EFECTOS DEL VIENTO EN ESTRUCTURAS DEL CABLES · Rigidez de un vano para distintos valores de...

PROYECTO FIN DE CARRERA

EFECTOS DEL VIENTO EN ESTRUCTURAS DEL CABLES

AUTOR: Cristina Sánchez Rebollo

MADRID, Junio 2010

UNIVERSIDAD PONTIFICIA COMILLAS

ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA (ICAI) INGENIERO INDUSTRIAL

Índice general

1. Introducción 1

1.1. Motivación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2.1. Metodología . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2. Estado del Arte 7

3. Carga de Viento 10

3.1. Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.2. Componente aleatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.2.1. Remolinos de Karman . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4. Viento sobre estructuras de cables 20

4.1. Estructuras de cables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4.1.1. Cambio del origen de coordenadas . . . . . . . . . . . 23

4.1.2. Aproximación parabólica . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.1.3. Ecuacion de cambio de condiciones . . . . . . . . . . 26

4.1.4. Problema de equilibrio inicial . . . . . . . . . . . . . 28

4.2. Formulación general del problema . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.2.1. Vector de cargas debidas al viento . . . . . . . . . . . 48

4.2.2. Formulación del elemento corrotacional tridimensional 51

4.2.3. Algoritmo de integración temporal . . . . . . . . . . 63

4.2.4. Verificación estática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

I

ÍNDICE GENERAL II

4.2.5. Consideraciones de los efectos dinámicos en cables . . 69

5. Viento en catenarias ferroviarias 75

5.1. Descripción mecánica de la catenaria . . . . . . . . . . . . . 75

5.2. Comportamiento estático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

5.2.1. Efecto del viento sobre la elasticidad . . . . . . . . . 87

5.2.2. Modelo 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

5.3. Interacción catenaria-pantógrafo . . . . . . . . . . . . . . . . 98

5.3.1. Modelo 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

5.3.2. Modelo 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

6. Conclusiones y futuros desarrollos 111

6.1. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

6.2. Principales aportaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

6.3. Futuros desarrollos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

Bibliografía 121

Índice de tablas

4.1. Comparativa de casos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.2. Iteraciones de Newton Raphason . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.3. Datos del cable del caso estudio . . . . . . . . . . . . . . . . 66

5.1. Valores de estadísticos de la fuerza para distintas velocidades

del viento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

5.2. Desplazamientos en dos vanos consecutivos para distintas ve-

locidades de viento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

III

Índice de figuras

1.1. Colapso del puente Firth of Tay en 1879 . . . . . . . . . . . 2

3.1. Perfiles de la variación de la velocidad del viento con la altura

en distintos terrenos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.2. Comparación de distintos espectros de la velocidad del viento 13

3.3. Variación del coeficiente de sustentación en un ala . . . . . . 17

3.4. Variación del coeficiente de sustentación . . . . . . . . . . . 18

4.1. Equilibrio en un cable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4.2. Proyección horizontal del peso . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.3. Nodo de una red de cables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.4. Deformación del elemento corrotacional . . . . . . . . . . . . 39

4.5. Esquema de la incidencia del viento sobre un cable . . . . . 50

4.6. Fórmula de Rodrigues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.7. Marco de referencia del elemento tridimensional . . . . . . . 54

4.8. Comparación efecto estático del viento con elementos finitos 66

4.9. Cálculo cable bajo efecto de un viento fuerte con 60 y 108

km/h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.10. Cables de masa 2.34, 3.34 y 4.34 kg/m bajo un viento de

108km/h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.11. Clasificación de los efectos dinámicos del viento . . . . . . . 69

4.12. Señal de velocidad de viento aleatorio de media 10 m/s . . . 71

4.13. Composición de velocidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

IV

ÍNDICE DE FIGURAS V

4.14. Tensión vertical de un cable sometido a una carga estática

de viento a 10 m/s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4.15. Tensión vertical de un cable sometido a una carga dinámica

de viento a una velocidad instantánea de 9.36 m/s . . . . . . 73

4.16. Comparación de tensiones en diferentes puntos y con la ten-

dencia de la velocidad del viento . . . . . . . . . . . . . . . . 74

5.1. Esquema de la estructura de cables básica de la catenaria . . 77

5.2. Esquema de descentramiento de la catenaria . . . . . . . . . 81

5.3. Secciones transversales típicas de cables . . . . . . . . . . . . 82

5.4. Esquemas básicos de péndolas . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

5.5. Esquema básico de ménsula . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

5.6. Variación de la rigidez en un punto del vano y un punto

central para fuerzas de 90N a 500N . . . . . . . . . . . . . . 89

5.7. Variación de la rigidez para distintos valores de descentramiento 90

5.8. Rigidez de un vano para distintos valores de descentramiento 91

5.9. Variación de la rigidez para distintas velocidades de viento . 92

5.10. Variación de la rigidez en función de la velocidad del viento

en el punto máximo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

5.11. Rigidez en un vano para velocidades de viento de hasta 180

km/h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

5.12. Comportamiento de la rigidez de los puntos del brazo en fun-

ción de la velocidad del viento . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

5.13. Efecto estático de un viento a 40 m/s sobre la catenaria . . . 96

5.14. Detalle del efecto estático de un viento a 40 m/s sobre la

catenaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

5.15. Desplazamiento de la catenaria bajo el efecto estático de dis-

tintas velocidades de viento . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

5.16. Modelo dinámico equivalente del sistema catenaria-pantógrafo 99

ÍNDICE DE FIGURAS VI

5.17. Fuerza de contacto y desplazamiento del pantógrafo para dis-

tintas velocidades de viento . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

5.18. Variación de la fuerza de contacto para distintos valores de

velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

5.19. Variación de la fuerza para valores de velocidad de hasta 14

m/s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

5.20. Fuerza de contacto para distintos valores de la velocidad de

circulación en ausencia de viento . . . . . . . . . . . . . . . 103

5.21. Variación de la fuerza para distintos valores de la velocidad

de circulación bajo la carga de viento a 15 m/s . . . . . . . . 104

5.22. Variación de estadísticos de la fuerza de contacto en función

de la velocidad del viento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

5.23. Variación de los desplazamientos en dos vanos consecutivos

con la velocidad del viento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

5.24. Variación de los desplazamientos con la velocidad del viento 107

5.25. Desplazamiento del punto de contacto para distintas veloci-

dades del tren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

5.26. Desplazamiento del punto de contacto para distintas veloci-

dades del tren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

Capítulo 1

Introducción

1.1. Motivación

De entre las acciones sobre las estructuras, la del viento es, sin duda, una

de las más complejas y, si bien su importancia ha sido reconocida (y muy

eficazmente aprovechada) en cualquier época histórica, resulta sorprendente

lo lentamente que ha evolucionado la comprensión del fenómeno. Desde los

Anemoi griegos hasta una clasificación en función de la escala, su estudio

en el campo meteorológico y de navegación se ha extendido a lo largo de

los años y el aprovechamiento de esta fuerza natural ha tenido grandes

repercusiones en la historia, como son los molinos de viento, los barcos de

vela. . . llegando a tecnologías actuales como son los aerogeneradores.

En lo que a los efectos del viento en las estructuras se refiere, y aun-

que se cree que ya en el siglo XVII tanto Galileo como Newton realizaron

los primeros experimentos, no es hasta mediados del siglo XVIII cuando

el uso de materiales metálicos hace posible la construcción de estructuras

más esbeltas obligando a cierta consideración de estos efectos, y la acción

del viento se introduce ya como una fuerza estática sobre las superficies

normales a la dirección supuesta. El valor de la carga se deduce de ensayos

elementales y se sitúa entre 1000 y 2000 Pa. El colapso del puente sobre

1

CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN 2

el Firth of Tay en 1879 durante una tormenta (lo que hizo que el fallo se

atribuyera inicialmente a la intensidad del viento) supuso un primer toque

de atención sobre la importancia de la acción, de modo que se comenzaron

a realizar análisis de maquetas en túneles de viento que permitieron ajustar

los valores de las cargas de proyecto a distintas configuraciones.

Figura 1.1: Colapso del puente Firth of Tay en 1879

La progresiva mejora de los túneles de viento permitió conocer mejor

la forma en que las presiones se reparten en cada parte de la construcción,

así como el efecto global de la forma y textura del edificio. Por otra parte,

esta medición de las velocidades de viento a diversas alturas hizo posible

relacionar las cargas con la altura del edificio. Este estado de desarrollo

parece suficiente para las estructuras normales y, de hecho, es el que predican

las normativas actuales.

Cuando estos planteamientos parecían ya asentados, el colapso del Ta-

coma Narrows en 1940 puso de manifiesto la existencia de aspectos que

no habían sido considerados. Ya desde su puesta en servicio, a pesar de


estar calculado para una carga estática horizontal del viento prescrita por

la correspondiente normativa para velocidades de 160 km/h, se observaron

oscilaciones verticales de amplitud importantes ante vientos de escasa in-

tensidad que acabaron derribándolo al soplar vientos de 70 km/h. En este

sentido, el fenómeno se compara con las vibraciones de galope en los ten-

didos eléctricos, cuyo análisis, realizado ya en la década anterior por Den

Hartog no había alcanzado difusión en virtud de su escaso dramatismo. En

esta misma fecha se aplicaron los métodos de análisis estadístico a la deter-

minación de la velocidad máxima de viento, abriendo la puerta al análisis

de las vibraciones de edificios altos y posterior contraste con las mediciones

efectuadas. Como resultado de estos análisis fue posible comprender que la

respuesta de los edificios a la acción del viento depende, además de la exci-

tación, de propiedades mecánicas de la estructura, como son la distribución

de masa, rigidez y amortiguamiento.

En el sector del ferrocarril, es sobradamente conocida la clara repercu-

sión que el viento lateral tiene sobre la estabilidad de los trenes, más crítica

a medida que aumentan las velocidades de éstos. No obstante, el efecto del

viento sobre la estructura de cables de alimentación eléctrica es igualmente

notoria y conlleva, en beneficio de su resistencia y la calidad del servicio, el

aumento del tensado mecánico de dichos cables. Como ejemplos de situa-

ciones críticas debido al efecto del viento en cables se pueden nombrar en el

ámbito de líneas aéreas el artículo del periódico Expansión del 29/01/2009

donde dice “La compañía Endesa ha elevado a 25 millones de euros el coste

de la reparación de los daños causados en las líneas eléctricas del Baix Llo-

bregat debido al fuerte temporal de viento registrado el pasado sábado día

24”; y en el ámbito ferroviario el titular del periódico Sur del 15/01/2010“Un

millar de viajeros del AVE, afectados al dañar el viento una catenaria”.

Actualmente y desde hace pocos años, compañías líder como SNCF (So-

ciété Nationale des Chemins de Fer Français) han implantado en sus trenes

de alta velocidad más expuestos a este tipo de cargas, como la línea me-


diterránea del TGV, un software a bordo capaz de recoger en tiempo real

y procesar parámetros críticos del viento. Esta información es reportada al

navegador ferroviario en cada instante, pudiendo así actuar en consecuencia

y modificar la velocidad del tren en caso de necesidad.

Estas limitaciones de velocidad en prevención al riesgo provocado por el

viento, con mayor o menor precisión y grado de fiabilidad, son consideradas

por las diferentes compañías ferroviarias. Por ejemplo DB AG (Deutsche

Bahn AG) impone restricciones en la velocidad de los trenes bien cuando la

componente lateral del viento supera los 90 km/h, o bien cuando las com-

ponentes del viento que afectan directamente a la catenaria superan los 120

km/h. A diferencia de la empresa alemana, SNCF limita la velocidad de sus

trenes de alta velocidad a 170 km/h cuando el viento supera los 108 km/h

en cualquier dirección. Evidentemente los criterios son dispares y responden

a las tecnologías empleadas, las diferentes orografías y condiciones climáti-

cas, las medidas de contención o desviación como los apantallamientos, pero

también a las criterios adoptados. Es en este punto donde las técnicas de

simulación pueden reportar grandes beneficios tecnológicos y económicos,

especialmente por la precisión en los cálculos que actualmente pueden con-

seguirse mediante métodos numéricos, además de la fácil adaptación de éstos

a diferentes escenarios empleando también distintos modelos de catenaria o

tren. En la actualidad el mayor esfuerzo se está invirtiendo en la simulación

numérica del problema ya que dada la complejidad de las ecuaciones de

mecánica de fluidos que lo modelan la potencia de cálculo necesaria no ha

sido accesible hasta tiempos muy recientes.

1.2. Objetivos

El principal objetivo de este proyecto final de carrera es analizar el efecto

del viento en estructuras de cables, particularizando el estudio al modelado

de dicho efecto a las catenarias ferroviarias y a la interacción de este ele-


mento estructural con el pantógrafo. El desglose de objetivos es el siguiente:

1. Conocer el comportamiento estático y dinámico de las estructuras de

cables.

2. Conocer el efecto del viento lateral sobre la interacción dinámica

catenaria-pantógrafo.

3. Implementar, sobre las herramientas propias del grupo de investiga-

ción sobre estática y dinámica de cables, un módulo de cargas de

viento sobre estructuras tridimensionales.

4. Aplicar el procedimiento general sobre los modelos de integración

catenaria-pantógrafo:

a) Desarrollar e implementar modelos simplificados que permitan

la incorporación del efecto del galope en cables en el comporta-

miento dinámico del sistema catenaria-pantógrafo.

b) Desarrollar e implementar un modelo completo de elementos fi-

nitos que permita la incorporación del efecto del galope en cables

en el comportamiento dinámico del sistema catenaria-pantógrafo.

5. Comprobar la bondad de los modelos mediante simulación y análisis

de los resultados.

1.2.1. Metodología

La metodología de este proyecto consta de los siguientes hitos compu-

tacionales:

1. Conocimiento profundo de los antecedentes. Dentro de estos antece-

dentes se encuentran:

a) Herramienta de cálculo por elementos finitos: AFECTOS


b) Herramienta de cálculo estático de cables: CALESCA

c) Modelos de simulación dinámica, 1D y 2D, de la interacción di-

námica catenaria-pantógrafo.

2. Estudio e implementación del módulo fluido-dinámico.

3. Aplicación sobre estructuras de cables.

4. Aplicación sobre catenarias ferroviarias.

Capítulo 2

Estado del Arte

Como se ha mencionado, el estudio del efecto del viento en estructuras, y

en concreto en cables, es una investigación relativamente reciente orientada,

desde su inicio, a su aplicación tanto en líneas aéreas como en estructuras

de cables.

Uno de los primeros artículos que estudia explícitamente este efecto del

viento es el publicado por Golea en 1985 [Gol85], donde se analiza teórica-

mente el efecto de una carga de viento sobre la estática y la transmisión

de la fuerza sobre cables. De la adimensionalización de las ecuaciones que

definen este efecto se obtienen dos parámetros que caracterizan el compor-

tamiento del cable en estas condiciones, que son la relación entre el peso

del cable y su tensión y la relación entre la carga del viento y el peso. En

función de estos ratios el comportamiento estático del cable frente a la carga

del viento se engloba dentro de distintos modelos propuestos con diferentes

hipótesis. Las ecuaciones diferenciales que se obtienen son no lineales pero

hace algunas aproximaciones para obtener resultados analíticos.

En [KZ98] Kazakevitch estudia la estabilización de cables sometidos a

cargas de viento y móviles, aplicándolo a puentes, por lo que incluye la ac-

tuación de otros elementos como diferentes amortiguadores para mitigar los

efectos dinámicos del viento, y analiza los posibles orígenes de las oscilacio-

7

CAPÍTULO 2. ESTADO DEL ARTE 8

nes: la inestabilidad aeroelástica del cable en presencia del flujo del viento,

el comportamiento dinámico de la torre y su interacción con el viento, el

comportamiento dinámico de la estructura del vano, la acción del hielo y la

escarcha o el interacción del cable con el viento en condiciones de lluvia.

Sobre esta última idea se han desarrollado diversos estudios en los que

consideran la posición de una gota de lluvia respecto a la velocidad del cable

y del viento (tanto en valor como en dirección) como causa de oscilaciones

en el cable. Los fundamentos para modelar este fenómeno se asentaron con

Yamaguchi [WW90] y Gu y Lu, quienes propusieron modelos de dos grados

de libertad, de cuyo estudio numérico se llegó al concepto de zonas inesta-

bles en función de la velocidad del viento. Posteriormente, Wilde [WW03]

propone un modelo de un único grado de libertad con la suposición de que

la frecuencia del movimiento circular de la gota de lluvia es igual que la

del cable y que la amplitud de esta gota se mantiene constante para una

velocidad del viento dada. Además, Wilde propone diversos modelos de la

fuerza aerodinámica haciendo simplificaciones numéricas, especialmente en

los coeficientes experimentales que permiten modelar la fuerza del viento.

El mismo modelo es propuesto también por Xu y Zhang [XW03] aportan-

do, principalmente, propuestas distintas en el cálculo de los coeficientes y

contrastándolos con ensayos experimentales.

Otros análisis posteriores de los coeficientes que afectan en la dinámica

de un cable sometido a acciones de viento quedan reflejados en [BCGP06]

donde presenta los resultados obtenidos tras realizar varios experimentos en

túnel de viento sobre el efecto del viento lateral en cables. Los ensayos se han

llevado a cabo tanto en régimen laminar como en turbulento. La relación

flecha/vano es de 1 : 10 y se ha medido tanto la tensión en los soportes

como el desplazamiento en el centro del vano (sólo en régimen laminar).

La sección del cable se considera cilíndrica y se aportan datos sobre las

características estocásticas del comportamiento de los cables. Además se han

calculado a partir de los datos experimentales los coeficientes de resistencia

CAPÍTULO 2. ESTADO DEL ARTE 9

aerodinámica y las frecuencias naturales. Estas últimas se han comparado

con resultados analíticos.

En otras aplicaciones Xu, Zhang y Xia[XZX04] analizan la vibración en

el acoplamiento tren-viaducto frente a viento lateral con la particularización

de puentes de cables. Pese a que no profundiza demasiado en el modelado de

los cables frente al resto de la estructura del puente, el modelado de la fuerza

del viento se trata mediante una representación espectral para realizar una

simulación estocástica del campo de velocidades del viento.

Esta modelado del viento ha añadido dificultad ya que en los distintos

métodos se introduce un término cuadrático que da lugar a no linealidades

en su resolución. Frente a esto Lazzari, Saetta y Vitaliani [LSV01] presentan

resultados numéricos completos sobre efectos del viento en estructuras de-

formables, describiendo el modelado del viento y de la estructura del cable.

En cuanto a la aplicación directa con la catenaria ferroviaria en los

últimos años y especialmente a raíz de la intensificación de los problemas con

los cables aéreos en las costas de Escocia, se ha profundizado en el estudio del

efecto del viento lateral sobre los mismos. En [SS01] se presenta un análisis

experimental de las características aerodinámicas de la catenaria, a partir

de cual se estudian los criterios de estabilidad que le afectan, concluyendo

que el galope al que se puede ver sometido se induce cuando el cable está

desgastado y el flujo ataca al cable con un ángulo de entre 7o y 14o con la

horizontal. Además, este análisis muestra un análisis de varios factores que

favorecen la aparición de fuertes oscilaciones en la catenaria, como son la

velocidad del viento, el ángulo del flujo del viento y el desgaste del cable.

Capítulo 3

Carga de Viento

3.1. Definición

En la mayoría de las normas la acción del viento se establece como una

carga estática constante en magnitud, dirección y sentido que depende, en

general, de la situación topográfica y geográfica de la estructura y de la

forma de la misma. La justificación de esta consideración pese al carácter

de carga dinámica frecuencial se debe a que si se supone una corriente fluia

estacionaria, un cuerpo sumergido en la misma estará sometido a cargas

estáticas a pesar del carácter dinámico de su origen. Se define como carga

de viento aquella carga de naturaleza variable producida por la actuación

directa del viento sobre la estructura resistente o sobre elementos no estruc-

turales que incidan sobre ella, independientemente de que se considere su

actuación directamente para el cálculo estructural o como acción exterior.

Por tanto, considerando el viento como una carga estática horizontal

queda determinada según la siguiente ecuación:

qw =

(1

2

)· v2

w · ρ (3.1)

donde ρ es la densidad del aire y vw es la velocidad del viento. La veloci-

dad del viento presenta un carácter aleatorio que se puede ver con claridad

10

CAPÍTULO 3. CARGA DE VIENTO 11

a partir de registros de velocidad realizados con anemómetros, donde se

pueden introducir una serie de errores de cierta importancia debido a que

el término de la velocidad introduce una dependencia cuadrática. En estas

condiciones la sobre-estimación de la carga estática puede dejarnos del lado

de la seguridad, sobre todo si se trata de estructuras de la que la acción del

viento no es la solicitación predominante. Independientemente del registro

se observa que existe un valor medio, dependiente de la altura, alrededor

del cual se producen oscilaciones aleatorias.

vw = v + u (3.2)

donde v es la velocidad media y u es la componente aleatoria o de tur-

bulencia. Esta última es prácticamente independiente de la altura mientras

que la velocidad media crece con la altura.

Figura 3.1: Perfiles de la variación de la velocidad del viento con la altura

en distintos terrenos

En general la dependencia con la se obtiene mediante expresiones del

tipo

vm = v0

(z

z0

)α

(3.3)

donde α toma los valores 0,4, 0,28, 0,28 ó 0,16 dependiendo del caso que

se esté considerando 3.1. v0 debe determinarse para cada emplazamiento.


3.2. Componente aleatoria

El caso de la componente aleatoria debida a las rachas puede obtenerse

a partir del cálculo de la densidad espectral del potencia de la fuerza debida

a esta componente del viento o de la velocidad del mismo. Para profundizar

en los efectos dinámicos de las rachas de viento, en el sentido de efectos

influenciados por la inercia de la estructura, la metodología que está ex-

tendida es la representación en el dominio de la frecuencia empleando la

transformada de Fourier. Las velocidades turbulentas se describen, como

se ha mencionado, superponiéndola a la velocidad media para componer la

velocidad instantánea del viento.

En un vendaval, la velocidad del viento media y las características de

las ráfagas permanecen constantes durante suficiente tiempo para conside-

rar el análisis en el dominio de la frecuencia. Las ráfagas son el resultado

prácticamente exclusivo de la rugosidad del terreno, despreciando el efecto

de los obstáculos, por lo que el espectro de entrada tiene formas normaliza-

das, de tal forma que el espectro de cada turbulencia queda completamente

definida por la varianza, la escala de tiempo y la formulación algebraica de

dicho espectro.

En la bibliografía se encuentran diversas formulaciones y análisis de dis-

tintos espectros. En [GL06] se ha realizado un análisis comparando algunos

espectros propuestos y un espectro real, como se observa en la figura 3.2.

La formulación del espectro básico normalizado de Harris-von Karman es

nSu

σ2= 0,6 · n

(2 + n)5/6(3.4)

siendo n la normalización de la frecuencia tal que n=12nT siendo T

la escala de tiempo. Según Davenport, el espectro puede ser representado

mediante:nSn

U2∗

= 4 · X2

(1 + X)4/3(3.5)

donde S(n) es la potencia que corresponde a esta frecuencia, U∗ es la


Figura 3.2: Comparación de distintos espectros de la velocidad del viento

velocidad de fricción, y X = 1200 · n/U (10) con U (10) como la velocidad

media a 10 m, que depende de la rugosidad.

En cuanto a la distribución de probabilidad se admite la hipótesis gaus-

siana, es decir, la probabilidad de que se presente una velocidad inferior a

V es 1σ√

2π

∫ V

−∞

(e−√

V−Vσ

)2

dV . La varianza σ es la medida de la potencia

total de la turbulencia, y su relación con el espectro es el área bajo el mismo,

tal que σ2 =∫∞

0S (T ) dT .

Haciendo uso de los modelos de Davenport y von Karman, es posible

demostrar que un proceso x (t) puede ser simulado mediante el uso de ex-

presiones como 3.6 que representan series de tiempo en función de senos y

cosenos con un ángulo de fase aleatorio

v (t) = V +n∑

j=1

Aj · sin (ωjt) + Bj · cos (ωjt) (3.6)

con Aj =√

12Sn∆ωsin (φj) y Bj =

√12Sn∆ωsin (φj)


φj es una variable uniformemente distribuida entre 0 y 2π, la cual le

da el carácter aleatorio a la simulación y Sn es la densidad espectral que

caracteriza el proceso. Variando φj se pueden obtener series de velocidad

del viento con el espectro introducido.

Otros modelos propuestos para la representación de la turbulencia, dis-

tintos al método de la densidad espectral están basados en predicción de

series temporales como el modelo Akaike-Iwatani. Este modelo consiste en la

generación de un proceso estocástico donde el valor del proceso vj (t) se ob-

tiene a partir de una combinación lineal de los valores anteriores del proceso

más un ruido blanco, que introduce aleatoriedad a la simulación y es inde-

pendiente de los valores anteriores de la serie, que se supone normalmente

distribuida, evitando que el modelo sea determinista:

Xt = δ + a1Xt−1 + a2Xt−2 + a3Xt−3 + . . . + apXt−p + εt (3.7)

donde δ representa una constante y los coeficientes ai los parémetros de

autorregresión.

A esta formulación la llamaremos autorregresiva, pues en la misma ex-

presión se aprecia el porque de la denominación: de algún modo es un modelo

de regresión del proceso sobre sí mismo. A partir de la ecuación 3.7 llegamos

a las ecuaciones de Yule Walker de las que obtenemos los parámetros de la

autorregresión a1, a2 . . . ap

ρi =

p∑j=1

ajρi−j (3.8)

donde ρi = Cov (s, s + i) /σ2 es la función de autocorrelación y se trata

de la estandarización de la función de covarianzas.

Siendo a′ = (a1a2a3 . . . ap)

ρ′ = (ρ1ρ2ρ3 . . . ρp)


R =

1 ρ1 . . . ρp−1

......

......

ρp−1 ρp−1 . . . 1

La ecuación 3.8 se puede expresar como:

ρ′ = R · a′ ⇒ a′ = R−1 · ρ′ (3.9)

por consiguiente, los valores de los parámetros a se pueden obtener una vez

estimada la matriz de autocorrelaciones de orden p y con ellos se podría

estimar el valor de la velocidad del viento en cada instante correlado con su

valor en instantes anteriores.

3.2.1. Remolinos de Karman

Al sumergir un cilindro en una corriente fluida se origina en la zona

posterior una serie de remolinos, conocidos como remolinos de Karman,

cuyas características dependen de las del fluido y del propio cuerpo. La

frecuencia de los remolinos es

nk =V S

D(3.10)

donde V es la velocidad del fluido, D el diámetro del cilindro y S el

número de Strouhal, el cual depende del número de Reynolds, Re (Re = V Dν

).

La presencia de los remolinos origina una fuerza en dirección normal a la

de la velocidad y de frecuencia nk

Fk = CkρV 2

2Asen (2πnkt) (3.11)

donde ρ es la densidad del fluido y A es área proyectada del cuerpo

en el plano normal a la dirección del fluido. En la mayoría de los casos el

cilindro no permanecerá fijo y sus movimiento interferirá con el del fluido y

la resonancia se puede presentar para velocidades superiores a la teórica.


En las estructuras cilíndricas esbeltas se distribuyen los vórtices en la

dirección del viento, alternativamente a derecha e izquierda de la sección

transversal. Esto genera fuerzas de excitación por impulsos en dirección

ortogonal al viento. Si la frecuencia del desprendimiento de remolinos fw

se iguala a la frecuencia natural de la estructura fe se entra en resonancia,

que es el caso de la velocidad crítica del viento se obtiene de despejar la

velocidad V de la ecuación (3.10).

Esto ocurre en una estructura que no está en movimiento, por lo que se

puede considerar que se trata de vibración forzada. En el caso de los cables,

habitualmente existe, además, un movimiento de la estructura pudiéndose

dar el efecto de bloqueo cuando el desprendimiento de los remolinos se

sincroniza con la frecuencia natural de la estructura dentro de un rango de

valores situados por encima y por debajo de la velocidad crítica del viento.

Para el caso de cuerpos con geometría diferente a la cilíndrica, pueden

presentar una cierta capacidad sustentante. Se puede determinar de forma

experimental las curvas de arrastre y sustentación en función del ángulo de

ataque del viento. Así la fuerza de arrastre (componente de la fuerza eólica

en la dirección del viento) se determina como

Fa = CLρV 2A

2(3.12)

y la fuerza de sustentación, normal al viento, como

Fs = CDρV 2A

2(3.13)

los coeficientes CL y CD dependen tanto del ángulo de ataque como

de la forma del cuerpo, por ello su determinación debe hacerse de forma

experimental.

Considerando un perfil aerodinámico simple en un túnel de viento, si las

fuerzas que actúan sobre el perfil se miden a partir del ángulo de ataque que

se va incrementando gradualmente manteniendo constante la velocidad del


viento, obteniendo el valor del coeficiente de sustentanción frente al valor

de este ángulo.

Figura 3.3: Variación del coeficiente de sustentación en un ala

Se puede observar en la figura 3.3 que el coeficiente de sustentación crece

de forma prácticamente lineal hasta los 15o. En esta experimento el ángulo

de ataque se ha incrementado lentamente, de modo que puede considerarse

que el perfil está estacionario en un ángulo de ataque fijo en la toma de

medidas. Si consideramos el caso de un ala con ángulo de ataque 0o pero

con un movimiento hacia arriba, este movimiento genera una componente

del viento relativa que, combinada con la real del viento da lugar a la com-

ponente que ve el perfil estudiado, con un ángulo de ataque negativo. Para

valores negativos de este ángulo, como vemos en la figura 3.3, se genera una

fuerza de sustentación negativa que se opone a la dirección de movimiento

del perfil, haciendo el sistema estable, ya que cualquier movimiento origina-

rá una fuerza que se opone a él. No obstante, el valor y la dirección de esta

fuerza dependen del coeficiente de sustentación y este depende del la forma


del perfil y del ángulo de ataque. En la figura 3.4 se observa que cuando

el objeto se mueve hacia arriba desde un ángulo de ataque cero se genera

una fuerza de sustentación positiva, en la dirección del movimiento. Esto

causará un aumento del desplazamiento lo que llevará a una situación ines-

table. Un objeto flexible demostrará una inestabilidad aeroelástica conocida

como galope, oscilando con grandes amplitudes cuya duración en el tiempo

dependerá de la naturaleza de la estructura.

Figura 3.4: Variación del coeficiente de sustentación

Esta inestabilidad descrita es el galope unidimensional donde el cambio

en el ángulo de incidencia se debe al movimiento vertical del objeto, en una

sola dimensión. Sin embargo, el cambio del ángulo también puede deberse

al giro del objeto y la combinación de las dos si el objeto puede presentar

el balanceo del péndulo. En el caso de líneas aéreas la oscilaciones de gran

amplitud se deben al galope en una dimensión. Matemáticamente se puede

determinar si un objeto es susceptible de sufrir galope unidimensional por

el criterio de Den Harthog [SS01].


m(y + 2ξωy + ω2y

)= −1

2ρUB

(dCL

dα+ CD

)y (3.14)

Reorganizando esta expresión obtenemos que el factor de amortigua-

miento es:

d = 2mξω +1

2ρUB

(dCL

dα+ CD

)(3.15)

Si este factor es positivo el sistema será estable. Como el ratio de amor-

tiguamiento mecánico, ξ es usualmente positivo, el sistema sólo podrá ser

inestable si

(dCL

dα+ CD

)< 0 (3.16)

Por tanto, una sección es dinámicamente inestable si la pendiente negati-

va del coeficiente del sustentación es mayor que la ordenada correspondiente

del coeficiente de arrastre. Esto explica el fenómeno de las oscilaciones que

se registran en las líneas cuando se forman gotas de hielo o lluvia, alterando

la forma del conductor y convirtiéndola en inestable.

En resumen, la acción del viento sobre estructuras presenta 4 factores

Acción debida a la velocidad Vm y que puede considerarse práctica-

mente estática

Acción debida a las rachas de viento Vale

Acción dinámica de los remolinos de Karman, en dirección perpendi-

cular al viento.

Acción de la turbulencia desarrollada por otras construcciones o la

propia deformabilidad de la estructura.

Capítulo 4

Efecto del viento sobre

estructuras de cables

En el presente capítulo se aborda el núcleo de este proyecto, cómo afec-

ta el viento estática y dinámicamente a estructuras sencillas compuestas

de cables. Evidentemente este análisis es esencial y constituye el antece-

dente natural a estructuras más complejas como las catenarias ferroviarias,

aplicación que se detalla en el capítulo 5.

La sección 4.1 presenta la formulación estática de cables así como el

procedimiento empleado para el cálculo de la configuración inicial de una

estructura; la sección 4.2 describe la formulación dinámica del problema de

cables y, someramente, los aspectos más relevantes del modelado mediante

elementos finitos; mostrando finalmente en las secciones 4.2.4 y 4.2.5 los

cálculos estático y dinámico respectivamente del efecto del viento sobre un

cable.

4.1. Estructuras de cables

La mecánica de los medios continuos trata de predecir el comportamiento

de los cuerpos cuando sobre ellos actúan fuerzas externas, comportamien-

20

CAPÍTULO 4. VIENTO SOBRE ESTRUCTURAS DE CABLES 21

to éste que depende de una serie de parámetros divididos en dos grandes

grupos: por un lado, parámetros intrínsecos, basados en las propiedades

del cuerpo o sistema que se estudia (geometría, masa o elasticidad), y, por

otro lado, parámetros circunstanciales, que dependen del estado en que se

encuentre el sistema (fuerzas externas, velocidad o posición). El compor-

tamiento, pues, viene regido por un conjunto de ecuaciones en derivadas

parciales acopladas, que tiene solución analítica en los casos más sencillos.

Sin embargo, cuando se trata de aproximar una realidad más compleja ha-

bitualmente se emplean métodos numéricos de integración, como pueden

ser el método de los elementos finitos, el de las diferencias finitas, métodos

espectrales, elementos de contorno, etc.

No obstante, obviando primeramente los casos más complejos, se abor-

dará la descripción analítica de un cable sometido a su peso propio, cuyo

diagrama de cuerpo libre puede verse en la figura 4.1

Figura 4.1: Equilibrio en un cable

El equilibrio vertical de fuerzas permite escribir la ecuacion

∂

∂s

(T

∂z

∂s

)= −mg (4.1)

Por otro lado el equilibrio horizontal es


∂

∂s

(T

∂x

∂s

)ds = 0 (4.2)

de dónde se deduce que

T∂x

∂s= Cte = H (4.3)

Es decir, que la componente horizontal de la tensión del cable, H se

mantiene constante a lo largo de todo el cable. Partiendo de 4.1 se puede

desarrollar

∂

∂s

(T

∂z

∂s

)=

∂

∂s

(T

∂z

∂x

∂x

∂s

)=

∂

∂s

(H

∂z

∂s

)=

∂

∂x

(H

∂z

∂x

)∂x

∂s= H

(∂2z

∂x2

∂x

∂s

)= −mg

(4.4)

Por lo tanto la ecuación diferencial que modela el comportamiento de

un cable es

H∂2z

∂x2= −mg

∂s

∂x(4.5)

El proceso de obtención de la ecuación de la catenaria se enfocará ahora

partiendo de la ecuación 4.5 y teniendo en cuenta que

ds =√

dx2 + dz2 =

√1 +

(dz

dx

)2

dx (4.6)

Se puede escribir

H∂2z

∂x2= −mg

(1 +

(dz

dx

)2) 1

2

(4.7)

que haciendo el cambio de variable dzdx

= u, permite llegar fácilmente

a una solución que en el caso de suponer los apoyos a la misma altura y

separados una distancia d es de la forma

z = − H

mg

[cosh

mgd

2H− cosh

(mg

H

(d

2− x

))](4.8)


Siendo d la separación horizontal entre los extremos. En el caso de consi-

derar los apoyos a distinta altura la expresión se complica notablemente ya

que depende de la posición del mínimo que es a priori desconocida. En este

caso, la longitud del cable puede obtenerse por integración de la ecuación

4.6

s =H

mg

[sinh

mgd

2H− sinh

(mg

H

(d

2− x

))](4.9)

y la flecha máxima vale

zmax =H

mgcosh

mgd

2H(4.10)

Sustituyendo esta última expresión en la ecuación 4.3, es posible deter-

minar el valor de la tensión como

T = Hcosh

(mg

H

(d

2− x

))(4.11)

4.1.1. Cambio del origen de coordenadas

La expresión 4.8 se ha obtenido suponiendo un cable con los apoyos a la

misma altura y origen del sistema de coordenadas en uno de los extremos.

Dicha ecuación se simplifica notablemente si se considera un sistemas de

coordenadas con origen en el punto mínimo de la catenaria, en ese caso, la

determinación de las constantes de integración a partir de las condiciones

z(0) = Hmg

, z′(0) = 0, permiten obtener la solución de la ecuación 4.5 de la

forma

z = Ccoshx

C(4.12)

donde C = Hmg

es el llamado parámetro de catenaria. Así, la longitud

desde el punto mínimo hasta una coordenada x, puede calcularse como

s = Csinhx

C(4.13)


y la tensión como

T = H1

cosh xC

= mgy (4.14)

es decir, el peso de la proyección vertical del cable considerado.

4.1.2. Aproximación parabólica

El término de la parte derecha de la ecuación 4.5 representa el peso por

unidad de longitud del cable. En el caso de cables muy tensos el diferencial

de longitud ds y su proyección horizontal dx son aproximadamente iguales,

resultando,

∂2z

∂x2= −mg

H(4.15)

Cuya solución es de la forma

z =−mg

2Hx2 + C1x + C2 (4.16)

Figura 4.2: Proyección horizontal del peso

De ahí que para cables muy tensos se suela emplear una aproximación

parabólica para la ecuación de la catenaria. Desde un punto de vista físico,

esta aproximación parabólica implica suponer que la carga se distribuye de


forma uniforme en la proyección horizontal y no según la longitud del cable

(figura 4.2). La el caso particular de apoyos situados a la misma altura y

separados una distancia d la ecuación 4.16 queda de la forma

z =mg

2H

(dx− x2

)(4.17)

Al igual que se hizo en el caso de la ecuación de la catenaria, en el caso

de considerar el origen en el punto mínimo, la solución queda de la forma

z =mgx2

2H(4.18)

resultando la flecha máxima

zmax = f =mgd2

8H(4.19)

De la misma forma, la longitud total del cable se puede obtener inte-

grando el arco, haciendo el desarrollo de Taylor del mismo en el origen, se

llega a una expresión de la forma

s = d +8f 2

3d= d +

d3 (mg)2

24H2(4.20)

En la tabla 4.1 se resumen algunos resultados empleando la ecuación

de la catenaria y la aproximación parabólica. Como se puede apreciar, la

aproximación resulta muy razonable en el caso de cables tensos que tienen

valores altos del parámetro de catenaria. Este es el caso habitual de las

catenarias ferroviarias.

mg(N/m) d(m) H(kN) fparab(m) fcat(m)

10 60 15 0,3 0,30001

20 60 15 0,6 0,60008

10000 60 15 30 41,43

Tabla 4.1: Comparativa de casos


4.1.3. Ecuacion de cambio de condiciones

La ecuación de cambio de condiciones parte de la aproximación parabó-

lica de la catenaria y considera dos estados diferentes. Un estado, denotare-

mos por 1 con un valor de tensión, H1, temperatura, t1, peso m1g, longitud,

s1 y flecha f1 y un estado 2 con sus correspondientes H2, t2, m2g, s2 y f2.

La diferencia de longitudes entre ambos estados puede escribirse en función

del ecuacion 4.20 como

∆s = s2 − s1 =8

3d

(f 2

2 − f 21

)=

d3

24

(m2

2

H22

− m21

H21

)(4.21)

Esta diferencia de longitud puede se debe a dos causas, por un lado al

alargamiento elástico de loas cables ∆se, por otro a la variación de longitud

debida a los cables ∆st. El primero puede cuantificase como

∆se =d

EA(H2 −H1) (4.22)

y el segundo

∆st = αd (t2 − t1) (4.23)

Igualando 4.21 a la suma de 4.22 y 4.23 se tiene la llamada ecuación de

cambio de condiciones

d3

24

(m2

2

H22

− m21

H21

)=

d

EA(H2 −H1) + αd (t2 − t1) (4.24)

que como se puede ver reagrupando los términos se trata de una ecuación

cúbica en T que puede escribirse de la forma

24

d2EAH3

2 +

((mg)2

1

H21

+24

d2α (t2 − t1)−

24

d2EAH1

)H2

2 − (mg)22 (4.25)

esta expresión puede resolverse por cualquiera de los métodos de reso-

lución de ecuaciones no lineales que existen, por ejemplo con el método de

Newton-Raphson.


El método de Newton Rapshon permite resolver la ecuación no lineal

g(x) = 0 partiendo del desarrollo en serie de Taylor de la función g alredor

del punto x0

g(x) = g(x0 +dg

dx∆x + O2 = 0 (4.26)

que permite despejar el incremento δx como

∆x = −g(x0)dgdx

(4.27)

permitiendo actualizar el valor de x

4.1.3.1. Ejemplo

Considerese un caso de cable de 30m de longutid, sección 116,2mm2

y peso de 0,433kg/m, una sometido a una tensión de H1 = 1000kg, el

modulo de elasticidad del material vale E = 8200kg/mm2 y el coeficiente de

dilatación lineal α = 17,8·10−6C−1. Calcular la tensión el caso de producirse

una bajada de la temperatura de 20 C y tener una sobrecarga de hielo de

1,78kg/m. Calcular la variación fecha.

Para este caso, sustituyendo los valores en la ecuación 4.25 se obtine la

expresión

2,79 · 10−8H32 − 3,73 · 10−5H2

2 − 3,17 = 0 (4.28)

Empleando el método de Newton Raphson, se resuelve la ecuación 4.28.

Obteniendo un valor de tensión de H2 = 1395kg. Las iteraciones para al-

canzar dicho valor pueden verse en la tabla 4.2. La fecha máxima puede

calcularse con la ecuación 4.19. Para el caso inicial la fecha es de 48.7 mm,

para el caso con las condiciones modificadas la fecha alcanza un valor de

143.9 mm.


iter H inicial2 g ∂g

∂H2∆H2 Hfinal

2

0 1000 -12.57 0.00928 1354.526 2354.526

1 2354.526 154.225 0.289 -532.977 1821.549

2 1821.549 41.694 0.142 -292.733 1528.815

3 1528.815 9.344 0.082 -113.945 1414.870

4 1414.870 1.184 0.062 -18.981 1395.889

5 1395.889 0.036 0.059 -0.605 1395.284

6 1395.284 0.000 0.059 -0.004 1395.280

6 1395.280 0.000 0.059 0.000 1395.280

7 1395.280 0.000 0.059 0.000 1395.280

Tabla 4.2: Iteraciones de Newton Raphason

4.1.4. Problema de equilibrio inicial

Cuando además de las tensiones o deformaciones que una carga o sistema

de cargas inducen en una determinada estructura, es también desconocida

la geometría inicial de la misma, entonces se hace referencia a problemas de

equilibrio inicial. En las estructuras de cables, sólo el cálculo de la posición

inicial de partida suele constituir un complejo problema en sí mismo, ya

que el efecto del peso propio de cada elemento cable condiciona su longi-

tud y tensión. Durante los últimos años, con la incorporación de cables y

membranas a la arquitectura, este campo de conocimiento ha cobrado gran

relevancia, no obstante para aplicaciones que requieren gran precisión la

literatura científica aún es escasa.

Utilizando un método numérico es posible encontrar solución al proble-

ma de equilibrio inicial de sistemas de cables. En la mayoría de las estruc-

turas, la configuración de referencia es conocida ya que esta no depende de

la distribución de las tensiones internas. En las estructuras tensadas, como

son las formadas por cables, la configuración inicial depende de las tensio-

nes internas, que son a priori desconocidas, y que deben ser determinadas.


La resolución de este problema constituye lo que se denomina problema de

equilibrio inicial y es el paso previo a la obtención de la respuesta (ya sea

estática o dinámica) de una estructura tensada frente a una acción exterior.

Una manera de clasificar los diferentes métodos de resolución consistiría

en la diferenciación entre los parámetros especificados por el diseñador y los

que son tratados como incógnitas [HA82]. Los parámetros involucrados en

un problema de equilibrio inicial son los siguientes:

La topología de la estructura, que define las conectividades de los

miembros que la forman.

Las cargas externas. Incluir éstas suele complicar el problema de equi-

librio inicial, ya que la magnitud y la dirección de las cargas pueden

depender de la configuración inicial de referencia

La geometría de la estructura, uno de los dos parámetros clave del

problema de equilibrio inicial, y especialmente importante para cal-

cular las tensiones que actuarán en la estructura en cada momento:

para una estructura en tensión, la curvatura es el parámetro que más

afecta al comportamiento estructural;

La distribución de las fuerzas internas, que se revela como el segundo

parámetro clave, pues para conseguir un diseño seguro y económico es

fundamental encontrar una distribución de fuerzas apropiada.

El problema de equilibrio inicial es un problema estático puro, por lo

que no es necesario introducir ecuaciones dinámicas. Sin embargo, algunos

métodos, como, por ejemplo, el método de desplazamiento no lineal, utilizan

ecuaciones cinemáticas para resolver el problema tal y como se comentará

posteriormente. Este método en concreto requiere la especificación de cier-

tas propiedades del material, si bien dicha especificación no tiene por qué

referirse necesariamente a las propiedades reales: pueden usarse propiedades

ficticias para controlar la solución de la configuración de referencia [HA82].


Como se ha mencionado anteriormente, las cargas externas pueden com-

plicar el problema de equilibrio inicial, por lo que se suele asumir que los

miembros de la estructura no tienen peso y que ninguna carga actúa en

los nodos. Sin embargo, para obtener una solución completa, las fuerzas

externas estarán presentes en muchas de las ecuaciones expuestas en este

capítulo, aunque normalmente sean despreciadas.

Inicialmente, el único requisito sobre la configuración de referencia es

que debe estar en equilibrio. Considérese un nodo i en un red de cuatro

cables, como se puede observar en la figura 4.3. Las ecuaciones de equilibrio

en las direcciones x,y y z en el nodo se pueden escribir como:

Tijxj − xi

Lij

+ Tikxk − xi

Lik

+ Tilxl − xi

Lil

+ Timxm − xi

Lim

+ Fxi = 0, (4.29)

Tijyj − yi

Lij

+ Tikyk − yi

Lik

+ Tilyl − yi

Lil

+ Timym − yi

Lim

+ Fyi = 0, (4.30)

Tijzj − zi

Lij

+ Tikzk − zi

Lik

+ Tilzl − zi

Lil

+ Timzm − zi

Lim

+ Fzi = 0, (4.31)

Como el equilibrio inicial es un problema estático, cualquier configura-

ción con la que se satisfagan las ecuaciones anteriores en cada nodo será una

solución del problema. Dependiendo de cual de los métodos de resolución

que se exponen a continuación se utilice, las incógnitas de estas ecuaciones

pueden ser las tensiones, las longitudes o las posiciones obteniéndose dife-

rentes soluciones. No obstante, algunas soluciones son mejores ya que no

todas responden a la realidad física que se busca.

Entre los métodos que han sido utilizados por diferentes autores para

obtener estas soluciones destaca en primer lugar el ya mencionado método

de los desplazamientos no lineales. Uno de los pioneros en emplear este

método fue Argyris, como describe en [AAB74], para encontrar la forma de

las cubiertas usadas en el estado olímpico de Munich, construido para las

olimpiadas de 1972 usando barras para representar los cables en su modelo

numérico. Asimismo Barnes detalla en [Bar88] un método similar en el que


Figura 4.3: Nodo de una red de cables

a una estructura inicialmente desequilibrada se le permite experimentar una

vibración amortiguada hasta estabilizarse en una posición de equilibrio.

Con el fin de obtener un problema lineal equivalente al método de los

desplazamientos no lieneales surgió, entre otros, el desarrollo original de Siev

y Eidelmann de 1962, [SE64], que permite resolver la posición de equilibrio

inicial de redes de cables asumiendo una condición de ortogonalidad sobre

las mismas. Este método usa las ecuaciones 4.29-4.31 a las que aplica las

restricciones sobre la geometría, las condiciones de contorno y la distribución

de esfuerzos internos de la red obteniendo como resultado un problema lineal

cuya única incógnita es la altura de cada nodo.

Sin embargo, debido a las restricciones impuestas sobre los problemas,

con el método anterior sólo se pueden resolver algunos de ellos. El método

de la densidad de la fuerza permite abordar aquellos problemas sobre los

que no se pueden aplicar todas las restricciones. Para obtener el sistema

lineal equivalente, este método utiliza el artificio matemático desarrollado en

[GB88], que parte de las ecuaciones no lineales de equilibrio de fuerzas 4.29–

4.31. Este desarrollo implica un cambio de variable que permite obtener un


sistema de ecuaciones lineales cuyo estado de equilibrio tiene la densidad

de fuerza indicada en cada elemento sin necesidad de imponer ninguna otra

restricción. La diferencia entre los métodos anteriores es que el método de

los desplazamientos no lineales utiliza un número de ecuaciones igual al

número de grados de libertad, mientras que el número de ecuaciones usado

por el método de la densidad de fuerza es igual al número de restricciones

adicionales impuestas, que en la mayoría de los casos suele ser menor que

el número de grados de libertad, como se demuestra en [Sch74]. Esta nueva

metodología introducida por Schek ha suscitado, sin embargo, el estudio

y desarrollo posterior de este método para su uso en aplicaciones diversas

solventado las dificultades propias del método.

Christou implementó un elemento catenaria elástica en el método de

la densidad de fuerza, considerando así la carga distribuida por los cables

como refleja [Chr96]. Con la matriz de rigidez obtenida se puede resolver

la geometría de equilibrio del problema, tras lo que se requiere un proceso

iterativo para hallar la tensión en los cables la cual esta regida por una ecua-

ción no lineal. No obstante, en estructuras muy tensas es común despreciar

las cargas distribuidas.

Junto a estas técnicas existen otros muchos métodos particulares que

permiten resolver multitud de problemas específicos. No obstante, el mé-

todo empleado en este trabajo no puede ser encuadrado en ninguno de los

grupos anteriores ya que todos estos tratan de resolver el equilibrio median-

te la proyección geométrica de las tensiones tal y como muestra la ecuación

4.31. Sin embargo, el método aplicado obtiene las tensiones horizontales y

verticales de forma analítica, lo que le permite mayor flexibilidad al dise-

ñador de la estructura que puede fijar valores geométricos, topológicos y

físicos indistintamente.

El método empleado fue desarrollado por el grupo de investigación en

el que se enmarca el presente proyecto. En la publicación [SJOCLG09] y de

forma más detallada en [Suc08] se define una formulación suficientemente ro-


busta para incorporar todas las posibles incógnitas y cualquier combinación

de éstas en una estructura de cables, de tal forma que abordar problemas de

equilibrio inicial o de respuesta estructural a cargas externas son igualmente

factibles desde la misma estrategia computacional.

Esta formulación, que se ha denominado ‘CALESCA’, distingue funda-

mentalmente dos tipos de incógnitas en los problemas de estructuras de

cables: posiciones de los nudos que unen dos o más tramos de cables y pará-

metros de los mismos. Respecto al primer tipo, las posiciones de los nudos

son sencillamente las coordenadas de éstos en estado de equilibrio estático

que, para un nudo a cualquiera, serán Xa =(Xa

x , Xay , Xa

z

)t. El segundo tipo

de incógnitas comprende la longitud s de cada tramo de cable comprendido

entre dos nudos, la tensión ta en cada nudo a y el parámetro de la catenaria

c = tah/w donde tah es la tensión horizontal del cable y w su densidad lineal.

Asumiendo un sistema de nn nudos, nc cables y nt restricciones, ‘CALESCA’

compone un sistema de 3 nn + 2 nc + nt ecuaciones algebraicas no lineales

que puede resolverse con cualquier algoritmo no lineal de propósito general.

Además de la flexibilidad del método, poder calcular la matriz jacobiana

del sistema de ecuaciones algebraicas de forma analítica y no precisar por

ejemplo de una discretización espacial como requiere el método de elemen-

tos finitos, le dotan de una exactitud y velocidad de cálculo óptimas para su

inclusión en un proceso de optimización. De esta forma este método se ha

validado en diferentes aplicaciones y se ha revelado especialmente potente

en el cálculo del problema de equilibrio inicial de catenarias ferroviarias.

Asimismo, también para este caso concreto este método ha resultado de

gran velocidad y precisión en el cálculo de la rigidez estructural.

4.2. Formulación general del problema

En el cálculo estructural, las ecuaciones de campo que rigen el com-

portamiento del medio continuo se obtienen mediante la aplicación de las


ecuaciones de equilibrio, compatibilidad y comportamiento. Éstas generan

un sistema de ecuaciones diferenciales que relaciona las variables de campo

con funciones conocidas que recogen el efecto de los distintos parámetros

involucrados en el problema. Además de la conocida integración fuerte de

las ecuaciones diferenciales que rigen cualquier sistema de este tipo surgen,

por su mayor sistematización o simplemente por imposibilidad de aplicar

una formulación fuerte, otros métodos de resolución como el método de los

elementos finitos (MEF). Éste se ha convertido en las últimas décadas en

un componente imprescindible en las tareas de diseño y cálculo asistidas

por ordenador. El desarrollo de prototipos físicos ha sido actualmente re-

emplazado o cuanto menos reservado a las últimas etapas del diseño por los

métodos numéricos, ya que éstos suponen una vía más rápida y económica

de analizar y evaluar detalles del diseño.

Toda vez que su equilibrio inicial se ha determinado por cualesquiera

metódos mencionados previamente, el cálculo de estructuras de cables so-

metidas a cargas estáticas y sobre todo dinámicas precisa de la aplicación

de otras técnicas más complejas. El método de los elementos finitos suele ser

el más habitual, lo cual unido a la aplicación ferroviaria que pretende este

proyecto y la experiencia evidenciada en trabajos previos, véanse [Suc08],

[Ram09] y [JO09], lo hace idóneo. No obstante la no linealidad geométrica

propia de los cables precisa una formulación más sofisticada de los elementos

finitos a emplear.

La formulación de los elementos finitos, al margen de la aplicación abor-

dada, es igualmente buena independientemente de si está basada en campos

de desplazamientos o de tensiones. Sin embargo, dado que la segunda es me-

nos popular, en esta sección se seguirá una formulación de elementos basada

en desplazamientos. Considerando los desplazamientos como variables de-

pendientes, en primer lugar ha de definirse un campo admisible tal que los

desplazamientos intrínsecos a cualquier elemento puedan obtenerse median-

te la interpolación de dichas variables en los grados de libertad nodales. En


virtud del principio de energía potencial estacionaria y habiendo definido de

forma apropiada un funcional que permita obtener una solución al campo

de desplazamientos mediante el método de Rayleigh-Ritz, la expresión de

la energía potencial Πp, entonces puede establecerse la condición dΠp = 0

que aplicada sobre los grados de libertad nodales resulta en un sistema de

ecuaciones algebraicas.4.32

Ku = f (4.32)

Por otro lado, los efectos de la inercia cobran importancia a medida que

aumentan las frecuencias de excitación o se deja a la estructura vibrar li-

bremente. De modo que las ecuaciones que gobiernan la respuesta dinámica

de un medio se derivarán contemplando que el trabajo de las fuerzas exter-

nas sea absorbido por el trabajo de las fuerzas internas, de inercia y viscosas

para cualquier movimiento cinemáticamente admisible por pequeño que éste

sea. Es decir, cualquier movimiento que satisfaga tanto las condiciones de

compatibilidad como las condiciones de contorno esenciales. Así, la matriz

de masa Me para un elemento y M para la estructura completa, asimila-

rán la inercia en la formulación mediante una representación discreta de la

distribución de masa de la estructura entendida como un medio continuo

y, análogamente, los efectos del amortiguamiento viscoso se incorporarán

también por medio de las matrices Ce para un elemento y C.

Por tanto, la construcción de las matrices M y C y del vector de fuerzas

internas,q, elementos que definen el comportamiento estructural, se obtie-

nen mediante la expansión conceptual o, dicho en otras palabras, el ensam-

blado de las componentes elementales Me, Ce y qe. Sin embargo, en el caso

del vector de fuerzas internas hay que tener presente que su obtención suele

estar íntimamente relacionado con el método de cálculo dinámico empleado.

Así, la discretización por elementos finitos de la estructura da un sistema

de ecuaciones diferenciales de segundo orden de la forma 4.33


Mu + Cu + Ku = f (4.33)

donde f encuentra su correspondencia con el vector de cargas del pro-

blema estático, ecuación 4.32, aunque en general para el caso dinámico será

función del tiempo. No obstante esto no deja de ser una conjetura que en el

caso de los cables, cuyo comportamiento no lineal es evidente debido a su

geometría y es además acentuado, para la aplicación central abordada en

este proyecto, por la presencia del contacto con el pantógrafo y el pandeo de

las péndolas en la interacción catenaria-pantógrafo, no es asumible. Por tan-

to, la expresión general para cualquier comportamiento, lineal o no lineal,

del material puede generalizarse para una estructura ensamblada según se

expresa en la ecuación 4.34

Mu + Cu + q = f (4.34)

La resolución de este tipo de sistemas mediante integración directa en

el tiempo, como es la opción adoptada en este trabajo, suele requerir méto-

dos numéricos que generalmente precisan el cálculo de la llamada matriz de

rigidez tangente, Kt. En mecánica computacional, esta matriz describe la

rigidez en la respuesta de un sistema a pequeños cambios en su configura-

ción. Idealmente representa el plano tangente a una superficie energética en

un punto, lo cual en este caso supone el cálculo de la matriz jacobiana del

vector de fuerzas internas q respecto al de desplazamientos u como 4.35.

Kt =∂q∂u

(4.35)

El método de elementos finitos con no linealidad geométrica se basa en

la actualidad en tres posibles descripciones cinemáticas o combinaciones de

las mismas: la formulación lagrangiana total, la formulación lagrangiana ac-

tualizada y la formulación corrotacional. Éstas son equivalentes para defor-

maciones finitas en mecánica de los medios continuos, con la única salvedad


del sistema de referencia adoptado para la descripción del movimiento de

los cuerpos. Sin embargo, para elementos estructurales basados en teorías

aproximadas de no linealidad geométrica, los resultados obtenidos con las

diferentes formulaciones no serán los mismos.

Por el tipo de aplicación abordada en el presente trabajo, la formulación

a emplear en el modelado de la estructura de cables será la corrotacional, es-

tribando la principal ventaja de este enfoque en la separación artificial de las

no linealidades material y geométrica en el elemento. Mientras la parte ma-

terial tiene lugar en configuración corrotacional donde se asume linealidad

geométrica, la no linealidad geométrica se hace presente en las rotaciones

rígidas y traslaciones del elemento sin deformar. Incluso considerando en

la definición de la deformación términos que reflejen una no linealidad de

bajo orden, las expresiones del vector de esfuerzos internos y de la matriz

de rigidez tangente resultantes, relacionadas en la expresión 4.35, son más

simples.

Algunos trabajos importantes sobre el marco corrotacional, como los pu-

blicados por Rankin y Brogan en [RB84], Crisfield en [Cri90] y Nour-Omid

y Rankin en [R91], enfatizan el hecho de que cualquier elemento basado

en teorías de no linealidad geométrica aproximada, o incluso de desplaza-

mientos infinitesimales, es capaz de incorporar rotaciones finitas empleando

una formulación corrotacional general. Para las simulaciones de estructuras

planas de cables llevadas a cabo en este proyecto se ha recurrido al elemento

corrotacional bidimensional basado en la formulación de Crisfield recogida

en [Cri91], implementado y descrito en [JO09], por los excelentes resultados

obtenidos con el mismo en trabajos previos.

A pesar de que el tratamiento de los efectos de las no linealidades geomé-

tricas en problemas planos con grandes desplazamientos es ya una cuestión

complicada, la extensión de la formulación bidimensional a tres dimensiones

lo es aún más. Esto es debido a la naturaleza no vectorial de las grandes rota-

ciones en el espacio. En problemas con linealidad geométrica las rotaciones


se asumen infinitesimales y son tratadas vectorialmente. Sin embargo, en

los problemas tridimensionales con grandes desplazamientos, las rotaciones

no son entidades vectoriales, lo cual es fácilmente verificable tras compro-

bar que la propiedad conmutativa de los vectores no se cumple cuando se

aplican grandes rotaciones. De hecho, si se impusiera una secuencia de giros

sobre un cuerpo alrededor de dos o tres ejes ortogonales podría observarse

que la configuración final del cuerpo depende del orden de las rotaciones

sobre el cuerpo.

Entre las formulaciones tridimensionales de elementos finitos tipo viga

basados en teorías geométricamente exactas destacan por una parte la des-

crita por Simo en [Sim85] e implementada por Simo y Vu-Quoc en [SVQ86]

y, por otra parte, la propuesta por Jelenic y Crisfield en [JC99]. Diseña-

da esta última para preservar las medidas de deformación combinando las

buenas características de las teorías geométricamente exactas y de vigas

corrotacionales. No obstante, la implementada y empleada en este proyecto

ha sido la propuesta también por M. Crisfield en [Cri97] por su fiabilidad y

calidad descriptiva.

Siguiendo el enfoque descrito por M.Crisfield en [Cri91] para la formu-

lación de elementos viga corrotacional en 2D, a continuación se establecen

las relaciones entre las expresiones locales y globales del vector de fuerzas

internas y la matriz de rigidez tangente relacionadas en la expresión 4.35.

La idea subyacente en este contexto es la descomposición del movimiento

del elemento en una parte rígida y otra deformable mediante la referencia a

un sistema de coordenadas locales (xl, zl) solidarias al elemento y, por tanto,

a sus movimientos de rotación y traslación, ver figura 4.4.

En esta figura se identifican los desplazamientos en coordenadas locales

y globales a los que se somete el elemento inicialmente definido por los nodos

1 y 2, viniendo determinado su estado actual deformado por los nodos 1′ y

2′.

Las coordenadas de los nodos 1 y 2 en el sistema de coordenadas global


1

2'1

'2lu lx

2µ

¯®1µ

lz

0¯

2u

2w

1u

1w

1lµ

2lµ

x

z

Figura 4.4: Deformación del elemento corrotacional

(x, z) son (x1, z1) y (x2, z2), siendo el vector de desplazamientos globales:

dg = (u1 w1 θ1 u2 w2 θ2)t (4.36)

El vector de desplazamientos locales se define según la figura 4.4:

dl = (ul θl1 θl2)t (4.37)

calculando las componentes de dl como sigue:

ul = ln − lo (4.38)

θl1 = θ1 − α (4.39)

θl2 = θ2 − α (4.40)

denotando lo y ln en la ecuación 4.38 las longitudes inicial y actual del


elemento,

lo = ((x2 − x1)2 + (z2 − z1)

2)1/2 (4.41)

ln = ((x2 + u2 − x1 − u1)2 + (z2 + w2 − z1 − w1)

2)1/2 (4.42)

y α la rotación de sólido rígido, calculándose como:

sin α = cos βo sin β − sin βo cos β (4.43)

cos α = cos βo cos β − sin βo cos β (4.44)

con:

co = cos βo =1

lo(x2 − x1) (4.45)

so = sin βo =1

lo(z2 − z1) (4.46)

c = cos β =1

ln(x2 + u2 − x1 − u1) (4.47)

s = sin β =1

ln(z2 + w2 − z1 − w1) (4.48)

siendo α, tal que |α| < π:

α =

sin−1 (sin α) si sin α ≥ 0 y cos α ≥ 0

cos−1 (cos α) si sin α ≥ 0 y cos α < 0

sin−1 (sin α) si sin α < 0 y cos α ≥ 0

− cos−1 (cos α) si sin α < 0 y cos α < 0

(4.49)

Para aplicar el principio de los trabajos virtuales es preciso obtener los

desplazamientos locales virtuales derivando las ecuaciones 4.38, 4.39 y 4.40:

δul = cos β (δu2 − δu1) + sin β (δw2 − δw1)

(− cos β − sin β 0 cos β sin β 0) δdg = rtδdg

(4.50)


δθl1 = δθ1δα = δθ1δβ con (α = β − β0) (4.51)

δθl2 = δθ2 − δα = δθ2 − δβ (4.52)

Asimismo, derivando la ecuación 4.48 es posible obtener δβ

δβ =1

cl2n((δw2 − δw1)ln − (z2 + w2 − z1 − w1)δln) (4.53)

tomando δln = δul de la ecuación 4.50 y simplificando:

δβ =1

cln((δw2 − δw1)− sc(δu2 − δu1)− s2(δw2 − δw1))

δβ =1

ln(s − c 0 − s c 0)δdg = ztδdg (4.54)

Aplicando 4.54 en 4.51 y 4.52:

δθl =

0 0 1 0 0 0

0 0 0 0 0 1

− 1

ln

zt

zt

dg = Atδdg (4.55)

quedando finalmente la relación de desplazamientos locales y globales

como sigue:

δdl =

δul

δθl1

δθl2

=

−c −s 0 c s 0

−s/ln c/ln 1 s/ln −c/ln 0

−s/ln c/ln 0 s/ln −c/ln 1

δdg (4.56)

δdl =

rt

At

δdg = Bδdg (4.57)

La relación entre los vectores de esfuerzos internos local y global, ql

y qg respectivamente, se obtiene igualando los trabajos virtuales, W , en

ambos sistemas de referencia según refleja la ecuación 4.58. Dependiendo el

vector de esfuerzos internos local de esta relación, qtl = (N, M1, M2), de la

definición propia del elemento.


Wint = δdtgvqg = Nδuv + M1δθl1v + M2δθl2v = δdt

lvql = δdtgvB

tql (4.58)

Así, para cualquier vector de desplazamientos virtuales δdg arbitrario,

el vector de fuerzas internas δqg queda como sigue:

qg = Btql (4.59)

Siendo preciso conocer las tensiones δql resultantes de las ecuaciones

4.60 y 4.61 para el cálculo de δqg.

N =EAul

lo(4.60)

M1

M2

=2EI

lo

2 1

1 2

θl1

θl2

(4.61)

No obstante, la ecuación 4.60 asume que la deformación axil del elemen-

to es igual al cociente de la deformación relativa entre sus extremos y la

longitud del elemento recto. Tal aproximación no permite considerar cual-

quier otro tipo de deformación sobre un elemento inicialmente recto, por

ejemplo la resultante de su flexión (ver figura 4.4).

Este efecto puede ser tenido en cuenta incluyendo los términos de se-

gundo orden en la deformación de Green relativa al sistema corrotacional

para un elemento inicialmente recto, quedando la deformación local como

sigue:

εxl =dul

dxl

+1

2

(dul

dxl

)2

+1

2θ2

l (4.62)

Definiendo el cambio de base isoparamétrico 4.63, con ξ ∈ [−1 1], el

desplazamiento local ul(ξ) puede expresarse como:

xl =1

2(1 + ξ)lo (4.63)


ul(ξ) =1

2(1 + ξ)ul (4.64)

Diferenciando la ecuación 4.64 se obtiene la deformación local

εxl =dul

dxl

=dul

dξ

dξ

dxl

=ul

lo(4.65)

Asimismo, definiendo el desplazamiento transversal local wl, ver figu-

ra 4.4, mediante un polinomio cúbico de ξ según muestra 4.66, es posible

determinar el giro 4.67 nuevamente mediante diferenciación.

wl(ξ) =lo8

(ξ2 − 1)(ξ − 1)

(ξ2 − 1)(ξ + 1)

t θl1

θl2

(4.66)

θl(ξ) =dwl

dxl

=dwl

dξ

dξ

dxl

=lo

4

3ξ2 − 2ξ − 1

3ξ2 + 2ξ − 1

t

θl = stθl (4.67)

Con la ayuda de las ecuaciones 4.65 y 4.67 es posible expresar 4.62 como

4.68:

εxl(ξ) =ul

xl

+1

2

(ul

xl

)2

+1

2θt

lsstθl (4.68)

Asumiendo deformación constante, el último término de 4.68 puede ser

modificado por su valor medio, quedando:

εxl(ξ) =ul

lo+

1

2

(ul

lo

)2

+1

2loθt

l

∫sstdxlθl (4.69)

Realizando el cambio de variable 4.63 e integrando en 4.69, se obtiene:

εxl(ξ) =ul

lo+

1

2

(ul

lo

)2

+1

2loθt

l ·∫ 1

−1

1

42

(3ξ2 − 2ξ − 1)2 (3ξ2 − 1)2 − 4ξ2

(3ξ2 − 1)2 − 4ξ2 (3ξ2 − 2ξ − 1)2

lo2

dξθl

=ul

lo+

1

2

(ul

lo

)2

+1

60θt

l

4 −1

−1 4

θl (4.70)


Derivando 4.70 para su inclusión en el trabajo virtual, con la ayuda de

4.50 y 4.55, la variación de la deformación queda:

δεxl(ξ) =δul

l2o+

ulδul

xl

+1

602θt

l

4 −1

−1 4

δθl

=1

lo

(1 +

ul

lo

)rtδdg +

1

30θt

l

4 −1

−1 4

Atδdg (4.71)

con lo que finalmente, con la inclusión de los términos de segundo orden

en la deformación de Green, la ecuación 4.57 queda modificada como sigue:

δdl =

loδεxl

δθl1

δθl2

= Bδdg (4.72)

explicitando B según refleja la 4.73

B =

(1 + ul

lo

)rtδdg + lo

30θt

l

4 −1

−1 4

At

At

(4.73)

Derivando ahora 4.72 y definiendo la matriz de rigidez tangente Kgt

como δqg = Kgtδdg, se llega a la ecuación 4.74:

δqg = Btδdl + NδB1 + M1δB2 + M2δB3 = Kgt1δdg + Kgtσδdg (4.74)

donde B2, por ejemplo, corresponde a la segunda fila de B (ver 4.56

y 4.57). Asumiendo un comportamiento lineal del material y derivando las

ecuaciones 4.60 y 4.61 se obtiene:

δN

δM1

δM2

=EA

lo

1 0 0

0 4r2 2r2

0 2r2 4r2

δdl = Clδdl (4.75)


donde r es el radio de giro de la sección. Así, empleando la ecuación 4.75

se obtiene el término de la matriz de rigidez tangente estándar Kgt1 de la

ecuación 4.74:

Kgt1 = BtClB (4.76)

A su vez, la matriz de rigidez geométrica se obtiene de los tres últimos

términos de 4.74. De forma que derivando la primera columna de B se

obtienen los siguientes términos:

δB1 =

(1 +

ul

lo

)δrt +

δul

lort+

lo30

δθtl

4 −1

−1 4

At +lo30

θtl

4 −1

−1 4

δB2

δB3

(4.77)

con ayuda de las ecuaciones 4.50 y 4.54 y observando que δβ = δα (ver

figura 4.4) y que δB2 = δB3

r = δβz =1

lnzztδdg (4.78)

δB2 =1

lnδz +

1

l2nzδul =

1

l2n(rzt + zrt)δdg (4.79)

con 4.79,

lo30

θtl

4 −1

−1 4

(δB2 δB3)t =

lo30

(4θl1 − θl2 − θl1 + 4θl2)(δB2 δB3)t

=lo10

(θl1 + θl2)1

l2n(rzt + zrt)δdg (4.80)

y por otra parte, con 4.55:


lo30

δθtl

4 −1

−1 4

At =lo30

δptA

4 −1

−1 4

At

=lo30

Bt

0 0 0

0 4 −1

0 −1 4

Bδdg (4.81)

Sustituyendo en 4.74 y simplificando, la expresión resultante de la matriz

de rigidez tangente es:

Kgtσ =Nlo30

Bt

0 0 0

0 4 −1

0 −1 4

B +N(1 + ul/lo)

lnzzt + N

rrt

lo+

1

l2n(M1 + M2 +

1

10Nlo(θl1 + θl2))(rzt + zrt)

(4.82)

La formulación dinámica del elemento requiere por otra parte comple-

tarse, en virtud de la ecuación (4.34), con las matrices de masa y amor-

tiguamiento M y C. Respecto a la primera, considerando ésta como una

representación discreta de la distribución de masa en un continuo, se define

consistente en caso de emplear en la definición de la matriz de masa las

mismas funciones de forma que para la generación de la matriz de rigidez.

Sin embargo, una de las más simples y tempranas formulaciones es la de la

matriz de masas concentrada, obtenida mediante la concentración de ma-

sas mi en los i nodos del elemento de forma que∑

mi sea la masa total

del elemento. La ecuación 4.83, definida según las expresiones sugeridas por

Cook et al. en [CMP89], representa la matriz de masa implementada en la

formulación dinámica. Esta matriz de orden 6, en relación a los 6 grados de

libertad del elemento recogidos en la ecuación 4.36, denota con A el área de

la sección transversal del elemento, con ρ su densidad y con l la longitud

del mismo.


M =ρAl

6·

2 0 0 1 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

1 0 0 2 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

+

ρAl

420·

0 0 0 0 0 0

0 156 22l 0 54 −13l

0 22l 4l2 0 13l −3l2

0 0 0 0 0 0

0 54 13l 0 156 −22l

0 −13l −3l2 0 −22l 4l2

(4.83)

Por otra parte la matriz de amortiguamiento tangente requerida, entre

otros, en los métodos de integración directa en el tiempo empleados, Ct, se

ha implementado según el amortiguamiento equivalente de Rayleigh. Esta

formulación es ampliamente conocida en dinámica estructural, siendo em-

pleada especialmente como medio más efectivo para cubrir las limitaciones

en el conocimiento del amortiguamiento real, concretamente por las dificul-

tades para conocer teórica y experimentalemente el coeficiente de amorti-

guamiento viscoso κd. La ecuación 4.84 expresa su definición en función de

la matriz de masa M, la matriz de rigidez tangente Kgt y las constantes de

proporcionalidad predefinidas α y β. Estos coeficientes ponderan la influen-

cia de ambas matrices en el amortiguamiento, teniendo presente la mayor

relevancia de la matriz de masa en el efecto sobre las bajas frecuencias y de

la matriz de rigidez en las altas.

Ct = α ·M + β ·Kgt (4.84)

Sin embargo, en general y particularizando para la norma EN50318 se


suelo considerar existe amortiguamiento, los coeficientes de proporcionali-

dad α y β se anularán, quedando:

Ct = αM + βKgt = 0 (4.85)

Finalmente es preciso hacer constar, aunque de forma meramente super-

ficial, las consideraciones adoptadas para la implementación de una barra

corrotacional, ya que realmente no se ha seguido una formulación ad hoc

para este tipo de elementos sino que se han introducido ciertas modificacio-

nes sobre el elemento tipo viga. Concretamente, habiendo derivado el vector

de fuerzas internas qg y la matriz de rigidez tangente Kgt según se explici-

ta en esta sección, para los elementos barra se harán nulos los coeficientes

relativos a los giros, resultando esta simplificación aceptable. Asimismo, la

matriz de masa se ha definido también únicamente para los grados de liber-

tad concernientes a este tipo de elementos, [u1 w1 u2 w2], según la expresión

4.86 de matriz de masa consistente definida en [CMP89].

M =ρAl

4·

2 0 1 0

0 2 0 1

1 0 2 0

0 1 0 2

(4.86)

4.2.1. Vector de cargas debidas al viento

Para el caso concreto que nos ocupa en este proyecto, la formulación de

las cargas de viento para este elemento se debe distinguir entre el cálculo

estático y dinámico de su efecto debido a, como se indicó en 3 la dependencia

del valor de la fuerza de la velocidad del punto estudiado en cada momento.

Esta dependencia, en el caso estático, no se considera, teniendo en cuenta

únicamente la velocidad del viento que incide.

No obstante, en ambos casos la fuerza del viento se introduce como una

carga distribuida, de modo que en el caso de querer estudiar estáticamente


el efecto del viento en el plano lateral, como ocurre en la sección 4.2.4 la

fuerza del viento por unidad de longitud se calcuría como:

q = CDρv2A

2·

0

0,5

li12

0

0,5

−li12

(4.87)

Con la dirección marcada por la dirección del viento y donde CDρv2A

2

corresponde a la fuerza de arrastre (3.12) con CD calculado según (4.189)

o bien corresponde a la proyección de las fuerzas de arrastre y sustentación

(3.13) sobre el plano lateral. Por otro lado, para el cálculo dinámico en 2D

en 4.2.5, 5.3.2 y también en 5.3.1 aunque de forma menos precisa por las

limitaciones del modelo la fuerza del viento tiene en cuenta la velodidad del

nodo donde se aplica, tratándose en este caso, por tanto, como una carga

nodal resultando:

q = Cρv2

relA

2·

0

1

0

0

1

0

(4.88)

En la ecuación 4.88 se sustuye la velocidad del viento por vrel que integra

la consideración de la velocidad de la estructura. En el cálculo de esta velo-

cidad se tiene en cuenta, además los distintos ángulos de ataque del viento.

Como se puede observar en la figura 4.5 tomada de [WX03] es necesario

considerar dos ángulos en el cálculo de la velocidad relativa. Tomando la

nomenglatura de esta figura la velocidad del viento sería U0 y la que inci-


de perpendicularmente sobre el cable U, siendo la ecuación 4.89 la relación

entre las mismas.

U = U0

√sin2 (α) + cos2 (α) cos2 (β) (4.89)

Wind Uo

®¯

Figura 4.5: Esquema de la incidencia del viento sobre un cable

Por otro lado, el paso de la U a la vrel y que es el término que se introduce

en el elemento se calcula mediante la ecuación 4.90

vrel =

√U · cos (γ) + (Usin (γ) + y)2 (4.90)

siendo y la velocidad vertical en cada punto e intante de la estructura y

γ el ángulo que corresponde a la ecuación 4.91. Por otro lado, el coeficiente

C de la ecuación (4.88) se cálcula, al igual que el coeficiente de la ecuación

(4.87) como el coefiente de sustentación de (3.13) o como proyección de las

fuerzas horizontal y vertical sobre el cable. En el caso de proyectar, la fuerza

que quedaría como 4.92 sobre los grados de gravedad verticales.


γ = asin

(sinαsinβ

cos2 (β) + sin2 (α) sin2 (β)

)(4.91)

F =ρV 2A

2(CLcos (φ) + CDsin (φ)) (4.92)

donde φ se calcula según la ecuación 4.93

φ = atan

(Usin (γ) + y

Ucos (γ)

)(4.93)

4.2.2. Formulación del elemento corrotacional tridimen-

sional

El objeto de esta sección es detallar la formulación corrotacional del

elemento viga tridimensional empleado en este trabajo de forma que sea

posible resolver el cálculo de la posición de equilibrio estático de estructu-

ras tridimensionales de cables. Siguiendo el enfoque descrito por M.Crisfield

en [Cri97] para casos tridimensionales, a continuación se establecen las rela-

ciones entre las expresiones locales y globales del vector de fuerzas internas

y la matriz de rigidez tangente. La idea subyacente en este contexto es la

descomposición del movimiento del elemento en una parte rígida y otra

deformable mediante la referencia a un sistema de coordenadas locales so-

lidarias al elemento como se puede ver en la figura 4.7 y, por tanto, a sus

movimientos de rotación y traslación.

El producto vectorial se puede expresar en forma funcional de la siguien-

te manera

x× y = S(x)y = −S(y)x, (4.94)

donde la matriz S(x) refleja la parte extraída del producto vectorial.

4.2.2.1. Fórmula de Rodrigues

La fórmula de Rodrigues permite transformar un sistema de coordenadas

según la información contenida en un vector de rotación Φ. Esto queda


Figura 4.6: Fórmula de Rodrigues

representado en la figura 4.6 y la ecuación (4.97)

Φ =

Φ1

Φ2

Φ2

= Φ1e1 + Φ2e2 + Φ3e3. (4.95)

Aplicando la ecuación (4.95) se obtiene un nuevo vector r′ en un nuevo

sistema de coordenadas que ha sido girado alrededor del pseudovector Φ,

que incluye la dirección del eje de rotación n y cuyo módulo coincido con

la magnitud del giro. Aplicando la ecuación de Rodrigues se obtiene una

matriz de rotación R y que se utiliza según

r′ = Rr, (4.96)

donde

R(Φ) =

[I +

sin Φ

ΦS(Φ) +

1− cos Φ

Φ2S(Φ)S(Φ)

]. (4.97)

Siguiendo la deducción de la sección 16.5 de la referencia [Cri97], la

ecuación 4.97 se puede escribir como

R = I +1

1 + 14ωT ω

[S(ω) +

1

2S(ω)2

], (4.98)


donde ω

ω = 2 tan

(Φ

2

)e =

2 tan(

Φ2

)Φ

Φ (4.99)

y e es la dirección del pseudo vector ω.

Además, existen algoritmos para determinar el ángulo de giro a partir de

la matriz de giro R. En la sección 16.10 de la referencia [Cri97] se presenta

un algoritmo para obtener dicho ángulo. Este algoritmo para obtener Φ

queda descrito por las siguientes ecuaciones

tr(A) =3∑

i=1

A(i, i), (4.100)

donde A es una matriz admisible de tamaño 3× 3. Sea

a = max(tr(R), R11, R22, R33). (4.101)

siendo Rii los elementos de la diagonal.

En caso de que a = tr(R) se debe aplicar que

q0 =1

2

√1 + a (4.102)

y que

qi = (Rkj −Rjk)(4q0)−1 for i = 1, 2, 3, (4.103)

siendo i, j y k una combinación cíclica de 1, 2 y 3.

Si a = Rii,

qi =

√(1

2a +

1

4(1− tr(R)) (4.104)

q0 =1

4(Rkj −Rjk)q

−1i (4.105)

ql =1

4(Rli + Ril)q

−1i for l = j, k (4.106)

por lo que el nuevo pseudovector viene dada por

ω = 2 tan(

Φ

2

)e =

2

q0

q1

q2

q3

. (4.107)


Figura 4.7: Marco de referencia del elemento tridimensional

4.2.2.2. Descripción del elemento

Según la sección 17,1 del volumen 2 de la referencia [Cri97], las posiciones

iniciales de los nodos del elemento quedan definidas por los vectores x1 y

x2 como se observa en la figura 4.7a. Además, se debe generar el sistema de

coordenadas local, E, representado en la figura 4.7c a partir de un giro medio

entre los triedros tangentes a cada nodo. Este desarrollo está descrito en las

secciones 2,3 a 2,6 en la referencia [Cri97] y será reproducido a continuación

con las aclaraciones necesarias para facilitar su implementación.

En primer lugar, el vector de desplazamientos locales se define como

pl =

dl1

θl1

dl2

θl2

, (4.108)

donde

dTli = (uli, vli, wli) (4.109)


y

θTl1 = (θl1, θl2, θl3) (4.110)

θTl2 = (θl4, θl5, θl6). (4.111)

dl1 y dl2 son los desplazamientos en el sistema de referencia local, E,

mientras que θl1 y θl2 son las rotaciones en el mismo sistema de referencia

local. En los nodos, los sistemas de referencia ortogonales tangentes a la

trayectoria de la viga o cable se denotan por T y U, como se aprecia en la

figura 4.7.

La longitud inicial l0 y la longitud actual ln, mostradas en la figura 4.7a,

se pueden calcular como

l0 =√

(x212) (4.112)

y

ln =√

((x12 + d12)2). (4.113)

Los desplazamientos, ul, vienen dados por

ul = ln − l0. (4.114)

Para poder obtener el sistema de referencia local E se debe calcular R a

partir de los sistemas asociados a los nodos del elemento. R es la matriz de

rotación existente entre ambos triedros T y U y se puede calcular aplicando

R = Rm(γ

2)T. (4.115)

En esta ecuación γ es el vector de rotación entre los triedros T y U. Rm

es la matriz de rotación que gira de U a T de un único giro. γ se puede

obtener aplicando el esquema descrito en la sección 4.2.2.1. Por lo tanto, γ2

se puede calcular fácilmente ya que U and T son sistemas de coordenadas

ortogonales y, se cumple que TT = T−1 and UT = U−1 y consecuentemente

Rm(γ) = TUT . (4.116)


El sistema de coordenadas intermedio, E = (e1, e2, e3), se obtiene apli-

cando el siguiente algoritmo. En primer lugar se determina e1 sabiendo que

se cumple que

e1 = (x12 + d12)l−1n . (4.117)

Usando dicho resultado y R, con R = [r1, r2, r3], e2 y e3 se calculan

como

ei = ri −rie1

2(e1r1) , para i = 2, 3. (4.118)

4.2.2.3. Cálculo de la matriz de transformaciónF

La matriz de transformación F permite pasar las deformaciones en un

sistemas de coordenadas local asociados al triedro E al sistema de coorde-

nadas global de forma que se cumpla que

pl = Fpl (4.119)

La dirección e1 es el vector que pasa las posiciones deformadas de los

nodos del elemento por lo que

dl1 = 0 (4.120)

y

dl2 = (ul, 0, 0) (4.121)

.

Las rotaciones locales θi se calculan aplicando que

2sin (pl(4)) = 2 sin θl1 = −tT3 e2 + tT

2 e3, (4.122)


1 e3, (4.123)


1 e3, (4.124)

2sin (pl(10)) = 2 sin θl4 = −uT3 e2 + uT

2 e3, (4.125)


1 e3, (4.126)


1 e3. (4.127)


donde δp contiene

δp =

δd1

δα

δd2

δβ

. (4.128)

F es una matriz 12× 12 que tiene la siguiente estructura

F =

fT1

fT2...

fT12

. (4.129)

Dada la definición de las translaciones dl1 y dl2 es obvio que

f1, f2, f3, f8, f9 = 0. (4.130)

Además, f7 se obtiene fácilmente derivando la ecuación (4.114)

δ(ul) = eT1 δ(d12) = fT7 δp, (4.131)

de lo que se deduce que

f7 = (−eT1 ,0T , eT

1 ,0T ). (4.132)

El resto de de filas de F se determinan derivando las ecuaciones (4.122-

4.127). Para ello, es necesario conocer las derivadas de las componentes de

los triedros E, T y U .

Usando las reglas de los productos vectoriales se puede escribir que

δti = δα× ti = S(α)δti = −S(ti)α (4.133)

δui se determina de forma similar y resulta

δui = δβ × ui = S(β)δui = S(ti)β. (4.134)


Diferenciando e1 se obtiene que

δe1 =δ(d21)

ln− (x21 + d21)

l2nδ(d21) = Aδ(d21). (4.135)

donde

A = (I− e1eT1 )l−1

n . (4.136)

Además las derivadas de ei, siendo i = 2, 3, a partir de la ecuación 4.118

se obtienen aplicando

δei = δri −[[

δrTi e1 + rT

i δe1

](e1 + r1

)+(rT

i e1

)(δe1 + δr1)

] 1

2, (4.137)

donde

δri = S(

δα + δβ

2

)ri = −riS

(δα + δβ

2

). (4.138)

Sacando factor común δpl, L(ei) se obtiene como

δei = L(ei)T δp, (4.139)

donde

LT = [LT1 ,LT

2 ,−LT1 ,L2]. (4.140)

L1(ri) =1

2

(rT

i e1A + Ari(e1 + r1)T)

(4.141)

y

L2(ri) =1

4

(2S(ri)− rT

i e1S(r1)− S(ri)e1(e1 + r1)T). (4.142)

A modo de ejemplo se va a mostrar el desarrollo completo de f4.

δ(2 sin(pl(4))) = δ(2sinθl1) = δ(−tT3 e2 + tT

2 e3) (4.143)


Usando la regla de la cadena sobre la ecuación 4.122 se deduce que

(2 cos θl1)δθl1 =[−(δt3)

Te2 + (δt2)Te3 − tT

3 δe2 + tT2 δe3

]. (4.144)

Las ecuaciones 4.133, 4.134, 4.140 y 4.144 se usan para ensamblar la

ecuación

δθl1 = (2 cos θl1)−1(L(r3)t2 − L(r2)t3 + h1)δp, (4.145)

donde

hT1 =

{0T , (−S(t3)e2 + S(t2)e3)

T ,0T ,0T}

. (4.146)

Por lo tanto, f4 se puede escribir como

f4 = (2 cos θl1)−1(L(r3)t2 − L(r2)t3 + h1). (4.147)

Similarmente se obtiene que

f5 = (2 cos θl2)−1(L(r2)t1 + h2), (4.148)

f6 = (2 cos θl3)−1(L(r3)t1 + h3), (4.149)

f10 = (2 cos θl4)−1(L(r3)u2 − L(r2)u3 + h4), (4.150)

f11 = (2 cos θl5)−1(L(r2)u1 + h5), (4.151)

f12 = (2 cos θl6)−1(L(r3)u1 + h6), (4.152)

donde

hT2 =

{(At2)

T , (−S(t2)e1 + S(t1)e2)T ,−(At2)

T ,0T}

, (4.153)

hT3 =

{(At3)

T , (−S(t3)e1 + S(t1)e3)T ,−(At3)

T ,0T}

, (4.154)

hT4 =

{0T ,0T ,0T (−S(u3)e2 + S(u2)e3)

T}

, (4.155)

hT5 =

{(Au2)

T ,0T ,−(Au2)T , (−S(u2)e1 + S(u1)e2)

T}

, (4.156)

hT6 =

{(Au3)

T ,0T ,−(Au3)T , (−S(u3)e1 + S(u1)e3)

T}

. (4.157)


4.2.2.4. Parte geometrica

A partir de la ecuación 4.159, que describe los esfuerzos internos, se

define Ktσδp como

Ktσδp = δFqli. (4.158)

δqi = (FTKlF + Ktσ)δp (4.159)

Para simplificar la ecuación 4.158 también se puede escribir que

Ktσδp =12∑

j=1

qli(j)δfj. (4.160)

Extrayendo δp de la ecuación 4.160 se determina Ktσ que depende

del cambio de qli para lo que se necesitan las variaciones de fi para i =

4, 5, 6, 10, 11, 12 de la siguiente manera

qli(j) =

(2 cos θlj)−1qli(j) for j = 4, 5, 6, 10, 11, 12

0 for j = 1, 2, 3, 7, 8, 9

. (4.161)

Utilizando estas expresiones se construye Ktσ como

Ktσ = Kσ1 + F diag(qlitan θliFT )

+qli(10) [Kσ2(r2, t3 − u3) + Kσ2(r3,u2 − t2]

+qli(5)Kσ2(r2, t1) + qli(6)Kσ2(r3, t1)

+qli(11)Kσ2(r2,u1) + qli(12)Kσ2(r3,u1)

+Kσ3 + KTσ3 + Kσ4 + Kσ5. (4.162)

Para simplificar, en las siguientes expresiones tan sólo se nombrarán los

bloques Kmn de tamaño 3×3 que componen la matriz K de tamaño 12×12.

K =

K11 K12 K13 K14

K21 K22 K23 K24

K31 K32 K33 K34

K41 K42 K43 K44

(4.163)


A modo de ejemplo, se detalla la derivación de Kσ1. Separando qli(7) y

δf7 en la ecuación 4.161 y derivando δf7 se obtiene que

δfT7 = (−δeT1 ,0T , δeT

1 ,0T ), (4.164)

de lo que se deduce que, aplicando las ecuaciones 4.135 y 4.136

δfT7 = (−AδdT21,0

T ,AδdT21,0

T ) (4.165)

y, sacando factor común, δp de nuevo en (4.165) y usando la ecuación4.161,

Kσ1 resulta

K11 = K33 = −K13 = −K31 = qli(7)A. (4.166)

Para no resultar demasiado prolijo en la deducción de las matrices ca-

racterísticas para el resto de componentes, a continuación se escribirán tan

sólo los resultados de cada Ktσ y no su deducción, coincidiendo éstas con

las que se encuentran en [Cri97].

Los términos de Kσ2 provienen de la variación de las matrices L(ri)z que

se encuentran en las ecuaciones (4.147) to (4.152). Por lo tanto Kσ2(ri, z)

se compone a partir de

K11 = K33 = −K13 = −K31 = X + XT + rTi ei(2(eT

1 z) + zT r1)A(2ln)−1,(4.167)

donde

X =1

2(−AzrT

i A + (rTi e1AzeT

1 + +zT (e1 + r1)ArieT1 )l−1

n ), (4.168)

K12 = K14 = −K32 = −K34

= −AzeT1 S(r1)−ArizTS(r1)− zT (e1 + r1S(ri), (4.169)

K21 = K41 = −K23 = −K43 = KT12, (4.170)

y

K12 = K14 = −K32 = −K34

= −(rTi e1)S(z)S(r1 + S(r1)zeT

1 S(ri) + S(ri)e1zTS(r1)

−(e1 + r1)TzS(e1)S(ri) + 2S(z)S(ri). (4.171)


En el caso de Kσ3 se utiliza una matriz subdividida con bloques diferen-

tes. La matriz KTσ3, que es uno de los términos de (4.162), proviene de las

ecuaciones (4.147-4.152) y Kσ3 (4.146) y (4.153-4.157)

Kσ3 = [0,K2,0,K4], (4.172)

donde

K2 = −L(r2)[qli(10)S(t3) + qli(5)S(t1)]

+L(r3)[qli(10)S(t2)− qli(6)S(t1)] (4.173)

y

K4 = L(r2)[qli(10)S(u3)− qli(11)S(t1)]

−L(r3)[qli(10)S(u2) + qli(12)S(u1)] (4.174)

.

Kσ4 también proviene de (4.146), (4.153-4.157) y tan sólo tiene dos ma-

trices no nulas

K22 = qli(10)[S(e2)S(t3)− S(e3)S(t2)]

+qli(5)[−S(e1)S(t2) + S(e2)S(t1)]

+qli(6)[−S(e1)S(t3) + S(e3)S(t1)] (4.175)

y

K44 = −qli(10)[S(e2)S(u3)− S(e3)S(u2)]

+qli(11)[−S(e1)S(u2) + S(e2)S(u1)]

+qli(12)[−S(e1)S(u3) + S(e3)S(u1)]. (4.176)

El término Kσ5 procede de la variación de δhi, está relacionado con las

ecuaciones (4.146) y (4.153-4.157) y viene dado por

K12 = −K32 = −qli(5)AS(t2) + qli(6)AS(t3), (4.177)


K14 = −K34 = −qli(11)AS(u2) + qli(12)AS(u3), (4.178)

K21 = −K23 = KT12 (4.179)

K41 = −K43 = KT14, (4.180)

K11 = K33 = −K13 = −K31 = AveT1 + e1vTA + (eT

1 v)A, (4.181)

y

K11 = K33 = −K13 = −K31 (4.182)

, con

v = l−1n [qli(5)t2 + qli(6)t3 + qli(11)u2 + qli(12)u3]. (4.183)

4.2.3. Algoritmo de integración temporal

Para la integración temporal de la ecuación (4.34) se ha empleado el

método α-generalizado descrito por Chung y Hulbert en [CH93]. La inte-

gración de ecuaciones diferenciales algebraicas (DAE) de segundo orden e

índice 2, conduce a inestabilidad numérica cuando se usa un método de

integración de la familia de Newmark debido a las restricciones algebrai-

cas, que se manifiesta a través de oscilaciones crecientes en la respuesta en

aceleraciones. Introduciendo una pequeña disipación en el algoritmo para

las altas frecuencias se logra controlar esta inestabilidad, manteniendo la

estabilidad de la integración de dinámica lineal con restricciones. El méto-

do α-generalizado utilizado incluye como casos particulares algunos de los

algoritmos de integración temporal más importantes en dinámica estructu-

ral, como la regla trapezoidal o el algoritmo Hilber-Hughes-Taylor [HHT77]

(HHT), constituyendo así un marco general para investigaciones teóricas.

El método se fundamenta en las fórmulas de Newmark 4.184,

un+1 = un + ∆tun + ∆t2(

1

2− β

)un + ∆t2βun+1 (4.184)


promediando este algoritmo para el cálculo del residuo la diferente con-

tribución de dos instantes consecutivos según los parámetros numéricos αm

y αf como refleja 4.185:

R = (1− αm) (Mu)n+1 + αm (Mu)n +

+ (1− αf ) (q− f)n+1 + αf (q− f)n

(4.185)

En particular, el algoritmo HHT se obtiene para αm = 0 y αf ∈[0, 1

3

].

No obstante, estos parámetros del método α-generalizado pueden ser calcu-

lados en función del radio espectral ρu∞:

αm =2ρu

∞ − 1

ρu∞ + 1

y αf =ρu∞

ρu∞ + 1

(4.186)

Definiendo αfm = αf − αm, los parámetros de Newmark quedan como

se muestra en 4.187:

γ =1

2+ αfm y β =

1

4

(γ +

1

2

)2

(4.187)

Demostrándose más tarde que para valores de αfm > 0 el método presen-

ta una precisión de segundo orden. La solución numérica se obtiene mediante

un algoritmo predictor-corrector como el empleado en la familia Newmark,

quedando la matriz tangente modificada en cada paso corrector como refleja

la ecuación 4.188:

K∗t = (1− αf )Kt + (1− αf )

γ

βhCt + (1− αm)

1

βh2M (4.188)

4.2.4. Verificación estática

Como se ha visto en el capítulo 3 la fuerza del viento se define de acuerdo

a las ecuaciones 3.12 y 3.13, que refieren a la fuerza que produce el viento su

propia dirección y en dirección normal, respectivamente. Como se observa

en las gráficas 3.3 y 3.4 el valor de los coeficientes aerodinámicos varían


en función, entre otros parámetros, de la sección y en el caso particular

del coeficiente de arrastre Cd, que influye en el desplazamiento del cable

en el plano horizontal, se puede aproximar experimentalmente pero para

conductores circulares se han calculado relaciones que permiten obtenerlo a

partir del número de Reynolds como la aproximación de [SB75].

cd = 1,18 +6,8

Re0,89+

1,96

Re0,5− 1

14·Re·10−4 + Re

1,1·103

(4.189)

En [KPS09] se analiza el comportamiento de un cable circular sometido

a un viento lateral, centrándose en la desviación que sufre respecto a su

posición inicial. Esta desviación es directamente proporcional a la carga del

viento e inversamente proporcional a la tensión de los cables, de modo que

si tomamos un único cable sujeto en los extremos, la desviación de un punto

x medido desde el soporte de referencia se describe analíticamente como:

yw =Fw · x · (li − x)

2 ·H(4.190)

Siendo Fw la fuerza del viento y H la tensión horizontal del cable calculada

sin incluir en efecto del viento, considerando únicamente el peso del cable.

Derivando e igualando a cero obtenemos la posición de la mayor desviación

lateral (xgr) y el valor de esta desviación (emax):

xgr =li2− (bi − bi+1) ·H

(Fw · li)(4.191)

emax =Fw · l2i8 ·H

+(bi − bi+1)

2 ·H(Fw · l2i · 2)

+(bi + bi+1)

2(4.192)

Esto se aplica para el caso en el que la carga del viento por unidad de

longitud Fw es mayor que 2 · |bi − bi+1|Hl2i . En caso contrario, el punto con

la máxima desviación, calculada matemáticamente estaría fuera del vano

considerado. Para el caso más común, en el que bi= -b y bi+1=+b:

emax =Fw · l2

8 ·H+

2 · b2 ·H(Fw · l2i )

(4.193)


Con el objetivo de validar el método de cálculo empleado, se han com-

parado estas ecuaciones analíticas con los resultados de plantear la misma

situación mediante elementos finitos y para distitas velocidades del viento

sobre un cable fijo en sus extremos con las características de la tabla 4.3

Peso 1,34N/m

S 0,000152m2

E 1,15 · 1011

Tabla 4.3: Datos del cable del caso estudio

Figura 4.8: Comparación efecto estático del viento con elementos finitos

En la figura 4.8 se representan los desplazamientos sufridos por el cable

para velocidades que varían desde 0 a 46.8 km/h. Si realizamos este mismo

cálculo para velocidades superiores, el problema no converge, debido a que

la estructura no puede soportar fuerzas superiores.

En este punto se va a realizar un análisis sobre los distintos factores que


pueden afectar a la estabilidad y la convergencia del caso estudiado con el

método de elementos finitos. En primer lugar se analiza el efecto del método

empleado observando la sensibilidad del cálculo al número de elementos en

la convergencia. Mientras que para una velocidad del viento de 60 km/h,la

fuerza ejercida por el mismo no permite un equilibrio de la estructura para

19 elementos en un cable de 15.005m si aumentamos el número de elementos

a más del doble, como se observa en la figura4.9, es posible hallar conver-

gencia en el cálculo. Por otro lado, si aumentamos la velocidad a valores

mucho mayores, como 108km/h se aproxima a valores muy cercanos, pero

el cálculo no llega a converger, por lo que, si bien el cálculo es sensible al

número de elementos utilizados existen valores de velocidad para los que el

problema no converge.

Figura 4.9: Cálculo cable bajo efecto de un viento fuerte con 60 y 108 km/h

En cuanto al valor de otros parámetros constructivos del cable, se pue-

de afirmar, sin realizar ningún cálculo que un mayor peso del cable será

favorable para la estabilidad del mismo frente a la carga del viento al pre-

sentar más inercia al desplazamiento. En el caso de estudio, inestable para


108km/h como se ha visto en el análisis anterior se hace un estudio aña-

diendo al cable una, dos y tres unidades de masa por unidad de longitud y,

aunque en la figura 4.10 se observan resultados próximos a los análiticos en

los tres casos, sólo se ha conseguido la convergencia en el cálculo en el tercer

caso, lo que supone que, para soportar un viento de velocidad constante a

108km/h se le deben añadir a la estructura unos 45kg de masa.

0 5 10 15−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Posición en X (m)

Pos

ició

n en

Y (

m)

Figura 4.10: Cables de masa 2.34, 3.34 y 4.34 kg/m bajo un viento de

108km/h

Por tanto, se puede concluir que en cálculo estático de cables bajo el

efecto de una carga de viento a velocidad constante mediante elementos

finitos, además de parámetros constructivos, como el peso, el número de

elementos empleado en el cálculo tiene gran importancia en la convergencia

del problema.


4.2.5. Consideraciones de los efectos dinámicos en ca-

bles

En general, los efectos dinámicos del viento se pueden clasificar según el

esquema de la figura 4.11.

Figura 4.11: Clasificación de los efectos dinámicos del viento

Las vibraciones en la dirección del viento pueden derivarse directamente

de las fluctuaciones de presión de las ráfagas o, indirectamente, del incre-

mento de la turbulencia provocado por el desprendimiento de remolinos

detrás de los obstáculos. Este último efecto es propio de la interferencia

aerodinámica entre diferentes estructuras y en los cables, dadas sus dimen-

siones, no es un efecto dinámico relevante. Las vibraciones en la dirección

ortogonal al viento se suscitan como consecuencia del desprendimiento de

remolinos principalmente como vibraciones forzadas. Finalmente, se puede

distinguir entre vibraciones por auto-excitación de galope y flameo.Estas

últimas se basan en la interacción entre una estructura elástica y el viento

y también reciben el nombre de efectos aeroelásticos.


La amplitud de la vibración en la dirección ortogonal al viento está

relacionada con la dimensión d del cilindro sometido a la corriente de aire.

La amplificación por resonancia está limitada en primer lugar debido a la

no linealidad aerodinámica para una amplitud de vibración grande, jugando

un papel importante el amortiguamiento y la distribución de masas.

Para estudiar los efectos dinámicos se han originado señales de viento

a partir de la densidad espectral teórica de Davenport de la ecuación (3.5)

que, como se observa en la figura 3.2 se ajusta a los estudios experimentales.

Para su utilización es necesaria la determinación de dos parámetros

U (10), que es la velocidad media a 10 m y depende de la velocidad.

Como se ha visto en el capítulo 3 esta velocidad depende de la ru-

gosidad del terreno, observando la variación en la figura 3.1. Para

la generación se señales de viento tomaremos un valor medio, 0.28,

correspondiente con una zona rústica. Según la gráfica podemos esti-

mar que esta velocidad media es de unos 20 m/s.

U∗ es la velocidad de fricción, velocidad que incorpora solamente el

corte en la pared y la densidad del fluido, por lo que su expresión es

la misma para cualquier régimen de flujo o textura del límite.

U∗ =

√τ0

ρ= v

√f

8(4.194)

donde f es el factor de fricción, que depende de la rugosidad relativa y

del número de Reynolds. Tomando un valor aproximado de 0.1 para

este factor el valor de U∗ sería 0,11v

Por tanto, partiendo de este espectro y con las ecuaciones descritas en

3.2 se han simulado señales de viento como la de la figura 4.12 que tiene

una velocidad media de 10 m/s.

Esta velocidad genera una fuerza variable con el tiempo, que se aplica a

la estructura descrita en la sección anterior como carga distribuida variable

en cada instante de tiempo. Además, respecto al cálculo estático, el valor


Figura 4.12: Señal de velocidad de viento aleatorio de media 10 m/s

de la fuerza del viento se ve afectada por la velocidad instantánea de la

estrutura, ya que la velocidad de viento que ve esta estructura es la relativa

entre su propia velocidad y la del viento, de modo que la velocidad v de la

ecuación (3.1) sería la velocidad relativa, urel calculada como se indica en

la figura 4.13

El efecto de la variabilidad del viento puede afectar no sólo al desplaza-

miento de los puntos, si no también a las tensiones que sufre la estructura.

En el análisis estático, bajo una velocidad de viento de 10 m/s la tensión

vertical (como se ha mencionado, la componente horizontal permanece cons-

tante a lo largo del cable) que sufren el cable se observa en la figura 4.14,

con un máximo de 0.38 N/m2.

En el análisis dinámico, aplicando un viento aleatorio de media 10 m/s

se observa que, si bien la distribución de tensiones verticales a lo largo del

cable es similar a la obtenida en el caso estático el valor varía en cada

instante, llegando a ser superior al obtenido para una velocidad instantánea

menor a 10 m/s. En la figura 4.15 se representa la componente vertical de la


relU

U

y_

Á

°

y_

F

Figura 4.13: Composición de velocidades

0 5 10 150

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

Posición en X (m)

Ten

sión

ver

tical

(N

)

Figura 4.14: Tensión vertical de un cable sometido a una carga estática de

viento a 10 m/s

tensión en el cable para el instante en el que la velocidad del viento es 9.36

m/s. Como se observa, el valor máximo de tensión (0.41 N/m2.)es superior


al alcanzado en estática con 10 m/s.

0 5 10 150

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

Posición (m)

Ten

sión

(N

)

Figura 4.15: Tensión vertical de un cable sometido a una carga dinámica de

viento a una velocidad instantánea de 9.36 m/s

Por otro lado, en cuanto a la evolución de la tensión en el tiempo se

representa en la figura 4.16 la evolución de la tensión en el tiempo para el

punto central y para un extremo. Comparandolas con la velocidad del viento

(reducida en función de su valor máximo) se observa, especialmente para el

punto del extremo que sufre tensiones mayores, una tendencia similar.

En cuanto a los desplazamientos, su valor depende, como la tensión, del

valor de la velocidad pudiendo ser mayor o menor que en el análisis estático.

Por tanto, se observa que el efecto de ráfagas de la velocidad del viento

así como la consideración de la velocidad de la estructura influye tanto en

desplazamientos como en tensiones, así como en la convergencia del cálculo.

Estas conclusiones concuerdan tanto con las respuestas esperadas como con

las ecuaciones analíticas lo que nos permite validar el método de cálculo.


0 50 100 150 200 250 300−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Tiempo (s)

Ten

sión

(N

)

tensión extremotensión centrovelocidad viento reducida

Figura 4.16: Comparación de tensiones en diferentes puntos y con la ten-

dencia de la velocidad del viento

Capítulo 5

Efecto del viento en catenarias

ferroviarias

Este capítulo presenta una de las aplicaciones de mayor interés industrial

actualmente, concretamente en el sector del transporte, el efecto del viento

sobre las catenarias ferroviarias. Así, en primer se describirán los elemen-

tos mecánicos fundamentales que componen una catenaria ferroviaria en la

sección 5.1; en la sección 5.2.1 se analiza el efecto del viento lateral sobre

la rigidez de la catenaria y; finalmente, el efecto de la fluctuación del viento

en la interacción dinámica catenaria-pantógrafo se analiza en la sección 5.3.

5.1. Descripción mecánica de la catenaria

Los dos elementos del sistema de electrificación ferroviaria que mayor

interés suscitan son la catenaria y el pantógrafo. Por catenaria se entien-

de el conjunto de elementos que constituyen la línea aérea de transporte

y suministro de energía eléctrica a un ferrocarril y, dependiendo de las ca-

racterísticas de la línea sobre la que vayan a estar instaladas, se distinguen

catenarias de alta velocidad, para ferrocarril metropolitano, etc. La más

común y extendida es similar a la representada en la figura 5.1, la cual

75

CAPÍTULO 5. VIENTO EN CATENARIAS FERROVIARIAS 76

consta de tres elementos básicos: el hilo sustentador, cable superior de la

catenaria; el hilo de contacto, cable inferior de la catenaria de donde to-

man la energía eléctrica los trenes; y las péndolas, barras transversales que

conectan eléctrica y mecánicamente los hilos sustentador y de contacto.

La estructura general de una catenaria ferroviaria consiste en vanos in-

dividuales diseñados de acuerdo a la aplicación a la que se destinará de la

catenaria misma. La línea aérea está dividida en tramos tensionados, lla-

mados cantones, encontrándose los mecanismos de tensionado al principio y

final de cada uno de estos cantones, lo cual se conoce como seccionamientos.

El equipo de tensionado es el encargo de garantizar una tensión constante

en los hilos de contacto y sustentador con independencia de la temperatura,

encontrándose en la mitad de un cantón un punto fijo que se encarga de dar

estabilidad longitudinal al conjunto.

Debido al coste de la inversión en infraestructura, el número de vanos

debe ser el menos posible. La carga que limita la longitud de los vanos es ge-

neralmente el viento, limitándose el desplazameinto lateral máximo del hilo

de contacto por la zona de empleo del pantógrafo. Así, los pantógrafos que

tienen zonas de frotación o recorrido cortas requieren elementos de susten-

tación más próximos. Las líneas habituales emplean postes como elementos

de sustentación, lo cual hace independientes los dos sentido de circulación.

El diseño de la línea área de contacto debe realizarse atendiendo a que

la captación de corriente se realice en las mejores condiciones posibles. Pa-

ra ello es necesario atender a las características geométricas que permitan

dicha situación en función de la velocidad del tren y dependiendo de las

características particulares de la infraestructura (gálibo, tolerancias, etc.).

Adicionalmente se deben tener en cuenta los requisitos de seguridad y dis-

tancias de aislamiento estructurales. De esta forma se deben tener en cuenta

las características de la catenaria bajo tres enfoques diferentes: geométrico,

eléctrico y mecánico. Las características geométricas más importantes son la

altura del hilo de contacto, el descentramiento, la pendiente y la envolvente


dinámica. Las características mecánicas están relacionadas con las tensiones

en los conductores, las cargas exteriores, la resistencia mecánica, masa de

los cables, etc. Por último, las características eléctricas están determinadas

por la potencia que la circulación de los trenes demande en la situación más

desfavorable. Los sistemas de alimentación empleados en España son 600,

750, 1500 y 3000 V en corriente continua y 25 kV en corriente alterna.

VanoPéndola Hilo sustentador

Hilo de contactoPantógrafo

CATENARIATREN

Figura 5.1: Esquema de la estructura de cables básica de la catenaria

Por otra parte, se designa por pantógrafo al sistema de toma de corriente

empleado en los vehículos de tracción eléctrica que se alimentan mediante

un hilo aéreo de contacto. En general consiste en un colector deslizante cons-

tituido por una cinta de contacto, denominada patín o pletinas, dispuesta

sobre una estructura articulada de forma que puedan seguirse las variaciones

de altura que presente el hilo de contacto. Puede hacerse una clasificación

de los pantógrafos en función del modo de operación o de las características

de la línea:


Según el modo de operación:

Pasivos En éstos, la fuerza que empuja las pletinas contra el hilo

de contacto es constante en el tiempo. Son los más simples y

económicos, y su operación es razonablemente buena, por lo que

en estos momentos son los más extendidos. Sin embargo, no se

espera que este tipo de pantógrafos pueda seguir evolucionando

de cara a conseguir los requerimientos dinámicos que el aumento

de la velocidad del tren necesita.

Activos En este tipo de pantógrafos la fuerza que hace contactar el

patín con la catenaria varía con el tiempo, de forma que pueda

controlarse en todo momento la fuerza de contacto que existe

entre patín y catenaria o los desplazamientos del hilo de contac-

to. Este tipo de pantógrafos son sensiblemente más caros que los

convencionales, debido fundamentalmente al complicado meca-

nismo de control que han de montar. No obstante, la evolución

técnica de los últimos años comienza a ser suficiente para poner

en el mercado modelos de pantógrafo activo a precios competiti-

vos. Este tipo de pantógrafos constituye una buena solución a los

problemas dinámicos asociados al tránsito a velocidades elevadas.

Según la línea de operación:

Corriente alterna Estos pantógrafos trabajan con tensiones eleva-

das dado que los trenes que circulan por líneas electrificadas en al-

terna no necesitan grandes intensidades de corriente. Este hecho

repercute a su vez en que las catenarias diseñadas para corriente

alterna puedan contar con cables ligeros y ser consiguientemente

más livianas. Con una catenaria de estas características es nece-

sario evitar desplazamientos excesivos del hilo de contacto, por lo

que la fuerza aplicada por el pantógrafo, sea éste activo o pasivo,


ha de ser tan reducida como sea posible.

Corriente continua Al contrario de lo que ocurre en las electrifica-

ciones en corriente alterna, cuando se emplea corriente continua

el voltaje no puede ser muy elevado, por lo que circularán grandes

intensidades por el pantógrafo. En estos casos, la continuidad del

flujo eléctrico puede asegurarse con fuerzas del pantógrafo eleva-

das. De hecho, se cree que la corriente puede verse interrumpida,

sin necesidad de que haya pérdida de contacto entre la catenaria

y el pantógrafo, si la fuerza de contacto desciende por debajo

de niveles razonables. Es por esto por lo que los pantógrafos de

corriente continua están diseñados para ejercer una fuerza sensi-

blemente mayor que los de corriente alterna.

Garantizar que el contacto entre el patín del pantógrafo y el hilo de

contacto de la catenaria sea lo más uniforme posible requiere que el hilo

de contacto no presente grandes variaciones de altura respecto de los carri-

les. En aquellas situaciones en las que la velocidad del tren no sea elevada,

próxima a los 50 km/h, puede ser suficiente con tender únicamente el hilo

de contacto, siempre que la diferencia de cotas entre los apoyos y el cen-

tro del vano no supere la milésima parte de la longitud del mismo con un

máximo de 20 cm de diferencia. Esta diferencia de cotas puede conseguirse

con el tensado mecánico del hilo de contacto. Sin embargo, si la velocidad

del tren aumenta, se requiere mayor uniformidad en la altura que presen-

tan los distintos puntos del hilo de contacto, no pudiéndose satisfacer los

requerimientos de horizontalidad con el simple tensado del hilo de contac-

to. Es preciso, por consiguiente, emplear la configuración de catenaria con

dos cables mencionada previamente: uno cuya misión sea hacer de hilo de

contacto y otro que sirva para sostener al primero conocido como hilo sus-

tentador. El conveniente tensado de estos dos hilos junto con la conexión de

los mismos mediante las péndolas hacen posible satisfacer las necesidades de


horizontalidad que el tránsito a velocidades elevadas requiere. No obstante,

además de estos componentes, una catenaria se compone de otros elementos

que también tienen, como no podría ser de otra manera, su influencia en el

comportamiento del sistema y que por este motivo se describen brevemente

a continuación. Puede encontrarse una descripción mucho más profunda y

rica en detalles en los monográficos [MC02] de Montesinos y Carmona y

[HV00] de Hernández-Velilla.

Hilo de contacto Probablemente sea éste el elemento más importante de

un sistema aéreo de alimentación eléctrica, ya que será el encargado

de poner a disposición del tren la energía eléctrica de la catenaria. La

posición aparente del hilo de contacto es paralela a los carriles, a una

cierta altura de los mismos. Sin embargo, de montarse de esta forma,

la fricción entre el patín y el hilo de contacto tendría lugar exactamen-

te siempre en el mismo punto de las pletinas, con lo que el desgaste

sufrido por éstas sería muy elevado. Para evitar este hecho se recurre

a variar la posición del hilo de contacto respecto al eje central de los

carriles, es decir, se fuerza un trazado en zig-zag ayudándose de los

postes y brazos de atirantado como vértices para lograr un descentra-

miento de entre 20 y 25 cm. La figura 5.2 ilustra esquemáticamente

el concepto del descentramiento mediante el cual se evita que el pan-

tógrafo se desgaste siempre en el mismo punto, alargando la vida útil

de éste.

Los materiales más habituales para la fabricación del hilo de contac-

to son el cobre electrolítico duro o aleado (Mg o Ag), materiales que

presentan buenas propiedades tanto eléctricas como mecánicas. Es im-

portante resaltar la necesidad de que el hilo de contacto exhiba mayor

dureza que las pletinas del pantógrafo, ya que es preferible que sean

dichas pletinas las que sufran el mayor desgaste debido a la mayor

sencillez y comodidad que supone la sustitución del patín del pantó-


CatenariaRail

Rail Hilo de contacto

~0.2

5m

Figura 5.2: Esquema de descentramiento de la catenaria

grafo respecto al reemplazo del hilo de contacto. En relación a este

aspecto cabe destacar la eliminación de materiales pesados como plo-

mo o cadmio de los elementos en contacto, ya que la abrasión provoca

su nociva dispersión en la atmósfera.

Se distinguen diferentes tipos de hilo de contacto dependiendo de la

sección transversal empleada en los mismos en función del servicio a

desempeñar. Si bien la configuración más empleada es la de sección

sólida con contorno circular, cuya geometría se muestra en la figu-

ra 5.3(a), también las secciones ovaladas o planas son frecuentes en

diferentes aplicaciones ferroviarias. Asimismo, también el área de la

sección es objeto de diseño, dependiendo su elección de la corriente

demandada y el tensado mecánico de los propios cables. En ocasiones

es necesario instalar hilos de contacto paralelos o dobles, generalmente

en trazados de corriente continua pero también cuando se requieren

altas potencias de tracción.

Hilo sustentador Tal como se ha apuntado anteriormente, este cable tie-

ne como cometido primordial soportar el peso del hilo de contacto y

mantener la tensión mecánica del sistema. Suele fabricarse de cobre

electrolítico semiduro, bronce y también de aleaciones de acero y alu-

minio. Una de las configuraciones más relevantes que se distinguen


(a) Hilo de contacto (b) Hilo sustentador-

Péndola

Figura 5.3: Secciones transversales típicas de cables

entre las distintas secciones que presentan estos cables es la de con-

ductores trenzados, tal como se muestra de forma esquemática en la

figura 5.3(b).

A su vez existen ciertos tipos de catenarias que emplean un cable in-

termedio entre el sustentador y el hilo de contacto cerca de los apoyos,

recibiendo éste el nombre de falso sustentador. Su misión es la de ho-

mogeneizar la rigidez de la catenaria ya que, de no existir, el punto de

sujeción del hilo de contacto por la ménsula registra muy alta rigidez,

convirtiéndose en un punto duro.

Péndola Estos elementos son los encargados de unir el hilo de contacto

con el sustentador, transmitiendo el peso del primero al segundo y,

en determinados casos, corriente eléctrica cuando así se requiere. Su

función primordial es mantener el hilo de contacto paralelo a la vía

y a una determinada altura, para lo cual suelen emplearse distintos

tipos de secciones y materiales, desde varillas de cobre hasta cables de

bronce trenzados como los representados en la figura 5.3(b). Respecto

a la configuración longitudinal empleada, la figura 5.4, tomada de

[KPS01], refleja un esquema de péndola simple y otro de péndola

conductora indicando sus elementos constitutivos básicos.


(a) Péndola simple

Hilo sustentador

Grapa

Guardacabo

Abrazadera

Péndola deconductores

trenzados

Grifa

Hilo decontacto

(b) Péndola conductora

Figura 5.4: Esquemas básicos de péndolas

Cuando las péndolas son de una longitud inferior a 0,5 m, especial-

mente plausible en trazados de alta velocidad, se comportan de forma

muy rígida. Así, la altura de la catenaria debe permitir que la longitud

de las péndolas en el centro del vano sea superior a los 0,5 m men-

cionados, pudiendo recurrir a la instalación de péndolas especiales en

caso de no poder satisfacer este criterio de longitud mínima.

Dependiendo de la tensión del hilo de contacto, la separación entre las

péndolas, también llamada pendolado, determina la flecha del hilo de

contacto entre éstas. Adicionalmente, deben garantizar que en caso de

rotura del hilo conductor éste toque el suelo de forma que se dispa-

ren las correspondientes medidas de seguridad. Así, para limitar esta

flecha las péndolas no deben estar espacidas más de 12 m, guardando

también una distancia mínima de unos 5 m.

Las primeras péndolas que se montaron eran de acero y la única misión

era sujetar el hilo de contacto, empleándose unas conexiones equipo-


tenciales entre sustentador e hilo de contacto para permitir el paso

de corriente. Estas conexiones producen un efecto dinámico perjudi-

cial al introducir concentraciones de masa, con lo que es preferible

evitarlas mediante su sustitución por las denominadas péndolas equi-

potenciales, las cuales permiten que tanto las corrientes de servicio

como también las de cortocircuito puedan circular desde el cable al

hilo de contacto sin producirse quemaduras en los extremos de los

hilos individuales.

Puede establecerse una clasificación de las péndolas atendiendo a su

longitud. Se denominan cortas o rígidas aquellas que no superan los

600 mm de longitud, reservando la denominación de largas o arti-

culadas a aquellas que sobrepasen dicho límite. Este último tipo de

péndolas presenta ciertos problemas de conexión eléctrica entre el sus-

tentador y el hilo de contacto, haciéndose necesarios cables supletorios

de alimentación cada cierta distancia. Por último, los elementos en-

cargados de unir los hilos principales con las péndolas se denominan

grifas. Éstas se montan sobre las ranuras que posee el hilo de contacto

en la parte que no se ofrece al pantógrafo de forma que el paso de éste

no se vea afectado.

Falso sustentador La diferencia de elasticidades entre el centro del vano

y los apoyos tiene un efecto importante sobre la fuerza de contacto que

se manifiesta en un incremento del desgaste del hilo de contacto. La

elasticidad en los apoyos se controla mediante el uso del denominado

falso sustentador, también conocido como péndola en Y. Homogenei-

zando de este modo la elasticidad a lo largo de los vanos.

Ménsula El sistema para sustentar la estructura de cables desde los postes

se realiza por medio de una viga o conjunto de barras que se deno-

mina cuerpo de ménsula, generalmente deben estar articuladas para

permitir el giro de la misma debido a la dilatación de los cables. Pue-


den ser de dos tipos, ménsulas en celosía o ménsulas tubulares: las

primeras están hechas de perfiles laminados con sección en U, mien-

tras que las segundas están fabricadas con perfiles tubulares, ambas de

acero galvanizado. A su vez, para apoyar y sujetar el hilo sustentador

al cuerpo de ménsula se monta un conjunto de piezas denominadas

conjunto de suspensión. La figura 5.5 de Kießling et al. en [KPS01]

muestra el esquema básico de una ménsula, indicando en ésta algunos

de los elementos más comunes.

Sujeción superior

Tubo diagonal

Tubo de ménsula

Brazo de atirantado y engrapado al hilo de contacto

Grifa del hilo sustentador

Figura 5.5: Esquema básico de ménsula

Nótese que por el hilo sustentador circula corriente eléctrica y perma-

nece a tensión, por lo que se necesita que el conjunto de suspensión

permanezca aislado eléctricamente para evitar poner a tierra toda la

instalación. Así, las ménsulas en celosía están separadas eléctricamen-

te del hilo de contacto por un aislador mientras que las tubulares

están en tensión, por lo que los aisladores se interponen entre éstas

y el poste. Además del sustentador, la ménsula también soporta los

conjuntos de atirantado, responsables de producir el ya comentado

descentramiento del hilo de contacto, por lo que la unión del conjunto

de atirantado con la ménsula también habrá de estar aislada.

Poste Los postes son los elementos encargados de soportar los esfuerzos ori-


ginados por el peso propio de la catenaria y los efectos del viento sobre

ésta transmitidos a través de las ménsulas. Generalmente los postes

se fabrican a partir de perfiles laminados de acero galvanizado, cimen-

tando el conjunto mediante un macizo de hormigón. Para compensar

los esfuerzos correspondientes a los distintos elementos que componen

el sistema no es usual montar los postes perpendiculares al suelo, sino

que se les da una pequeña inclinación o flecha. De esta forma, cuando

la catenaria esté completamente cargada, la posición de los postes será

perfectamente vertical. Asimismo, también es usual dotar a los postes

finales de cantón de un sistema de atirantado lateral, de manera que

se compensen los esfuerzos longitudinales ejercidos por la catenaria.

Pórticos funiculares Los pórticos funiculares se emplean ampliamente en

zonas donde existen más de dos vías. De esta forma se evita la existen-

cia de postes individuales para cada vía reduciendo el espacio necesa-

rio. El principal problema radica en la ‘conexión mecánica’ entre los

diferentes hilos de contacto, lo que perjudica la captación de corriente

debido a las vibraciones introducidas. Dada la forma de transmitir las

cargas a los postes, éstos se ven sometidos a esfuerzos considerables.

Pórticos rígidos Se pueden realizar estructuras porticadas o trianguladas

de acero o aluminio sobre las que se sustenta la catenaria. Debido a

la resistencia a flexión de este tipo de estructuras, las solicitaciones

sobre los postes y cimentaciones son menores que en los pórticos fu-

niculares, esto los hace especialmente interesantes en suelos con poca

capacidad portante. Resultan más caros que los pórticos funiculares,

pueden restringir la visión de señales, etc.

Las líneas aéreas de contacto están sometidas a acciones de tipo mecá-

nico, eléctrico y climático. De cara a satisfacer determinadas condiciones

particulares de el suministro eléctrico mínimas, se establecen una serie de


normas que éstas deben cumplir: ETI, EN 50119 y EN 50122 entre otras.

La norma EN 50119, establece que las cargas que deben tenerse en cuenta

para el cálculo de una catenaria ferroviaria son:

Cargas gravitatotias de todos los elementos existentes

Tensiones aplicadas en los conductores

Cargas debidas al viento

Cargas adicionales debidas a la forma de la instalación o acciones

ambientales como hielo

Cargas transitorias

La tensión admisible en los hilos sustentador y de contacto tiene en

cuenta una serie de factores que minoran la resistencia de éstos. Así, la

tensión máxima admisible se multiplica por factores, siempre inferiores o

iguales a la unidad, que dependen de la temperatura, el desgaste permitido,

las cargas de hielo y viento, el tensado y rendimiento del equipo de tensado,

las grapas de anclaje, cargas verticales, la existencia de uniones soldadas y

la fluencia. La norma EN 50119 determina los factores a emplear.

5.2. Comportamiento estático

5.2.1. Efecto del viento sobre la elasticidad

Entre los criterios habituales empleados en el diseño de catenarias desta-

can los relacionados con la distribución de elasticidad a lo largo de un vano.

El cálculo de esta característica, también frecuentemente abordado sobre

su inversa, la rigidez, es ampliamente conocido por conllevar el complejo

problema del cálculo de equilibrio inicial de la estructura de cables.

El cálculo de la elasticidad de las líneas aéreas de transporte de energía

eléctrica puede llevarse a cabo a través de diferentes técnicas. Una de las


más habituales por su versatilidad y precisión es indudablemente el cálculo

por elementos finitos, aunque para cálculos muy específicos como el de la

elasticidad en el centro de un vano, ecuaciones como la 5.1 propuesta en

[Ebe69] se han revelado suficientemente precisas como demuestran Kießling

et al. en [KPS01]:

e =L

k · (Tcw + Tmw)(5.1)

donde e es la elasticidad en el centro del vano medida en mm/N y en

función de: L, longitud del vano en m; Tcw y Tmw, esfuerzos de tensado en

kN de los hilos de contacto y sustentador respectivamente; y k, un coefi-

ciente cuyo valor oscila entre 3,5 para catenarias sin falso sustentador y 4,0

en caso de contar con éste. Respecto a la elasticidad en los extremos del

vano, en los soportes, ésta toma valores entre el 30 % y el 50 % de la elas-

ticidad en el centro del vano cuando no hay falso sustentador, alcanzando

aproximadamente el 90% si lo hubiera.

El efecto del viento estático en la catenaria influye, principalmente, en

la rigidez, que afecta a la hora de calcular la fuerza de contacto que sufre el

pántografo. Para el cálculo de esta rigidez se aplica nodo a nodo una fuerza

de 100N y se calcula el desplazamiento de cada punto para esta fuerza,

siendo la rigidez la relación entre la fuerza aplicada y el desplazamiento. En

este método de cálculo conviene destacar que, para su posterior aplicación,

se considera una variación lineal de la rigidez con el valor de la fuerza que se

aplica. Sin embargo, como se puede observar en la figura 5.6, esta variación

no es completamente lineal, si bien en la zona en torno a 100 N sí mantiene

cierta linealidad. Por tanto, es importante tener en cuenta esta aproximación

para valores fuera del rango.

La rigidez mostrada en la figura 5.6 muestra la variación de la rigidez

del punto del brazo de atirantado en función de la fuerza que se aplique. La

figura, asimismo, muestra esta misma variación para un punto central del


100 150 200 250 300 350 400 450 5002000

2500

3000

3500

4000

4500

5000

Fuerza (N)

Rig

idez

(N

/m)

Pto CentralPto Vano

Figura 5.6: Variación de la rigidez en un punto del vano y un punto central

para fuerzas de 90N a 500N

vano. Como se observa, si bien el comportamiento es diferente, para valores

de fuerza menores de 180 N el comportamiento es lineal.

Por tanto, la rigidez indica la relación que existe entre fuerza y des-

plazamiento, en el caso estudiado, para la dimensión vertical. Como se ha

indicado en el capítulo 3, la fuerza del viento lateral causa un desplaza-

miento vertical que provocará una variación de la rigidez de la catenaria

influyendo en la fuerza de contacto con el pantógrafo e incluso en el des-

plazamiento del mismo. No obstante, previamente a estudiar el efecto de

la velocidad del viento sobre la rigidez se va a analizar otro elemento del

plano transversal que afecta también a la rigidez y que está presenta en las

catenarias ferroviales actuales.

5.2.1.1. Efecto del zig zag sobre la rigidez

El zig zag o descentramiento de la catenaria es el desplazamineto hori-

zontal respecto del eje de la vía de la catenaria y los hilos de contacto. El


propósito de este descentamiento del hilo de contacto es la obtención de un

desgaste uniforme del pantógrafo de modo que, al no estar tanto paralela a

los carriles o eje de la vía, se de evitar el desgaste de la pletina del pantó-

grafo en el mismo punto, y en curva se contrarresta la tensión radial. Con

objeto de evaluar el efecto del zigzag en la rigidez de la catenaria se analiza,

en primer lugar, la variación de ésta con la fuerza en función del zigzag,

comparando para dos valores de zigzag la variación de la rigidez (de forma

análoga a la figura 5.6)para el punto del vano correspondiente al brazo de

atirantado. Como se observa en 5.7 que,para un valor inferior de descentra-

miento (0.01 m en lugar de 0.2 m) además de tener un valor superior de

rigidez para una fuerza inferior a 320N, la dependencia con el valor de la

fuerza pierde linealidad. Este comportamiento se debe principalmente a la

existencia y configuración de la rigidez aportada por el brazo atirantado en

ese punto.

100 150 200 250 300 350 400 450 5002000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

16000

Fuerza (N)

Rig

idez

(N

/m)

zigzag 0.2zigzag 0.01

Figura 5.7: Variación de la rigidez para distintos valores de descentramiento

Empleando un valor de fuerza de 100 N para el cálculo, en la figura 5.7

se observa la influencia del descentramiento en la rigidez de la catenaria de


modo que a medida que el valor del zigzag aumenta la rigidez disminuye,

acusándose ese efecto especialmente en los puntos de brazo atirantado y

asemejándose el valor en el centro del vano.

10 20 30 40 50 60 702000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000

11000

12000

Posición (m)

Rig

idez

(N

/m)

0.0010.010.11

Figura 5.8: Rigidez de un vano para distintos valores de descentramiento

Como se puede comprobar en la figura 5.8 para valores menores del

zigzag el valor de la rigidez es mucho mayor pasando de unos 4.4 kN/m con

un zigzag de 1 m a más de 11kN con un zigzag de 0.01 m. Este resultado en el

brazo de atirantado parece lógico, ya que cuanto mayor es el descentramiento

más inclinado debe estar el brazo de atirantado y, por lo tanto, aporta menos

rigidez al movimiento vertical del hilo de contacto.

5.2.1.2. Efecto del viento sobre la rigidez

Como se ha comprobado, el descentramiento de la catenaria introduce un

efecto en la rigidez que, al tratarse de un parámetro constructivo constante,

una vez conocido su valor, se pueden configurar las cargas de la estructura

teniendo en cuenta este efecto. No obstante, la carga del viento no se trata

de un paramétro constante por lo que, a la hora de estudiar la estructura


completa, es necesario conocer tanto su valor como su variabilidad frente a

la velocidad del viento. Para contrastar el efecto del viento en la rigidez de

la catenaria se ha tomado un zigzag de 0.2 m, valor habitual en catenarias

ferroviarias.

Figura 5.9: Variación de la rigidez para distintas velocidades de viento

La figura 5.9 muestra la rigidez de cinco vanos sometidos a un vien-

to lateral con velocidades de 0 a aproximadamente 100 km/h y se pueden

observar en ella distintos efectos. Por un lado, se puede apreciar una re-

petición de los valores de rigidez cada dos vanos, lo que corresponde a la

repetibilidad geomética cada dos vanos debido al descentramiento, así como

la propia asimetría en un vano. Por otro lado, en lo que respecta a la fuerza

del viento, se observa que a medida que aumenta la velocidad del viento la

rigidez disminuye. Este efecto se observa a lo largo de los cinco vanos si bien

es más acusado en la zona del brazo.

En la figura 5.10 se muestra la variación de la rigidez en el punto en

el que esta es máxima,observando que, a partir de unos 18 m/s la rigidez

cae mucho más rápido con el aumento de velocidad del viento, y de forma

lineal.


0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 502000

2500

3000

3500

4000

4500

5000

5500

Velocidad del viento (m/s)

Rig

idez

(N

/m)

Figura 5.10: Variación de la rigidez en función de la velocidad del viento en

el punto máximo

En esta zona del brazo, donde se manifiestan los efectos del brazo de

atirantado y el cambio de dirección del zigzag aparece, además, aparece un

comportamiento diferente dependiendo del vano y, por tanto, del descentra-

miento. Ampliando esa zona y con valores más altos de velocidad del viento

para poder apreciar mejor el resultado 5.11, se puede visualizar el compor-

tamiento desigual de la estructura. Esto se debe a que, al aplicar una carga

de 100 N en esa zona de la catenaria que está sufriendo, al mismo tiempo, un

viento a altas velocidades (este fenómeno ocurre para velocidades superio-

res a 50 km/h) algunas péndolas de la estructura pandean modificando la

rigidez de la misma.

El pandeo se observa también en la evolución de la rigidez de distintos

puntos de la catenaria. En la figura 5.12 se muestra la evolución de la

rigidez para velocidades del viento desde 0 m/s a 50 m/s en los puntos

de dos brazos atirantados consecutivos y se puede apreciar diferencias entre

los dos puntos, ya que mientras que en un punto la rigidez decrece para


100 120 140 160 180 2001500

2000

2500

3000

3500

4000

4500

5000

5500

Posición (m)

Rig

idez

(N

/m)

0 m/s12.5 m/s25 m/s37.5 m/s50 m/s

Figura 5.11: Rigidez en un vano para velocidades de viento de hasta 180

km/h

todo valor de velocidad, de forma lineal y más rápida a partir de los 18

m/s, comportamiento similar al estudiado en la gráfica5.10, el otro punto

presenta valores mayores de rigidez aumentando su valor con la velocidad

del viento (comportamiento contraria a la observada en la figura 5.9 para

todo los punto del vano) hasta los 25 m/s, que comienza a decrecer de forma

lineal.

En conclusión, la rigidez de la catenaria se ve afectada por causas de

distintos orígenes del plano trasversal. Por un lado geométrico, ya que la

disposición constructiva de la catenaria la dota de una rigidez y una varia-

bilidad de la rigidez diferente ante cargas laterales. Por otro lado, las cargas

laterales, debidas al viento, producen un cambio de rigidez. Así, se observa

una disminución de la misma en todas los puntos de la catenaria al aumen-

tar la velocidad del viento. Cabe destacar el comportamiento singular de los

puntos anclados a los brazos de atirantado o el momento donde se produce

aflojamiento de las péndolas.


0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 502000

2500

3000

3500

4000

4500

5000

Velocidad del viento (m/s)

Rig

idez

(N

/m)

Figura 5.12: Comportamiento de la rigidez de los puntos del brazo en función

de la velocidad del viento

5.2.2. Modelo 3D

Todos los resultados obtenidos para la rigidez de la estructura de la

catenaria sometida bajo la acción del viento se han calculado, como se ha

indicado en la sección anterior, haciendo un cálculo estático sobre una es-

tructura tridimensional. Los desplazamientos que sufre esta estructura se

calculan de acuerdo a lo indicado en 4.2, empleando el elemento tridimen-

sional desarrollado en 4.2.2.

Una representación global de la estructura deformada por la acción del

viento permite una primera aproximación al efecto del viento y sus posibles

repercusiones en la interacción catenaria-pantógrafo. Si bien en secciones

posteriores se va a analizar con más detenimiento los efectos del viento en

la interacción (5.3.1 y 5.3.2), los modelos empleados restrigen en diversas

medidas el estudio completo del efecto dinámico del viento, el análisis de los

resultados estáticos sobre la estructura de la catenaria nos permite estudiar

los desplazamientos y el comportamiento de algunos elementos.


Analizando la deformación estática de la catenaria bajo diversas cargas

de viento es posible analizar las distintas acciones de la misma sobre la

estructura. En la figura 5.13 se observa la estructura de la catenaria sometida

a una carga estática de viento de 40 m/s, un valor mucho mayor de lo que

se va a emplear en el estudio dinámico posterior, puesto que habitualmente

se corta la circulación por motivos de seguridad ante velocidades superiores.

Figura 5.13: Efecto estático de un viento a 40 m/s sobre la catenaria

En la figura 5.13 se puede comparar la posición de los puntos de la

catenaria bajo la acción de la fuerza del viento (en verde o con la malla

de nodos) y en ausencia de la misma (en azul). Por un lado, en esta figura

se aprecia el movimiento en el plano lateral, el efecto del descentramiento

sin viento y su efecto en la acción del viento y el comportamiento de las

pendolas. Por otro, como se puede observar con más detalle en la figura

5.14 esta carga provoca un desplazamiento vertical que causa cambios en la

rigidez que, como se estudiará en la sección 5.3 puede ser de importancia

para el contacto catenaria pantógrafo.

En la figura 5.15 se muestran los desplazamientos horizontal y vertical

del hilo de contacto a lo largo de 5 vamnos para distintas velocidades de


Figura 5.14: Detalle del efecto estático de un viento a 40 m/s sobre la

catenaria

viento observando tanto la influencia del valor de la velocidad como la del

pandeo de las péndolas y descentramiento.

Figura 5.15: Desplazamiento de la catenaria bajo el efecto estático de dis-

tintas velocidades de viento


5.3. Efecto del viento sobre la interacción catenaria-

pantógrafo

5.3.1. Modelo 1D

En esta sección se analiza el efecto del viento sobre el comportamiento

dinámico de la interacción catenaria pantógrafo empleando el modelo sim-

plificado unidimensional propuesto por Lopez-Garcia et al. en [LGCM07].

Este efecto se evaluará según su grado de repercusión sobre los criterios de

validación de la norma EN 50318, para lo cual han de ejecutarse simula-

ciones del mismo para las velocidades especificadas por dicha norma, 250 y

300 km/h.

La propuesta de Lopez-Garcia et al. modela el sistema dinámico cate-

naria-pantógrafo mediante el esquema de la figura 5.16, donde la catenaria

se representa por un sistema dinámico discreto masa-muelle-amortiguador

de un grado de libertad y el pantógrafo se modela como otro sistema masa-

muelle-amortiguador de dos grados de libertad, análogo al definido por Ma-

nabe y Fujii en [MF89] o por Wu y Brennan en [WB98, WB99]. En la figura

5.16, los subíndices c, 1 y 2 denotan la catenaria, la parte superior del pantó-

grafo (patín) y la parte inferior del mismo (base), respectivamente; mientras

que el vector v = (v2, v1, vc)t representa los desplazamientos de los puntos

anteriormente mencionados.

En este tipo de modelos simplificados es común asumir que pantógrafo

y catenaria van a estar en todo momento en contacto, por lo que la fuerza

de contacto se calcula como el producto de la rigidez de la catenaria por

el desplazamiento de la misma, así lo hacen por ejemplo, Wu y Brennan

[WB98, WB99] o Park et al. [PHJ03]. No obstante, esto requiere la deter-

minación previa de la distribución de rigidez que a su vez implica el cálculo

del equilibrio inicial de la catenaria, es decir, el cálculo del pendolado que

para este modelo se efectúa con ‘CALESCA´, mencionado en la sección

CAPÍTULO 5. VIENTO EN CATENARIAS FERROVIARIAS 99PSfrag replacementsx

ymc cc(x)kc(x)

m1m1m2m2 k1k1

k2k2 c1c1c2c2 VV F2F2 F1F1 Fc Fc cc(t)kc(t) ��y1y2

yc

Figura 5.16: Modelo dinámico equivalente del sistema catenaria-pantógrafo

4.1.4. La rigidez de la catenaria 5.2.1 empleada en las simulaciones de esta

sección se evaluará previamente sobre 3 puntos entre péndolas aplicando la

herramienta de cálculo por elementos finitos ‘AFECTOS´, que si bien re-

quiere tiempos computacionales elevados en comparación con ‘CALESCA´,

para esta aplicación resulta imprescindible por su mayor robustez de cara

a la convergencia de dicho cálculo. En el cálculo dinámico del modelo se

estudia en todo instante los puntos superior e inferior del pantógrafo y el

punto de la catenaria en contacto con el pantógrafo. Para ello, siguiendo la

escala temporal y considerando la velocidad de circulación determina a que

altura del vano se encuentra el pantógrafo y, tomando el valor de rigidez

(variable en cada punto del espacio, como se vio en 5.2.1) que corresponda

se plantea la ecuación (4.34) para cada punto del modelo en cada instate de

tiempo.

Dentro de este modelo, la introducción del efecto del viento implica la

aplicación de una fuerza debida a este en el grado de libertad c, que es el

correspondiente a la catenaria, además de introducir la rigidez calculada en


el capítulo 5.2.1. A pesar de tratarse de un cálculo dinámico, la naturaleza

del modelo impide modelar correctamente el efecto de la propagación de la

onda, así como la influencia del desplazamiento global de la estructura por

efecto del viento lateral sobre el punto del contacto. Por ello, los resultados

contemplarán, mayoritariamente, el efecto de la variación de la rigidez en el

cálculo dinámico y su efecto en la interacción catenaria- pantógrafo.

En el cálculo de los parámetros que definen la interacción se ha simu-

lado, al igual que para hallar la rigidez, una carga de viento para distintas

velocidades y se ha comprobado el efecto en la fuerza de contacto y el des-

plazamiento de la interacción catenaria-pantógrafo. Como se observa en la

figura 5.17 los valores de desplazamiento y fuerza presentan variaciones muy

pequeñas para las distintas velocidades de viento. En esta figura los valo-

res de velocidad de viento para los que se representan los parámetros de la

interacción son 7 m/s y 14 m/s, además del cálculo en ausencia de vien-

to. Para valores superiores a 14 m/s la fuerza se hace infinito, indicando el

despegue.

Figura 5.17: Fuerza de contacto y desplazamiento del pantógrafo para dis-

tintas velocidades de viento


Si se analiza la variación de la fuerza de contacto en función de la ve-

locidad del viento y respecto a la ausencia del mismo 5.18 resulta, para

velocidades bajas del viento, una misma tendencia en la variación de la

fuerza, con un aumento de hasta 0,5%. Sobre estos resultados cabe desta-

car la evolución de esta variación con el punto del vano, de forma que para

velocidades del viento superiores la fuerza disminuye en puntos del centro

del vano y aumenta para puntos del paso de vano a vano.

Figura 5.18: Variación de la fuerza de contacto para distintos valores de

velocidad

Como se ha comentado anteriormente, este modelo se ve afectado princi-

palmente por el cambio de rigidez por lo que simula el efecto de este cambio

con la velocidad del viento dentro de un estudio dinámico interacción cate-

naria pantógrafo. Para poder concretar este efecto se analiza, para distintas

velocidades del viento que permitan determinar su influencia, la variación

de la rigidez a lo largo de la estructura comparada con la variación de la

velocidad.

En la figura 5.19 se presenta la rigidez del modelo para dos velocidades


Figura 5.19: Variación de la fuerza para valores de velocidad de hasta 14

m/s

de viento así como la variación de la fuerza de contacto. Como se observa,

para una velocidad de 14 m/s se observa una variación más notable que

para 7 m/s llegando a un aumento de un 2% y una disminución de hasta

4%. Además, en esta variación es posible analizar con mayor detalle el

efecto estático del viento y el descentramiento ya que la tendencia de esta

variación, se repite cada dos vanos, en concordancia con la rigidez. Para el

caso de 14 m/s, se comprueba que la mayor variación de fuerza se da para

los vanos en los que la rigidez de la catenaria se ve más afectada por la

acción del viento.

En cuanto a lo referente a la velocidad de circulación, se ha relizado la

simulación para distintas velocidades tanto de circulación como de viento,

con el objetivo de analizar la influencia de la velocidad del vehículo en el

efecto del viento sobre la interacción con el pantógrafo. Como se puede

observar, en la figura 5.20, en ausencia de viento, la fuerza de contacto

tiene una tendencia a ir aumentando y a tener una mayor variabilidad con


la posición instantánea del pantógrafo. Para el caso de 300 m/s, no obstante,

los extremos máximos de la fuerza no son tan altos como para valores de

velocidad de circulación inferiores, si bien la media de la fuerza sí es superior.

180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 40020

40

60

80

100

120

140

160

180

200

220

Posición (m)

Fue

rza

de c

onta

cto

(N)

150 m/s200 m/s250 m/s300 m/s

Figura 5.20: Fuerza de contacto para distintos valores de la velocidad de

circulación en ausencia de viento

Partiendo de esta influencia de la variación del valor de la fuerza de con-

tacto con la velocidad de circulación, en la figura 5.21 se muestra la variación

esta fuerza para distintas velocidades del vehículo bajo una carga de viento

de 15 m/s. A partir de ella se deduce que la influencia del viento sobre la

interacción catenaria-pantógrafo es mayor, generalmente, a medida que se

aumenta la velocidad del viento, especialmente en cuanto a la disminución

de la fuerza de contacto; es decir, a medida que se aumenta la velocidad de

circulación, la disminución que provoca la carga del viento en la fuerza de

contacto se hace más acusada.


180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

Posición (m)

%V

aria

ción

de

Fue

rza

de C

onta

cto

150 m/s200 m/s250 m/s300 m/s

Figura 5.21: Variación de la fuerza para distintos valores de la velocidad de

circulación bajo la carga de viento a 15 m/s

5.3.2. Modelo 2D

En el apartado anterior, las limitaciones del modelo unidimensional im-

pedían observar el efecto del desplazamiento y movimiento global de la es-

tructura en la interacción catenaria pantógrafo. Con objeto de poder evaluar

con mayor precisión las consecuencias de la fuerza de viento sobre la estruc-

tura se ha modelado un sistema catenaria pantógrafo en dos dimensiones

que se somete al efecto de sustentación del viento lateral. En este modelo sí

se considera, por tanto, el efecto del movimiento de toda la estructura, sin

embargo se pierde el efecto del desplazamiento lateral que se tenía en cuenta

en la rigidez en el modelo anterior que se estima que es inferior al 10%. El

efecto del viento se modela como una fuerza vertical, calculada mediante la

proyección vertical en la estructura hilo de contacto e hilo de sustentación

de las fuerzas de arrastre (3.12)y sustentación (3.13), teniendo en cuenta en


cada instante de tiempo la velocidad del punto para el cálculo de la fuerza.

En la tabla 5.1 se muestran los resultados obtenidos para distintos es-

tadísticos de la fuerza de contacto en función de la velocidad del viento.

Como se observa en el varianza de la fuerza, la variabilidad de la misma va

decreciendo con una velocidad creciente del viento. No obstante, la fuerza

media sufre un pequeño aumento.

v (m/s)

0 7 14 21 28

Fmax (N) 199,3728 198,0264 194,2741 188,5445 186,6756

Fmea (N) 118,3286 118,4663 119,0322 120,6747 123,8375

Fmin (N) 39,0690 41,0658 46,3431 56,8149 70,3015

Fsmn (N) 8,3977 11,7813 21,1090 32,1993 41,8506

Fsmx (N) 228,2594 225,1514 216,9554 209,1501 205,8243

Fstd (N) 36,6436 35,5617 32,6411 29,4918 27,3289

Tabla 5.1: Valores de estadísticos de la fuerza para distintas velocidades del

viento

Pese a que, como puede parecer dado el comportamiento creciente de la

fuerza con la velocidad del viento 5.22 pudiera resultar favorable su efecto

al favorecer el contacto entre la catenaria y el pantógrafo es necesario con-

siderar su recorrido y el desplazamiento del punto de contacto que origina

la fuerza del viento y el desplazamiento global de la estructura, pues los

problemas originados por la fuerza del viento pueden deberse no tanto a su

efecto en la fuerza como en el desplazamiento de la catenaria.

En la tabla 5.2 y en la figura 5.23 se representa el desplazamiento máximo

de los puntos de dos vanos consecutivos para las velocidades empleadas en

la tabla 5.1. En ambos puntos, sin ser puntos de máximo desplazamiento

del global de la estructura, se observa un incremento de hasta más del 80%

respecto al desplazamiento en ausencia del viento.


Figura 5.22: Variación de estadísticos de la fuerza de contacto en función

de la velocidad del viento

v (m/s)

0 7 14 21 28

desplazamiento vano4 (m) 0,0574 0,0600 0,0681 0,0831 0,1054

desplazamiento vano5 (m) 0,0593 0,0596 0,0606 0,0619 0,0642

Tabla 5.2: Desplazamientos en dos vanos consecutivos para distintas veloci-

dades de viento

Por otro lado, el punto del que nos interesa estudiar su desplazamiento

es el punto del pantógrafo ya que es el que puede ocasionar los despegues

ya mencionados. Con objeto de analizar el efecto del viento sobre el despla-

zamiento de este punto se puede estudiar la figura 5.24 donde se representa

el recorrido del pantógrafo, la velocidad del viento y el valor del desplaza-

miento del punto de interacción en cada punto del recorrido y para distintas

velocidades.

De las conclusiones derivadas de esta figura destaca, por un lado, en

cuanto a la evolución en el eje del desplazamiento, se observa que el despla-


Figura 5.23: Variación de los desplazamientos en dos vanos consecutivos con

la velocidad del viento

Figura 5.24: Variación de los desplazamientos con la velocidad del viento

zamiento, para una misma velocidad del viento, aumenta en los puntos del

brazo (60 m y 120 m en la gráfica) para bajas velocidades mientras que a

medida que aumenta la velocidad del viento la evolución de este desplaza-

miento varía, por la influencia del desplazamiento de toda la estructura y


aparecen desplazamientos mayores en el centro del vano. Por otro lado, en

cuanto a la variación de estos desplazamientos se observa que si bien para

velocidades bajas, inferiores a los 10 m/s el valor de estos desplazamientos

es más o menos constante, para velocidades mayores crecen con una pen-

diente mucho mayor y, como se ha indicado, con picos en el desplazamiento

en un mayor número de puntos.

En cuanto al efecto de la velocidad del propio tren, análogo a lo que

se ha analizado para el modelo unidimensional, se han realizado una serie

de simulaciones para distintas velocidades del tren. Hasta este punto los

resultados obtenidos se han simulado para 300 km/h del vehículo y, como se

muestra en la figura 5.25, donde se representan los desplazamientos máximos

para cada instante y para distintas velocidades del tren, la velocidad del tren

influye directamente en el desplazamiento del punto de contacto, de forma

que a mayores velocidades del vehículo mayores desplazamientos del punto

de contacto, llegando a aumentar hasta un 33% debido únicamente a este

efecto.

La influencia de la velocidad del tren en el desplazamiento se ve acen-

tuada con la carga del viento. La figura 5.26 muestra los desplazamientos

máximos en cada instante, para distintas velocidades de tren y bajo la carga

de viento de 100 km/h. Como se puede observar, no sólo los desplazamientos

aumentan con la velocidad del tren en general, sino que el comportamiento

de los puntos es diferente, ya que mientras que para velocidades del tren de

150 y 200 km/h se podría decir que la tendencia es sinusoidal, para veloci-

dades superiores se observa un comportamiento diferente, originado por la

propagación del efecto del viento en la catenaria.


0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1001

2

3

4

5

6

7

8

Posición (m)

Des

plaz

amie

nto

(cm

)

150 m/s200 m/s250 m/s300 m/s

Figura 5.25: Desplazamiento del punto de contacto para distintas velocida-

des del tren


0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1002

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Posición (m)

Des

plaz

amie

nto

(cm

)

150 m/s200 m/s250 m/s300 m/s

Figura 5.26: Desplazamiento del punto de contacto para distintas velocida-

des del tren

Capítulo 6

Conclusiones, aportaciones y

futuros desarrollos

6.1. Conclusiones

Como conclusiones de este proyecto destacan, dentro del análisis general

sobre cables:

En el cálculo estático de cables bajo el efecto de una carga de viento a

velocidad constante mediante elementos finitos, además de parámetros

constructivos, como el peso, el número de elementos empleado en el

cálculo tiene gran importancia en la convergencia del problema.

Se observa cómo el efecto de ráfagas del viento y la consideración de

la velocidad de la propia estructura influyen tanto en desplazamien-

tos como en tensiones, además de en la convergencia del cálculo. Por

otro lado, el valor de estos desplazamientos y tensiones dependen de

la velocidad del viento y del efecto de la ráfaga, pudiendo presentar

un valor diferente al caso estático de velocidad igual a la velocidad

instantánea.

111

CAPÍTULO 6. CONCLUSIONES Y FUTUROS DESARROLLOS 112

Por otro lado, las conclusiones correspondientes a la aplicación de la cate-

naria ferroviaria cabe destacar, respecto a la estática:

El efecto del viento en la rigidez de la catenaria produce una dismi-

nución de la misma a medida que aumenta la velocidad del viento,

siendo más acusada esta disminución en los puntos del brazo de ati-

rantado. Además, en el plano lateral, es necesario considerar el efecto

del descentramiento de la catenaria, puesto que influye tanto en la

asimetría de la variación de la rigidez en un vano bajo la acción de un

viento lateral, como en el diferente comportamiento de elementos de la

cateraria. Este es el caso de las péndolas que bajo la acción del viento

a altas velocidades y en función del zigzag pueden verse sometidas a

un aflojamiento.

El efecto del viento lateral da lugar, además, a desplazamientos en las

tres direcciones del espacio que afectan a la disposición de la catenaria

y, por tanto, sobre la interacción con el pantógrafo. Por ejemplo, para

un viento lateral de 40 m/s se observa un desplazamiento horizontal

de más de 40 cm y un desplazamiento vertical de 7 cm.

En cuanto a las simulaciones dinámicas de la catenaria y la interacción

catenaria pantógrafo se puede concluir:

Sobre el efecto de la variación de rigidez en la dinámica se observa

una variación en la fuerza de contacto que aumenta con la velocidad

del viento. Como se ha visto, para velocidades de 14 m/s se da una

disminución de la fuerza de hasta un 5%. Esta disminución debida

al efecto del viento puede dar lugar a la pérdida de contacto entre la

catenaria y el pantógrafo.

La velocidad del tren también influye sobre el efecto que esta pérdida

de rigidez tiene en la dinámica de la catenaria ya que, para una mis-

ma velocidad de viento, a medida que aumenta la velocidad del tren


también se produce un aumento de la variabilidad de la fuerza de con-

tacto. Por tanto, la disminución de la fuerza de contacto mencionada

se ve más acusada para velocidades mayores de viento.

Por otro lado, en cuanto al efecto de la fuerza vertical debida al viento

lateral en la interacción catenaria pantógrafo cabe destacar, que si bien

en la fuerza de contacto no se observa una variación muy acusada,

su influencia es notable en el desplazamiento vertical del punto de

contacto que varía, no sólo aumentando con el valor de la velocidad

del viento (con valores superiores al 80% para vientos de 100 km/h),

sino también su recorrido perdiendo, para velocidades altas de viento,

su tendencia sinusoidal.

En este efecto también influye la velocidad del tren y, del mismo modo

que en la pérdida de rigidez, el aumento de velocidad del tren intensi-

fica los efectos de la fuerza del viento, de modo que, para una misma

velocidad de éste, a medida que aumenta la velocidad del vehículo

aumenta el desplazamiento vertical del punto de contacto.

6.2. Principales aportaciones

Las principales aportaciones originales que han surgido del trabajo de

investigación de este proyecto y que tienen entidad suficiente para conside-

rarse en futuras publicaciones científicas son:

Análisis de las distintas técnicas de representación de la fuerza del

viento recogidas en la bibliografía.

Desarrollo de un modelo de cargas de viento.

Validación del modelo de cargas de viento sobre estructuras de cables.

Estudio del efecto estático del descentramiento en la rigidez de la

catenaria.


Estudio del efecto estático del viento en la rigidez de la catenaria.

Análisis del efecto estático del viento en los desplazamientos de la

catenaria sobre un modelo tridimensional.

Estudio del efecto de la variación de rigidez en la dinámica de la

interacción catenaria-pantógrafo.

Estudio del efecto del desplazamiento vertical de la catenaria origi-

nado por el viento lateral en la dinámica de la interacción catenaria-

pantógrafo.

Análisis de la influencia de la velocidad del tren sobre los efectos del

viento mencionados en la catenaria.

6.3. Futuros desarrollos

Entre los temas que se han discutido y se han considerado que, sin formar

parte de los objetivos del presente proyecto, podrían resultar prometedores

en esta línea de investigación destacan:

Análisis de la influencia de parapetos laterales y terraplenes bajo car-

gas de viento en régimen estacionario sobre catenarias ferroviarias.

Comparación de los resultados obtenidos para la simulación con para-

petos y terraplenes con resultados experimentales en túnel de viento.

Cálculo estocástico y optimización de la configuración de la catenaria

considerando el efecto del viento lateral.

Simulación dinámica 3D

• Validación del elemento corrotacional 3D implementado en el

transcurso de este proyecto final de carrera.


• Implementación de un modelo de contacto 3D elemento-elemento

para simular la interacción dinámica catenaria-pantógrafo.

• Validación del modelo de simulación con la norma EN-50318.

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EFECTOS DEL VIENTO EN ESTRUCTURAS DEL CABLES · Rigidez de un vano para distintos valores de...

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