Alumno: Jonathan Cronque Jiménez

Materia: Análisis Numérico

Tema: Ecuaciones Diferenciales Parciales Con Métodos Numéricos

Escuela: Instituto Tecnológico De Estudios Superiores De Zamora

Maestro: Javier Barajas Aceves

Grupo: 5B

Carrera: Ing. Electrónica

INDICE

Introducción…………………………………………………....3

Desarrollo…………………………………………………….. 4-6

Conclusiones………………………………………………….. 7

Bibliografías……………………………………………………. 7

INTRODUCCIÓN

Ecuaciones Difenciales Parciales

En matemáticas una ecuación en derivadas parciales (a veces abreviado como EDP) es aquella cuyas incógnitas son funciones de diversas variables, con la peculiaridad de que en dicha ecuación figuran no solo las propias funciones sino también sus derivadas. Tienen que existir funciones de por lo menos dos variables.

Las ecuaciones en derivadas parciales se emplean en la formulación matemática de procesos de la física y otras ciencias que suelen estar distribuidos en el espacio y el tiempo. Problemas típicos son la propagación del sonido o del calor, la electrostática, la electrodinámica, la dinámica de fluidos, la elasticidad, la mecánica cuántica y muchos otros. Se las conoce también como ecuaciones diferenciales parciales. Participaron, al inicio, en su estudio los franceses D'alambert, Fourier, matemáticos de la época napoleónica.

Métodos Numéricos

El análisis numérico o cálculo numérico es la rama de las matemáticas que encargada de diseñar algoritmos para, a través de números y reglas matemáticas simples, simular procesos matemáticos más complejos aplicados a procesos del mundo real.

El análisis numérico cobra especial importancia con la llegada de los ordenadores. Los ordenadores son útiles para cálculos matemáticos extremadamente complejos, pero en última instancia operan con números binarios y operaciones matemáticas simples

Figura 1. Jean-Baptiste Joseph Fourier Matemático.

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DESARROLLO

Solución general y solución completa.Toda ecuación diferencial en derivadas parciales de primer orden posee una solución dependiente de una función arbitraria, que se denomina usualmente solución general de la EDP. En muchas aplicaciones físicas esta solución general es menos importante que las llamadas soluciones completas, que frecuentemente pueden obtenerse por el método de separación de variables.

Una solución completa es una solución particular de la EDP que contiene tantas constantes arbitrarias independientes como variables independientes intervienen en la ecuación. Por ejemplo la integración de las ecuaciones del movimiento de un sistema mecánico mediante el método basado en la ecuación de Hamilton-Jacobi requiere una integral completa, mientras que la solución general resulta menos interesante desde el punto de vista físico.

Ejemplo.

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Ejemplo Ecuación De Onda

La ecuación de onda es una importante ecuación diferencial en derivadas parciales lineal de segundo orden que describe la propagación de una variedad de ondas, como las ondas sonoras, las ondas de luz y las ondas en el agua. Es importante en varios campos como la acústica, el electromagnetismo y la dinámica de fluidos

La ecuación de onda en el caso de una sola dimensión puede ser obtenida de la Ley de Hooke de la siguiente manera: una serie de pequeños pesos de masa m se interconectan a resortes sin masa de longitud h. Los resortes tienen una rigidez de k:

Aquí u (x) mide la distancia en equilibrio de la masa situada en x. La segunda ley de Newton aplicada sobre la masa   en el lugar   establece que:

La fuerza aplicada en este caso está dada por la ley de Hooke:

La ecuación de movimiento para la masa   en el lugar x+h resulta:

Donde la dependencia con el tiempo de u(x ) se hace explícita.

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Si la serie de pesos consiste en N pesos espaciados uniformemente a lo largo de L = N h de la masa total M =N m, y la rigidez total de la serie K = k/N podemos escribir la ecuación anterior como:

Tomando el límite   se obtiene:

(KL2)/M es el cuadrado de la velocidad de propagación en este caso particular.

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CONCLUSION

Las Aplicaciones de las Derivadas Parciales se extienden en el mundo de las matemáticas, tomando gran importancia y aprecio en la resolución de problemas complejos de ingeniería y otras ramas de la ciencia; ya que han venido facilitando el proceso a través de los tiempos que incluyen procesos muy comunes como el cálculo y la geométrica en diversas formas.

BIBLIOGRAFIAS

Chapra S. & Canales R. / Métodos numéricos para ingenieros. / Edit. Mc Graw Hill. N.Y. 1994, 641p

A. Aubanell, A. Benseny, A. Delshams (1993). Útiles básicos de Cálculo Numérico. Labor/Publicaciones de la UAB.

Titulo: Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones. Autor: Dennis G. Zill.

Edición: Segunda.Páginas Nº: 428 – 445

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