Ejercicios Distribucion Normal Estandar (1)

1. Una población normal tiene una media de 80 una desviación estándar de

14.0

a) Calcule la probabilidad de un valor localizado entre 75.0 y 90.0

p (75 ≤ x ≤ 90)

z = 90 − 80

14 =

10

14 = 0.71 =

z = 75 − 80

14 =

−5

14 = −0.36 =

p (75 ≤ x ≤ 90) = 0.7611 – 0.3594 = 0.4017

b) Calcule la probabilidad de un valor de 75.0 ó menor.

p(x ≤ 75)

z = 75 − 80

14 =

−5

14 = −0.36 =

p(x ≤ 75) = 0.3594

c) Calcule la probabilidad de un valor localizado entre 55.0 y 70.0

p (55 ≤ x ≤ 70)

z = 70 − 80

14 =

−10

14 = −0.71 =

z = 55 − 80

14 =

−25

14 = −1.79 =

p (55 ≤ x ≤ 70) = 0.2389 – 0.0367= 0.2022

2. Los montos de dinero que se piden en las solicitudes de préstamos en Down

River Federal Savings tiene una distribución normal, una media de $70,000

y una desviación estándar de $20,000. Esta mañana se recibió una solicitud

de préstamo. ¿Cuál es la probabilidad de que:

EJERCICIOS DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD NORMAL ESTÁNDAR

µ = 80

σ = 14 z =

x − 𝜇

𝜎

Probabilidad acumulada.

0.7611

0.3594


0.3594


0.2389

0.0367

µ = $70,00 σ = $20,00

z = x − 𝜇

𝜎

75 80 90 μ

75 80 μ

55 70 80 μ

a) El monto solicitado sea de $80,000 o superior

p(x ≥ 80,000)

z = 80,000 – 70,000

20,000 =

10,000

20,000 = 0.50 =

p(x ≥ 80,000) = 1 – 0.6915= 0.3085

b) El monto solicitado oscile entre $65,000 y $80,000

p (65,000 ≤ x ≤ 80,000)

z = 80,000 – 70,000

20,000 =

10,000

20,000 = 0.50 =

z = 65,000 – 70,000

20,000 =

−5,000

20,000= −0.25 =

p (65,000 ≤ x ≤ 80,000) = 0.6915 – 0.4013 = 0.2902

c) El monto solicitado sea de $65,000 o superior.

p(x ≥ 65,000)

z = 65,000 – 70,000

20,000 =

−5,000

20,000 = −0.25 =

p(x ≥ 65,000) = 1 –0.4013 = 0.5987

3. Entre las ciudades de Estados Unidos con una población de más de

250,000 habitantes, la media del tiempo de viaje de ida al trabajo es de

24.3 minutos. El tiempo de viaje más largo pertenece a la ciudad de Nueva

York, donde el tiempo medio es de 38.3 minutos. Suponga que la

distribución de los tiempos de viaje en la ciudad de Nueva York tiene una

distribución de probabilidad normal y la desviación estándar es de 7.5

minutos.


0.6915


0.6915

0.4013


0.4013

µ = 38.3 min. σ = 7.5 min.

z = x − 𝜇

𝜎


70000 80000 μ

65000 70000 80000 μ

65000 70000 μ

a) ¿Qué porcentaje de viajes en la ciudad de Nueva York consumen

menos de 30 minutos?

p(x ≤ 30)

z = 30 – 38.3

7.5 =

− 8.3

7.5 = −1.11 =

p(x ≤ 30) = 0.1335 = 13.35%

b) ¿Qué porcentaje de viajes consumen entre 30 y 35 minutos?

p (30 ≤ x ≤ 35)

z = 35 – 38.3

7.5 =

−3.3

7.5 = −0.44 =

z = 30 – 38.3

7.5 =

− 8.3

7.5 = −1.11 =

p(30 ≤ x ≤ 35) = 0.3300 – 0.1335 = 0.1965 = 19.65%

c) ¿Qué porcentaje de viajes consumen entre 30 y 40 minutos?

p (30 ≤ x ≤ 40)

z = 40 – 38.3

7.5 =

1.7

7.5 = 0.23 =

z = 30 – 38.3

7.5 =

−8.3

7.5 = −1.11 =

p (30 ≤ x ≤ 40) = 0.5910 – 0.1335 = 0.4575 = 45.75%

4. Una distribución normal tiene una media de 80 y una desviación estándar

de 14. Determine el valor por encima del cual se presentará 80% de las

observaciones.


0.1335


0.3300

0.1335


0.5910

0.1335

µ = 80 σ = 14


80% = .8000

z = x − 𝜇

𝜎



30 38.3 μ

30 35 38.3 μ

30 38.3 μ

En este ejemplo ya no se tiene que calcular la probabilidad (área) entre valores

dados de x, sino que se tiene que calcular el o los valores de x a partir de

porcentajes ó probabilidades que representan el valor de z.

Y para encontrar el valor de x, tenemos que sustituir el valor de z en la formula y

después despejar x.

Al conocerse el porcentaje del cual queremos obtener un valor x, en este caso 80%,

se debe tomar en cuenta que este 80% también

representa una probabilidad de .8000, esta

probabilidad se la vamos a restar a 1 porque lo

que queremos saber es a partir de qué valor de x

empieza ese 80% de observaciones, es decir por

encima de ese valor.

Entonces tenemos que: 1 – 0.8000 = 0.2000.

Este resultado que también es una probabilidad

la tenemos que localizar en una tabla de

probabilidades acumuladas de la distribución

normal estándar, y así encontraremos el valor z

que le corresponde, al ubicar este valor lo

podemos sustituir en la formula y encontrar x.

a) Buscar en la tabla de probabilidades de la

distribución normal estándar, el valor de z que tenga la probabilidad .2000 o la

probabilidad que más se le acerque a esta.

b) El valor de z que corresponde a esta probabilidad es -0.84.

c) Ahora ya se puede sustituir z en la

formula y encontrar el valor de x.

-0.84 = x − 80

14

-0.84 × 14 = x – 80

-11.76 = x – 80

-11.76 + 80 = x

z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06

… … … … … … … … … … … … … … … …

− 0.9 0.1841 0.1814 0.1788 0.1762 0.1736 0.1711 0.1685 − 0.8 0.2119 0.2090 0.2061 0.2033 0.2005 0.1977 0.1949 − 0.7 0.2420 0.2389 0.2358 0.2327 0.2296 0.2266 0.2236 − 0.6 0.2743 0.2709 0.2676 0.2643 0.2611 0.2578 0.2546 − 0.5 0.3085 0.3050 0.3015 0.2981 0.2946 0.2912 0.2877

… … … … … … … …

80% ó 0.8000

20% ó 0.2000

X

X

z = x − 𝜇

𝜎

x = 68.24

5. Las ventas mensuales de silenciadores en el área de Richmond, Virginia,

tiene una distribución normal, con una media de $1,200 y una desviación

estándar de $225. Al fabricante le gustaría establecer niveles de

inventario de manera que solo haya 5% de probabilidad de que se agoten

las existencias. ¿Dónde se

deben establecer los niveles

de inventario?

1 - 0.0500 = 0.9500 Valor z = 1.65

1.65 = x – 1,200

225

1.65 × 225 = x − 1,200

371.25 = x − 1,200

x = 1,200 + 371.25

x = 1,571.25

6. En 2004 y 2005, el costo medio anual para asistir a una universidad

privada en Estados Unidos era de $20,082. Suponga que la distribución de

los costos anuales se rigen

por una distribución de

probabilidad

normal y que la

desviación estándar es de

$4,500. El 95% de los

estudiantes de

universidades privadas paga menos de ¿Qué cantidad?

X = 68.24


µ = 1,200 σ = 225


5% = .0500

z = x − 𝜇

𝜎

z = x − 𝜇

𝜎

5% ó 0.0500

µ = 20,082 σ = 4,500

Probabilidad Valor acumulada. de z

95% = .9500 = 1.64

z = x − 𝜇

𝜎

X = 1,571.25

1.64 = x – 20,082

4,500

1.64 × 4,500 = x − 20,082

7,380 = x − 20,082

x = 20,082 + 7,380

x = 27,462.

7. El fabricante de una impresora láser informa que la cantidad media de

páginas que imprime un

cartucho antes de

reemplazarlo

es de 12,200. La

distribución de

páginas impresas por

cartucho se aproxima a la

distribución de probabilidad normal y la

desviación estándar es de 820 páginas.

El fabricante desea proporcionar

lineamientos a los posibles clientes

sobre el tiempo que deben esperar que

les dure un cartucho. ¿Cuántas páginas

debe indicar el fabricante por cartucho

si desea obtener 99% de certeza en todo momento?

1 -0.99 = 0.01

Valor z = - 2.33

- 2.33 = x – 12,200

820

−2.33 × 820 = x − 12,200

− 1,910.6 = x − 12,200

z = x − 𝜇

𝜎

X = 27,46275

95% ó 0.9500


z = x − 𝜇

𝜎

99% ó 0.9900

µ = 12,200 σ = 820


99% = .9900

z = x − 𝜇

𝜎

x = 12,200 − 1,910.6

x = 10,289.4

Lind, D. A., W. G. Marchal, y S. A. Wathen. (2008). Estadística aplicada a los

negocios y a la economía. (13a Ed). México: McGraw-Hill. 239 - 242.

BIBLIOGRAFÍA

X = 14,110.6

Ejercicios Distribucion Normal Estandar (1)

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