Ecuaciones Ecuaciones diferenciales h homogneas

Objetivo: El alumno identificar las ecuaciones diferenciales como modelo matemtico de fenmenos fsicos y resolver ecuaciones diferenciales de primer orden.

Contenido: 1.1 Definicin de ecuacin diferencial. Ecuacin diferencial

ordinaria. Definicin de orden de una ecuacin fdiferencial.

1.2 Solucin de la ecuacin diferencial: general y particular. Definicin de solucin singular.

1.3 Problema de valor inicial. 1.4 Ecuaciones diferenciales de variables separables. 1 E i dif i l h 1.5 Ecuaciones diferenciales homogneas. 1.6 Ecuaciones diferenciales exactas, factor integrante. 1.7 Teorema de existencia y unicidad para un problema de 1.7 Teorema de existencia y unicidad para un problema de

valores iniciales

dAntecedentesAntes de estudiar las ecuaciones diferenciales Antes de estudiar las ecuaciones diferenciales

homogneas es necesario definir lo que es una funcin homognea.

Una funcin f(x, y) se llama homognea de grado n con respecto a las variables x, y, si

t d t ifi para todo t se verifica quef(tx, ty) = tn f(x, y)

j l ifiEjemplo 1 para verificar

3 2 3

3 2 3

, 2 5 4

2 5 4

f x y x x y y

f t t t t t t

3 3 3 2 3 3

, 2 5 4

2 5 4

f t x ty tx tx ty ty

t x t x y t y

3 3 2 3

3

2 5 4

,

t x x y y

t f x y

,t f x y

La funcin es una funcin homognea de grado 3

j l ifiEjemplo 2 para verificarCon la funcinCon la funcin

2 2

2 2

, x yf x yx y

2 2

2 2 2

,t x t y

f tx tyt x t y

t

2 2 2

2

2 2

t x yt x y

x y

0

0 ,

x ytx y

t f x y

Es una ecuacin homognea de grado cero ,f y

j l d ifi iEjemplo 3 de verificacin En el caso deEn el caso de

3 23, x x y xf x y y

3 2

3,

y

t x t x t y t xf t x t y

t y

3 3 3 2

3 3

t y

t x t x y t xt y

No es posible obtener el grado por lo tanto no es homognea

y

es homognea

fi i iDefinicinSe dice que una ecuacin diferencial de la Se dice que una ecuacin diferencial de la

forma , , 0M x y dx N x y dy

Es homognea si las funciones M y N son homogneas y del mismo grado

, ,y y yhomogneas y del mismo grado.

Tambin la funcinSer homognea si es una funcin

' ,y f x y ,f x y

homognea de grado cero

Mtodo de solucin

Una ecuacin diferencial homognea de la forma

Se resuelve reducindola a una ecuacin de variables , , 0M x y dx N x y dy

separables, usando cualquiera de las sustituciones bi d d i blyx o bien donde v es una nueva variable.

Para cada caso

yvx

vy

yyvx

y xv

xvy

y xvdy xdv vdx

x yvdx ydv vdy

Para tomar en cuentaAunque en teora cualquiera de las dos sustituciones Aunque en teora cualquiera de las dos sustituciones

reduce de una ecuacin homognea a una separable, se sugiere utilizar:

Si M tiene una estructura ms simple usar x yvdx ydv vdy

Si N tiene una estructura ms simple usary xvdy xdv vdx

Estrategia para resolver ED homogneashomogneas

1. Expresar la ED en la forma 0d d

2. Se verifica que las funciones M(x, y) y N(x,y) h d l i d d

, , 0M x y dx N x y dy sean homogneas del mismo grado de homogeneidad.

3 Se realiza el cambio de variable en M(x y) o en 3. Se realiza el cambio de variable en M(x, y) o en N(x, y)

4. Se sustituye en la ED, se separan las variables y 4. Se sustituye en la ED, se separan las variables y se integra.

5. Se regresa a la variable originalg g6. Se comprueba la solucin derivando

j i iEjercicio 1Clasificar y resolverClasificar y resolver.

3 3 2 0x y dx x y dy

3 3

2

,M x y x y

N x y x y

Es a ED homog ea? de q grado? q i

,N x y x y Es una ED homognea? de qu grado?, quin

tiene la estructura ms fcil?

j i iEjercicio 2Clasificar y resolverClasificar y resolver.

2 22 3 0x ydx y x dy 2 2

, 2

3

M x y x y

N x y y x

Es a ED homog ea? de q grado? q i

, 3N x y y x Es una ED homognea? de qu grado?, quin

tiene la estructura ms fcil?

li iAplicaciones Primer orden: Variacin de la presin Primer orden: Variacin de la presin

baromtrica, descarga de un condensador. Segundo orden: Movimiento armnico Segundo orden: Movimiento armnico

simple, pndulo simple, perfil de velocidad en un flujo de fluido.

TareaResolver las ecuaciones diferencialesResolver las ecuaciones diferenciales

1. x dy y dx x y dx

2 2 2x y xy y'2. x y xy y