Matematicas Resueltos(Soluciones) Integrales 2º Bachillerato Opción A
EJERCICIOS DE MATEMATICAS DERIVADAS E INTEGRALES
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7/30/2019 EJERCICIOS DE MATEMATICAS DERIVADAS E INTEGRALES
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UNIVERSIDAD CENTRAL DEL
ECUADORFACULTAD: CIENCIAS
ADMINISTRATIVAS
CARRERA: CONTABILIDAD Y
AUDITORIA
TRABAJO DE MATEMATICAS
SEGUNDO HEMISEMESTRE
ALUMNO: DAVID MULLO
PROFESOR: FRANCISCO
BAHAMONDE
AULA: CA2-5
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EJERCICIOS
1) Se dispone de 320 m de cerca para encerrar un campo rectangular Cmo debe encerrarse la cercapara que le rea encerrado sea la ms grande posible?
DATOS:
Cerca: 320m
Terreno: Rectangular
A= A`= 160-2b
A"= -2
A'= 0
160-2b=0
b= = 80b= 80m
si A"
-
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320=2a+2b
160= a+b
a=160-b
A=a.b
A= (160-b) b
A=f(b)
A=160b-b2
A=160-2b
A=-2
Si A -2 0 AMA=0
160-2b=0
b=160/2
b=80m
a=160-b
a=160-80
a=80m
GRFICO
A=-b2+160b
-
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RESPUESTA.- Para que le rea encerrado sea la ms grande posible se debe encerrarse la cerca cuando
a= 80m y b=80m
2) Un terreno rectangular se va a cercarse y dividirse en 3 partes iguales por 2 cercas paralelas a uno
de los lados. Se va a usare un total de 800 metros de cerca encuentre las dimensiones del terreno
para que su rea sea mxima.
DATOS
Total= 800m de cerca
REA= Mxima
GENERAR VARIABLES
Total= 2a+ab +2a
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A=Mxima
A=b*h
A=a.b
A=f(a,b)
OPERACIN
T= 2a+2b+2a
800=4a+2b
400=2a+b
a =00-
A=a.b
A=00- . b
A=-
A=200b-
A=200-b
A=-1
Como A -1 0 A MA=0
200-b=0
-b=-200
b=200m
a=
a=200
a=100m
a=100m
-
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b=200m
GRFICO
A= -
3) Una caja abierta se va a construir con un pedazo de cartn cuadrado a 42cm de lado, recortando
un pequeo cuadrado de cada esquina y luego doblando las aletas para formar los lados. Cules
son las dimensiones de la caja que debe tener el volumen mximo?
DATOS
-Cartn cuadrado 42cm
-Se recorta un pequeo cuadrado en cada esquina
-Dimensiones de la caja x
-Volumen mximo
GENERAR VARIABLES
V= rea*altura
V= (42-2x) (42-2x) x
V=f(x)
OPERACIN
-
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V= (42-2X) (42-2X) X
V= (422-84x-84x+4x2) x
V=(1764-168x+4x2) x
V= (1764x -168x2+4x3)
V=1764-336x+12x2
V=-336+24x
V=-336+24(7)
V=-168
Como V -168 0 V MV=012x2-336x+1764=0
X=
X=
X=
X=
X= 21
X=7
V= (42-2x) (42-2x) x
V= (42-2(7)) (42-2(7)) 7
V=28*28*7
V=5488 cm3
RESPUESTA.-Para tener el Volumen mximo, las Dimensiones de la caja son de 28 cm de cada lado.
4) Una imprenta recibe un pedido para hacer un cartel rectangular que contiene 60cm 2 de impresin
rodeada por mrgenes de 3 cm a cada lado y 4cm en la parte superior y en la parte inferior Culesson las dimensiones del pedazo de papel mas pequeo que puede usarse para hacer el cartel?
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DATOS
4cm
3cm
-Cartel rectangular contiene 60cm2 de impresin.
-Dimensiones del pedazo del papel ms pequeos que debe usarse para hacer el cartel?
GENERAR VARIABLES
A =base *altura
A= xy
A=(x-8) (y-6)
A=f(x)
OPERACIN
(x-8)(y-6)=60
Xy-6x-8y+48=60
y=2
A=xy
A=x2
A=
A=-
- --
A=- 2--0-
A=----2-
A=--
-
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A=12X-96
A=16(16.94)-96
A= 107.28
Como A 107.28 0 A mA=0
6x2-96x-96=0
X=
X=
X=
X=
X= 16.94 cm
X=-0.944 No es vlido
y=
y=
y=12.71cm
REA
A=12.71*16.94
A=215.31cm
2
A=8.94*6.71
A=59.99cm2
RESPUESTA.-Las dimensiones del pedazo de papel ms pequeo que puede usarse para hacer el cartel
son de x= 16.94 cm; y= 12.71 cm.
GRFICO
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A=
5) El propietario de Vivero Laurel quiere cercar un terreno de forma rectangular de 1200 pies
cuadrados de rea, para usarlo para diferentes tipos de arbusto. El terreno ser dividido en cuatro
lotes iguales, con tres s cercas paralelas a unos de los lados Cules es el nmero mnimo de pies
de cerca necesarios?
DATOS
Terreno rectangular 1200 pies cuadrados de rea 4 lotes iguales N mnimo de pies de cerca necesaria
b
a a
b
PLANTEAMIENTO:
A= b*h
A= a.b
a a a
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1200 = a.b
A = f (a, b)
TOTAL = 2 a +2 b +3 a
OPERACIN:Total = 2 a + 2 a +3 b
T = 5 a + 2b
T = 5 1200 + 2 bb
T = 6000 + 2 bb
T= 6000 + 2b2
b
= a
-
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a =
a =
a= 21.91 pies
Como T 12000 0 T RESPUESTA: La longitud mnima del cerramiento debe ser
a= 22 pies
b= 55 pies
GRFICO
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6) Se ha pedido a un carpintero construir una caja abierta con una base cuadrada. Los lados de la caja
cuestan $3.00 por pie cuadrado y la base costara a $4.00 por pie cuadrado. Cules son las
dimensiones de la caja de volumen mximo que puede construirse con $48.00?
DATOS
Lados de la caja costara $3.00 pie cuadrado
Base Costara $4.00 pie cuadrado
Volumen Mximo que se desea construir con $48.00
GENERAR VARIABLES
X= LADO DE LA BASE
Y=ALTURA DE LA BASE
V= REA*ALTURA
BASE=x.x=x2
V=x2.y
V=f(x,y)
OPERACIN
COSTO= COSTO BASE+ COSTO PAREDES
C=x2.4 + 4xy.3
C=4x2 + 12xy
C= f(x, y)
48= 4x2+12xy
y=
V=x2.y
V=x2
V=
-
-
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V=4x -
V=f(x)
V=4-x2
V=-2x
Como V -2 0 A MV=0
4 x2= 0
=
X= X= 2 piesy=
y=
2
y=2
2
y= 1.33 pies
C=48
48= 4x2+12xy
4x2+12xy 484(2)2+12(2)(1.33) 4847.98 48GRFICO
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7) El propietario de una licorera espera vender 800 botellas de un popular vino blanco. El costo de
pedido son de $10,00 por despacho y el costo de almacenamiento de una botellas durante todo el
ao es de 0.40 ctv. El vino se consume a una tasa uniforme durante todo el ao y cada despacho
llega apenas se ha terminado el anterior.Cuntas botellas debe pedir el propietario en cada despacho para bajar al mnimo sus costos?
Con que frecuencia debe pedirse el vino?
Cmo cambiaria las respuesta de los literales, si el costo de vino se aumenta a 0.95 ctv. por
botella?
DATOS
Venta =800btt
Costo Vino= 0.85 $/btt
Costo Pedido= 10/pedido
Costo Alm.= 0.40/ao
GENERAR VARIABLES
X= N DEBOTELLAS PARA EL PEDIDO
OPERACIN
COSTO= Costo Vino + Costo Pedido + Costo Almacenamiento
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C= 0.85x + 10 00
+ 0.40x
C= f(x)
C=1.25x +00
C= 1.25 + 00
2
C=
Como C 16000
0 C m
C= 0
1.25 + 002
= 000
2= 1.25
X2=
X=
X= 80
RESPUESTA= EL LOTE OPTIMO ES DE 80
GRFICO
C=1.25x +
GRFICO
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8) Una compaa de buses alquila sus unidades solamente a grupos de 40 o ms personas. Si un grupo
tiene exactamente 40 personas a cada uno se les cobra $60.00. Sin embargo en grupos ms grandes
la tarifa de todas se reduce a 0.50ctv por cada persona que pase de 40. Qu tamao de grupo
producir los mayores ingresos para la compaa de buses?
DATOS
-Grupo 40 personas
-Grupo 40 = $ 60c/u personas
-Grupo 40= descuento de 50 ctv. por personasGENERAR VARIZBLES
-X=N PERSONAS
-I=INGRESO
OPERACIN
I= (40+X) (60-0.50X)
I= 2400-20X+60X -0.50X2
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I= 0+40-X
I= 40-X
I= -1
Como I -1 0 T MI=0
40-X=0
X=40
Grupo= 40+x
G= 40+40
G=80
GRFICO
9) La utilidad marginal de cierta compaa es de 100-2x dlares por unidad cuando se producen por
unidades. Hallar el nivel de produccin que deber vender y obtener la utilidad mxima para la
compaa.
DATOS
-Utilidad Marginal= (100-2x) por unidad
-Se produce x unidades
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-Nivel de produccin k deber vender?
-Mxima Utilidad?
GENERAR VARIABLES
X=unidades
OPERACIN
I=pq
I= (100-2x) x
I=100x-2x2
I=100-4x
I=-4
Como I -4 0 I M100-4x=0
x= x= 25
I= (100-2x) x
I= (100-2(25) 25
I=1250
GRFICO
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10. Una librera puede obtener del editor de un libro, un libro a un costo de $ 3. Si la librera calcula que
puede vender 200 ejemplares a un precio de $ 15 y que podr vender 10 ejemplares ms por cada
reduccin de $ 0.50 en el precio. A que precio debe vender los libros la librera para llevar al mximo
su utilidad?
DATOS
Precio de compra: 3 Venta estimada: 200 lb - 15 X : N de libros adicionales10 ejemplares + por c/reduccin de $ 0.50
Precio libro: ? (mxima utilidad)
VENTA = N Libros * Precio
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11) El producto de 2 nmeros positivos es 128, el primero se suma al cuadrado del segundo.
a) Que tan pequea puede ser esta suma.b) Que tan grande puede ser esta suma.
DATOS
2 Nmeros
X: 1er nmero
Y: 2do nmero
S
(x,y)debe ser m
S, = 0
Como S > 0 2 nmeros buscados
S m
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12) Un alambre de 20 cm de largo se corta en 2 pedazos. Uno de los pedazos se dobla para formar uncrculo y el otro un cuadrado.
a) Cul es el rea Total que puede encerrarse de esta manera (suma de los 2 reas)b) El rea Total puede tener hasta un tamao de 82 cm2.
20-X 20-Y
20 cm
AT =? Ac = r2 A1= * = 2
AT =
r2 +
2
Longitud = long. crculo + long. cuadrado L = 2r +4 20=2 r +4
A = f(r)
13) La funcin en dlares del Costo Promedio de un fabricante esta dado por Encuentre el Costo Marginal cuando q =50.
CUADRADO CIRCULO
A A
-
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C = f(q)
14) Para una empresa la prouccin iaria el a est dada por . Encuentre la razn de cambio cuando t=10 das.
q= f(t)
()
15) Calcular la razn de cambio de cuando x =2
y = f(x)
f(x)=
ln f(x) = (-x)ln 10
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ln f(x) = ln (10-x) ln f(x) = (-x)ln 10 *f/(x) = ln 10 (-1) f
/
(x) =-f(x) * ln 10f/(x) = -10
-x ln 1016) Un estudiante ha hecho un contrato para producir 150 velas con la forma de la mascota de un
colegio. Planea comprar una cantidad de moldes de uso repetido para velas a un taller mecnico a $
3 c/u y luego contrata a un trabajador al que le paga a $ 1.50 la hora para que llene los moldes con
cera.
Se necesitan 3 horas para producir una sola vela con un molde.
a) Cuntos moldes debe comprar el estudiante para mantener sus costos en el menor nivel posible?b) Cunto dinero ganar el estudiante si se usa el nmero ptimo de moldes?DATOS
150 velas
1 moldes - $ 3
trabajador - $1.50 c/u
3 horas 1 vela
Costos =Costos Molde + Costo Mano de Obra C = f(X)
Respuesta.- Se debe fabricar 15 moldes para minimizar los costos.
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17) La funcin de demanda para una lnea de lap-tops de una compaa de electrnica es: donde: p es el precio ($ / unidad) cuando los consumidores demandan q unidades.Encuentre el nivel de produccin que maximizar el ingreso total del fabricante y determine este
ingreso.
INGRESO =N Unidades * Precio Unitario
I =p * q
I = = $ I/I I -12I I/ = 0
I = f(q)
2400-12q =0
2400 = 12q
200 = q
q = 200
300000 M
q I 240000
100 180000
150 300000
200 240000 180000
100 150 200
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18)
19)
20)
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UNIDAD VI
CALCULO INTEGRAL
Integracin Definicin Tcnicas de Integracin Mtodos de Integracin Sustitucin Integral Definida reas entre curvas Excedentes de concavidad y productos
INTEGRAL ES LA INVERSA DE LA DERIVADA
=
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ES UNA OPERACIN DIVERSA A LA DERIVACION
21)
22)
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23) ( )
-
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24)
( )
+c
25)
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26)
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27)
28)
29)
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30)
31)
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32)
33)
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+c34)
35)
36)
37)
-
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+6xdx
38) CONDICIN INICIAL
Encontrar Y
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38/50
39)Y = ; = 2; = -1ENCONTRAR Y
Y =
dx
Y = Y = Y = 6X + C2 =
C =2
Y = Y = - 6X + 2 ) dxY = dx Y =
Y = Y = -1 =
+ 2(1) + CC =
- 3 + 2C = -
- 3 + 2
C = -
-
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40) Y =
+1 ;
= 1 ;
= 2 ;
= 3
Y = +1) dxY = Y = + x + c1 = C = 1+0
C = 0
Y = Y = Y = Y = 2 = + cC = 1Y = Y = Y =
+
Y = 3 = C = 2
Y =
Y =
Y =
-
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41) El ingreso anual promedio que una persona con x aos de educacin puede esperar recibir al buscar
un empleo ordinario, estimado que la razn a la que el ingreso cambia con respecto a la educacin est
dada por:
X
Y = 28720 ; X = 9
ENCONTRAR Y.
Y= Y= 100
Y = 100 +C
Y = 100
Y = 40 (28700) = 40
C = 19000
42) Y = Y = Y = 2 Y= 2
Y =
Y = 40
-
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43) Un fabricante ha determinado que la funcin de costo marginal es
donde q = al nmero de unidades. Si el costo marginal es de $27.50 cuando q = 0 y los costos fijos son
de $5000 cual es el costo promedio que producen 100 unidades?
C = C = C = 0.003
+ q + cC = 0.001
C = -1597.30
CT = CP + CF
CT = 0.001 =
= 44) La funcin del costo marginal para el producto de un fabricante est dada por:
donde c es el costo total en dlares cuando se producen 100 unidades de costopromedio es de $50 por unidad. Determine el costo fijo del fabricante.
) dqC = 10 C = 10q -10 ln (q+10)+c
C = Cp. + Cf
= 50 ; q = 100
=
=
50 =
-
7/30/2019 EJERCICIOS DE MATEMATICAS DERIVADAS E INTEGRALES
42/50
500 =
500 =1000 470 + c1
C1 = 3000 -1000+470
C1= 4470
C = 10q -100 ln (q+10) + 4470
45) U= Y = Y = Y =
Y =
46) Se estima que dentro de x meses la poblacin de cierto pueblo cambiar a una razn de: 2 +
personas por mes. La poblacin actual es de 5000 personas. Cul ser la poblacin dentro de 9 meses?
DATOS:
X = MESES
RAZON = 2 + 6 POBLACION ACTIVA = 5000 P
= 2 + 6
Dp = (2 + 6 ) dx
-
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43/50
p = ( )p = p =
p = p =
p = p =p = 500x = 0
500 = C = 5000
P = Px = q = P = 5126 personas
47) Un fabricante ha encontrado que el costo marginal es $ por unidad. Cuando sehan producido q unidades el costo total de produccin de las 2 primeras unidades es $900.Cul es el
costo de produccin de las 5 primeras unidades?
DATOS:
COSTO MARGINAL: Q = unidades
Ct 2 primeras unidades es de $900
Ct 5 primeros meses: ?
-
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C = C = C = C = 900 = 900 = 8 120 +800+c
c= 212
INTEGRAL DEFINIDA
48) Encontrar y= [x-
+ 6x + c ]
y= [ (3) - + 6(3) + c] [ (-1) - + 6(-1) + c]y= 27 -
+ 18 + c + 1 + + 6 + cy= 52 4 = 48
49) Encontrar dxu= 1+ = du= 4x dx u
= x dx y = y = [
+ c ]10
y= [ 2(1+x)
-
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= 4 = 4
= 3
+
= (3) (2 + 2 - (3 + = 3 + - 3 - = 6 = 6
= =
= ,=
[ ]=
-
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46/50
= =
,
= ,
= * +
= 9 + 9 + 3 -
= 15-
= -
= 2 = 2
,= t - t,= (1) - (1)-((4)-(4))
=1-1-16+64=48
=
-
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47/50
=
=
= = =
55) La funcin de costo marginal de un fabricante es si c esta dado en$ determinar el costo de incrementar la produccin de 65 a 75 unidades
dc=c= c= 0,004
c= , , ,c=
c=
c=
c= Costo de incrementoRespuesta.- Si tengo 75 unidades incremento el costo de $346,33
56) El valor presente en $ de un flujo continuo de de ingreso de $2000 al ao durante 5 aos al 6%compuesto continuamente esta dado por la integral
-
7/30/2019 EJERCICIOS DE MATEMATICAS DERIVADAS E INTEGRALES
48/50
| [ ] 57) Encontrar el rea de la regin limitada por la curva
x Y
0 21 53 17-1 1
-2 2
-
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49/50
17
5
2
1
-2 -1 0 1 3
|
-
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50/50