Definición de ecuaciones exactas
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Ecuaciones diferenciales exactas , características y ejemplos de ellas , ¿cómo llevar una ecuación diferencial a exacta? Definición: Una ecuación diferencial de primer orden M (x,y) dx + N(x,y) = 0 se dice que es exacta si y solo si existe una función U(x,y) tal que el diferencial total de U, denotado por dU (x,y), sea igual a M(x,y)dx + N(x,y)dy; es decir: En estos casos, como dU(x,y)=0, la solución de la ecuación propuesta, que se obtiene por integración, viene dada en forma implícita por U(x,y)=C. Prueba de exactitud: La ecuación diferencial M (x,y)dx +N(x,y)dy=0 es exacta cuando Para demostrarlo, se puede realizar en diversos sentidos: a.) En el sentido de izquierda a derecha:
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Ecuaciones diferenciales exactas , características y ejemplos de ellas , ¿cómo llevar una ecuación diferencial a exacta? Muestra la Prueba de exactitud en ambos sentidos
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Ecuaciones diferenciales exactas , caractersticas y ejemplos de ellas , cmo llevar una ecuacin diferencial a exacta?
Definicin:Una ecuacin diferencial de primer orden M (x,y) dx + N(x,y) = 0 se dice que es exacta si y solo si existe una funcin U(x,y) tal que el diferencial total de U, denotado por dU (x,y), sea igual a M(x,y)dx + N(x,y)dy; es decir:
En estos casos, como dU(x,y)=0, la solucin de la ecuacin propuesta, que se obtiene por integracin, viene dada en forma implcita por U(x,y)=C.
Prueba de exactitud:La ecuacin diferencial M (x,y)dx +N(x,y)dy=0 es exacta cuando
Para demostrarlo, se puede realizar en diversos sentidos:a.) En el sentido de izquierda a derecha:
Suponer que M(x,y)dx + N(x,y)dy=0 es exacta. Se tiene que demostrar que es decir, My (x,y) = Nx (x,y)Si M (x,y) dx + N (x,y) dy = 0 es exacta, existe una funcin U (x,y) tal que:
Derivando con respecto a y la primera de estas ecuaciones con respecto a x la segunda, se tiene:
b.) En el sentido de derecha a izquierdaSupngase que M y (x,y) = Nx (x,y). Hay que demostrar que existe una funcin U tal que
O sea, U debe satisfacer simultneamente dos condiciones:
Considerando la funcin U definida por:
Para la cual se cumple que
Por lo tanto basta con demostrar que existe una funcin f(y) tal que
Pero,
Es decir,
Para que esta ltima igualdad sea verdadera, basta con que la expresin
Dependa nicamente de y; o sea, que la derivada parcial respecto a x de esa expresin sea igual a cero. En efecto
As, como f(y) depende solo de y, entonces
Por lo tanto existe una funcin U tal que
En los casos en los cuales una ecuacin diferencial en la que M (x,y) dx + N(x,y) = 0 es no exacta, sta se puede transformar en una ecuacin exacta al multiplicarla por una funcin F (x,y), la cual puede depender de ambas variables o de solo una de ellas.Aquellas funciones que permiten cambiar la condicin de una ecuacin diferencial de No exacta a otra equivalente que s es exacta se les denomina factores integrantes
Tomado del Folleto 1 de ecuaciones diferenciales: ordinarias de primer orden, elaborado por la profesora Sharay Meneses en el 2006. Escuela de Matemticas del Instituto Tecnolgico de Costa Rica.
