HKV TEXVictor Solano Mora

1Tema: Desigualdades algebraicas

Obtener el conjunto solución de la desigualdad

2x2 + 2x + 3−x2 − x + 6 ≤ 0

Solución:

Dado que se trata de inecuaciones que involucran expresiones algebraicas racionales (fracciones), lorecomendado para hallar el conjunto solución es factorizar cada polinomio y analizar el comportamientode los signos según x toma diferentes valores reales. Entonces, al factorizar el numerador por fórmulageneral se obtiene:

2x2 + 2x + 3 tiene discriminante negativo y no se puede factorizar.

Dado lo anterior, la función no interseca el eje X y por ende, siempre será positiva o siempre negativa(depende del signo de coeficiente del término general). Dicho signo es positivo, porque el coeficiente dex2 es 2. Por lo tanto, el numerador es siempre positivo.

Ahora, vamos a factorizar el denominador por fórmula general, de donde se obtiene:

−x2 − x + 6 = −(x − 2)(x + 3)Dado que se trata de una parábola que interseca el eje X tiene una sección negativa y una positiva, lascuales se deben analizar. Esto es sencillo, solo basta verificar el signo del coeficiente de mayor grado, eneste caso es −1 (negativo), por lo tanto, la única sección positiva de la parábola es la intermedia (dondeestá su máximo), es decir, entre los valores −3 y 2.

De esta forma los signos del polinomio del denominador son:

1 Positivo: Cuando x ∈] − 3, 2[.2 Nulo: Cuando x ∈ {−3, 2}.

3 Negativo: Cuando x ∈] −∞,−3[∪]2,+∞[.Finalmente, como la desigualdad debe ser menor o igual a 0 y el numerador es siempre positivo, la únicaposibilidad para el denominador es que sea negativo (un resultado nulo es imposible por tratarse de undenominador), por lo tanto, el conjunto solución es:

S =] −∞,−3[∪]2,+∞[