ECUACIÓN DE CONTINUIDADECUACIÓN DE CONTINUIDAD

D1, m1 D2, m2

Consideraciones: • Flujo de 1 a 2 constante• La cantidad de fluido que pasa por cualquiera

sección del tubo 1 ó 2 es constante• Si no se retira o agrega fluido entonces el fluido

m1= m2 en un tiempo determinado

AVm ρ= 222111 VAVA ρρ =

cte== 21 ρρ 2211 VAVA = AVQ = 21 QQ =

ÁREAS DE TUBERÍAS ESTÁNDAR

Área Real: se da en tablas por los fabricantes y se puede calcular diámetros reales de la relación. Se hace referencia al diámetro comercial ¾·”, ½” etc. se recomienda utilizar tablas de fabricantes para realizar cálculos reales.

VELOCIDAD DE FLUJO EN DUCTOS Y TUBERÍASVELOCIDAD DE FLUJO EN DUCTOS Y TUBERÍAS

Los factores que afectan la elección de la velocidad son:

Tipo de fluido Longitud del sistema de flujo El tipo de Ducto y tubería La caída de presión permisible Bombas, accesorios, válvulas que puedan conectar para manejar

las velocidades específicas La temperatura, la presión y el ruido Se debe tener en cuenta: Ductos y Tuberías de gran diámetro producen baja velocidad y

viceversa, tubos de pequeño diámetro altas velocidades.

Velocidades Recomendadas:V = 3 m/s, para líquidos como agua y aceite livianos y para la salida V = 3 m/s, para líquidos como agua y aceite livianos y para la salida

de una bombade una bomba V = 1 m/s, para la entrada a una bombaV = 1 m/s, para la entrada a una bomba

ECUACIÓN DE ENERGÍA

W

V, P, z

y

Ecuación de Bernoulli

wzEP =

g

wvEc 2

2

=

pw

EF γ=

Energía Potencial: se debe a la elevación

Energía Cinética: se debe a su velocidad

donde w = peso del elemento de volumen

Energía de flujo ó energía de presión: se debe a la presión que se le suministra al fluido

Energía total de un fluidoEnergía total de un fluido

FCPtotal EEEE ++= pw

g

wvwzEtotal γ

++=2

2

La energía total que tiene un fluido en movimiento es dado por:

Cada termino en esta ecuación tiene las siguiente unidades [N*m/N] es decir [m] o [pie]

Por lo que cada termino recibe el nombre de cabeza de energía

Energía de un fluido que se transporta en una tubería

1

2

P1, Z1, V1

P2, Z2, V2

γ11

211

111 2

Pw

g

vwzwE ++=

γ22

222

222 2

Pw

g

vwzwE ++=

γγ2

22

21

21

1 22

P

g

vz

P

g

vz ++=++

Restricciones de la ecuación de Bernoulli Solo es valida para fluidos incompresibles w1=w2• No tiene en cuenta dispositivos que agreguen energía al sistema W=0• No hay transferencia de calor Q=0• No hay perdidas por fricción ft =0

Análisis será que esta ecuación es de uso real ?

Seleccionar la dirección del flujo (izquierda a derecha de 1 a 2)

Simplifique la ecuación

Las superficies de los fluidos expuestas a la atmósfera tendrán cabeza de presión Las superficies de los fluidos expuestas a la atmósfera tendrán cabeza de presión cero p/cero p/γγ = 0 = 0

Para depósitos, tanques de los cuales se puede estar extrayendo algún fluido su Para depósitos, tanques de los cuales se puede estar extrayendo algún fluido su área es bastante grande, comparada con la del tubo, la velocidad de flujo en área es bastante grande, comparada con la del tubo, la velocidad de flujo en estos tanques o depósitos es pequeña entonces v=Q/A=0 entonces v2/2g=0estos tanques o depósitos es pequeña entonces v=Q/A=0 entonces v2/2g=0

Cuando ambos puntos de referencia están en la misma área de flujo A1=A2, Cuando ambos puntos de referencia están en la misma área de flujo A1=A2, entonces la cabeza de velocidad son iguales, entonces la cabeza de velocidad son iguales,

Cuando la elevación es la misma en ambos puntos de referencia Z1=Z2, entonces Cuando la elevación es la misma en ambos puntos de referencia Z1=Z2, entonces la cabeza de altura es cero Z=0la cabeza de altura es cero Z=0

SUGERENCIAS PARA LA APLICACIÓN DE LA ECUACIÓN DE BERNOULLI

022

21

21 ==

g

v

g

v

h

1

2

Aplicamos la ecuación de Bernoulli entre los puntos 1 y 2 se obtiene:

consideramos P1=P2=0 y V1=0 según esto se obtiene:

Haciendo ahora h = (z1-z2) entonces

Análisis: considere ahora si el tanque esta sellado:

γγ2

22

21

21

1 22

P

g

vz

P

g

vz ++=++

ghv 22 =

TEOREMA O ECUACIÓN DE TORICELLI

gzzv 2)( 212 −=g

vzz

2

22

21 +=

)/(2 12 γPhgv +=

Ai

dh

dj, Aj, vj

hi

Partiendo de la ecuación de Bernoulli

Como el flujo volumétrico es

El volumen que sale por la boquilla

El volumen que sale del tanque o rapidez con la que disminuye la altura del tanque

Estos volúmenes deben ser iguales

ghvi 2=

jivAQ =

dtvAQdt ij=

dhAQ i−=

dhAdtvA iij −=

dhvA

Adt

ij

i−=

Despejando variables y reemplazando se obtiene:

como se obtiene

Integrando

Si tiempo para un instante inicial es cero entonces se obtiene

dhvA

Adt

ij

i−=

ghvi 2= dhghA

Adt

j

i

2

−=

dhhgA

Adt

j

it

t

2/12

1 2−−=∫

( )2/12

2/112

2

/2 hh

g

AAt ji −

=

ECUACIÓN GENERAL DE ENERGÍA

hA = Energía añadida o agregada al fluido por una bomba u otro dispositivo

hR = Energía retirada o removida del fluido mediante un dispositivo mecánico, por ejemplo una turbina

hL = Perdidas de energía por parte del fluido por efecto de fricción o por presencia de válvulas, conectores, y rugosidad de tuberías

hA

hL

hR

hL

Bomba

Válvula

Turbina

Codo

γγ2

22

21

21

1 22

P

g

vzhhh

P

g

vz LRA ++=−−+++

PÉRDIDAS DE ENERGÍA hPÉRDIDAS DE ENERGÍA hLL

Las pérdidas totales de energía hL es dada por

∑ ∑+= tuberíasenfricciónporperdidasaccesoriosporperdidashL

Las pérdidas de energía por accesorios = se dan por cambios de dirección y velocidad del fluido en válvulas te, codos, aberturas graduales y súbitas entre otros

Las pérdidas por fricción = se dan por el contacto del fluido con las paredes de las tuberías y conductos que por lo general son rugosos

Pérdidas de energía debido a la fricción hf

Es dada por la ecuación de Darcy (utilizada para flujo laminar y turbulento)

g

v

D

Lfh f 2

2

=

Donde:L = longitud de la tubería D = Diámetro nominal del conducto V = Velocidad de flujo f = coeficiente de fricción ( adimensional )

Como obtener el coeficiente de fricción fComo obtener el coeficiente de fricción f

Para calcular el coeficiente de fricción “f” se usa el diagrama de Moody, el cual se presenta en la figura 9-2, o las siguientes ecuaciones.

Para flujo laminar y tuberías sin rugosidad f= 64/ Re

Para flujo turbulento usar mejor la ecuación de P.K. SWANCE y A.K. JAIN.

2

9,0Re

74,5

/7,3

1log

25,0

+

=

εD

f

Pérdidas por accesorios hl

g

kvhl 2

2

=

Donde hl = perdida menoresk = coeficiente de resistenciav = velocidad promedio

k = El coeficiente de resistencia es medido experimentalmente y depende del tipo de accesorio y de la velocidad promedio

CALCULO DE LAS PÉRDIDAS MENORES:CALCULO DE LAS PÉRDIDAS MENORES:

Dilatación súbita: Dilatación súbita: depende de la diferencia D1/D2.depende de la diferencia D1/D2.

D1, V1 D2, V2

ver grafico 10-2 del libro Robert Mott. D2/D1 vs K para calcular K.

22

2

1

2

2

1 11

−=

−=

D

D

A

Ak

Pérdidas menoresPérdidas menoresPérdida de entrada a un tanque

D2, V2D1, V1

=

g

vhl 2

121

=

g

vhl 2

121

=

g

vhl 2

121

Dilatación Gradual

D1, V1

φ , D2, V2

=

g

vkhl 2

21

Ver grafico 10-5 D2/D1 vs K y φ Perdidas mínimas para φ< 7, cuando φ> la perdida aumenta, ver tabla 10-2

Pérdidas menoresPérdidas menoresConcentración súbita

D1, V1D2, V2

=

g

vkhl 2

22

ver figura 10-7 y tabla 10-3

Concentración gradual

D1, V1, φ

D2, V2

=

g

vkhl 2

22

para Re >1X105 utilizar la figura 10-10 donde D1/D2 vs K y φ

Pérdidas menores en curvaturas de tuberíasPérdidas menores en curvaturas de tuberíasCodos de tuberíasLa resistencia al flujo en un codo es función del radio (r ) de la curvatura del codo y del diámetro interno D.

Donde:r= es la distancia al centro de la curvaturaRo= es el diámetro externo del conducto o tubo

Ro

rRi

D

Do

r=Ri + Do/2r=Ro – Do/2r = (Ro + Ri)/2

Ver grafico 10-23 se puede calcular hl = f (k, le/g)

OTRAS PÉRDIDAS MENORES A LA SALIDA Y ENTRADA DE UNA TUBERIA EN UN TANQUE

Perdida hacia dentro k =1Perdida cuadrada k =0,5Perdida achatada k =0,25Perdidas redonda

0,040,090,240,280,50k

> 0,150,100,040,020r/D2

=

g

vkhl 2

21 frDlek )/(=

El coeficiente de resistencia para válvulas es calculado de la siguiente manera:

Donde le/D= Longitud equivalentefr= factor de fricción en el conducto en completa turbulencia

Ver tabla 10-4. del libro Robert Mott.

PÉRDIDAS DE ENERGÍA POR FRICCIÓN PÉRDIDAS DE ENERGÍA POR FRICCIÓN EN CONDUCTOS NO CIRCULARESEN CONDUCTOS NO CIRCULARES

Reemplazar en la ecuación de Darcy D=4RReemplazar en la ecuación de Darcy D=4R

Se obtiene entonces Se obtiene entonces

g

v

R

Lfh f 24

2

=