DISTRIBUCION NORMAL

La distribución normal fue descubierta en el siglo XVIII cuando astrónomos y científicos observaron con cierto asombro el comportamiento de la cantidad de error cometido en las mediciones repetitivas que hacían para calcular la distancia a la luna, la masa de los cuerpos, etc. Notaron que la variable definida como “El error cometido en cada medición” se comportaba de manera “normal” en las diferentes formas de medir que realizaban. Por ello se le llamo originalmente la “distribución normal de los errores”. Posteriormente, y gracias al aporte directo de De Moivre, Laplace y Gauss, la distribución fue ampliamente estudiada desde el terreno matemático como una variable continua.

•La distribución continua más importante es la distribución normal. Esta distribución cuya curva tiene forma de campana, mide en forma muy aproximada muchos fenómenos que ocurren en la naturaleza, la industria y la investigación.

-En una fábrica, las mediciones sobre las partes manufactureras se explican bastante acertadamente con la distribución normal.

• La curva de la distribución es asintótica.

• El área bajo la curva es igual a uno.

• Es simétrica con respecto a la media aritmética (µ).

• Queda perfectamente determinada si se conoce µ y σ.

Función

• La función densidad de la distribución normal es:

f ( x ,µ ,σ )= 1√2πσ

e12¿ ¿ Para -∞ < x < ∞

• La probabilidad de que x tome valores en el intervalo entre a y b, es:

P (a≤x ≤b )=∫a

b1

√2πσe12

¿¿

• La curva normal queda perfectamente determinada si se conocen µ y σ.

-Para cada par de valores µ y σ existe una curva normal diferente.

- Existe una cantidad infinita de curvas normales.

• Para resolver este problema se emplea una curva normal que tiene µ=0 y σ=1, llamada distribución normal estándar.

-La variable aleatoria de la distribución normal estándar se denota por z.

•La variable aleatoria de la distribución normal estándar es:

z= x−µσ

X= valor de la variable aleatoria que nos preocupa

µ= media de la distribución de la variable aleatoria

σ= desviación estándar de la distribución

z= numero de desviaciones estándar que hay desde x a la media de la distribución

- Los valores de la distribución normal estándar se obtiene de una tabla, la cual da el valor de probabilidad de cada valor de z.

- La formula anterior se emplea para convertir de la variable x a z y viceversa, según se requiera.

• Da valor del área bajo la curva para valores de z positivos.

Ejemplo

¿Cuál es la probabilidad de que un candidato elegido al azar se tome entre 500 y 650 horas para completar el programa de entretenimiento?

La probabilidad que responderá a esta pregunta está representada por el área con pantalla gris entre la media (500 horas) y el valor de x, en el cual estamos interesados (650 horas). Utilizando la ecuación, obtenemos un valor para z de:

z= x−µσ

z=650−500100

z=150100

z=1.5desviación estándar

Si buscamos z=1.5 en la tabla x del apéndice, encontraremos una probabilidad de 0.4332. En consecuencia, la probabilidad de que un candidato escogido al azar requiera 500 y 650 horas para terminar el programa de entretenimiento es ligeramente mayor a 0.4