HKV TEXVictor Solano Mora

1Tema: Expresiones algebraicas

Simplificar la expresión

(x − y)2 − (x

2 − 2y)2

x2 − y

y+

x − 2y

x

÷

(x

2 − 2y)2− (x − y)2

x + 2y

x−

x2 + y

y

Solución:Para facilitar la explicación se trabajarán por separado cada una de las partes de cada fracción. Lo que sebusca es factorizar cada sección para luego realizar las cancelaciones que se presenten.

Empecemos con la primer fracción, en el numerador (por diferencia de cuadrados):

(x − y)2 − (x

2 − 2y)2= (x − y +

x

2 − 2y)(x − y −x

2 + 2y) = 3(x

2 − y)(x

2 + y)

Ahora con la segunda fracción, en el numerador (por diferencia de cuadrados):

(x

2 − 2y)2− (x − y)2 = (

x

2 − 2y + x − y)(x

2 − 2y − x + y) = 3(y − x

2)(y −x

2)

Regresamos con la primer fracción, en el denominador (suma de fracciones):

x2 − y

y+

x − 2y

x=

x2

2 − yx

yx+

yx − 2y2

yx=

x2

2 − xy + yx − 2y2

yx=

x2

2 − 2y2

yx=

(x√2 −√

2y) ( x√2 +√

2y)

yx

Continuamos con la segunda fracción, en el denominador (resta de fracciones):

x + 2y

x−

x2 + y

y=

yx + 2y2

yx−

x2

2 + yx

yx=

yx + 2y2−

x2

2 − yx

yx=

2y2−

x2

2yx

=

(

√

2y − x√2) (√

2y + x√2)

yx

Regresando a la expresión original:

(x − y)2 − (x

2 − 2y)2

x2 − y

y+

x − 2y

x

÷

(x

2 − 2y)2− (x − y)2

x + 2y

x−

x2 + y

y

=

(x − y)2 − (x

2 − 2y)2

x2 − y

y+

x − 2y

x

⋅

x + 2y

x−

x2 + y

y

(x

2 − 2y)2− (x − y)2

Reemplazando los factores obtenidos anteriormente:

(x − y)2 − (x

2 − 2y)2

x2 − y

y+

x − 2y

x

⋅

x + 2y

x−

x2 + y

y

(x

2 − 2y)2− (x − y)2

=

3 (x2 − y) (x

2 + y)

(x√2 −√

2y) ( x√2 +√

2y)

yx

⋅

(

√

2y − x√2) (√

2y + x√2)

yx

3 (y − x2) (y −

x2)

HKV TEXVictor Solano Mora

2Multiplicando las expresiones:

3 (x2 − y) (x

2 + y) ⋅(

√

2y − x√2) (√

2y + x√2)

yx

(x√2 −√

2y) ( x√2 +√

2y)

yx⋅ 3(y − x

2)(y −x

2)

Realizando las cancelaciones de los denominadores xy puesto queacec

=a

e, entonces:

3 (x2 − y) (x

2 + y) ⋅ (√

2y − x√2) (√

2y + x√2)

(x√2 −√

2y) ( x√2 +√

2y) ⋅ 3 (y − x2) (y −

x2)

Se cancelan los factores 3 y ( x√2 +√

2y), se obtiene:

(x2 − y) (x

2 + y) ⋅ (√

2y − x√2)

(x√2 −√

2y) ⋅ (y − x2) (y −

x2)

Sacando un factor−1 en (y − x2) y en x√

2 −√

2y se obtiene:

(x2 − y) (x

2 + y) ⋅ (√

2y − x√2)

− (

√

2y − x√2) ⋅ − (

x2 − y) (y − x

2)

Cancelando las expresiones (x2 − y) y (x

2 − y), se llega a:

(x2 + y)

− − (y − x2)

De donde se concluye que la simplificación queda:

(x2 + y)

(y − x2)

Sacando un factor −1, se deja organizada de la forma:

−

x2 + yx2 − y

Amplificando la fracción (multiplicar numerador y denominador) por 2, se obtiene:

−x + 2y

x − 2y