1) Determine si la función es solución de la ecuación diferencial

a) y=3sin (2x )+e−x ; y ' '+4 y=5 e−x

Respuesta:

Tenemos

y=3sin 2 x+e−x Entonces y '=6cos 2x−e−x y ' '=−12sin 2x+e− x

Así

y '+4 y=(−12sin(2 x)+e−x )+4 (3sin (2 x )+e−x)

¿−12sin (2x )+e− x+12sin (2x )+4e−x

¿5e−x

∴ y=3sin(2 x)+e− x es solución de la ecuación diferencial y ' '+4 y=5 e−x

b) y=12sin x−1

2cos x+10e− x ; y '+ y=sin x

Respuesta:

Tenemos

y=12sin x−1

2cos x+10e− x Entonces y

'=12cos x+ 1

2sin x−10e− x

Así

y '+ y=(12 cos x+12 sin x−10e−x )+( 12 sin x−12 cos x+10e− x)¿ 12cos x+ 1

2sin x−10e−x+ 1

2sin x−1

2cos x+10e−x

¿ sin x

∴ y=12sin x−1

2cos x+10e−x es solución de la ecuación diferencial y '+ y=sin x

c) y=C1 e−x+C2 e

x+C3e−2 x+C4 e

2x ; y(4)−5 y ' '+4 y=0

Respuesta:

Tenemos

y=C1 e−x+C2 e

x+C3e−2 x+C4 e

2x Entonces

y '=−C1 e−x+C2 e

x−2C3 e−2x+2C4 e

2 x

y ' '=C1 e−x+C2e

x+4C3 e−2x+4C4 e

2x

y ' ' '=−C1 e−x+C2e

x−8C3 e−2x+8C4 e

2x

y(4)=C1 e−x+C2 e

x+16C3e−2x+16C4 e

2x

Así

y(4)−5 y ' '+4=C1e− x+C2 e

x+16C3 e−2x+16C4 e

2x−5(C1 e−x+C2e x+16C3 e−2 x+16C4 e2x )+4(C1 e−x+C2 ex+16C3e−2 x+16C4 e2x)

¿C1e− x+C2 e

x+16C3 e−2x+16C4 e

2x−5C1 e−x−5C2 e

x−20C3 e−2x−20C4 e

2 x+4C1e− x+4C2e

x+4C3 e−2x+4C4 e

2x

¿e− x (c1−5c1+4 c1)+ex (c2−5c2+4c2 )+e−2x (16c3−20c3+4 c3 )+e2x (16 c4−20c4+4c4 )

¿0

∴ y=C1 e−x+C2e

x+C3 e−2x+C4 e

2x es solución de la ecuación diferencial

y(4)−5 y ' '+4 y=0

2) Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales de primer orden de acuerdo al método correspondiente:

a) e y sin(2 x)dx+cos x (e2 y− y )dy=0

Respuesta:

Usemos separación de variables

e y sin(2 x)dx=−cos x (e2 y− y )dy

sin(2 x)cos (x )

dx= y−e2 y

e ydy

sin(2 x)cos (x)cos( x)

dx=( y e− y−ey )dy

2∫ sin xdx=∫ ye− y dy−∫ ey dy

Tenemos u= y dv=e− y dy

du=dy v=−e− y

Así

−2cos x=− y e− y+∫e− y−e y

−2cos x=− y e− y−e− y−e y−C

−2cos x+ y e− y+e− y+e y+C=0

b) (xy+ y2+x2 )dx−x2dy=0

Respuesta:

Tenemos

dydx

= xy+ y2+x2

x2=f (x , y )

Ahora

f ( tx ,ty )= txty+ t2 y2+ t2 x2

t 2 x2=t2(xy+ y2+x2)

t2 x2

xy+ y2+x2

x2=f (x , y )

∴ La ecuación diferencial es exacta, ahora tomamos

y=ux dy=udx+xdu

(x (ux )+u2 x2+x2 )dx−x2(udx+xdu)=0(u x2+u2 x2+x2 )dx−x2(udx+xdu)=0x2 [ (u+u2+1 )dx−udx+xdu ]=0

u2dx+dx−xdu=0 (u2+1 )dx=xdu

⇒∫ dxx =∫ du

u2+1⇒ ln|x|+ ln|C|=tan−1 (u )⇒ ln|Cx|=tan−1(u)

⇒u=tan [ ln (Cx)]

Pero u=yx

, yx=tan [ ln (Cx)]

y=x tan [ ln(Cx)]

c) ( y2 cos x )dx+(4+5 y sin x )dy=0

Respuesta:

Tomemos M (x , y )= y2 cos x⇒ ∂M∂ y

( x , y )=2 ycos ( x )

N ( x , y )=4+5 y sin(x )⇒ ∂N∂x

(x . y )=5 y cos(x )

Ahora bien

∂ N∂x

−∂M∂x

M (x , y)=5 ycos (x )−2 ycos (x )

y2 cos (x)=3 y cos(x )y2cos (x)

=3y

Así, M ( y )=e∫ 3ydy=e3 ln y= y3

Al multiplicar la ecuación diferencial por M(y) resulta y5 cos ( x )dx+¿

De donde ahora

M (x , y )= y5 cos ( x )⇒ ∂M∂ y

( x , y )=5 y4 cos ( x )

N ( x , y )=5 y 4sin (x)⇒ ∂N∂ x

( x , y )=5 y4 cos ( x )

La ecuación diferencial es exacta. Así,

f ( x , y )=∫ y5 cos ( x )dx= y5 sin x+h (xy)

Pero fy ( x , y )=N ( x , y ), es decir

5 y4 sin(x )+h' ( y )=4 y3+5 y 4sin (x)⇒h' ( y )=4 y3

⇒h ( y )= y4+C

Son distintas

Son iguales y continuas

Luego f ( x , y )= y5 sin(x )+ y4+C ó

y5 sin x+ y 4=K

d) y '−2xy=x2 cos x

Respuesta:

p ( x )=−2x⇒∫ p(x )dx=−2∫ dxx =−2 ln x=ln x−2

El factor integrante es e ln x−2

=x−2

Al multiplicar la ecuación diferencial por este factor resulta x−2 y1−2x−3 y=cos(x )

ddx

[ x−2 y ]=cos (x)⇒ x−2 y=∫cos (x )dx

⇒ x−2 y=sin (x)+C

⇒ y=x2sin(x )+C x2

3) Resolver las ecuaciones diferenciales de orden N según el método correspondiente

a) y ' '−3 y '+2 y=3 e−x−10cos3 x

Respuesta:

E.D. Homogénea = y ' '−3 y '+2 y=0

E. Auxiliar= m2−2m+2=0

Raíces= m=2±√4−82

=1± i

Así Yh=C1 excos (x)+C2 e

xsin (x)

Así Yp ensayemos

Yp=Ae− x+B cos (3 x)+C sin (3x )

Al derivar obtenemos

Y ' p=−Ae− x−3B sin(3 x )+3C cos(3x )

Y ' ' p=A e−x−9 B cos(3x )−9C sin (3 x)

Ahora sustituimos en la ecuación diferencial

y ' '−3 y '+2 y=3 e−x−10cos3 xAe− x−9B cos (3 x)−9C sin(3 x )−3 [−Ae−x−3B sin(3 x )+3C cos(3 x )]+2 [ A e−x+B cos (3 x)+C sin(3 x)]=3e−x−10cos3 x

e− x ( A+3 A+2 A )+cos (3x )(−9B−9C+2 B)+sin (3x ) (−9C+9B+2C )=¿=3e−x−10cos3 x ¿

Así

6 A=3−7 B−9C=−10

A=129B−7C=0

De aquí B=713

y C= 913

luego

Yp=12e− x+ 7

13cos (3 x)+ 9

13sin (3 x)

∴Y=C1 ex cos(x )+C2 e

x sin(x)+ 12e−x+ 7

13cos(3 x )+ 9

13sin(3 x)

b) y(6 )−5 y(4 )+16 y ' ' '+36 y ' '−16 y '−32 y=0

Respuesta:

Ecuación Auxiliar = m(6 )−5m(4 )+16m' ' '+36m' '−16m'−32m=0

Raíces =

Usando la Regla de Ruffini

11 0 -5 16 36 -16 -32

1 1 -4 12 48 32

-11 1 -4 12 48 32 0

-1 0 4 -16 -32

-21 0 -4 16 32 0

-2 4 0 -32

-21 -2 0 16 0

-2 8 -161 -4 8 0

Tenemos ahora m2−4m+8=0

m=4 ±√16−322

=4±4 i2

=2±2 i

Así las raíces son

m1=1 ,m2=−1 ,m3=m4=−2 ,m5=2+2 i ,m6=2−2i

Y la solución de la ecuación es

Y=C1 ex+C2 e

−x+C3e−2 x+C4 x e

−2 x+C5 e2 xcos (2 x)+C6e

2x sin(2 x)