EL INFINITO EN EL ÁLGEBRA Y LA ARITMÉTICA

SUCESIÓN Y SERIE• En la matemática podemos jugar con la infinitud considerando la

serie y la sucesión de números. La sucesión es una secuencia ordenada de elementos. La serie es la suma de toda esa secuencia. Pensemos en los números naturales.

• Sucesión: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,…• Serie: 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+…• Cuando la sucesión tiene infinitos elementos, la serie puede o no

puede ser infinita. En el primer caso, la serie sería divergente (es infinita o con un valor oscilante) y en el segundo caso, la serie sería convergente (seria finita). En el ejemplo anterior apreciamos que la serie divergente tendrá un valor infinito. Este es un resultado moderno. Pero la intuición antigua concebía que la suma de infinitos términos es también infinita. Al menos así lo atestiguan las paradojas de Zenón. Citaremos la paradoja de la dicotomía y luego la de Aquiles y la Tortuga.

PARADOJA DE ZENÓN• Paradoja de la dicotomía: Un atleta tiene que

llegar a B partiendo de A recorriendo L metros. Pero, para ello tendrá que avanzar la mitad de la distancia AB, es decir, L/2 metros. Luego, tendrá que avanzar la mitad de lo que le falta para terminar su carrera, es decir, L/4 metros. Este proceso seguirá al infinito. Así, debido a que el espacio es continuo es infinitamente divisible y, además, considerando que es imposible recorrer infinitos trayectos en un tiempo finito, estrictamente el atleta no puede llegar a B ni a ninguna parte. Nunca se mueve.

SOLUCIÓN

• Interpretaremos todas esas distancias como una sucesión infinita de cantidades. Como podemos percatarnos se asume que las series infinitas son divergentes. Por ello, lo primero que tenemos que criticar es el hecho de si todas las series de infinitos términos son también de valor infinito. Analicemos la siguiente serie:

• (1). S = L + L/2 +L/4 + L/8 +L/16 + … • (2). 2S = 2L + (L + L/2 +L/4 + L/8 +L/16 + … ) Multiplicando (1) por 2• (3). 2S = 2L + S De (1) y (2) por

Identidad• (4). S = 2L Restando S de (3)

SERIE CONVERGENTE• Estamos ante una serie convergente, es decir, tiene un valor finito. Notamos que los términos de la suma son cada vez más pequeños,

esa serie es decreciente. En cambio, en la serie de los números naturales los términos de la suma son cada vez más grandes, esa serie es creciente. Es posible que todas las series convergentes tengan términos decrecientes y que todas las series divergentes tengan términos crecientes. Sin embargo, ocurre que la siguiente serie que es decreciente, sin embargo, es divergente. Se trata de una serie armónica.

• (1). T(n) = 1 + 1/2 + 1/3+ 1/4 + 1/5 + 1/6 + … + 1/n + … • Agreguemos ciertas premisas• (2). 1/3 > 1/4 • (3). 1/4 = 1/4 • (4). 1/5 > 1/8 • (5). 1/6 > 1/8• (6). 1/7 > 1/8• (7) 1/8 = 1/8• A partir de estas premisas podemos deducir lo siguiente• (8). 1/3 + 1/4 > 1/4 + 1/4 Debido a (2) + (3) • (9). 1/3 + 1/4 > 1/2 De (8)• (10). 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 > 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 Debido a (4) + (5) + (6) + (7)• (11). 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 > 1/2 De (10)• (12). T(n) = 1 + 1/2 + (1/3+ 1/4) + (1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8) + (1/9 + … + 1/n + … Debido a (1) propiedad asociativa• (13). W = 1 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + … Por hipótesis• (14). W = De (13) por simple inspección• (15). T(n) > W De (9), (11), reemplazándolos en (12) y comparando con (13)• (16). T(n) > De (14) y (15)• Podemos concluir que T(n) diverge hacia el infinito. La moderna teoría de Límites y Sucesiones se ha construido en base a estas

investigaciones.

“PARADOJAS DEL INFINITO” - BOLZANO

• Dejemos que los matemáticos se encarguen de hallar las propiedades específicas de las series convergentes o divergentes, y sigamos escudriñando el infinito matemático:

• En 1851 se publicó “Las Paradojas del Infinito” de Bernard Bolzano. En esta obra analiza la siguiente serie:

• R = a –a + a –a + a –a +a - …• Agrupemos sus elementos de dos en dos. • R = (a-a)+(a-a)+(a-a)+(a-a)+…• R = 0 + 0 + 0 + … • R = 0• Obtenemos que la serie convergente es igual a “0”. Pero si los agrupamos de 2 en 2 a partir del

segundo término –a, llegamos a otros resultados• R = a -a + a -a + a -a + a - …• R = a - (a-a) - (a-a) - (a-a) - (a-a) - …• R = a - 0 - 0 - 0 - …• R = a• Ahora concluimos que la serie convergente es igual a “a”. Finalmente, podemos organizarla de otra

manera• R = a -a + a -a + a -a + a - …• R = a - (a -a + a -a + a - …)• R = a - R • R = a/2• He aquí , pues una serie infinita cuyo límite parece ser una de las 3 cantidades: 0, a ó a/2. (También

puede demostrarse que es indeterminado)

DIVISIÓN ALGEBRAICA

• Y la situación se complica si pasamos al álgebra. Recordemos la división de polinomios. Volvamos a la aritmética. Dividamos 1 entre 3 por el algoritmo de la división.

DIVISIÓN ALGEBRAICA• Lo que hacemos es poner un cero a la derecha del “1”.

Luego, multiplicamos la cifra 3 del cociente por el divisor, y el resultado lo restamos del dividendo. Hacemos este proceso hasta que el residuo sea menor que el divisor. Básicamente, el mismo proceso con ligeras diferencias sirve para la división de polinomios.

DIVISIÓN ALGEBRAICA• Tenemos entonces lo siguiente:• 1 / (1 + x) = 1 –x +x2 –x3 +x4 + …• Pero si hacemos que x=1, obtenemos que:• 1 / (1+1) = 1 – 1 + 1 – 1 + 1 - …• Es decir, que 1/2 = 1 – 1 + 1 – 1 + 1 - …• Además, por el mismo método obtenemos que:• 1 / (1 + x + x2) = 1 - x +x3 - x4 +x6 - x7 + …• 1 / (1 + x + x2 + x3) = 1 - x +x4 – x5 +x8 – x9 + …• 1 / (1 + x + x2 + x3 + x4) = 1 - x +x5 – x6 +x10 – x11 + …• Y haciendo x=1:• 1 / (1+1+1) = 1 – 1 + 1 – 1 + 1 - …• 1 / (1+1+1+1) = 1 – 1 + 1 – 1 + 1 - …• 1 / (1+1+1+1+1) = 1 – 1 + 1 – 1 + 1 - …• Obtenemos:• 1/3 = 1 – 1 + 1 – 1 + 1 - …• 1/4 = 1 – 1 + 1 – 1 + 1 - …• 1/5 = 1 – 1 + 1 – 1 + 1 - …• Bajo estas consideraciones demostraríamos que 1/2=1/3=1/4=… lo cual es absurdo.• También llegamos a similares resultados cuando usamos las dos siguientes series:• 1 / (1 + x) 2 = 1 –2x +3x2 –4x3 +5x4 + … (hagamos que x=-1) • 1 / (1 - x) = 1 +x +x2 +x3 +x4 + … (hagamos que x=2)

SOLUCIÓN• Debemos tratar de ver qué es lo que pasa. La dificultad

estriba en querer aplicar a las series infinitas, los procedimientos de la Aritmética finita. En la aritmética finita se pueden quitar y poner paréntesis a voluntad, agrupando los términos como se quiera. Es decir, se verifica que A + B +C = (A+B) + C = A + (B+C). Los resultados contradictorios que obtuvimos más arriba muestran que esta operación finita no se puede aplicar en términos generales a las series infinitas. Surge entonces la cuestión de considerar si es siempre posible alterar el orden y agrupar los términos de una serie infinita convergente, con la seguridad de no cambiar el límite. Pero este ya no es un problema filosófico sino matemático.

PARADOJA DE ZENÓN• Paradoja de Aquiles y la Tortuga. Aquiles

corredor ideal compite con una tortuga símbolo de la lentitud. La tortuga tiene cierta ventaja. Pero para que Aquiles alcance a la tortuga primero debe llegar al lugar en donde ha estado la tortuga. Pero cuando llegue a dicho lugar la tortuga aunque lenta habrá avanzado cierta distancia. Nuevamente, cuando Aquiles llegue adonde la tortuga ha estado, ella ya habrá avanzado otro poquito más. Si seguimos este proceso indefinidamente, concluiremos que Aquiles nunca alcanzará a la tortuga.

SOLUCIÓN• Supongamos que Aquiles tenga la velocidad de 10 metros por segundo y que la

tortuga solo tenga de velocidad 1 metro por segundo. La ventaja será de 10 metros. Entonces Aquiles recorre esos primeros 10 metros, pero la tortuga 1m. Aquiles recorre ese metro, pero la tortuga avanza 10 centímetros. Aquiles avanza esos 10 cm, pero la tortuga avanza 1 cm. Este proceso continúa indefinidamente. En total lo que Aquiles avanza es K.

• K = 10 + 1 + 1/10 + 1/100 + 1/1000 + … • La pregunta es ¿Es finita o infinita esta serie? • 10K = 100 + (10 + 1 + 1/10 + 1/100 + …)• 10K = 100 + K• K = 100/9 = 11, 1111…• Como podemos apreciar esta serie es convergente. El problema se ha solucionado.

Aquiles recorre esa cantidad de espacio y alcanza a la tortuga. La seudo-paradoja (como la llama Stahl ) se presenta porque, por un lado, Aquiles no alcanzaría a la tortuga, y por el otro, sí. Aquiles no alcanzaría a la tortuga, porque después de haber corrido 10 m, la tortuga ha avanzado 1 m, después de haber corrido 1m, la tortuga habrá avanzado 10 cm., etc. Sin embargo, vemos también que la puede alcanzar sin dificultad. Incluso se puede calcular que la debe alcanzar antes de los 12 m, precisamente a los 11, 111 … m, o sea a los m.

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SEUDO PARADOJA• La seudo-paradoja se origina, porque en lugar de tomar la suma entera, se

consideran los infinitos sumandos. (El número 11, 111 … ( , ) puede tratarse, al igual que cualquier otro número real, como la suma de infinitos sumandos, en este caso de: 10; 1; 0,1; 0, 01; 0, 001; …). Aquiles no puede recorrer en un tiempo finito uno por uno los infinitos segmentos correspondientes a los sumandos. En cambio, puede recorrer perfectamente en un tiempo finito el segmento que corresponde a la suma entera, y para alcanzar a la tortuga hará exactamente eso ¡Así no hay contradicción! Y el estado de shock en el que nos pretendió dejar esta paradoja desaparece. Lo que podemos concluir es que existe la creencia gratuita de que la suma de infinitos sumandos, todos números reales, no puede tener un valor finito. Aquiles corre tranquilamente sin preocuparse de los infinitos segmentos en que Zenón le fraccionó su recorrido; alcanzará a la tortuga a los , m. La oposición entre el pensamiento y la realidad, que Zenón trató en este caso no existe; sólo apareció una oposición entre el pensamiento proto-científico y el científico, pues en esa época aún no se desarrollaban suficientemente las bases para el cálculo por aproximación del valor de series convergentes de infinitos términos.