UNIDAD 2

Asentamientos Elásticos

Solución de problemas

Caso de aprendizaje 1

Una cimentación de 1m X 2m en planta soporta una carga neta por área unitaria qo = 150 KN/m2,

Para el suelo, Es =10 000 kN/m2 y µ=0.3. Suponiendo que la cimentación es flexible, estime el asentamiento elástico en el centro de la cimentación para las siguientes condiciones.

a) Df=0; H=. b) Df=0; H=5m

a).- Usando la ecuación: Se = BqoEs

(1−µs2)α y para el valor de α, el siguiente gráfico:

Se determina que α = 1.5; de manera que:

Se = 1(150 kN

m2)

10000 kN /m ²(1−0.32 )∗1.51

Se = 0.0206 m

Se = 2.06 cm

b).- Usando la ecuación: Se = BqoEs

(1−µs2 )α [ (1−µs2 )F ₁+ (1−µs2 )−2 µ s2 ) F ₂¿ y para los

valores de F ₁ y F ₂ se usan los siguientes gráficos:

Se tiene que F ₁ = 0.525 y F ₂ = 0.06, sustituyendo los valores, tenemos:

Se = 1(150 kN

m2)

10000 kN /m ²(1−0.32 )[ (1−0.32 )∗0.525+(1−0.32−2∗0.32 )∗0.06 ]

Se = 0.0071m

Se = 7.1 mm

Asentamientos Elásticos. Uso del factor de influencia

Caso de aprendizaje 2:

Schmertmann (1970) reporto un caso real de una cimentación rectangular (pila de un puente Belga) con L=23 m y B=2.6 m soportada por un depósito de suelo granular.

Para esta cimentación suponemos L/B≈10 para graficar el diagrama del factor de influencia de la deformación unitaria.

La figura 4.23 muestra los detalles de la cimentación junto con la variación aproximada de la resistencia de penetración de cono, qc, con la profundidad.Para esta cimentación, note que:

qadm = 178.54 kN/m2.

q=31.39 kN/m2.Estrato

z H q c E s Z I z Z 1ó2 I z (I z/ E s ) z

Es=3.5 q c

espesor del

Profundidad

al centro de

Línea de Influencia Caso

estrato cada estrato

AnalizadoL = 23.00 m

m M kN/m 2

.kN/m 2 . m B = 2.60 m De la Fig.

4.23m 3 / kN

1 1.00 1.00 2 450 8 575 0.50 0.2

0 0.258 3.0087E-05

2 1.60 2.60 3 430 12 005 1.80 0.5

B = 2.60

0.408 5.4377E-05

3 0.40 3.00 3 430 12 005 2.80 0.0

4B = 10.4

0.487 1.6227E-05

4 0.50 3.50 6 870 24 045 3.25 0.458 9.5238E-06

5 1.00 4.50 2 950 10 325 4.00 0.410 3.9709E-05

6 0.50 5.00 8 340 29 190 4.75 0.362 6.2008E-06

7 1.50 6.50 14 000

49 000 5.75 0.298 9.1224E-06

8 1.00 7.50 6 000 21 000 7.00 0.220 1.0476E-05

9 1.00 8.50 10 000

35 000 8.00 0.151 4.3143E-06

10 1.90 10.40 4 000 14 000 9.45 0.062 8.4143E-06

∆ z=1.8193

Periodo de análisis t = 5 años

2.6 x 23 m ( B x L )

qadm=178.54 kNm². q=31.39 kNm².

0.1

0.2

0.3 0.4 0.5 0.6 Iz

2B

4

2B

6

3B8

10 4B

12

14

4 000 8 000 12 000 16 000qc(kN/m²)

Figura 4.23 Variación de Iz y qc bajo la cimentación

Teniendo las fórmulas para obtener los valores de C₁ y C₂, que son:

C₁ = 1−0.5q

qadm−q

C = ₂ 1+0.21 logt años

0.1

Sustituyendo los valores en las ecuaciones, se tiene que:

C₁ = 1−0.531.39 kN /m ²

178.54 kN /m ²−31.39 kN /m ²

C = ₁ 0.8933C = ₂ 1+0.21 log

50.1

C = ₂ 1.3398

El asentamiento inmediato es entonces calculado como:

Se= C₁ C (₂ qadm−q¿∑0

z=2I

Es∆ z

Sustituyendo valores tenemos que:

Se= 0.8933 (1.3398 )[ 178.54 kN

m2−31.39 kN

m2 ]∗1.8193

Se= 0.03204m

Se= 32.04mm

Después de cinco años, el asentamiento real máximo observado en la cimentación fue de aproximadamente 39 mm

Asentamiento por consolidación.

Caso de aprendizaje 4

Una cimentación de 1x2 m en planta se muestra en la figura 4.25. Estime el asentamiento por consolidación de la cimentación.

Primero calcularemos la presión efectiva en el suelo con la siguiente fórmula:

P₀= γ m1h1+[ γ m2+γ w ]h2+[γ m3+γ w ]h3

Sustituyendo los valores, tenemos que:

P = ₀ 16.5kN/m (2.5m)+[17.5kN/m -9.81]*0.5m+[16kN/m -9.81]*1.25m² ² ²

P = ₀ 52.8325A continuación, calculamos la presión al centro del estrato con la siguiente formula:

∆ pprom=1

6(∆ pt+4 ∆ pm+∆ pb )

Presión/Punto Z(m) m1= L/B n1=Z/(B/2) Ic ∆P=q₀*Ic2 2 4 0.19 28.5

∆Pm 3.25 2 6.5 0.00835 12.525

∆Pb 4 2 9 0.0045 6.74

L= 2m, B=1m, q₀=150kN/m²Ic: tabla 4.3

Tabla 4.3 Variación de Ic con m1 y n1

m1

n1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100.20 0.994 0.997 0.997 0.997 0.997 0.997 0.997 0.997 0.997 0.997

0.40 0.960 0.976 0.977 0.977 0.977 0.977 0.977 0.977 0.977 0.977

0.60 0.892 0.932 0.936 0.936 0.937 0.937 0.937 0.937 0.937 0.937

0.80 0.800 0.870 0.878 0.880 0.881 0.881 0.881 0.881 0.881 0.881

1.00 0.701 0.800 0.814 0.817 0.818 0.818 0.818 0.818 0.818 0.818

1.20 0.606 0.727 0.748 0.753 0.754 0.755 0.755 0.755 0.755 0.755

1.40 0.522 0.658 0.685 0.692 0.694 0.695 0.695 0.695 0.695 0.696

1.60 0.499 0.593 0.627 0.636 0.639 0.640 0.641 0.641 0.641 0.642

1.80 0.388 0.534 0.573 0.548 0.590 0.591 0.592 0.592 0.592 0.593

2.00 0.336 0.481 0.525 0.540 0.545 0.547 0.548 0.549 0.549 0.549

3.00 0.179 0.293 0.348 0.373 0.348 0.389 0.392 0.393 0.394 0.395

4.00 0.108 0.190 0.241 0.269 0.285 0.293 0.298 0.301 0.302 0.303

5.00 0.072 0.131 0.174 0.202 0.219 0.229 0.236 0.240 0.242 0.244

6.00 0.051 0.095 0.130 0.155 0.172 0.184 0.192 0.197 0.200 0.202

7.00 0.038 0.072 1.000 0.122 0.139 0.150 0.158 0.164 0.168 0.171

8.00 0.029 0.056 0.079 0.098 0.113 0.125 0.133 0.139 0.144 0.147

9.00 0.023 0.045 0.064 0.081 0.094 0.105 0.113 0.119 0.124 0.128

10.00 0.019 0.037 0.053 0.067 0.079 0.089 0.097 0.103 0.108 0.112

Ahora, sustituimos los valores en la fórmula para calcular la presión al centro del estrato y tenemos que:

∆ pprom=1

6[28.5+4 (12.525 )+6.75]

∆ pprom=14.225 kN /m2

Ya obtenido el valor de la presión al centro del estrato, calculamos el asentamiento en el estrato de arcilla:

Sc = CcHc1+e₀

log (P0+∆ PpromedioP0 )

Sc= 0.32 (2.5 )

1+0.8log [ 52.8325+14.225

52.8325 ]Sc= 0.046m

Sc= 4.6cm

Se concluye que el asentamiento por consolidación calculado es de 4.6 cm

Caso de aprendizaje 6:

Calcule el asentamiento bajo el centro del área cargada de la figura que se indica abajo, 102 días después de colocada en dicha área, suponiendo que la carga se colocó instantáneamente y que la arena es incompresible. Considere la compensación provocada por la excavación para su desplante. Considere de acuerdo a las teorías aceptadas y a la exploración realizada que el estrato de arcilla es homogéneo.

20.00

10.00 w= 10Ton/m²

2.00

1.50 N.A.F.3.00 m = 1.9 T/m³:

3.00mv = 0.10 cm²/kg.

Z=4.50 m Cv = 2E-3 cm²/s

γ mArcilla = 1.4 T/m²

Solución: pueden tomarse dos caminos para la solución del problema: por distribución de presiones por Boussinesq; y por el método de Braja.

Datos:

Coeficiente de consolidación; Cv= 2E-3cm²/s.

Espesor del estrato compresible = 3.00m.

Coeficiente de variación volumétrica; mv= 0.10cm²/kg.

t = 102 días (8 812 800 s).

Profundidad de excavación; h = 2.0m.

γArena = 1.9 Ton/m².

Carga que transmite la losa; w= 10 Ton/m².

Profundidad de análisis = 4.50m

Presión ejercida por la cimentación. Distribución de presiones por Boussinesq:

x = 5m; y = 10m

m = x/z = 1.1; n = y/z = 2.22

W₀= 0.2090 (por el gráfico II-d JBRRMS1).

σz = 4* W₀*Wn

Wn= Carga neta del suelo

Wn= W losa – W excavación

W excavación = (1m) (2m) (1.9Ton/m²)

W excavación = 3.8 Ton/m²

Wn= 10 Ton/m² - 3.8 Ton/m²

Wn= 6.2 Ton/m².

σz = 4(0.2090)(6.2ton/m²)

σz = 5.18 Ton/m². (Incremento de presión ∆} rsub {p que provocará el asentamiento).

Suponiendo que el estrato de arcilla es homogéneo.

∆H= mv ∆p H

Se determina el incremento de presión que provoca el asentamiento:

∆ p = Pe+q0 (q0= σz)

Antes que eso, se determina la presión que ejerce el suelo de la siguiente manera:

P e3.50= γ m1 h1= 1.9 (3.5)= 6.65 Ton/m².

P e5= P e3.50+ (γ m2−γw ¿h2= 6.65 + (1.9 – 1)*1.5 = 8 Ton/m².

P e6.5= P e5+ (γ m3−γw ¿h3= 8 + (1.4 – 1)*1.5 = 8.6 Ton/m².

Sustituyendo en la fórmula para la presión del asentamiento, tenemos que:

∆ p= 8.6 Ton/m² + 5.18 Ton/m².

∆ p= 13.78 Ton/m².

∆ p= 1.378 kg/cm².

Teniendo todos los valores, se sustituye en la fórmula: ∆H= mv ∆p H y obtenemos:

∆H= 0.10cm²/kg (1.378 kg/cm²) 300cm

∆H= 41.34cm asentamiento total.

Evaluación del asentamiento para 102 días.

T=CV ( t

H 2 )T=0.002( 8812800

3002 )

T=0.19584

U %=50

De la tabla X relación teórica U% - T para T = 0.19584;

(Asentamiento parcial / Asentamiento total) * 100 = U%

St∆H

∗100=U %

St=mv∗∆P∗H (U %) /100

St=0.1cm

2(1.378kg

cm2 )∗300cm(50)

100

St=¿20.67 cm / 102 días

Caso de aprendizaje 7:

Tiempo después de terminada la construcción de un terraplén que produce una presión media de 4 Ton/m2 sobre el estrato de arcilla que se muestra en la figura III.b.4.1, se mide en el centro del estrato de arcilla una presión de en exceso de la hidrostática de 3 Ton/m2.

Si la relación entre U% - T está dada por T = [π/4] [(U%/100)²]

a) ¿Qué hundimiento ha sufrido el terraplén por consolidación de la arcilla? b) ¿Cuánto tiempo hace que se construyó el terraplén? c) ¿Cuál ha sido el incremento de resistencia de la arcilla debido al

incremento de los esfuerzos efectivos?

Solución. a)

Asentamiento a la fecha Suponiendo es estrato de arcilla homogéneo

∆H= mv ∆p H (∆ p= presión del terraplén)

∆H = 0.12cm²/kg (0.4kg/cm²) (500 cm)

∆H= 24 cm

Asentamiento a la fecha.Presión existente en el centro del estrato arcilloso 3 T/m2. Presión total por soportar 4 T/m2.

U %=100∆p−u

∆p

=(1−∆p

σq)100 (Relación ∆ p ,Pe con U%)

U %=(1−Pw

σ zA

)100

U %=(1−34 )=25 % U% = 25% (∆H parcial = U% (∆H total)

a).- U (∆H ¿=0.25 (24 )=6 cm Asentamiento a la fecha.

Solución b)Edad del terraplén.

Relación U% - T T=π4 (U %

100 ) ²

T=π4 ( 25 %

100 ) ²T=0.0491

Lo anterior se conforma con la tabla X-1 Relación teórica U% - T

Para U% =25%; T= 0.0491

Teniendo la fórmula T=C v ( t

H 2 ), despejamos t, y obtenemos: t=T ¿¿, sustituyendo tenemos:

t=0.0491(5002)

0.003

t=4091666.667 segundos(60)(60)(24)

t=47.36 días

c) Incremento de resistencia de la arcilla

S=c+σtg(∅ )

∆ s=c+∆ σ tg(∅ )

∆ p=¿ 4 Ton/m² (∆ p=σ zA)

U% = 25%

∅=¿30° σtg∅=4 tg30 ° (25 % )=0.5773Ton/m²

σtg∅=∆σ(Incremento de presión)

El incremento de la resistencia está dado por el segundo miembro de la ecuación

∆ s=c+∆ σ tg(∅ )

∆ s=∆ σ tg(∅ )

∆ s=0.5773 ( tg 30 ° )

∆ s=0.3333Ton /m ²