Ejercicio 17.5-5 (pag 761) Una gasolinera cuenta con una bomba de gasolina. Los automóviles que desean cargar llegan según un proceso de Poisson a una tasa media de 15 por hora. Sin embargo, si la bomba está en operación, los clientes potenciales pueden desistir (ir a otra gasolinera). En particular, si hay n autos en ella, la probabilidad de que un conductor potencial que llega desista es n/3 para n =1, 2, 3. El tiempo necesario para servir a un auto tiene distribución exponencial con media de 4 minutos.

a) Construya el diagrama de tasas del sistema de colas b) Desarrolle las ecuaciones de balance c) Resuelva las ecuaciones de balance para encontrar P0, P1 y P2 d) Encuentre el tiempo de espera esperado de los automóviles que se quedan

Solución: a) Notemos que para cada estado llegan 15 clientes, pero como pueden desistir, es decir irse de la estación de servicio, el número de clientes que llegaran a cada estado cambiaran, y por tanto debemos establecer la tasa media para cada estado. Notemos que si el estado es 0 nadie desiste, es decir, , sin embargo, cuando estamos en el estado 1, la probabilidad de que una

persona desista es

, por tanto la tasa media de llegada será

, de manera

similar vemos que . Por otra parte se sabe que el tiempo para servir a un cliente es una exponencial con media de 4 min, en otras palabras, se tardan 4 minutos por clientes, por tanto se atenderán a 15 clientes en una hora, el diagrama de tasa queda como b) Las ecuaciones de balance son.

0 1

2

3 c) Al desarrollar las ecuaciones de balance tenemos:

d) Piden , para ello determinemos y Así:

Los autos se quedan en promedio 6, 3529 minutos