ECUACIONES CUADRATICAS Y SISTEMAS DE ECUACIONES

Forma General: ax2 + bx + c = 0

x incógnita

Hay dos soluciones:

x1=−b+√b2−4 ac2a

¿}¿¿¿

Discusión de las Raíces.- Se define como discriminante de la ecuación: ax2 + bx + c = 0; a 0D = b2 – 4ac D Discriminante1) Si D 0 ; las soluciones son números reales diferentes.2) Si D = 0 ; las soluciones son números reales iguales.3) Si D 0 ; las soluciones son números complejos conjugados.Propiedades de las Raíces:Sea: x1 , x2 raíces de ax2 + bx + c = 0 ; a 0

Suma: x1 + x2 = -b/a producto: x1 + x2 = c/a

Diferencia: x1 - x2 = √Da ; x1 x2

Reconstrucción:

x2 –(suma de raíces) x +(producto de raíces) =

0

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Hallar la suma de raíces de la siguiente

ecuación cuadrática: a)5 b)3 c)2 d)-5 e) 9

2. Hallar “m” para que el producto de las raíces de la ecuación:(m−2 ) x2−5 x+2m=0 , sea 6a) 1 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

3. Formar la ecuación de segundo grado que tenga como raíces la suma y el producto de las raíces de la ecuación:

2 x2−5x+7=0a) 4 x2+6 x+35=0 b) 4 x2−6 x+35=0c) 4 x2−24 x+35=0 d) 4 x2+24 x+35=0e) 4 x2+24 x−35=0

4. Encontrar el valor de K que hace que la ecuación:

x2+9 x+k=0Una raíz sea el doble de la otra.a) 9 b) 6 c) 3 d) 27 e) 18

5. Calcular “m” en la ecuación:(m+1 ) x2− (m+8 ) x+10=0

Para que la suma de raíces sea 9/2.a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

6. Determine K∈Z de modo que la ecuación4 x2+(3k−77 ) x+1=0 Admite raíces reales e iguales.a) k=4 b) k=3 c) k=5 d) k=-4 e) k= -3

8. Respecto de 3x2 + 5x + 4 = 0, ¿cuántas de las siguientes afirmaciones son verdaderas?

I. El término independiente es 3. II. No tiene raíces reales.

III. Es equivalente a (3x + 2) (x + 2) = 0.a) 0 b) 1 c) 2 d) 3

9. Determina una ecuación de segundo grado cuyas raíces sean los números 4 y –1.

a) x2 + 3x – 4 = 0 b) 3x2+ 9x – 12 = 0c) 2x2– 6x + 8 = 0 d) x2– 3x – 4 = 0

10.Sin necesidad de hacer cálculo alguno, ¿qué valores x cumplen con la igualdad

(x – 1)(x + 3) = 0?a) –1 y –3 b) 1 y 3 c) 1 y –3 d) –1 y 3

11.Halla un polinomio de segundo grado P(x) si se sabe que una de sus raíces es x = 1 y que P (3) es 10. Da como respuesta el término independiente.

1

Dos formas de resolver una

ecuación de 2do grado

a) 2 b) –2 c) 1 d) –1

12.Calcula las dimensiones de un rectángulo en el que la base mide 2 cm menos que la altura, y la diagonal, 10 cm.

a) 6 y 8 cm b) 4 y 6 cmc) 8 y 10 cm d) 7 y 9 cm

13.La base de un rectángulo mide el triple que la altura. Si disminuimos en 1 cm cada lado, el área inicial disminuye en 15 cm. Calcula el área del rectángulo inicial.

a) 4 cm2 b) 20 cm2 c) 48 cm2 d) 56 cm2

14.El largo de un terreno rectangular es el doble que el ancho. Si se aumenta el largo en 40 m y el ancho en 6 m. el área se duplica. Determina el área del terreno. a) 1500m2 b) 1600m2 c) 1700m2

d) 1800m2 e) 1900m2

15.Tenemos un alambre de 17 cm. ¿A cuántos centímetros de uno de los extremos debemos doblarlo para que forme un ángulo recto y sus extremos queden separados 13 cm?RPTA.- a 5 cm o 12 cm de uno de los extremos.

16.Resolver el sistema:x + 2y = 72x – y = 4

20.Resolver 2x + 3y = 26x – 12y = -1

21.La suma de dos números es 55; y uno de ellos es 9 unidades menor que el otro, determinar los números

22. Si:

6x 5y 48

x y4

3 6

Hallar: xa) 15 b) 12c) 18 d) 21 e) 9

23.Resolver el sistema:x5

+y3

=9

x3

− y9

=3

17.Resolver: x + 3y = 134x− y

= 2Y dar como respuesta el valor de x.

a) 2812 b)

2813

c) 2814 d)

2815 e) 6

18.Si x + 4 > 7, calcular el mínimo valor entero de “x”

a) 4 b) 3 c) 2d) 1 e) 0

19. Si x + 3 6, calcular el máximo valor de “x”.a) 2 b) 3 c) 8d) 1 e) 6

20. Calcular la suma de los valores de los números enteros “x”, tal que: 3 2 x 10

a) 12 b) 13 c) 14d) 15 e) 16

21.Si x + 2 0, calcular el mínimo valor de (x + 6)

a) 7 b) 8 c) 13d) 4 e) 5

22.Si x 1 ; 7, entonces a qué intervalo pertenece: x + 3

a) 3 ; 4 b) 4 ; 10 c) 3 ; 7d) 7 ; 10 e) N.A.

23.Resolver: x+4x−3

≥0

a. x - ; -4 3 ; 8 b. x - ; 2 3 ; 6c. x - ; -4 3 ; +d. x -3 ; 2 4 ; +

2

e. N.A.

3