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Nombre: Xavier Naula Yanza Fecha: 21/09/2015

EJERCICIOS RESUELTOS DEL LIBRO DE

FUNDAMENTOS DE ROBOTICA BARRIENTOS CAPITULOS 3,4 Y 6

DOCENTE ING. TEDDY NEGRETE PEA

CARRERA INGENIERA ELCTRICA

SEDE GUAYAQUIL

EJERCICIOS RESULTOS

CAPITULO # 3

HERRAMIENTAS MATEMATICAS PARA LA

LOCALIZACION ESPACIAL

Matrices de transformacin homognea

Ejercicio 3.1.- segn la figura 3.11 el sistema OUVW esta trasladado un

vector p (6,-3,8) con respecto al sistema OXYZ. Calcular las coordenadas (Rx, Ry, Rz) del vector R cuyas coordenadas con respecto al sistema

OUVW son R uvw (-2, 7, 3).

2

P = pxi + pyj + pzk

T (p) = [

1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1

]

[

1

] = [

1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1

] [

1

] = [

+ + +

1

]

[

1

] = [

1 0 0 60 1 0 30 0 1 80 0 0 1

] [

2731

] = [

44111

]

Ejercicio 3.2 Calcular el vector rxyz resultante de trasladar al vector r xyz (4,4, 11) segn la transformacin T(p) con p(6, -3, 8).

P = pxi + pyj + pzk

T (p) = [

1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1

]

3

[

1

] = [

1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1

] [

1

] = [

+ + +

1

]

[

1

] = [

1 0 0 60 1 0 30 0 1 80 0 0 1

] [

44111

] = [

101191

]

Ejercicio 3.4

Un sistema OUVW ha sido girado 90 alrededor del eje OX y posteriormente trasladado un vector p (8, -4, 12) con respecto al sistema OXYZ. Calcular las

coordenadas (rx, ry, rz) del vector r con coordenadas r uvw (-3, 4, -11).

P = pxi + pyj + pzk

T (p) = [

1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1

] T (x, ) = [

1 0 0 00 cos 00 cos 00 0 0 1

]

T ((x, ), p) = [

1 0 0 0 cos 0 cos 0 0 0 1

]

4

[

1

] = [

1 0 0 80 0 1 40 1 0 120 0 0 1

] [

34

111

] = [

57161

]

Ejercicio 3.5 Un Sistema OUVW ha sido trasladado un vector p(8, -4, 12) con respecto al

sistema OXYZ y girado 90 alrededor del eje OXYZ y girado alrededor del eje OX. Calcular las coordenadas (rx, ry,rz) del vector r de coordenadas ruvw (-3,

4, -11).

P = pxi + pyj + pzk

T (p) = [

1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1

] T (x, ) = [

1 0 0 00 cos 00 cos 00 0 0 1

]

T (p, (x, )) = [

1 0 0 0 cos pzsen 0 cos + pzcos0 0 0 1

]

[

1

] = [

1 0 0 80 0 1 120 1 0 40 0 0 1

] [

34

111

] = [

5101

]

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Ejercicio 3.6

Se requiere obtener la matriz de transformacin que representa al sistema OUVW obtenido a partir del sistema OXYZ mediante un giro de ngulo -90

alrededor del eje OX; de una traslacin de vector pxyz (5,5,10) y un giro de 90 sobre el eje OZ.

T=T(z, )T(y, )T(x, )=

[

0 0 0 00 0 1 00 0 0 1

] [

0 00 1 0 0 0 00 0 0 1

] [

1 0 0 00 00 00 0 0 1

]=

= [

+ + 0 + + 0 00 0 0 1

]

T=T(z, 90)T(p)T(x,90)=

[

0 1 0 01 0 0 00 0 1 00 0 0 1

] [

1 0 0 50 1 0 50 0 1 100 0 0 1

] [

1 0 0 0 0 0 1 00 1 0 00 0 0 1

] = [

0 0 1 51 0 0 50 1 0 100 0 0 1

]

Ejercicio 3.7

Obtener la matriz de transformacin que representa las siguientes

transformaciones sobre un sistema OXYZ fijo de referencia: traslacin de un vector pxyz(-3, 10,10); giro de -90 sobre el eje OU del sistema trasladado y giro de 90 sobre el eje OV del sistema girado.

Se escogen las materias bsicas correspondientes y se componen en orden inverso al ejemplo anterior.

T=T(z, )T(y, )T(x, )=

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[

0 0 0 00 0 1 00 0 0 1

] [

0 00 1 0 0 0 00 0 0 1

] [

1 0 0 00 00 00 0 0 1

]=

= [

+ + 0 + + 0 00 0 0 1

]

T=T(z,90)T(p)T(x,90)=

[

1 0 0 30 1 0 100 0 1 100 0 0 1

] [

1 0 0 00 0 1 0

0 1 0 00 0 0 1

] [

0 0 1 0 0 1 0 01 0 0 00 0 0 1

]

= [

0 0 1 31 0 0 100 1 0 100 0 0 1

]

Ejemplo 3.8

Obtener el cuaternio que representa una rotacin de 90 sobre el eje k (3, -2, 1).

Q = Rot (k, )= (2), (

2)

Q = Rot (k, 90) = (22), 3 (2

2), 2 (2

2), (2

2)

Ejemplo 3.9

Obtener el vector r resultante de aplicar la misma rotacin del ejercicio 3.8 Rot (k,90) donde k(3, -2, 1), sobre el vector r(5, 2, -6).

R = (22), 3 (2

2), 2 (2

2), (2

2) (0, 5, 2,-6) (2

2), 3 (2

2), 2 (2

2), (2

2)

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CINEMATICA DEL ROBOT Ejemplo 4.1

Con el fin de ilustrar el mtodo expuesto anteriormente, se va a desarrollar a continuacin la resolucin completa del problema cinemtico directo para un

robot cilndrico. En primer lugar, se localizan los sistemas de referencia de cada una de las articulaciones del robot. Posteriormente se determinan los parmetros de

Denavit-Hartenberg del robot, con los que se construye. Una vez calculados los parmetros de cada eslabn, se calculan las matrices A, sustituyen en la

expresin general de la siguiente manera:

A1 = [

1 1 0 01 1 0 00 0 1 10 0 0 1

] 1A2 = [

0 0 1 01 0 0 00 1 1 20 0 0 1

]

2A3 = [

1 0 0 00 1 0 00 0 1 30 0 0 1

] 3A4 = [

4 4 0 04 4 0 00 0 1 40 0 0 1

]

T = 0A1 1A2 2A3 3A4

= [

14 14 1 1(3 + 4)14 14 1 1(3 + 4 )4 4 0 2 + 1

0 0 0 1

]

Articulacin d A 1 1 0 0 -90 2 2 I1 0 90 3 3 90 0 -I2 90 4 4 I3 0 -90 5 5 0 0 90 6 6 I4 0 0

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Ejemplo 4.2 Se va a desarrollar a continuacin la resolucin completa del problema

cinemtico directo para un robot IRB6400C. En primer lugar, y siguiendo el algoritmo de Denavit-Hatenberg, se localizan los

sistemas de referencia de cada una de las articulaciones del robot. Posteriormente se determinan los parmetros de Denavit-Hatenberg del robot, con los que se construye la tabla. Se calculan ahora las matrices A, sustituyendo

en la expresin general de la siguiente manera:

A1 = [

1 0 1 01 0 1 00 1 0 00 0 0 1

] 1A2 = [

2 0 2 02 0 2 00 1 1 10 0 0 1

]

2A3 = [

3 0 3 233 0 3 230 1 0 00 0 0 1

] 3A4 = [

4 0 4 04 0 4 00 1 0 30 0 0 1

]

3A4 = [

5 0 5 05 0 5 00 1 0 00 0 0 1

] 3A4 = [

6 6 0 06 6 0 00 0 1 40 0 0 1

]

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T = 0A1 1A2 2A3 3A4 4A5 5A6 = [

2 0 0 0 1

]

Nx= (C1C2S3+S1C3) (C4C5C6-S4S6) +C1S2 (S4C5C6+C4S6) + (-C1C2C3+S1S3) S5C6

NY=(-S1C2S3+S1C3)(C4C5C6-S4S6)+S1S2(S4C5C6+C4S6)+(-S1C2C3-C1S3)S5C6

NZ= (-S2S3)(C4C5C6-S4S6)+C2(S4C5C6+C4S6)+S2C3S5C6

OX=(C1C2S3+S1C3)(-C4C5C6-S4S6)+C1S2(-S4C5C6+C4S6)+(-

C1C2C3+S1S3)(-S5C6) OY=(-S1C2S3+S1C3)(-C4C5C6-S4S6)+S1S2(-S4C5C6+C4S6)+(-S1C2C3-

C1S3)(-S5C6)

OZ= (-S2S3)(-C4C5C6-S4S6)+C2(-S4C5C6+C4S6)+S2C3(-S5C6)

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PX=(C1C2S3+S1C3)(I4C4S5)+C1S2(I4S4S5)+(C1C2C3+S1S3)(-I4C5+I3)+(-I2C1C2S3-I2S1C3-I1S1)

PY= (-S1C2S3-C1C3)(I4C4S5)+S1S2(I4S4S5)+(-C1C2C3-C1S3)(-I4C5+I3)+(-I2S1C2S3-I2C1C3+I1C1)

PX=(-S2S3)(I4C4C5)+C2(I4S4S5)+S2C3(-I4C5+I3)+I2S2S3

Ejercicio 4.3 Se va a obtener la matriz jacobiana del robot SCARA de la figura. El problema

cinemtico directo viene determinado por las ecuaciones.

X= I3C12 + I2C1

Y= I3S12 + I2S1 Z= I1 Q3

[

]

= J

[ .....

]

con J =

[

1

1

]

[

]= [3(312 + 21) 312 0312 + 21 312 00 0 1

] [

1

2

3

]

Q1=

6 Q2=

4 Q3= 0,75m.

1 =

2/ 2 =

2/ 3 = 1/

[

]= [1,465 0,965 01,124 0.258 0

0 0 1]

[

2

2

1]

= [3.81

2.171

]

11

[

]= [1,36 0,5 00.366 0.866 00 0 1

]

[

2

2

1]

= [2.92

1.9351

]

J

[ .....

]

= 1

[ .....]

[ 1

1

]

Ejemplo 4.4

Para el robot SCARA del que se obtuvo la matriz Jacobiana en el ejemplo anterior se tiene que:

J =[(312 + 21) 312 0312 + 21 312 00 0 1

]

Por el jacobiano ser:

|J| = -[-I3C12(I3S12+I2S1)+I3S12(I3C12+I2C1)]

I3C12(I3S12+I2S1)=I3S12(I3C12+I2C1)

I3C1(I3S1+I2S1)= I3S1(I3C1+I2C1)

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