ecuaciones direrenciales exactas

Ecuaciones Diferenciales Exactas Ecuaciones Diferenciales - p. 1/15

Ecuaciones Diferenciales (MA-841)

Ecuaciones Diferenciales ExactasDepartmento de Matemticas / CSI

ITESM

Diferencial TotalEjemplo 1Ejemplo 2Ecuacion ExactaEjemplo 3Metodo deSolucionEjemplo 4Ejemplo 5


Ecuaciones Diferenciales Exactas

En el curso de clculo de varias variables sedefini el diferencial total de una funcin de dosvariables f(x, y) por la ecuacin (3.1) siguiente:

df(x, y) =f(x, y)

xdx+

f(x, y)

ydy (3.1)

Para saber el valor del diferencial total en un punto(x0, y0), hay que conocer los diferenciales de lasvariables independientes, esto es dx y dy paraposteriormente evaluar. En esta evaluacin puedeser que el valor encontrado para el diferencial totalsea diferente de cero o bien, idnticamente cero.



Sin embargo, existe una funcin f(x, y) para lacual el valor de su diferencial total simpre serigual a cero, sin importar el punto (x0, y0) y loscorrespondientes dx y dy. Esta funcin f(x, y) estadefinida por la ecuacin (3.2)

f(x, y) = cte (3.2)No es difcil probar la aseveracin anterior, ya quecuando una funcin es igual a una constante, elincremento de la funcin f(x, y) y el diferencialtotal tienen exactamente el mismo valor de cero.



Esto es, si f(x, y) = cte entonces

df(x, y) = f(x, y) = f(x+x, y+y)f(x, y) = ctecte = 0(3.3)

La ecuacin (3.3) es una prueba general, paramostrar de forma especfica lo anterior, considereel siguiente ejemplo.



Ejemplo 1

Si f(x, y) = ex+y = 1, muestre que su diferencialtotal vale cero.SolucinLo primero que tenemos que hacer para mostrarque el diferencial vale cero, es determinar eldominio de f(x, y). Para que la funcin ex+y seasimpre igual a 1, se requiere que el exponentex+ y sea siempre igual a cero, para con ello tener

ex+y = e0 = 1

luego el dominio de la funcin es el conjunto depuntos tales que x+ y = 0 o bien la recta

y = x

Aplicando diferenciales a la ecuacin que define eldominio de f(x, y) encontramos un relacin entrelos diferenciales dada por

dy = dx



Ahora, calculemos el diferencial total def(x, y) = ex+y y apliquemos dy = dx

df(x, y) = f(x,y)x

dx+ f(x,y)y

dy

df(x, y) = (ex+y)dx+ (ex+y)dy

df(x, y) = (ex+y)dx+ (ex+y)(dx)

luegodf(x, y) = 0

que es lo que se deseaba mostrar.



Se puede modificar el valor de la constante yveremos que el resultado que se encuentre simpreser cero, aunque en algunas ocasiones ser msfcil que en otras mostrar lo que nos piden. En losucesivo, consideraremos que si f(x, y) = cte, sudiferencial total siempre vale cero sin importar elvalor de la constante y el punto en que se pida.



Ejemplo 2

Determine el diferencial total de cada funcin dedos variables.1. f(x, y) = ln(x2 + 3y) + xsen(y) = 5



Ejemplo 2


df(x, y) = f(x,y)x

dx+ f(x,y)y

dy

df(x, y) =(2x

x2+3y+ sen(y)

)dx+

(3

x2+3y+ xcos(y)

)dy = 0

2. f(s, t) = tan1( ts) = pi

2



Ejemplo 2


df(x, y) = f(x,y)x

dx+ f(x,y)y

dy

df(x, y) =(2x

x2+3y+ sen(y)

)dx+

(3

x2+3y+ xcos(y)

)dy = 0

2. f(s, t) = tan1( ts) = pi

2

df(s, t) = f(s,t)s

ds+ f(s,t)t

dt

df(s, t) =(

ts2+t2

)ds+

(s

s2+t2

)dt = 0

3. f(r, ) = rsec() + cos() = 4



Ejemplo 2


df(x, y) = f(x,y)x

dx+ f(x,y)y

dy

df(x, y) =(2x

x2+3y+ sen(y)

)dx+

(3

x2+3y+ xcos(y)

)dy = 0

2. f(s, t) = tan1( ts) = pi

2

df(s, t) = f(s,t)s

ds+ f(s,t)t

dt

df(s, t) =(

ts2+t2

)ds+

(s

s2+t2

)dt = 0

3. f(r, ) = rsec() + cos() = 4df(r, ) = f(r,)

rdr + f(r,)

d

df(r, ) =sec()dr + (rsec()tan() sen())d = 0



Ecuacin Diferencial Exacta

Una ecuacin diferencial de la forma

M(x, y) dx+N(x, y) dy = 0

se dice que es una ECUACION DIFERENCIALEXACTA si existe una funcin f(x, y) = cte tal que:

f(x, y)

x= M(x, y)

f(x, y)

y= N(x, y)







f(x, y)

x= M(x, y)

f(x, y)

y= N(x, y)

y adems M(x, y) y N(x, y) cumplen con lasiguiente igualdad

M(x, y)

y=

N(x, y)

x







f(x, y)

x= M(x, y)

f(x, y)

y= N(x, y)

y adems M(x, y) y N(x, y) cumplen con lasiguiente igualdad

M(x, y)

y=

N(x, y)

x

y la solucin de dicha ecuacin diferencial es

f(x, y) = cte



En la teora del clculo en varias variables laigualdad M/x = N/y resulta ser unacondicin necesaria y suficiente para la existenciade f(x, y). Es decir, existe f(x, y) tal que sudiferencial total es

M(x, y) dx+N(x, y) dy

si y solamentef(x, y)

x= M(x, y) y f(x, y)

y= N(x, y)

Aqu juega un papel importante del teorema deClairaut que dice que las parciales cruzadas, encaso de existir y ser continuas, son iguales.



Ejemplo 3

Indique el valor de b para que la siguienteecuacin diferencial sea exacta:(

b x2 y + 3x y2)dx+ x2 (x+ 3 y) dy = 0



Mtodo de Solucin

El mtodo de solucin de una ecuacin exacta


consiste la determinacin de la funcin f(x, y)cuya diferencial total es el lado izquierdo de la ED.



Mtodo de Solucin



consiste la determinacin de la funcin f(x, y)cuya diferencial total es el lado izquierdo de la ED.El procedimiento es prestado del curso de clculoen varias variables.



Mtodo de Solucin




Paso 1. Verifique que la ED sea exacta:Nx = My



Mtodo de Solucin




Paso 1. Verifique que la ED sea exacta:Nx = My

Paso 2. La funcin buscada f(x, y) es casi laintegral parcial de M(x, y) respecto a x:

f(x, y) =

M(x, y) dx+ h(y)



Paso 3. Determine h(x) derivando parcialmenterespecto a y la integral anterior eigualando a M(x, y):f(x, y)

y= N(x, y) =

y

M(x, y) dx+h(y)




y= N(x, y) =

y

M(x, y) dx+h(y)

h(y) = N(x, y)

y

M(x, y) dx




y= N(x, y) =

y

M(x, y) dx+h(y)

h(y) = N(x, y)

y

M(x, y) dx

Paso 4. Determine h(y) integrando respecto a y ah(y).




y= N(x, y) =

y

M(x, y) dx+h(y)

h(y) = N(x, y)

y

M(x, y) dx

Paso 4. Determine h(y) integrando respecto a y ah(y).

Paso 5. Forme f(x, y):

f(x, y) =

M(x, y) dx+ h(y)



Ejemplo 4

Determine la solucin general a:(24x2 y + 8x y2

)dx+ x2 (8x+ 8 y) dy = 0

A 72x3 y + 4x2 y2 = C

B 24x3 y + 8x2 y2 = C

C 72x3 y + 16x2 y2 = C

D 8x3 y + 4x2 y2 = C

E 24x3 y + 4x2 y2 = C

F 8x3 y + 16x2 y2 = C

G 16x3 y + 4x2 y2 = C

H 8x3 y + 8x2 y2 = C



Ejemplo 5

Determine la solucin general a:(6x2 + 9 y2

)dx+

(18x y + 12 y2

)dy = 0

A 2x3 + 9x y2 + 4 y3 = C

B 2x3 + 9x y2 + 12 y3 = C

C 6x3 + 9x y2 + 12 y3 = C

D 6x3 + 9x y2 + 4 y3 = C

E 6x3 + 18x y2 + 12 y3 = C

F 18x3 + 36x y2 + 81 y3 = C

G 2x3 + 18x y2 + 4 y3 = C

H 2x3 + 18x y2 + 4 y3 = C

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