SISTEMAS DINMICOS

ETAPA 2

ADRIANA MARCELA DIAZ CHAVES codigo: 52709545

JUAN DAVID VELASQUEZ BRAN codigo: 72269337

FERNANDO ARIAS SANTIAGO codigo: 79220643

GRUPO: 201527_25

TUTOR: DIEGO FERNANDO SENDOYA LOSADA

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD

ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA

INGENIERIA ELECTRONICA

2015

INTRODUCCIN.

En el presente trabajo contiene detalladamente el proceso de obtencin de una funcin de

transferencia a partir de una ecuacin diferencial, de la misma forma determinar la altura y

nivel de un tanque a partir de un cambio repentino en la entrada para determinar la estabilidad

del sistema

RESUMEN DEL ANLISIS REALIZADO POR EL GRUPO ACERCA DE LAS

TAREAS DE LA ETAPA.

Convertir la ecuacin diferencial a una ecuacin algebraica, a travs de la Transformada de

Laplace, para lograr definir la funcin de transferencia y as determinar cmo cambia la salida

del proceso ante un cambio en la entrada.

Con la funcin de transferencia determinar la altura del nivel del tanque al aumentar el flujo

de la entrada repentinamente, para ello nos apoyaremos en Matlab y as poder tambin

determinar la estabilidad del sistema.

LO QUE SE CONOCE

Anlisis del Sistema de Control

Se entiende por anlisis de un sistema de control, la investigacin o estudio bajo condiciones

especificadas, del funcionamiento del sistema cuyo modelo matemtico se conoce, en otras

palabras es analizar si el sistema, cuyo modelo matemtico se tiene, cumple con las 29

especificaciones requeridas. Anlisis, es el estudio de las partes componentes de un todo,

como cualquier sistema, consta de componentes, el anlisis debe comenzar por un estudio y

descripcin matemtica de cada componente. Una vez deducido el modelo matemtico del

sistema completo, el modo en que se realiza el anlisis es independiente de si el sistema es

neumtico, elctrico, mecnico, etc (Ej: anlisis temporal, frecuencial, etc.)

Funcin de Transferencia

Es un modelo matemtico que a travs de un cociente relaciona la respuesta de un sistema

(modelada) con una seal de entrada o excitacin (tambin modelada). En la teora de control,

a menudo se usan las funciones de transferencia para caracterizar las relaciones de entrada y

salida de componentes o de sistemas que se describen mediante ecuaciones diferenciales

lineales e invariantes en el tiempo.

LO QUE SE DESCONOCE

Transformada de Laplace

Es un tipo de transformada integral frecuentemente usada la resolucin de ecuaciones

diferenciales ordinarias. La transformada de Laplace de una funcin f(t) definida

(en ecuaciones diferenciales, en anlisis matemtico o en anlisis funcional) para todos

los nmeros positivos t 0, es la funcin F(s), definida por:

Diagrama de bloques

Es una representacin grfica y abreviada de la relacin de causa y efecto entre la entrada y

la salida de un sistema fsico. Proporciona un mtodo til y conveniente para caracterizar las

relaciones funcionales entre diversos componentes de un sistema de control.

Los diagramas en bloques representados por muchos bloques y seales intermedias pueden

simplificarse en un solo bloque cuyo valor es una funcin de los bloques individuales pero

no de las seales intermedias. Para simplificar diagramas muy complejos se pueden emplear

las tres reglas elementales (y toda otra que se deduzca a partir de ellas) que se presentan en

la siguiente tabla:

Error en estado estacionario

Es asegurar que la seal de error sea nula (al menos despus de que las respuestas transitorias

hayan desaparecido). Se estudia la respuesta de estado estacionario de la seal de error.

Estabilidad

Necesariamente, un sistema debe ser estable, esto significa que la respuesta a una seal, ya

sea el cambio del punto de referencia a una perturbacin, debe alcanzar y mantener un valor

til durante un perodo razonable. Un sistema de control inestable producir, por ejemplo,

oscilaciones persistentes o de gran amplitud en la seal, o bien, puede hacer que la seal tome

valores que corresponden a lmites extremos. Una respuesta inestable es indeseada desde el

punto de vista de control. Es necesario tambin, conocer la cantidad o grado de estabilidad

que tiene un sistema, porque puede suceder que un sistema que sea estable, est cerca de los

lmites de pasar de ser estable a inestable por el uso que se le d al sistema en el transcurso

del tiempo, o por el recambio de algn componente al realizar cualquier tipo de

mantenimiento. La inestabilidad est latente en cada sistema, por eso es importante poder

medir la cantidad de estabilidad.

METODOLOGA EMPLEADA PARA LA INVESTIGACIN.

La metodologa empleada en esta investigacin se realiz por medio del Aprendizaje Basado

en Problema.

El grupo colaborativo se ocup de la bsqueda de la solucin a un problema planteado

desencadenando el aprendizaje auto-dirigido.

Inicialmente vamos a abordar la temtica planteada para esta segunda etapa del curso

Sistemas Dinmicos, esto nos dar una visin preliminar acerca de lo que deseamos lograr,

para la finalidad de esta etapa:

En la segunda etapa se deber encontrar el modelo matemtico en el dominio de la frecuencia y analizar el error en estado estacionario y la estabilidad del proceso.

Este es el objetivo general de esta etapa, por lo cual podemos proponer una serie de ideas

para analizar la informacin y proponer estrategias de trabajo en cada momento del

desarrollo del problema, las cuales son:

1. Reconocer datos existentes de etapa anterior, esta bsqueda preliminar de informacin, nos ayudara a identificar los recursos con que contamos para iniciar con

el trabajo, a su vez busca ayudar a identificar objetivos puntuales de la actividad que

se deben lograr con ayuda de estos datos.

2. Evaluar competencias para analizar ecuaciones diferenciales, dado que es una actividad de ndole colaborativo, los integrantes de pequeo grupo colaborativo se

pueden apoyar entre s para determinar la correcta ejecucin de las ecuaciones, de

igual forma tambin se pueden apoyar en el Tutor de curso, el cual estar

acompaando activamente al grupo durante todo el desarrollo de la actividad.

3. Apoyarse en la bibliografa propuesta, esta parte es muy importante pues suele dejarse de lado a la hora de buscar un conocimiento significativo, los participantes

potenciaran su capacidad de anlisis y solucin haciendo uso de esta alternativa de

investigacin, a su vez despejara muchas dudas en el desarrollo de las distintas partes

de la actividad.

4. En la fase de solucin del problema, repartir los puntos entre los participantes. Esta bsica pero muy efectiva forma de trabajo, ayuda a dinamizar el trabajo en equipo,

porque los participantes centran esfuerzos puntuales en un momento para luego

confrontarlo con los compaeros y decidir la viabilidad de las soluciones propuestas,

a su vez es un mtodo muy provechoso porque el Tutor de curso est pendiente de

los aportes hechos y brinda apoyo a los participantes en caso de presentar errores en

las soluciones individuales y colectivas.

5. Apoyarse en MATLAB para resolver los ejercicios, esta poderosa herramienta nos ayuda en el anlisis de las ecuaciones encontradas, asimismo podemos ver el

comportamiento del sistema mediante las grficas que se obtienen en ella y permite

hacer infinidad de ajustes al sistema, podemos ver con este software la viabilidad en

los clculos planteados y la estabilidad del sistema.

RESULTADO DE LAS CONSULTAS E INFORMACIN OBTENIDA PARA

DAR SOLUCIN A LAS TAREAS DE LA ETAPA.

A partir de la ecuacin diferencial lineal encontrada en la etapa 1, o suministrada por el

docente (en caso de no cumplir con el objetivo inicial), exprese el modelo matemtico del

sistema mediante una funcin de transferencia.

En este caso se trata de la siguiente ecuacin:

() +

2() =

1

()

: [10/]

: [12]

(): [/]

(): []

Cuando la entrada del sistema es constante () = = 10 /, el sistema se

estabiliza en un punto de operacin h(t) = H = 1m:

() + 5() = 10()

Para hallar la funcin de transferencia usaremos esta ltima ecuacin diferencial dado que

lleva al sistema al equilibrio, vamos a tratar el tema de la respuesta impulso.

La respuesta impulso de un sistema lineal es la respuesta del sistema a una entrada impulso

unitario cuando las condiciones iniciales son cero. Para el caso de sistemas continuos la

entrada corresponde a la funcin delta de Dirac, mientras que para los sistemas discretos la

funcin de entrada es la delta de Kronecker.

Ahora bien, vamos a encontrar la respuesta impulso de la siguiente ecuacin diferencial:

() + 5() = 10()

Haciendo () = () se obtiene la respuesta () = (), por lo tanto () debe satisfacer

la siguiente ecuacin diferencial:

() + 5() = 10()

Aplicando la transformada de Laplace a ambos miembros de la ecuacin y recordando que

las condiciones iniciales son cero, se obtiene:

() + 5() = 10

Despejando Y(s):

()( + 5) = 10

() =10

1

1

+ 5

Ahora, se aplica la transformada inversa de Laplace a H(s) para hallar h(t) o respuesta

impulso:

() =10

11 [

1

+ 5] =

10

12

Flujo que entra Flujo que sale = Acumulamiento

dt

tdhCth

Rtq

tq

thR

dt

tdhCtqtq

i

o

oi

)()(

1)(

)(

)(

)()()(

Convirtiendo ecs. Diferenciales a ecs. Algebraicas

11

1

)(

)(

)1

)(()(

)()(1

)(

Laplace de ada transformla Aplicando

)()(

1)(

CRs

R

RCs

sQ

sH

RAssHsQi

sCsHsHR

sQi

dt

tdhCth

Rtq

i

i

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000-10

-5

0

5

10

15

20

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000-10

-5

0

5

10

15

20

25

SISTEMA LINEAL MEDIANTE UN DIAGRAMA DE BLOQUES.

)1( ...... dt

dh(t)AAv(t) (t)(t)(t) qqq

acum0i

(2) ..... Rh

h(t)(t)q

0

Simulacin

o 0iH(s)

(s) H(s) (s , 0)s s)( ;) QQ QA (c. i.Rh

1

As1

Rh

Qi(s) +

Qo(s)

H(s)

Qo

(s)

Qi(s) Qo(s)

Ahora se modifica el fujo de 1 litro por minuto a 2 litros por minuto.

La grafica del cambio, estabiliza ms arriba que la anterior:

CONCLUSIONES.

Se utilizaron las ecuaciones diferenciales para buscar una ecuacin de transferencia

Se realiz un resumen del anlisis realizado por el grupo acerca de las tareas de la etapa

Se trabajaron con los conceptos conocidos y se investig el listado de conceptos des

conocidos

Se dise un del plan de accin para solucionar las tareas de la etapa.

Referencias Bibliogrficas

UNAD, Sistemas y modelos, recuperado de

http://152.186.37.83/ecbti01/mod/lesson/view.php?id=271&pageid=21

UNAD, Sistemas de nivel de lquidos, recuperado de

http://152.186.37.83/ecbti01/mod/lesson/view.php?id=271&pageid=25

UNAD, Sistemas no lineales, recuperado de

http://152.186.37.83/ecbti01/mod/lesson/view.php?id=271&pageid=27

UNAD, Controlabilidad y Observabilidad, recuperado de

http://152.186.37.83/ecbti01/mod/lesson/view.php?id=271&pageid=29

UNAD, Referencias bibliogrficas complementarias, recuperado de

http://152.186.37.83/ecbti01/mod/lesson/view.php?id=271&pageid=31

Universidad Nacional de Colombia sede Bogot, Curso virtual de anlisis de sistemas

dinmicos. Recuperado en

http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001619/index.html