FUNDACIÓN UNIVERSITARIA KONRAD LORENZFACULTAD DE MATEMÁTICAS E INGENIERÍASPROGRAMA DE INGENIERÍA DE SISTEMASMÉTODOS NUMÉRICOSEJERCICIOS ECUACIONES DIFERENCIALES RESUELTOS CON EXCEL ESTE ES UN ANEXO DEL DOCUMENTO

Por: Pervys Rengifo Rengifo

h 0.1

n xn yn f(xn,yn)0 0 0.5 0.25

0.1 0.1 0.525 0.1806250.2 0.2 0.5430625 0.117691880.3 0.3 0.55483169 0.064939190.4 0.4 0.56132561 0.026025950.5 0.5 0.5639282 0.004086820.6 0.6 0.56433688 0.001271860.7 0.7 0.56446407 0.018369990.8 0.8 0.56630107 0.054615190.9 0.9 0.57176259 0.10773981 1 0.58253657 0.17427572

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.50.46

0.48

0.5

0.52

0.54

0.56

0.58

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.50.46

0.48

0.5

0.52

0.54

0.56

0.58

h 0.05

n xn yn f(xn,yn)0 1 1 0

0.1 1.05 1 0.097619050.2 1.1 1.00488095 0.197236160.3 1.15 1.01474276 0.301773290.4 1.2 1.02983143 0.414470460.5 1.25 1.05055495 0.539138170.6 1.3 1.07751186 0.680486070.7 1.35 1.11153616 0.844581940.8 1.4 1.15376526 1.039525930.9 1.45 1.20574155 1.276482511 1.5 1.26956568 1.5713184

1 1.05 1.1 1.15 1.2 1.25 1.3 1.35 1.4 1.45 1.5

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

y '= x⋅y2−yx

h 0.25

n xn yn f(xn,yn)0 1 1 -1

0.1 1.25 0.75 -1.750.2 1.5 0.3125 -2.68750.3 1.75 -0.359375 -3.1406250.4 2 -1.14453125 -2.855468750.5 2.25 -1.85839844 -2.641601560.6 2.5 -2.51879883 -2.481201170.7 2.75 -3.13909912 -2.360900880.8 3 -3.72932434 -2.270675660.9 3.25 -4.29699326 -2.203006741 3.5 -4.84774494 -2.15225506

1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

y '=|y|−2 x

, y(1.0)=1.0

utilizando h=0.25

1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

y '=|y|−2 x

h 0.1

n xn yn f(xn, yn) xn+1 yn+1 f(xn+1,yn+1)0 1 5.0000 -12.0000 1.1000 3.8000 -8.20001 1.1 3.9900 -8.7700 1.2000 3.1130 -5.93902 1.2 3.2546 -6.3637 1.3000 2.6182 -4.25463 1.3 2.7236 -4.5709 1.4000 2.2665 -2.99964 1.4 2.3451 -3.2353 1.5000 2.0216 -2.06475 1.5 2.0801 -2.2403 1.6000 1.8561 -1.36826 1.6 1.8997 -1.4990 1.7000 1.7498 -0.84937 1.7 1.7823 -0.9468 1.8000 1.6876 -0.46288 1.8 1.7118 -0.5354 1.9000 1.6582 -0.17479 1.9 1.6763 -0.2288 2.0000 1.6534 0.0398

10 2 1.6668 -0.0005 2.1000 1.6668 0.1997

1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 20.0000

1.0000

2.0000

3.0000

4.0000

5.0000

6.0000

Aproximación de la solución de la ecuación diferencial y'=2x-3y+1, y(1.0)=5.0, en el intervalo[1.0,2.0], mediante el método de Euler

Modificado, con h=0.1

X

Apr

oxim

ació

n

f(xn+1,yn+1)

1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 20.0000

1.0000

2.0000

3.0000

4.0000

5.0000

6.0000

Aproximación de la solución de la ecuación diferencial y'=2x-3y+1, y(1.0)=5.0, en el intervalo[1.0,2.0], mediante el método de Euler

Modificado, con h=0.1

X

Apr

oxim

ació

n

h 0.1

n xn yn f(xn, yn) xn+1 yn+1 f(xn+1,yn+1)0 0 2.0000 2.0000 0.1000 2.2000 2.29981 0.1 2.2150 2.3148 0.2000 2.4465 2.64512 0.2 2.4630 2.6617 0.3000 2.7292 3.02473 0.3 2.7473 3.0428 0.4000 3.0516 3.44104 0.4 3.0715 3.4609 0.5000 3.4176 3.89705 0.5 3.4394 3.9188 0.6000 3.8313 4.39596 0.6 3.8551 4.4198 0.7000 4.2971 4.94137 0.7 4.3232 4.9674 0.8000 4.8199 5.53738 0.8 4.8484 5.5658 0.9000 5.4050 6.18839 0.9 5.4361 6.2195 1.0000 6.0581 6.8995

10 1 6.0921 6.9335 1.1000 6.7854 7.6766

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0.0

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

6.0

7.0

Aproximación de la solución de la ecuación diferencial y'=sen(x)+y, y(0)=2.0, mediante el método de Euler Modi-

ficado, con h=0.1

X

Ap

rox

ima

ció

n

f(xn+1,yn+1)

h 0.1

n xn yn f(xn, yn)0 1 5.0000 5.00001 1.1 5.5000 5.60002 1.2 6.0600 6.26003 1.3 6.6860 6.98604 1.4 7.3846 7.78465 1.5 8.1631 8.66316 1.6 9.0294 9.62947 1.7 9.9923 10.69238 1.8 11.0615 11.86159 1.9 12.2477 13.1477

10 2 13.5625 14.5625

18.8 39.2367.5

0.4426.10388114

3.1897575

1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0

0.0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

12.0

14.0

Aproximación de la solución de la ecuación diferencial y'=(x+y-1), y(1.0)=5.0, en el intervalo [1.0,2.0], mediante el método de Euler con

h=0.1

18.054450718.8113592

353.8218.81010375.110732545.11073254

1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0

0.0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

12.0

14.0

Aproximación de la solución de la ecuación diferencial y'=(x+y-1), y(1.0)=5.0, en el intervalo [1.0,2.0], mediante el método de Euler con

h=0.1

h 0.1

n xn yn f(xn, yn) xn+1 yn+1 f(xn+1,yn+1)0 1 5.0000 5.0000 1.1000 5.5000 5.60001 1.1 5.5300 5.6300 1.2000 6.0930 6.29302 1.2 6.1262 6.3262 1.3000 6.7588 7.05883 1.3 6.7954 7.0954 1.4000 7.5049 7.90494 1.4 7.5454 7.9454 1.5000 8.3400 8.84005 1.5 8.3847 8.8847 1.6000 9.2731 9.87316 1.6 9.3226 9.9226 1.7000 10.3148 11.01487 1.7 10.3694 11.0694 1.8000 11.4764 12.27648 1.8 11.5367 12.3367 1.9000 12.7704 13.67049 1.9 12.8371 13.7371 2.0000 14.2108 15.2108

10 2 14.2845 15.2845 2.1000 15.8129 16.9129

1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 20.0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

12.0

14.0

Aproximación de la solución de la ecuación diferencial y'=(x+y-1), en el intervalo [1,2], utilizando el método de Euler Modificado, con h=0.1

x

Ap

roxi

ma

ció

n

f(xn+1,yn+1)

h 0.1

n xn yn0.0000 1.0000 5.00001.0000 1.1000 5.53002.0000 1.2000 6.12623.0000 1.3000 6.79544.0000 1.4000 7.54545.0000 1.5000 8.38476.0000 1.6000 9.32267.0000 1.7000 10.36948.0000 1.8000 11.53679.0000 1.9000 12.8371

10.0000 2.0000 14.28451.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0

0.0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

12.0

14.0

Aproximación de la solución de la ecuación diferencial y'=(x+y-1), y(1.0)=5.0, mediante el método de Taylor de tres términos con h=0.1

xnyn

1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0

0.0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

12.0

14.0

Aproximación de la solución de la ecuación diferencial y'=(x+y-1), y(1.0)=5.0, mediante el método de Taylor de tres términos con h=0.1

xn

yn

x y1 5

1.1 5.5310255081.2 6.1284165491.3 6.7991528451.4 7.5509481861.5 8.3923276241.6 9.3327128021.7 10.382516241.8 11.553245571.9 12.85761867

2 14.30969097

1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2

0

2

4

6

8

10

12

14

Solución exacta de la ecuación diferencial y'=(x+y-1), y(1.0)=5.0, en el intervalo{1.0,2.0]

x

y

1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2

0

2

4

6

8

10

12

14

Solución exacta de la ecuación diferencial y'=(x+y-1), y(1.0)=5.0, en el intervalo{1.0,2.0]

x

y

n Euler Euler Mod Taylor 3 term. Sol. Exacta0 1 5.0000 5.0000 5.0000 5.00001 1.1 5.5000 5.5300 5.5300 5.53102 1.2 6.0600 6.1262 6.1262 6.12843 1.3 6.6860 6.7954 6.7954 6.79924 1.4 7.3846 7.5454 7.5454 7.55095 1.5 8.1631 8.3847 8.3847 8.39236 1.6 9.0294 9.3226 9.3226 9.33277 1.7 9.9923 10.3694 10.3694 10.38258 1.8 11.0615 11.5367 11.5367 11.55329 1.9 12.2477 12.8371 12.8371 12.8576

10 2 13.5625 14.2845 14.2845 14.3097SUMATORIA DE LOS ERRORES ELEVADOS AL CUADRADO

xn

1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 20.0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

12.0

14.0

16.0

GRAFICO COMPARATIVO ENTRE LOS DIFERENTES MÉTODOS PARA RESOLVER LA ECUACIÓN DIFERENCIAL y'=(x+y-1), y(1.0)=5.0

Euler

Euler Mod

Taylor 3 term.

Sol. Exacta

x

y

0.0000 0.0000 0.00000.0010 0.0000 0.00000.0047 0.0000 0.00000.0128 0.0000 0.00000.0277 0.0000 0.00000.0526 0.0001 0.00010.0920 0.0001 0.00010.1523 0.0002 0.00020.2418 0.0003 0.00030.3720 0.0004 0.00040.5584 0.0006 0.00061.5151 0.0017 0.0017

Error Euler2 Error E. Mod2 Error Taylor2

1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 20.0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

12.0

14.0

16.0

GRAFICO COMPARATIVO ENTRE LOS DIFERENTES MÉTODOS PARA RESOLVER LA ECUACIÓN DIFERENCIAL y'=(x+y-1), y(1.0)=5.0

Euler

Euler Mod

Taylor 3 term.

Sol. Exacta

x

y

h 0.1

n xn yn k1n k2n k3n k4n0 0 1 8.5 7.52975 7.52975 6.6181 0.1 1.75395 6.618 5.76325 5.76325 4.9642 0.2 2.3312 4.964 4.21875 4.21875 3.5263 0.3 2.75395 3.526 2.88425 2.88425 2.2924 0.4 3.0432 2.292 1.74775 1.74775 1.255 0.5 3.21875 1.25 0.79725 0.79725 0.3886 0.6 3.2992 0.388 0.02075 0.02075 -0.3067 0.7 3.30195 -0.306 -0.59375 -0.59375 -0.8448 0.8 3.2432 -0.844 -1.05825 -1.05825 -1.2389 0.9 3.13795 -1.238 -1.38475 -1.38475 -1.5

10 1 3 -1.5 -1.58525 -1.58525 -1.642

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

Aproximación de la solución de la ecuación diferencial: y'=-2x3+12x2-20x+8.5, y(0)=1.0, utilizando el método de Runge Kutta

de cuarto orden con h=0.1, en el intervalo [0.0,1.0]

x

y

solución exacta1

1.753952.3312

2.753953.0432

3.218753.2992

3.301953.2432

3.137953

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

Aproximación de la solución de la ecuación diferencial: y'=-2x3+12x2-20x+8.5, y(0)=1.0, utilizando el método de Runge Kutta

de cuarto orden con h=0.1, en el intervalo [0.0,1.0]

x

y

h 0.1

n xn yn k1n k2n k3n k4n0 0 2 3 3.088243097 3.08603702 3.178846421 0.1 2.30879011 3.17875322 3.276123521 3.27368926 3.375963972 0.2 2.63636249 3.37586224 3.483033232 3.48035396 3.592797663 0.3 2.98461973 3.59268674 3.710392217 3.70744958 3.830828714 0.4 3.35560638 3.83070787 3.959746772 3.9565208 4.091669565 0.5 3.75152159 4.091538 4.23277963 4.22924859 4.377074396 0.6 4.17473274 4.37693124 4.53132095 4.52746121 4.688950577 0.7 4.62779017 4.68879492 4.857360243 4.85314611 5.029371138 0.8 5.11344315 5.02920194 5.213059305 5.20846287 5.400588129 0.9 5.63465706 5.40040431 5.600766246 5.5957572 5.80504733

10 1 6.19463203 5.8048477 6.023030699 6.01757612 6.245404

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

1

2

3

4

5

6

7

Gráfica de la aproximación de la ecuación diferencial: y'=4e0.8x-0.5y, y(0.0)=2.0, en el intervalo [0.0,1.0], mediante e método de Runge Kutta

de cuarto orden, con h=0.1

x

y

solución exacta2

2.308790058772.636362383632.984619564843.355606156183.751521303284.174732384474.627789750445.113442655985.634656484856.19463137721

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

1

2

3

4

5

6

7

Gráfica de la aproximación de la ecuación diferencial: y'=4e0.8x-0.5y, y(0.0)=2.0, en el intervalo [0.0,1.0], mediante e método de Runge Kutta

de cuarto orden, con h=0.1

x

y