Ejemplo de Cálculo de Una Estructura Empleando El Enfoque Matricial Del Método de Los...

7/25/2019 Ejemplo de Clculo de Una Estructura Empleando El Enfoque Matricial Del Mtodo de Los Desplazamientos

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Aplicacin del Enfoque Matricial del Mtodo de los Desplazamientos. Ejemplo de Clculo

Dr. C. Ing. Jorge Douglas Bonilla Rocha Dr. C. Ernesto L. Chagoyn Mndez 1

REPBLICA DE CUBA

UNIVERSIDAD DE CIEGO DE VILA (UNICA) - UNIVERSIDAD CENTRAL DE LAS VILLAS (UCLV)

Facultad de Ingeniera (UNICA) - Facultad de Construcciones (UCLV)

Maestra en Estructuras

APLICACIN DEL ENFOQUE MATRICIAL DEL MTODODE LOS DESPLAZAMIENTOS

(EJEMPLO DE CLCULO DE UNA ESTRUCTURA EN EL PLANO)

MATERIAL DE APOYO

ASIGNATURA: MECNICA DE LA CONSTRUCCION SUPERIOR(Anlisis Estructural Avanzado)

Autores: Dr. C. Ing. Jorge Douglas Bonilla Rocha, PTDoctor en Ciencias Tcnicas (Esp. Estructuras)Mster en EstructurasIngeniero CivilUNICA

Dr. C. Ing. Ernesto L. Chagoyn Mndez, PT

Doctor en Ciencias Tcnicas (Esp. Estructuras)Mster en EstructurasIngeniero CivilUCLV

Ao 2013


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En este trabajo se plantea la solucin detallada, paso a paso de una estructura bidimensional a partir

de la aplicacin del enfoque matricial del mtodo de los desplazamientos. El objetivo de este folleto

es ilustrar el procedimiento metodolgico de cara a la solucin de un problema concreto del campo

de las estructuras.

En este caso se ha resuelto el problema planteado manualmente y como recurso de comprobacin

hemos comparado los resultados obtenidos de forma manual (con la ayuda de asistente matemtico),

con los resultados de este mismo problema resuelto en el programa computacional STAAD-Pro (v

2006). Se podr apreciar que la diferencia entre las soluciones obtenidas por una y otra va no es

significativa. La diferencia entre una y otra solucin es sumamente despreciable y es motivo del

redondeo en el proceso de clculo manual. Se ha empleado adems el asistente matemtico Mathcad

como ayuda para la realizacin de las operaciones de clculo.

Se debe comentar que como nomenclatura para los sistemas de referencias se utiliz la siguienterepresentacin:

X, Y, Z (Sistema de referencia global).

X, Y, Z (Sistema de referencia local).

Problema planteado:

Obtener los grficos de momento flector, cortante y normal de la siguiente estructura, as como los

desplazamientos nodales de la misma, utilizando el enfoque matricial del Mtodo de los

Desplazamientos.

Se hace necesario comentar que la estructura planteada no es un caso real, es un ejemplo con fines

docentes, por lo que los parmetros: E, A e I tienen un valor ficticio, pues la finalidad de este


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trabajo es la comprensin del enfoque matricial del mtodo de los desplazamientos de cara a un

ejemplo prctico.

Solucin

1. Ubicar el sistema de coordenadas general, la numeracin de los nudos, de las barras y la

orientacin de estas.

2. Clculo de la matriz rigidez de la barra 1 en ejes locales. Para esto planteamos la matriz rigidez de

la barra plana empotrada-empotrada y se hacen modificaciones hasta obtener la matriz rigidez de la

barra 1, es decir articulada-empotrada.

L

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

AE

L

AEL

EI

L

EI

L

EI

L

EI L

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

AE

L

AE

K

460

260

6120

6120

0000

260

460

6120

6120

0000

22

2323

22

2323


4/22



Sustituyendo los valores de E = 1, A = 10, I = 250 y L = 5 se obtiene:

200600100600

6024060240

002002

100600200600

6024060240

002002

K

Como en este caso la barra 1 es articulada en el origen, tenemos una discontinuidad 3. Se coge como

pivote la fila 3 y se hacen transformaciones hasta hacer cero la columna 3. En la matriz anterior se

realiza la siguiente operacin 2200

60

3 filafila

y se obtiene:

200600100600

6024060240

002002

100600200600

3060060

002002

K

En la matriz obtenida anteriormente se realiza la siguiente operacin 5200

603 filafila

y se

obtiene:

200600100600

3060060

002002

100600200600

3060060

002002

K


5/22



En la matriz obtenida anteriormente se realiza la siguiente operacin 6200

1003 filafila

y se

obtiene:

1503000300

3060060

002002

100600200600

3060060

002002

K

Se hace cero toda la fila 3 y se obtiene la matriz rigidez de la barra 1 en ejes locales:

1503000300

3060060

002002

000000

3060060

002002

1K

3. Como la barra 1 no coincide con el sistema de coordenadas globales, es necesario buscar la matriz

rotacin para esta barra.

1

1

1R donde:

100

0

0

1 CS

SC

5

3

5

03

L

XXC OD ;

5

4

5

04

L

YYS OD ;

100

05

3

5

4

05

4

5

3

1


6/22



Matriz rotacin de la barra 1:

100000

05

3

5

4000

05

4

5

3000

000100

00005

3

5

4

00005

4

5

3

1R

4. Se debe rotar la matriz rigidez de la barra 1, para as llevarla a ejes generales. Para esto se plantea:

tRKRK

1111

1503000300

3060060

002002

000000

3060060

002002

100000

05

3

5

4000

05

4

5

3000

000100

00005

3

5

4

00005

4

5

3

1 KR

1503000300

8.16.36.106.36.1

4.28.42.108.42.1

000000

186.36.106.36.1

248.42.108.42.1

1 KR


7/22



100000

06.08.0000

08.06.0000

000100

00006.08.0

00008.06.0

1

tR

150182401824

1844.392.1044.392.1

2492.156.4092.156.4

000000

1844.392.1044.392.1

2492.156.4092.156.4

1111

tRKRK

5. Clculo de la matriz rigidez de la barra 2. En este caso como el sistema de coordenadas locales

coincide con el sistema de coordenadas generales, la matriz rigidez de la barra para ejes locales es la

misma matriz para el caso de ejes generales; o sea no es necesario hacer la rotacin. Se debe destacar

adems que en este caso la barra es biempotrada, por lo que no ser necesario hacer modificaciones a

la matriz como en el caso anterior, pues se parti de la matriz rigidez para este tipo de barra.

L

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

AE

L

AEL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EI

L

EI

L

EI

L

EILAE

LAE

K

460

260

6120

6120

0000

260

460

6120

6120

0000

22

2323

22

2323


8/22



125437.2305.62437.230

437.23859.50437.23859.50

0025.10025.1

5.62437.230125437.230

437.23859.50437.23859.50

0025.10025.1

22 KK

6. Despus de tener las matrices rigidez de todas las barras en ejes generales, se obtiene la matriz

rigidez de toda la estructura. Para esto se debe escribir la matriz rigidez de cada barra en forma

compacta.

i

DD

i

DO

i

OD

i

OOi

KKKKK

1

22

1

21

1

12

1

11

1

KK

KKK

2

33

2

32

2

23

2

22

2

KK

KKK

2

33

2

32

223

2

22

1

22

1

21

1

12

1

11

KK

KKKK

KK

125437.2305.62437.230000

437.23859.50437.23859.50000

0025.10025.1000

5.62437.230275437.52401824437.23859.50437.5299.992.1044.392.1

0025.12492.181.5092.156.4

000000000

0001844.392.1044.392.1

0002492.156.4092.156.4


9/22



7. Formacin del vector P.

9

8

7

2

1

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0

0

0

0

P

P

P

P

P

P

P

P

P

P

P

P

P

P

P

En este caso P3 = 0, ya que se trata de un apoyo articulado.

8. Formacin del vector PE.

Para la barra 1:

375.95

625.155.12

02

L

MMVV ID

625.155

625.155.12

05

L

MM

VV

ID


10/22



625.15

625.15

0

0

375.9

0

1EP

Es necesario llevar este vector para la barra 1, a ejes generales.

11 1 EE PRP

625.15

375.9

5.12

0

625.5

5.7

1EP

Para la barra 2:


11/22



Este vector ya est expresado en ejes generales

666.106

80

0

666.106

80

0

2

EP

Podemos platear el vector PEpara toda la estructura.

666.106

80

0

041.91

375.89

5.12

0

625.5

5.7

EP

9. Formacin del vector Z.

0

0

0

0

0

0

6

5

4

Z

Z

Z

Z

10. Planteamos.

EPPZ


12/22



666.106

80

0

041.910

375.890

5.120

00

625.5

5.7

0

0

0

0

0

0

125437.2305.62437.230000

437.23859.50437.23859.50000

0025.10025.1000

5.62437.230275437.52401824

437.23859.50437.5299.992.1044.392.1

0025.12492.181.5092.156.4

000000000

0001844.392.1044.392.1

0002492.156.4092.156.4

9

8

7

2

1

6

5

4

P

P

P

P

P

Z

Z

Z

Seguidamente escribimos el sistema de ecuaciones:

(I) 4.56 Z4+ 1.92 Z524 Z6= P1+ 7.5

(II)

1.92 Z43.44 Z5+ 18 Z6= P25.625(III) 0 = 0, (P3 = 0 en este caso, ya que se trata de un apoyo articulado)

(IV) 5.81 Z4- 1.92 Z5+ 24 Z6= 12.5

(V) 1.92 Z4+ 9.299 Z5+ 5.437 Z6= -89.375

(VI) 24 Z4+ 5.437 Z5+ 275 Z6= -91.041

(VII) 1.25 Z4= P7

(VIII) 5.859 Z523.437 Z6= P8 - 80

(IX)

23.437 Z5+ 62.5 Z6 = P9 + 106.666

Simultaneando las ecuaciones (IV), (V) y (VI) se obtiene:

Z4 = -0.766

Z5 = -9.727*

Z6= -0.072* Se reconoce que el desplazamiento en este nodo es exagerado para una estructura, pero el

mismo es consecuencia de los valores ficticios de los parmetros: E, A e I declarados al inicio.

Sustituyendo Z4, Z5 y Z6 en (I) y (II) se obtiene:

P1 = -20.959

P2= 36.325

P3= 0

Sustituyendo Z4, Z5 y Z6 en (VII), (VIII) y (IX) se obtiene:


13/22



P7 = 0.959

P8= 138.679

P9= -339.138

Se han determinado las reacciones de apoyo en ejes generales.

Los desplazamientos lineales y angulares del nudo 2, en ejes generales estn dados por

Z4 = -0.766

Z5 = -9.727

Z6= -0.072

11. Llevar los desplazamientos de las barras a ejes locales.Para la barra 1

072.0

727.9

766.0

0

0

0

1Z

111 ZRZ t


14/22



072.0

223.5

241.8

0

0

0

072.0

727.9

766.0

0

0

0

100000

06.08.0000

08.06.0000

000100

00006.08.0

00008.06.0

1Z

Para la barra 2

22 ZZ

0

0

0

072.0

727.9

766.0

2Z

12. Clculo de las fuerzas interiores en los extremos de las barras.

Para la barra 1

111 1ZKPP E

902.145

18.29

482.16

0

18.29

482.16

072.0

223.5

241.8

0

0

0

1503000300

3060060

002002

000000

3060060

002002

11 ZK


15/22



300.130

555.13

482.16

0

555.38

482.16

902.145

18.29

482.16

0

18.29

482.16

625.15

625.15

0

0

375.9

0

111 1ZKPP E

Para el clculo de las solicitaciones intermedias, se ha planteado la ecuacin de momento,

haciendo una seccin en la barra, o sea:

2

5555.38

2zzMz

Se evala para diferentes valores de (z), en este caso con incrementos de (0.5 m).

Para el cortante derivamos la ecuacin de momento y obtenemos:

zVz 5555.38

Se evala de la misma forma que en el caso anterior.


16/22



Esfuerzos interiores por tramos para la barra 1

Distancia (m) Axial Cortante Momento0.00 16.482 (C) 38.55 0.00

0.50 16.482 (C) 36.05 18.65

1.00 16.482 (C) 33.55 36.05

1.50 16.482 (C) 31.05 52.21

2.00 16.482 (C) 28.55 67.11

2.50 16.482 (C) 26.05 80.76

3.00 16.482 (C) 23.55 93.16

3.50 16.482 (C) 21.05 104.32

4.00 16.482 (C) 18.55 114.22

4.50 16.482 (C) 16.05 122.87

5.00 16.482 (C) 13.55 130.30


17/22



Para la barra 2

222 2ZKPP E

472.232

678.58

958.0

972.236

678.58

958.0

0

0

0

072.0

727.9

766.0

125437.2305.62437.230

437.23859.50437.23859.50

0025.10025.1

5.62437.230125437.230

437.23859.50437.23859.50

0025.10025.1

22 ZK

138.339

678.138

958.0

306.130

322.21

958.0

472.232

678.58

958.0

972.236

678.58

958.0

666.106

80

0

666.106

80

0

222 2ZKPP E

En este caso se realiza el mismo procedimiento que en la barra anterior. Se plantea la ecuacin

de momento flector para una seccin:

2

20322.21306.130

2zzMz

Se evala (z) para incrementos de (0.8 m).

Se deriva la ecuacin de momento y se obtiene la ecuacin de cortante en la que se evala del

mismo modo, o sea incrementando (z) en 0.8 m.

zV 20322.21


18/22



Esfuerzos interiores por tramos para la barra 2

Distancia (m) Axial Cortante Momento

0.00 -0.958 (T) 21.32 130.300.80 -0.958 (T) 5.32 140.96

1.60 -0.958 (T) -10.67 138.82

2.40 -0.958 (T) -26.67 123.87

3.20 -0.958 (T) -42.67 96.13

4.00 -0.958 (T) -58.67 55.59

4.80 -0.958 (T) -74.67 2.25

5.60 -0.958 (T) -90.67 -63.89

6.40 -0.958 (T) -106.67 -142.83

7.20 -0.958 (T) -122.67 -234.58

8.00 -0.958 (T) -138.67 -339.13


19/22



Grficos de esfuerzos interiores.


20/22



CDIGO DE STAAD-Pro

STAAD PLANE

START JOB INFORMATION

ENGINEER DATE 24-Jan-13END JOB INFORMATION

INPUT WIDTH 79

UNIT METER KN

JOINT COORDINATES

1 0 0 0; 2 3 4 0; 3 11 4 0;

MEMBER INCIDENCES

1 1 2; 2 2 3;

DEFINE MATERIAL START

ISOTROPIC CONCRETE

E 1POISSON 0.12

DENSITY 23.5616

ALPHA 1e-005

DAMP 0.05

END DEFINE MATERIAL

MEMBER PROPERTY AMERICAN

1 2 PRIS AX 10 AY 10 IZ 250 YD 10 ZD 3

CONSTANTS

MATERIAL CONCRETE ALL

SUPPORTS1 PINNED

3 FIXED

LOAD 1 LOADTYPE LIVE TITLE LOAD CASE 1

MEMBER LOAD

1 UNI Y -5

2 UNI Y -20

PERFORM ANALYSIS

PRINT MEMBER FORCES ALL

PRINT MEMBER STRESSES ALL

PRINT MEMBER SECTION FORCES ALL

PRINT JOINT DISPLACEMENTS ALL

PRINT SECTION DISPL LIST 1 2

PRINT SUPPORT REACTION ALL

FINISH


21/22



RESULTADOS OBTENIDOS EN EL STAAD Pro

Grfica de momento flector

Esfuerzos en la barra 1


22/22



Esfuerzos en la barra 2

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