HKV TEXVictor Solano Mora

1Tema: Álgebra - Operaciones

Simplificar la expresión algebraica de

2(x − y)

2xy − x2− y2 −

x

x2− y2 −

1x − y

Solución:Como se trata de sumas (o restas) de expresiones algebraicas, la recomendación es homogenizar las frac-ciones (hacer que todos sus denominadores sean iguales), para ello se debe factorizar cada expresión deldenominador.

El primer denominador se debe factorizar un −1, para tener a las variables de exponente par con signopositivo, para luego aplicar la factorización de trinomio cuadrado perfecto:

2xy − x2− y2= −(−2xy + x2

+ y2) = −(x2

− 2xy + y2) = −(x − y)(x − y)

El segundo se trata de una diferencia de cuadrados (ya que no se pueden tener ambas variables positivas),entonces su factorización es:

x2− y2= (x − y)(x + y)

El último denominador ya se encuentra reducido, por ende, se deja como está y la expresión originalqueda:

2(x − y)

−(x − y)2−

x

(x − y)(x + y)−

1x − y

En las fracciones es equivalente que el signo menos esté en numerador (arriba), denominador (abajo) oen la fración (delante), entonces la expresión se puede escribir como:

−2(x − y)

(x − y)(x − y)−

x

(x − y)(x + y)−

1x − y

Ahora para homogenizar, debemos igualar los denominadores y eso implicar “agregar” los factores (pa-réntesis o términos) que no posea. No obstante, al hacerlo, cambiamos la expresión salvo que tambiénse le agreguen al numerador, entonces cada denominador debe tener estos 3 factores: un (x + y) y dos(x − y), de ahí obtenemos:

−2(x − y)(x + y)

(x − y)(x − y)(x + y)−

x(x − y)

(x − y)(x + y)(x − y)−

(x + y)(x − y)

(x − y)(x + y)(x − y)

Ahora se agrupan en una sola fracción y resuelven los productos de los numeradores y simplificar laexpresión para determinar si se puedne cancelar términos:

−2(x − y)(x + y) − x(x − y) − (x + y)(x − y)

(x − y)(x − y)(x + y)=−2(x2

− y2) − (x2

− y2) − (x2

− y2)

(x − y)(x − y)(x + y)

=−2x2

+ 2y2− x2+ y2− x2+ y2

(x − y)(x − y)(x + y)

=−4x2

+ 4y2

(x − y)(x − y)(x + y)