Ejercicios_Resueltos_Combinatoria

7/24/2019 Ejercicios_Resueltos_Combinatoria

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Ejercicios Resueltos Combinatoria

1. De cuntas maneras pueden sentarse 10 personas en un banco si hay 4 sitios

disponibles?

Ntese !ue importa el orden en !ue se sienten las personas" ya !ue los cuatro sitios son

di#erentes" y !ue una persona no puede ocupar ms de un sitio a la $e%. &or lo tanto" hay

10 '

(

1

0

"

4

=

( =10 '=10)*+=,040maneras.104)' - '

. En una clase de 10 alumnos $an a distribuirse / premios. $eriuar de cuntos modos

puede hacerse si2

1. los premios son di#erentes. . los

premios son iuales.

3ay dos supuestos posibles2 i una misma persona no puede recibir ms de un premio2

uponemos !ue N5 puede recibir ms de un premio" lueo los alumnos N5 se pueden

repetir2

Caso12 6os premios son di#erentes 7no es lo mismo anar el primer premio !ue el seundo8

importa el orden" hay

(10"/=

10 '=10 '=10)*=+0maneras de distribuir los premios si estos son di#erentes9

(10/)' + '

Caso2 6os premios son iuales" no importa el orden" son indistinuibles" pueden distribuirse de

C10"/

= =10 '=10)*=10maneras de distribuir los premios si estos son iuales.(10/)'/' + '/' /1

10 '

i un mismo alumno puede recibir mas de un premio lueo los alumnos se pueden repetir2

Caso12 6os premios son di#erentes 7no es lo mismo anar el primer premio !ue el seundo8

importa el orden" hay


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(R10"/=10/=1000maneras de distribuir los premios si estos son di#erentes9

1


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Caso2 6os premios son iuales" no importa el orden" son indistinuibles" pueden distribuirse de

1 'CR

10"/=C

10+/1"/=C

1"/=1'=11110=0maneras de distribuir los premios si

(1/)'/' )'/' /1estos son iuales.

/. 6as diaonales de un pol:ono se obtienen uniendo pares de $;rtices no adyacentes.

1. 5btener el n


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2


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&

or lo tanto" pueden colocarse de2

&4=4 '=4 mujeres7n


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3


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-. En un rupo de 10 amios" cuntas distribuciones de sus #echas de cumpleaBos

pueden darse al aBo?

Considerando !ue el aBo tiene /-, d:as y !ue puede darse el caso de !ue $arias personas cumplan

en la misma #echa 7se permiten repeticiones adems importa el orden son #echas8"

el n


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=

Estos casos son2 E={CCCC" CC" CCC" C" }

. Como las monedas se arrojan simultneamente" slo habr un caso posible con caras y

cruces.

uponiendo !ue las monedas son distintas2

4


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1. En este caso" puesto !ue se distinuen las

monedas entre si 7importa el orden8 y en una tirada pueden haber $arias con el mismo resultado

indi$idual 7se permiten repeticiones8" hay un

total de

(R"4=4=1-resultados posibles.

. e calcula el n


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. Consideremos los cuatro libros de matemticas como una unidad. e tendr:a entonces una

unidad correspondiente a matemticas" - unidades di#erentes de #:sica y dos unidades

di#erentes de !u:mica. &or lo tanto" e=isten2

&)=) '=/-**0 maneras de ordenar estas ) unidades" y por cada una de ellas hay

&4=4 '=4 5rdenaciones posibles de los 4 libros de matemticas" por lo !ue en total hay2

@otal=/-**04=*.+0).10#ormas de colocar los libros.

uponamos !ue los libros de cada materia son id;nticos.

1. Consideremos cada conjunto de libros de una misma materia como una unidad. Ntese !ue

entonces se tendr:a un total de / unidades" 7tres clases de libros pero dentro de cada uno de

ellos todos iuales8 !ue pueden ordenarse de &/=/'=- #ormas distintas.

. En este caso tendremos una unidad de matemticas 7todos tiene !ue estar juntos8" adems de -

de #:sica y de !u:mica 7id;nticos en cada caso8" e tiene entonces un total de

&R1)"-"=)'=/-**0=,ordenaciones posibles1'-'' 1440

10. >n alumno tiene !ue eleir + de las 10 preuntas de un e=amen. De cuantasmaneras puede eleirlas? si las 4 primeras son obliatorias?

El orden en !ue elija las preuntas" !ue adems no podr:an repetirse" es irrele$ante. s:"

10 ' 10)*

puede eleir las preuntas de C10"+= (10+)'+ '=/1=10 maneras.

&or otra parte" si las 4 primeras son obliatorias" debe escoer / preuntas entre las -

restantes par a c o m pl e t ar la s + necesarias" resultando un t o t al de

-' -,4C

-

"

/

=

(-/)'/'=/1=0 maneras.

11. >na l:nea de #errocarril tiene , estaciones. Cuntos billetes di#erentes habr !ue

imprimir si cada billete lle$a impresas las estaciones de orien y destino?


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Dado !ue las estaciones de orien y destino no pueden coincidir 7no hay repeticin8" y

adems" dadas dos estaciones" es importante saber si corresponden al principio o al #inal

del trayecto 7importa el orden8" hay un total de (,"

=,'=,'=,4=-00billetes

(,)' /'di#erentes.

1. @res atletas toman parte en una competicin. De cuntas maneras podrn llear a la

meta? 7&ueden llear juntos8

3ay $arias posibilidades2

i llean los tres juntos" entonces slo hay1posibilidad.

/' i llean dos juntos" e=isten C/"= =/=/ rupos de dos !ue llean juntos" y(/)'' 1

&='= ordenaciones distintas del rupo de dos y el otro atleta" por lo !ue e=isten

@otal=/=-posibilidades.

i llean los tres por separado" e=isten &/=/'=-posibilidades.

&or lo tanto" pueden llear a la meta de1/maneras distintas.

1/. En un hospital se utili%an cinco s:mbolos para clasi#icar las historias cl:nicas de sus pacientes"de manera !ue los dos primeros son letras y los tres

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