Ecuaciones Dinamica de Sistemas 2013 2

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Desarrollo de pensamiento sistmico usandoecuaciones diferenciales y dinmica de sistemas

DESARROLLO DE PENSAMIENTO SISTMICO USANDOECUACIONES DIFERENCIALES Y DINMICA DE SISTEMAS


Rafael Ernesto Bourguet Daz

Departamento de Ingeniera Industrial y de Sistemas

CIAP-601-i

ITESM Campus Monterrey

4 de octubre de 2005


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ResumenEl propsito de este ensayo docente es exponer el uso y apreciaciones de usar un lenguaje

matemtico, como ecuaciones diferenciales, y un lenguaje grfico de simulacin computacional,como el propuesto por dinmica de sistemas, para desarrollar la habilidad de pensar dinmica ysistmicamente en alumnos de ingeniera industrial y de sistemas. El problema que motiva esta

exploracin es la necesidad de capitalizar, en el entendimiento y diseo de nuestros sistemassociales, los conocimientos sobre estructuras de sistemas complejos que otras disciplinados hanestudiado y representado matemticamente. Se fundamenta la interseccin entre los doslenguajes mencionados. Se presenta un ejemplo a manera de ilustracin, y se discuten losresultados principales observados en el proceso de aprendizaje de los alumnos. Finalmente, semencionan los beneficios potenciales que se podran alcanzar en otros contextos y cursos.

Palabras clavePensamiento sistmico, dinmica de sistemas, ecuaciones diferenciales.

Introduccin

Disear sistemas en los cuales los propsitos individuales y colectivos, locales y globales,actuales y futuros encuentren armona es la razn de la prctica del pensamiento sistmico.Pensamiento sistmico es una forma de percibir la realidad a travs de las interacciones entre laspartes y los procesos de cambios que se generan (Senge, 1990). Propiedades emergentes ycomportamientos contratintuitivos de sistemas sociales son temas centrales de estudio delenfoque sistmico (Forrester, 1995), (Sterman, 2000), (Gharajedagui, 1999) y (Checkland,1990).

Disear sistemas dinmicos fsicos, como controles automticos para aviones, plantaqumicas, satlites artificiales, entre algunos, son ejemplos en donde las representacionesmatemticas como las ecuaciones diferenciales y sus operaciones de transformadas han mostradoser eficaces (Kailath, 1980).

Diseos de sistemas sociales desde el punto de vista sistmico y diseos de sistemasfsicos como los mencionados comparten como parte central los principios de realimentacin.An cuando los sistemas fsicos diseados artificialmente son mucho menos complejos que lossistemas sociales, estos muestran patrones de comportamientos parecidos en algunos aspectos alos fsicos, lo cual sugiere la investigacin sobre si podramos disearlos de manera ms formal yno slo con la base de experiencia ganada en la prctica y buena intencin de las personas.

Se plantea entonces una pregunta relevante para maestros y alumnos en ingenieraindustrial y de sistemas: seremos capaces de re-usar el conocimiento formal de los sistemasdinmicos generados por las diferentes ciencias (fsica, qumica, etc.) e ingenieras (elctrica,mecnica, etc.) en el diseo de polticas de mejora para nuestros sistemas sociales (empresas,organizaciones, etc.)? Primeramente, se requiere un lenguaje comn para el intercambio deconocimiento.

FundamentosEl lenguaje comn resulta ser la representacin de variables de estado. Esta

representacin permite modelar sistemas realimentados, no lineales, altamente acoplados yvariantes en el tiempo. Caractersticas de los sistemas complejos, tales como, nuestros sistemassociales.


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La representacin de variables de estado de manera general y en su formato mselemental es: donde fes una funcin vector no lineal de estados, es el vector deestados de , representa el nmero de estados considerado en el sistema, es el vector deentradas de , m es el nmero de entradas, y tdenota la dependencia del tiempo (Kailath,1980) y (Slotine & Li, 1991). Se ha preferido ilustrar enseguida con un ejemplo el efecto de

aprendizaje en los alumnos, en lugar de entrar en detalles tcnicos de la representacin,considerando el objetivo y contexto de este foro de investigacin.

),,( tuxfx =& x

1xn n u

1xm

Ejemplo de aplicacinSe plantea en el saln de clases, la situacin real sobre la reintroduccin del lobo gris en parte deEstados Unidos. Se pide a los alumnos evaluar las consecuencias de esta decisin y entoncesproponer alternativas si es que algn efecto no esperado y no deseado apareciera. Desde elenfoque de sistema y objetivo del curso se busca abrir la ventana de percepcin de tiempo de losalumnos en este ejercicio para ilustrar el hecho de que causa y efecto no se encuentran cercanosen tiempo en sistemas complejos. El problema que se presenta aqu es la intervencin del hombreen la naturaleza nuevamente para modificarla y los efectos que podran tener estas decisiones en

la interaccin que tenemos con nuestro medio ambiente.La situacin es la siguiente: A inicios de 1995, despus de mucha controversia, debate

pblico y 70 aos de ausencia del lobo gris, ste fue reintroducido en el Parque Nacional deYellowstone y en la parte central de Idaho. Desde la extincin del lobo en los 1920s, cambiossignificativos haban sido registrados en las poblaciones de otros animales. Por ejemplo, lapoblacin del coyote haba crecido en la ausencia de competencia. El xito del lobo dependerade cmo influenciara y fuera influenciado por otras especies en el ecosistema. (Zill, 1997). Elmodelo propuesto por (Knickerbocker, citado por Zill, 1997) es el siguiente y tiene la finalidadde mostrar algunos efectos entre las poblaciones de lobos, alces y coyotes:

.015.0)0(,0.2)0(,0.60)0(

005.012.0

001.006.0

85.0003.004.0

===

+=

+=

=

WCE

EWWdt

dW

ECCdt

dC

EWECEdt

dE

dondeE, Cy Wrepresentan las poblaciones de alces, coyotes y lobos en miles, respectivamente.La variable trepresenta aos y es partir de 1995.

El modelo debe ser resuelto con algn paquete computacional como Maple o Matlab parapoder observar y analizar las respuestas. En su lugar, se propone el uso de Vensim, paqueteespecialmente diseado para desarrollar pensamiento sistmico usando dinmica de sistemas.

En clase, los alumnos construyen primeramente el modelo con el lenguaje grfico desimulacin usando lpiz y papel. El ejercicio inicia de manera individual y se contina con unintercambio de ideas con el compaero de a lado. Esta actividad puede tomar entre 15 y 20minutos. Inmediatamente despus, se inicia la construccin del modelo en el simulador demanera grupal. Un par de alumnos implementan las aportaciones del grupo en la computadora,mientras el maestro orquesta la participacin. Durante este tiempo, el modelo en construccin seproyecta frente al grupo, lo cual permite que los dems alumnos, trabajando tambin en pares,sigan cada unos de los pasos y construyan el modelo en sus propias lap-tops.


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El modelo una vez traducido se muestra en la Figura 1. Los rectngulos representanniveles de acumulacin y son los estados del sistema, en este caso, las poblaciones de animales.Las tuberas con vlvulas representan razones de cambio de los niveles. En la figura se puedeobservar las interacciones de manera explcita entre las diferentes variables (arcos dirigidos).Asimismo, los dos procesos de cambio ms importantes se muestran con los smbolos de

balance. Estos son: (1) a mayor poblacin de lobos, menor poblacin de alces. A menorpoblacin de alces, menor poblacin de lobos. El proceso (2) indica que a mayor poblacin decoyotes, menor poblacin de alces. A menor poblacin de alces, menor poblacin de coyotes.

Los alumnos en clase discuten sobre las interacciones que tienen las variables y proponensus hiptesis para ser validadas con el simulador. La pregunta principal es cules son los efectosen las poblaciones de alces y coyote al reintroducir nuevamente al lobo gris en el ecosistema?Los resultados de simulacin se muestran en las Figuras 2, 3 y 4.

ElkPopulation

WolfPopulation

CoyotePopulation

Deaths byCoyotes

Deaths byWolves

Births of Elk

Births ofWolves

WolvesCompetition

CoyotesCompetition

Births of Coyotes

Figura 1 Diagrama de niveles y razones de cambio para el modelo de Knickerbocker

La Figura 2 muestra resultados de 10 aos de programa y estos son alentadores, dado que

la poblacin de los lobos (curva inferior) crece sin afectar significativamente a la de los coyotes(curva de en medio) ni la de alces (curva superior). Aqu, se les pregunta a los alumnos si deberadarse un reconocimiento a quien tom la decisin de reintroducir al lobo gris. La mayoraresponde que si. No hay cambios de polticas.

Wolf - Elk - Coyotes Populations

0.4 wolves80 elk 4 coyotes


0 wolves0 elk 0 coyotes

1995 1997 1999 2001 2003 2005Time (Year)

Wolf Population : Current wolvesElk Population : Current elk Coyote Population : Current coyotes

Figure 2 Poblaciones despes de 10 aos

En la Figura 3, se muestran los resultados despus de 50 aos de programa, sinmodificaciones a la poltica original. Aqu se observa que el sistema est a punto de colapsarse.


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La mayora de los alumnos no esperaban este efecto. Se comenta que el nuevo administradorhaba seguido los pasos de su antecesor, dado que haba sido exitoso: si haba trabajado antes,porqu no entonces ahora. Lo que ha de haber pasado es que no segu bien los pasos de miantecesor. Se comenta que si bien la persona a cargo se le considera la responsable, la estructuraconstruida con la poltica inicial est provocando este patrn de comportamiento. Posiblemente,

en el debate antes de 1995, algunas personas haban percibido este escenario, por lo que nodeseaban la reintroduccin del lobo. Es decir, el debate se presentaba en las discusiones de losefectos de corto y largo plazo.





1995 2005 2015 2025 2035 2045Time (Year)


Figura 3 Poblaciones despus de 50 aos

En la Figura 4, se muestra ahora el comportamiento de las poblaciones despus de 200aos sin modificar la poltica original. Se observa un comportamiento cclico, el cual tampoco loesperaban los alumnos. Se observa la desaparicin del coyote de ese territorio, quedandonicamente los lobos y los alces. Es decir, se observa un efecto no deseado y no esperado. Eneste punto, se les pide a los alumnos generar un plan de accin. Algunas de las propuestas quesurgen es abrir temporadas de caza de lobos, tener control de natalidad de los lobos, etc.





1995 2025 2055 2085 2115 2145 2175Time (Year)


Figura 4 Poblaciones despus de 200 aos

Un resultado valioso del ejercicio es que empiezan los alumnos a darse cuenta que losefectos de las decisiones o cambios en polticas que se tomen, muy probablemente no las verquien las propuso o accion: causa y efecto no estn cercanos en espacio y tiempo cuando sehabla de sistemas complejos.


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Una vez terminado el ejercicio, se reflexiona sobre las acciones en los sistemas que nosrodean, por ejemplo, los cambios de programas en cada sexenio por cambio de presidente. Otros,son las obras de hacer ms atractivas las grandes ciudades, lo cual hace que cada vez llegue msgente y se hagan ms difciles los problemas, problemas de industrializacin y contaminacin,entre algunos.

Se aprecia entonces que el modelo matemtico que en un principio pareca estar fuera delentendimiento comn puede ahora discutirse, generar polmica y finalmente ayudar a estructuraruna discusin para encontrar un plan de corto y largo plazo para este sistema.

ConclusionesSe ha presentado el uso de dos lenguajes, uno con ecuaciones diferenciales y otro con

smbolos para simulacin por computadora para desarrollar pensamiento sistmico. El ejemplomostrado, inicialmente fue un proyecto de clase. Los resultados fueron presentados por unequipo de alumnos en formato de pster en el primer congreso latinoamericano de Dinmica deSistemas en 2003. Ahora forma parte de un ejercicio de clase.

Se concluye que los dos lenguajes, junto con el lenguaje a travs de palabras son

complementarios. Si bien el lenguaje con palabras es muy rico y muchos lo entienden queda aexpensas de interpretaciones, generando ambigedad. El lenguaje simblico elimina parte de laambigedad y habilita el pensamiento circular representado en ciclos, sin embargo, menospersonas lo entienden y deber ensearse para entender el mensaje. El lenguaje numrico de lasecuaciones elimina por completo la ambigedad, sin embargo, menos personas lo entiende dadoque el mensaje est altamente codificado.

El desarrollo entonces de pensamiento sistmico requiere de estos tres lenguajes. Losalumnos de dan cuenta de esto y valoran entonces los modelos de su libro de ecuacionesdiferenciales. De hecho, pueden ahora ver en moviendo todas las funciones matemticas queestuvieron estudiando en su curso de ecuaciones diferenciales.

CapitalizacinActualmente, el ejemplo de aplicacin expuesto es usado por otra profesora de Dinmica

de Sistemas en sus cursos de maestra y profesional. Asimismo, este trabajo motiv lainvestigacin del proceso inverso, es decir, pasar modelos de pensamiento sistmico aecuaciones diferenciales. Los resultados de esta investigacin se expusieron a la crtica en eltrabajo Estructuras matemticas de arquetipos sistmicos (Bourguet & Prez, 2003) en elcongreso internacional nmero 21 de Dinmica de Sistemas.

As como se empleo un ejemplo de ecosistemas, se pueden utilizar modelos de cadenasde suministro, de cadenas de formacin de recursos humanos, de problemas de fsica, dequmica, de negocios y administracin.

Si bien en este ensayo se trat un modelo matemtico traducido a un modelo desimulacin, lo inverso tambin es de gran utilidad. Generar modelos de simulacin querepresenten situaciones problemticas y despus obtener el modelo matemtico correspondiente.Es decir, usando el lenguaje grfico de simulacin se pueden entonces formular hiptesis ybuscar leyes que expliquen el comportamiento de sistemas sociales.

Ciertamente, estamos an lejos de poder disear nuestros sistemas sociales, sin embargosi adquiriremos una mayor conciencia de nuestras responsabilidades al percibir las causas-efectos lejanas en tiempo y espacio.


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ReferenciasBourguet, R. E. y Prez, G. (2003). On Mathematical Structures of Systems Archetypes. EnProceedings of the 21st International System Dynamics Conference. Nueva York, E.U.A.:System Dynamics Society.

Checkland, P. & Scholes (1990). The developed form of soft systems methodology. En Softsystems methodology in action. (Cap. 2, 18-27). Estados Unidos de Amrica: John Wiley & SonsLtd.

Gharajedagui, J. (1999). Systems Principles. En Systems thinking: managing chaos andcomplexity: a platform for designing business architecture. (Cap. 2, 45-55). Estados Unidos deAmrica: Butterworth/Heinemann.

Forrester, J. W. (1995). Counterintuitive behavior of social systems. Road Map D-4468-2.Recuperado el 28 de agosto de 2005, de http://sysdyn.clexchange.org/road-maps/rm-toc.html

Kailath, T. (1980).Linear Systems. Estados Unidos de Amrica: Prentice-Hall.Senge, P. (1990). Prisioners of the system, or prisioners of our thining. En The fifth discipline:the art and practice of the learning organization. (Cap. 3, 27-54). Estados Unidos de Amrica:Doubleday.

Slotine, J-J. E. & Li, W. (1991).Applied nonlinear control. Estados Unidos de Amrica:Prentice-Hall, Inc.

Sterman, J. D. (2000). Learning in and about complex systems. En Business dynamics: systemthinking and modeling for a complex world. (Cap. 1, 5-10). Estados Unidos de Amrica:Irwin/McGraw-Hill.

Zill, D. G. 1997.A First Course in Differential Equations. 5th edition. Brooks/Cole Publishing.

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