IntroducciónEn este tutorial se muestran las características de cada uno de los controladores proporcional (P), integranl (I), y derivativo (D), y cómo los utilizan para obtener una respuesta deseada. En este tutorial, vamos a considerar el sistema de realimentación unitaria siguiente:

Planta: Un sistema para controlar     Controlador: Provee la excitación de la planta, diseñado para controlar el comportamiento general del sistema

El controlador de tres términosLa función de transferencia del controlador PID es la siguiente:

Kp = Ganancia proporcionalKI = Ganancia IntegralKd = Ganancia derivada

En primer lugar, echemos un vistazo a cómo el controlador PID trabaja en un sistema de circuito cerrado utilizando el esquema de abajo. La variable (e) representa el error de seguimiento, la diferencia entre el valor de la entrada deseada (R) y la producción real (Y). Esta señal de error (e) se envían al controlador PID, y el controlador calcula tanto la derivada y la integral de esta señal de error. La señal (u) un poco más allá del controlador es ahora igual a la ganancia proporcional (Kp) veces la magnitud del error, más la ganancia integral (Ki) veces la integral del error, más los efectos derivados (Kd) por la derivada de la error.

Esta señal (u) será enviado a la planta, y la nueva salida (Y) se obtendrá. Esta nueva salida (Y) será enviado de vuelta al sensor de nuevo para encontrar la nueva señal de error (e). El controlador toma esta nueva señal de error y calcula su derivada y su integral otra vez. Este proceso sigue y sigue.Las características de P, I, y D

Un controlador proporcional (Kp) tendrá el efecto de reducir el tiempo de subida y reducirá, pero no eliminar, el error de estado estacionario. Un control integral (Ki) tendrá el efecto de eliminar el error en estado estable, pero puede hacer que la respuesta transitoria sea peor. Un control derivativo (Kd) tendrá el efecto de aumentar la estabilidad del sistema, reduciendo el sobrepico, y mejorando la respuesta transitoria. Efectos de cada uno de los controladores Kp, Kd, y Ki en un sistema de circuito cerrado se resumen en la tabla que aparece a continuación.

Ejemplo

Supongamos que tenemos una masa simple, resorte, y amortiguador.

La ecuación del modelo de este sistema es:

Si tomamos la transformada de Laplace de la ecuación del modelo (1)

La función de transferencia entre el desplazamiento X (s) y la entrada F (s) se convierte en

si: M = 1kg b = 10 N.s/m k = 20 N/m F(s) = 1

La función de transferencia se vuelve:

El objetivo de este problema es observar cómo cada uno de Kp, Ki y Kd contribuye a obtener:

     Rápido tiempo de subida     sobrepaso mínimo     que no hay error en estado estable

Respuesta a lazo abierto

Veamos primero la respuesta al escalón a lazo abierto. Crear un nuevo archivo-m y agregue el siguiente código:num=1;den=[1 10 20];step(num,den)Al ejecutar este archivo-m en la ventana de comandos del Matlab le debería dar la figura que se muestra a continuación.

La ganancia DC de la función de transferencia de la planta es 1 / 20, por lo que 0.05 es el valor final de la salida a una entrada escalón unitario. Esto se corresponde con el error de estado estacionario de 0.95, bastante grande por cierto. Además, el tiempo de subida es de aproximadamente un segundo, y el tiempo de establecimiento es de aproximadamente 1,5 segundos. Vamos a diseñar un controlador que reducirá el tiempo de subida, de establecimiento, y se que elimine el error de estado estacionario.Control proporcionalDe la tabla de arriba, vemos que el controlador proporcional (Kp) reduce el tiempo de subida, incrementa el sobrepico, y reduce el error de estado estacionario. La función de transferencia a lazo cerrado del sistema anterior con un controlador proporcional es:

Deje que la ganancia proporcional (Kp) sea igual a 300 y cambiar el archivo-m con lo siguiente:

Kp=300;num=[Kp];den=[1 10 20+Kp];

t=0:0.01:2;step(num,den,t)

Al ejecutar este archivo-m en la ventana de comandos del Matlab le debería dar la figura siguiente:

Vemos que el controlador proporcional (Kp) reduce el tiempo de subida (0.25seg.), incrementa el sobrepico (0.3), y reduce el error de estado estacionario (0.06).

Nota: La función del Matlab denominada cloop se puede utilizar para obtener una función de transferencia a lazo cerrado directamente de la función de transferencia a lazo abierto (en lugar de la obtención de circuito cerrado función de transferencia con la

mano). El siguiente archivo-m se usa el comando cloop que debería dar la figura idéntica a la que se muestra arriba.

num=1;den=[1 10 20];Kp=300;

[numCL,denCL]=cloop(Kp*num,den);t=0:0.01:2;step(numCL, denCL,t)

Control Proporcional-Derivativo

Ahora, echemos un vistazo a un control PD. El controlador derivativo (Kd) reduce tanto el sobrepico y el tiempo de establecimiento. La función de transferencia a lazo cerrado del sistema dado con un controlador PD es:

Kp igual a 300 como antes y Kd igual a 10. Introduzca los siguientes comandos en un archivo-m y ejecútelo en la ventana de comandos del Matlab.

Kp=300;Kd=10;num=[Kd Kp];den=[1 10+Kd 20+Kp];

t=0:0.01:2;step(num,den,t)

Este gráfico muestra que el controlador derivativo redujo tanto el sobrepico como el tiempo de establecimiento, y tuvo poco efecto en el tiempo de subida y el error de estado estacionario.Proporcional-integral de control

Antes de entrar en un control PID, echemos un vistazo a un control PI. Un controlador integral (Ki) disminuye el tiempo de subida, aumenta tanto el sobrepico como el tiempo de establecimiento, y se elimina el error de estado estacionario. Para el sistema dado, la función de transferencia a lazo cerrado con un control PI es:

Vamos a reducir la Kp a 30, y Ki sea igual a 70. Crear un nuevo archivo-m e ingrese los siguientes comandos:Kp=30;Ki=70;

num=[Kp Ki];den=[1 10 20+Kp Ki];

t=0:0.01:2;step(num,den,t)Ejecute este archivo-m en la ventana de comandos del Matlab, y usted debe obtener la siguiente figura:

Hemos reducido la ganancia proporcional (Kp) porque el controlador integral también reduce el tiempo de subida y aumenta el sobrepico como el controlador proporcional (doble efecto). La respuesta indica que el controlador integral elimina el error de estado estacionario.

Proporcional-Integral-Derivativo

Ahora, echemos un vistazo a un controlador PID. La función de transferencia a lazo cerrado del sistema dado con un controlador PID es:

Después de varias pruebas y carreras de error, las ganancias Kp = 350, Ki = 300 y Kd = 50 proporciona la respuesta deseada. Para confirmar, ingrese los siguientes comandos a un archivo-m y ejecútelo en la ventana de comandos. Usted debe obtener la siguiente respuesta al escalón.

Kp=350;Ki=300;Kd=50;

num=[Kd Kp Ki];den=[1 10+Kd 20+Kp Ki];

t=0:0.01:2;step(num,den,t)

Ahora, hemos obtenido el sistema sin sobrepico, rápido tiempo de subida, y no hay error de estado estacionario.

Consejos generales para el diseño de un controlador PIDAl diseñar un controlador PID para un sistema dado, siga los pasos indicados debajo para obtener la respuesta deseada.

     -Obtener una respuesta a lazo abierto y determinar lo que hay que mejorar     -Agregue un control proporcional para mejorar el tiempo de subida     -Agregue un control derivado de mejorar el sobrepico     -Agregar un control integral para eliminar el error de estado estacionario     -Ajustar cada uno de Kp, Ki y Kd hasta obtener la respuesta deseada en general.

Por último, por favor, tenga en cuenta que no es necesario poner en práctica los tres controladores siempre (proporcional, derivativo e integral) en un solo sistema, si no es necesario. Por ejemplo, si un controlador PI da una respuesta lo suficientemente buena (como el ejemplo anterior), entonces no es necesario implementar controlador derivativo en el sistema. Mantenga el controlador lo más simple posible.