Una compañía fabrica y venden dos modelos de lámpara L 1 y L2. Para su fabricación se necesita un trabajo manual de 20 minutos para el modelo L1 y de 30 minutos para el L2; y un trabajo de máquina para L 1 y de 10 minutos para L 2. Se dispone para el trabajo manual de 100 horas al mes y para la máquina 80 horas al mes. Sabiendo que el beneficio por unidad es de 15 y 10 euros para L 1 y L2, respectivamente, planificar la producción para obtener el máximo beneficio.

1Elección de las incógnitas.x = nº de lámparas L1

y = nº de lámparas L2

2Función objetivof(x, y) = 15x + 10y3RestriccionesPasamos los tiempos a horas20 min = 1/3 h30 min = 1/2 h10 min = 1/6 hPara escribir las restricciones vamos a ayudarnos de una

tabla:

L1

L2

Tiempo

Manual

1/3

1/2

100

Máquina

1/3

1/6

80

1/3x + 1/2y ≤ 1001/3x + 1/6y ≤ 80Como el número de lámparas son números naturales,

tendremos dos restricciones más:x ≥ 0y ≥ 04 Hallar el conjunto de soluciones factiblesTenemos que representar gráficamente las restricciones.Al ser x ≥ 0 e y ≥ 0, trabajaremos en el primer

cuadrante.Representamos las rectas, a partir de sus puntos de

corte con los ejes.Resolvemos gráficamente la inecuación: 1/3 x + 1/2 y ≤

100; para ello tomamos un punto del plano, por ejemplo el (0,0).

1/3·0 + 1/2·0 ≤ 1001/3·0 + 1/6·0 ≤ 80La zona de intersección de las soluciones de las

inecuaciones sería la solución al sistema de inecuaciones, que constituye el conjunto de las soluciones factibles.

5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.

La solución óptima si es única se encuentra en un vértice del recinto. éstos son las soluciones a los sistemas:

1/3x + 1/2y = 100; x = 0 (0, 200)1/3x + 1/6y = 80; y = 0(240, 0) 1/3x + 1/2y = 100; 1/3x + 1/6y = 80(210, 60) 

6 Calcular el valor de la función objetivoEn la función objetivo sustituimos cada uno de los

vértices.f(x, y) = 15x + 10yf(0, 200) = 15·0 + 10·200 = 2 000 €f(240, 0 ) = 15·240 + 10·0 = 3 600 €f(210, 60) = 15·210 + 10·60 = 3 750 €    MáximoLa solución óptima es fabricar 210 del modelo L1 y 60

del modelo L1 para obtener un beneficio de 3 750 € .

Con el comienzo del curso se va a lanzar unas ofertas de

material escolar. Unos almacenes quieren ofrecer 600

cuadernos, 500 carpetas y 400 bolígrafos para la oferta,

empaquetándolo de dos formas distintas; en el primer bloque

pondrá 2 cuadernos, 1 carpeta y 2 bolígrafos; en el segundo,

pondrán 3 cuadernos, 1 carpeta y 1 bolígrafo. Los precios de

cada paquete serán 6.5 y 7 €, respectivamente. ¿Cuántos

paquetes le conviene poner de cada tipo para obtener el

máximo beneficio?

1Elección de las incógnitas.

x = P1

y = P2

2Función objetivo

f(x, y) = 6.5x + 7y

3Restricciones

P

1

P

2

Dis

po

nib

les

Cu

ad

er

no

s

2360

0

Ca

rp

et

as

1150

0

Bol

ígr

af

os

2140

0

2x + 3y ≤ 600

x + y ≤ 500

2x + y ≤ 400

x ≥ 0

y ≥ 0

4 Hallar el conjunto de soluciones factibles

5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de

las soluciones factibles.

6 Calcular el valor de la función objetivo

f(x,y)= 6.5 · 200 + 7 · 0 = 1300 €

f(x,y)= 6.5 · 0 + 7 · 200 = 1 400 €

f(x,y)= 6.5 · 150 + 7 · 100 = 1 675 €    Máximo

La solución óptima son 150 P1 y 100 P2 con la que se

obtienen 1 675 €

3. En una granja de pollos se da una dieta, para

engordar, con una composición mínima de 15 unidades de

una sustancia A y otras 15 de una sustancia B. En el mercado

sólo se encuentra dos clases de compuestos: el tipo X con

una composición de una unidad de A y 5 de B, y el otro tipo,

Y, con una composición de cinco unidades de A y una de B. El

precio del tipo X es de 10 euros y del tipo Y es de 30 €. ¿Qué

cantidades se han de comprar de cada tipo para cubrir las

necesidades con un coste mínimo?

1Elección de las incógnitas.

x = X

y = Y

2Función objetivo

f(x,y) = 10x + 30y

3Restricciones

Mí

ni

m

o

A 15

B 15

x + 5y ≥ 15

5x + y ≥ 15

x ≥ 0

y ≥ 0

4 Hallar el conjunto de soluciones factibles

5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de

las soluciones factibles.

6 Calcular el valor de la función objetivo

f(0, 15) = 10 · 0 + 30 · 15 = 450

f(15, 0) = 10 · 15 + 30 · 0 = 150

f(5/2, 5/2) = 10 · 5/2 + 30 · 5/2 = 100   Mínimo

El coste mínimo son 100 € para X = 5/2 e Y = 5/2.

4. Se dispone de 600 g de un determinado fármaco para

elaborar pastillas grandes y pequeñas. Las grandes pesan 40

g y las pequeñas 30 g. Se necesitan al menos tres pastillas

grandes, y al menos el doble de pequeñas que de las

grandes. Cada pastilla grande proporciona un beneficio de 2

€ y la pequeña de 1 €. ¿Cuántas pastillas se han de elaborar

de cada clase para que el beneficio sea máximo?

1Elección de las incógnitas.

x = Pastillas grandes

y = Pastillas pequeñas

2Función objetivo

f(x, y) = 2x + y

3Restricciones

40x + 30y ≤ 600

x ≥ 3

y ≥ 2x

x ≥ 0

y ≥ 0

4 Hallar el conjunto de soluciones factibles

5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de

las soluciones factibles.

6 Calcular el valor de la función objetivo

f(x, y)= 2 · 3 + 16 = 22 €

f(x, y)= 2 · 3 + 6 = 12 €

f(x, y)= 2 · 6 + 12 = 24 €    Máximo

El máximo beneficio es de 24 €, y se obtiene

fabricando 6 pastillas grandes y 12 pequeñas .

5. Unos grandes almacenes desean liquidar 200 camisas

y 100 pantalones de la temporada anterior. Para ello lanzan,

dos ofertas, A y B. La oferta A consiste en un lote de una

camisa y un pantalón, que se venden a 30 €; la oferta B

consiste en un lote de tres camisas y un pantalón, que se

vende a 50 €. No se desea ofrecer menos de 20 lotes de la

oferta A ni menos de 10 de la B. ¿Cuántos lotes ha de vender

de cada tipo para maximizar la ganancia?

1Elección de las incógnitas.

x = nº de lotes de A

y = nº de lotes de B

2Función objetivo

f(x, y) = 30x + 50y

3Restricciones

M

í

n

i

m

o

Ca

mi

sa

s

2

0

0

Pa

nt

al

on

es

1

0

0

x + 3y ≤ 200

x + y ≤ 100

x ≥ 20

 y ≥ 10

4 Hallar el conjunto de soluciones factibles

5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de

las soluciones factibles.

6 Calcular el valor de la función objetivo

f(x, y) = 30 · 20 + 50 · 10 = 1100 €

f(x, y) = 30 · 90 + 50 · 10 = 3200 €

f(x, y) = 30 · 20 + 50 · 60 = 3600 €

f(x, y) = 30 · 50 + 50 · 50 = 4000 €    Máximo

Con 50 lotes de cada tipo se obtiene una ganancia

máxima de 4000 €.