Ec. Dif. Exactas. Factores Integrantes
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INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL Ecuaciones diferenciales| INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica Ecuaciones diferenciales Unidad II Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden 2.2.6.- Ecuación diferencialExactas.Factores integrantes. 2.2.6.1.-Ecuación diferencialexacta U na expresión diferencial de la form a 0 ) , ( ) , ( dy y x N dx y x M 1 Es una ecuación diferencial exacta en una región R del plano xy ,si corresponde a una ecuación diferencial de prim erorden de una función de dos variables C y x f ) , ( ,que sea una función con prim eras derivadas parciales continuas en una región R del plano xy ,su diferencial (que tam bién se le llam a diferencialtotal )es: dC dy y y x f dx x y x f y x df ) , ( ) , ( ) , ( 2 0 ) , ( ) , ( dy y y x df dx x y x f 3 D e la ecuación 2 se puede observarque: x y x f y x M ) , ( ) , ( y y x f y x N ) , ( ) , (
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Ecuaciones diferenciales|
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Ecuaciones diferenciales Unidad II Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
2.2.6.- Ecuación diferencial Exactas. Factores integrantes.
2.2.6.1.- Ecuación diferencial exacta
Una expresión diferencial de la forma 0),(),( dyyxNdxyxM 1
Es una ecuación diferencial exacta en una región R del plano xy , si corresponde a una
ecuación diferencial de primer orden de una función de dos variables Cyxf ),( , que sea una
función con primeras derivadas parciales continuas en una región R del plano xy , su diferencial (que también se le llama diferencial total) es:
dCdyy
yxfdx
x
yxfyxdf
),(),(
),( 2
0),(),(
dyy
yxdfdx
x
yxf 3
De la ecuación 2 se puede observar que:
x
yxfyxM
),(),(
y
yxfyxN
),(),(
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Ecuaciones diferenciales
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Ecuaciones diferenciales Unidad II Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
2.2.6.1.- Ecuación diferencial exacta Para comprobar que una ecuación diferencial es exacta se debe cumplir que:
yx
yxF
yx
yxF
y
yxM
),(1),(),( 2
yx
yxF
xy
yxF
x
yxN
),(1.
),(),( 2
Por lo tanto se concluye que:
x
N
y
M
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Ecuaciones diferenciales
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Ecuaciones diferenciales Unidad II Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
2.2.6.1.- Ecuación diferencial exacta
Ejemplo 1.- Sea la ecuación Cyxyx 32 5 , que representa una familia de curvas Cyxf ),( en el plano xy , se puede generar una ecuación diferencial de primer orden, calculando la diferencial de ésta, de acuerdo con la ecuación 2.
)(55 3232
Cddyy
yxyxdx
x
yxyx
03552 2 dyyxdxyx PASO 1.- Se comprueba si la ecuación diferencial es exacta, aplicando la siguiente ecuación.
x
N
y
M
235
52
yxN
yxM
x
yx
y
yx
23552
dx
dx
dy
dy 55
55
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Ecuaciones diferenciales
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Ecuaciones diferenciales Unidad II Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
2.2.6.1.- Ecuación diferencial exacta 2.2.6.1.1.- Método de solución de una Ecuación Diferencial Exacta: Si se tiene una ecuación de la forma
0),(),( dyyxNdxyxM 1 1.- Se determina sí la ecuación es exacta.
x
yxN
y
yxM
),(),(
2
2.- Si la ecuación es exacta, existe una función, ),( yxf que satisface la ecuación; la cual se calcula integrando cualquiera de las funciones:
),(),(
yxMx
yxf
o ),(),(
YxNy
yxf
,
Esta integración introduce una función arbitraria de la otra variable; se escoge la integral más sencilla.
3.- Se puede determinar ),( yxf si integramos ),( yxM con respecto a x , manteniendo a y constante, si ),( yxM tiene la estructura algebraica más simple:
)(),(),( ygdxyxMyxdf
)(),(),( ygdxyxMyxf 3
Donde la función arbitraria )(yg en la constante de integración.
2.2.6.1.- Ecuación diferencial exacta
4.- Se calcula )(yg , derivando parcialmente la ecuación 3 con respecto a y , manteniendo x constante y se iguala a ),( yxN
),(),(
yxNy
yxf
),()(),(),(
yxNy
ygdxyxM
y
yxf
),()(),(
yxNy
yg
y
dxyxM
4
5.- Se despeja )(yg , de la ecuación anterior (4)
y
dxyxMyxN
y
yg
),(),(
)(
dyy
dxyxMyxNygd
),(),()( 5
6.- Se integra la ecuación 5, para obtener )( yg
dyy
dxyxMyxNygd
),(),()( dy
y
dxyxMyxNyg
),(),()(
7.- Se sustituye )(yg , la ecuación 3
CygdxyxMyxf )(),(),(
Cdyy
dxyxMdyyxNdxyxMyxf
),(),(),(),(
8.- Siendo ),( yxf la solución de la ecuación diferencial exacta.
Cdyy
dxyxMdyyxNdxyxM
),(),(),(
2.2.6.1.- Ecuación diferencial exacta Ejemplo 1.- Resuelva la siguiente ecuación:
0)1(2 2 x
dy
dxxy
2.2.6.1.- Ecuación diferencial exacta Ejemplo 1.- Solución: 1.- Se escribe la ecuación diferencial en la forma 0),(),( dyyxNdxyxM
0)1(2 2 dyxxydx 1 2.- Se determina sí la ecuación es exacta.
x
yxN
y
yxM
),(),(
xyyxM 2),( y
yxM
, x
y
xy2
2
1),( 2 xyxN x
yxN
),(
xx
x2
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Se demuestra que la ecuación es exacta
3.- Como la ecuación es exacta, Se determina ),( yxf ; integrando el término xyyxM 2),( , que tiene una integral más sencilla, y se toma )( yg como constante de integración.
),(),(
yxMx
yxf
)(2),( ygxydxyxdf
Cygyxyxf )(),( 2 2
2.2.6.1.- Ecuación diferencial exacta
4.- Se calcula )(yg , derivando parcialmente la ecuación 2 con respecto a y , manteniendo a x constante y se iguala a ),( yxN :
),(),(
yxNy
yxf
1)()()( 2
22
x
y
yg
y
yx
y
ygyx
1)()( 222
xy
ygx
y
yg
y
yx
11)( 22
xxy
yg 1
)(
y
yg dyydg )(
dyydg )( yyg )( 3
5.- Se sustituye )(yg en la ecuación 2 y se despeja y , para obtener la solución
)(),( 2 ygyxyxf Cyyx )(2
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x
Cy
2.2.6.1.- Ecuación diferencial exacta Ejemplo 2.- Resuelva la siguiente ecuación:
02cos2)cos( 22 dyyxyxxedxxyye yy
2.2.6.1.- Ecuación diferencial exacta Ejemplo 2.- Método de solución: 1.- Se escribe la ecuación diferencial en la forma 0),(),( dyyxNdxyxM
02cos2)cos( 22 dyyxyxxedxxyye yy
1 2.- Se determina sí la ecuación es exacta.
x
yxN
y
yxM
),(),(
xyyeM y cos2 yxyxxeN y 2cos2 2
y
xyye
y
M y
cos2
x
yxyxxe
x
N y
2cos2 2
xyxysenxye y cos2 2 xyyxsenxye y cos2 2
Se demuestra que la ecuación es exacta
3.- Como la ecuación es exacta, Se determina ),( yxf ; integrando el término
yxyxeyxN y 2cos2),( 2 , con respecto a y para considerar el otro caso, y se
toma )(xh como constante de integración.
),(),(
yxNy
yxf
yxyxey
yxf y 2cos2),( 2
2.2.6.1.- Ecuación diferencial exacta
Ejemplo 2.-
4.- Se calcula )(xh , derivando parcialmente la ecuación 2 con respecto a y , manteniendo a x constante y se iguala a ),( yxM :
),(),(
yxNy
yxf
yyxyxeyxf y 2cos2),( 2
)(2cos2),( 2 xgdyyxydydyxeyxdf y
)(),( 22 xgysenxyxeyxf y 2
Mx
yxf
),(
xyyex
xgysenxyxe
x
yxf yy
cos)(),( 2
22
xyyex
xgxyye
x
yxf yy coscos),( 22
xyyexyyex
xg yy coscos)( 22
xyyexyyex
xg yy coscos)( 22
0)(
dx
xg, xxg 0)( 0)( xg 0)( xg
5.- Se sustituye )(xg , la ecuación 2 y se iguala a C para obtener la solución implícita
Cxgysenxyxeyxf y )(),( 22
Cysenxyxe y 22 022 Cysenxyxe y
Tarea: Num Problema Solución
1 Resuelva las siguientes ecuaciones:
0)2
( dyy
xydx Cyxy ln2
2 xy
xy
xey
ye
dx
dy
2
2 Cyex xy 22
3 (e2y – yCosxy)dx + (2 xe2y – xCos xy)dy = 0 xe2y – Senxy + y2 + C = 0
4 )1(
cos2
2
xy
xsenxxy
dx
dy
; 2)0( y Cxxy 222 cos)1(
5 0)3()3( 3223 dyyyxdxxyx Cyyxx )6(4
1 4224
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