiento pero en este caso este rendimiento se llama intereacutes
EL INTErEacuteS Y Su CLaSIFICaCIoacuteN El intereacutes es el dinero que genera maacutes dinero a traveacutes del tiempo cuando se invierte Es el valor del dinero en el tiempo o maacutes precisamente el cambio en la cantidad de dinero dushyrante un periacuteodo de tiempo cuando eacuteste se ha tomado en preacutestamo o se ha invertido
Asiacute como se paga por ejemplo un arrendamiento de un inmueble por usarlo de igual manera podriacuteamos asimilar el intereacutes como el dinero que se debe pagar por el uso de un capital tomado en preacutestamo
Ahora bien el intereacutes se clasifica en simple y compuesto (este uacuteltimo se estushydiaraacute completamente en el capiacutetulo 2)
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Intereacutes simple Una operacioacuten financiera se hace con intereacutes simple cuando durante todo el tiempo de la transaccioacuten soacutelo el capital genera intereses independientemente de si eacutestos se retiran (se cancelan) o no Es decir el intereacutes simple no se le adiciona al capital para generar nuevos intereses
El intereacutes se representa por la letra I (mayuacutescula) y se calcula asiacute
Intereacutes (I) = Cantidad acumulada - Inversioacuten inicial
Cantidad acumulada Cf
Cantidad inicial Ci
Ejemplo para cancelar una deuda de $10000 dentro de 3 antildeos debo pagar $13000 iquestCuaacutel es el intereacutes ganado
I = 13000 - 10000 = $3000
Observe que la unidad de medida del intereacutes son pesos (dinero)
Tasa de intereacutes
Es el intereacutes expresado en porcentaje y por unidad de tiempo Se representa con la letra i y se calcula asiacute
I = Cf ndash Ci (a) o Cf = Ci + I (b) Foacutermula 1
i = Intereacutes acumulado por unidad de tiempo
Cantidad inicial xx 100 i =
I
Ci x 100
Cuando se tienen varios periacuteodos unitarios (2 3 4hellip n periacuteodos) la foacutermula anterior se divide por el nuacutemero de periacuteodos
Simboacutelicamente la foacutermula se expresa asiacute
Foacutermula 2i = I x 100
n x Cantidad inicial i =
I x 100
n x Ci
siacutembolos CF Cantidad acumulada (Capital final Valor futuro) Ci Cantidad inicial (Capital inicial Valor presente) n Nuacutemero de periacuteodos (antildeos semestres meses trimestres diacuteas etc) I Intereacutes i Tasa de intereacutes
4
generalidades
La tasa de intereacutes simple se puede multiplicar o dividir para expresarla en unidades de tiempo diferentes Ejemplo una tasa del 2 simple mensual es equishyvalente a una tasa del 24 simple anual se multiplicoacute por 12 que son los meses del antildeo Una tasa del 9 simple semestral es equivalente a una tasa del 15 simple mensual se dividioacute por 6 que son los meses del semestre
Con el fin de simplificar la escritura de las foacutermulas omitiremos la escritura del valor ldquo100rdquo y utilizamos el i como nuacutemero iacutendice es decir el porcentaje expreshysado como nuacutemero decimal ejemplo i = 4 lo escribimos como i = 004
De acuerdo con la nomenclatura anterior y aplicando la simplificacioacuten antes descrita las ecuaciones o foacutermulas dadas se representan asiacute
Foacutermula 1 Foacutermula 2 Foacutermula 3
Remplazando en (b) la foacutermula 2
I = Cf ndash Ci (a) i = I
n i Ci Cf = Ci + i bull n bull Ci
Despejando Cf
Cf = Ci + I (b) I = i bull n bull Ci Cf = Ci (I + i bull n)
Problema 1 Se recibieron $60000 de intereacutes durante un semestre por un depoacutesito en un banshyco comercial Si el banco reconoce una tasa de intereacutes simple del 7 trimestral y liquida a sus clientes sobre saldos trimestrales iquestcuaacutel fue el capital depositado inicialmente respuesta $42857143
I = n bull i bull Ci I = $60000 n = 2 trimestres (un semestre) Ci = 60000007 x 2 = $42857143 I
Ci = i = 7 trimestral i i n
Problema 2 Si las condiciones de un preacutestamo con intereacutes simple se expresan mediante la ecuacioacuten
VF= 500 + 120 t
Donde VF es el valor futuro y t es el tiempo en antildeos determine a) La tasa de intereacutes simple R 24 b) El tiempo transcurrido para que el inversionista reciba $600 de intereacutes total
R 5 antildeos c) iquestCuaacutel seraacute la deuda inicial del quinto antildeo si el banco prestamista no ha recibido
intereses de mora y no cobra intereacutes de mora R 98000
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solucioacuten a) I = Cf ndash Ci rarr Cf = Ci + I rarr Cf = Ci + Ci bull i bull n de foacutermula 4
de 1 darr darr darr
VF = 500 + 120t 120t = 500 x i x t de de3 porque t = n 2
i = 24
b) 120t = Ci bull i bull n = Intereacutes (I) = 600 t = 600120 = 5 antildeos
c) Cf4 = 500 + 120 x 4 = $980 Porque el final del antildeo 4 es el principio del antildeo 5
Problema 3 Pedro Ramiacuterez posee una letra de cambio de tres meses de vencimiento a intereacutes simple del 4 mensual Por necesidades de dinero lleva esta letra a una agencia de cambio (AC) y Ramiacuterez admite recibir un adelanto de $150000 de la AC iquestCuaacutento dinero debe recibir al final del traacutemite si la AC cobra un intereacutes simple del 7 menshysual en todas las operaciones y el valor nominal de la letra es de $300000 respuesta $154500
Problema 4 Juan Peacuterez recibe un preacutestamo extrabancario de $200000 Si el intereacutes convenido es del 6 mensual simple y canceloacute en total intereses por $216000 iquestpor cuaacutento tiempo mantuvo Peacuterez el preacutestamo
I = Ciin 216000 = 200000 x 006 x n n = 18 meses
Problema 5 El contador Morales consigue un preacutestamo de $3000000 a dos antildeos de plazo con una tasa de intereacutes simple del 3 bimestral iquestCuaacutento pagaraacute al final de los dos antildeos respuesta $4080000
Problema 6 iquestEn cuaacutento tiempo se triplica una inversioacuten con un intereacutes simple del 23 anual respuesta 869 antildeos
Cf = Ci + Ciin rarr 3Ci = Ci + Ci 023 n rarr n = 2023 = 869 antildeos
Conversioacuten a antildeos meses y diacuteas 069 x 12 = 828 meses 028 x 30 = 8 diacuteas 8 antildeos 8 meses 8 diacuteas
Problema 7 Una deuda se pactoacute pagarla en tres cuotas asiacute dentro de dos meses $100000 denshytro de cuatro meses $300000 dentro de cinco meses $500000 El intereacutes es simple
6
generalidades
y del 27 mensual El deudor le ofrece a su acreedor pagarle toda la deuda dentro de un mes con $840000 iquestSe debe aceptar esta propuesta
i = 27 mensual (simple) Cf = Ci (1 + i bull n) Ci = Cf divide (1 + i bull n) Calculamos la deuda hoy trasladando los flujos al periacuteodo cero Inicial de la cuota de 100000 en 2 Ci = 100000 divide (1 + 0027 x 2) Ci = 94877 Inicial de la cuota de 100000 en 4 Ci = 300000 divide (1 + 0027 x 4) Ci = 270758 Inicial de la cuota de 100000 en 5 Ci = 500000 divide (1 + 0027 x 5) Ci = 440529
Total hoy 806163 La deuda hoy llevaba al mes uno Cf = Ci (1 + i bull n)
Cf = 806163 (1 + 0027 x 1) Cf = 827930
Se debe aceptar la propuesta porque le ofrecen una cantidad mayor
Problema 8 iquestCuaacutel de las siguientes opciones de gratificacioacuten conviene maacutes a los intereses de un empleado a) recibir ahora $700 b) recibir ahora $200 y $600 a los 60 diacuteas c) recibir tres pagos iguales de $250 cu a 30 60 y 90 diacuteas
Tasa de intereacutes simple del 42 anual respuesta a) $700 b) $76064 c) $70142 mejor b
Problema 9 Usted tiene 3 cheques posfechados parar cobrar asiacute $150000 para dentro de 6 meses $135000 para dentro de ocho meses y $350000 para dentro de 12 meses Debido a una urgencia de efectivo se ve en la necesidad de negociar estos cheques en una casa de cambio que le cobra el 28 mensual simple iquestCuaacutento dinero espera recibir siacute la negociacioacuten la realiza en el diacutea de hoy respuesta $50069482
Problema 10 Pedro debe pagar tres deudas asiacute $1500000 dentro de cuatro meses $2500000 para dentro de seis meses y $3000000 para dentro de ocho meses Estas deudas fueron calculadas con un intereacutes simple de 25 mensual Pedro le propone a su acreedor pagarle hoy $6500000 para cancelar toda la deuda iquestDebe aceptar el acreedor esta oferta respuesta Valor deuda original en pesos de hoy $6037549 Debe aceptar la oferta de Pedro
Problema 11 Pedro tiene que pagar una letra de cambio de $2000000 dentro de ocho meses y otra de $3000000 dentro de 18 meses Su acreedor le acepta cambiar estos pagos por uno de $1500000 en el diacutea de hoy y otro pago al final del antildeo Calcular el valor de este uacuteltimo pago si la tasa de intereacutes es del 2 mensual simple
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respuesta $301322515
Problema 12 Una empresa tiene que cancelar dentro de dos antildeos una obligacioacuten de $5500000 y desea liquidarla sustituyeacutendola por dos pagos iguales en los meses 10 y 22 Si la tasa de intereacutes simple es del 3 mensual iquestcuaacutel es el valor de las cuotas respuesta $2217742
La IguaLDaD Y La EQuIVaLENCIa Estos dos conceptos a menudo se confunden o no se interpretan adecuadamente en teacuterminos econoacutemicos Vamos a tratar de establecer la diferencia entre ellos
Si asumimos una inflacioacuten de 10 anual y un artiacuteculo hoy vale $10000 dentro de un antildeo el mismo artiacuteculo tendraacute un costo de $11000 Esto quiere decir que hoy $10000 tendraacuten el mismo poder de compra que $11000 dentro de un antildeo Debeshymos entender que $10000 hoy son equivalentes a $11000 dentro de un antildeo pero no son iguales en cantidad
De otra manera si queremos comprar dentro de un antildeo un artiacuteculo que hoy vale $10000 debemos invertir el dinero hoy a una tasa del 10 anual para conseguir un intereacutes de $1000 y reunir $11000 dentro de un antildeo para comprar el mismo artiacuteculo
Si el precio de los artiacuteculos se infla a traveacutes del tiempo el dinero tambieacuten debe inflarse con una tasa financiera para conservar el poder de compra Si la tasa finanshyciera de la inversioacuten es igual a la inflacioacuten decimos que nuestro dinero conserva el poder compra Si la tasa financiera es mayor que la inflacioacuten por ejemplo 15 anual al cabo de un antildeo tendriacuteamos $11500 lo que genera una utilidad real de la inversioacuten por encima de la inflacioacuten de $500
Pero si la tasa financiera es inferior a la inflacioacuten por ejemplo 8 anual al cabo de un antildeo la inversioacuten logra acumular $10800 dinero que no alcanza a comshyprar el mismo artiacuteculo Decimos que nuestro dinero ha perdido poder de compra aunque tengamos $800 maacutes
En general cuando invertimos el dinero hoy a una tasa financiera al cabo de cierto tiempo este dinero se ha inflado con los intereses acumulados Si esperamos recibir dentro de cierto tiempo una cantidad de dinero y la negociacioacuten la hacemos hoy (tiempo presente) para saber a cuaacutento equivale hoy la negociacioacuten debemos desinflar esa cantidad (quitarle el intereacutes)
En resumen el dinero de hoy invertido a una tasa i durante un tiempo se infla (aumenta) pero el dinero del futuro llevado a valor presente se desinfla con la tasa i
La igualdad del dinero solo se puede dar cuando los diferentes flujos de dinero son trasladados todos a un mismo periacuteodo futuro o al presente
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generalidades
conclusiones 1 Los dineros colocados en periacuteodos diferentes pueden ser equivalentes pero
nunca iguales 2 La igualdad del dinero soacutelo puede darse cuando los diferentes flujos de dinero
son trasladados a un mismo periacuteodo
Esto nos debe advertir que las foacutermulas que utilizaremos que son igualdades (=) tendraacuten como uno de los fines que trasladar dineros del presente al futuro (inflar) o del futuro al presente (desinflar)
FLuJOS DE CaJa Son los ingresos y egresos de dinero que ocurren en una empresa por su activad econoacutemica en un periacuteodo determinado Estos flujos de caja pueden ser pagos uacutenishycos (ocurren solo una vez) o seriados Los seriados pueden ser iguales (constantes en valor uniformes) crecientes cada vez o decrecientes cada vez
El crecimiento o decrecimiento puede ser constante aritmeacutetica o porcenshytualmente
Valor presente (P) Pagos uacutenicos Valor futuro (F)
Series uniformes (A) Flujos de caja
Crecientes o decrecientes aritmeacuteticamente Pagos seriados No uniformes
Crecientes o decrecientes en porcentaje
Graacutefico 1 Flujos de caja
Ejemplos de flujos de caja
Pagos uacutenicos
Cuando se hace referencia a pagos uacutenicos nos referimos taacutecitamente a los ingresos y egresos La misma referencia para los seriados Son uacutenicos porque solo ocurren una vez
Valor presente (P)
Pagar hoy un equipo un vehiacuteculo una propiedad cobrar hoy un dinero vender hoy un bien etceacutetera
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Valor futuro (F)
Vender algo dentro de cierto tiempo pagar una deuda dentro de cierto tiempo en general tener ingresos o egresos por una sola vez en tiempo futuro
Los conceptos de presente y futuro son relativos entre ellos Asumamos un ingreso hoy de $10000 un ingreso dentro de dos antildeos de $5000 y un ingreso de $8000 dentro de cinco
El ingreso de $10000 hoy es presente para los para los periacuteodos dos y cinco El ingreso de $5000 dentro de dos antildeos es futuro para el periacuteodo de hoy y
presente para el periacuteodo cinco El ingreso de $8000 es futuro para los periacuteodos de hoy y para el periacuteodo dos
Pagos seriados uniformes (a)
Recordemos que una serie es consecutiva por lo tanto los pagos deben ser conseshycutivos sin interrupciones y para que sean uniformes deben tener el mismo valor Ejemplos los sueldos fijos de un trabajador el canon de arrendamiento durante los 12 meses las cuotas iguales para pagar un creacutedito las dos primas semestrales el cargo fijo mensual de los servicios puacuteblicos etceacutetera
Seriados crecientes o decrecientes aritmeacuteticamente
Pagos mensuales trimestrales semestrales anuales etceacutetera de cuotas u obligacioshynes iniciando con un valor determinado y cada pago posterior se aumenta en una cantidad fija de pesos o disminuye una cantidad fija de pesos
Pagar o recibir cinco cuotas mensuales empezando con $200 y cada vez aushymenta o disminuye en $20
Creciente 200 220 240 260 280 Decreciente 200 180 160 140 120 El incremento o decrecimiento de $20 se llama Gradiente (G)
Seriados crecientes o decrecientes geomeacutetricamente
Pagos mensuales o anuales de cuotas u obligaciones iniciando con un valor detershyminado y cada pago se aumenta o disminuye en un porcentaje constante
Pagar o recibir cinco cuotas mensuales empezando con 200 y cada vez aumenshyta o disminuye en 10
Creciente 200 220 242 2662 29282 Decreciente 200 180 162 1458 13122
10
generalidades
Nomenclatura Los diferentes flujos de caja se representaraacuten mediante siacutembolos alfabeacuteticos para simplificar su escritura
Valor presente P Valor futuro F Serie uniforme A Tasa de intereacutes i Periacuteodos n
Las series crecientes o decrecientes las estudiaremos maacutes adelante
Periacuteodos Los periacuteodos son las diferentes unidades de tiempo que usualmente se utilizan en las operaciones financieras anuales semestrales o bianuales cuatrimestrales trishymestrales bimestrales o cada dos meses mensuales quincenales o bimensuales semanal y diario
Otras unidades de tiempo menos usadas son bienio o cada dos antildeos trienio o cada tres antildeos cuatrienio o cada cuatro antildeos quinquenio o lustro o cada cinco antildeos etceacutetera
Diagramas de flujos de caja Los diferentes flujos de caja se deben representar en diagramas que faciliten la vishysualizacioacuten y la interpretacioacuten de ellos para determinar la metodologiacutea que se debe seguir en la solucioacuten del problema econoacutemico propuesto
Para el diagrama se utiliza el plano cartesiano El eje horizontal de las X se denominaraacute eje del tiempo o de los periacuteodos En eacutel se dibujaraacuten los diferentes peshyriacuteodos (n) El eje vertical o de la ordenada se denominaraacute eje del dinero o flujo ($) Los ingresos se representan con flecha hacia arriba (flujo positivo) y los egresos con flecha hacia abajo (flujo negativo) El tiempo futuro se representa desde el origen hacia la derecha y el tiempo pasado desde el origen hacia la izquierda Por simplificacioacuten se puede omitir el dibujo del eje vertical
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Tiempo pasado $ Tiempo futuro Ingresos Ingresos
2000 hace 4 antildeos hubo 1000 ingreso uacutenico dentro de un ingreso dos antildeos
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 antildeos
Tiempo pasado 3000 cuatro cuotas anuales iguales Egresos Egresos
6000 una inversioacuten hoy Tiempo futuro Egresos
Graacutefico 2 Diagrama de flujos de caja
Problema 13 Graficar los siguientes flujos de caja una inversioacuten hoy de $20000 desde hace cinco antildeos y hasta dentro de dos antildeos ingresos de $4000 un ingreso de $5000 dentro de seis antildeos gastos desde hace un antildeo y hasta dentro de tres antildeos de $6000 anuales
5000 A = 4000
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6antildeos
A = 6000
P = 20000
Una forma maacutes simplificada para dibujar el diagrama anterior es omitiendo las flechas intermedias de las series uniformes y se sustituyen por una liacutenea horizontal que una el primer pago de la serie con el uacuteltimo
12
generalidades
5000A = 4000
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6antildeos
A = 6000 P = 20000
Problema 14 Elaborar el diagrama del siguiente flujo de caja ingresos anuales e iguales de $19000 desde hoy hasta el antildeo 27 un ingreso de $12500 en el sexto antildeo un ingreso de 80000 en el antildeo 31 otro ingreso de $42000 en antildeo 29 un egreso de $8000 en el antildeo 2 egresos anuales uniformes de $5000 del antildeo 4 al 28 y otro egreso anual uniforme de $25000 del antildeo 6 al 31
15000 42000
19000 80000
0 1 2 3 4 5 6 26 27 28 29 30 31antildeos
8000
25000
5000
Problema 15 Hoy se hace un depoacutesito en una entidad financiera por un valor de $16000000 A partir del quinto semestre se empezaraacute a retirar cada vez $250000 y hasta el semestre 16 Adicionalmente en el semestre 16 se podraacute retirar el resto del dinero que seraacute $10000000 y dejar la cuenta en cero Elaborar el diagrama de flujo de caja
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solucioacuten
F = 10000000
A = 250000 0 1 2 3 4 5 16 Semestres
P = $16000000
Problema 16 Dentro de nueve meses tengo una obligacioacuten hipotecaria por un valor de $4500000 Para cancelar este valor he decidido abrir hoy una cuenta bancaria La apertura de esta cuenta la hareacute con $500000 y cada mes posterior y hasta el final del noveno mes hareacute depoacutesitos iguales de $350000 Elaborar el diagrama de flujo de caja solucioacuten
F = 4500000
0 1 2 8 9 meses
A = 350000500000
Problema 17 Supongamos que una empresa pronostica que los primeros tres antildeos de funcionashymiento produciraacute peacuterdidas anuales decrecientes asiacute el primer antildeo perderaacute $9000 el segundo perderaacute $6000 el tercero perderaacute $3000 el cuarto estaraacute en el punto de equilibrio es decir tendraacute utilidades de $000 Del quinto antildeo en adelante empezaraacute a ganar $3000 el sexto ganaraacute $6000 y asiacute sucesivamente hasta el deacutecimo antildeo El valor inicial de la inversioacuten es de $50000 Elaborar el diagrama de flujo de caja solucioacuten
12000 15000 18000
P = 50000
6000 9000 0 3000
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 antildeos 9000 6000 3000
14
generalidades
INgENIEriacutea ECONoacutemICa Es una teacutecnica que utiliza procedimientos meacutetodos y foacutermulas matemaacuteticas para analizar evaluar y comparar alternativas econoacutemicas y determinar cuaacutel es la mejor en teacuterminos econoacutemicos
En ingenieriacutea econoacutemica se utilizan algunos teacuterminos de los cuales es necesashyrio conocer su significado Ellos son
Analizar es un estudio sobre cuaacuteles seraacuten los ingresos y egresos que generaraacute la inversioacuten durante su vida uacutetil o tiempo de operacioacuten en una situacioacuten financiera o econoacutemica tal como una inversioacuten que se pretenda realizar
Evaluacioacuten una vez conocidos los flujos proyectados de caja (ingresos y egreshysos) que generaraacute la inversioacuten analizada se cuantifican los valores econoacutemicos a traveacutes del tiempo utilizando foacutermulas y procedimientos matemaacuteticos para detershyminar la rentabilidad y la viabilidad econoacutemica del proyecto
Esta evaluacioacuten se haraacute en teacuterminos porcentuales (tasa de retorno de la invershysioacuten rendimiento porcentual) y en teacuterminos de dinero
Alternativa se refiere a una opcioacuten u oportunidad de inversioacuten Por ejemplo proyectar el montaje de empresa industrial comercial de servicios comprar acshyciones bonos o constituir depoacutesitos (ahorros) en entidades financieras etceacutetera A cada alternativa siempre se le opone la contraria que consiste en no hacer la inversioacuten o en preferir otra si su rendimiento financiero es mejor
Los elementos de medida que se utilizan en la evaluacioacuten y comparacioacuten de alternativas son el dinero y el rendimiento o utilidad porcentual que genere cada alternativa (tasa de intereacutes)
El dinero es un medio circulante con poder de compra o adquisicioacuten de bieshynes o servicios Al igual que cualquier bien raiacutez (vehiacuteculos maquinaria etceacutetera) que se puede arrendar para que genere un canon de arrendamiento el dinero tambieacuten se puede arrendar (prestar depositar en una entidad financiera) para que genere un rendimiento pero en este caso este rendimiento se llama intereacutes
EL INTErEacuteS Y Su CLaSIFICaCIoacuteN El intereacutes es el dinero que genera maacutes dinero a traveacutes del tiempo cuando se invierte Es el valor del dinero en el tiempo o maacutes precisamente el cambio en la cantidad de dinero dushyrante un periacuteodo de tiempo cuando eacuteste se ha tomado en preacutestamo o se ha invertido
Asiacute como se paga por ejemplo un arrendamiento de un inmueble por usarlo de igual manera podriacuteamos asimilar el intereacutes como el dinero que se debe pagar por el uso de un capital tomado en preacutestamo
Ahora bien el intereacutes se clasifica en simple y compuesto (este uacuteltimo se estushydiaraacute completamente en el capiacutetulo 2)
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Intereacutes simple Una operacioacuten financiera se hace con intereacutes simple cuando durante todo el tiempo de la transaccioacuten soacutelo el capital genera intereses independientemente de si eacutestos se retiran (se cancelan) o no Es decir el intereacutes simple no se le adiciona al capital para generar nuevos intereses
El intereacutes se representa por la letra I (mayuacutescula) y se calcula asiacute
Intereacutes (I) = Cantidad acumulada - Inversioacuten inicial
Cantidad acumulada Cf
Cantidad inicial Ci
Ejemplo para cancelar una deuda de $10000 dentro de 3 antildeos debo pagar $13000 iquestCuaacutel es el intereacutes ganado
I = 13000 - 10000 = $3000
Observe que la unidad de medida del intereacutes son pesos (dinero)
Tasa de intereacutes
Es el intereacutes expresado en porcentaje y por unidad de tiempo Se representa con la letra i y se calcula asiacute
I = Cf ndash Ci (a) o Cf = Ci + I (b) Foacutermula 1
i = Intereacutes acumulado por unidad de tiempo
Cantidad inicial xx 100 i =
I
Ci x 100
Cuando se tienen varios periacuteodos unitarios (2 3 4hellip n periacuteodos) la foacutermula anterior se divide por el nuacutemero de periacuteodos
Simboacutelicamente la foacutermula se expresa asiacute
Foacutermula 2i = I x 100
n x Cantidad inicial i =
I x 100
n x Ci
siacutembolos CF Cantidad acumulada (Capital final Valor futuro) Ci Cantidad inicial (Capital inicial Valor presente) n Nuacutemero de periacuteodos (antildeos semestres meses trimestres diacuteas etc) I Intereacutes i Tasa de intereacutes
4
generalidades
La tasa de intereacutes simple se puede multiplicar o dividir para expresarla en unidades de tiempo diferentes Ejemplo una tasa del 2 simple mensual es equishyvalente a una tasa del 24 simple anual se multiplicoacute por 12 que son los meses del antildeo Una tasa del 9 simple semestral es equivalente a una tasa del 15 simple mensual se dividioacute por 6 que son los meses del semestre
Con el fin de simplificar la escritura de las foacutermulas omitiremos la escritura del valor ldquo100rdquo y utilizamos el i como nuacutemero iacutendice es decir el porcentaje expreshysado como nuacutemero decimal ejemplo i = 4 lo escribimos como i = 004
De acuerdo con la nomenclatura anterior y aplicando la simplificacioacuten antes descrita las ecuaciones o foacutermulas dadas se representan asiacute
Foacutermula 1 Foacutermula 2 Foacutermula 3
Remplazando en (b) la foacutermula 2
I = Cf ndash Ci (a) i = I
n i Ci Cf = Ci + i bull n bull Ci
Despejando Cf
Cf = Ci + I (b) I = i bull n bull Ci Cf = Ci (I + i bull n)
Problema 1 Se recibieron $60000 de intereacutes durante un semestre por un depoacutesito en un banshyco comercial Si el banco reconoce una tasa de intereacutes simple del 7 trimestral y liquida a sus clientes sobre saldos trimestrales iquestcuaacutel fue el capital depositado inicialmente respuesta $42857143
I = n bull i bull Ci I = $60000 n = 2 trimestres (un semestre) Ci = 60000007 x 2 = $42857143 I
Ci = i = 7 trimestral i i n
Problema 2 Si las condiciones de un preacutestamo con intereacutes simple se expresan mediante la ecuacioacuten
VF= 500 + 120 t
Donde VF es el valor futuro y t es el tiempo en antildeos determine a) La tasa de intereacutes simple R 24 b) El tiempo transcurrido para que el inversionista reciba $600 de intereacutes total
R 5 antildeos c) iquestCuaacutel seraacute la deuda inicial del quinto antildeo si el banco prestamista no ha recibido
intereses de mora y no cobra intereacutes de mora R 98000
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solucioacuten a) I = Cf ndash Ci rarr Cf = Ci + I rarr Cf = Ci + Ci bull i bull n de foacutermula 4
de 1 darr darr darr
VF = 500 + 120t 120t = 500 x i x t de de3 porque t = n 2
i = 24
b) 120t = Ci bull i bull n = Intereacutes (I) = 600 t = 600120 = 5 antildeos
c) Cf4 = 500 + 120 x 4 = $980 Porque el final del antildeo 4 es el principio del antildeo 5
Problema 3 Pedro Ramiacuterez posee una letra de cambio de tres meses de vencimiento a intereacutes simple del 4 mensual Por necesidades de dinero lleva esta letra a una agencia de cambio (AC) y Ramiacuterez admite recibir un adelanto de $150000 de la AC iquestCuaacutento dinero debe recibir al final del traacutemite si la AC cobra un intereacutes simple del 7 menshysual en todas las operaciones y el valor nominal de la letra es de $300000 respuesta $154500
Problema 4 Juan Peacuterez recibe un preacutestamo extrabancario de $200000 Si el intereacutes convenido es del 6 mensual simple y canceloacute en total intereses por $216000 iquestpor cuaacutento tiempo mantuvo Peacuterez el preacutestamo
I = Ciin 216000 = 200000 x 006 x n n = 18 meses
Problema 5 El contador Morales consigue un preacutestamo de $3000000 a dos antildeos de plazo con una tasa de intereacutes simple del 3 bimestral iquestCuaacutento pagaraacute al final de los dos antildeos respuesta $4080000
Problema 6 iquestEn cuaacutento tiempo se triplica una inversioacuten con un intereacutes simple del 23 anual respuesta 869 antildeos
Cf = Ci + Ciin rarr 3Ci = Ci + Ci 023 n rarr n = 2023 = 869 antildeos
Conversioacuten a antildeos meses y diacuteas 069 x 12 = 828 meses 028 x 30 = 8 diacuteas 8 antildeos 8 meses 8 diacuteas
Problema 7 Una deuda se pactoacute pagarla en tres cuotas asiacute dentro de dos meses $100000 denshytro de cuatro meses $300000 dentro de cinco meses $500000 El intereacutes es simple
6
generalidades
y del 27 mensual El deudor le ofrece a su acreedor pagarle toda la deuda dentro de un mes con $840000 iquestSe debe aceptar esta propuesta
i = 27 mensual (simple) Cf = Ci (1 + i bull n) Ci = Cf divide (1 + i bull n) Calculamos la deuda hoy trasladando los flujos al periacuteodo cero Inicial de la cuota de 100000 en 2 Ci = 100000 divide (1 + 0027 x 2) Ci = 94877 Inicial de la cuota de 100000 en 4 Ci = 300000 divide (1 + 0027 x 4) Ci = 270758 Inicial de la cuota de 100000 en 5 Ci = 500000 divide (1 + 0027 x 5) Ci = 440529
Total hoy 806163 La deuda hoy llevaba al mes uno Cf = Ci (1 + i bull n)
Cf = 806163 (1 + 0027 x 1) Cf = 827930
Se debe aceptar la propuesta porque le ofrecen una cantidad mayor
Problema 8 iquestCuaacutel de las siguientes opciones de gratificacioacuten conviene maacutes a los intereses de un empleado a) recibir ahora $700 b) recibir ahora $200 y $600 a los 60 diacuteas c) recibir tres pagos iguales de $250 cu a 30 60 y 90 diacuteas
Tasa de intereacutes simple del 42 anual respuesta a) $700 b) $76064 c) $70142 mejor b
Problema 9 Usted tiene 3 cheques posfechados parar cobrar asiacute $150000 para dentro de 6 meses $135000 para dentro de ocho meses y $350000 para dentro de 12 meses Debido a una urgencia de efectivo se ve en la necesidad de negociar estos cheques en una casa de cambio que le cobra el 28 mensual simple iquestCuaacutento dinero espera recibir siacute la negociacioacuten la realiza en el diacutea de hoy respuesta $50069482
Problema 10 Pedro debe pagar tres deudas asiacute $1500000 dentro de cuatro meses $2500000 para dentro de seis meses y $3000000 para dentro de ocho meses Estas deudas fueron calculadas con un intereacutes simple de 25 mensual Pedro le propone a su acreedor pagarle hoy $6500000 para cancelar toda la deuda iquestDebe aceptar el acreedor esta oferta respuesta Valor deuda original en pesos de hoy $6037549 Debe aceptar la oferta de Pedro
Problema 11 Pedro tiene que pagar una letra de cambio de $2000000 dentro de ocho meses y otra de $3000000 dentro de 18 meses Su acreedor le acepta cambiar estos pagos por uno de $1500000 en el diacutea de hoy y otro pago al final del antildeo Calcular el valor de este uacuteltimo pago si la tasa de intereacutes es del 2 mensual simple
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respuesta $301322515
Problema 12 Una empresa tiene que cancelar dentro de dos antildeos una obligacioacuten de $5500000 y desea liquidarla sustituyeacutendola por dos pagos iguales en los meses 10 y 22 Si la tasa de intereacutes simple es del 3 mensual iquestcuaacutel es el valor de las cuotas respuesta $2217742
La IguaLDaD Y La EQuIVaLENCIa Estos dos conceptos a menudo se confunden o no se interpretan adecuadamente en teacuterminos econoacutemicos Vamos a tratar de establecer la diferencia entre ellos
Si asumimos una inflacioacuten de 10 anual y un artiacuteculo hoy vale $10000 dentro de un antildeo el mismo artiacuteculo tendraacute un costo de $11000 Esto quiere decir que hoy $10000 tendraacuten el mismo poder de compra que $11000 dentro de un antildeo Debeshymos entender que $10000 hoy son equivalentes a $11000 dentro de un antildeo pero no son iguales en cantidad
De otra manera si queremos comprar dentro de un antildeo un artiacuteculo que hoy vale $10000 debemos invertir el dinero hoy a una tasa del 10 anual para conseguir un intereacutes de $1000 y reunir $11000 dentro de un antildeo para comprar el mismo artiacuteculo
Si el precio de los artiacuteculos se infla a traveacutes del tiempo el dinero tambieacuten debe inflarse con una tasa financiera para conservar el poder de compra Si la tasa finanshyciera de la inversioacuten es igual a la inflacioacuten decimos que nuestro dinero conserva el poder compra Si la tasa financiera es mayor que la inflacioacuten por ejemplo 15 anual al cabo de un antildeo tendriacuteamos $11500 lo que genera una utilidad real de la inversioacuten por encima de la inflacioacuten de $500
Pero si la tasa financiera es inferior a la inflacioacuten por ejemplo 8 anual al cabo de un antildeo la inversioacuten logra acumular $10800 dinero que no alcanza a comshyprar el mismo artiacuteculo Decimos que nuestro dinero ha perdido poder de compra aunque tengamos $800 maacutes
En general cuando invertimos el dinero hoy a una tasa financiera al cabo de cierto tiempo este dinero se ha inflado con los intereses acumulados Si esperamos recibir dentro de cierto tiempo una cantidad de dinero y la negociacioacuten la hacemos hoy (tiempo presente) para saber a cuaacutento equivale hoy la negociacioacuten debemos desinflar esa cantidad (quitarle el intereacutes)
En resumen el dinero de hoy invertido a una tasa i durante un tiempo se infla (aumenta) pero el dinero del futuro llevado a valor presente se desinfla con la tasa i
La igualdad del dinero solo se puede dar cuando los diferentes flujos de dinero son trasladados todos a un mismo periacuteodo futuro o al presente
8
generalidades
conclusiones 1 Los dineros colocados en periacuteodos diferentes pueden ser equivalentes pero
nunca iguales 2 La igualdad del dinero soacutelo puede darse cuando los diferentes flujos de dinero
son trasladados a un mismo periacuteodo
Esto nos debe advertir que las foacutermulas que utilizaremos que son igualdades (=) tendraacuten como uno de los fines que trasladar dineros del presente al futuro (inflar) o del futuro al presente (desinflar)
FLuJOS DE CaJa Son los ingresos y egresos de dinero que ocurren en una empresa por su activad econoacutemica en un periacuteodo determinado Estos flujos de caja pueden ser pagos uacutenishycos (ocurren solo una vez) o seriados Los seriados pueden ser iguales (constantes en valor uniformes) crecientes cada vez o decrecientes cada vez
El crecimiento o decrecimiento puede ser constante aritmeacutetica o porcenshytualmente
Valor presente (P) Pagos uacutenicos Valor futuro (F)
Series uniformes (A) Flujos de caja
Crecientes o decrecientes aritmeacuteticamente Pagos seriados No uniformes
Crecientes o decrecientes en porcentaje
Graacutefico 1 Flujos de caja
Ejemplos de flujos de caja
Pagos uacutenicos
Cuando se hace referencia a pagos uacutenicos nos referimos taacutecitamente a los ingresos y egresos La misma referencia para los seriados Son uacutenicos porque solo ocurren una vez
Valor presente (P)
Pagar hoy un equipo un vehiacuteculo una propiedad cobrar hoy un dinero vender hoy un bien etceacutetera
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Valor futuro (F)
Vender algo dentro de cierto tiempo pagar una deuda dentro de cierto tiempo en general tener ingresos o egresos por una sola vez en tiempo futuro
Los conceptos de presente y futuro son relativos entre ellos Asumamos un ingreso hoy de $10000 un ingreso dentro de dos antildeos de $5000 y un ingreso de $8000 dentro de cinco
El ingreso de $10000 hoy es presente para los para los periacuteodos dos y cinco El ingreso de $5000 dentro de dos antildeos es futuro para el periacuteodo de hoy y
presente para el periacuteodo cinco El ingreso de $8000 es futuro para los periacuteodos de hoy y para el periacuteodo dos
Pagos seriados uniformes (a)
Recordemos que una serie es consecutiva por lo tanto los pagos deben ser conseshycutivos sin interrupciones y para que sean uniformes deben tener el mismo valor Ejemplos los sueldos fijos de un trabajador el canon de arrendamiento durante los 12 meses las cuotas iguales para pagar un creacutedito las dos primas semestrales el cargo fijo mensual de los servicios puacuteblicos etceacutetera
Seriados crecientes o decrecientes aritmeacuteticamente
Pagos mensuales trimestrales semestrales anuales etceacutetera de cuotas u obligacioshynes iniciando con un valor determinado y cada pago posterior se aumenta en una cantidad fija de pesos o disminuye una cantidad fija de pesos
Pagar o recibir cinco cuotas mensuales empezando con $200 y cada vez aushymenta o disminuye en $20
Creciente 200 220 240 260 280 Decreciente 200 180 160 140 120 El incremento o decrecimiento de $20 se llama Gradiente (G)
Seriados crecientes o decrecientes geomeacutetricamente
Pagos mensuales o anuales de cuotas u obligaciones iniciando con un valor detershyminado y cada pago se aumenta o disminuye en un porcentaje constante
Pagar o recibir cinco cuotas mensuales empezando con 200 y cada vez aumenshyta o disminuye en 10
Creciente 200 220 242 2662 29282 Decreciente 200 180 162 1458 13122
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generalidades
Nomenclatura Los diferentes flujos de caja se representaraacuten mediante siacutembolos alfabeacuteticos para simplificar su escritura
Valor presente P Valor futuro F Serie uniforme A Tasa de intereacutes i Periacuteodos n
Las series crecientes o decrecientes las estudiaremos maacutes adelante
Periacuteodos Los periacuteodos son las diferentes unidades de tiempo que usualmente se utilizan en las operaciones financieras anuales semestrales o bianuales cuatrimestrales trishymestrales bimestrales o cada dos meses mensuales quincenales o bimensuales semanal y diario
Otras unidades de tiempo menos usadas son bienio o cada dos antildeos trienio o cada tres antildeos cuatrienio o cada cuatro antildeos quinquenio o lustro o cada cinco antildeos etceacutetera
Diagramas de flujos de caja Los diferentes flujos de caja se deben representar en diagramas que faciliten la vishysualizacioacuten y la interpretacioacuten de ellos para determinar la metodologiacutea que se debe seguir en la solucioacuten del problema econoacutemico propuesto
Para el diagrama se utiliza el plano cartesiano El eje horizontal de las X se denominaraacute eje del tiempo o de los periacuteodos En eacutel se dibujaraacuten los diferentes peshyriacuteodos (n) El eje vertical o de la ordenada se denominaraacute eje del dinero o flujo ($) Los ingresos se representan con flecha hacia arriba (flujo positivo) y los egresos con flecha hacia abajo (flujo negativo) El tiempo futuro se representa desde el origen hacia la derecha y el tiempo pasado desde el origen hacia la izquierda Por simplificacioacuten se puede omitir el dibujo del eje vertical
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Tiempo pasado $ Tiempo futuro Ingresos Ingresos
2000 hace 4 antildeos hubo 1000 ingreso uacutenico dentro de un ingreso dos antildeos
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 antildeos
Tiempo pasado 3000 cuatro cuotas anuales iguales Egresos Egresos
6000 una inversioacuten hoy Tiempo futuro Egresos
Graacutefico 2 Diagrama de flujos de caja
Problema 13 Graficar los siguientes flujos de caja una inversioacuten hoy de $20000 desde hace cinco antildeos y hasta dentro de dos antildeos ingresos de $4000 un ingreso de $5000 dentro de seis antildeos gastos desde hace un antildeo y hasta dentro de tres antildeos de $6000 anuales
5000 A = 4000
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6antildeos
A = 6000
P = 20000
Una forma maacutes simplificada para dibujar el diagrama anterior es omitiendo las flechas intermedias de las series uniformes y se sustituyen por una liacutenea horizontal que una el primer pago de la serie con el uacuteltimo
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generalidades
5000A = 4000
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6antildeos
A = 6000 P = 20000
Problema 14 Elaborar el diagrama del siguiente flujo de caja ingresos anuales e iguales de $19000 desde hoy hasta el antildeo 27 un ingreso de $12500 en el sexto antildeo un ingreso de 80000 en el antildeo 31 otro ingreso de $42000 en antildeo 29 un egreso de $8000 en el antildeo 2 egresos anuales uniformes de $5000 del antildeo 4 al 28 y otro egreso anual uniforme de $25000 del antildeo 6 al 31
15000 42000
19000 80000
0 1 2 3 4 5 6 26 27 28 29 30 31antildeos
8000
25000
5000
Problema 15 Hoy se hace un depoacutesito en una entidad financiera por un valor de $16000000 A partir del quinto semestre se empezaraacute a retirar cada vez $250000 y hasta el semestre 16 Adicionalmente en el semestre 16 se podraacute retirar el resto del dinero que seraacute $10000000 y dejar la cuenta en cero Elaborar el diagrama de flujo de caja
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solucioacuten
F = 10000000
A = 250000 0 1 2 3 4 5 16 Semestres
P = $16000000
Problema 16 Dentro de nueve meses tengo una obligacioacuten hipotecaria por un valor de $4500000 Para cancelar este valor he decidido abrir hoy una cuenta bancaria La apertura de esta cuenta la hareacute con $500000 y cada mes posterior y hasta el final del noveno mes hareacute depoacutesitos iguales de $350000 Elaborar el diagrama de flujo de caja solucioacuten
F = 4500000
0 1 2 8 9 meses
A = 350000500000
Problema 17 Supongamos que una empresa pronostica que los primeros tres antildeos de funcionashymiento produciraacute peacuterdidas anuales decrecientes asiacute el primer antildeo perderaacute $9000 el segundo perderaacute $6000 el tercero perderaacute $3000 el cuarto estaraacute en el punto de equilibrio es decir tendraacute utilidades de $000 Del quinto antildeo en adelante empezaraacute a ganar $3000 el sexto ganaraacute $6000 y asiacute sucesivamente hasta el deacutecimo antildeo El valor inicial de la inversioacuten es de $50000 Elaborar el diagrama de flujo de caja solucioacuten
12000 15000 18000
P = 50000
6000 9000 0 3000
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 antildeos 9000 6000 3000
14
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Intereacutes simple Una operacioacuten financiera se hace con intereacutes simple cuando durante todo el tiempo de la transaccioacuten soacutelo el capital genera intereses independientemente de si eacutestos se retiran (se cancelan) o no Es decir el intereacutes simple no se le adiciona al capital para generar nuevos intereses
El intereacutes se representa por la letra I (mayuacutescula) y se calcula asiacute
Intereacutes (I) = Cantidad acumulada - Inversioacuten inicial
Cantidad acumulada Cf
Cantidad inicial Ci
Ejemplo para cancelar una deuda de $10000 dentro de 3 antildeos debo pagar $13000 iquestCuaacutel es el intereacutes ganado
I = 13000 - 10000 = $3000
Observe que la unidad de medida del intereacutes son pesos (dinero)
Tasa de intereacutes
Es el intereacutes expresado en porcentaje y por unidad de tiempo Se representa con la letra i y se calcula asiacute
I = Cf ndash Ci (a) o Cf = Ci + I (b) Foacutermula 1
i = Intereacutes acumulado por unidad de tiempo
Cantidad inicial xx 100 i =
I
Ci x 100
Cuando se tienen varios periacuteodos unitarios (2 3 4hellip n periacuteodos) la foacutermula anterior se divide por el nuacutemero de periacuteodos
Simboacutelicamente la foacutermula se expresa asiacute
Foacutermula 2i = I x 100
n x Cantidad inicial i =
I x 100
n x Ci
siacutembolos CF Cantidad acumulada (Capital final Valor futuro) Ci Cantidad inicial (Capital inicial Valor presente) n Nuacutemero de periacuteodos (antildeos semestres meses trimestres diacuteas etc) I Intereacutes i Tasa de intereacutes
4
generalidades
La tasa de intereacutes simple se puede multiplicar o dividir para expresarla en unidades de tiempo diferentes Ejemplo una tasa del 2 simple mensual es equishyvalente a una tasa del 24 simple anual se multiplicoacute por 12 que son los meses del antildeo Una tasa del 9 simple semestral es equivalente a una tasa del 15 simple mensual se dividioacute por 6 que son los meses del semestre
Con el fin de simplificar la escritura de las foacutermulas omitiremos la escritura del valor ldquo100rdquo y utilizamos el i como nuacutemero iacutendice es decir el porcentaje expreshysado como nuacutemero decimal ejemplo i = 4 lo escribimos como i = 004
De acuerdo con la nomenclatura anterior y aplicando la simplificacioacuten antes descrita las ecuaciones o foacutermulas dadas se representan asiacute
Foacutermula 1 Foacutermula 2 Foacutermula 3
Remplazando en (b) la foacutermula 2
I = Cf ndash Ci (a) i = I
n i Ci Cf = Ci + i bull n bull Ci
Despejando Cf
Cf = Ci + I (b) I = i bull n bull Ci Cf = Ci (I + i bull n)
Problema 1 Se recibieron $60000 de intereacutes durante un semestre por un depoacutesito en un banshyco comercial Si el banco reconoce una tasa de intereacutes simple del 7 trimestral y liquida a sus clientes sobre saldos trimestrales iquestcuaacutel fue el capital depositado inicialmente respuesta $42857143
I = n bull i bull Ci I = $60000 n = 2 trimestres (un semestre) Ci = 60000007 x 2 = $42857143 I
Ci = i = 7 trimestral i i n
Problema 2 Si las condiciones de un preacutestamo con intereacutes simple se expresan mediante la ecuacioacuten
VF= 500 + 120 t
Donde VF es el valor futuro y t es el tiempo en antildeos determine a) La tasa de intereacutes simple R 24 b) El tiempo transcurrido para que el inversionista reciba $600 de intereacutes total
R 5 antildeos c) iquestCuaacutel seraacute la deuda inicial del quinto antildeo si el banco prestamista no ha recibido
intereses de mora y no cobra intereacutes de mora R 98000
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solucioacuten a) I = Cf ndash Ci rarr Cf = Ci + I rarr Cf = Ci + Ci bull i bull n de foacutermula 4
de 1 darr darr darr
VF = 500 + 120t 120t = 500 x i x t de de3 porque t = n 2
i = 24
b) 120t = Ci bull i bull n = Intereacutes (I) = 600 t = 600120 = 5 antildeos
c) Cf4 = 500 + 120 x 4 = $980 Porque el final del antildeo 4 es el principio del antildeo 5
Problema 3 Pedro Ramiacuterez posee una letra de cambio de tres meses de vencimiento a intereacutes simple del 4 mensual Por necesidades de dinero lleva esta letra a una agencia de cambio (AC) y Ramiacuterez admite recibir un adelanto de $150000 de la AC iquestCuaacutento dinero debe recibir al final del traacutemite si la AC cobra un intereacutes simple del 7 menshysual en todas las operaciones y el valor nominal de la letra es de $300000 respuesta $154500
Problema 4 Juan Peacuterez recibe un preacutestamo extrabancario de $200000 Si el intereacutes convenido es del 6 mensual simple y canceloacute en total intereses por $216000 iquestpor cuaacutento tiempo mantuvo Peacuterez el preacutestamo
I = Ciin 216000 = 200000 x 006 x n n = 18 meses
Problema 5 El contador Morales consigue un preacutestamo de $3000000 a dos antildeos de plazo con una tasa de intereacutes simple del 3 bimestral iquestCuaacutento pagaraacute al final de los dos antildeos respuesta $4080000
Problema 6 iquestEn cuaacutento tiempo se triplica una inversioacuten con un intereacutes simple del 23 anual respuesta 869 antildeos
Cf = Ci + Ciin rarr 3Ci = Ci + Ci 023 n rarr n = 2023 = 869 antildeos
Conversioacuten a antildeos meses y diacuteas 069 x 12 = 828 meses 028 x 30 = 8 diacuteas 8 antildeos 8 meses 8 diacuteas
Problema 7 Una deuda se pactoacute pagarla en tres cuotas asiacute dentro de dos meses $100000 denshytro de cuatro meses $300000 dentro de cinco meses $500000 El intereacutes es simple
6
generalidades
y del 27 mensual El deudor le ofrece a su acreedor pagarle toda la deuda dentro de un mes con $840000 iquestSe debe aceptar esta propuesta
i = 27 mensual (simple) Cf = Ci (1 + i bull n) Ci = Cf divide (1 + i bull n) Calculamos la deuda hoy trasladando los flujos al periacuteodo cero Inicial de la cuota de 100000 en 2 Ci = 100000 divide (1 + 0027 x 2) Ci = 94877 Inicial de la cuota de 100000 en 4 Ci = 300000 divide (1 + 0027 x 4) Ci = 270758 Inicial de la cuota de 100000 en 5 Ci = 500000 divide (1 + 0027 x 5) Ci = 440529
Total hoy 806163 La deuda hoy llevaba al mes uno Cf = Ci (1 + i bull n)
Cf = 806163 (1 + 0027 x 1) Cf = 827930
Se debe aceptar la propuesta porque le ofrecen una cantidad mayor
Problema 8 iquestCuaacutel de las siguientes opciones de gratificacioacuten conviene maacutes a los intereses de un empleado a) recibir ahora $700 b) recibir ahora $200 y $600 a los 60 diacuteas c) recibir tres pagos iguales de $250 cu a 30 60 y 90 diacuteas
Tasa de intereacutes simple del 42 anual respuesta a) $700 b) $76064 c) $70142 mejor b
Problema 9 Usted tiene 3 cheques posfechados parar cobrar asiacute $150000 para dentro de 6 meses $135000 para dentro de ocho meses y $350000 para dentro de 12 meses Debido a una urgencia de efectivo se ve en la necesidad de negociar estos cheques en una casa de cambio que le cobra el 28 mensual simple iquestCuaacutento dinero espera recibir siacute la negociacioacuten la realiza en el diacutea de hoy respuesta $50069482
Problema 10 Pedro debe pagar tres deudas asiacute $1500000 dentro de cuatro meses $2500000 para dentro de seis meses y $3000000 para dentro de ocho meses Estas deudas fueron calculadas con un intereacutes simple de 25 mensual Pedro le propone a su acreedor pagarle hoy $6500000 para cancelar toda la deuda iquestDebe aceptar el acreedor esta oferta respuesta Valor deuda original en pesos de hoy $6037549 Debe aceptar la oferta de Pedro
Problema 11 Pedro tiene que pagar una letra de cambio de $2000000 dentro de ocho meses y otra de $3000000 dentro de 18 meses Su acreedor le acepta cambiar estos pagos por uno de $1500000 en el diacutea de hoy y otro pago al final del antildeo Calcular el valor de este uacuteltimo pago si la tasa de intereacutes es del 2 mensual simple
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respuesta $301322515
Problema 12 Una empresa tiene que cancelar dentro de dos antildeos una obligacioacuten de $5500000 y desea liquidarla sustituyeacutendola por dos pagos iguales en los meses 10 y 22 Si la tasa de intereacutes simple es del 3 mensual iquestcuaacutel es el valor de las cuotas respuesta $2217742
La IguaLDaD Y La EQuIVaLENCIa Estos dos conceptos a menudo se confunden o no se interpretan adecuadamente en teacuterminos econoacutemicos Vamos a tratar de establecer la diferencia entre ellos
Si asumimos una inflacioacuten de 10 anual y un artiacuteculo hoy vale $10000 dentro de un antildeo el mismo artiacuteculo tendraacute un costo de $11000 Esto quiere decir que hoy $10000 tendraacuten el mismo poder de compra que $11000 dentro de un antildeo Debeshymos entender que $10000 hoy son equivalentes a $11000 dentro de un antildeo pero no son iguales en cantidad
De otra manera si queremos comprar dentro de un antildeo un artiacuteculo que hoy vale $10000 debemos invertir el dinero hoy a una tasa del 10 anual para conseguir un intereacutes de $1000 y reunir $11000 dentro de un antildeo para comprar el mismo artiacuteculo
Si el precio de los artiacuteculos se infla a traveacutes del tiempo el dinero tambieacuten debe inflarse con una tasa financiera para conservar el poder de compra Si la tasa finanshyciera de la inversioacuten es igual a la inflacioacuten decimos que nuestro dinero conserva el poder compra Si la tasa financiera es mayor que la inflacioacuten por ejemplo 15 anual al cabo de un antildeo tendriacuteamos $11500 lo que genera una utilidad real de la inversioacuten por encima de la inflacioacuten de $500
Pero si la tasa financiera es inferior a la inflacioacuten por ejemplo 8 anual al cabo de un antildeo la inversioacuten logra acumular $10800 dinero que no alcanza a comshyprar el mismo artiacuteculo Decimos que nuestro dinero ha perdido poder de compra aunque tengamos $800 maacutes
En general cuando invertimos el dinero hoy a una tasa financiera al cabo de cierto tiempo este dinero se ha inflado con los intereses acumulados Si esperamos recibir dentro de cierto tiempo una cantidad de dinero y la negociacioacuten la hacemos hoy (tiempo presente) para saber a cuaacutento equivale hoy la negociacioacuten debemos desinflar esa cantidad (quitarle el intereacutes)
En resumen el dinero de hoy invertido a una tasa i durante un tiempo se infla (aumenta) pero el dinero del futuro llevado a valor presente se desinfla con la tasa i
La igualdad del dinero solo se puede dar cuando los diferentes flujos de dinero son trasladados todos a un mismo periacuteodo futuro o al presente
8
generalidades
conclusiones 1 Los dineros colocados en periacuteodos diferentes pueden ser equivalentes pero
nunca iguales 2 La igualdad del dinero soacutelo puede darse cuando los diferentes flujos de dinero
son trasladados a un mismo periacuteodo
Esto nos debe advertir que las foacutermulas que utilizaremos que son igualdades (=) tendraacuten como uno de los fines que trasladar dineros del presente al futuro (inflar) o del futuro al presente (desinflar)
FLuJOS DE CaJa Son los ingresos y egresos de dinero que ocurren en una empresa por su activad econoacutemica en un periacuteodo determinado Estos flujos de caja pueden ser pagos uacutenishycos (ocurren solo una vez) o seriados Los seriados pueden ser iguales (constantes en valor uniformes) crecientes cada vez o decrecientes cada vez
El crecimiento o decrecimiento puede ser constante aritmeacutetica o porcenshytualmente
Valor presente (P) Pagos uacutenicos Valor futuro (F)
Series uniformes (A) Flujos de caja
Crecientes o decrecientes aritmeacuteticamente Pagos seriados No uniformes
Crecientes o decrecientes en porcentaje
Graacutefico 1 Flujos de caja
Ejemplos de flujos de caja
Pagos uacutenicos
Cuando se hace referencia a pagos uacutenicos nos referimos taacutecitamente a los ingresos y egresos La misma referencia para los seriados Son uacutenicos porque solo ocurren una vez
Valor presente (P)
Pagar hoy un equipo un vehiacuteculo una propiedad cobrar hoy un dinero vender hoy un bien etceacutetera
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Valor futuro (F)
Vender algo dentro de cierto tiempo pagar una deuda dentro de cierto tiempo en general tener ingresos o egresos por una sola vez en tiempo futuro
Los conceptos de presente y futuro son relativos entre ellos Asumamos un ingreso hoy de $10000 un ingreso dentro de dos antildeos de $5000 y un ingreso de $8000 dentro de cinco
El ingreso de $10000 hoy es presente para los para los periacuteodos dos y cinco El ingreso de $5000 dentro de dos antildeos es futuro para el periacuteodo de hoy y
presente para el periacuteodo cinco El ingreso de $8000 es futuro para los periacuteodos de hoy y para el periacuteodo dos
Pagos seriados uniformes (a)
Recordemos que una serie es consecutiva por lo tanto los pagos deben ser conseshycutivos sin interrupciones y para que sean uniformes deben tener el mismo valor Ejemplos los sueldos fijos de un trabajador el canon de arrendamiento durante los 12 meses las cuotas iguales para pagar un creacutedito las dos primas semestrales el cargo fijo mensual de los servicios puacuteblicos etceacutetera
Seriados crecientes o decrecientes aritmeacuteticamente
Pagos mensuales trimestrales semestrales anuales etceacutetera de cuotas u obligacioshynes iniciando con un valor determinado y cada pago posterior se aumenta en una cantidad fija de pesos o disminuye una cantidad fija de pesos
Pagar o recibir cinco cuotas mensuales empezando con $200 y cada vez aushymenta o disminuye en $20
Creciente 200 220 240 260 280 Decreciente 200 180 160 140 120 El incremento o decrecimiento de $20 se llama Gradiente (G)
Seriados crecientes o decrecientes geomeacutetricamente
Pagos mensuales o anuales de cuotas u obligaciones iniciando con un valor detershyminado y cada pago se aumenta o disminuye en un porcentaje constante
Pagar o recibir cinco cuotas mensuales empezando con 200 y cada vez aumenshyta o disminuye en 10
Creciente 200 220 242 2662 29282 Decreciente 200 180 162 1458 13122
10
generalidades
Nomenclatura Los diferentes flujos de caja se representaraacuten mediante siacutembolos alfabeacuteticos para simplificar su escritura
Valor presente P Valor futuro F Serie uniforme A Tasa de intereacutes i Periacuteodos n
Las series crecientes o decrecientes las estudiaremos maacutes adelante
Periacuteodos Los periacuteodos son las diferentes unidades de tiempo que usualmente se utilizan en las operaciones financieras anuales semestrales o bianuales cuatrimestrales trishymestrales bimestrales o cada dos meses mensuales quincenales o bimensuales semanal y diario
Otras unidades de tiempo menos usadas son bienio o cada dos antildeos trienio o cada tres antildeos cuatrienio o cada cuatro antildeos quinquenio o lustro o cada cinco antildeos etceacutetera
Diagramas de flujos de caja Los diferentes flujos de caja se deben representar en diagramas que faciliten la vishysualizacioacuten y la interpretacioacuten de ellos para determinar la metodologiacutea que se debe seguir en la solucioacuten del problema econoacutemico propuesto
Para el diagrama se utiliza el plano cartesiano El eje horizontal de las X se denominaraacute eje del tiempo o de los periacuteodos En eacutel se dibujaraacuten los diferentes peshyriacuteodos (n) El eje vertical o de la ordenada se denominaraacute eje del dinero o flujo ($) Los ingresos se representan con flecha hacia arriba (flujo positivo) y los egresos con flecha hacia abajo (flujo negativo) El tiempo futuro se representa desde el origen hacia la derecha y el tiempo pasado desde el origen hacia la izquierda Por simplificacioacuten se puede omitir el dibujo del eje vertical
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Tiempo pasado $ Tiempo futuro Ingresos Ingresos
2000 hace 4 antildeos hubo 1000 ingreso uacutenico dentro de un ingreso dos antildeos
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 antildeos
Tiempo pasado 3000 cuatro cuotas anuales iguales Egresos Egresos
6000 una inversioacuten hoy Tiempo futuro Egresos
Graacutefico 2 Diagrama de flujos de caja
Problema 13 Graficar los siguientes flujos de caja una inversioacuten hoy de $20000 desde hace cinco antildeos y hasta dentro de dos antildeos ingresos de $4000 un ingreso de $5000 dentro de seis antildeos gastos desde hace un antildeo y hasta dentro de tres antildeos de $6000 anuales
5000 A = 4000
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6antildeos
A = 6000
P = 20000
Una forma maacutes simplificada para dibujar el diagrama anterior es omitiendo las flechas intermedias de las series uniformes y se sustituyen por una liacutenea horizontal que una el primer pago de la serie con el uacuteltimo
12
generalidades
5000A = 4000
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6antildeos
A = 6000 P = 20000
Problema 14 Elaborar el diagrama del siguiente flujo de caja ingresos anuales e iguales de $19000 desde hoy hasta el antildeo 27 un ingreso de $12500 en el sexto antildeo un ingreso de 80000 en el antildeo 31 otro ingreso de $42000 en antildeo 29 un egreso de $8000 en el antildeo 2 egresos anuales uniformes de $5000 del antildeo 4 al 28 y otro egreso anual uniforme de $25000 del antildeo 6 al 31
15000 42000
19000 80000
0 1 2 3 4 5 6 26 27 28 29 30 31antildeos
8000
25000
5000
Problema 15 Hoy se hace un depoacutesito en una entidad financiera por un valor de $16000000 A partir del quinto semestre se empezaraacute a retirar cada vez $250000 y hasta el semestre 16 Adicionalmente en el semestre 16 se podraacute retirar el resto del dinero que seraacute $10000000 y dejar la cuenta en cero Elaborar el diagrama de flujo de caja
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solucioacuten
F = 10000000
A = 250000 0 1 2 3 4 5 16 Semestres
P = $16000000
Problema 16 Dentro de nueve meses tengo una obligacioacuten hipotecaria por un valor de $4500000 Para cancelar este valor he decidido abrir hoy una cuenta bancaria La apertura de esta cuenta la hareacute con $500000 y cada mes posterior y hasta el final del noveno mes hareacute depoacutesitos iguales de $350000 Elaborar el diagrama de flujo de caja solucioacuten
F = 4500000
0 1 2 8 9 meses
A = 350000500000
Problema 17 Supongamos que una empresa pronostica que los primeros tres antildeos de funcionashymiento produciraacute peacuterdidas anuales decrecientes asiacute el primer antildeo perderaacute $9000 el segundo perderaacute $6000 el tercero perderaacute $3000 el cuarto estaraacute en el punto de equilibrio es decir tendraacute utilidades de $000 Del quinto antildeo en adelante empezaraacute a ganar $3000 el sexto ganaraacute $6000 y asiacute sucesivamente hasta el deacutecimo antildeo El valor inicial de la inversioacuten es de $50000 Elaborar el diagrama de flujo de caja solucioacuten
12000 15000 18000
P = 50000
6000 9000 0 3000
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 antildeos 9000 6000 3000
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generalidades
La tasa de intereacutes simple se puede multiplicar o dividir para expresarla en unidades de tiempo diferentes Ejemplo una tasa del 2 simple mensual es equishyvalente a una tasa del 24 simple anual se multiplicoacute por 12 que son los meses del antildeo Una tasa del 9 simple semestral es equivalente a una tasa del 15 simple mensual se dividioacute por 6 que son los meses del semestre
Con el fin de simplificar la escritura de las foacutermulas omitiremos la escritura del valor ldquo100rdquo y utilizamos el i como nuacutemero iacutendice es decir el porcentaje expreshysado como nuacutemero decimal ejemplo i = 4 lo escribimos como i = 004
De acuerdo con la nomenclatura anterior y aplicando la simplificacioacuten antes descrita las ecuaciones o foacutermulas dadas se representan asiacute
Foacutermula 1 Foacutermula 2 Foacutermula 3
Remplazando en (b) la foacutermula 2
I = Cf ndash Ci (a) i = I
n i Ci Cf = Ci + i bull n bull Ci
Despejando Cf
Cf = Ci + I (b) I = i bull n bull Ci Cf = Ci (I + i bull n)
Problema 1 Se recibieron $60000 de intereacutes durante un semestre por un depoacutesito en un banshyco comercial Si el banco reconoce una tasa de intereacutes simple del 7 trimestral y liquida a sus clientes sobre saldos trimestrales iquestcuaacutel fue el capital depositado inicialmente respuesta $42857143
I = n bull i bull Ci I = $60000 n = 2 trimestres (un semestre) Ci = 60000007 x 2 = $42857143 I
Ci = i = 7 trimestral i i n
Problema 2 Si las condiciones de un preacutestamo con intereacutes simple se expresan mediante la ecuacioacuten
VF= 500 + 120 t
Donde VF es el valor futuro y t es el tiempo en antildeos determine a) La tasa de intereacutes simple R 24 b) El tiempo transcurrido para que el inversionista reciba $600 de intereacutes total
R 5 antildeos c) iquestCuaacutel seraacute la deuda inicial del quinto antildeo si el banco prestamista no ha recibido
intereses de mora y no cobra intereacutes de mora R 98000
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solucioacuten a) I = Cf ndash Ci rarr Cf = Ci + I rarr Cf = Ci + Ci bull i bull n de foacutermula 4
de 1 darr darr darr
VF = 500 + 120t 120t = 500 x i x t de de3 porque t = n 2
i = 24
b) 120t = Ci bull i bull n = Intereacutes (I) = 600 t = 600120 = 5 antildeos
c) Cf4 = 500 + 120 x 4 = $980 Porque el final del antildeo 4 es el principio del antildeo 5
Problema 3 Pedro Ramiacuterez posee una letra de cambio de tres meses de vencimiento a intereacutes simple del 4 mensual Por necesidades de dinero lleva esta letra a una agencia de cambio (AC) y Ramiacuterez admite recibir un adelanto de $150000 de la AC iquestCuaacutento dinero debe recibir al final del traacutemite si la AC cobra un intereacutes simple del 7 menshysual en todas las operaciones y el valor nominal de la letra es de $300000 respuesta $154500
Problema 4 Juan Peacuterez recibe un preacutestamo extrabancario de $200000 Si el intereacutes convenido es del 6 mensual simple y canceloacute en total intereses por $216000 iquestpor cuaacutento tiempo mantuvo Peacuterez el preacutestamo
I = Ciin 216000 = 200000 x 006 x n n = 18 meses
Problema 5 El contador Morales consigue un preacutestamo de $3000000 a dos antildeos de plazo con una tasa de intereacutes simple del 3 bimestral iquestCuaacutento pagaraacute al final de los dos antildeos respuesta $4080000
Problema 6 iquestEn cuaacutento tiempo se triplica una inversioacuten con un intereacutes simple del 23 anual respuesta 869 antildeos
Cf = Ci + Ciin rarr 3Ci = Ci + Ci 023 n rarr n = 2023 = 869 antildeos
Conversioacuten a antildeos meses y diacuteas 069 x 12 = 828 meses 028 x 30 = 8 diacuteas 8 antildeos 8 meses 8 diacuteas
Problema 7 Una deuda se pactoacute pagarla en tres cuotas asiacute dentro de dos meses $100000 denshytro de cuatro meses $300000 dentro de cinco meses $500000 El intereacutes es simple
6
generalidades
y del 27 mensual El deudor le ofrece a su acreedor pagarle toda la deuda dentro de un mes con $840000 iquestSe debe aceptar esta propuesta
i = 27 mensual (simple) Cf = Ci (1 + i bull n) Ci = Cf divide (1 + i bull n) Calculamos la deuda hoy trasladando los flujos al periacuteodo cero Inicial de la cuota de 100000 en 2 Ci = 100000 divide (1 + 0027 x 2) Ci = 94877 Inicial de la cuota de 100000 en 4 Ci = 300000 divide (1 + 0027 x 4) Ci = 270758 Inicial de la cuota de 100000 en 5 Ci = 500000 divide (1 + 0027 x 5) Ci = 440529
Total hoy 806163 La deuda hoy llevaba al mes uno Cf = Ci (1 + i bull n)
Cf = 806163 (1 + 0027 x 1) Cf = 827930
Se debe aceptar la propuesta porque le ofrecen una cantidad mayor
Problema 8 iquestCuaacutel de las siguientes opciones de gratificacioacuten conviene maacutes a los intereses de un empleado a) recibir ahora $700 b) recibir ahora $200 y $600 a los 60 diacuteas c) recibir tres pagos iguales de $250 cu a 30 60 y 90 diacuteas
Tasa de intereacutes simple del 42 anual respuesta a) $700 b) $76064 c) $70142 mejor b
Problema 9 Usted tiene 3 cheques posfechados parar cobrar asiacute $150000 para dentro de 6 meses $135000 para dentro de ocho meses y $350000 para dentro de 12 meses Debido a una urgencia de efectivo se ve en la necesidad de negociar estos cheques en una casa de cambio que le cobra el 28 mensual simple iquestCuaacutento dinero espera recibir siacute la negociacioacuten la realiza en el diacutea de hoy respuesta $50069482
Problema 10 Pedro debe pagar tres deudas asiacute $1500000 dentro de cuatro meses $2500000 para dentro de seis meses y $3000000 para dentro de ocho meses Estas deudas fueron calculadas con un intereacutes simple de 25 mensual Pedro le propone a su acreedor pagarle hoy $6500000 para cancelar toda la deuda iquestDebe aceptar el acreedor esta oferta respuesta Valor deuda original en pesos de hoy $6037549 Debe aceptar la oferta de Pedro
Problema 11 Pedro tiene que pagar una letra de cambio de $2000000 dentro de ocho meses y otra de $3000000 dentro de 18 meses Su acreedor le acepta cambiar estos pagos por uno de $1500000 en el diacutea de hoy y otro pago al final del antildeo Calcular el valor de este uacuteltimo pago si la tasa de intereacutes es del 2 mensual simple
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respuesta $301322515
Problema 12 Una empresa tiene que cancelar dentro de dos antildeos una obligacioacuten de $5500000 y desea liquidarla sustituyeacutendola por dos pagos iguales en los meses 10 y 22 Si la tasa de intereacutes simple es del 3 mensual iquestcuaacutel es el valor de las cuotas respuesta $2217742
La IguaLDaD Y La EQuIVaLENCIa Estos dos conceptos a menudo se confunden o no se interpretan adecuadamente en teacuterminos econoacutemicos Vamos a tratar de establecer la diferencia entre ellos
Si asumimos una inflacioacuten de 10 anual y un artiacuteculo hoy vale $10000 dentro de un antildeo el mismo artiacuteculo tendraacute un costo de $11000 Esto quiere decir que hoy $10000 tendraacuten el mismo poder de compra que $11000 dentro de un antildeo Debeshymos entender que $10000 hoy son equivalentes a $11000 dentro de un antildeo pero no son iguales en cantidad
De otra manera si queremos comprar dentro de un antildeo un artiacuteculo que hoy vale $10000 debemos invertir el dinero hoy a una tasa del 10 anual para conseguir un intereacutes de $1000 y reunir $11000 dentro de un antildeo para comprar el mismo artiacuteculo
Si el precio de los artiacuteculos se infla a traveacutes del tiempo el dinero tambieacuten debe inflarse con una tasa financiera para conservar el poder de compra Si la tasa finanshyciera de la inversioacuten es igual a la inflacioacuten decimos que nuestro dinero conserva el poder compra Si la tasa financiera es mayor que la inflacioacuten por ejemplo 15 anual al cabo de un antildeo tendriacuteamos $11500 lo que genera una utilidad real de la inversioacuten por encima de la inflacioacuten de $500
Pero si la tasa financiera es inferior a la inflacioacuten por ejemplo 8 anual al cabo de un antildeo la inversioacuten logra acumular $10800 dinero que no alcanza a comshyprar el mismo artiacuteculo Decimos que nuestro dinero ha perdido poder de compra aunque tengamos $800 maacutes
En general cuando invertimos el dinero hoy a una tasa financiera al cabo de cierto tiempo este dinero se ha inflado con los intereses acumulados Si esperamos recibir dentro de cierto tiempo una cantidad de dinero y la negociacioacuten la hacemos hoy (tiempo presente) para saber a cuaacutento equivale hoy la negociacioacuten debemos desinflar esa cantidad (quitarle el intereacutes)
En resumen el dinero de hoy invertido a una tasa i durante un tiempo se infla (aumenta) pero el dinero del futuro llevado a valor presente se desinfla con la tasa i
La igualdad del dinero solo se puede dar cuando los diferentes flujos de dinero son trasladados todos a un mismo periacuteodo futuro o al presente
8
generalidades
conclusiones 1 Los dineros colocados en periacuteodos diferentes pueden ser equivalentes pero
nunca iguales 2 La igualdad del dinero soacutelo puede darse cuando los diferentes flujos de dinero
son trasladados a un mismo periacuteodo
Esto nos debe advertir que las foacutermulas que utilizaremos que son igualdades (=) tendraacuten como uno de los fines que trasladar dineros del presente al futuro (inflar) o del futuro al presente (desinflar)
FLuJOS DE CaJa Son los ingresos y egresos de dinero que ocurren en una empresa por su activad econoacutemica en un periacuteodo determinado Estos flujos de caja pueden ser pagos uacutenishycos (ocurren solo una vez) o seriados Los seriados pueden ser iguales (constantes en valor uniformes) crecientes cada vez o decrecientes cada vez
El crecimiento o decrecimiento puede ser constante aritmeacutetica o porcenshytualmente
Valor presente (P) Pagos uacutenicos Valor futuro (F)
Series uniformes (A) Flujos de caja
Crecientes o decrecientes aritmeacuteticamente Pagos seriados No uniformes
Crecientes o decrecientes en porcentaje
Graacutefico 1 Flujos de caja
Ejemplos de flujos de caja
Pagos uacutenicos
Cuando se hace referencia a pagos uacutenicos nos referimos taacutecitamente a los ingresos y egresos La misma referencia para los seriados Son uacutenicos porque solo ocurren una vez
Valor presente (P)
Pagar hoy un equipo un vehiacuteculo una propiedad cobrar hoy un dinero vender hoy un bien etceacutetera
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Valor futuro (F)
Vender algo dentro de cierto tiempo pagar una deuda dentro de cierto tiempo en general tener ingresos o egresos por una sola vez en tiempo futuro
Los conceptos de presente y futuro son relativos entre ellos Asumamos un ingreso hoy de $10000 un ingreso dentro de dos antildeos de $5000 y un ingreso de $8000 dentro de cinco
El ingreso de $10000 hoy es presente para los para los periacuteodos dos y cinco El ingreso de $5000 dentro de dos antildeos es futuro para el periacuteodo de hoy y
presente para el periacuteodo cinco El ingreso de $8000 es futuro para los periacuteodos de hoy y para el periacuteodo dos
Pagos seriados uniformes (a)
Recordemos que una serie es consecutiva por lo tanto los pagos deben ser conseshycutivos sin interrupciones y para que sean uniformes deben tener el mismo valor Ejemplos los sueldos fijos de un trabajador el canon de arrendamiento durante los 12 meses las cuotas iguales para pagar un creacutedito las dos primas semestrales el cargo fijo mensual de los servicios puacuteblicos etceacutetera
Seriados crecientes o decrecientes aritmeacuteticamente
Pagos mensuales trimestrales semestrales anuales etceacutetera de cuotas u obligacioshynes iniciando con un valor determinado y cada pago posterior se aumenta en una cantidad fija de pesos o disminuye una cantidad fija de pesos
Pagar o recibir cinco cuotas mensuales empezando con $200 y cada vez aushymenta o disminuye en $20
Creciente 200 220 240 260 280 Decreciente 200 180 160 140 120 El incremento o decrecimiento de $20 se llama Gradiente (G)
Seriados crecientes o decrecientes geomeacutetricamente
Pagos mensuales o anuales de cuotas u obligaciones iniciando con un valor detershyminado y cada pago se aumenta o disminuye en un porcentaje constante
Pagar o recibir cinco cuotas mensuales empezando con 200 y cada vez aumenshyta o disminuye en 10
Creciente 200 220 242 2662 29282 Decreciente 200 180 162 1458 13122
10
generalidades
Nomenclatura Los diferentes flujos de caja se representaraacuten mediante siacutembolos alfabeacuteticos para simplificar su escritura
Valor presente P Valor futuro F Serie uniforme A Tasa de intereacutes i Periacuteodos n
Las series crecientes o decrecientes las estudiaremos maacutes adelante
Periacuteodos Los periacuteodos son las diferentes unidades de tiempo que usualmente se utilizan en las operaciones financieras anuales semestrales o bianuales cuatrimestrales trishymestrales bimestrales o cada dos meses mensuales quincenales o bimensuales semanal y diario
Otras unidades de tiempo menos usadas son bienio o cada dos antildeos trienio o cada tres antildeos cuatrienio o cada cuatro antildeos quinquenio o lustro o cada cinco antildeos etceacutetera
Diagramas de flujos de caja Los diferentes flujos de caja se deben representar en diagramas que faciliten la vishysualizacioacuten y la interpretacioacuten de ellos para determinar la metodologiacutea que se debe seguir en la solucioacuten del problema econoacutemico propuesto
Para el diagrama se utiliza el plano cartesiano El eje horizontal de las X se denominaraacute eje del tiempo o de los periacuteodos En eacutel se dibujaraacuten los diferentes peshyriacuteodos (n) El eje vertical o de la ordenada se denominaraacute eje del dinero o flujo ($) Los ingresos se representan con flecha hacia arriba (flujo positivo) y los egresos con flecha hacia abajo (flujo negativo) El tiempo futuro se representa desde el origen hacia la derecha y el tiempo pasado desde el origen hacia la izquierda Por simplificacioacuten se puede omitir el dibujo del eje vertical
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Tiempo pasado $ Tiempo futuro Ingresos Ingresos
2000 hace 4 antildeos hubo 1000 ingreso uacutenico dentro de un ingreso dos antildeos
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 antildeos
Tiempo pasado 3000 cuatro cuotas anuales iguales Egresos Egresos
6000 una inversioacuten hoy Tiempo futuro Egresos
Graacutefico 2 Diagrama de flujos de caja
Problema 13 Graficar los siguientes flujos de caja una inversioacuten hoy de $20000 desde hace cinco antildeos y hasta dentro de dos antildeos ingresos de $4000 un ingreso de $5000 dentro de seis antildeos gastos desde hace un antildeo y hasta dentro de tres antildeos de $6000 anuales
5000 A = 4000
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6antildeos
A = 6000
P = 20000
Una forma maacutes simplificada para dibujar el diagrama anterior es omitiendo las flechas intermedias de las series uniformes y se sustituyen por una liacutenea horizontal que una el primer pago de la serie con el uacuteltimo
12
generalidades
5000A = 4000
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6antildeos
A = 6000 P = 20000
Problema 14 Elaborar el diagrama del siguiente flujo de caja ingresos anuales e iguales de $19000 desde hoy hasta el antildeo 27 un ingreso de $12500 en el sexto antildeo un ingreso de 80000 en el antildeo 31 otro ingreso de $42000 en antildeo 29 un egreso de $8000 en el antildeo 2 egresos anuales uniformes de $5000 del antildeo 4 al 28 y otro egreso anual uniforme de $25000 del antildeo 6 al 31
15000 42000
19000 80000
0 1 2 3 4 5 6 26 27 28 29 30 31antildeos
8000
25000
5000
Problema 15 Hoy se hace un depoacutesito en una entidad financiera por un valor de $16000000 A partir del quinto semestre se empezaraacute a retirar cada vez $250000 y hasta el semestre 16 Adicionalmente en el semestre 16 se podraacute retirar el resto del dinero que seraacute $10000000 y dejar la cuenta en cero Elaborar el diagrama de flujo de caja
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solucioacuten
F = 10000000
A = 250000 0 1 2 3 4 5 16 Semestres
P = $16000000
Problema 16 Dentro de nueve meses tengo una obligacioacuten hipotecaria por un valor de $4500000 Para cancelar este valor he decidido abrir hoy una cuenta bancaria La apertura de esta cuenta la hareacute con $500000 y cada mes posterior y hasta el final del noveno mes hareacute depoacutesitos iguales de $350000 Elaborar el diagrama de flujo de caja solucioacuten
F = 4500000
0 1 2 8 9 meses
A = 350000500000
Problema 17 Supongamos que una empresa pronostica que los primeros tres antildeos de funcionashymiento produciraacute peacuterdidas anuales decrecientes asiacute el primer antildeo perderaacute $9000 el segundo perderaacute $6000 el tercero perderaacute $3000 el cuarto estaraacute en el punto de equilibrio es decir tendraacute utilidades de $000 Del quinto antildeo en adelante empezaraacute a ganar $3000 el sexto ganaraacute $6000 y asiacute sucesivamente hasta el deacutecimo antildeo El valor inicial de la inversioacuten es de $50000 Elaborar el diagrama de flujo de caja solucioacuten
12000 15000 18000
P = 50000
6000 9000 0 3000
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 antildeos 9000 6000 3000
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solucioacuten a) I = Cf ndash Ci rarr Cf = Ci + I rarr Cf = Ci + Ci bull i bull n de foacutermula 4
de 1 darr darr darr
VF = 500 + 120t 120t = 500 x i x t de de3 porque t = n 2
i = 24
b) 120t = Ci bull i bull n = Intereacutes (I) = 600 t = 600120 = 5 antildeos
c) Cf4 = 500 + 120 x 4 = $980 Porque el final del antildeo 4 es el principio del antildeo 5
Problema 3 Pedro Ramiacuterez posee una letra de cambio de tres meses de vencimiento a intereacutes simple del 4 mensual Por necesidades de dinero lleva esta letra a una agencia de cambio (AC) y Ramiacuterez admite recibir un adelanto de $150000 de la AC iquestCuaacutento dinero debe recibir al final del traacutemite si la AC cobra un intereacutes simple del 7 menshysual en todas las operaciones y el valor nominal de la letra es de $300000 respuesta $154500
Problema 4 Juan Peacuterez recibe un preacutestamo extrabancario de $200000 Si el intereacutes convenido es del 6 mensual simple y canceloacute en total intereses por $216000 iquestpor cuaacutento tiempo mantuvo Peacuterez el preacutestamo
I = Ciin 216000 = 200000 x 006 x n n = 18 meses
Problema 5 El contador Morales consigue un preacutestamo de $3000000 a dos antildeos de plazo con una tasa de intereacutes simple del 3 bimestral iquestCuaacutento pagaraacute al final de los dos antildeos respuesta $4080000
Problema 6 iquestEn cuaacutento tiempo se triplica una inversioacuten con un intereacutes simple del 23 anual respuesta 869 antildeos
Cf = Ci + Ciin rarr 3Ci = Ci + Ci 023 n rarr n = 2023 = 869 antildeos
Conversioacuten a antildeos meses y diacuteas 069 x 12 = 828 meses 028 x 30 = 8 diacuteas 8 antildeos 8 meses 8 diacuteas
Problema 7 Una deuda se pactoacute pagarla en tres cuotas asiacute dentro de dos meses $100000 denshytro de cuatro meses $300000 dentro de cinco meses $500000 El intereacutes es simple
6
generalidades
y del 27 mensual El deudor le ofrece a su acreedor pagarle toda la deuda dentro de un mes con $840000 iquestSe debe aceptar esta propuesta
i = 27 mensual (simple) Cf = Ci (1 + i bull n) Ci = Cf divide (1 + i bull n) Calculamos la deuda hoy trasladando los flujos al periacuteodo cero Inicial de la cuota de 100000 en 2 Ci = 100000 divide (1 + 0027 x 2) Ci = 94877 Inicial de la cuota de 100000 en 4 Ci = 300000 divide (1 + 0027 x 4) Ci = 270758 Inicial de la cuota de 100000 en 5 Ci = 500000 divide (1 + 0027 x 5) Ci = 440529
Total hoy 806163 La deuda hoy llevaba al mes uno Cf = Ci (1 + i bull n)
Cf = 806163 (1 + 0027 x 1) Cf = 827930
Se debe aceptar la propuesta porque le ofrecen una cantidad mayor
Problema 8 iquestCuaacutel de las siguientes opciones de gratificacioacuten conviene maacutes a los intereses de un empleado a) recibir ahora $700 b) recibir ahora $200 y $600 a los 60 diacuteas c) recibir tres pagos iguales de $250 cu a 30 60 y 90 diacuteas
Tasa de intereacutes simple del 42 anual respuesta a) $700 b) $76064 c) $70142 mejor b
Problema 9 Usted tiene 3 cheques posfechados parar cobrar asiacute $150000 para dentro de 6 meses $135000 para dentro de ocho meses y $350000 para dentro de 12 meses Debido a una urgencia de efectivo se ve en la necesidad de negociar estos cheques en una casa de cambio que le cobra el 28 mensual simple iquestCuaacutento dinero espera recibir siacute la negociacioacuten la realiza en el diacutea de hoy respuesta $50069482
Problema 10 Pedro debe pagar tres deudas asiacute $1500000 dentro de cuatro meses $2500000 para dentro de seis meses y $3000000 para dentro de ocho meses Estas deudas fueron calculadas con un intereacutes simple de 25 mensual Pedro le propone a su acreedor pagarle hoy $6500000 para cancelar toda la deuda iquestDebe aceptar el acreedor esta oferta respuesta Valor deuda original en pesos de hoy $6037549 Debe aceptar la oferta de Pedro
Problema 11 Pedro tiene que pagar una letra de cambio de $2000000 dentro de ocho meses y otra de $3000000 dentro de 18 meses Su acreedor le acepta cambiar estos pagos por uno de $1500000 en el diacutea de hoy y otro pago al final del antildeo Calcular el valor de este uacuteltimo pago si la tasa de intereacutes es del 2 mensual simple
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respuesta $301322515
Problema 12 Una empresa tiene que cancelar dentro de dos antildeos una obligacioacuten de $5500000 y desea liquidarla sustituyeacutendola por dos pagos iguales en los meses 10 y 22 Si la tasa de intereacutes simple es del 3 mensual iquestcuaacutel es el valor de las cuotas respuesta $2217742
La IguaLDaD Y La EQuIVaLENCIa Estos dos conceptos a menudo se confunden o no se interpretan adecuadamente en teacuterminos econoacutemicos Vamos a tratar de establecer la diferencia entre ellos
Si asumimos una inflacioacuten de 10 anual y un artiacuteculo hoy vale $10000 dentro de un antildeo el mismo artiacuteculo tendraacute un costo de $11000 Esto quiere decir que hoy $10000 tendraacuten el mismo poder de compra que $11000 dentro de un antildeo Debeshymos entender que $10000 hoy son equivalentes a $11000 dentro de un antildeo pero no son iguales en cantidad
De otra manera si queremos comprar dentro de un antildeo un artiacuteculo que hoy vale $10000 debemos invertir el dinero hoy a una tasa del 10 anual para conseguir un intereacutes de $1000 y reunir $11000 dentro de un antildeo para comprar el mismo artiacuteculo
Si el precio de los artiacuteculos se infla a traveacutes del tiempo el dinero tambieacuten debe inflarse con una tasa financiera para conservar el poder de compra Si la tasa finanshyciera de la inversioacuten es igual a la inflacioacuten decimos que nuestro dinero conserva el poder compra Si la tasa financiera es mayor que la inflacioacuten por ejemplo 15 anual al cabo de un antildeo tendriacuteamos $11500 lo que genera una utilidad real de la inversioacuten por encima de la inflacioacuten de $500
Pero si la tasa financiera es inferior a la inflacioacuten por ejemplo 8 anual al cabo de un antildeo la inversioacuten logra acumular $10800 dinero que no alcanza a comshyprar el mismo artiacuteculo Decimos que nuestro dinero ha perdido poder de compra aunque tengamos $800 maacutes
En general cuando invertimos el dinero hoy a una tasa financiera al cabo de cierto tiempo este dinero se ha inflado con los intereses acumulados Si esperamos recibir dentro de cierto tiempo una cantidad de dinero y la negociacioacuten la hacemos hoy (tiempo presente) para saber a cuaacutento equivale hoy la negociacioacuten debemos desinflar esa cantidad (quitarle el intereacutes)
En resumen el dinero de hoy invertido a una tasa i durante un tiempo se infla (aumenta) pero el dinero del futuro llevado a valor presente se desinfla con la tasa i
La igualdad del dinero solo se puede dar cuando los diferentes flujos de dinero son trasladados todos a un mismo periacuteodo futuro o al presente
8
generalidades
conclusiones 1 Los dineros colocados en periacuteodos diferentes pueden ser equivalentes pero
nunca iguales 2 La igualdad del dinero soacutelo puede darse cuando los diferentes flujos de dinero
son trasladados a un mismo periacuteodo
Esto nos debe advertir que las foacutermulas que utilizaremos que son igualdades (=) tendraacuten como uno de los fines que trasladar dineros del presente al futuro (inflar) o del futuro al presente (desinflar)
FLuJOS DE CaJa Son los ingresos y egresos de dinero que ocurren en una empresa por su activad econoacutemica en un periacuteodo determinado Estos flujos de caja pueden ser pagos uacutenishycos (ocurren solo una vez) o seriados Los seriados pueden ser iguales (constantes en valor uniformes) crecientes cada vez o decrecientes cada vez
El crecimiento o decrecimiento puede ser constante aritmeacutetica o porcenshytualmente
Valor presente (P) Pagos uacutenicos Valor futuro (F)
Series uniformes (A) Flujos de caja
Crecientes o decrecientes aritmeacuteticamente Pagos seriados No uniformes
Crecientes o decrecientes en porcentaje
Graacutefico 1 Flujos de caja
Ejemplos de flujos de caja
Pagos uacutenicos
Cuando se hace referencia a pagos uacutenicos nos referimos taacutecitamente a los ingresos y egresos La misma referencia para los seriados Son uacutenicos porque solo ocurren una vez
Valor presente (P)
Pagar hoy un equipo un vehiacuteculo una propiedad cobrar hoy un dinero vender hoy un bien etceacutetera
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Valor futuro (F)
Vender algo dentro de cierto tiempo pagar una deuda dentro de cierto tiempo en general tener ingresos o egresos por una sola vez en tiempo futuro
Los conceptos de presente y futuro son relativos entre ellos Asumamos un ingreso hoy de $10000 un ingreso dentro de dos antildeos de $5000 y un ingreso de $8000 dentro de cinco
El ingreso de $10000 hoy es presente para los para los periacuteodos dos y cinco El ingreso de $5000 dentro de dos antildeos es futuro para el periacuteodo de hoy y
presente para el periacuteodo cinco El ingreso de $8000 es futuro para los periacuteodos de hoy y para el periacuteodo dos
Pagos seriados uniformes (a)
Recordemos que una serie es consecutiva por lo tanto los pagos deben ser conseshycutivos sin interrupciones y para que sean uniformes deben tener el mismo valor Ejemplos los sueldos fijos de un trabajador el canon de arrendamiento durante los 12 meses las cuotas iguales para pagar un creacutedito las dos primas semestrales el cargo fijo mensual de los servicios puacuteblicos etceacutetera
Seriados crecientes o decrecientes aritmeacuteticamente
Pagos mensuales trimestrales semestrales anuales etceacutetera de cuotas u obligacioshynes iniciando con un valor determinado y cada pago posterior se aumenta en una cantidad fija de pesos o disminuye una cantidad fija de pesos
Pagar o recibir cinco cuotas mensuales empezando con $200 y cada vez aushymenta o disminuye en $20
Creciente 200 220 240 260 280 Decreciente 200 180 160 140 120 El incremento o decrecimiento de $20 se llama Gradiente (G)
Seriados crecientes o decrecientes geomeacutetricamente
Pagos mensuales o anuales de cuotas u obligaciones iniciando con un valor detershyminado y cada pago se aumenta o disminuye en un porcentaje constante
Pagar o recibir cinco cuotas mensuales empezando con 200 y cada vez aumenshyta o disminuye en 10
Creciente 200 220 242 2662 29282 Decreciente 200 180 162 1458 13122
10
generalidades
Nomenclatura Los diferentes flujos de caja se representaraacuten mediante siacutembolos alfabeacuteticos para simplificar su escritura
Valor presente P Valor futuro F Serie uniforme A Tasa de intereacutes i Periacuteodos n
Las series crecientes o decrecientes las estudiaremos maacutes adelante
Periacuteodos Los periacuteodos son las diferentes unidades de tiempo que usualmente se utilizan en las operaciones financieras anuales semestrales o bianuales cuatrimestrales trishymestrales bimestrales o cada dos meses mensuales quincenales o bimensuales semanal y diario
Otras unidades de tiempo menos usadas son bienio o cada dos antildeos trienio o cada tres antildeos cuatrienio o cada cuatro antildeos quinquenio o lustro o cada cinco antildeos etceacutetera
Diagramas de flujos de caja Los diferentes flujos de caja se deben representar en diagramas que faciliten la vishysualizacioacuten y la interpretacioacuten de ellos para determinar la metodologiacutea que se debe seguir en la solucioacuten del problema econoacutemico propuesto
Para el diagrama se utiliza el plano cartesiano El eje horizontal de las X se denominaraacute eje del tiempo o de los periacuteodos En eacutel se dibujaraacuten los diferentes peshyriacuteodos (n) El eje vertical o de la ordenada se denominaraacute eje del dinero o flujo ($) Los ingresos se representan con flecha hacia arriba (flujo positivo) y los egresos con flecha hacia abajo (flujo negativo) El tiempo futuro se representa desde el origen hacia la derecha y el tiempo pasado desde el origen hacia la izquierda Por simplificacioacuten se puede omitir el dibujo del eje vertical
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Tiempo pasado $ Tiempo futuro Ingresos Ingresos
2000 hace 4 antildeos hubo 1000 ingreso uacutenico dentro de un ingreso dos antildeos
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 antildeos
Tiempo pasado 3000 cuatro cuotas anuales iguales Egresos Egresos
6000 una inversioacuten hoy Tiempo futuro Egresos
Graacutefico 2 Diagrama de flujos de caja
Problema 13 Graficar los siguientes flujos de caja una inversioacuten hoy de $20000 desde hace cinco antildeos y hasta dentro de dos antildeos ingresos de $4000 un ingreso de $5000 dentro de seis antildeos gastos desde hace un antildeo y hasta dentro de tres antildeos de $6000 anuales
5000 A = 4000
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6antildeos
A = 6000
P = 20000
Una forma maacutes simplificada para dibujar el diagrama anterior es omitiendo las flechas intermedias de las series uniformes y se sustituyen por una liacutenea horizontal que una el primer pago de la serie con el uacuteltimo
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generalidades
5000A = 4000
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6antildeos
A = 6000 P = 20000
Problema 14 Elaborar el diagrama del siguiente flujo de caja ingresos anuales e iguales de $19000 desde hoy hasta el antildeo 27 un ingreso de $12500 en el sexto antildeo un ingreso de 80000 en el antildeo 31 otro ingreso de $42000 en antildeo 29 un egreso de $8000 en el antildeo 2 egresos anuales uniformes de $5000 del antildeo 4 al 28 y otro egreso anual uniforme de $25000 del antildeo 6 al 31
15000 42000
19000 80000
0 1 2 3 4 5 6 26 27 28 29 30 31antildeos
8000
25000
5000
Problema 15 Hoy se hace un depoacutesito en una entidad financiera por un valor de $16000000 A partir del quinto semestre se empezaraacute a retirar cada vez $250000 y hasta el semestre 16 Adicionalmente en el semestre 16 se podraacute retirar el resto del dinero que seraacute $10000000 y dejar la cuenta en cero Elaborar el diagrama de flujo de caja
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INgENIEriacutea ECONoacutemICa
solucioacuten
F = 10000000
A = 250000 0 1 2 3 4 5 16 Semestres
P = $16000000
Problema 16 Dentro de nueve meses tengo una obligacioacuten hipotecaria por un valor de $4500000 Para cancelar este valor he decidido abrir hoy una cuenta bancaria La apertura de esta cuenta la hareacute con $500000 y cada mes posterior y hasta el final del noveno mes hareacute depoacutesitos iguales de $350000 Elaborar el diagrama de flujo de caja solucioacuten
F = 4500000
0 1 2 8 9 meses
A = 350000500000
Problema 17 Supongamos que una empresa pronostica que los primeros tres antildeos de funcionashymiento produciraacute peacuterdidas anuales decrecientes asiacute el primer antildeo perderaacute $9000 el segundo perderaacute $6000 el tercero perderaacute $3000 el cuarto estaraacute en el punto de equilibrio es decir tendraacute utilidades de $000 Del quinto antildeo en adelante empezaraacute a ganar $3000 el sexto ganaraacute $6000 y asiacute sucesivamente hasta el deacutecimo antildeo El valor inicial de la inversioacuten es de $50000 Elaborar el diagrama de flujo de caja solucioacuten
12000 15000 18000
P = 50000
6000 9000 0 3000
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 antildeos 9000 6000 3000
14
generalidades
y del 27 mensual El deudor le ofrece a su acreedor pagarle toda la deuda dentro de un mes con $840000 iquestSe debe aceptar esta propuesta
i = 27 mensual (simple) Cf = Ci (1 + i bull n) Ci = Cf divide (1 + i bull n) Calculamos la deuda hoy trasladando los flujos al periacuteodo cero Inicial de la cuota de 100000 en 2 Ci = 100000 divide (1 + 0027 x 2) Ci = 94877 Inicial de la cuota de 100000 en 4 Ci = 300000 divide (1 + 0027 x 4) Ci = 270758 Inicial de la cuota de 100000 en 5 Ci = 500000 divide (1 + 0027 x 5) Ci = 440529
Total hoy 806163 La deuda hoy llevaba al mes uno Cf = Ci (1 + i bull n)
Cf = 806163 (1 + 0027 x 1) Cf = 827930
Se debe aceptar la propuesta porque le ofrecen una cantidad mayor
Problema 8 iquestCuaacutel de las siguientes opciones de gratificacioacuten conviene maacutes a los intereses de un empleado a) recibir ahora $700 b) recibir ahora $200 y $600 a los 60 diacuteas c) recibir tres pagos iguales de $250 cu a 30 60 y 90 diacuteas
Tasa de intereacutes simple del 42 anual respuesta a) $700 b) $76064 c) $70142 mejor b
Problema 9 Usted tiene 3 cheques posfechados parar cobrar asiacute $150000 para dentro de 6 meses $135000 para dentro de ocho meses y $350000 para dentro de 12 meses Debido a una urgencia de efectivo se ve en la necesidad de negociar estos cheques en una casa de cambio que le cobra el 28 mensual simple iquestCuaacutento dinero espera recibir siacute la negociacioacuten la realiza en el diacutea de hoy respuesta $50069482
Problema 10 Pedro debe pagar tres deudas asiacute $1500000 dentro de cuatro meses $2500000 para dentro de seis meses y $3000000 para dentro de ocho meses Estas deudas fueron calculadas con un intereacutes simple de 25 mensual Pedro le propone a su acreedor pagarle hoy $6500000 para cancelar toda la deuda iquestDebe aceptar el acreedor esta oferta respuesta Valor deuda original en pesos de hoy $6037549 Debe aceptar la oferta de Pedro
Problema 11 Pedro tiene que pagar una letra de cambio de $2000000 dentro de ocho meses y otra de $3000000 dentro de 18 meses Su acreedor le acepta cambiar estos pagos por uno de $1500000 en el diacutea de hoy y otro pago al final del antildeo Calcular el valor de este uacuteltimo pago si la tasa de intereacutes es del 2 mensual simple
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respuesta $301322515
Problema 12 Una empresa tiene que cancelar dentro de dos antildeos una obligacioacuten de $5500000 y desea liquidarla sustituyeacutendola por dos pagos iguales en los meses 10 y 22 Si la tasa de intereacutes simple es del 3 mensual iquestcuaacutel es el valor de las cuotas respuesta $2217742
La IguaLDaD Y La EQuIVaLENCIa Estos dos conceptos a menudo se confunden o no se interpretan adecuadamente en teacuterminos econoacutemicos Vamos a tratar de establecer la diferencia entre ellos
Si asumimos una inflacioacuten de 10 anual y un artiacuteculo hoy vale $10000 dentro de un antildeo el mismo artiacuteculo tendraacute un costo de $11000 Esto quiere decir que hoy $10000 tendraacuten el mismo poder de compra que $11000 dentro de un antildeo Debeshymos entender que $10000 hoy son equivalentes a $11000 dentro de un antildeo pero no son iguales en cantidad
De otra manera si queremos comprar dentro de un antildeo un artiacuteculo que hoy vale $10000 debemos invertir el dinero hoy a una tasa del 10 anual para conseguir un intereacutes de $1000 y reunir $11000 dentro de un antildeo para comprar el mismo artiacuteculo
Si el precio de los artiacuteculos se infla a traveacutes del tiempo el dinero tambieacuten debe inflarse con una tasa financiera para conservar el poder de compra Si la tasa finanshyciera de la inversioacuten es igual a la inflacioacuten decimos que nuestro dinero conserva el poder compra Si la tasa financiera es mayor que la inflacioacuten por ejemplo 15 anual al cabo de un antildeo tendriacuteamos $11500 lo que genera una utilidad real de la inversioacuten por encima de la inflacioacuten de $500
Pero si la tasa financiera es inferior a la inflacioacuten por ejemplo 8 anual al cabo de un antildeo la inversioacuten logra acumular $10800 dinero que no alcanza a comshyprar el mismo artiacuteculo Decimos que nuestro dinero ha perdido poder de compra aunque tengamos $800 maacutes
En general cuando invertimos el dinero hoy a una tasa financiera al cabo de cierto tiempo este dinero se ha inflado con los intereses acumulados Si esperamos recibir dentro de cierto tiempo una cantidad de dinero y la negociacioacuten la hacemos hoy (tiempo presente) para saber a cuaacutento equivale hoy la negociacioacuten debemos desinflar esa cantidad (quitarle el intereacutes)
En resumen el dinero de hoy invertido a una tasa i durante un tiempo se infla (aumenta) pero el dinero del futuro llevado a valor presente se desinfla con la tasa i
La igualdad del dinero solo se puede dar cuando los diferentes flujos de dinero son trasladados todos a un mismo periacuteodo futuro o al presente
8
generalidades
conclusiones 1 Los dineros colocados en periacuteodos diferentes pueden ser equivalentes pero
nunca iguales 2 La igualdad del dinero soacutelo puede darse cuando los diferentes flujos de dinero
son trasladados a un mismo periacuteodo
Esto nos debe advertir que las foacutermulas que utilizaremos que son igualdades (=) tendraacuten como uno de los fines que trasladar dineros del presente al futuro (inflar) o del futuro al presente (desinflar)
FLuJOS DE CaJa Son los ingresos y egresos de dinero que ocurren en una empresa por su activad econoacutemica en un periacuteodo determinado Estos flujos de caja pueden ser pagos uacutenishycos (ocurren solo una vez) o seriados Los seriados pueden ser iguales (constantes en valor uniformes) crecientes cada vez o decrecientes cada vez
El crecimiento o decrecimiento puede ser constante aritmeacutetica o porcenshytualmente
Valor presente (P) Pagos uacutenicos Valor futuro (F)
Series uniformes (A) Flujos de caja
Crecientes o decrecientes aritmeacuteticamente Pagos seriados No uniformes
Crecientes o decrecientes en porcentaje
Graacutefico 1 Flujos de caja
Ejemplos de flujos de caja
Pagos uacutenicos
Cuando se hace referencia a pagos uacutenicos nos referimos taacutecitamente a los ingresos y egresos La misma referencia para los seriados Son uacutenicos porque solo ocurren una vez
Valor presente (P)
Pagar hoy un equipo un vehiacuteculo una propiedad cobrar hoy un dinero vender hoy un bien etceacutetera
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Valor futuro (F)
Vender algo dentro de cierto tiempo pagar una deuda dentro de cierto tiempo en general tener ingresos o egresos por una sola vez en tiempo futuro
Los conceptos de presente y futuro son relativos entre ellos Asumamos un ingreso hoy de $10000 un ingreso dentro de dos antildeos de $5000 y un ingreso de $8000 dentro de cinco
El ingreso de $10000 hoy es presente para los para los periacuteodos dos y cinco El ingreso de $5000 dentro de dos antildeos es futuro para el periacuteodo de hoy y
presente para el periacuteodo cinco El ingreso de $8000 es futuro para los periacuteodos de hoy y para el periacuteodo dos
Pagos seriados uniformes (a)
Recordemos que una serie es consecutiva por lo tanto los pagos deben ser conseshycutivos sin interrupciones y para que sean uniformes deben tener el mismo valor Ejemplos los sueldos fijos de un trabajador el canon de arrendamiento durante los 12 meses las cuotas iguales para pagar un creacutedito las dos primas semestrales el cargo fijo mensual de los servicios puacuteblicos etceacutetera
Seriados crecientes o decrecientes aritmeacuteticamente
Pagos mensuales trimestrales semestrales anuales etceacutetera de cuotas u obligacioshynes iniciando con un valor determinado y cada pago posterior se aumenta en una cantidad fija de pesos o disminuye una cantidad fija de pesos
Pagar o recibir cinco cuotas mensuales empezando con $200 y cada vez aushymenta o disminuye en $20
Creciente 200 220 240 260 280 Decreciente 200 180 160 140 120 El incremento o decrecimiento de $20 se llama Gradiente (G)
Seriados crecientes o decrecientes geomeacutetricamente
Pagos mensuales o anuales de cuotas u obligaciones iniciando con un valor detershyminado y cada pago se aumenta o disminuye en un porcentaje constante
Pagar o recibir cinco cuotas mensuales empezando con 200 y cada vez aumenshyta o disminuye en 10
Creciente 200 220 242 2662 29282 Decreciente 200 180 162 1458 13122
10
generalidades
Nomenclatura Los diferentes flujos de caja se representaraacuten mediante siacutembolos alfabeacuteticos para simplificar su escritura
Valor presente P Valor futuro F Serie uniforme A Tasa de intereacutes i Periacuteodos n
Las series crecientes o decrecientes las estudiaremos maacutes adelante
Periacuteodos Los periacuteodos son las diferentes unidades de tiempo que usualmente se utilizan en las operaciones financieras anuales semestrales o bianuales cuatrimestrales trishymestrales bimestrales o cada dos meses mensuales quincenales o bimensuales semanal y diario
Otras unidades de tiempo menos usadas son bienio o cada dos antildeos trienio o cada tres antildeos cuatrienio o cada cuatro antildeos quinquenio o lustro o cada cinco antildeos etceacutetera
Diagramas de flujos de caja Los diferentes flujos de caja se deben representar en diagramas que faciliten la vishysualizacioacuten y la interpretacioacuten de ellos para determinar la metodologiacutea que se debe seguir en la solucioacuten del problema econoacutemico propuesto
Para el diagrama se utiliza el plano cartesiano El eje horizontal de las X se denominaraacute eje del tiempo o de los periacuteodos En eacutel se dibujaraacuten los diferentes peshyriacuteodos (n) El eje vertical o de la ordenada se denominaraacute eje del dinero o flujo ($) Los ingresos se representan con flecha hacia arriba (flujo positivo) y los egresos con flecha hacia abajo (flujo negativo) El tiempo futuro se representa desde el origen hacia la derecha y el tiempo pasado desde el origen hacia la izquierda Por simplificacioacuten se puede omitir el dibujo del eje vertical
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Tiempo pasado $ Tiempo futuro Ingresos Ingresos
2000 hace 4 antildeos hubo 1000 ingreso uacutenico dentro de un ingreso dos antildeos
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 antildeos
Tiempo pasado 3000 cuatro cuotas anuales iguales Egresos Egresos
6000 una inversioacuten hoy Tiempo futuro Egresos
Graacutefico 2 Diagrama de flujos de caja
Problema 13 Graficar los siguientes flujos de caja una inversioacuten hoy de $20000 desde hace cinco antildeos y hasta dentro de dos antildeos ingresos de $4000 un ingreso de $5000 dentro de seis antildeos gastos desde hace un antildeo y hasta dentro de tres antildeos de $6000 anuales
5000 A = 4000
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6antildeos
A = 6000
P = 20000
Una forma maacutes simplificada para dibujar el diagrama anterior es omitiendo las flechas intermedias de las series uniformes y se sustituyen por una liacutenea horizontal que una el primer pago de la serie con el uacuteltimo
12
generalidades
5000A = 4000
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6antildeos
A = 6000 P = 20000
Problema 14 Elaborar el diagrama del siguiente flujo de caja ingresos anuales e iguales de $19000 desde hoy hasta el antildeo 27 un ingreso de $12500 en el sexto antildeo un ingreso de 80000 en el antildeo 31 otro ingreso de $42000 en antildeo 29 un egreso de $8000 en el antildeo 2 egresos anuales uniformes de $5000 del antildeo 4 al 28 y otro egreso anual uniforme de $25000 del antildeo 6 al 31
15000 42000
19000 80000
0 1 2 3 4 5 6 26 27 28 29 30 31antildeos
8000
25000
5000
Problema 15 Hoy se hace un depoacutesito en una entidad financiera por un valor de $16000000 A partir del quinto semestre se empezaraacute a retirar cada vez $250000 y hasta el semestre 16 Adicionalmente en el semestre 16 se podraacute retirar el resto del dinero que seraacute $10000000 y dejar la cuenta en cero Elaborar el diagrama de flujo de caja
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solucioacuten
F = 10000000
A = 250000 0 1 2 3 4 5 16 Semestres
P = $16000000
Problema 16 Dentro de nueve meses tengo una obligacioacuten hipotecaria por un valor de $4500000 Para cancelar este valor he decidido abrir hoy una cuenta bancaria La apertura de esta cuenta la hareacute con $500000 y cada mes posterior y hasta el final del noveno mes hareacute depoacutesitos iguales de $350000 Elaborar el diagrama de flujo de caja solucioacuten
F = 4500000
0 1 2 8 9 meses
A = 350000500000
Problema 17 Supongamos que una empresa pronostica que los primeros tres antildeos de funcionashymiento produciraacute peacuterdidas anuales decrecientes asiacute el primer antildeo perderaacute $9000 el segundo perderaacute $6000 el tercero perderaacute $3000 el cuarto estaraacute en el punto de equilibrio es decir tendraacute utilidades de $000 Del quinto antildeo en adelante empezaraacute a ganar $3000 el sexto ganaraacute $6000 y asiacute sucesivamente hasta el deacutecimo antildeo El valor inicial de la inversioacuten es de $50000 Elaborar el diagrama de flujo de caja solucioacuten
12000 15000 18000
P = 50000
6000 9000 0 3000
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 antildeos 9000 6000 3000
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respuesta $301322515
Problema 12 Una empresa tiene que cancelar dentro de dos antildeos una obligacioacuten de $5500000 y desea liquidarla sustituyeacutendola por dos pagos iguales en los meses 10 y 22 Si la tasa de intereacutes simple es del 3 mensual iquestcuaacutel es el valor de las cuotas respuesta $2217742
La IguaLDaD Y La EQuIVaLENCIa Estos dos conceptos a menudo se confunden o no se interpretan adecuadamente en teacuterminos econoacutemicos Vamos a tratar de establecer la diferencia entre ellos
Si asumimos una inflacioacuten de 10 anual y un artiacuteculo hoy vale $10000 dentro de un antildeo el mismo artiacuteculo tendraacute un costo de $11000 Esto quiere decir que hoy $10000 tendraacuten el mismo poder de compra que $11000 dentro de un antildeo Debeshymos entender que $10000 hoy son equivalentes a $11000 dentro de un antildeo pero no son iguales en cantidad
De otra manera si queremos comprar dentro de un antildeo un artiacuteculo que hoy vale $10000 debemos invertir el dinero hoy a una tasa del 10 anual para conseguir un intereacutes de $1000 y reunir $11000 dentro de un antildeo para comprar el mismo artiacuteculo
Si el precio de los artiacuteculos se infla a traveacutes del tiempo el dinero tambieacuten debe inflarse con una tasa financiera para conservar el poder de compra Si la tasa finanshyciera de la inversioacuten es igual a la inflacioacuten decimos que nuestro dinero conserva el poder compra Si la tasa financiera es mayor que la inflacioacuten por ejemplo 15 anual al cabo de un antildeo tendriacuteamos $11500 lo que genera una utilidad real de la inversioacuten por encima de la inflacioacuten de $500
Pero si la tasa financiera es inferior a la inflacioacuten por ejemplo 8 anual al cabo de un antildeo la inversioacuten logra acumular $10800 dinero que no alcanza a comshyprar el mismo artiacuteculo Decimos que nuestro dinero ha perdido poder de compra aunque tengamos $800 maacutes
En general cuando invertimos el dinero hoy a una tasa financiera al cabo de cierto tiempo este dinero se ha inflado con los intereses acumulados Si esperamos recibir dentro de cierto tiempo una cantidad de dinero y la negociacioacuten la hacemos hoy (tiempo presente) para saber a cuaacutento equivale hoy la negociacioacuten debemos desinflar esa cantidad (quitarle el intereacutes)
En resumen el dinero de hoy invertido a una tasa i durante un tiempo se infla (aumenta) pero el dinero del futuro llevado a valor presente se desinfla con la tasa i
La igualdad del dinero solo se puede dar cuando los diferentes flujos de dinero son trasladados todos a un mismo periacuteodo futuro o al presente
8
generalidades
conclusiones 1 Los dineros colocados en periacuteodos diferentes pueden ser equivalentes pero
nunca iguales 2 La igualdad del dinero soacutelo puede darse cuando los diferentes flujos de dinero
son trasladados a un mismo periacuteodo
Esto nos debe advertir que las foacutermulas que utilizaremos que son igualdades (=) tendraacuten como uno de los fines que trasladar dineros del presente al futuro (inflar) o del futuro al presente (desinflar)
FLuJOS DE CaJa Son los ingresos y egresos de dinero que ocurren en una empresa por su activad econoacutemica en un periacuteodo determinado Estos flujos de caja pueden ser pagos uacutenishycos (ocurren solo una vez) o seriados Los seriados pueden ser iguales (constantes en valor uniformes) crecientes cada vez o decrecientes cada vez
El crecimiento o decrecimiento puede ser constante aritmeacutetica o porcenshytualmente
Valor presente (P) Pagos uacutenicos Valor futuro (F)
Series uniformes (A) Flujos de caja
Crecientes o decrecientes aritmeacuteticamente Pagos seriados No uniformes
Crecientes o decrecientes en porcentaje
Graacutefico 1 Flujos de caja
Ejemplos de flujos de caja
Pagos uacutenicos
Cuando se hace referencia a pagos uacutenicos nos referimos taacutecitamente a los ingresos y egresos La misma referencia para los seriados Son uacutenicos porque solo ocurren una vez
Valor presente (P)
Pagar hoy un equipo un vehiacuteculo una propiedad cobrar hoy un dinero vender hoy un bien etceacutetera
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Valor futuro (F)
Vender algo dentro de cierto tiempo pagar una deuda dentro de cierto tiempo en general tener ingresos o egresos por una sola vez en tiempo futuro
Los conceptos de presente y futuro son relativos entre ellos Asumamos un ingreso hoy de $10000 un ingreso dentro de dos antildeos de $5000 y un ingreso de $8000 dentro de cinco
El ingreso de $10000 hoy es presente para los para los periacuteodos dos y cinco El ingreso de $5000 dentro de dos antildeos es futuro para el periacuteodo de hoy y
presente para el periacuteodo cinco El ingreso de $8000 es futuro para los periacuteodos de hoy y para el periacuteodo dos
Pagos seriados uniformes (a)
Recordemos que una serie es consecutiva por lo tanto los pagos deben ser conseshycutivos sin interrupciones y para que sean uniformes deben tener el mismo valor Ejemplos los sueldos fijos de un trabajador el canon de arrendamiento durante los 12 meses las cuotas iguales para pagar un creacutedito las dos primas semestrales el cargo fijo mensual de los servicios puacuteblicos etceacutetera
Seriados crecientes o decrecientes aritmeacuteticamente
Pagos mensuales trimestrales semestrales anuales etceacutetera de cuotas u obligacioshynes iniciando con un valor determinado y cada pago posterior se aumenta en una cantidad fija de pesos o disminuye una cantidad fija de pesos
Pagar o recibir cinco cuotas mensuales empezando con $200 y cada vez aushymenta o disminuye en $20
Creciente 200 220 240 260 280 Decreciente 200 180 160 140 120 El incremento o decrecimiento de $20 se llama Gradiente (G)
Seriados crecientes o decrecientes geomeacutetricamente
Pagos mensuales o anuales de cuotas u obligaciones iniciando con un valor detershyminado y cada pago se aumenta o disminuye en un porcentaje constante
Pagar o recibir cinco cuotas mensuales empezando con 200 y cada vez aumenshyta o disminuye en 10
Creciente 200 220 242 2662 29282 Decreciente 200 180 162 1458 13122
10
generalidades
Nomenclatura Los diferentes flujos de caja se representaraacuten mediante siacutembolos alfabeacuteticos para simplificar su escritura
Valor presente P Valor futuro F Serie uniforme A Tasa de intereacutes i Periacuteodos n
Las series crecientes o decrecientes las estudiaremos maacutes adelante
Periacuteodos Los periacuteodos son las diferentes unidades de tiempo que usualmente se utilizan en las operaciones financieras anuales semestrales o bianuales cuatrimestrales trishymestrales bimestrales o cada dos meses mensuales quincenales o bimensuales semanal y diario
Otras unidades de tiempo menos usadas son bienio o cada dos antildeos trienio o cada tres antildeos cuatrienio o cada cuatro antildeos quinquenio o lustro o cada cinco antildeos etceacutetera
Diagramas de flujos de caja Los diferentes flujos de caja se deben representar en diagramas que faciliten la vishysualizacioacuten y la interpretacioacuten de ellos para determinar la metodologiacutea que se debe seguir en la solucioacuten del problema econoacutemico propuesto
Para el diagrama se utiliza el plano cartesiano El eje horizontal de las X se denominaraacute eje del tiempo o de los periacuteodos En eacutel se dibujaraacuten los diferentes peshyriacuteodos (n) El eje vertical o de la ordenada se denominaraacute eje del dinero o flujo ($) Los ingresos se representan con flecha hacia arriba (flujo positivo) y los egresos con flecha hacia abajo (flujo negativo) El tiempo futuro se representa desde el origen hacia la derecha y el tiempo pasado desde el origen hacia la izquierda Por simplificacioacuten se puede omitir el dibujo del eje vertical
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Tiempo pasado $ Tiempo futuro Ingresos Ingresos
2000 hace 4 antildeos hubo 1000 ingreso uacutenico dentro de un ingreso dos antildeos
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 antildeos
Tiempo pasado 3000 cuatro cuotas anuales iguales Egresos Egresos
6000 una inversioacuten hoy Tiempo futuro Egresos
Graacutefico 2 Diagrama de flujos de caja
Problema 13 Graficar los siguientes flujos de caja una inversioacuten hoy de $20000 desde hace cinco antildeos y hasta dentro de dos antildeos ingresos de $4000 un ingreso de $5000 dentro de seis antildeos gastos desde hace un antildeo y hasta dentro de tres antildeos de $6000 anuales
5000 A = 4000
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6antildeos
A = 6000
P = 20000
Una forma maacutes simplificada para dibujar el diagrama anterior es omitiendo las flechas intermedias de las series uniformes y se sustituyen por una liacutenea horizontal que una el primer pago de la serie con el uacuteltimo
12
generalidades
5000A = 4000
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6antildeos
A = 6000 P = 20000
Problema 14 Elaborar el diagrama del siguiente flujo de caja ingresos anuales e iguales de $19000 desde hoy hasta el antildeo 27 un ingreso de $12500 en el sexto antildeo un ingreso de 80000 en el antildeo 31 otro ingreso de $42000 en antildeo 29 un egreso de $8000 en el antildeo 2 egresos anuales uniformes de $5000 del antildeo 4 al 28 y otro egreso anual uniforme de $25000 del antildeo 6 al 31
15000 42000
19000 80000
0 1 2 3 4 5 6 26 27 28 29 30 31antildeos
8000
25000
5000
Problema 15 Hoy se hace un depoacutesito en una entidad financiera por un valor de $16000000 A partir del quinto semestre se empezaraacute a retirar cada vez $250000 y hasta el semestre 16 Adicionalmente en el semestre 16 se podraacute retirar el resto del dinero que seraacute $10000000 y dejar la cuenta en cero Elaborar el diagrama de flujo de caja
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solucioacuten
F = 10000000
A = 250000 0 1 2 3 4 5 16 Semestres
P = $16000000
Problema 16 Dentro de nueve meses tengo una obligacioacuten hipotecaria por un valor de $4500000 Para cancelar este valor he decidido abrir hoy una cuenta bancaria La apertura de esta cuenta la hareacute con $500000 y cada mes posterior y hasta el final del noveno mes hareacute depoacutesitos iguales de $350000 Elaborar el diagrama de flujo de caja solucioacuten
F = 4500000
0 1 2 8 9 meses
A = 350000500000
Problema 17 Supongamos que una empresa pronostica que los primeros tres antildeos de funcionashymiento produciraacute peacuterdidas anuales decrecientes asiacute el primer antildeo perderaacute $9000 el segundo perderaacute $6000 el tercero perderaacute $3000 el cuarto estaraacute en el punto de equilibrio es decir tendraacute utilidades de $000 Del quinto antildeo en adelante empezaraacute a ganar $3000 el sexto ganaraacute $6000 y asiacute sucesivamente hasta el deacutecimo antildeo El valor inicial de la inversioacuten es de $50000 Elaborar el diagrama de flujo de caja solucioacuten
12000 15000 18000
P = 50000
6000 9000 0 3000
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 antildeos 9000 6000 3000
14
generalidades
conclusiones 1 Los dineros colocados en periacuteodos diferentes pueden ser equivalentes pero
nunca iguales 2 La igualdad del dinero soacutelo puede darse cuando los diferentes flujos de dinero
son trasladados a un mismo periacuteodo
Esto nos debe advertir que las foacutermulas que utilizaremos que son igualdades (=) tendraacuten como uno de los fines que trasladar dineros del presente al futuro (inflar) o del futuro al presente (desinflar)
FLuJOS DE CaJa Son los ingresos y egresos de dinero que ocurren en una empresa por su activad econoacutemica en un periacuteodo determinado Estos flujos de caja pueden ser pagos uacutenishycos (ocurren solo una vez) o seriados Los seriados pueden ser iguales (constantes en valor uniformes) crecientes cada vez o decrecientes cada vez
El crecimiento o decrecimiento puede ser constante aritmeacutetica o porcenshytualmente
Valor presente (P) Pagos uacutenicos Valor futuro (F)
Series uniformes (A) Flujos de caja
Crecientes o decrecientes aritmeacuteticamente Pagos seriados No uniformes
Crecientes o decrecientes en porcentaje
Graacutefico 1 Flujos de caja
Ejemplos de flujos de caja
Pagos uacutenicos
Cuando se hace referencia a pagos uacutenicos nos referimos taacutecitamente a los ingresos y egresos La misma referencia para los seriados Son uacutenicos porque solo ocurren una vez
Valor presente (P)
Pagar hoy un equipo un vehiacuteculo una propiedad cobrar hoy un dinero vender hoy un bien etceacutetera
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INgENIEriacutea ECONoacutemICa
Valor futuro (F)
Vender algo dentro de cierto tiempo pagar una deuda dentro de cierto tiempo en general tener ingresos o egresos por una sola vez en tiempo futuro
Los conceptos de presente y futuro son relativos entre ellos Asumamos un ingreso hoy de $10000 un ingreso dentro de dos antildeos de $5000 y un ingreso de $8000 dentro de cinco
El ingreso de $10000 hoy es presente para los para los periacuteodos dos y cinco El ingreso de $5000 dentro de dos antildeos es futuro para el periacuteodo de hoy y
presente para el periacuteodo cinco El ingreso de $8000 es futuro para los periacuteodos de hoy y para el periacuteodo dos
Pagos seriados uniformes (a)
Recordemos que una serie es consecutiva por lo tanto los pagos deben ser conseshycutivos sin interrupciones y para que sean uniformes deben tener el mismo valor Ejemplos los sueldos fijos de un trabajador el canon de arrendamiento durante los 12 meses las cuotas iguales para pagar un creacutedito las dos primas semestrales el cargo fijo mensual de los servicios puacuteblicos etceacutetera
Seriados crecientes o decrecientes aritmeacuteticamente
Pagos mensuales trimestrales semestrales anuales etceacutetera de cuotas u obligacioshynes iniciando con un valor determinado y cada pago posterior se aumenta en una cantidad fija de pesos o disminuye una cantidad fija de pesos
Pagar o recibir cinco cuotas mensuales empezando con $200 y cada vez aushymenta o disminuye en $20
Creciente 200 220 240 260 280 Decreciente 200 180 160 140 120 El incremento o decrecimiento de $20 se llama Gradiente (G)
Seriados crecientes o decrecientes geomeacutetricamente
Pagos mensuales o anuales de cuotas u obligaciones iniciando con un valor detershyminado y cada pago se aumenta o disminuye en un porcentaje constante
Pagar o recibir cinco cuotas mensuales empezando con 200 y cada vez aumenshyta o disminuye en 10
Creciente 200 220 242 2662 29282 Decreciente 200 180 162 1458 13122
10
generalidades
Nomenclatura Los diferentes flujos de caja se representaraacuten mediante siacutembolos alfabeacuteticos para simplificar su escritura
Valor presente P Valor futuro F Serie uniforme A Tasa de intereacutes i Periacuteodos n
Las series crecientes o decrecientes las estudiaremos maacutes adelante
Periacuteodos Los periacuteodos son las diferentes unidades de tiempo que usualmente se utilizan en las operaciones financieras anuales semestrales o bianuales cuatrimestrales trishymestrales bimestrales o cada dos meses mensuales quincenales o bimensuales semanal y diario
Otras unidades de tiempo menos usadas son bienio o cada dos antildeos trienio o cada tres antildeos cuatrienio o cada cuatro antildeos quinquenio o lustro o cada cinco antildeos etceacutetera
Diagramas de flujos de caja Los diferentes flujos de caja se deben representar en diagramas que faciliten la vishysualizacioacuten y la interpretacioacuten de ellos para determinar la metodologiacutea que se debe seguir en la solucioacuten del problema econoacutemico propuesto
Para el diagrama se utiliza el plano cartesiano El eje horizontal de las X se denominaraacute eje del tiempo o de los periacuteodos En eacutel se dibujaraacuten los diferentes peshyriacuteodos (n) El eje vertical o de la ordenada se denominaraacute eje del dinero o flujo ($) Los ingresos se representan con flecha hacia arriba (flujo positivo) y los egresos con flecha hacia abajo (flujo negativo) El tiempo futuro se representa desde el origen hacia la derecha y el tiempo pasado desde el origen hacia la izquierda Por simplificacioacuten se puede omitir el dibujo del eje vertical
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INgENIEriacutea ECONoacutemICa
Tiempo pasado $ Tiempo futuro Ingresos Ingresos
2000 hace 4 antildeos hubo 1000 ingreso uacutenico dentro de un ingreso dos antildeos
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 antildeos
Tiempo pasado 3000 cuatro cuotas anuales iguales Egresos Egresos
6000 una inversioacuten hoy Tiempo futuro Egresos
Graacutefico 2 Diagrama de flujos de caja
Problema 13 Graficar los siguientes flujos de caja una inversioacuten hoy de $20000 desde hace cinco antildeos y hasta dentro de dos antildeos ingresos de $4000 un ingreso de $5000 dentro de seis antildeos gastos desde hace un antildeo y hasta dentro de tres antildeos de $6000 anuales
5000 A = 4000
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6antildeos
A = 6000
P = 20000
Una forma maacutes simplificada para dibujar el diagrama anterior es omitiendo las flechas intermedias de las series uniformes y se sustituyen por una liacutenea horizontal que una el primer pago de la serie con el uacuteltimo
12
generalidades
5000A = 4000
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6antildeos
A = 6000 P = 20000
Problema 14 Elaborar el diagrama del siguiente flujo de caja ingresos anuales e iguales de $19000 desde hoy hasta el antildeo 27 un ingreso de $12500 en el sexto antildeo un ingreso de 80000 en el antildeo 31 otro ingreso de $42000 en antildeo 29 un egreso de $8000 en el antildeo 2 egresos anuales uniformes de $5000 del antildeo 4 al 28 y otro egreso anual uniforme de $25000 del antildeo 6 al 31
15000 42000
19000 80000
0 1 2 3 4 5 6 26 27 28 29 30 31antildeos
8000
25000
5000
Problema 15 Hoy se hace un depoacutesito en una entidad financiera por un valor de $16000000 A partir del quinto semestre se empezaraacute a retirar cada vez $250000 y hasta el semestre 16 Adicionalmente en el semestre 16 se podraacute retirar el resto del dinero que seraacute $10000000 y dejar la cuenta en cero Elaborar el diagrama de flujo de caja
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solucioacuten
F = 10000000
A = 250000 0 1 2 3 4 5 16 Semestres
P = $16000000
Problema 16 Dentro de nueve meses tengo una obligacioacuten hipotecaria por un valor de $4500000 Para cancelar este valor he decidido abrir hoy una cuenta bancaria La apertura de esta cuenta la hareacute con $500000 y cada mes posterior y hasta el final del noveno mes hareacute depoacutesitos iguales de $350000 Elaborar el diagrama de flujo de caja solucioacuten
F = 4500000
0 1 2 8 9 meses
A = 350000500000
Problema 17 Supongamos que una empresa pronostica que los primeros tres antildeos de funcionashymiento produciraacute peacuterdidas anuales decrecientes asiacute el primer antildeo perderaacute $9000 el segundo perderaacute $6000 el tercero perderaacute $3000 el cuarto estaraacute en el punto de equilibrio es decir tendraacute utilidades de $000 Del quinto antildeo en adelante empezaraacute a ganar $3000 el sexto ganaraacute $6000 y asiacute sucesivamente hasta el deacutecimo antildeo El valor inicial de la inversioacuten es de $50000 Elaborar el diagrama de flujo de caja solucioacuten
12000 15000 18000
P = 50000
6000 9000 0 3000
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 antildeos 9000 6000 3000
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Valor futuro (F)
Vender algo dentro de cierto tiempo pagar una deuda dentro de cierto tiempo en general tener ingresos o egresos por una sola vez en tiempo futuro
Los conceptos de presente y futuro son relativos entre ellos Asumamos un ingreso hoy de $10000 un ingreso dentro de dos antildeos de $5000 y un ingreso de $8000 dentro de cinco
El ingreso de $10000 hoy es presente para los para los periacuteodos dos y cinco El ingreso de $5000 dentro de dos antildeos es futuro para el periacuteodo de hoy y
presente para el periacuteodo cinco El ingreso de $8000 es futuro para los periacuteodos de hoy y para el periacuteodo dos
Pagos seriados uniformes (a)
Recordemos que una serie es consecutiva por lo tanto los pagos deben ser conseshycutivos sin interrupciones y para que sean uniformes deben tener el mismo valor Ejemplos los sueldos fijos de un trabajador el canon de arrendamiento durante los 12 meses las cuotas iguales para pagar un creacutedito las dos primas semestrales el cargo fijo mensual de los servicios puacuteblicos etceacutetera
Seriados crecientes o decrecientes aritmeacuteticamente
Pagos mensuales trimestrales semestrales anuales etceacutetera de cuotas u obligacioshynes iniciando con un valor determinado y cada pago posterior se aumenta en una cantidad fija de pesos o disminuye una cantidad fija de pesos
Pagar o recibir cinco cuotas mensuales empezando con $200 y cada vez aushymenta o disminuye en $20
Creciente 200 220 240 260 280 Decreciente 200 180 160 140 120 El incremento o decrecimiento de $20 se llama Gradiente (G)
Seriados crecientes o decrecientes geomeacutetricamente
Pagos mensuales o anuales de cuotas u obligaciones iniciando con un valor detershyminado y cada pago se aumenta o disminuye en un porcentaje constante
Pagar o recibir cinco cuotas mensuales empezando con 200 y cada vez aumenshyta o disminuye en 10
Creciente 200 220 242 2662 29282 Decreciente 200 180 162 1458 13122
10
generalidades
Nomenclatura Los diferentes flujos de caja se representaraacuten mediante siacutembolos alfabeacuteticos para simplificar su escritura
Valor presente P Valor futuro F Serie uniforme A Tasa de intereacutes i Periacuteodos n
Las series crecientes o decrecientes las estudiaremos maacutes adelante
Periacuteodos Los periacuteodos son las diferentes unidades de tiempo que usualmente se utilizan en las operaciones financieras anuales semestrales o bianuales cuatrimestrales trishymestrales bimestrales o cada dos meses mensuales quincenales o bimensuales semanal y diario
Otras unidades de tiempo menos usadas son bienio o cada dos antildeos trienio o cada tres antildeos cuatrienio o cada cuatro antildeos quinquenio o lustro o cada cinco antildeos etceacutetera
Diagramas de flujos de caja Los diferentes flujos de caja se deben representar en diagramas que faciliten la vishysualizacioacuten y la interpretacioacuten de ellos para determinar la metodologiacutea que se debe seguir en la solucioacuten del problema econoacutemico propuesto
Para el diagrama se utiliza el plano cartesiano El eje horizontal de las X se denominaraacute eje del tiempo o de los periacuteodos En eacutel se dibujaraacuten los diferentes peshyriacuteodos (n) El eje vertical o de la ordenada se denominaraacute eje del dinero o flujo ($) Los ingresos se representan con flecha hacia arriba (flujo positivo) y los egresos con flecha hacia abajo (flujo negativo) El tiempo futuro se representa desde el origen hacia la derecha y el tiempo pasado desde el origen hacia la izquierda Por simplificacioacuten se puede omitir el dibujo del eje vertical
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Tiempo pasado $ Tiempo futuro Ingresos Ingresos
2000 hace 4 antildeos hubo 1000 ingreso uacutenico dentro de un ingreso dos antildeos
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 antildeos
Tiempo pasado 3000 cuatro cuotas anuales iguales Egresos Egresos
6000 una inversioacuten hoy Tiempo futuro Egresos
Graacutefico 2 Diagrama de flujos de caja
Problema 13 Graficar los siguientes flujos de caja una inversioacuten hoy de $20000 desde hace cinco antildeos y hasta dentro de dos antildeos ingresos de $4000 un ingreso de $5000 dentro de seis antildeos gastos desde hace un antildeo y hasta dentro de tres antildeos de $6000 anuales
5000 A = 4000
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6antildeos
A = 6000
P = 20000
Una forma maacutes simplificada para dibujar el diagrama anterior es omitiendo las flechas intermedias de las series uniformes y se sustituyen por una liacutenea horizontal que una el primer pago de la serie con el uacuteltimo
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generalidades
5000A = 4000
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6antildeos
A = 6000 P = 20000
Problema 14 Elaborar el diagrama del siguiente flujo de caja ingresos anuales e iguales de $19000 desde hoy hasta el antildeo 27 un ingreso de $12500 en el sexto antildeo un ingreso de 80000 en el antildeo 31 otro ingreso de $42000 en antildeo 29 un egreso de $8000 en el antildeo 2 egresos anuales uniformes de $5000 del antildeo 4 al 28 y otro egreso anual uniforme de $25000 del antildeo 6 al 31
15000 42000
19000 80000
0 1 2 3 4 5 6 26 27 28 29 30 31antildeos
8000
25000
5000
Problema 15 Hoy se hace un depoacutesito en una entidad financiera por un valor de $16000000 A partir del quinto semestre se empezaraacute a retirar cada vez $250000 y hasta el semestre 16 Adicionalmente en el semestre 16 se podraacute retirar el resto del dinero que seraacute $10000000 y dejar la cuenta en cero Elaborar el diagrama de flujo de caja
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solucioacuten
F = 10000000
A = 250000 0 1 2 3 4 5 16 Semestres
P = $16000000
Problema 16 Dentro de nueve meses tengo una obligacioacuten hipotecaria por un valor de $4500000 Para cancelar este valor he decidido abrir hoy una cuenta bancaria La apertura de esta cuenta la hareacute con $500000 y cada mes posterior y hasta el final del noveno mes hareacute depoacutesitos iguales de $350000 Elaborar el diagrama de flujo de caja solucioacuten
F = 4500000
0 1 2 8 9 meses
A = 350000500000
Problema 17 Supongamos que una empresa pronostica que los primeros tres antildeos de funcionashymiento produciraacute peacuterdidas anuales decrecientes asiacute el primer antildeo perderaacute $9000 el segundo perderaacute $6000 el tercero perderaacute $3000 el cuarto estaraacute en el punto de equilibrio es decir tendraacute utilidades de $000 Del quinto antildeo en adelante empezaraacute a ganar $3000 el sexto ganaraacute $6000 y asiacute sucesivamente hasta el deacutecimo antildeo El valor inicial de la inversioacuten es de $50000 Elaborar el diagrama de flujo de caja solucioacuten
12000 15000 18000
P = 50000
6000 9000 0 3000
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 antildeos 9000 6000 3000
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generalidades
Nomenclatura Los diferentes flujos de caja se representaraacuten mediante siacutembolos alfabeacuteticos para simplificar su escritura
Valor presente P Valor futuro F Serie uniforme A Tasa de intereacutes i Periacuteodos n
Las series crecientes o decrecientes las estudiaremos maacutes adelante
Periacuteodos Los periacuteodos son las diferentes unidades de tiempo que usualmente se utilizan en las operaciones financieras anuales semestrales o bianuales cuatrimestrales trishymestrales bimestrales o cada dos meses mensuales quincenales o bimensuales semanal y diario
Otras unidades de tiempo menos usadas son bienio o cada dos antildeos trienio o cada tres antildeos cuatrienio o cada cuatro antildeos quinquenio o lustro o cada cinco antildeos etceacutetera
Diagramas de flujos de caja Los diferentes flujos de caja se deben representar en diagramas que faciliten la vishysualizacioacuten y la interpretacioacuten de ellos para determinar la metodologiacutea que se debe seguir en la solucioacuten del problema econoacutemico propuesto
Para el diagrama se utiliza el plano cartesiano El eje horizontal de las X se denominaraacute eje del tiempo o de los periacuteodos En eacutel se dibujaraacuten los diferentes peshyriacuteodos (n) El eje vertical o de la ordenada se denominaraacute eje del dinero o flujo ($) Los ingresos se representan con flecha hacia arriba (flujo positivo) y los egresos con flecha hacia abajo (flujo negativo) El tiempo futuro se representa desde el origen hacia la derecha y el tiempo pasado desde el origen hacia la izquierda Por simplificacioacuten se puede omitir el dibujo del eje vertical
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Tiempo pasado $ Tiempo futuro Ingresos Ingresos
2000 hace 4 antildeos hubo 1000 ingreso uacutenico dentro de un ingreso dos antildeos
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 antildeos
Tiempo pasado 3000 cuatro cuotas anuales iguales Egresos Egresos
6000 una inversioacuten hoy Tiempo futuro Egresos
Graacutefico 2 Diagrama de flujos de caja
Problema 13 Graficar los siguientes flujos de caja una inversioacuten hoy de $20000 desde hace cinco antildeos y hasta dentro de dos antildeos ingresos de $4000 un ingreso de $5000 dentro de seis antildeos gastos desde hace un antildeo y hasta dentro de tres antildeos de $6000 anuales
5000 A = 4000
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6antildeos
A = 6000
P = 20000
Una forma maacutes simplificada para dibujar el diagrama anterior es omitiendo las flechas intermedias de las series uniformes y se sustituyen por una liacutenea horizontal que una el primer pago de la serie con el uacuteltimo
12
generalidades
5000A = 4000
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6antildeos
A = 6000 P = 20000
Problema 14 Elaborar el diagrama del siguiente flujo de caja ingresos anuales e iguales de $19000 desde hoy hasta el antildeo 27 un ingreso de $12500 en el sexto antildeo un ingreso de 80000 en el antildeo 31 otro ingreso de $42000 en antildeo 29 un egreso de $8000 en el antildeo 2 egresos anuales uniformes de $5000 del antildeo 4 al 28 y otro egreso anual uniforme de $25000 del antildeo 6 al 31
15000 42000
19000 80000
0 1 2 3 4 5 6 26 27 28 29 30 31antildeos
8000
25000
5000
Problema 15 Hoy se hace un depoacutesito en una entidad financiera por un valor de $16000000 A partir del quinto semestre se empezaraacute a retirar cada vez $250000 y hasta el semestre 16 Adicionalmente en el semestre 16 se podraacute retirar el resto del dinero que seraacute $10000000 y dejar la cuenta en cero Elaborar el diagrama de flujo de caja
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solucioacuten
F = 10000000
A = 250000 0 1 2 3 4 5 16 Semestres
P = $16000000
Problema 16 Dentro de nueve meses tengo una obligacioacuten hipotecaria por un valor de $4500000 Para cancelar este valor he decidido abrir hoy una cuenta bancaria La apertura de esta cuenta la hareacute con $500000 y cada mes posterior y hasta el final del noveno mes hareacute depoacutesitos iguales de $350000 Elaborar el diagrama de flujo de caja solucioacuten
F = 4500000
0 1 2 8 9 meses
A = 350000500000
Problema 17 Supongamos que una empresa pronostica que los primeros tres antildeos de funcionashymiento produciraacute peacuterdidas anuales decrecientes asiacute el primer antildeo perderaacute $9000 el segundo perderaacute $6000 el tercero perderaacute $3000 el cuarto estaraacute en el punto de equilibrio es decir tendraacute utilidades de $000 Del quinto antildeo en adelante empezaraacute a ganar $3000 el sexto ganaraacute $6000 y asiacute sucesivamente hasta el deacutecimo antildeo El valor inicial de la inversioacuten es de $50000 Elaborar el diagrama de flujo de caja solucioacuten
12000 15000 18000
P = 50000
6000 9000 0 3000
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 antildeos 9000 6000 3000
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Tiempo pasado $ Tiempo futuro Ingresos Ingresos
2000 hace 4 antildeos hubo 1000 ingreso uacutenico dentro de un ingreso dos antildeos
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 antildeos
Tiempo pasado 3000 cuatro cuotas anuales iguales Egresos Egresos
6000 una inversioacuten hoy Tiempo futuro Egresos
Graacutefico 2 Diagrama de flujos de caja
Problema 13 Graficar los siguientes flujos de caja una inversioacuten hoy de $20000 desde hace cinco antildeos y hasta dentro de dos antildeos ingresos de $4000 un ingreso de $5000 dentro de seis antildeos gastos desde hace un antildeo y hasta dentro de tres antildeos de $6000 anuales
5000 A = 4000
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6antildeos
A = 6000
P = 20000
Una forma maacutes simplificada para dibujar el diagrama anterior es omitiendo las flechas intermedias de las series uniformes y se sustituyen por una liacutenea horizontal que una el primer pago de la serie con el uacuteltimo
12
generalidades
5000A = 4000
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6antildeos
A = 6000 P = 20000
Problema 14 Elaborar el diagrama del siguiente flujo de caja ingresos anuales e iguales de $19000 desde hoy hasta el antildeo 27 un ingreso de $12500 en el sexto antildeo un ingreso de 80000 en el antildeo 31 otro ingreso de $42000 en antildeo 29 un egreso de $8000 en el antildeo 2 egresos anuales uniformes de $5000 del antildeo 4 al 28 y otro egreso anual uniforme de $25000 del antildeo 6 al 31
15000 42000
19000 80000
0 1 2 3 4 5 6 26 27 28 29 30 31antildeos
8000
25000
5000
Problema 15 Hoy se hace un depoacutesito en una entidad financiera por un valor de $16000000 A partir del quinto semestre se empezaraacute a retirar cada vez $250000 y hasta el semestre 16 Adicionalmente en el semestre 16 se podraacute retirar el resto del dinero que seraacute $10000000 y dejar la cuenta en cero Elaborar el diagrama de flujo de caja
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solucioacuten
F = 10000000
A = 250000 0 1 2 3 4 5 16 Semestres
P = $16000000
Problema 16 Dentro de nueve meses tengo una obligacioacuten hipotecaria por un valor de $4500000 Para cancelar este valor he decidido abrir hoy una cuenta bancaria La apertura de esta cuenta la hareacute con $500000 y cada mes posterior y hasta el final del noveno mes hareacute depoacutesitos iguales de $350000 Elaborar el diagrama de flujo de caja solucioacuten
F = 4500000
0 1 2 8 9 meses
A = 350000500000
Problema 17 Supongamos que una empresa pronostica que los primeros tres antildeos de funcionashymiento produciraacute peacuterdidas anuales decrecientes asiacute el primer antildeo perderaacute $9000 el segundo perderaacute $6000 el tercero perderaacute $3000 el cuarto estaraacute en el punto de equilibrio es decir tendraacute utilidades de $000 Del quinto antildeo en adelante empezaraacute a ganar $3000 el sexto ganaraacute $6000 y asiacute sucesivamente hasta el deacutecimo antildeo El valor inicial de la inversioacuten es de $50000 Elaborar el diagrama de flujo de caja solucioacuten
12000 15000 18000
P = 50000
6000 9000 0 3000
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 antildeos 9000 6000 3000
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generalidades
5000A = 4000
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6antildeos
A = 6000 P = 20000
Problema 14 Elaborar el diagrama del siguiente flujo de caja ingresos anuales e iguales de $19000 desde hoy hasta el antildeo 27 un ingreso de $12500 en el sexto antildeo un ingreso de 80000 en el antildeo 31 otro ingreso de $42000 en antildeo 29 un egreso de $8000 en el antildeo 2 egresos anuales uniformes de $5000 del antildeo 4 al 28 y otro egreso anual uniforme de $25000 del antildeo 6 al 31
15000 42000
19000 80000
0 1 2 3 4 5 6 26 27 28 29 30 31antildeos
8000
25000
5000
Problema 15 Hoy se hace un depoacutesito en una entidad financiera por un valor de $16000000 A partir del quinto semestre se empezaraacute a retirar cada vez $250000 y hasta el semestre 16 Adicionalmente en el semestre 16 se podraacute retirar el resto del dinero que seraacute $10000000 y dejar la cuenta en cero Elaborar el diagrama de flujo de caja
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solucioacuten
F = 10000000
A = 250000 0 1 2 3 4 5 16 Semestres
P = $16000000
Problema 16 Dentro de nueve meses tengo una obligacioacuten hipotecaria por un valor de $4500000 Para cancelar este valor he decidido abrir hoy una cuenta bancaria La apertura de esta cuenta la hareacute con $500000 y cada mes posterior y hasta el final del noveno mes hareacute depoacutesitos iguales de $350000 Elaborar el diagrama de flujo de caja solucioacuten
F = 4500000
0 1 2 8 9 meses
A = 350000500000
Problema 17 Supongamos que una empresa pronostica que los primeros tres antildeos de funcionashymiento produciraacute peacuterdidas anuales decrecientes asiacute el primer antildeo perderaacute $9000 el segundo perderaacute $6000 el tercero perderaacute $3000 el cuarto estaraacute en el punto de equilibrio es decir tendraacute utilidades de $000 Del quinto antildeo en adelante empezaraacute a ganar $3000 el sexto ganaraacute $6000 y asiacute sucesivamente hasta el deacutecimo antildeo El valor inicial de la inversioacuten es de $50000 Elaborar el diagrama de flujo de caja solucioacuten
12000 15000 18000
P = 50000
6000 9000 0 3000
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 antildeos 9000 6000 3000
14
INgENIEriacutea ECONoacutemICa
solucioacuten
F = 10000000
A = 250000 0 1 2 3 4 5 16 Semestres
P = $16000000
Problema 16 Dentro de nueve meses tengo una obligacioacuten hipotecaria por un valor de $4500000 Para cancelar este valor he decidido abrir hoy una cuenta bancaria La apertura de esta cuenta la hareacute con $500000 y cada mes posterior y hasta el final del noveno mes hareacute depoacutesitos iguales de $350000 Elaborar el diagrama de flujo de caja solucioacuten
F = 4500000
0 1 2 8 9 meses
A = 350000500000
Problema 17 Supongamos que una empresa pronostica que los primeros tres antildeos de funcionashymiento produciraacute peacuterdidas anuales decrecientes asiacute el primer antildeo perderaacute $9000 el segundo perderaacute $6000 el tercero perderaacute $3000 el cuarto estaraacute en el punto de equilibrio es decir tendraacute utilidades de $000 Del quinto antildeo en adelante empezaraacute a ganar $3000 el sexto ganaraacute $6000 y asiacute sucesivamente hasta el deacutecimo antildeo El valor inicial de la inversioacuten es de $50000 Elaborar el diagrama de flujo de caja solucioacuten
12000 15000 18000
P = 50000
6000 9000 0 3000
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 antildeos 9000 6000 3000
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