CARDINALIDAD DE CONJUNTOS

La cardinalidad de un conjunto es el número de elementos que contiene un conjunto.

Si un conjunto A tiene m elementos, donde m es cualquier número natural, decimos que el cardinal del conjunto A es m y se nota así:

n(A) = m.

Ejemplo 1: si A = {a, b, c} entonces n(A) = 3

Donde el conjunto A está integrado por 3 elementos por tanto su cardinalidad es 3.

Ejemplo 2: Si B = {x| x es primo y x < 20} entonces n(B) = 8

Donde el conjunto B está integrado por 8 elementos (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,19) por tanto su cardinalidad es 8.

PRODUCTO CARTESIANO.

El producto cartesiano es una operación entre don conjuntos A y B, de tal modo que se forma otro conjunto con todos los pares ordenados posibles, obteniendo así parejas (x,y) de modo que el primer elemento (x) pertenece al conjunto A y el segundo elemento (y) pertenece al conjunto B.

Se nota asi:

A x B = {(x,y)| x ∈ A ∧ y ∈ B}

Ejemplo 1: dados los conjuntos A = {1, 2, 3, 4} y B = {a, b}, su producto cartesiano es:

A × B = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b), (4, a), (4, b)}

Ejemplo 2: dados los conjuntos A = {1, 2, 3,} y B = {4, 5, 6}, su producto cartesiano es:

A × B = {(1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 4), (3, 5), (3, 6)}

Propiedades del producto cartesiano.

Las principales propiedades del producto cartesiano son las siguientes:

1. A ⊂ X ∧ B ⊂ Y A x B ⊂ X x Y2. A X B = 0 A = 0 ∨ B = 0

3. A ≠ B ∧ A x B ≠ 0 A x B ≠ B x A 4. A x (B+C) = (A x B) + (A x C).

RELACIONES

Una relación es un vínculo o una correspondencia. La correspondencia entre dos conjuntos es que a cada elemento del primer conjunto le corresponde al menos un elemento del segundo conjunto.

Parejas ordenadas

El orden de los elementos en un conjunto de dos elementos no interesa, por ejemplo: {3, 5} = {5, 3} Por otra parte, una pareja ordenada consiste en dos elementos, de los cuales uno designa el primer elemento, y el otro, el segundo. Tal pareja ordenada se escribe (a, b), en donde a es el primer elemento y b es el segundo. Dos parejas ordenadas (a, b) y (c, d) son iguales si y solamente si a = c y b = d.

Dados dos conjuntos A y B una relación definida de A en B es un conjunto de parejas ordenadas (par ordenado) que hacen verdadera una proposición; dicho de otro modo, una relación es cualquier subconjunto del producto cartesiano A x B

Ejemplo 1.

Si A = {2, 3}  y B = {1, 4, 5}, encontrar tres relaciones definidas de A en B.

Solución

El producto cartesiano de A x B está conformado por las siguientes parejas o pares ordenados:

                                        A x B = {(2, 1), (2, 4), (2, 5), (3, 1), (3, 4), (3, 5)}

Y cada uno de los siguientes conjuntos corresponde a relaciones definidas de A en B:

                                        R1 =  {(2, 1), (3, 1)}

                                        R2 =  {(2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5)}

                                        R3 =  {(2, 4), (3, 5)}

La relación R1 se puede definir como el conjunto de pares cuyo segundo elemento es 1, esto es, R1 =  {(x, y) / y = 1}.

La relación R2 está formada por los pares cuyo primer componente es menor que el segundo componente, R2 = {(x, y) / x < y}

Y la relación R3 está conformada por todos los pares que cumplen con que el segundo componente es dos unidades mayor que el primer componente, dicho de otro modo, R3 =  {(x,  y) / y = x + 2}

Así, se puede continuar enumerando relaciones definidas a partir de A x B. Como se puede ver, la regla que define la relación se puede escribir mediante ecuaciones o desigualdades que relacionan los valores de x e y. Estas reglas son un medio conveniente para ordenar en pares los elementos de los dos conjuntos.

Ejemplo 2.

Dados los conjuntos C = {1, –3} y D = {2, 3, 6}, encontrar todos los pares ordenados (x, y) que satisfagan la relación

                                     R =  {(x, y) / x + y = 3}

Solución

El producto cartesiano de C x D está formado por los siguientes pares ordenados

                                      C x D = {(1, 2), (1, 3), (1, 6),  (–3, 2), (–3, 3),  (–3, 6)}

Las parejas ordenadas que satisfacen que la suma de sus componentes sea igual a 3 son:

                                     R =  {(1, 2), (–3, 6)}

Toda relación queda definida si se conoce el conjunto de partida, el conjunto de llegada y la regla mediante la cual se asocian los elementos. En el ejemplo anterior, el conjunto de partida corresponde al conjunto C, el conjunto de llegada es el conjunto D y la expresión  x + y = 3  es la regla que asocia los elementos de los dos conjuntos.

Propiedades de las Relaciones

Propiedad Reflexiva

Diremos que R es reflexiva si  "aÎA,  a R a. 

Gráficamente podríamos representarla así:

 Si la relación  R  es reflexiva  entonces la diagonal pertenece  a  la relación.

Si la relación  R  es reflexiva  entonces todo elemento tiene una flecha que comienza y termina en sí mismo (un bucle).Propiedad SimétricaDiremos que R es simétrica si  " a, b ÎA:  a R b Þ b R a.

Gráficamente se representa así:

Si la relación  R  es simétrica   sobre  A   entonces   los pares relacionados se reflejan respecto a la diagonal principal.

Si la relación  R  es simétrica  entonces todo par de elementos que tiene una flecha la tiene en las dos direcciones.

Propiedad Antisimétrica

Diremos que R es antisimétrica si  " a, b ÎA:  [a R b Ù b R a] Þ a = b.

Gráficamente la podemos representar así:

Si la relación  R  es antisimétrica  pueden existir pares por encima o por debajo de la diagonal pero  ningún par tiene reflejo respecto a la diagonal  principal excepto la diagonal misma.

La relación  R  es antisimétrica si para cada par de elementos distintos relacionados la flecha está solo en un sentido.

Propiedad AsimétricaDiremos que R es asimétrica si  " a, b ÎA:  [a R b Ù b R a]

Gráficamente se representa así:

Propiedad TransitivaDiremos que R es transitiva si  " a, b, c ÎA:  [a R b Ù b R c] Þ a R c

Gráficamente la podemos representar así:

La relación R es transitiva  si cada vez que hay un camino entre tres elementos, también está la flecha que comienza en el principio del camino y  va al elemento que es final del camino.

Propiedad de EquivalenciaPara que esta propiedad se cumpla, R debe ser, Reflexiva, Simétrica y Transitiva.

FUNCIONES

En matemática, una función (f) es una relación entre un conjunto dado X (llamado dominio) y otro conjunto de elementos Y (llamado codominio) de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento f(x) del codominio (los que forman el recorrido, también llamado rango o ámbito).

De esto modo podemos deducir que todas las funciones son relaciones, pero no todas las relaciones son funciones.

También debemos agregar que toda ecuación es una Relación, pero no toda ecuación es una Función.

En lenguaje cotidiano o más simple, diremos que las funciones matemáticas equivalen al proceso lógico común que se expresa como “depende de”.

Las funciones matemáticas pueden referirse a situaciones cotidianas, tales como: el costo de una llamada telefónica que depende de su duración, o el costo de enviar una encomienda que depende de su peso.

A modo de ejemplo, ¿cuál sería la regla que relaciona los números de la derecha con los de la izquierda en la siguiente lista?:

                          1 -------->   1

                          2 -------->   4

                          3 -------->   9

                          4 --------> 16

Los números de la derecha son los cuadrados de los de la izquierda.

La regla es entonces "elevar al cuadrado":

                           1 -------->   1

                          2 -------->   4

                          3 -------->   9

                          4 --------> 16

                           x -------->   x2.

Para referirse a esta regla podemos usar un nombre, que por lo general es  la letra f (de función). Entonces, f es la regla "elevar al cuadrado el número".

Usualmente se emplean dos notaciones:

                                           x --------> x2      o     f(x) = x2 .

Así, f(3) significa aplicar la regla f a 3. Al hacerlo resulta 32 = 9.

Entonces f(3) = 9. De igual modo f(2) = 4,  f(4) = 16,   f(a) = a2, etc.

Dominio y Codominio

Ahora, si f : A → B es una función, A se llama el Dominio de f . y B se llama el Codominio de f .

BIBLIOGRAFIA

http://www.profesorenlinea.cl/matematica/Relaciones_y_funciones.html

http://mdiscret.blogspot.com/p/ejercicios.html

http://itchetumal.edu.mx/v2014/paginasvar/Maestros/mduran/Archivos/Unidad%204%20Relaciones.pdf

CARDINALIDAD DE CONJUNTOS, PRODUCTO CARTESIANO, RELACIONES Y FUNCIONES

MICHAEL ALEXANDER RODRIGUEZ URBINA

PROGRAMACIÓN DE COMPUTADORES

GRUPO 1

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA

BOGOTA D.C.

2015