El billarno es de vagos

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C A R L O S

B O S C H

MATEMTICAS

L AC I E N C I A

P A R AT O D O S

Ciencia, juego y diversin

EL BILLAR NO ES DE VAGOS

Comit de seleccin de obras

Dr. Antonio AlonsoDr. Francisco Bolvar ZapataDr. Javier BrachoDr. Juan Luis CifuentesDra. Rosalinda ContrerasDra. Julieta FierroDr. Jorge Flores ValdsDr. Juan Ramn de la FuenteDr. Leopoldo Garca-Coln SchererDr. Adolfo Guzmn ArenasDr. Gonzalo Halfft erDr. Jaime MartuscelliDra. Isaura MezaDr. Jos Luis MornDr. Hctor Nava JaimesDr. Manuel PeimbertDr. Jos Antonio de la PeaDr. Ruy Prez TamayoDr. Julio Rubio OcaDr. Jos SarukhnDr. Guillermo SobernDr. Elas Trabulse

La Cienciapara Todos

Desde el nacimiento de la coleccin de divulgacin cientfica del Fondo de Cultura Econmica en 1986, sta ha mantenido un ritmo siempre ascendente que ha superado las aspiracio nes de las perso-nas e instituciones que la hicieron posible. Los cientficos siempre han aportado material, con lo que han sumado a su trabajo la incur-sin en un campo nuevo: escribir de modo que los temas ms com-plejos y casi siempre inaccesibles pue dan ser entendidos por los es-tudiantes y los lectores sin formacin cientfica.

A los diez aos de este fructfero trabajo se dio un paso adelante, que consisti en abrir la coleccin a los creadores de la ciencia que se piensa y crea en todos los mbitos de la lengua espaola y ahora tambin del portugus, razn por la cual tom el nombre de La Cien-cia para Todos.

Del Ro Bravo al Cabo de Hornos y, a travs de la mar ocano, a la Pennsula Ibrica, est en marcha un ejrcito integrado por un vasto nmero de investigadores, cientficos y tcnicos, que extienden sus ac-tividades por todos los campos de la ciencia moderna, la cual se en-cuentra en plena revolucin y continuamente va cambiando nuestra forma de pensar y observar cuanto nos rodea.

La internacionalizacin de La Ciencia para Todos no es slo en extensin sino en profundidad. Es necesario pensar una cien cia en nues-tros idiomas que, de acuerdo con nuestra tra dicin humanista, crez-ca sin olvidar al hombre, que es, en ltima ins tan cia, su fin. Y, en con-secuencia, su propsito principal es poner el pensamiento cientfico en manos de nuestros jvenes, quienes, al llegar su turno, crearn una ciencia que, sin des de ar a ninguna otra, lleve la impronta de nuestros pueblos.

Carlos Bosch

EL BILLAR NO ES DE VAGOS

Ciencia, juego y diversin

laciencia/223

para todos

Primera edicin, 2009Primera edicin electrnica, 2010

Bosch, CarlosEl billar no es de vagos. Ciencia, juego y diversin / Carlos Bosch.

Mxico : FCE, SEP, CONACyT, 2009158 p. : ilus. ; 21 14 cm (Colec. La Ciencia para Todos ; 223)Texto para nivel medio superiorISBN 978-607-16-0149-0

1. Matemticas. 2. Geometra 3. Divulgacin cientfica I. Ser. II. t.

LC QA40.5 Dewey 508.2 C569 V.223

Distribucin mundial

D. R. 2009, Fondo de Cultura EconmicaCarretera Picacho-Ajusco, 227; 14738 Mxico, D. F.www.fondodeculturaeconomica.comEmpresa certifi cada ISO 9001:2008

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Se prohbe la reproduccin total o parcial de esta obra, sea cual fuere el medio. Todos los conte-nidos que se incluyen tales como caractersticas tipogrfi cas y de diagramacin, textos, grfi cos, logotipos, iconos, imgenes, etc. son propiedad exclusiva del Fondo de Cultura Econmica y estn protegidos por las leyes mexicana e internacionales del copyright o derecho de autor.

ISBN 978-607-16-0330-2 (electrnica)978-607-16-0149-0 (impresa)

Hecho en Mxico - Made in Mexico

NDICE

Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

I. El regalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

II. Nunca falta alguien as . . . . . . . . . . . . . . . . 21

III. Primer sueo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Una banda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Dos bandas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 Tres bandas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Cuatro bandas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

IV. De Luis XI a Paul Newman . . . . . . . . . . . . . 46

V. Segundo sueo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 El mximo comn divisor . . . . . . . . . . . . . . 58 La mquina de Zavrotsky . . . . . . . . . . . . . . 59 Las pruebas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 Cul esquina? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 La mquina de Zavrotsky y el mximo comn divisor 64

VI. Ruedan y chocan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

VII. Tercer sueo (caminos mnimos) . . . . . . . . . . . 83 Propiedades de la elipse . . . . . . . . . . . . . . . 85 Construccin de la elipse por puntos . . . . . . . . 89 La tangente en un punto . . . . . . . . . . . . . . . 91 Propiedades de tipo billar de la tangente de la elipse 95 Problemas de Minimax . . . . . . . . . . . . . . . 96

VIII. Los materiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Las bandas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Las bolas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 Las mesas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

IX. Cuarto sueo (otros billares) . . . . . . . . . . . . . 113 El crculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 Billares convexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 Polgonos regulares y billares . . . . . . . . . . . . 126

X. Las tablitas y otros problemas . . . . . . . . . . . . 132 Las tablitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 El agua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 Problemas y carambolas . . . . . . . . . . . . . . . 146

Conclusin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151Bibliografa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

9INTRODUCCIN

sta no es una obra clsica sobre el billar. Ms bien es un libro en el que se emplean conceptos cientfi cos y matemticos para entender mejor el billar, y se usa el billar para entender mejor algunos conceptos cientfi cos y matemticos.

El billar est vinculado con la geometra, pero sus relacio-nes con las matemticas van ms all. En este libro, el regalo de un amigo nos permite entender a fondo qu es el billar, cmo se juega, cmo ha evolucionado y cmo se usa para resolver algunos problemas matemticos.

En tiempos del cardenal Richelieu (1585-1642) no se poda ser mosquetero sin saber matemticas, historia, tcticas milita-res y billar. Este entretenimiento pas por una poca oscura en la que se volvi un juego de apuestas y de vagos, a tal punto que las mujeres dejaron de jugarlo. Pero poco a poco lo ante-rior fue cambiando y empezaron a aparecer libros en los que se explicaban la fsica y las matemticas del billar; el primero so-bre el tema es Th orie mathmatique des eff ets du jeu de billard, de Gaspard-Gustave Coriolis, publicado en 1835.

En el siglo pasado las pelculas El audaz [Th e Hustler] y El color del dinero [Th e Colour of Money] le dieron un gran im-pulso al billar. Las mujeres lo han vuelto a jugar, los campeona-tos se transmiten por televisin, en casi todos los clubes hay

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mesas de billar, en los concursos de ma temticas hay problemas asociados con esta prctica e incluso se usa para calcular el m-nimo comn divisor de dos nmeros, o bien para caracterizar polgonos regulares y resolver problemas de mnimos, como lo veremos en este relato.

Aqu se habla de matemticas, de fsica, de qumica, de his-toria, del arte del juego y de algunas carambolas especiales. Quien slo quiera leer la parte relacionada con las matemticas debe-r abo carse a los cuatro sueos que aparecen en el libro ms el captulo x. El que est interesado solamente en la fsica, tendr que enfocarse en el captulo vi. Si su inters se centra en la par-te de la qumica relacionada con el billar, entonces habr de ir al captulo viii. Para iniciarse en el billar conviene leer el cap-tulo i, y para aprender algo sobre los efectos hay que abordar los captulos vi y x, pero recordemos que no hay nada que pue-da sustituir la prctica del juego. La parte histrica se encuen-tra en el captulo iv. Sin embargo, para ser sincero, lo mejor es leer todo el libro.

Quiero aprovechar este espacio para indicar que algunos temas que aparecen en este libro se publicaron anteriormente, en for-ma distinta, en el Boletn de Ficom publicado por la Academia Mexicana de Ciencias. Agradezco a sus editores que me hayan permitido usar ese material. En este libro tambin aparece par-te del material de dos cuentos cortos: Bandas y nmeros y El billar no es de vagos, con los que gan uno de los premios otor-gados por la Sociedad Matemtica Mexicana en el concurso Matemticas Aplicadas y su Enseanza para el Bachillerato y la Licenciatura, en 2001. Agradezco a su presidente, el doctor Alejandro Daz Barriga, la posibilidad que me otorg para uti-lizar aqu ese material. Tambin quiero agradecer al doctor Enri-que de Alba por haberme proporcionado la cita que aparece en el captulo iv sobre el billar en Antonio y Cleopatra, de William Shakespeare. A Mara Luisa Carren le agradezco la paciencia

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que tuvo para descifrar mis jeroglfi cos y transformarlos en un texto legible. A Bernardo Mendoza Dib le debo el haberme ayu-dado con las fi guras y con la computadora, que a veces en lugar de instrumento de trabajo yo la converta en mi enemiga.

Pedro Bosch ley todo el manuscrito y sus observaciones, correcciones y crticas me ayudaron a mejorar el escrito inicial. Claudia, Sofa y Pablo me apoyaron a lo largo de este divertido trabajo leyendo, dibujando, fotografi ando o yendo al billar con-migo.

Un agradecimiento carioso para los amigos que hicieron que me gustara el billar, en especial a Freddy y a Andrs (q.e.p.d.). Finalmente, el reconocimiento a mi abuela, quien le puso el t-tulo a este libro cuando insista en que el billar era para vagos y que no deba ir a esos lugares de mala muerte.

Mil gracias a todos.

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I. El regalo

Cuando Andrs y Freddy regresaron de Estados Unidos me tra-jeron un taco para jugar billar a cambio del dinero que les haba prestado (o ms bien regalado) para su visita a Los ngeles. De ese viaje recuerdo que trajeron cerillos que se encendan con un dedo o frotndolos en la suela del zapato, como en las pelculas de vaqueros, varios discos de rock, pantalones vaqueros Levys en fi n, cosas que en Mxico era imposible encontrar o que costa-ban un dineral. Mi nuevo y nico taco! Nunca volv a tener otro en toda mi vida; era igual al que se haba comprado Andrs. A los dos nos gustaba el billar, sobre todo la carambola de tres bandas y a veces la carambola sencilla o el pool.

Para entonces ya sabamos cmo agarrar correctamente el taco (fi gura i.1) y la posicin adecuada para tirar. Hablbamos mucho de la teora de cmo jugar. Supongamos que el jugador desea que una bola le pegue en el centro a otra bola. Para eso, el taco, casi horizontal, debe colocarse de manera natural en una lnea imaginaria que cruce por el centro de las bolas. El jugador tiene que colocarse un poco hacia la izquierda, si es derecho, con las piernas ligeramente fl exionadas y los pies formando un n-gulo recto.

De esta forma el cuerpo se encuentra obligatoriamente orien-tado a 45 del eje del taco (fi gura i.2).

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Hay un dicho en el billar: El jugador tiene que colocarse siempre frente a su bola. Pero un jugador no puede encontrar-se al mismo tiempo a la izquierda del taco (que est en el eje formado por el centro de las bolas) y frente a su bola. As que, para lograr su objetivo, debe inclinar ligeramente el trax hacia adelante y rotar la cabeza hacia la izquierda.

Figura i.1

Figura i.2

45

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El brazo izquierdo debe estar cmodamente colocado, apo-yado sobre la mesa, por ejemplo; a su vez, el brazo derecho debe formar un arco. La mano izquierda sostiene la parte delgada del taco, con la cual se le pega a la bola. La mano derecha detie-ne el taco por la parte ms gruesa, aproximadamente a una dis-tancia de un cuarto del fi nal del taco, pero suavemente, sin apretarlo (fi gura i.3).

Desde luego que la posicin de la mano izquierda es funda-mental, pues permite pegarle a la bola en el centro, o bien ms arriba o ms abajo, ms a la derecha o ms a la izquierda, lo que har que la bola adquiera diversos efectos y se desplace de ma-neras diferentes.

Estaba yo tan emocionado con mi taco nuevo que inmedia-tamente lo desenvolv y lo arm. Vena en dos partes que se atornillaban en el centro. Acord con Andrs que al da siguien te,

Figura i.3

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temprano por la tarde, nos veramos en el billar; despus de hacer tres o cuatro carambolas imaginarias, des arm el taco y lo envolv en papel peridico. No quera que nadie me viera con un taco o supiera que iba a los billares; en aquel entonces a los jugadores de billar se les vea como vagos o personas intiles. Los nombres de los billares La Cueva, El Infi erno, La Gruta daban la impresin de antros semipro hibidos. En al-gunos de ellos, a los mejores clientes les servan bebidas alcoh-licas combinadas con refrescos o cervezas que parecan sidral. As, si llegaba algn inspector, a primera vista no poda detectar los vasos ilegales ni, evidentemente, las apuestas, a menudo cuantiosas, que corran en esos lugares con toda libertad.

Llegu a casa con mi paquete de papel peridico y nadie se dio cuenta de que all traa un taco de billar. Lo guard en el clset debajo de los suteres. Un da mi abuela se enter de que me gustaba el billar y de inmediato me dijo: El billar es de va-gos, mejor aprovecha el tiempo para estudiar. No obstante sus consejos, muchas veces, en cuanto terminaba el co legio, Andrs y yo nos comprbamos una torta en cualquier sitio y nos ba-mos al billar. Para eso, desde temprano tena que sacar el taco de entre los suteres y ponerlo envuelto en su peridico dentro de la mochila, para que en el colegio nadie lo descubriera. Con tantas idas y venidas, naturalmente el peridico se rompa.

Cada vez tena que hacer un envoltorio diferente hasta que un da la punta del taco se sali del peridico y de la mochi-la! Sin que me diera cuenta, el profesor de fsica lo descubri.

As que tiene usted un taco de billar propio.Pues s.No es usual, esas cosas son caras en Mxico.S, pero me lo trajo un amigo de Estados Unidos.Qu sabe usted de billar?Pues la verdad es que juego lo ms que puedo; hoy voy a

ir y por eso traigo el taco.Qu juega?

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Lo que ms juego es carambola.Antes de que le explique a la clase qu es eso, vamos a

preguntarles a sus compaeros: cmo creen que es el ambien-te del billar? Cmo se imaginan que es un saln de billar?

Varios alumnos levantaron la mano y las contestaciones que dieron ya las haba odo en boca de mi abuela: un saln con un ambiente un poco lgubre; una mesa con bandas y cubier-ta con tapiz verde; poca luz, excepto sobre las mesas; bolas blancas y rojas o de muchos colores y con nmeros; tacos de billar y tiza azul; en general slo hay hombres En eso estba-mos cuando del grupo se alz una voz femenina:

En mi casa dicen que el billar es de vagos.Al instante repliqu:No es cierto; hay de todo, como en todos lados.Pues ms o menos intervino el profesor. Yo cre que

con eso se haba terminado la discusin y el asunto del billar, pero se volvi hacia m y me dijo: Ahora explqueme qu es la carambola.

Se juega con tres bolas, una totalmente blanca, otra tam-bin blanca, pero con un punto o marca, y una roja. En general juegan dos personas (a veces dos parejas); a cada jugador le corres-ponde una bola, la blanca a uno, la del punto al otro. El juego consiste en hacer que la bola propia, al ser golpeada con el taco, entre en contacto con las otras dos. A esto se le llama carambola. Cada vez que alguien hace una carambola se anota un punto, y gana quien haya logrado el mayor nmero de puntos. A este tipo de carambolas se les llama sencillas.

A ver, pase al pizarrn y dnos un ejemplo. Un sudor fro recorri mi brazo. Afortunadamente llevaba

un suter y nadie se dio cuenta de la penosa situacin. En tonces dibuj en el pizarrn un rectngulo y tres pequeos crculos.

Imaginen que el rectngulo es la mesa de billar y las dos bolas negras son las bolas a las que les tengo que pegar con mi bola blanca (fi gura i.4).

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Yo me imaginaba ya en el billar con mi taco, rodeado de ese color verde de los paos que tanto me agradaba.

Entonces, se supone que con el taco impulsamos nuestra bola para que le pegue a las otras dos. En este ejemplo, yo tira-ra hacia ac dije, indicando la direccin hacia la bola ms cer-cana; as mi bola, al pegarle a esta primera, se desviara un poco e ira a chocar con la otra, es decir, hara una carambola. Los expertos juegan algo un poco ms complicado, que se llama carambola de tres bandas.

Despus de esta explicacin, me sent muy bien; lo haba explicado todo ordenadamente sin tartamudear, bien dicho y sin ninguna muletilla, y al fi nal hasta me haba adornado con eso de que la bola se pona en movimiento con un golpe de taco y la mencin de los expertos y la carambola de tres bandas.

Qu bien, pero usted acaba de hablar de la carambola de tres bandas. Dganos qu es eso.

Grave error. Esto debi ensearme a contestar lo que se pide y no andar adornndome. En fi n, slo tena que explicar qu era una carambola de tres bandas.

Las bandas son los bordes internos de la mesa. Para que una carambola sea de tres bandas, la bola de quien tira debe

Figura i.4

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tocar al menos tres bandas antes de completar la carambola. Las bandas pueden ser una sola o tres distintas; es decir, la bola que debe hacer la carambola puede rebotar varias veces en una misma banda para completar las tres bandas.

A ver, eso no est claro. Cmo?Bueno, los golpes pueden ser banda, bola, banda, banda,

bola, o bien banda, banda, banda, bola, bola, o cualquier combi-nacin, siempre que el ltimo golpe sea a una bola.

Veamos dijo el profesor, ya que est en el pizarrn, dibuje cmo se hara una de esas carambolas tocando varias veces la misma banda, o bien tres bandas distintas.

Con gran seguridad volv a tomar el gis. Por el rabillo del ojo alcanc a ver mi taco nuevo asomndose de la mochila y me imagin llegando con l al billar. Y as, sin hablar, como los grandes del billar, propuse los dos esquemas de las fi guras i.5a y i.5b.

Los dos dibujos que hice me parecan mesas de billar reales, aunque eran unos simples trazos blancos sobre el pizarrn ne-

Figura i.5a Figura i.5b

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gro. Eran carambolas usuales que ya sin pensar las visualizba-mos tanto Andrs como yo, aunque muchas veces, en la prctica, nos fallaban.

Explique sus dibujos, por favor pidi el profesor.A m me gustaba que la bola del punto fuera la ma, as que

en ambos casos, imaginndome que yo era el que tiraba, empe-c con la del punto.

Observen las trayectorias que se obtienen en ambos ca-sos. Yo tiro con la bola del punto. En el primer caso le pego a la bola blanca, luego mi bola toca una banda larga, despus una banda corta y la tercera banda larga, y fi nalmente choca con la bola roja. En el segundo caso mi bola toca una banda larga, enseguida la bola roja, otra vez la banda larga, luego una banda corta y fi nalmente la bola blanca.

Mire usted dijo el profesor, se ve que sabe algo de bi llar, pero aqu no me habl ni de efectos ni de posibles choques no deseados entre las bolas; as que, como su examen no fue muy bueno, para subir su califi cacin le voy a pedir un trabajo breve sobre la fsica y el billar: rozamientos, rodamientos, efectos, re-botes, tipos de energa involucrados, en fi n, algo no muy com-plicado que mues tre que el billar no es de vagos, como dijo al-guno de ustedes hace un momento, y que est muy relacionado con la fsica. Al resto de la clase le voy a pedir que me indique con precisin qu es el billar, y desde cundo y cmo se juega, es decir, algo de la historia del billar.

En ese momento odi mi taco, pero cuando acabaron las clases de ese da y me encamin al billar, volv a adorarlo como si fuera lo nico importante en mi vida. Al llegar al local, ator-nill el taco, le puse tiza y me dispuse a hacer carambolas entre mordida y mordida a la rica torta de milanesa que acompaaba con un refresco con piquete.

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II. Nunca falta alguien as

Profesor, yo s busqu la defi nicin de billar; cundo vamos a entregar ese trabajo? exclam una de mis compaeras.

Yo palidec. Todas las tardes, desde aquella clase, haba ido al billar y no investigu nada. Lo peor es que otra de las compa-eras, una de las que se sientan en la primera fi la, dijo que ella tena una defi nicin matemtica del billar!

Bueno, creo que lo mejor es que lean sus defi niciones.Ya empiezo, profesor? pregunt otra vez la primera.S, s, claro; por favor, pongan atencin.Pues el billar es un juego de destreza que se ejecuta im-

pulsando con el taco las bolas de marfi l al or esto, murmur para m mismo: Yo nunca he jugado con bolas de marfi l; segu-ramente el diccionario era de su tatarabuelo. La muchacha continu: en una mesa rectangular forrada de pao, ro-deada de barandas elsticas con troneras o sin ellas.

Las troneras deben ser las buchacas, que se utilizan para el juego de pool; el de carambola no tiene buchacas y las barandas aqu se llaman bandas.

La mesa se halla rodeada por rebordes (bandas) de unos 5 cm de altura prosigui mi compaera, de caucho o con re-sortes metlicos, recubiertos por el mismo pao verde que cu-bre el tablero y bien tirante. Hay dos clases de mesas: las peque-

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as, sin troneras (francesas o de carambola), y las grandes, con seis troneras, cuatro en los ngulos y una en la mitad de cada banda larga. Los tacos deben tener una longitud de 1.30 a 1.45 m. Suelen construirse de fresno, aliso, carpe o de otra madera dura; en su extremo grueso o maza llevan un taln de marfi l, y en el extremo delgado una virola del mismo material y una arandela de cuero, plana por el lado que va pegado a la virola y convexa por el que se han de empujar las bolas.

Muchas de esas cosas no las saba, pero de lo que estoy se-guro es que ni mi taco, ni ningn otro del billar que frecuento, tiene marfi l. La verdad es que mi taco, aun sin marfi l, prctica-mente juega solo, como se dice por all.

Las bolas de marfi l, o de bonjolina continu mi com-paera, han de ser completamente esfricas e iguales, y de las tres que se emplean en el juego de carambola una se pinta de rojo (mingo) y otra (blanca) se marca con un punto negro. La ter-cera (blanca) no requiere ninguna marca. Entre los juegos ms importantes fi guran el de carambola, el de palos y el de treinta y uno. En el de carambola, el objetivo que persigue el jugador es tocar con su bola las otras dos, procurando situarlas siempre de manera que al volver a ti rar pueda tocarlas de nuevo fcil-mente, pues mientras toca con la suya las otras dos, sigue tiran-do; si falla entra en juego el adversario. Los partidos de caram-bola pueden ser entre dos o ms personas agrupadas en dos o tres bandos. En el juego de palos, los cuales se colocan en el centro de la mesa, el objeto que persigue el jugador es hacer el mayor n-mero de tantos posible, dejando tapado al adversario; es decir que entre su bola y las otras se interpongan los palos para que no pueda tirar ms que por tabla.

Yo estaba seguro de que la mayora de la clase no saba lo que es una tabla o tablita, como le decimos los que s sabemos

En el juego de treinta y uno segua hablando nuestra compaera, los jugadores (que pueden ser hasta 16) se nume-ran para tirar, echando las bolas al azar. Estas bolas llevan un

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nmero del cual cada poseedor no da cuenta a sus contrarios para que ignoren los tantos que debe hacer hasta completar 31, pues el nmero de su bola equivale a tantos que se suman a los que haga en su tirada.

La verdad es que nunca haba odo hablar de este juego ni lo he visto jugar. Se poda haber ahorrado la descripcin, pens.

Termin?S, profesor.Bueno, levanten la mano los que entendieron.Esto fue, durante el curso, una de las pocas ocasiones en

que me sent realmente satisfecho de m, pues no slo iba a le-vantar la mano, sino que, adems de haber entendido, estaba seguro de que poda repetir la defi nicin y saba ms de lo que se haba dicho.

Pens entonces que debe ser muy satisfactorio entender siempre y ser buen estudiante.

Cmo? Slo tres entendieron. Bueno, ahora escuche-mos la otra defi nicin, la matemtica.

Profesor, yo saqu la defi nicin de un libro de matemti-cas de un ruso llamado Serge Tabachnikov donde dice Bue-no, a ver si est bien porque est escrito en ingls y tal vez haya palabras que no traduje bien: una mesa de billar es una varie-dad riemanniana M con frontera suave a pedazos. El sistema dinmico del billar en M est generado por el movimiento libre de un punto (llamado bola) donde se acumula la masa sujeto a la refl exin en la frontera. Esto quiere decir

En ese momento me dieron ganas de chifl ar como cuando en el futbol piden que se acabe un partido.

que un punto se mueve segn una geodsica en M con velocidad constante (digamos 1) hasta que golpea la frontera. En un punto suave de la frontera la bola de billar se refl eja de manera que la componente tangencial de su velocidad siga siendo la misma mientras que la componente normal cambia de signo

Otra vez no entend! Como cuando no estudio la leccin!

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en dimensin 2 esta colisin se describe con la bien conocida ley de la ptica geomtrica: el ngulo de incidencia es igual al ngulo de refl exin

Por fi n entend una frase completa y no palabras sueltas, aunque aqu slo se habla de una bola.

Listo, profesor.Bueno, bueno, muy interesanteYo estaba seguro de que ni siquiera el profesor haba enten-

dido. De repente, cuando se iba a hacer un silencio incmodo, un alumno interrumpi y con gran honradez dijo:

Yo sigo sin saber qu es el billar; no entend nada pero cuando era ms chico vi una pelcula: un pato daba una defi ni-cin ms clara; es decir, es una defi nicin patito pero ms fcil de entender.

La clase estall en carcajadas, rompiendo la tensin de lo incomprensible.

Silencio, por favor, ms seriedad.No, de verdad, profesor, djeme explicarlo en el pizarrn.De acuerdo.En la pelcula Donald en el pas de las matemticas [Do-

nald in Mathmagic Land ] una mesa de billar tambin se defi ne como la unin de dos cuadrados donde el rebote de la bola es tal que el ngulo de entrada (mientras hablaba, el compaero iba di-bujando la fi gura en el pizarrn) y el ngulo de salida son iguales, como lo indico aqu (fi gura ii.1).

Se pueden jugar distintos juegos como la carambola o el juego de palos, entre otros. Cuando hay hoyos en las esquinas y a la mitad de cada banda larga, el juego se llama pool o snooker.

El profesor sonri y pregunt:Est claro, entienden?S contest la clase al unsono.Bueno, y el dueo del taco que nos visit la semana pasa-

da no nos va a decir hoy algo sobre el billar?La cabeza me empez a dar vueltas y me vino a la mente

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una carambola que me acababan de ensear, as que, aunque por la nuca me cayeran goterones de sudor por no haber prepa-rado nada, me levant y me acerqu al pizarrn.

Estoy tratando de hacer una carambola de tres bandas con esta confi guracin (fi gura ii.2). Para eso tengo que usar efectos y pegarle a cierta altura a una de las bolas, adems de vislum-brar la geometra de la carambola no saba qu ms decir, as que se me ocurri ensearles los efectos.

Empecemos por los efectos pontifi qu. Una bola se puede representar como un disco donde el punto O es el punto ms cercano a nosotros usualmente lo mal llamamos centro, AB es el meridiano principal y CD es el ecuador. Adems, la l-nea puntea da representa una bola dentro de la bola de billar, que se puede ver tambin como una bola con el mismo centro que la bola original y cuyo radio es de dos tercios de la bola original (fi gura ii.3).

Un punto importante es el punto N que se encuentra so-bre el meridiano principal AB del radio de la bola por encima del centro. Al golpear la bola en la zona del anillo, resulta que la bola no se impulsa adecuadamente. El taco se barre, pues no gol-pea a la bola slidamente.

Figura ii.1

Entrada Salida

Si quieres aprender matemticas deberas jugar billar. Este juego no es de vagos. Quin dira que, al contrario, es ideal para comprenderde manera sencilla conceptos fundamentales de matemticas y fsica!

Carlos Bosch (coautor de Las matemticas: perejil de todas las salsas,publicado en esta misma coleccin) demuestra, con abundancia de ejemplos y mediante la resolucin de problemas geomtricos

y algebraicos, que el billar merece utilizarse como una ldicaherramienta de razonamiento.

El autor toma como punto de partida el regalo de un taco de billar para esbozar la historia de este juego y explicar sus nociones

bsicas y los detalles de su evolucin.

Carlos Bosch ha sido investigador en el Instituto de Matemticas de la UNAM y desde 1991es profesor en el itam; pertenece al Sistema Nacional de Investigadores y ha obtenido el

Premio Nacional de Divulgacin de la Ciencia en 1995, el premio Third World Network of

Scientific Organizations en 1998 y el Science Education Prize otorgado por la twas

Regional Office for Latin America and the Caribbean en 2008.

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L AC I E N C I A

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