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2Ecuaciones Logaritmicas
Universidad de la FronteraDepartamento de Matematica y Estadstica
Clnica de Matematica
J. Labrin - G.Riquelme
Propiedades de Logaritmo
1. loga x = y ay = x
2. logc a logc b = logc(ab
) 3. logc a+ logc b = logc(a b)4. logc a =
logb alogb c
1. Resuelva:2 = log10(x 2)
Solucion
Primero que todo, debemos expresar 2 como un logaritmo, entonces quedara:
2 = 2 log10 10 = log10 102
A continuacion resolvemos la ecuacion propuesta:
log10 102 = log10(x 2) cancelamos logaritmos
x 2 = 102x = 102
2. Resuelva:log(x+ 2) log(2x 1) = 0
Solucion
log(x+ 2) log(2x 1) = 0log(x+ 2) = log(2x 1)
x+ 2 = 2x 1x = 7
10
-
3. Resuelva la siguiente ecuacion:log3(x+ 2) + log3(x 4) = 3
Solucion
Escribimos 3 como logaritmo de base 3:3 = log3 3
3
Resolviendo la la ecuacion
log3(x+ 2) + log3(x 4) = log3 33log3(x+ 2) + log3(x 4) = log3 33
log3(x+ 2)(x 4) = log3 33 cancelamos los lagaritmos(x+ 2)(x 4) = 33x
x2 2x 35 = 0
aplicamos la ecucacion general de la cuadratica(bb24ac
2a
)2(2)2 4 1 (35)
2 1 = 0= x1 = 7 x2 = 5
Luego el resultado sera x1 = 7 puesto que x2 = 5 no verifica la ecuacion4. Encuntre el valor de x
3 log x log 30 = log x2
5
Solucion
3 log x log 30 = log x2
5
log x3 log 30 = log x2
5
logx3
30= log
x2
5x3
30=
x2
5
x2(x 6) = 0 x1 = 0 x2 = 6
Observamos que x1 no satisface la ecuacion, luego la solucion sera x2 = 6
5. Resuelva:
log2x+1
(x2 22x+ 1
)= 1
11
-
Solucion
log2x+1
(x2 + 2
2x+ 1
)= 1
log2x+1
(x2 + 2
2x+ 1
)= log2x+1(2x+ 1)
x2 + 2
2x+ 1= 2x+ 1
x2 + 2 = (2x+ 1)1
0 = 3x2 + 4x 1
Utilizando Formula General:
416 4(3)(1)2(3)
=416 + 12
6
=4 (27)
6
=2(27)
6 2
7)
3
= x1 = 27
3 x2 = 2 +
7
3
6. Resuelva:
lnx+ 2 ln 5 = ln 12 ln 4x+ y =
7
5
Solucion
Por un lado
lnx+ 2 ln 5 = ln 12 ln 4= lnx+ ln 52
= ln 12 ln 4
ln(52x) = ln
(12
4
)25x = 3
x =3
25
12
-
Por otro lado
x+ y =7
53
25+ y =
7
5
y =7
5 3
25
y =32
25
7. Resuelva el siguiente sistema: {ln(y2) = 1
ln(xy
)= 4
Solucion
{2 ln y = 1
lnx ln y = 4hacemos un cambio de variable: v = ln y, u = lnx
{2v = 1
u v = 4multiplicamos por 2 la segunda linea y sumando, queda:
{2v = 1
u v = 4/ (2){
2v = 12u 2v = 8/
2u = 9
u =9
2
Volviendo a la variable original:
u =9
2 lnx = 9
2 x = e 92
Reemplazando en u = 92 en u v = 4:9
2 v = 4
v = 12
v =1
2
ln y =1
2y =
e
13
-
8. Resuelva: {ex+1 + ey = 5e
2ex + 3ey1 = 5
Solucion:
Hacemos el cambio de variable u = ex, v = ey y reemplazamos en nustro sistema:
{ue+ v = 5e/ (2)2u+ 3ve1 = 5/ e
{ 2ue 2v = 10e2ue+ 3v = 5e
Sumando y volviendo a la variable original obtenemos:
v = 15e ey = 15e
Aplimos logaritmo natural (ln):
y = ln(15e) Sol :
9. Encuentre el valor de x2e3x 3e2x = 3ex 2
Solucion:
2e3x 3e2x = 3ex 2 se puede escribir como:
2e3x 3e2x = 3ex 2 2(ex)3 3(ex)2 = 3(ex) 2Hacemos una sutitucion u = ex y resolvemos:
2u3 3u2 = 3u 2 2u3 3u2 3u+ 2 = 0 (2u 1)(u 2)(u+ 1) = 0
Soluciones:
S1 : 2u 1 = 0 u = 12= ex x = ln 1
2S2 : u 2 = 0 u = 2 = ex x = ln 2S3 : u+ 1 = 0 u = 1 = ex =
10. Encuentre el valor de x:log5 x
logx 5 15 = log5 x2
14
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Solucion:
Primero que todo debemos efectuar un cambio de base
log5 xlog5 5log5 x
15 = 2 log5 x
A continuacion resolvemos:
log5 xlog5 5log5 x
15 = 2 log5 xlog5 x
1log5 x
15 = 2 log5 x (Hacemos: u = log5 x)
u1u
15 = 2u u2 15 2u = 0
(u+ 3)(u 5) = 0 u = 5 u = 3
Dado que hemos obtenido dos soluciones, debemos analizar si estas son posibles o no:
si u = 5 log5 x = 5 x = 55
si u = 3 log5 x = 3 x = 53
Luego la solucion es: {53, 55}
11. Resuelva:log
x =
log x
Solucion:
logx =
log x 1
2log x =
log x/()2
14(log x)2 = logx
(log x)2 = 4 log x (log x)2 4 log x = 0 log x(log x 4) = 0 log x = 0 log x = 4
Observamos nuevamente que tenemos dos posibles soluciones, debemos analizar cada una y ver sisatisfacen la ecuacion
log x = 0 x = 100 x = 1
log x = 4 x = 104
Luego las solucion es: S = {1, 104}
15
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