Universidad Nacional De Ancash

“SANTIAGO ANTÚNEZ DE MAYOLO”

FACULTAD DE INGENIERÍA DE

MINAS, GEOLOGIA Y

METALURGIA

Ecuaciones diferenciales parciales

CURSO: MATEMATICA IV

DOCENTE: RUBEN LEIVA BERNUY

ALUMNO: AGUIRRE JARA VLADIMIR…………101.0802.428

HUARAZ

JULIO - 2012

ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES

Una ecuación diferencial es una ecuación en la que intervienen derivadas de

una o más funciones desconocidas. Dependiendo del número de variables

independientes respecto de las que se deriva, las ecuaciones diferenciales se

dividen en:

1. Si la función incógnita depende de una sola variable independiente en la

cual solo aparecen derivadas ordinarias, la ecuación diferencial se llama

‘’ecuación diferencial ordinaria’’

Ejemplos:

a) (1−x2 ) d2 ydx2 −2 x

dydx

+ p ( p+1 ) y=0 (E.D de Legendre)

b) (x−x2 ) x2 y

d x2 +[ γ− (α+β+1 ) x ] dydx

−αβy=0 (E.D de Gauss)

2. Si la función incógnita depende de varias variables independientes y las

derivadas son derivadas parciales, la ecuación diferencial se llama

‘’ecuación diferencial parcial’’

Ejemplos:

a)∂2ω∂ x2 + ∂2ω

∂ y2 + ∂2ω∂ z2 =0 , donde ω= f (x , y , z ) (E.D de Laplace)

b)∂2u∂ x2 + ∂2u

∂ y2 =f (x , y ) (E.D bidimensional de Poisson)

c) dzdx

+ dzdy

=x

ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

Una ecuación diferencial parcial para una función u ( x , y ,…) con derivadas

parciales ux , uy , uxx , uxy , u yy ,… , es una relación de la forma

F (x , y ,…,u ,ux , uy ,uxx , uxy , uyy ,…)=0…………(1)

Donde es una función de las variables

x , y ,…,u ,ux ,u y , uxx ,uxy ,u yy ,…

En donde solamente ocurrirán un número finito de derivadas.

Una función u ( x , y ,…) es solución de (1) si en alguna región del espacio

de sus variables independientes, la función y sus derivadas satisfacen la

ecuación idénticamente en ( x , y ,…).

Se puede también considerar un sistema de ecuaciones diferenciales

parciales; en este caso se consideran varias expresiones como las de

arriba conteniendo una o más incógnitas y sus derivadas parciales.

Una ecuación diferencial parcial es de orden n, si las derivadas de mayor

orden que ocurren en F son de orden n.

Las ecuaciones diferenciales parciales se clasifican también según el tipo

de función F considerada.

En particular tenemos la ecuación diferencial parcial lineal si F es lineal en

la función incógnita y sus derivadas, y la ecuación diferencial parcial casi-

lineal que es más general, si F es lineal en al menos una de las derivadas

de más alto orden.

El problema objeto de las EDP es el estudio de las soluciones. Por

solución de una EDP indicamos a una función teniendo todas las

derivadas parciales que ocurren en la EDP y que cuando se sustituye en

la ecuación la reducen a una identidad en todas las variables.

Por ejemplo la EDP de primer orden donde x e y son

las variables independientes y es la función incógnita tiene a

Por solución donde F(Y) es cualquier función diferenciable en y. asi

tenemos que

Son soluciones.

En esta forma vemos que las soluciones se pueden clasificar en

soluciones generales y soluciones particulares.

Para la determinación de las soluciones particulares se requiere de

condiciones auxiliares las cuales constituyen las llamadas las

condiciones iniciales y las condiciones de frontera.

En esta forma el problema de las EDP consiste en hallar las soluciones

bajo condiciones auxiliares, iniciales y/o en la frontera; obteniendo así los

llamados problemas de frontera o problemas de valores iniciales.

En el estudio de las soluciones de una EDP, se tienen tres preguntas

básicas:

1. ¿Existen las soluciones?

2. ¿Es la solución única?

3. ¿Es la solución estable?

Para la determinación de una solución particular se usan condiciones

especiales llamadas como ya lo dijimos las condiciones iniciales y/o las

condiciones de frontera.

TIPOS DE CONDICIONES

Se pueden clasificar en cuatro tipos:

1. CONDICIONES DE CAUCHY: Se desean soluciones donde las

funciones desconocidas y posiblemente sus derivadas ut donde 0≤ t<∞

son predeterminadas en la frontera cuando t=0 Este tipo de

condiciones son catalogadas como condiciones iniciales.

2. CONDICIONES DE DIRICHLET: La función incógnita es especificada

en cada punto en la frontera de la región de interés. Es pues un

problema de frontera.

3. CONDICIONES DE NEUMANN: Los valores de la derivada normal y de

la función incógnita son predeterminadas en cada punto en la frontera

de la región de interés.

4. CONDICIONES DE ROBIN: Valores de la suma de la función incógnita

u y de sus derivadas normales son predeterminadas en cada punto de

la frontera de la región de interés.

Un ejemplo típico ilustrando algunas de estas condiciones es dado por

Condiciones de Dirichlet son dadas por CF cuando x=0 y condiciones

Neumann ocurren en CF cuando x=p y condiciones de Cauchy se tienen

en CI cuando t=0.

La ecuación

Es llamada ecuación diferencial parcial lineal de segundo orden en dos

variables.

Cuando G ( x , y )=0 la ecuación es llamada EDP lineal homogénea de

segundo orden

ECUACIONES LINEALES Y CASI-LINEALES

Las ecuaciones de primer orden, en general, presentan interpretaciones

geométricas interesantes. Será conveniente entonces restringir la

discusión al caso de dos variables independientes, pero es claro que la

teoría podrá ser extendida inmediatamente a cualquier número de

variables. Consideramos entonces ecuaciones de la forma

a (x , y ,u ,ux , uy )=F ( x , y , u , p , q )=0……….(1)

ECUACIÓN GENERAL DE PRIMER ORDEN PARA FUNCIONES EN DOS

VARIABLES

Una ecuación diferencial parcial general de primer orden para funciones

de dos variables z (x , y ) y sus derivadas zx=p z y=q, puede ser escrita en

la forma

F ( x , y , z , p , q )=0………… (1)

Sorprendentemente al resolver una ecuación de primer orden más

general el análisis se reduce a la resolución de un sistema de ecuaciones

diferenciales ordinarias. La geometría, sin embargo, no necesariamente

es tan simple como para las ecuaciones casi-lineales, donde se hacía

referencia principalmente a las curvas integrales. En el caso general nos

referiremos, como se verá, a objetos geométricos más complicados,

llamados fajas (o tiras).

METODO DE SOLUCIONES DE LA ECUACION

dxP=dy

Q=dz

R

a) METODO DE LAS PROPORCIONES

De la ecuación original obtenemos dos relaciones de la forma:

u1 ( x , y , z )=c1;u2 ( x , y , z )=c2

Involucrando dos constantes arbitrarias, entonces variando estas

dos constantes obtenemos una familia a dos parámetros cumpliendo

la ecuación original. En particular, para hallar las funciones u1 yu2 se

observa que para cualquier dirección tangencial a través del punto

( x , y , z ) a la superficie u1 ( x , y , z )=c1 se satisface la relación

∂u1

∂ xdx+

∂u1

∂ ydy+

∂u1

∂ zdz=0

Si u1=c1 es un adecuado sistema de superficies a un parámetro, la

dirección tangencial a la curva integral a través de cualquier punto

( x , y , z ) es también una dirección tangencial a esta superficie. Por lo

tanto:

P∂u1

∂x+Q

∂u1

∂ y+R

∂u1

∂ z=0

Para hallar u1 (y, análogamente u2) experimentamos con un buen

número de funciones P’, Q’, R’, de tal manera que se cumpla:

P P'+QQ'+RR '=0

y tales que exista una función u1 con la propiedad

P=∂u1

∂ x,Q=

∂u1

∂ y, R=

∂u1

∂ z

Es decir, tal que P' dx+Q 'dy+R' dz

Sea una forma diferencial exacta d u1.

b) METODO DE CHARPIT

Para resolver la ecuación diferencial parcial

f ( x , y , z , p , q )=0……….(1)

Donde como siempre

p= ∂ z∂ x

y q= ∂z∂ y

Charpit introduce una segunda ecuación diferencial parcial de primer

orden

g ( x , y , z , p , q , a )=0……(2)

La cual contiene una constante arbitraria a y tal que,

Las ecuaciones (1) y (2) pueden resolverse para dar

p=p ( x , y , z , a ) ,q=q ( x , y , z , a )

La ecuación

dz=p ( x , y , z , a )dx+q ( x , y , z , a )dy…… (3)

Es integrable.

Cuando tal función g ha sido determinada, la solución de la ecuación

(3) F ( x , y , z , a ,b )=0 conteniendo dos funciones arbitrarias a ,b será

la solución de la ecuación (1)

c) MÉTODO DE JACOBI

Para resolver la ecuación diferencial parcial

F ( x , y , z , p , q )=0………… (1)

Donde

p= ∂ z∂ x

y q= ∂z∂ y

Dependiendo del hecho de que si

u ( x , y , z )=0

Es una relación entre x , y Y z

entonces

…….(2)

Donde ui denota

∂u∂ xi

(i=1,2 )……………(3)

Si sustituimos las ecuaciones (2) en (1) obtenemos una ecuación

diferencial parcial del tipo

f (x , y , z , u1, u2 , u3 )=0………….(4)

En la cual la nueva variable dependiente u no aparece.

La idea fundamental del método de Jacobi es la introducción de dos

ecuaciones diferenciales de primer orden

g (x , y , z , u1 ,u2, u3 , a )=0 , h (x , y , z , u1 ,u2 , u3 ,b )=0…………(5)

Involucrando dos constantes a y b, de tal manera que

Las ecuaciones (4) y(5) pueden resolverse para u1 ,u2 , u3

La ecuación

du=u1dx+u2dy+u3dz……………6

Obtenida para estos valores u1 ,u2 , u3 sea integrable.

Cuando estas funciones pueden ser determinadas, la solución de la

ecuación (6) contiene tres constantes arbitrarias y será la solución

completa de (4)

Como en el método de Charpit, la dificultad radica en la

determinación de las ecuaciones auxiliares (5).

Tenemos, en efecto, que hallar dos ecuaciones que sean

compatibles con (4).

Es un ejercicio muy fácil pero laborioso mostrar que

f (x , y , z , u1, u2 , u3 )=0 y g (x , y , z , u1 ,u2, u3 , a )=0

son compatibles si

∂( f , g)∂(x ,u1)

+∂(f , g)∂( y ,u2)

+∂( f , g)∂(z , u3)

=0

Ahora g y h tendrán su solución dada por la ecuación diferencial

parcial siguiente:

f u1∂g∂ x

+ f u2∂ g∂ y

+ f u3∂ g∂ z

−fx∂ g∂u1

−fy∂ g∂u2

−fz∂ g∂u3

=0…… ..(7)

Se procede entonces como en el método de Charpit.

ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES DE SEGUNDO ORDEN

En las páginas anteriores consideramos la solución de una ecuación

diferencial parcial de primer orden. Ahora procedemos a discutir las

ecuaciones deferenciales parciales de segundo orden.

El origen de las ecuaciones de segundo orden.

Supóngase que la función z está dada por una expresión del tipo

z=f (u )+g (v )+w…………… ..1

Donde f y g son funciones arbitrarias de x y a y, respectivamente, y

u,v y w son funciones respectivamente de x y de y. Entonces

escribiendo

p= ∂ z∂ x

,q= ∂ z∂ y

, r=∂2 z∂ x

, s= ∂2 z∂x ∂ y

, t=∂2 z∂ y

……………2

Diferenciando ambos lados de (1) con respecto a x y a y, hallamos

que

y de aquí se sigue que

Ahora tenemos cinco ecuaciones involucrando cuatro funciones arbitrarias, f ' , f ' ' , g' , g ' ' . Si eliminamos estas cuatro cantidades de las cinco

……….3

La cual envuelve solamente las derivadasp ,q , r , s , t y

funcionesdependientes de x e y. Es por lo tanto una ecuación

diferencial parcial de segundo orden. Además si expandemos el

determinante en el lado izquierdo de la ecuación (3) en términos de

la primera columna, obtenemos una ecuación de la forma

………………….4

Donde R, S, T, P, Q, W son funciones conocidas de x e y. Por lo

tanto relación (1) es solución de la ecuación diferencial parcial

lineal de segundoorden (4). Notamos que la ecuación (4) es de un

tipo particular: La variableno interviene en ella. Como ejemplo

del procedimiento del último parágrafo, suponemos que:

……….5

Donde f y g son funciones arbitrarias y a es una

constante.

Si diferenciamos (5) dos veces con respecto a x obtenemos la

relación

Mientras que si derivamos dos veces con respecto a y, obtenemos la

relación:

Así que las funciones z las cuales pueden ser expresadas en la

forma (5) deben satisfacer la ecuación diferencial parcial

.............6

Métodos análogos se aplican en el

caso de ecuaciones de mayor orden. Es

fácilmente demostrable que cualquier relación del tipo:

……………7

Donde las funciones fr son arbitrarias y las funciones vr son

conocidas, conduce a una ecuación diferencial parcial lineal de

orden n. Las ecuaciones diferenciales parciales que consideramos

en esta sección son ecuaciones lineales.

Ecuaciones diferenciales parciales lineales con coeficientes constantes

Consideremos ahora la

solución de un tipo especial

de ecuación diferencial parcial lineal con coeficientes constantes.

Para tales

ecuaciones

utilizamos la siguiente notación:

……………1

Donde F (D, D’) denota un operador diferencial del tipo:

…………….2

En donde las cantidades crs son constantes

La solución más general, es decir, conteniendo el número correcto

de elementos arbitrarios, de la correspondiente ecuación diferencial

homogénea

…………….3

es llamada la función complementaria de la ecuación (1), justo como

en la teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias. Análogamente

alguna solución de la ecuación (1) es llamada solución particular.

Como en la teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias el siguiente

resultado es básico.

CLASIFICACION DE LAS E.D.P LINEALES DE SEGUNDO ORDEN EN

DOS VARIABLES

CASO DE LOS COEFICIENTES CONSTANTES

METODO DE SEPARACION DE VARIABLES: nos permite determinar

OTROS METODOS DE SOLUCION PARA EDPH

BIBLIOGRAFIA

Análisis matemático. Eduardo Espinoza ramos

Haberman R. Elementary Applied Partial Differential Equations

Prentice-Hall. 1983

Mijálov, V.P, Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales

Mir Moscú. 1980.

Peral, A.I. Addison-Ecuaciones en Derivadas Parciales

Wesley/Universidad autónoma de Madrid

Ecuaciones Diferenciales Parciales

http://web.fc.uaem.mx:8080/material/matematicas/192 notas1.pdf