e.d.de Primer Orden 2016

U.A.G.R.M. ECUACIONES DIFERENCIALES Ing. Eudal Avendaño

1

Unidad Nº 2

Clasificación De Ecuaciones Diferenciales Ordinarias De Primer Orden

Las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden tiene la forma

0)y' y, f(x, =

Donde:

x es la variable independiente

y es la variable desconocida (función)

y’ la derivada de primer orden se pueden expresar de la siguiente manera:

Notación Standard

),(' yxfy =

Notación diferencial

0 ),( ),( =+ dyyxNdxyxM

Las ecuaciones diferenciales de primer orden se pueden clasificar de acuerdo a la expresión que

tengan en:

Ecuaciones de variables separables

Ecuaciones homogéneas

Ecuaciones diferenciales exactas

Ecuaciones lineales

Ecuación de Bernoulli.


2

Ecuaciones Diferenciales De Variable Separable

y)f(x, 'y =

y) f(x, en (y) f , (x)f 2 1

:

1.

2.

Solución Particular

cdyyyy

dxxxx

=+ ∫∫ )()(0

1

0

1 ψϕ


3

Ejemplo:

Hallar la solución de las ecuaciones diferenciales variable separable.

1. ( ) 02 =+− xdydxyyx 2. 0cos2 =+ dyx

yxsenydx

3.

−

=

+

+22

' yxsenyxseny 4.- 03 532 =+ +− dxedye yxyx

5.- 022 =+− dydxxyx

Ecuaciones Diferenciales Reducibles a Separables

)f( y' cbyax ++=

Se realiza una sustitución en c)by(ax ++ :

Ejemplo:

1. 2343' )yx (y ++= 2. 82)32(3' 2 +−++−= yxyxy 3.- )32(' yxseny −=


4

Ecuaciones Diferencial Homogénea

Generalidades:

Para el estudio de las ED homogéneas es necesario conocer la definición de función homogénea y

las características y propiedades principales.

Definición Función Homogénea:

Se dice que la función f(x,y) es homogénea de grado n para todo λ > 0 si cumple con la siguiente

igualdad.

Ejemplo:

Para las siguientes funciones determinar si son homogéneas y cual es el grado de la función

homogénea.

1.

( )( )

yxf

yxyyxf,

222 )3(, +−= λλλλ

La función es: Homogénea de grado 2

2.

( )

−−= 2

6223 532,

yxyxxyxf λλλλ

La función es: No es homogénea

( ) ( ) Rnyxfyxf n ελλλλ 0:,, >∀=

( ) 22 3, yxyxyxf +−=

( ) ( )( ) yxyxyxf

yyxxyxf2222

22

3,)()()(3,

λλλλλ

λλλλλλ

+−=

+−=

( ) 2

622222 532,

yxyxxyxf λλλλλλ −−=

( ) 2

622222 532,

yxyxyxyxf λλλλλ −−=


5

3.

( )

−+

=yxyxsenyxf λλ ,

La función es: Homogénea de grado cero

Definición de la ecuación diferencia homogénea

Se define ecuación diferencial Homogénea de primer orden a la ecuación

y)f(x, y'=

si ),( yxf es una función homogénea de grado cero.

Entonces es equivalente a escribir esta ecuación en forma de ecuación diferencial

0),(),( =+ dyyxNdxyxM

Donde:

• M y N son de variable x , y

• Las funciones M y N son homogéneas del mismo grado.

Si no son del miso grado es difícil sacar la solución.

( )

−+

=yxyxsenyxf ,

( )

( )

−+

=

−+

=

)()(

,

,

yxyxsenyxf

yxyxsenyxf

λλ

λλ

λλλλ

λλ


6

Solución de las ecuaciones diferencial homogénea de primer orden

Para resolver una ED. Homogénea necesariamente se utiliza una sustitución (cambio de variable) de

tal manera que la ecuación diferencial homogénea se transforme en una ED. De variable separables.

Primer método:

Si y’ = f (x,y) EDH (ED. Homogénea)

Si es de grado cero:

Realizar la sustitución

=

xygy'

tdxdtx

dxdy

xyttxy

+=

=⇒=

Reemplazando en la ecuación diferencial

xdx

ttgdt

dxttgxdt

ttgdxdtx

tgtdxdtx

=−

−=

−=

=+

)(

))((

)(

)(

cx

dxttg

dt=−

−∫ ∫)(

Una vez resulta la integral se debe volver a las variable x,y

[ ] 1=nx

( )

=

xygyxf ,


7

Segundo método :

Si la función f (x,y) es también de grado cero pero tiene la formula entonces se debe realizar la

sustitución.

Sustitución:

t

dtdyy

dydx

yxttyx

+=

=⇒=

=

=

=

yxgdy

dx

dx

yxg

dyyxg

dxdy

1

Reemplazar la sustitución

cy

dytgt

dttg=−

− ∫∫ )(1)(

=

yxgy'

ydy

ttg

dt

dyttg

dty

ttgdy

dty

tgt

dydty

=−

−=

−=

=+

)(1

)(1

)(1

)(1


8

Ejemplo.

Hallar la solución de la siguiente ecuación diferencial

1.

2.

3. 011 =

−+

+ dy

yxedxe y

xyx

para : 1)1( =y

Ecuaciones Diferenciales Reducibles A Homogéneas

La ecuación homogénea de la forma

)('22

111 Icybxacybxafy

a

++++

=

Es posible reducir a la forma homogénea de grado

+=

xysen

xyy'

22' yxyxy ++=

𝒂𝒂𝒂𝒂 + 𝒃𝒃𝒃𝒃 + 𝒄𝒄 = 𝟎𝟎


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Significa que las funciones en forma diferencial su representación es una línea que no pasa por el

origen.

Geométricamente resulta que la función lineal 𝒈𝒈(𝒂𝒂,𝒃𝒃) = 𝒂𝒂𝒂𝒂 + 𝒃𝒃𝒃𝒃 + 𝒄𝒄 será homogénea de grado 1

si y solo si esta función es igual a cero esto quiere decir que pasa por el origen.

Desde el punto de vista de su estructura algebraica la funciona g(x,y) si c = 0 será homogénea.

En la ecuación diferencial la solución de esta ED es considerar el comportamiento de las 2 rectas.

L1: a1x + b1y + c1 = 0 L2: a2x + b2y + c2 = 0

TIPO I

Si la recta L1 y L2 no se interceptan y son paralelas esto quiere decir que sus pendiente son iguales

entonces se realiza una sustitución en la ecuación parecida a una ecuación de variables separables.

𝑳𝑳𝟏𝟏

𝑳𝑳𝟐𝟐


10

Ejemplo:

Hallar la solución de la siguiente ecuación diferencial ) dy yx- ()dx y - (x 026312 =++

TIPO II

Si la recta L1 y L2 se interceptan en un punto p(x0, y0)

Entonces para resolver la ecuación diferencial o transformar a homogénea se debe hacer la siguiente

sustitución:

dvdyvyydudxuxx

o

o

=⇒+==⇒+=

EJEMPLO.

1.- ( ) ( ) 0133 =+−++− ydyxdxyx

2.-

1)3( 0)52()1134( ==−++−+ yparadyyxdxyx

𝑳𝑳𝟏𝟏

𝑳𝑳𝟐𝟐

𝑷𝑷(𝒂𝒂𝒐𝒐,𝒃𝒃𝒐𝒐)


11

Ecuación Diferencial Lineal De Primer Orden

La ecuación diferencial de primer orden se define cuando la derivada es de primer orden y una de las

variables es de primer grado esto hace que sea ecuación diferencial Lineal y tiene las siguientes

formas.

1. si la ecuación diferencial lineal tiene la forma

)()( xQypdxdy

x =+

1º ORDEN: Por la derivada

Lineal: una de las variables es de grado 1.

Donde P(x) y Q(x) son funciones de variable x no es polinomial cualquier función y también se dice

que es lineal respecto de la variable “y” entonces su solución de esta ecuación tiene la forma.

∫ +∫=∫ cdxxQeyedxxpdxxp

)()()(

2. si la ecuación diferencial lineal tiene la forma

)()( yQxyPdydx

=+

Donde P(y) y Q(y)son funciones de variable “y” la ED es lineal respeto de la variable “x”.

Entonces su solución será:


)()()(


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DEMOSTRACIÓN

I. Hipótesis:

Son la funciones P(y) y Q(y) funciones reales de variables “x” y y= f(x) sea la función solución de la

ED.

)()( xy QxPdxdy

=+

II. tesis

Si la ecuación diferencial

)()( xy QxPdxdy

=+

Es lineal de 1º orden tiene como solución.


)()()(

III. demostración

Por tesis tenemos que:

)()( xy QxPdxdy

=+

Si multiplicamos por ∫ dxxpe )(


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)()(

)()()(

xdxxp

yxdxxpdxxp

Qepedxdye ∫=∫+∫

Aplicando la derivada de un producto de

ydxxPedxdye

yeyedx

yed

dxxpdxxp

dxxpdxxp

dxxp

∫+∫=

∫+∫=

∫

∫ )(

)'(

)()(

)()(

)(

2º Teorema Fundamental Del Cálculo

yxPedxdye

dx

yeddxxpdxxp

dxxp

)()()(

)(

∫+∫=

∫

2 reemplazando en 1

)(

)(

)()(

)(

)(

xQeyed

xQedx

yed

dxxpdxxp

dxxp

dxxp

∫=

∫

∫=

∫

Integrado Tenemos

dxxQeyed dxxpdxxp∫∫ ∫=

∫ )()()(


)()()(

Por analogía es posible demostrar la otra.


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Ejemplo.

Hallar la solución de las siguientes ecuaciones diferenciales

1. 1ln2' +=+ xxyy

2. 021 - x) dy (are tag y)dxy( =++

3.- 11ln2

=−+

= )(y;xyyy

yy'

4.

5.- yxtagydxdy sec=+

3'yx

yy+

=


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Ecuación Diferencial De Bernoulli

Es una ecuación diferencial de primer orden de la forma )()( xQyxPydxdy n=+

Donde: P(X) y Q(X) son funciones reales de variable “x”. y, una función donde 10 =/=/ nyn

Solución

Consiste en transformar a una ecuación lineal de primer orden utilizando un cambio variable y

transformar a la forma:

)()( )1()1( xx QynzPndxdy

−=−+

Para demostrar la transformación de ecuación de Bernoulli reducir a ecuación lineal de 1º orden el

procedimiento es el siguiente:

I. Hipótesis

Sean las funciones P(x) y Q(x) de variable “x” y sea la función y= f(x) con derivada de 1º orden dy/dx.

II tesis

Sea la ecuación diferencial de primer orden denominada de Bernoulli: )()( nQyxPdxdy n=+

Cuyo proceso de solución se transforma en la

)()( )1()1( xx QynzPndxdz

−=−+


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III. Demostración

Según la tesis se puede demostrar la transformación de la ecuación.

)()( xn

yx QyPdxdy

=+ 1

Dividiendo a la ecuación 1 por: yn

nx

n

nyx

n yQy

yP

dxdy

y)()(1

=+

)()(1

Xxnn QPy

dxdyy =+ −

2

Multiplicando por: (1-n)a la ecuación 2

)()(1 )1()1()1( Xx

nn QnPyndxdyyn −=−+− −

3

Realizando una sustitución a cambio de variable en 3

dxdyyn

dxdz

yz

n

n

−

−

−=

=

)1(

1

Realizando el C.V en 3 tenemos:

)()1()1( )( xQnzPndxdz

x −=−+

La solución de la ecuación diferencial será:

∫ +∫=∫ cdxxQyeez dxxpdxxp )()()(

Finalmente volver a las variable iniciales x,y.


17

Si la ecuación diferencial tiene la forma:

)()( xQxxPdxdz n

x =+

Para resolver se transforma a la forma:

)()1()()1( yQnzyPndydz

−=−+

La demostración por analogía es la misma

Comparación De La Ecuación De Bernoulli Con Otras Ecuaciones

Puede tomar las siguientes formas

)()( yn

zy QyPdxdy

=+

1. Si n =0 se transforma en una ecuación lineal.

2. Si n = 1 la ecuación será de variables separables

3. Si n = o y n =1 entonces la ecuación se denomina

Ejemplo:

Hallar la solución de la siguiente ecuación diferencial:

1. 𝑦𝑦′ + 2𝑦𝑦𝑥𝑥

= 2 √𝑥𝑥𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2𝑥𝑥

2. 4𝑥𝑥 𝑦𝑦′ + 3𝑦𝑦 = −𝑒𝑒𝑥𝑥 𝑥𝑥4𝑦𝑦5

3. 𝑦𝑦′ + 3𝑥𝑥2𝑦𝑦𝑥𝑥3+1

= 𝑦𝑦2(𝑥𝑥3 + 1) 𝑐𝑐𝑒𝑒𝑠𝑠𝑥𝑥

Ecuación Diferencial Exacta


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Se define como una ecuación de la forma

( ) ( ) 0,, =+ dyNdxM YXYX

Donde M y N son funciones de dos variables

Se dice que es diferencial exacta si se cumple la siguiente igualdad.

( ) ( ) yfN

xfM YXYX ∂

∂=

∂∂

= ,, ;

Para que sea exacta

xf

yM

∂∂

=∂∂

Entonces la ecuación diferencial exacta se puede escribir como:

[ ] 0),( =yxfd

Donde la solución de esta ecuación será una función.

cyx =),(f

Para resolver esta ecuación diferencial se sigue el siguiente procedimiento.

Verificar si es exacta.

Integrar una parte de la ecuación diferencial respecto de una de las variables.

La función f(x,y) se deriva respecto e una de las variables y comprar son las funciones.

Finalmente determinar la constante y reemplazar en la función.

)(),(),( cxgdyyxNyxf += ∫

)(),(),( cygdxyxMyxf += ∫


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Ejemplo:

1 (𝑦𝑦 − 𝑥𝑥 𝑙𝑙𝑠𝑠𝑦𝑦) 𝑑𝑑𝑥𝑥 + �𝑥𝑥2

2𝑦𝑦+ 𝑥𝑥 + 1� 𝑑𝑑𝑦𝑦 = 0

2 (𝑙𝑙𝑠𝑠𝑦𝑦 − 5𝑦𝑦2 𝑐𝑐𝑒𝑒𝑠𝑠5𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑥𝑥 + �𝑥𝑥𝑦𝑦

+ 2𝑦𝑦 cos 5𝑥𝑥 𝑥𝑥�𝑑𝑑𝑦𝑦 = 0

3 Escriba aquí la ecuación.

Factor de integración

Sea la ecuación diferencial de la forma:

𝑀𝑀(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)𝑑𝑑𝑥𝑥 + 𝑁𝑁(𝑥𝑥,𝑦𝑦)𝑑𝑑𝑦𝑦 = 0

Donde M y N representan la derivada parcial de cada una de las funciones que resulta de la

Al verificar no se muestra que es una diferencial exacta entonces se determina o encontrar una

función M(x,y) que se denomina factor de integración que al multiplicar a la ecuación diferencial se

transforma en una diferencial exacta.

0=+ )dy(x,y)N(x,y y)dx(x,y) M(x, µµ

Entonces para resolver se debe verificar nuevamente si es exacta con:

[ ] [ ]xN

yM

∂∂

=∂

∂ µµ

Para determinar el factor de integración se puedo clasificar de la siguiente manera:

Caso I

Si el factor de integración es de variable “x” se determina una fusión f(x) de la siguiente manera.

NxN

yM

xf ∂∂

−∂∂

=)( ⇒ ∫=

dxxfe

)(µ

[ ] 0),( =yxfd


20

Caso II

Cuando el factor de integración tiene una función de única variable “y” se determinar de la siguiente

manera:

MxN

yM

yf−

∂∂

−∂∂

=)( ⇒ ∫=

dyyfe

)(µ

Caso III

Si la ecuación diferencial

0≠+ N(x,y)dyM(x,y)dx

Y es homogénea entonces el factor de integración se determina de la siguiente manera:

yNxM +=

1µ

Caso IV

Si la suma de las derivadas parciales es igual a cero a demás una de las parciales diferentes de la

otra el factor de integración se determina de la siguiente manera:

xN

yM

∂∂

−∂∂

=1µ

xN

yM

xNy

yMx

∂∂

=/∂∂

=∂∂

+∂∂ ;0


21

Caso V

Si ningunos de los anteriores casos se enmarca a la ecuación diferencial para determinar el factor de

integración se de utilizar la tabla de factor de integración que se encuentra en el libro de Murria

Siebel y Espinoza:

Ejemplo:

Hallar la solución de la siguiente ecuación diferencial

02 =+ y)dyxydx-(x

1ºpaso: Determinar si es exacta

2ºpaso Determinar el factor de integración

exactaesnoxN

yM

xyxNy

M

∂∂

=/∂∂

−−=∂∂

=∂∂

21

1

NxN

yM

xf ∂∂

−∂∂

=)(

)()21(1)( 2 yxx

xyxf+−−−−

=

)(22)( 2 yxx

xyxf+−+

=

)1()1(2)(

xyxxyxf+−+

=

∫=dxxf

e)(

µ

∫=− dx

xe2

µ

xe ln2−=µ


22

2

1x

=µ

3. transformar la ecuación diferencial en el factor de integración

4. Resolver la ecuación diferencial

0)( 2 =+− dyyxxydx

2ln xe−=µ

0)(1 222 =+− dyyxx

xdx

xy

0)1(1 222 =+− dyyxx

xdx

xy

0122 =

+− dyy

xdx

xy

2),( x

yMyx

µ

2

1xx

M=

∂∂µ

+−= y

xN yx

1),(µ exactaes

xN

yM

∂∂

=∂∂ µ

2

1xy

M=

∂∂µ

∫ += cydxxyyxf 2),(

cyxyyxf +−=),(

ycxy

f '1+−=

∂∂

),( yxNyf

µ=∂∂


23

La solución será:

+−=+

− yx

ycx

1'1

yyc −='

∫−= ydycy

cycy +−=2

2

cyxyyxf +−−=

2),(

2

cyxy

=+2

2

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