ECUACIN DE LA RECTA - Matemática para Diseño...

Diseño Industrial Ecuación de la recta Ing. Gustavo Moll

ECUACIÓN DE LA RECTA Tres o más puntos alineados determinan una recta.

xx

x Encontrar una ecuación que represente a esa recta significa encontrar una ley o patrón que deban seguir todos los puntos de esa recta para pertenecer a la misma. Para poder plantear una ecuación debo primero definir ejes de referencia; ésto es un sistema cartesiano al cual referir la recta. Por ejemplo, supongamos que hemos diseñado un juguete de madera cuyo costo de materiales es de 2 pesos cada juguete:

Costo unitario: .1

2$jug

CU =

Para saber cuanto es el costo de fabricación de 2 juguetes deberé multiplicar el costo unitario por 2. Si quiero saber el costo de 3 juguetes deberé multiplicar por 3; y en general deberé multiplicar el costo unitario por la cantidad de juguetes a fabricar. Costo total = Costo unitario x Cant. de juguetes

CantCC UT ×= CantJug

Ct ×=1

2$

Y

xx

x

(0;0) X

1


Si quisiera graficar este costo, deberé plantear un sistema coordenado donde en un eje tenga cantidad de juguetes y en el otro el costo total.

Costo $

Cant Jug. 1 2 3

● ● ●

6$31

2$=× jug

jug3 juguetes =

4$21

2$=× jug

jug2 juguetes =

2$11

2$=× jug

jug1 juguete =

0$01

2$=× jug

jug0 juguetes =

6 4 2 Si al costo unitario le llamo “m”, a la cantidad de juguetes le llamo “x” y al Costo total le llamo “y”, obtendré la ecuación de esta recta que pasa por el origen de coordenadas:

Y = m . X (Ecuación explícita de la recta)

= X Cant Jug.

Costo

642 ●

●●

= Y

1 2 3

$ Cualquier punto perteneciente a esa recta sigue la ley:

Y = m . X CantJug

CT ×=1

2$

Si analizamos el negocio que estamos haciendo descubriremos que nos estamos olvidando de considerar otros factores que contribuyen a crear el costo de fabricación del juguete. Una parte del costo de fabricación son los materiales usados, que daba un costo unitario de $2 cada juguete. Pero para fabricar esos juguetes tendré una serie de gastos fijos tales como alquiler de un local donde fabricarlos, impuestos, sueldos, etc. Supongamos que estos gastos totalicen $ 20.

2


Todos estos gastos fijos pasan a formar parte del costo de fabricación, ya no directamente en función de la cantidad fabricada, sino como un costo fijo, ya que aunque no fabrique ninguna pieza igualmente deberé pagar alquiler, impuestos, etc. Quiere decir que ya mi costo total no es el que había planteado, donde para “Cero juguete” tenía “Cero costo”. Ahora tendré siempre un mínimo de $ 20. Ahora el costo total será: Costo total = Costo unitario x Cant. de juguetes + Costo fijo

FUT CCantCC +×= 20$1

2$+×= Cant

JugCt

Si a ese costo fijo le llamo “b”, la ecuación de la recta será:

Y = m . X + b (Ecuación explícita de la recta)

Ahora la recta no pasará por el origen, sino que nacerá en el costo de $ 20.

24$20$21

2$2 =+×= jugjug

jug

Costo $

1 2 3

26242220

b

● ● ●

= Y

Cant

Jug. = X

3


La ecuación y = a.x es una función lineal que a cada punto de x le hace corresponder un punto de y.

Por ejemplo, la ecuación: y = 3 x

x y

-1 -3 0 0

1 3 Al darle valores a x obtenemos valores para y, que al representarlos en los ejes cartesianos x-y dibujarán una recta. La diferencia entre una ecuación y = 2 x y otra y = 3 x es la inclinación de la misma, que está dada por el coeficiente que afecta a x. Costo En el triángulo rectángulo opq, se verifica:

xyxyxtgytgxy

oqpq 2

36. =⇒=⇒=⇒== αα

tg α es un número constante que llamaremos m. ⇒ y = tg α . x = m . x es la ecuación de las rectas que pasan por el origen m = tg α se llama pendiente de la recta o parámetro de dirección.

y = m.x

$

Cant Jug.

x = 3

y = 6 ●● ●

= Y

= X O Q

P

4


Veamos cómo es el signo de la pendiente m según la inclinación de la recta: Tomaremos dos rectas, una que forme un ángulo de 45º con el eje X: Y

X 45º

m = tg 45º = + 1 Vemos que la tangente de 45º, es decir m es positiva. Si tomamos otro caso donde el ángulo que forma la recta con el eje X es de 120º: M = tg 120º = - 1,7321

Y

X 120º

Vemos que la tangente de 120º , es decir m es negativa. En general, podemos decir que para ángulos menores de 90º la pendiente m es positiva y que para ángulos mayores de 90º la pendiente m es negativa. Casos particulares:

a) La ecuación del eje X. El ángulo α = 0º, implica que será tg 0º = 0

Entonces: y = 0. x o sea: y = 0 b) La ecuación de una recta paralela al eje X.

Y

X

2

5


Como para todo punto de x la ordenada (y) es 2, entonces la ecuación de esta recta es: y = 2

c) La ecuación del eje y

El ángulo α = 90º , implica que 0ytg ∝= es imposible, tg α no existe

(hay infinitas soluciones). La ecuación y = m.x representa a cualquier recta que pase por o excepto el eje y. El eje y no representa una función, pues hay infinitos valores de y como imagen. Como para todo punto de y la abscisa es cero, entonces: x = 0 es la ecuación del eje y.

d) La ecuación de una recta paralela al eje Y.

Y

X -1

Como para todo punto de y la abscisa (x) es -1, entonces la ecuación de esta recta es: x = - 1 Hasta ahora hemos visto la ecuación de la recta: y = m.x + b que es la ecuación explícita de la recta donde la “y” está despejada en el primer miembro de la ecuación. por ejemplo: y = 3 x + 4 Cuando la “y” no está despejada tenemos la ecuación implícita de la recta. Por ejemplo: y - 4 = 3x

6


Dada la ecuación graficar la recta: Por ejemplo, dada la ecuación y = 2 x + 1 graficar la recta Veremos dos formas de hacerlo, donde cualquiera de los dos métodos es válido y el alumno elige el que más le guste.

1) Buscamos los puntos donde la recta corta a los ejes coordenados. Donde la recta corta al eje de las x sabemos que y = 0 entonces en la ecuación reemplazamos y por su valor (cero) y despejamos el valor de x.

Y = 2 x +1 0 = 2 x + 1 2 x = -1 5,021

−=−=x

Es decir que sabemos que para y = 0 será x = - 0,5 Donde la recta corta al eje de las y sabemos que x = 0 entonces en la ecuación reemplazamos x por su valor (cero) y despejamos el valor de y. y = 2 x +1 y = 2 . 0 + 1 y = 1 Es decir que sabemos que para x = 0 será y = 1 Con esos puntos ya podemos graficar la recta:

Y

X -0,5

1 ●

●

2) La otra forma que veremos es analizando la ecuación: y = 2 x +1 y = m.x + b Si comparamos ambas ecuaciones veremos que b = 1, siendo “b” la ordenada donde la recta corta al eje “y”. Es decir que ya tenemos un punto de la recta. También veremos que “m = 2” siendo “m” la pendiente de la recta. Para verlo mejor expresaremos la ecuación como:

112

++= xy siendo “1” el desplazamiento según el eje “x” y “2”

el desplazamiento según el eje “y”.

7


Por otro lado el signo positivo de “m” indica que la inclinación de la recta es menor a 90º. Graficando:

Y

X

2 b = 1 ●

● 1 Lo que hemos hecho es marcar el punto conocido ( b = 1 ) y a partir de ese punto subir “2 unidades” en el sentido de las “y” para luego desplazarnos “1 unidad” en el sentido de las “x”. El desplazamiento según el eje x lo hacemos hacia la derecha debido a que como la pendiente es positiva (m positivo) sabemos que la inclinación de la recta es menor a 90º.

EJERCICIOS DE ECUACIÓN DE LA RECTA

RECTAS QUE PASAN POR EL ORIGEN

1) Dibuja la recta cuya ecuación es:

xy54

−= pendiente “m”54

54

54

−=−

=−

==xy

Comparando la ecuación dada con: y = m.x + b podemos ver que b = 0, que implica que la recta pasa por el origen, es decir que corta al eje y en la ordenada 0. Partiendo del punto (0;0) me desplazo 4 unidades en el sentido del eje “y”

para luego desplazarme 5 unidades en el sentido del eje “x”. Como el signo de “m” es negativo sabemos que la inclina- ción de la recta es mayor a 90º, por lo que el desplazamiento será hacia la izquierda.

Y

X

4

b = 0 ●

● -5

8


2) Determina la ecuación de la siguiente recta graficada:

Vemos que el ángulo es mayor que 90º por lo que la pendiente será negativa. comparando la ecuación con

X

Y

4

-1

y = m.x + b vemos que b = 0 que nos indica que la recta pasa por el origen de coordenadas. Si analizamos el desplazamiento a partir del origen de coordenadas, vemos que sube 4 unidades según el eje y, para luego desplazarse 1 unidad según el eje x.

Por lo que la pendiente “m” es:

14−

==xypend y la ecuación de la recta será: xxy 4

14

−=−=

RECTAS QUE NO PASAN POR EL ORIGEN

3) Representa las siguientes ecuaciones explícitas: a) y = 3x - 2 y = a.x + b

13

===xypenda b = - 2

X

Y

● -2

3

1

a partir de y = -2 (para x = 0) desplazo una unidad en x y subo tres unidades en y. Como la pendiente es positiva, se que el ángulo α que forma la recta con el eje x es < 90º.

9


b) 432 +−= xy y = a.x + b

xypenda =−==

12

75,043==b

a partir de y = 0,75 desplazo –1 en x

X

Y

● 0,75 2

1 y subo 2 en y.

Como la pendiente es negativa, se que el ángulo α que forma la recta con el eje x es > 90º.

c) 25

21

+= xy y = a.x + b

xypenda ===

21

5,225==b Y

a partir de y = 2,5 me desplazo 2 en x y subo 5 en y.

X

Como la pendiente es positiva, se que el ángulo α que forma la recta con el eje x es < 90º.

4) Determina la ecuación explícita de la siguiente recta (Calcula la pendiente y determina la ordenada al origen):

axypend =

−=

12

= b = 2

y = a.x + b 21

2+

−= x

y = - 2 x + 2

● 2,5

2

1

Y

X

●

1

2

●

10


Otra forma de encontrar los datos: A veces nuestro dato de la pendiente “m” viene disfrazado y no se lo reconoce a simple vista. Podemos tener el dato de otras tres formas: 1) La pendiente es del 20 % 20 % indica que por cada 100 unidades que

se desplaza en horizontal, sube 20 en vertical. Como la pendiente “m” es la tangente de φ, ésto es el cociente entre cateto opuesto y cateto adyacente, será:

“m” = tg φ = 2,010020

....

==adycatopcat

2) El ángulo φ es de 30º Como sabemos que la pendiente “m” es la tangente de φ, será: “m” = tang 30º = 0,577

3) En lugar de darnos el ángulo nos dan el suplemento. Dato: 80º Cuando hablamos de ángulo de una recta, estamos hablando del ángulo que forma con el sentido positivo del eje X, es decir el que en la gráfica figura como φ.

Es un error muy común confundir los datos. Se debe tener en claro que 80º es el suple-mento del ángulo buscado, es decir que: φ = 180º - 80º = 100º Luego, la pendiente “m” = tg 100º = - 5,671

20 100

φ

X

Y

φ 80º

11


RECTAS PARALELAS Para que dos rectas sean paralelas deben tener la misma inclinación, es decir que el ángulo que forman con el eje X debe ser el mismo para las dos rectas.

Si el ángulo φ es el mismo para las dos rectas, también lo será la pendiente “m”, es decir la tang. Φ. Por ejemplo:

332

+= xy xy32

=

5,132

−= xy 132

−= xy

X

Y

φ φ

Son todas ecuaciones de rectas paralelas, la primera corta al eje Y en 3, la segunda pasa por el origen de coordenadas, la tercera corta al eje Y en -1,5 y la última lo corta en Y = -1. Pero todas tienen la misma pendiente, por lo tanto son paralelas. RECTAS PERPENDICULARES Cuando dos rectas son perpendiculares tienen distinto signo (si una es positiva, la otra será negativa) y la pendiente de una es la inversa de la otra.

∝

−=−

==∝tgy

xxytg 1´´´ ⇒

mm 1´ −=

ésta es la relación que vincula las pendientes de dos rectas perpendiculares. Si la ecuación de R es y = mx + b Siendo R ⊥ R´

La ecuación de R´es ´1 bxm

y +−=

12


Ejemplo:

R: y = 5x – 2 R: xy32

−=

⇒ R ⊥ R´ ⇒ R⊥ R´

R´: 751

+−= xy R´: 123

−x

RECTA QUE PASA POR UN PUNTO DE COORDENADAS CONOCIDAS Cuando mis datos son la pendiente “m” de una recta y las coordenadas de un punto perteneciente a la misma debo utilizar la fórmula: y – y0 = m . (x – x0) donde: (x0 ; y0) son las coordenadas de un punto perteneciente a la recta “m” es la pendiente de la recta. Ejemplo: Dada la Sea R la recta de pendiente “m” = 3 y el punto P0 = (-2 , 2) La ecuación de la recta de pendiente 3 que pasa por P0 es: (y – y0) = m (x – x0)

8

X

Y y – 2 = 3 (x – (- 2)) y – 2 = 3 (x + 2) = 3x + 6 y = 3x + 6 + 2 y = 3x + 8

13


CUANDO EL DATO DE LA PENDIENTE SE ENCUENTRA DISFRAZADO Si en lugar de tener como dato que “m” = 3 tuviesemos como dato, por ejemplo, que el ángulo que forma la recta con el eje X es de 70º y el punto P0 = (-2 , 2), sabiendo que la pendiente “m” es la tangente de ese ángulo, solo tenemos que calcular: m = tang 70º = 2,747 La ecuación de la recta que pasa por P0 es: (y – y0) = m (x – x0)

7,494

X

Y y – 2 = 2,747 (x – (- 2)) y – 2 = 2,747 (x + 2) = 2,747x + 5,494 y = 3x + 5,494 + 2 y = 3x + 7,494 Si en lugar de tener como dato que “m” = 3 tuviesemos como dato, por ejemplo, que la pendiente de la recta es del 30 % y el punto P0 = (-2 , 2), sabiendo que la pendiente del 30% indica que por cada 100 unidades que se desplaza en horizontal, se desplazará 30 en vertical y que “m” es la tangente del ángulo que se forma, solo tenemos que calcular:

3,010030tan === ϕm

100

30 φ

La ecuación de la recta que pasa por P0 es: (y – y0) = m (x – x0) y – 2 = 0,3 (x – (- 2)) y – 2 = 0,3 (x + 2) = 0,3x + 0,6 y = 3x + 0,6 + 2 y = 3x + 2,6

2,6

X

Y

14


CUANDO LA RECTA DEBE PASAR POR UN PUNTO DE COORDENADAS CONOCIDAS Y ADEMÁS SER PARALELA A OTRA RECTA DADA En este caso nuestro dato es, por ejemplo, que la recta debe pasar por el punto

P0 (-2 ; 2) y ser paralela a la recta 332

+= xy

Sabemos que para que dos rectas sean paralelas deben tener la misma

pendiente; en nuestro caso 32

=m

De esta forma, la ecuación de la recta será: (y – y0) = m (x – x0)

))2((322 −−=− xy

)2(322 +=− xy

34

322 +=− xy

3,33

X

Y 2

34

32

++= xy

310

32

+= xy

33,332

+= xy

15


CUANDO LA RECTA DEBE PASAR POR UN PUNTO DE COORDENADAS CONOCIDAS Y ADEMÁS SER PERPENDICULAR A OTRA RECTA DADA En este caso nuestro dato es, por ejemplo, que la recta debe pasar por el punto

P0 (-2 ; 2) y ser perpendicular a la recta 332

+= xy

Sabemos que para que dos rectas sean perpendiculares deben tener el signo cambiado y la pendiente de una ser la inversa de la de la otra; en nuestro caso

si la recta dada es de pendiente 32

=m , la nueva recta tendrá pendiente:

23

−=m

De esta forma, la ecuación de la recta será: (y – y0) = m (x – x0)

))2((232 −−−=− xy

)2(232 +−=− xy

-1 X

Y

26

232 −−=− xy

2323

+−−= xy

123

−−= xy

16


RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS DE COORDENADAS CONOCIDAS Cuando la recta debe pasar por dos puntos de coordenadas conocidas, por ejemplo los puntos A (2 ; -3) y B (1 ; 4) En este caso tengo dos formas de resolverlo:

1) Utilizando la ecuación de la recta que pasa por un punto 2) Utilizando la ecuación de la recta que pasa por dos puntos

1) Utilizando la ecuación de la recta que pasa por un punto A (3 ; 1) y B (1 ; 4) Primero graficamos para tener una idea exacta de la ubicación de los puntos.

Una vez ubicados los puntos podemos observar que se forma un triángulo virtual (marcado en azul) que nos ayudará a calcular el valor de la pendiente, que en definitiva es la tangente del ángulo.

23

..

−===adycatopcattgm ϕ

Y

X 1

4

1 ●

●

El signo negativo lo deducimos al saber que el ángulo que forma la recta con el eje de las X es mayor que 90º. Luego adoptamos uno cualquiera de los dos puntos que tenemos como dato, por ejemplo el punto A (3;1) y planteamos la ecuación: (y – y0) = m (x – x0)

)3(231 −−=− xy

29

231 +−=− xy

129

23

++−= xy 2

1123

+−= xy 5,523

+−= xy

3

A

B

2 unid.

3 φ > 90º

2,6

X

Y

17


1) Utilizando la ecuación de la recta que pasa por dos puntos Primero graficamos para tener una idea exacta de la ubicación de los puntos. Por dos puntos pasa una sola recta. Consideremos dos puntos A (3 ; 1) y B (1 ; 4)

01

0

01

0

xxxx

yyyy

−−

=−−

A uno de ellos le asignaremos (x0;y0) y al otro (x1;y1) Es decir: Para A: x0 = 3 y0 = 1 Para B: x1 = 1 y1 = 4 Y luego reemplazamos en la fórmula anterior

313

141

−−

=−− xy

23

31

−−

=− xy

)3(231 −−=− xy

29

231 +−=− xy 1

29

23

++−= xy 2

1123

+−= xy

5,523

+−= xy

Como vemos por las dos vías llegamos a la misma ecuación de la recta que pasa por los puntos A y b. El único cuidado que hay que tener, con cualquiera de los dos métodos, es en no confundir los signos ni el órden de x0, y0, x1 e y1, porque de confundirlos el resultado de la ecuación será incorrecto.

18


ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA La ecuación de la recta suele expresarse de esta forma: y = a.x + b ⇒ ax – y + b = 0 Y en general: Ax + By + C = 0 Que se llama ecuación implícita o ecuación general de la recta. Despejando y obtenemos la ecuación explícita:

BCx

BAy −−=

donde:

BAa −= y

BCb −=

Ejemplo: Dada la ecuación general 3x – 5y + 2 = 0 hallar la ecuación explícita de la recta. Despejamos y: 5y = 3x + 2

52

53

+= xy ecuación explícita

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

La distancia entre dos puntos a y b es la medida del segmento ab (será un número real no negativo).

222cbacab +=

2

122

12),(2 )()( yyxxd ba −+−=

2

122

12),( )()( yyxxd ba −+−=

x1 x2

y1

y2

●

●

a

b

19


Ejemplo: a = (-3 , -5) b = (1 , -2) 525916)52()31( 22

),( ==+=+−++=bad DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA

La distancia de un punto Po a una recta es la medida de la longitud del segmento de la perpendicular trazada por el punto a la recta.

),(),( 00 PPRP dd =

siendo P el pie de la perpendicular a la recta R por P0

x

y ●

●

P

R P0

y

x Los pasos a seguir son los siguientes:

1. Se determina la ecuación de la recta perpendicular a R por el punto P0. 2. Se determina el punto de intersección de ambas rectas, p = (x,y)

resolviendo el sistema formado por las dos ecuaciones (método de igualación).

3. Se calcula la distancia entre los puntos P0 y P utilizando el teorema de Pitágoras.

Ejemplo:

Sea R la recta de ecuación 21

−= xy y P0 = (0 , 3)

1. Determinamos R´ ⊥ R

Ecuación de R 21

−= xy

Ecuación de R´ (que pase por P0) y - y0 = - (x – x0) (x0 = 0) (y0=3) y – 3 = - x y = - x + 3

x=47

y=45 ●

● P0 R

(0;3)

y

x

20


2 .Se resuelve el sistema. En P se igualan las dos ecuaciones, es decir que las coordenadas de P = (x , y) son las mismas para las dos rectas.

321

+−=−= xxy ⇒ 213 +=+ xx

272 =x

47

=x

Reemplazamos en alguna de las ecuaciones para obtener el valor de y.

45

21

47

=−=y 45

=y

El punto de intersección de las rectas será: )45,

47(=P

3. Calculamos la distancia entre P0 y P:

P0 = (0 , 3) )45,

47(=P

==+=−

+=−+−=1649.2

1649

1649)

4125(

1649)3

45()0

47( 222

),( 0 PPd

849

),( 0 =PPd

ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS

Para averiguar el valor del ángulo ϕ entre las rectas R y R´ debemos tener en cuenta lo siguiente:

R´ R

y

El ángulo γ (que forma R´ con el eje x) es igual a: γ = α + β y β = ϕ por ser ángulos opuestos por el vértice)

x α ß

φ

γ

21


es decir que γ = α + ϕ ⇒ ϕ = γ - α

Ejemplo: Sean las rectas R y R´ de ecuaciones:

R 132

+= xy

R´ y´= - x + 3 Será:

la pendiente de )32(1−∝= tg (= tangente de α)

la pendiente de )11(1−

= tgγ (= tangente de γ)

entonces:

)32(1−∝= tg = 33º 41´ 24”

)11(1−= tgγ = 45º 00´ 00”

Pero teniendo en cuenta la inclinación de la recta R´, vemos que 45º es en realidad el suplemento de γ, por lo que γ es en realidad igual a:

γ=135º 45º

γ = 180º - 45º = 135º Por lo tanto será: ϕ = γ - α = 135º - 33º 41´ 24” = 101º 18´ 36”

22

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