Ejemplos probabilísticos de la aplicación del método de Montecarlo

Caminata aleatoria o El Tambaleo del Borracho Definición del problema

Suponga que un borracho está parado en la esquina de una calle cuando decide caminar para salir de un embriagues. Asuma que hay igual probabilidad de que vaya hacia el norte, sur, este u oeste. Si camina 10 cuadras, ¿Cuál es la probabilidad de que termine a dos cuadras de donde inició? Análisis Existe 25% de probabilidad de que el borracho camine hacia el norte, 25% de que camine hacia el sur, 25% hacia el este y 25% hacia el oeste. Véase figura 1

Dirección Probabilidad Prob. acumulada

Norte 0.25 0.25

Sur 0.25 0.50

Este 0.25 0.75

Oeste 0.25 1.00

Figura 1 Tabla que define la probabilidad individual y la probabilidad acumulada de cada una de las direcciones

Podemos representar gráficamente las distribuciones de probabilidad (véanse figuras 2 y 3)

Figura 2 Representa un histograma para la dirección del borracho

Figura 3

Distribución de probabilidad acumulada Debemos establecer los números índice de las direcciones (véase figura 4) Esto nos permitirá, una vez obtenido un número aleatorio, identificar el evento que representa.

Dirección Números índice Norte 00-24 Sur 25-49 Este 50-74

Oeste 75-99 Figura 4

Tabla de números índice

0.75 0.50 0.25

Norte Sur Este Oeste

1.00 0.75 0.50 0.25

Norte Sur Este Oeste

Podemos asignarle una localización a cada esquina, de manera que la coordenada X representa la dirección este-oeste y la coordenada Y represente la dirección norte-sur. Cada vez que se mueva hacia el este incrementamos el valor de de X en uno y cada vez que se mueva hacia el oeste decrementamos el valor de x también en uno. Cada vez que se mueva hacia el norte incrementamos Y en uno y cada vez que se mueva hacia el sur decrementamos Y en uno. Si iniciamos la simulación en la posición (0,0), podemos establecer una relación entre cualquier punto donde se encuentre y la posición inicial. Si al finalizar el recorrido de las 10 cuadras la suma de X y Y resulta mayor o igual a 2 entonces el caminante terminó a una distancia mayor o igual a 2 cuadras del punto inicial. Algoritmo

1- Inicializar X, Y y N (número de cuadras caminadas) en cero. 2- Obtener un número aleatorio R (probabilidad de la dirección) de dos

dígitos 3- Evaluar el valor de R:

_ Si R es mayor o igual a 0 y menor que 25, incrementar Y en uno. _ Si R es mayor o igual a 25 y menor que 50, decrementar Y en uno. _ Si R es mayor o igual a 50 y menor que 75, incrementar X en uno. _ Si R es mayor o igual a 75 y menor que 100, decrementar X en uno.

4- Incrementar el número de cuadras caminadas (N) 5- Imprimir los valores X y Y 6- Repetir los pasos 2 a 5 hasta que N sea igual a 10 7- Sumar X y Y, para obtener la posición en donde se encuentra después de

caminar 10 cuadras 8- Si el valor absoluto de la suma resulta mayor o igual a 2, entonces se

toma como éxito. En caso contrario se toma como fracaso.

Resultados

Simulación del Tamaleo del Borracho # de cuadras recorridas

# aleatorio Localización (X,Y)

1 75 1, 0 2 58 2, 0 3 50 2, -1 4 21 2, 0 5 73 3, 0 6 97 2, 0 7 22 2, 1 8 79 1, 1 9 54 2, 1 10 42 2, 0

El Borracho terminó a 2 cuadras de donde estaba inicialmente. Recuerde que matemáticamente esto lo sabemos al sumar las coordenadas X y Y de la posición final. Recuerde que la pregunta planteada fue: ¿Cuál es la probabilidad de que termine a dos cuadras de donde inició? Esto significa que la corrida de situación que hemos realizado no es suficiente para poder determinar la probabilidad solicita. Esta es apenas una observación del experimento. Tendríamos que realizar el experimento, por ejemplo, 10, 100, 500 veces y calcular las veces que el borracho quedó a dos cuadras o menos y dividir el número de aciertos entre la cantidad de observaciones realizadas para poder determinar esa probabilidad. Servicios de Lava Auto Definición del problema Si en un establecimiento donde se ofrece servicio de lava auto es posible atender hasta un máximo de 3 vehículos de cualquier tamaño, durante un periodo de 4 horas. ¿Cuantos vehículo y de que tamaño serán atendidos en un periodo de 12 horas?

Se debe asumir que el problema proporciona la distribución de probabilidad del número de vehículos que llegan en un periodo de 4 horas; así como la distribución de probabilidad del tamaño del vehículo. Véanse figuras 5 y 6. Observe que en este ejemplo, a diferencia del anterior, los datos proporcionados nos indican que la unidad de tiempo es de cuatro horas para cada paso o línea de simulación. Números de vehículos Probabilidad Probabilidad acumulada

1 0.30 0.30 2 0.50 0.80 3 0.20 1.00

Figura 5 Probabilidad del número de vehículos que es posible atender

Número de vehículos Probabilidad Probabilidad acumulada Pequeño 0.30 0.30 Mediano 0.40 0.70 Grande 0.20 0.80

Muy grande 0.10 1.00 Figura 6

Probabilidad de atender a un determinado tamaño de vehículo

Análisis Para facilitar la compresión de estas distribuciones de probabilidad, utilizamos gráficas. Véanse las figuras 7, 8, 9 y 10. Figura 7 Distribución de probabilidad del número de vehículos Figura 8 Distribución acumulada del número de vehículos

0.50 0.40 0.30 0.20 0.10

1 2 3

1.00 0.80 0.60 0.40 0.20

1 2 3

Figura 9 Distribución de probabilidad del tamaño de los vehículos Figura 10 Distribución acumulada del tamaño de los vehículos Es necesario establecer los números índices para poder identificar cada evento dentro de la simulación. Véanse figuras 11 y 12.

Número de vehículos Número de índices 1 00-29 2 30-79 3 80-99

Figura 11 Tabla de números índices

0.40 0.30 0.20 0.10

Pequeño Mediano Grande Muy grande

0.40 0.30 0.20 0.10

Pequeño Mediano Grande Muy grande

Tamaño del vehículo Número de índices Pequeño 00-29 Mediano 30-69 Grande 70-89

Muy grande 90-99 Figura 12 Tabla de números índices Análisis

1- Inicializar en cero las variables que van a contener la cantidad de vehículos que serán atendidos de cada tamaño.

2- Obtener un número aleatorio R1 (que representa la figura 11)

3- Evaluar el número R1 (Probabilidad del número de vehículos)

_ Si R1 es mayor o igual a 0 y menor que 30, efectuar so pasos 4 y 5 una vez e ir al paso 6 _ Si R1 es mayor o igual a 30 y menor que 80, efectuar los pasos 4 y 5 dos veces e ir al paso 6 _ Si R1 es mayor o igual a 80 y menor que 100, efectuar tres veces los pasos 4 y 5 dos veces e ir al paso 6

4- Obtener un número aleatorio R2 (que representa la figura 12) 5- Evaluar el número R2 (Probabilidad del tamaño del vehículo):

_ Si R2 es mayor o igual a 0 y menor que 30, se cuenta un carro de tamaño pequeño. _ Si R2 es mayor o igual a 30 y menor que 70, se cuenta un carro de tamaño mediano. _ Si R2 es mayor o igual a 70 y menor que 90, se cuenta un carro de tamaño grande.

_ Si R2 es mayor o igual a 90 y menor que 100, se cuenta un carro de tamaño muy grande

6- Repetir los pasos 2 y 3, tres veces (ya que se solicitó simular 12 horas

de actividad) 7- Sumar el número de carros de cada tamaño, para obtener el total de

carros atendidos.

Resultados Servicio de Lava Auto

Simulación del número de autos que llegan y son atendidos en un periodo de 12 horas

# aleatorio (R1) # de vehículos atendidos

# aleatorio (R2) Tamaño del vehículo

79 2 93 55

Muy grande Mediano

97 3 24 70 58

Pequeño Grande Mediano

50 2 11 58

Pequeño Mediano

Esta simulación contiene algunos aspectos de interés. Como ya mencionamos cada línea de simulación corresponde a cuatro horas de servicio, según la descripción del problema. Observe además, que como en un período podía venir más de un vehículo se hizo necesario obtener de la tabla un valor aleatorio para cada vehículo, de manera que se pudiese identificar su tipo. Esto nos lleva a otro detalle importante, y es que usted debe ir obteniendo los valores aleatorios de la tabla (o de su programa) poco a poco en la medida que los va necesitando. Resultados: Total de carros atendidos de cada tamaño 2 pequeños 3 medianos 1 grande 1 muy grande

Total de carros atendidos = 7 Como en el caso anterior este resultado no sería suficiente, por lo que deberíamos realizar la simulación un determinado número de veces y luego sacar un promedio de los vehículos atendidos.