1er Empresa i Tecnologia Subgrup 205 Matemàtiques II

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Take-home II

1. La cantidad de M llamadas (en minutos por mes) de un consumidor

depende de la tarifa p y viene dada por la expresión ( )

. Ahora

bien, el precio p varía según los costes laborales L y la tasa de interés

r de la manera siguiente ( ) ( ). Si la dotación de costes es

L y r, se pide:

a. ¿Cuál es la tasa de variación de minutos con respecto a L en un

punto ( )? Y ¿respecto a r?

En este primer apartado, nos piden que analicemos cuánto variaría M

(minutos/mes) si modificáramos los costes laborales L o bien el tipo de interés.

Tenemos que aplicar derivadas parciales. No obstante, M no depende

directamente de L ni de r, si no que hay una variable intermedia que es p (precio) , la

cual sí que depende de L y r. Por lo tanto, si representamos estas relaciones de forma

visual queda:

Por lo tanto, debemos analizar los caminos que hay desde M hasta p y hacer

sus derivadas parciales. En el primer caso, respecto a L quedaría:

( )

( )

( )

( )

Y, la tasa de variación de M respecto a r sería:

( )

L

r p M

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b. Si, después de un nuevo estudio de mercado, el consumo de

minutos también depende del precio de un servicio “Voz IP”

expresado por ( ) ( ) según ( )

, ¿cambiará

la tasa de variación de minutos con respecto a L? ¿Cuál será

este cambio?

Tenemos que volver a hacer lo mismo que en apartado a, no obstante, se

añade una variable más además de p, con lo cual los caminos desde M a L han

aumentado, siendo:

Entonces, aplicado a las derivadas parciales quedaría:

( )

( )

( )

p

v

M L

r

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2. Dada la función ( ) ( )

a) ¿Cuál es el dominio de ( )

El Dom ( ) ( )

El dominio de la función pertenece a todos los con la condición de que x+y

sea mayor que 0.

b) Determina el gradiente ( )

Para calcular el gradiente de la función en el punto, debemos calcular las

derivadas parciales, una vez calculadas, substituimos éstas por el punto indicado, en

este caso el punto (0.5,0.5):

( ) (

) (

) (

)

( ) (

)

c) Si es posible, determina el plano tangente a la superficie

( ) en el punto ( )

Para calcular el plano tangente a la superficie de la función debemos multiplicar

las derivadas parciales por el punto de la superficie que nos indican y obtenemos que

el plano tangente siendo:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

El resultado del plano tangente lo podemos expresar de dos maneras distintas:

o ( )

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d) Sobre la curva de nivel ( ) ¿Se puede aplicar el

teorema de la función implícita en el punto ( )

( ) para expresar localmente y= ( )?

Para saber si es posible aplicar el teorema de la función implícita (TFIM) en el

punto dado, debemos mirar si se cumplen los tres requisitos imprescindibles:

1) Imagen de ( ) en el punto (0’5,0’5) sea igual a 0:

Sustituimos el punto en la función principal para buscar la imagen:

( ) ( )

Efectivamente, nos da igual a 0.

2) La función ( ) es de clase C1?

Como hemos comprobado en los apartados anteriores, las derivadas parciales son

continuas en el punto (0’5,0’5).

Comprobamos si f C1 ?

( )

3) La derivada parcial de f respecto de y debe ser diferente a 0.

Como vemos la derivada parcial de f respecto de y en el punto (0’5,0’5) es diferente a

0

( )

Como vemos se cumplen los tres requisitos, y por tanto podemos decir que:

SON CONTÍNUAS

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( ) ( ) ( )

e) Si es posible, determina la tasa de variación de y en respuestas de pequeñas variaciones de x en ( ) ( ) sobre la curva ( )

Aquí tenemos que aplicar las consecuencias vistas en clase de las derivadas

parciales situadas en una curva de nivel, en este caso en K=0. Como nos pregunta

la posibilidad de si existen estas parciales en esta curva de nivel, tenemos que

comprobar que existe una recta tangente el vector director de la cual es

perpendicular al vector gradiente de la función:

Buscaremos la recta tangente:

1) Calculamos el pendiente de la recta tangente a la curva de nivel K= 0

⁄ ( )

2) Una vez calculado el pendiente de la recta tangente, calculamos la recta tangente:

( )

3) ( )es perpendicular a y=-x+1?

Para que la función sea perpendicular tenemos que obtener el producto interior

entre el vector gradiente y el vector director de la recta igual a 0. Lo

comprobamos:

( ) (

) ( );

( ) ( )

Por tanto vemos que la función sí que es perpendicular, porque el resultado es 0.

Paula Lindez

Sergi Garcia

Lidia Rivera

Lourdes Almazán

Andrea Colom

Melanie Nogué