Ejercicios IO
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PERFECTO HERNNDEZ HERNNDEZ
MARTIN CARDENAS NUEZ.
CESAREO HERNNDEZ REYES
GRIZELDA MATEO MAXIMINO
ELIZABETH HERNNDEZ HERNNDEZ
INSTITUTO TECNOLOGICO
SUPERIOR DE
TAMAZUNCHALE
INGENIERIA EN SISTEMAS
COMPUTACIONALES
INVESTIGACIN DE
OPERACIONES
ING.EDUARDO FRANCO AUSTRIA
INTEGRANTES:
PERFECTO HERNNDEZ HERNNDEZ
CESAREO EHRNNDEZ REYES
MARTIN CRDENAS NUEZ
ELIZABETH HERNANDEZ HERNANDEZ
GRIZELDA MATEO MAXIMINO
TERCER SEMESTRE M1 FECHA DE ENTREGA: 11/09/2014
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Contenido 1.- Mtodo Grafico ............................................................................................................................. 3
SITUACIN 1 (Inzunza, Lpez, de la Vega & Inzunza, 2012) ........................................................... 3
Situacin 4 (Gonzlez, 2003) ........................................................................................................... 7
SITUACIN 7 (Taha, 2012) .......................................................................................................... 11
SITUACIN 10 ............................................................................................................................ 14
2.- METODO SIMPLEX................................................................................................................... 17
SITUACIN 4 (Taha, 2012) .......................................................................................................... 17
SITUACIN 5 (Taha, 2012) .......................................................................................................... 20
SITUACIN 6 (Chapra & Canale, 2011) ........................................................................................ 21
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1.- Mtodo Grafico Instrucciones: Resuelva los siguientes problemas segn se solicita.
SITUACIN 1 (Inzunza, Lpez, de la Vega & Inzunza, 2012)
Wilson es una empresa fabricante de equipo deportivo y entre sus productos tiene dos guantes de
bisbol: para jugador de cuadro y para receptor. El proceso consiste de tres operaciones bsicas:
corte y costura, detallado y empaque. Se dispone de 850, 325 y 150 horas, respectivamente.
Ambos productos pasan por todo el proceso. Los requerimientos y la ganancia esperada por
producto se muestran a continuacin:
Modelo
Tiempo de produccin
Ganancia Corte y
costura
Detallado Empaque
Jugador de cuadro 1.2 0.6 0.15 15
Receptor 1.45 0.4 0.25 18
La empresa desea maximizar la utilidad total.
a) Identifique las variables
1= .
2= .
b) Plantee la funcin objetivo
= 151 + 182
c) Plantee las restricciones
Sujeto a:
1.21 + 1.452 850
0.61 + 0.42 325
0.151 + 0.252 150
1 + 2 0
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d) Aplique el mtodo grfico
= 151 + 182
1.21 + 1.452 850 1.21 + 1.452 = 850
0.61 + 0.42 326 0.61 + 0.42 = 325
0.151 + 0.252 150 0.151 + 0.252 = 150
1. 1.21 + 1.452 = 850 Si 1 = 0, 2 = Sustituir 1 = 0 en 1 1.2(0) + 1.452 = 850
2 =850
1.45= 586.20
Par ordenado (0,586.20)
Si 2 = 0, 1 = Sustituir 2 = 0 en 1 1.21 + 1.45(0) = 850
1 =850
1.2= 708.33
Par ordenado (708.33,0)
2. 0.61 + 0.92 = 325 Si 1 = 0, 2 = Sustituir 1 = 0 en 2 0.6(0) + 0.92 = 325
2 =325
0.4= 812.5
Par ordenado (0,812.5)
Si 2 = 0, 1 = Sustituir 2 = 0 en 2 0.61 + 0.9(0) = 325
1 =325
0.6= 541.66
Par ordenado (541.66,0)
3. 0.151 + 0.252 = 150 Si 1 = 0, 2 = Sustituir 1 = 0 en 3 0.15(0) + 0.252 = 150
2 =150
0.25= 600
Par ordenado (0,600)
Si 2 = 0, 1 = Sustituir 2 = 0 en 3 0.151 + 0.25(0) = 150
1 =150
0.15= 1000
Par ordenado (1000,0)
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Grafica 1:
Evaluar vrtice:
1 = 0, 2 = 586.20
Sustituir 1 y 2 en la F.O
Max = 15(0) + 18(586.20) = 10551.6
a) (1.21 + 1.452 = 850)0.6 (0.61 + 0.42 = 325) 1.2
0.721 + 0.872 = 510
0.721 0.482 = 390
. 392 = 120
2 =120. 39 = 307.69
b) Sustituir 2 = 307.69 en 2 0.61 + 0.4(307.69) = 325 0.61 + 123.076 = 325 0.61 = 325 123.076
1 =201.924
. 6
1 = 336.54
Sustituir 1 y 2 en la F.O Max z = 15(336.54)+18(307.69)=5048.1+5538.42=10586.52
c) 1 = 541.66, 2 = 0
Sustituir 1 y 2 en la F.O
Max z = 15(541.66)+18(0)=8124.9
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Resumen
a) 1 = 0 2 = 586.20
Max = 10551.6
b) 1 = 336.54 2 = 307.69
Max = 10585.52
c) 1 = 541.66 2 = 0
Max = 8124.9
Nota: los guantes no se pueden producir en fraccin.
Evaluar nuevos puntos
a) 1 = 0, 2 =500 Sustituir 1 y 2 en la F.O Max z = 15(0)+18(500)=9,000
b) 1 = 100, 2 =400 Sustituir 1 y 2 en la F.O Max z = 15(100)+18(400)=8,700
c) 1 = 200, 2 =400 Sustituir 1 y 2 en la F.O Max z = 15(200)+18(400)=10200
d) 1 = 300, 2 =300 Sustituir 1 y 2 en la F.O Max z = 15(300)+18(300)=9,900
e) 1 = 400, 2 =200 Sustituir 1 y 2 en la F.O Max z = 15(400)+18(200)=9600
f) 1 = 400, 2 =100 Sustituir 1 y 2 en la F.O Max z = 15(400)+18(100)=7800
g) 1 = 500, 2 =0 Sustituir 1 y 2 en la F.O Max z = 15(500)+18(0)=7500
Resumen:
a) 1 = 0, 2 = 500, Max = 9,000 b) 1 = 100, 2 = 400, Max = 8,700 c) = , = , = , d) 1 = 300, 2 = 300, Max = 9900 e) 1 = 400, 2 = 200, Max = 9600 f) 1 = 400, 2 = 100, Max = 7800 g) 1 = 5000, 2 = 0, Max = 7500
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Comprobacin:
Si 1 = 200, 2 = 400
1. 1.2(200) + 1.45(400) 850 820 850 2. 0.6(200) + 0.4(400) 325 280 325 3. 1.15(200) + 0.25(400) 150 130 150
e) Conclusin:
Para obtener una ganancia mxima de 10,200 dlares se debe de fabricar una cantidad de
200 guantes para jugador de cuadro y 400 guantes para receptor. Quedando disponibles 30
horas, para corte costura, 45 horas para detallado y 20 horas para empaque.
Situacin 4 (Gonzlez, 2003)
La asociacin de estudiantes de una institucin dispone de $100, 000 y ha pensado invertirlos en
dos negocios. El primero le reporta una utilidad de $25 mensuales y el segundo $40 mensuales
por cada $100 invertidos. Debido a ciertas condiciones impuestas por la asamblea de socios, se
debe invertir al menos el 25% del capital en el primer negocio y no ms del 50% en el segundo.
Adems, la cantidad invertida en el ltimo no debe ser mayor a 1.5 veces la cantidad invertida en
el primero. Se pide plantear este problema como un modelo de programacin lineal y resolver por
el mtodo grfico.
a) Identifique las variables
1= 1
2= 2.
b) Plantee la funcin objetivo
=.251 + 1.402
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c) Plantee las restricciones
Sujeto a:
1 + 2 100000
1 25000
2 50000
2 1.51
1 + 2 0
a) Aplique el mtodo grfico
=.251 + 0.402
1 + 2 100000 1 + 2 = 100000
1 25 1 = 25
2 50 2 = 50
2 1.51 1.51 + 2 = 0
1. 1 + 2 = 100000 Si 1 = 0, 2 = Sustituir 1 = 0 en 1 0 + 2 = 100000 2 = 100000 Par ordenado (0,100000)
Si 2 = 0, 1 = Sustituir 2 = 0 en 1 1 + 0 = 100000 1 = 100000 Par ordenado (100000,0)
2. 1 = 25000 2 = 0 Par ordenado (25000,0)
3. Si 2 = 50000 1 =0 Par ordenado (0,50000)
4. 1.51 + 2 = 0 Si 1 = 0, 2 = Sustituir 1 = 0 en 4 1.5(0) + 2 = 0 2 = 0 Par ordenado (0,0)
Sustituir 2 = 0 en 4 1.51 + 0 = 0 1.51 = 0
1 =0
1.5= 0
Par ordenado (0,0)
1.51 + 2 = Si 1 = 40000, 2 = 1.5(40000) + 2 = 0 60000 + 2 = 0 2 = 0 + 60000 = 60000 Par ordenado (40000,60000)
1.51 + 2 =0 Si 2 = 30000, 1 = Sustituir 2 = 20000 en 4 1.5(30000) = 0 1.51 = 30000
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1 =
20000
1.5= 0
1 = 20000 Par ordenado (20000,30000)
Grafica 2:
Evaluar vrtices
A. 1 = 25000, 2 =0 Sustituir 1 y 2 en la F.O Max z = .25(25000)+.4(0)=6250
B. 1 = 2500 Sustituir 1=25000 en 4 1.5(25000) + 2 = 0 -37500+2 =0 2 = 37500. Sustituir 1, 2 en la F.O Max =.25(25000)+0.4(37500)=21250
C. 1 = 50000 1.51 + 50000 = 0
1 =50000
1.5= 33333.33
Sustituir 1 y 2 en la F.O Max z = .25(33333.33)+0.4(50000)=28333.33
D. 1 + 2 = 100000 1=50000+100000 1=10000-500000 = 50000 Sustituir 1 y 2 en la F.O Max z = 0.25(50000)+0.4(50000)=32500
E. 1 = 10000, 2 =0 Sustituir 1 y 2 en la F.O
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Max z = 0.25(10000)+0.4(0)=25000
Resumen:
A. 1 = 25000, 2 = 0, Max = 6250
B. 1 = 25000, 2 = 37500, Max = 21250
C. 1 = 33333.33, 2 = 50000, Max = 28333.33
D. = , = =
E. 1 = 100000 2 = 0, Max = 25000
Comprobacin:
Si 1 = 50000, 2 = 50000
1. 1 + 2 100000 50000 + 50000 100000 100000 100000 2. 1 25000 50000 25000 3. 2 50000 50000 50000 4. 2 1.51 50000 1.5(50000) 50000 75000
Conclusin:
Para obtener una ganancia mxima de $32500 se debe de invertir la cantidad de $50000 en
el negocio 1 y $50000 en el negocio 2 y se cumple con todas las restricciones.
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SITUACIN 7 (Taha, 2012)
Una compaa fabrica dos productos, A y B. El volumen de ventas de A es por lo menos 80% de
las ventas totales de A y B. Sin embargo, la compaa no puede vender ms de 100 unidades de
A por da. Ambos productos utilizan una materia prima, cuya disponibilidad diaria mxima es de
240 lb. Las tasas de consumo de la materia prima son de 2 lb por unidad de A y de 4 lb por
unidad de B. Las utilidades de A y B son de $20 y $50, respectivamente. Determine la
combinacin ptima de productos para la compaa.
a) Identifique las variables
1= .
2= .
b) Plantee la funcin objetivo
= 201 + 502
c) Plantee las restricciones
Sujeto a:
21 + 42 240
1 100
0.21 + 0.82 1
1,2 0
= 201 + 502
21 + 42 240 21 + 42 = 240
1 100 1 = 100
0.21 + 0.82 0 0.21 + 0.82 = 0
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1. 21 + 42 = 2400 Si 1 = 0, 2 = Sustituir 1 = 0 en 1 2(0) + 42 = 240
2 =240
4= 60
Par ordenado (0,60)
Si 2 = 0, 1 = Sustituir 2 = 0 en 1 21 + 4(0) = 240
1 =240
2= 120
Par ordenado (120,0)
2. 1 = 100 2 = 0 Par ordenado (100,0)
3. 0.21 + 0.82 = 0 Si 1 = 0, 2 = Sustituir 1 = 0 en 3 0.2(0) + 0.82 = 0
2 =0
0.8= 0
Par ordenado (0,0)
Si 2 = 0, 1 = Sustituir 2 = 0 en 3 0.21 + 0.8(0) = 0
1 =0
0.2= 0
Par ordenado (0,0)
Grafica 3:
Evaluar vrtices
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A. 1 = 80, 2 = 20 Sustituir 1 y 2 en la F.O Max z = 20(80)+50(20)=2600
B. 21 + 42 = 240 1 = 100
Sustituir 1 = 100 en 1 2(100) + 42 = 240 42 = 240 200
2 =40
4=10
Sustituir 1, 2 en la F.O Max =20(100)+50(10)=2500
C. 1 = 100, 2 = 0 Sustituir 1 y 2 en la F.O Max z = 20(100)+50(0)=2000
Resumen:
A. = , = , =
B. 1 = 100, 2 = 10, Max = 250 0
C. 1 = 100 2 = 0, Max = 2000
Comprobacin:
Si 1 = 80 2 = 20
1. 21 + 42 240 2(80) + 4(20) 240 240 240 2. 1 100 80 100 3. 0.81 + 0.82 1 0.8(80) + 0.8(20) 80 80 80
Conclusin:
Ara obtener una ganancia mxima d $2600, se deben producir 80 productos de tipo A y 20
productos de tipo B. faltando 20 unidades del tipo A para satisfacer con el mximo nmero
de ventas que se pueden hacer por un da.
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SITUACIN 10
Supongamos que se cuenta con dos alimentos; pan y queso, cada uno de ellos contiene caloras y
protenas en diversas proporciones. Un kilogramo de pan contiene 2000 caloras y 50 gramos de
protenas, un kilogramo de queso contiene 4000 caloras y 200 gramos de protenas. Supongamos
que una dieta normal requiere cuando menos 6000 caloras y 200 gramos de protenas
diariamente. Por lo tanto si el kilogramo de pan cuesta $6 .00 y $21.00 el queso.
Qu cantidad de pan y queso debemos comprar para satisfacer la dieta?
a) Identifique las variables
1= .
2= .
b) Plantee la funcin objetivo
= 61 + 212
c) Plantee las restricciones
Sujeto a:
20001 + 40002 6000
501 + 2002 200
1,2 0
= 61 + 212
20001 + 40002 6000 20001 + 40002 = 6000
501 + 2002 200 501 + 2002 = 200
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1. 20001 + 40002 = 6000 Si 1 = 0, 2 = Sustituir 1 = 0 en 1 2000(0) + 40002 = 6000
2 =6000
4000= 1.5
Par ordenado (0,1.5)
Si 2 = 0, 1 = Sustituir 2 = 0 en 1 20001 + 4000(0) = 6000
1 =6000
2000= 3
Par ordenado (3,0)
2. 501 + 2002 = 200 Sustituir 1 = 0 en 2 50(0) + 2002 = 200
2 =200
200= 1
Par ordenado (0,1)
Si 2 = 0, 1 = Sustituir 2 = 0 en 2 501 + 200(0) = 200
2 =200
50= 4
Par ordenado (4,0)
Grafica 4:
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Evaluar vrtices
1 = 0, 2 = 1.5 Sustituir 1 y 2 en la F.O Max z = 6(0)+21(1.5)=31.5
1 = 2, 2 = 0.5 Sustituir 1 y 2 en la F.O Max z = 6(2)+21(0.5)=22.5
1 = 4, 2 = 0 Sustituir 1 y 2 en la F.O Max z = 6(4)+21(0)=24
Resumen:
a. 1 = 0 2 = 1.5 Max = 31.5
B. = = . = .
C. 1 = 4 2 = 0, Max = 24
Comprobacin:
Si 1 = 2 2 = 0.5
1. 2000(2) + 4000(5) 6000 6000 6000 2. 50(2) + 200(0.5) 200 200 200
Conclusin:
Para lograr satisfacer la dieta requerida es necesario comprar 2kg de pan y 0.5 kg de queso con
una minimizacin de gastos de $22.5. Cumpliendo con todas las restricciones.
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2.- METODO SIMPLEX
SITUACIN 4 (Taha, 2012) Gutchi Company fabrica bolsos de mano, bolsos para rasuradora y mochilas. La elaboracin
incluye piel y materiales sintticos, y la piel es la materia prima escasa. El proceso de produccin
requiere dos tipos de mano de obra calificada: costura y acabado. La siguiente tabla da la
disponibilidad de los recursos, su consumo por los tres productos y las utilidades por unidad.
Recurso
Requerimientos de recursos por unidad Disponibilidad
diaria Bolsos de
mano
Bolsos para
rasuradora Mochilas
Piel (ft2) 2 1 3 42
Costura (h) 2 1 2 40
Acabado (h) 1 .5 1 45
Precio de venta ($) 24 22 45
Determine la cantidad ptima a producir.
Variables
1 = cantidad de bolsos de mano a producir
2 = cantidad de bolsos para rasuradora a producir
3 = cantidad de mochilas a producir
= 241 + 222 + 453
: 21 + 2 + 33 42
21 + 2 + 23 40
1 +. 52 + 3 45
1, 2, 3 0
Agregamos variables de holgura:
21 + 2 + 33 + 1 = 42
21 + 2 + 23 + 2 = 40
1 +. 52 + 3 + 3 = 45
1,2,3,1, 2,3 0
= 241 + 222 + 453 + 01 + 02 + 03
241 222 453 01 02 03 = 0
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.
-24 -22 -45 1 3 1 42
42
3= 14
1 1 40 40
2= 20
1 .5 1 1 45 45
1= 45
.
6 -7 15 630
1
14
1413
= 42
1 12
1213
= 36
1 31
3116
= 186
=
= +
= +
= +
.
-
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MARTIN CARDENAS NUEZ.
CESAREO HERNNDEZ REYES
GRIZELDA MATEO MAXIMINO
ELIZABETH HERNNDEZ HERNNDEZ
=
=
+
=
+
= +
Variables bsicas Variables no bsicas
= = = =
Comprobacin
= 24(0) + 22(36) + 45(2) = 882
2(0) + 36 + 3(2) 42 42 42
2(0) + 36 + 2(2) 40 40 40
0 + .5(36) + 2 45 20 45
Conclusin:
Para obtener una mxima ganancia de $882 no se debe de producir ningn bolso de mano
ms sin embargo de los bolsos para rasuradora de debe de producir la cantidad de 36
bolsos y 2 mochilas. Sobrando disponibles 25 recursos para las mochilas.
-
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SITUACIN 5 (Taha, 2012)
La divisin de educacin continua del Colegio Comunitario de Ozark ofrece un total de 30 cursos
cada semestre. Por lo comn, los cursos ofrecidos son de dos tipos: prcticos, como carpintera,
procesamiento de palabras y mantenimiento automotriz; y humanistas como historia, msica y
bellas artes. Para satisfacer las demandas de la comunidad, cada semestre debe ofrecerse como
mnimo 10 cursos de cada tipo. La divisin estima que los ingresos producidos por el
ofrecimiento de cursos prcticos y humanistas son aproximadamente de $1500 y $1000 por
curso, respectivamente.
Idee un ofrecimiento de cursos ptimo para el colegio.
Modelo matemtico:
= 15001 + 10002
Sujeto a:
101 + 102 30 101 + 102 + 1 = 30
= 15001 + 10002 + 01 + 0 15001 10002 01 = 0
1 =1
10 1 = 15001 +
101 + 102 30
10(3) + 10(0) 30
30 + 0 = 30 30 30
Conclusin
Para obtener un ingreso mximo de 4500 se devn impartir 3 cursos del tipo 1 solamente.
X1 X2 S1 SOL
Z 0 500 150 4500
X
1 1 1 1
10
3
X1 X2 S1 SOL
Z -1500 -1000 0 0 S1 10 10 1 30
-
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SITUACIN 6 (Chapra & Canale, 2011)
Una compaa de electrnica produce transistores, resistores y chips de computadora. Cada
transistor requiere cuatro unidades de cobre, una de zinc y dos de vidrio. Cada resistor requiere
tres, tres y una unidades de dichos materiales, respectivamente, y cada chip de computadora
requiere dos, una y tres unidades de los materiales, respectivamente.
Los suministros de estos materiales varan de una semana a la otra, de modo que la compaa
necesita determinar una corrida de produccin diferente cada semana. Por ejemplo, cierta semana
las cantidades disponibles de los materiales son 960 unidades de cobre, 510 unidades de zinc y
610 unidades de vidrio.
Cada unidad producida de transistores, resistores y chips le genera a la empresa una utilidad de
$5, $2 y $7 dlares. Qu cantidad de transistores, resistores y chips debe fabricar esta semana?
Modelo matemtico:
= 51 + 22 + 73
s.a
41 + 32 + 23 960
1 + 32 + 3 510
21 + 2 + 33 610
1, 2,3 0
= 51 + 22 + 73 + 02 + 02 + 03
41 + 32 + 23 + 01 = 960
1 + 32 + 3 + 03 = 51
21 + 2 + 33 + 03 = 610
1, 2,3,01, 02,03 0
Disponibilidad de Cobre
Disponibilidad de Zinc
Disponibilidad de vidrio
No negatividad
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Tabla simplex
1 2 3 1 2 3 Solucin
-5 -2 -7 0 0 0 0
1 4 3 2 1 0 0 960
2 1 3 1 0 1 0 510
3 2 1 3 0 0 1 610
1 2 3 1 2 3 Solucin
1
3
1
3 0 0 0
7
3
4270
3
1 8
3
7
3 0 1 0
2
3
1660
3
2 1
3
8
3 0 0 1
1
3 920
3
3 2
3
1
3 1 0 0
1
3 610
3
1 2 3 1 2 3 Solucin
0 5
8 0
1
8
1
3
9
4
2985
2
1 1 7
8 0
3
8 0
1
4
415
2
2 0 19
8 0
1
8 1
1
4
475
2
3 0 1
4 1
1
4 0
1
2 65
Variables bsicas: Variables no bsicas:
1 =415
2 2 = 0
3 = 65 1 = 0
=2985
2 3 = 0
Comprobacin:
= 51 + 22 + 73 = 5 (415
2) + 2(0) + 7(65) = 1492.5
610 3 = 2013.3
510 1 = 510
960 2 = 480
2 = 13 + 2
1 = 23 + 1
= 73 +
3 = 3 3
2 = 1 3 1 + 2
1 = 2 (8 3 )
= 1 3 1 +
3 = 2 31 + 3
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Restricciones:
41 + 32 + 23 960
4 (415
2) + 3(0) + 2(65) 960
960 960
1 + 32 + 3 510
415
2+ 3(0) + 65 510
275.5 510
21 + 2 + 33 610
2 (415
2) + 0 + 3(65) 610
610 610
Conclusin:
Para obtener la mayor ganancia de 1492.5 dlares es necesario fabricar 207.5 transistores y
65 chips de computadora y no fabricar resistores, teniendo un sobrante de 237.5 unidades
de Zinc.