Ejemplo 1: Dos esferas cargadas conectadas

Dos conductores esféricos de radios r1 y r2 están separados por una distancia mucho mayor

que el radio de cualquiera de las esferas. Éstas están conectadas por medio de un alambre

conductor, como se observa en la figura. Si las cargas sobre las esferas en equilibrio son q1

y q2, respectivamente, encuentre la razón de las intensidades de campo en las superficies de

las esferas.

Figura. Dos conductores esféricos cargados conectados por un alambre conductor. Las esferas están al mismo

potencial V.

Solución Puesto que las esferas están conectadas por un alambre conductor, deben estar al

mismo potencial

V = ke q1/r1 = ke q2/r2

Por lo tanto, la razón de cargas es

q1/q2 = r1/r2

En vista de que las esferas están muy alejadas, sus superficies están cargadas de manera

uniforme, y podemos expresar la magnitud de los campos eléctricos es sus superficies como

E1 = ke q1/r1² y E2 = ke q2/r2²

Tomamos la razón de estos dos campos, encontramos que

E1 / E2 = r2 / r1

Por consiguiente, el campo es más intenso que la vecindad de la esfera más pequeña.

Ejemplo 2: El potencial debido a dos cargas puntuales

Una carga puntual de 2.00 C se localiza en el origen, y una segunda carga puntual de -

6.00 C se encuentra sobre el eje yen la posición (0, 3.00) m, como muestra la figura. a)

Encuentre el potencial eléctrico total debido a estas cargas en el punto P, cuyas

coordenadas son (4.00, 0) m.

FIGURA a) El potencial eléctrico en el punto P debido a las dos cargas puntuales q1 y q2 es la suma

algebraica de los potenciales debidos a las cargas individuales. b) ¿Cuál es la energía potencial del sistema de

tres cargas?

Solución Para dos cargas, la suma en la ecuación produce

Vp = ke (q1 / r1 + q2 / r2)

En este ejemplo, q1= 2.00 C, r1 = 4.00m, q2= -6.00 C y r2= 5.00 m. Por lo tanto, Vp se

reduce a

Vp = 8.99 * 10^9 N*m² / C² (2.00 * 10^-6 C / 4.00 m - 6.00 * 10^-6 C / 5.00 m )

= -6.29 * 10^3 V

b) ¿Cuánto trabajo se necesita para llevar una carga puntual de 3.00 C desde el infinito

hasta el punto P?

Solución

W = q3Vp = (3.00 * 10 ^-6 C) (-6.29 * 10^3 V)

= -18.9 * 10 ^-3 J

El signo negativo significa que el trabajo que fue hecho por el campo sobre la carga a

medida que ésta se desplazó desde infinito hasta P. Por consiguiente, tendría que efectuarse

trabajo positivo por un agente externo para llevar la carga desde P de regreso a infinito.

Ejercicio Encuentre la energía potencial total del sistema de tres cargas en la configuración

mostrada en la figura

Respuesta --5.48 * 10^-2 J

Ejemplo conceptual 3

Si el potencial eléctrico es constante en alguna región, ¿qué se puede concluir acerca del

campo eléctrico en esa región? Si el campo eléctrico es cero en alguna región ¿qué se puede

afirmar acerca del potencial eléctrico en esa región?

Razonamiento Si V es constante en alguna región, el campo eléctrico debe ser cero en esa

región. En una situación unidimensional, E = -dV/dx, de modo que V = constante, E = 0.

Del mismo modo, si E = 0 en alguna región, solo puede concluirse que V es una constante

en esa región.

Ejemplo conceptual 4

Si el potencial eléctrico de algún punto es cero, ¿se puede concluir que no hay cargas en los

alrededores de ese punto?

Razonamiento No. Suponga que hay varias cargas en los alrededores del punto en

cuestión. Si algunas cargas son positivas y algunas negativas, sus contribuciones al

potencial en el punto pueden cancelarse. Por ejemplo, el potencial eléctrico en el punto

medio de dos cargas iguale pero opuestas es cero.

Ejemplo conceptual 5 Potencial

Si un protón se libera desde el reposo en un campo eléctrico en un campo eléctrico

uniforme, ¿el potencial eléctrico aumenta o disminuye? ¿Qué sucede con su energía

potencial eléctrica?

Razonamiento El protón se mueve en la dirección del campo eléctrico hasta una posición

de potencial menor y de energía potencial inferior. La reducción en la energía potencial

eléctrica es acompañada de un aumento igual en la energía cinética como lo requiere el

principio de la conservación de la energía. Un electrón se mueve en la dirección opuesta al

campo eléctrico de modo que su potencial eléctrico se incrementa, aunque la energía

potencial eléctrica se disminuye.