El modelo de Pólya centrado en resolución de problemas en ...
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Universidad de La Salle Universidad de La Salle Ciencia Unisalle Ciencia Unisalle Maestría en Docencia Facultad de Ciencias de la Educación 1-1-2007 El modelo de Pólya centrado en resolución de problemas en la El modelo de Pólya centrado en resolución de problemas en la interpretación y manejo de la integral definida. Un estudio interpretación y manejo de la integral definida. Un estudio realizado con estudiantes de ingeniería del grupo 07 de segundo realizado con estudiantes de ingeniería del grupo 07 de segundo semestre del año 2006 de la Universidad de La Salle semestre del año 2006 de la Universidad de La Salle Maribel Cortés Méndez Universidad de La Salle, Bogotá Nubia Galindo Patiño Universidad de La Salle, Bogotá Follow this and additional works at: https://ciencia.lasalle.edu.co/maest_docencia Citación recomendada Citación recomendada Cortés Méndez, M., & Galindo Patiño, N. (2007). El modelo de Pólya centrado en resolución de problemas en la interpretación y manejo de la integral definida. Un estudio realizado con estudiantes de ingeniería del grupo 07 de segundo semestre del año 2006 de la Universidad de La Salle. Retrieved from https://ciencia.lasalle.edu.co/maest_docencia/638 This Tesis de maestría is brought to you for free and open access by the Facultad de Ciencias de la Educación at Ciencia Unisalle. It has been accepted for inclusion in Maestría en Docencia by an authorized administrator of Ciencia Unisalle. For more information, please contact [email protected].
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Universidad de La Salle Universidad de La Salle
Ciencia Unisalle Ciencia Unisalle
Maestría en Docencia Facultad de Ciencias de la Educación
1-1-2007
El modelo de Pólya centrado en resolución de problemas en la El modelo de Pólya centrado en resolución de problemas en la
interpretación y manejo de la integral definida. Un estudio interpretación y manejo de la integral definida. Un estudio
realizado con estudiantes de ingeniería del grupo 07 de segundo realizado con estudiantes de ingeniería del grupo 07 de segundo
semestre del año 2006 de la Universidad de La Salle semestre del año 2006 de la Universidad de La Salle
Maribel Cortés Méndez Universidad de La Salle, Bogotá
Nubia Galindo Patiño Universidad de La Salle, Bogotá
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Citación recomendada Citación recomendada Cortés Méndez, M., & Galindo Patiño, N. (2007). El modelo de Pólya centrado en resolución de problemas en la interpretación y manejo de la integral definida. Un estudio realizado con estudiantes de ingeniería del grupo 07 de segundo semestre del año 2006 de la Universidad de La Salle. Retrieved from https://ciencia.lasalle.edu.co/maest_docencia/638
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EL MODELO DE PÓLYA CENTRADO EN RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
EN LA INTERPRETACIÓN Y MANEJO DE LA INTEGRAL DEFINIDA
Un estudio realizado con estudiantes de Ingeniería del Grupo 07 de segundo
semestre del año 2006 de la Universidad de la Salle.
Maribel Cortés Méndez y Nubia Galindo Patiño
UNIVERSIDAD DE LA SALLE
PROGRAMA DE MAESTRÍA EN DOCENCIA
BOGOTA D.C.
2007
EL MODELO DE PÓLYA CENTRADO EN RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
EN LA INTERPRETACIÓN Y MANEJO DE LA INTEGRAL DEFINIDA
Un estudio realizado con estudiantes de ingeniería del grupo 07 del segundo ciclo
del año 2006 de la Universidad de la Salle.
Maribel Cortés Méndez y Nubia Galindo Patiño
UNIVERSIDAD DE LA SALLE
PROGRAMA DE MAESTRÍA EN DOCENCIA
BOGOTA D.C.
2007
EL MODELO DE PÓLYA CENTRADO EN RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
EN LA INTERPRETACIÓN Y MANEJO DE LA INTEGRAL DEFINIDA
Un estudio realizado con estudiantes de ingeniería del grupo 07 del segundo ciclo
del año 2006 de la Universidad de la Salle.
Maribel Cortés Méndez y Nubia Galindo Patiño
Trabajo de grado para optar el título de Maestría en Docencia
Director:
Paulo Emilio Oviedo
UNIVERSIDAD DE LA SALLE
PROGRAMA DE MAESTRÍA EN DOCENCIA
BOGOTA D.C.
2007
____________________________________
DIRECTOR
____________________________________
JURADO
____________________________________
JURADO
_____________________________________
JURADO
Bogotá, D. C. Enero de 2007
A NUESTRAS FAMILIAS
AGRADECIMIENTOS
Las autoras expresamos nuestros más sinceros agradecimientos a:
Doctor Paulo Emilio Oviedo, Director de la Investigación, por sus acertadas
orientaciones, guía y acompañamiento durante todo el desarrollo de este trabajo.
Doctor Fernando Vásquez, Director de la Maestría en Docencia de la Universidad
De La Salle, por su valioso apoyo y oportuna colaboración.
CONTENIDO
RESUMEN ………………………………………………… ……………9 INTRODUCCIÓN ………………………………………………………….10
JUSTIFICACIÓN …………………………………………………………..12
1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA ………………………………..16
2. OBJETIVOS …………………………………………………………….19
3. MARCO TEORICO ……………………………………………………20
3.1 ¿Qué es la resolución de Problemas?...............................................20 3.2 Del Ejercicio al Problema………………………………………….…25 3.3 Rasgos que caracterizan a los buenos Problemas………………………………………………………………......28 3.4 Ejercicio…………………………………...…………………………...29 3.5 La Resolución de Problemas en la Educación Matemática…..... 30 3.6 Una aproximación al concepto Problema………………………… 30 3.7 Factores que intervienen en el proceso de Resolución de Problemas Matemáticos…………………………… ………………….. 33 3.8 La Enseñanza de la Matemática desde una concepción basada en la Resolución de Problemas…………………………………………….. 37 4. METODOLOGIA ………………………………………………………..40
4.1 Enfocque de Investigación : Cualitativa……………………………. 40 4.2 Diseño: Investigación - Acción ………………………………………41
4.2.1. Características de la Investigación – Acción……… …….44
4.2.2 Proceso………………………………………………………..46
4.2.3 Instrumentos de Recogida de datos…………………… ..…48
4.2.4. Proceso llevado a cabo para el desarrollo del trabajo….. . 49 5. CONCLUSIONES ……………………………………………………....59
6. BIBLIOGRAFIA …………………………………………………………62
7. ANEXOS ………………………………………………………………..66
RESUMEN
En los cursos de matemáticas se ha venido encontrando un desfase entre el
manejo algorítmico y el conceptual aplicado a la solución de problemas de
situaciones reales, por tal motivo, se hace necesario diseñar estrategias didácticas
que permitan cerrar esta brecha y así mejorar el desempeño del estudiante y
futuro profesional. Bajo esta perspectiva, con el modelo de Polya centrado en la
resolución de problemas, el enfoque de la metodología cualitativa, el diseño de la
metodología investigación acción y con el apoyo del profesor, se busca
desarrollar en el aula de clase, una actividad que mejore la interpretación y manejo
de la Integral Definida, mediante la aplicación del Modelo de Polya centrado en la
resolución de problemas de la vida real.
INTRODUCCIÓN
En el documento del Ministerio de Educación Nacional, en la serie de los
lineamientos curriculares en matemáticas, se afirma que: “La actividad de resolver
problemas ha sido considerada como un elemento importante en el desarrollo de
las matemáticas y en el estudio del conocimiento matemático” y en diferentes
propuestas curriculares recientes se considera que la resolución de problemas
debe ser eje central del currículo de matemáticas, es decir, un objetivo primario de
la enseñanza y parte integral de la actividad matemática; Pero esto no significa
que se constituya en un tópico aparte del currículo sino que se deberá permearlo
en su totalidad y proveer un contexto en el cual los conceptos y herramientas sean
aprendidos.
En la medida en que los estudiantes van resolviendo problemas van ganando
confianza en el uso de las matemáticas, van desarrollando una mente inquisitiva y
perseverante, van aumentando su capacidad de comunicarse matemáticamente y
su capacidad para utilizar procesos de pensamiento de más alto nivel.
Analizando los anteriores planteamientos, surge la idea de llevar a cabo un
estudio sobre resolución de problemas de contexto real con estudiantes de
segundo semestre de ingeniería, grupo 07 de la Universidad de la Salle, que en el
segundo ciclo del año 2006 pertenecían al espacio académico de Cálculo Integral,
con el fin de motivar y despertar su interés para enfrentar situaciones problémicas
, mediante la aplicación del Modelo de Polya centrado en la “Resolución de
Problemas”, como estrategia didáctica en la modelación y solución de problemas
que involucran el concepto de integral definida.
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Se eligió, dentro de los métodos de investigación cualitativa, la investigación-
acción, por considerarlo como una alternativa metodológica que permite la
producción de resultados como efecto de la interacción continua entre procesos de
reflexión, observación, diseño, puesta en escena, análisis y teorización de los
eventos educativos, la que permite optimizar los procesos de enseñanza –
aprendizaje; con base en este planteamiento, se tuvo en cuenta un ciclo del
enfoque planteado por Carr y Kemmis, en sus cuatro aspectos: planeación,
acción, observación y reflexión, los cuales al final del estudio se contrastaron con
los que se desarrollan en el Método Magistral, bajo la perspectiva de que la
solución de problemas es una interacción con situaciones problémicas con fines
pedagógicos, se pudo establecer que en su estructura objetiva, la resolución de
problemas da lugar a establecer relaciones entre los conocimientos en uso y los
conocimientos con los que el problema es resuelto, además, permite desarrollar
habilidad para comunicarse matemáticamente, argumentar los procesos
realizados y mejora la interpretación y manejo de la integral definida
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JUSTIFICACIÓN
La educación matemática debería proveer a los estudiantes de una concepción de
la matemática, de un sentido de la disciplina (su alcance, su poder, sus usos y su
historia) y de una aproximación al hacer matemático, en el nivel adecuado a sus
posibilidades, desde esta perspectiva, la enseñanza debería ser encarada como
una comprensión conceptual más que como un mero desarrollo mecánico de
habilidades que desarrolle en los estudiantes la habilidad de aplicar los contenidos
que han aprendido con flexibilidad y criterio. Debería también proveer, la
oportunidad de explicar un amplio rango de problemas y situaciones
problemáticas, que vayan desde los ejercicios hasta los problemas abiertos y
situaciones de exploración, ayudando a desarrollar “un punto de vista matemático”
(Shoenfeld,1992) caracterizado por la habilidad de analizar y comprender, de
percibir estructuras y relaciones estructurales, de expresarse oralmente y por
escrito con argumentos claros y coherentes, es decir, debería preparar a los
estudiantes para convertirse, lo más posible, en aprendices independientes,
intérpretes y usuarios de la matemática
Las investigaciones que han reconocido la resolución de problemas como una
actividad muy importante para aprender matemáticas, proponen considerar en el
currículo escolar de matemáticas aspectos como los siguientes:
• Formulación de problemas a partir de situaciones dentro y fuera de las
matemáticas.
• Desarrollo y aplicación de diversas estrategias para resolver problemas.
• Verificación e interpretación de resultados a la luz del problema original.
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Generalización de soluciones y estrategias para nuevas situaciones de problemas.
• Adquisición de confianza en el uso significativo de las matemáticas (NCTM,
1989: 71). “
Para resolver problemas no existen fórmulas mágicas; no hay un conjunto de
procedimientos o métodos que aplicándolos lleven necesariamente a la resolución
del problema (aún en el caso de que tenga solución). Pero de ahí no hay que
sacar en consecuencia, una apreciación ampliamente difundida en la sociedad: la
única manera de resolver un problema es por “ideas luminosas”, que se tienen o
no se tienen.
Es evidente que hay personas que tienen más capacidad para resolver problemas
que otras de su misma edad y formación parecida, que suelen ser las que aplican
(generalmente de una manera inconsciente) toda una serie de métodos y
mecanismos que suelen resultar especialmente indicados para abordar los
problemas, son los procesos heurísticos (operaciones mentales) que se
manifiestan típicamente útiles para resolver problemas. El conocimiento y la
práctica de los mismos es justamente el objeto de la resolución de problemas y
hace que sea una facultad entrenable y que se puede mejorar con la práctica, pero
para ello hay que conocer los procesos y aplicarlos de una forma planificada, con
método.
Un estudiante cuyos estudios incluyan cierto grado de matemáticas tiene también
una particular oportunidad, la cual se pierde, claro está, si ve a las matemáticas
como la materia de la que tiene que presentar un examen final y de la cual no
volverá a ocuparse una vez pasado éste. La oportunidad puede perderse incluso
si el estudiante tiene un talento natural por las matemáticas, ya que él, como
cualquier otro, debe descubrir sus capacidades y aficiones. Habiendo gustado el
placer de las matemáticas, no las olvidará fácilmente, presentándose entonces
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una buena oportunidad para que las matemáticas adquieran un sentido para él, ya
sean como pasatiempo o como herramienta de profesión.
No todos los alumnos llegan a comprender los contenidos matemáticos fijados en
los curriculums oficiales de la enseñanza obligatoria: unos no pueden y a otros no
les interesa en lo más mínimo, pero a todos les será necesario un cierto dominio
en la comprensión de órdenes escritas y una cierta fluidez en la utilización de
conceptos básicos tan necesarios para su futura ocupación laboral como para su
vida.
El estudiante dedica muy poco tiempo a la resolución de un problema. La dificultad
no conlleva significativamente más tiempo de dedicación a resolverlo. En parte
ello es consecuencia de la falta de hábitos en esforzarse por conseguir las propias
metas. Es obvio que no disfrutan ante los retos intelectuales sino que, no están
dispuestos a “malgastar” el tiempo pensando, sería conveniente intentar romper
este círculo vicioso y hacerles disfrutar de los resultados a través del esfuerzo y
dedicación y que mejor escenario que el aula de clase.
Una parte importante de los errores en la resolución de problemas son las
dificultades de comprensión lectora. La tendencia de operar todos los datos
presentados, venga o no a cuento, certifica esta falta de comprensión global.
El aprovechamiento de la actividad mental como elemento dinamizador de la
práctica docente ha de tomar cuerpo a medida que el sistema educativo se
generaliza y da paso a otras formas de organización del aula, en esta orientación,
la construcción de conocimientos no se plantea como un cuestionamiento de la
ideas de los alumnos, sino como resultado de las investigaciones realizadas para
resolver problemas, lo cual constituye una forma de trabajo en el aula que
favorece la expresión verbal y/o escrita de sus propias ideas y su confrontación
con las de los otros, se pretende así, crear un ambiente que favorezca
simultáneamente la acción Profesor – Estudiante mediante la resolución de
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problemas. Pero, esto por supuesto, exige por parte del profesor una cuidadosa
planificación de los problemas a desarrollar según los contenidos programados y
de la programación de la clase en cuanto se refiere al tiempo destinado en el aula
para que los alumnos piensen, argumenten y refuten; esto conlleva a diseñar
espacios académicos en el área de matemáticas, que permitan tomar como eje
principal el Modelo de Pólya centrado en la resolución de problemas de la vida real
para el desarrollo de sus contenidos.
Con el fin de que los estudiantes de segundo semestre del grupo 07 de ingeniería
de la Universidad de la Salle, además de desarrollar competencias, mejoren la
interpretación y manejo de la integral definida, se hace necesario cambiar el
Método Habitual de la enseñanza del cálculo integral y específicamente de la
integral definida por el Modelo de Polya centrado en la resolución de problemas
de la vida real, como estrategia didáctica que favorezca el desarrollo de la
interpretación, la escritura, la argumentación y proposición, es decir, que propicie
el desarrollo integral del estudiante, como lo establece la Misión de la Universidad
de La Salle y lo convierte así, en un profesional competente en el mundo actual.
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1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
En el aprendizaje de las matemáticas, la utilización de la resolución de problemas
tiene gran incidencia debido a que las características y propósito del problema
propuesto generan en los estudiantes procesos de argumentación que facilitan la
construcción de conocimientos matemáticos y para los estudiantes se vuelve más
interesante y dinámico éste proceso que el desarrollado en forma tradicional, en el
que el profesor desarrolla todo el tema en forma magistral, resuelve ejemplos y
luego propone ejercicios, dejando de lado la aplicación del tema a la solución de
problemas de la vida real y sin dar la oportunidad al estudiante para que haciendo
uso de sus preconceptos y de los nuevos conceptos, genere y resuelva
situaciones problémicas.
Los resultados de diversos estudios realizados y el desarrollado en la actividad de
clase en la universidad han permitido determinar las dificultades de los
estudiantes al resolver problemas; Entre ellas se pueden mencionar las siguientes:
• Poco dominio de procedimientos heurísticos, generales y específicos, para
resolver problemas.
• Bajo nivel de análisis o análisis superficial de la situación problemática
planteada en el enunciado del problema.
• Dificultad para planificar el proceso de resolución del problema:
representación mental del enunciado del problema, aislamiento de la
información relevante, organización de la información, planificación de
• Estrategias de resolución, aplicación de procedimientos adecuados,
verificación de la solución, revisión y supervisión de todo el proceso de
resolución.
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• Ausencia de conocimiento metacognoscitivo, lo cual le impide tener
conciencia de los procesos y estrategias que utiliza para la resolución del
problema y corregirlos en caso de ser necesario.
• Tendencia a operar directamente sobre los datos explicitados en el
enunciado del problema.
• Dificultad para encontrar los datos intermedios, no explícitos en el
enunciado del problema.
• Tendencia a mantenerse dentro de lo que exige el problema, sin ir más allá
de su planteamiento.
• Bajos niveles afectivos y motivacionales hacia la matemática y hacia la
resolución de problemas.
• Desconocimiento acerca de los tipos de conocimiento involucrados en la
resolución de un problema.
Estos hallazgos han constituido el centro de la preocupación por parte de todos los
involucrados en la enseñanza de la matemática y se ha concluido que ellos son la
causa, en primer lugar, del fracaso consistente y generalizado por parte de los
estudiantes en la adquisición de las habilidades matemáticas requeridas en los
diferentes niveles del sistema educativo; en segundo lugar, de la dificultad
evidente para realizar todas aquellas actividades que impliquen procesos de
naturaleza matemática y/o algebraica; en tercer lugar, del desconocimiento de la
importancia de la matemática para la vida cotidiana y otras disciplinas; y
finalmente, del desconocimiento de que la matemática no sólo constituye un área
específica del conocimiento sino que está vinculada con la estructura de
pensamiento de los individuos.
El área de la resolución de problemas, específicamente en el campo de la
matemática, ha sido objeto de interés por las diferentes corrientes del
pensamiento que han dominado la teoría y la práctica educativa. Durante muchos
años, el enfoque asociacionista enfatizó los principios generales del aprendizaje,
particularmente la ley del efecto y la ley del ejercicio. Tanto la ejercitación como la
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práctica han tenido un papel fundamental en la historia de la enseñanza de la
matemática, especialmente, en la aritmética. En un momento fue el medio
principal de instrucción, sin embargo, hoy en día, ambas forman parte del currículo
de matemática, aunque acompañadas de experiencias concretas y explicaciones
de los principios matemáticos subyacentes.
Desde el punto de vista del enfoque cognoscitivo, sin embargo, se ha enfatizado el
papel del razonamiento que permite al sujeto que resuelve el problema,
comprenderlo, diseñar un plan, llevarlo a cabo y supervisarlo (Mayer, 1992). Este
enfoque, según Schoenfeld (1985), representa un cambio de énfasis en la
enseñanza de la matemática ya que en vez de preguntar “¿cuáles procedimientos
debe dominar el aprendiz?”, la pregunta debe ser: “¿qué significa pensar
matemáticamente?”. En vez de enfatizarse el producto de la resolución del
problema (obtener un resultado correcto), este enfoque sugiere enfatizar el
proceso de resolución (qué sucede en la mente del estudiante
Cuando resuelve un problema), en este sentido la pregunta de investigación es:
¿La utilización del modelo de Polya centrado en la resolución
de problemas mejora la interpretación y el manejo de la
integral definida en estudiantes de segundo semestre de
ingeniería?
19
2. OBJETIVOS
Utilizar el modelo de Polya de resolución de problemas
como estrategia didáctica para mejorar la interpretación
de la integral definida
Evaluar los resultados de la aplicación del modelo
mediante la resolución de problemas de la vida real
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3. MARCO TEORICO
Al dilucidar la problemática y adentrarnos en los procesos de resolución de
problemas matemáticos resulta de utilidad revisar la contribución que hace Polya,
sus aportes apuntan al establecimiento de principios que favorecen la resolución
de problemas matemáticos como una forma del arte de descubrir e inventar en
matemáticas, igualmente Schoenfeld propone una secuencia de acciones que,
puede establecer una relación holística entre el problema, su resolución y las
estrategias que puede emplear el sujeto para comprenderlo. Desde esta
perspectiva los procesos propuestos por Schoenfeld pueden llegar a relacionarse
con las heurísticas – ya planteadas por Polya- más frecuentes en la resolución de
Problemas: reconocer, describir la información, utilizar representaciones de
diverso orden, preguntarse y lanzar conjeturas y comprobar posibles soluciones
confrontándolas con los datos del problema.
3.1 ¿QUE ES LA RESOLUCION DE PROBLEMAS?
El término RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS ha sido usado con diversos
significados, que van desde trabajar con ejercicios rutinarios hasta hacer
matemática profesionalmente.
En los últimos años, se ha estudiado ampliamente la resolución de Problemas
como fuente de aprendizaje de las Matemáticas y desarrollador de competencias,
donde las características de la población estudiantil actual han
21
motivado a planificar e investigar las diversas formas de conceptualizar y manejar
los procesos matemáticos por medios más prácticos y aplicados a situaciones de
la vida real. Cómo resultado a ésta inquietud, se han desarrollado estudios, los
cuales seguidamente se comentaran a grandes rasgos, en torno a la resolución de
problemas y por supuesto se han trazado políticas educativas cuyo interés final ha
sido el mejoramiento del nivel académico en los estudiantes.
La estrategia de resolución de problemas implica crear un contexto donde los
datos guarden cierta coherencia, lo cual la hace más significativa que la aplicación
mecánica de un algoritmo.
En forma sencilla podría decirse que la resolución de problemas consiste en hallar
una respuesta adecuada a las exigencias planteadas, pero realmente la solución
de un problema no debe verse como un logro final, sino como todo un complejo
proceso de búsqueda, encuentros, avances y retrocesos en el trabajo mental,
debe implicar un análisis de la situación ante la cual se halla, en la elaboración de
hipótesis y la formulación de conjeturas; en el descubrimiento y selección de
posibilidades, en la puesta en práctica de métodos de solución, entre otros.
Las situaciones problemáticas son corrientes en la vida de las personas, los
estudiantes se ven enfrentados frecuentemente a resolver problemas, pero ¿qué
es un problema? (Polya, en su libro Mathematical Discovery - capitulo 5), afirma
que un problema significa buscar de forma consciente una acción apropiada para
lograr un objetivo claramente concebido pero no alcanzable de forma inmediata.
Otra definición, parecida a la de Polya es la de Krulik y Rudnik: Un problema es
una situación, cuantitativa o de otra clase, a la que se enfrenta un individuo o un
grupo, que requiere solución y para la cual no se vislumbra un medio o camino
aparente y obvio que conduzca a la misma (Krulik y Rudnik, 1980).
De ambas definiciones se infiere que un problema debe satisfacer los tres
requisitos siguientes:
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1. Aceptación. El individuo o grupo, debe aceptar el problema, debe existir un
compromiso formal, que puede ser debido a motivaciones tanto externas
como internas.
2. Bloqueo. Los intentos iniciales no dan fruto, las técnicas habituales de
abordar el problema no funcionan
3. Exploración. El compromiso personal o del grupo llevan a la exploración de
nuevos métodos para atacar el problema.
R. Borasi (1986), en uno de sus primeros intentos en clarificar la noción de
problema originada por su interés en mejorar la enseñanza de la resolución de
problemas, utiliza los siguientes elementos estructurales para una tipología de
problemas:
1. El contexto del problema, la situación en la cual se enmarca el
problema mismo.
2. La formulación del problema, definición explícita de la tarea a realizar.
3. El conjunto de soluciones que pueden considerarse como aceptables para
el problema.
4. El método de aproximación que podría usarse para alcanzar la solución.
Tales elementos estructurales pueden dar origen a la siguiente clasificación:
TIPO CONTEXTO FORMULACION SOLUCIONES METODO
Ejercicio Inexistente Única y explicita Única y exacta Combinación de
algoritmos
conocidos
Problema de
texto
Explícito en el
texto
Única y explícita Única y exacta
Combinación de
algoritmos
conocidos
Puzzle Explícito en el
texto
Única y explícita Única y exacta Elaboración de
un nuevo
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algoritmo. Acto
de ingenio
Prueba de una
conjetura
En el texto y sólo
de forma parcial
Única y explícita Por lo general
única, pero no
necesariamente
Exploración del
contexto,
reformulación,
elaboración de
nuevos
algoritmos
Problemas de
la vida real
Sólo de forma
parcial en el texto
Parcialmente dada.
Algunas alternativas
posibles
Muchas posibles,
de forma
aproximada
Exploración del
contexto,
reformulación,
creación de un
modelo
Situación
problemática
Sólo parcial en el
texto
Implícita, se sugieren
varias, problemática
Varias. Puede
darse una explícita
Exploración del
contexto,
reformulación,
plantear el
problema
Situación Sólo parcial en el
texto
Inexistente, ni
siquiera implícita
Creación del
problema
Formulación del
problema
A partir de tal estudio, Borasi considera que, para ser un buen resolutor de
problemas, un alumno debería intentar resolver no sólo muchos problemas, sino
una gran variedad de los mismos, además, tan importante como resolver
problemas es acostumbrarse a plantear problemas a partir de situaciones que
requieren una formulación precisa de los mismos.
Sin embargo, estas concepciones al igual que el término “resolución de
problemas” varían ampliamente. Thompson (1992) señala que existe una visión
de la matemática como una disciplina caracterizada por resultados precisos y
procedimientos infalibles cuyos elementos básicos son las operaciones
aritméticas, los procedimientos algebraicos los términos geométricos y los
24
teoremas; a saber matemática es equivalente a ser hábil en desarrollar
procedimientos e identificar los conceptos básicos de la disciplina.
La concepción de enseñanza de la matemática que se desprende de esta visión
conduce a una educación que pone el énfasis en la manipulación de símbolos
cuyo significado raramente es comprendido, Hersh (1988) afirma que “La
concepción sobre la matemática afecta la propia concepción sobre cómo debe ser
enseñada. La manera de enseñar es un indicador sobre lo que uno cree que es
esencial en ella… el punto entonces no es ¿cuál es la mejor manera de enseñar?
Sino, ¿de qué se trata la matemática?
Una visión alternativa acerca del significado y la naturaleza de la matemática
consiste en considerarla como una construcción social que incluye conjeturas,
pruebas y refutaciones, cuyos resultados deben ser juzgados en relación al
ambiente social y cultural. La idea que subyace a esta visión es que “saber
matemática” es “hacer matemática”. Lo que caracteriza a la matemática es
precisamente su hacer, sus procesos creativos y generativos. La idea de la
enseñanza de la matemática que surge de esta concepción es que los
estudiantes deben comprometerse en actividades con sentido, originadas a partir
de situaciones problemáticas, estas situaciones requieren de un pensamiento
creativo, que permita conjeturar y aplicar información, descubrir, inventar y
comunicar ideas, así como probar esas ideas a través de la reflexión crítica y la
argumentación. Esta visión de la educación matemática esta en agudo contraste
con la de Thompson, en la cual el conocimiento y manejo de conceptos y
procedimientos es el objetivo ultimo de la instrucción.
El énfasis en la resolución de problemas como método integral para la enseñanza
de la matemática, se apoya en la concepción que Ernest (1988) sintetiza así: “hay
una visión de la matemática (conducida por la resolución de problemas) como un
campo de la creación y la invención humana en continua expansión, en el cual los
patrones son generados y luego convertidos en conocimiento. Así, la matemática
25
es un proceso de conjeturas y acercamientos al conocimiento. La matemática no
es un producto terminado, porque sus resultados permanecen abiertos a revisión”
3.2 DEL EJERCICIO AL PROBLEMA
En los problemas, aunque no es sencillo y quizás parezca superfluo, para
entenderlos es necesario delimitarlos, así sea a grandes rasgos, pero, ¿qué es lo
que entendemos por problema? La palabra "problema" se usa en contextos
diferentes y con diversos matices, trataremos de clarificar a qué nos referimos:
Aunque las definiciones de los diccionarios generales no aportan mucha claridad,
nos acerca más al sentido de qué es un problema, la expresión "problema de
letra" que los alumnos emplean con frecuencia y son aquellos que hacen
referencia a contextos ajenos a las matemáticas propiamente dichas, es decir, los
que llevan dentro una cierta "historia" que se pueden contar, los que abren las
ventanas del aula y hacen un puente (aunque sea frágil) entre las matemáticas y
la vida real, los que consideramos como la matemática aplicada y funcional.
Pero no es el único aspecto a destacar, hay que caracterizar los "problemas" por
oposición a los ejercicios (algo bien conocido por los alumnos porque constituye el
núcleo fundamental de su quehacer matemático).
En los ejercicios se puede decidir con rapidez si se saben resolver o no los
problemas; se trata de aplicar un algoritmo, que pueden conocer o ignorar y una
vez localizado, se aplica y basta. Justamente, la proliferación de ejercicios en
clase de matemáticas ha desarrollado y arraigado en los alumnos un síndrome
generalizado, en el cual el alumno se mecaniza y se centra en la resolución de
ejercicios más no de problemas ó si desarrollan algún problema lo realizan en
base al contexto que manejan común a ellos como son los problemas de áreas y
volúmenes en el caso de las ingenierías; en cuanto se les plantea una tarea a
realizar, tras una somera reflexión, contestan: "lo sé" o "no lo sé", según hayan
26
localizado o no el algoritmo apropiado y ahí se acaban, por lo general, sus
reflexiones.
En los problemas no es evidente el camino a seguir; incluso puede haber varios y
desde luego no está codificado ni enseñado previamente; hay que apelar a
conocimientos dispersos, y no siempre de matemáticas; hay que relacionar
saberes procedentes de campos diferentes, hay que poner a punto relaciones
nuevas.
Por tanto, un "problema" sería una pregunta a la que no es posible contestar por
aplicación directa de ningún resultado conocido con anterioridad, sino que para
resolverla es preciso poner en juego conocimientos diversos, matemáticos o no, y
buscar relaciones nuevas entre ellos. Pero además tiene que ser una cuestión que
nos interese, que nos provoque las ganas de resolverla, una tarea a la que
estemos dispuestos a dedicarle tiempo y esfuerzos. Como consecuencia de todo
ello, una vez resuelta nos proporciona una sensación considerable de placer; e
incluso, sin haber acabado el proceso, sin haber logrado la solución, también en el
proceso de búsqueda, en los avances que vamos realizando, encontraremos una
componente placentera.
Aunque los rasgos fundamentales de lo que entendemos por problema están
descritos en el párrafo anterior, todavía creemos conveniente añadir algunos
comentarios adicionales sobre los mismos:
1. Los algoritmos que se suelen explicar en clase, o que aparecen en los
libros de texto, resuelven grupos enteros de problemas, lo que pasa es que
si no situamos previamente los problemas a los que responden, estamos
dando la respuesta antes de que exista la pregunta y en ese contexto no es
difícil de adivinar el poco interés con que se recibe la misma.
2. Las situaciones existen en la realidad, los problemas los alumbramos
nosotros y pasan a ese estatus cuando los asumimos como un reto
27
personal y decidimos en consecuencia dedicarle tiempo y esfuerzos a
procurar resolverlos.
3. La resolución de un problema añade algo a lo que ya conocíamos; nos
proporciona relaciones nuevas entre lo que ya sabíamos o nos aporta otros
puntos de vista de situaciones ya conocidas. Suponen el aporte de la
chispa de la creatividad, aquella que aparece de cuando en cuando, y que
logra, por utilizar la expresión de Koestler (1983), que dos y dos son cinco.
4. Esta resolución consiste en un conjunto de actividades mentales y
conductuales, a la vez que implica también factores de naturaleza
cognoscitiva, afectiva y motivacional; por ejemplo, si en un problema dado
debemos transformar mentalmente metros en centímetros, esta actividad
sería de tipo cognoscitiva, si se nos pregunta cuán seguros estamos de que
nuestra solución al problema sea correcta, tal actividad sería de tipo
afectiva, mientras que resolver el problema, con papel y lápiz, siguiendo un
algoritmo hasta alcanzar su solución, podría servir para ilustrar una
actividad de tipo conductual. A pesar de que estos tres tipos de factores
están involucrados en la actividad de resolución de problemas, la
investigación realizada en el área ha centrado su atención, básicamente, en
los factores cognoscitivos involucrados en la resolución.
Es interesante resaltar una vez más, la fuerte componente de compromiso
personal en los problemas, y la importancia que tiene la manera en que se nos
presenten para que los asumamos como tales; todo esto es de particular interés
en la enseñanza, porque de cómo se plantea la cuestión, el contexto en que se
sitúe y de la "tecnología" expositiva utilizada, depende en un porcentaje muy
importante, el que un problema pase a ser considerado como tal por nuestros
alumnos.
28
3.3 RASGOS QUE CARACTERIZAN A LOS BUENOS PROBLEMAS
Cuando se quiere plantear un problema, hay que considerar qué tan bueno es
para conseguir el objetivo propuesto, a continuación reseñamos y comentamos los
rasgos más importantes que caracterizan a los buenos problemas (Grupo Cero,
1984):
1. No son cuestiones con trampas ni acertijos: Es importante hacer esta
distinción en la enseñanza porque los alumnos, cuando se les plantean
problemas, tienden a pensar que si no hay (o al menos ellos no lo
recuerdan directamente) un algoritmo para abordarlos ni se les ocurre
ningún procedimiento, seguro que lo que sucede es que tiene que haber
algún tipo de truco o de "magia". La práctica sistemática de la solución de
problemas hace que esa percepción habitual vaya cambiando.
2. Pueden o no tener aplicaciones, pero el interés es por ellos mismos: Así
como hay problemas cuya importancia proviene de que tienen un campo de
aplicaciones (y sin descartar que los problemas las tengan), también los
hay en que el interés es por el propio proceso para su desarrollo; pero a
pesar de ello, los buenos problemas suelen llevar a desarrollar procesos
que, más tarde, se pueden aplicar a muchos otros campos.
3. Representan un desafío a las cualidades deseables en un matemático.
Parece obvio para todo el mundo que existen unas cualidades que
distinguen a las personas que resuelven problemas con facilidad, aunque si
se tienen que señalar cuáles son, es bien difícil hacerlo y se tiende a pensar
que coinciden en líneas generales con las cualidades propias de los
matemáticos.
4. Una vez resueltos llama la atención proponerlos a otras personas para que
ellas intenten resolverlos: Pasa como con los chistes que nos gustan, que
los contamos enseguida a otros, y así se van formando cadenas que
explican su rápida difusión. Lo mismo sucede con los buenos problemas.
29
5. Parecen a primera vista algo abordable: Inicialmente, puede pasar que
alguna solución parcial sea sencilla o incluso inmediata. Desde un punto de
vista psicológico, sólo nos planteamos aquello que somos capaces (o al
menos eso creemos) de resolver. Por eso, si un problema sólo lo es para
nosotros cuando lo aceptamos como tal, difícil es que nos "embarquemos"
en una aventura que nos parezca superior a nuestras fuerzas.
6. Proporcionan al resolverlos un tipo de placer difícil de explicar pero
agradable de experimentar: La componente de placer es fundamental en
todo desafío intelectual, si se quiere que sea asumido con gusto y de
manera duradera; Incluso, en la enseñanza, la incorporación de esos
factores a la práctica diaria pueden inducir la inclinación de los estudios
futuros y no hay que olvidar que las matemáticas son de las materias que
no dejan indiferente, se las quiere o se las odia (como aparece en
7. múltiples estudios). Por ello más vale que introduzcamos refuerzos
positivos para hacer que aumenten los que las aprecian.
3.4 EJERCICIO Considerando que el problema matemático es una actividad propia de la disciplina,
frente a la cual el individuo debe actuar e ir en busca de formas que le permitan
abordarlo para encontrar las posibles soluciones. La palabra Problema, en sentido
relativo, se considera como una tarea que presenta dificultades intelectuales ante
la cual el sujeto busca diversas formas de solución. Por lo tanto, una actividad
para la cual previamente se cuente con un esquema de solución o un algoritmo
para ser aplicado, no puede considerarse como un problema sino como un
ejercicio.
30
3.5 LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS EN LA EDUCACIÓN MATEMÁTICA.
A partir de lo anterior existe un acuerdo general en aceptar la idea de que el
objetivo primario de la educación matemática debería ser que los alumnos
aprendan matemática a partir de la resolución de problemas, sin embargo, dadas
las múltiples interpretaciones del término, este objetivo difícilmente es claro.
Cabe aclarar que también ha existido cierta polémica sobre la diferencia que hay
entre un ejercicio y un autentico problema, lo que para algunos es un problema por
falta de conocimientos específicos sobre el dominio de métodos algoritmos de
solución, para los que sí los tienen es un ejercicio, pero la diferencia básica entre
el concepto “problema” y “ejercicio” se centra en que una cosa es aplicar un
algoritmo de forma más o menos mecánica, evitando las dificultades que
introduce la aplicación de reglas cada vez más complejas, y otra, resolver un
problema, dar una explicación coherente a un conjunto de datos relacionados
dentro del contexto. La respuesta suele ser única, pero la estrategia resolutoria
esta determinada por factores madurativos o de otro tipo. La estrategia de
resolución de problemas es mucho más rica que la aplicación mecánica de un
algoritmo, pues implica crear un contexto donde los datos guarden una cierta
coherencia. Desde este análisis se han de establecer jerarquías: ver qué datos
son prioritarios, rechazar los elementos distorsionadotes, escoger las operaciones
que los relacionan, estimar el rango de la respuesta, etc.
3.6 UNA APROXIMACIÓN AL CONCEPTO PROBLEMA
Según Stanic y Kilpatrick (1988) “ Los problemas han ocupado un lugar central en
el currículum matemático escolar desde la antigüedad, pero la resolución de
problemas, no, sólo recientemente los que enseñan matemática han aceptado la
idea de que el desarrollo de la habilidad para resolver problemas merece una
31
atención especial. El término RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS se ha convertido
en un slogan que acompañó diferentes concepciones sobre qué es la educación,
qué es la escuela, qué es la matemática y por qué debemos enseñar matemática
en general y resolución de problemas en particular”. Según este autor, la
utilización de los términos “problema” y “resolución de problemas” ha tenido
múltiples y a veces contradictorios significados a través de los años, como se
describe a continuación:
Primer significado: resolver problemas como contexto
Desde esta concepción los problemas son utilizados como vehículos al servicio de
otros objetivos curriculares, jugando cinco roles principales:
Como una justificación para enseñar matemática: al menos algunos
problemas relacionados con experiencias de la vida cotidiana son incluidos
en la enseñanza para mostrar el valor de la matemática
Para proveer especial motivación a ciertos temas: Los problemas son
frecuentemente usados para introducir temas, con el convencimiento
implícito o explícito de que favorecerán el aprendizaje de un determinado
contenido
Como actividad recreativa: muestran que la matemática puede ser divertida
y que hay usos entretenidos para los conocimientos matemáticos.
Como medio para desarrollar nuevas habilidades: se cree que,
cuidadosamente secuenciados, los problemas pueden proporcionar a los
estudiantes, nuevas habilidades y proveer el contexto para discusiones
relacionadas con algún tema.
Como práctica: la mayoría de las tareas matemáticas en la escuela caen en
esta categoría, se muestra una técnica a los estudiantes y luego se
presentan problemas de práctica hasta que se ha dominado la técnica.
32
Sin embargo, en cualquiera de estas cinco formas, los problemas son usados
como medios para algunas de las metas señaladas arriba., es decir, la resolución
de problemas no es vista como una meta en sí misma, sino como un facilitador del
logro de otros objetivos y tiene una interpretación mínima: resolver las tareas que
han sido propuestas.
Segundo significado: resolver problemas como habilidad.
La mayoría de los desarrollos curriculares que ha habido bajo el término
resolución de problemas a partir de la década de los 80 son de este tipo.
La resolución de problemas es frecuentemente vista como una de tantas
habilidades a ser enseñadas, esto es, resolver problemas no rutinarios es
caracterizado como una habilidad a nivel superior, a ser adquirida luego de haber
resuelto problemas rutinarios (habilidad que a su vez , es adquirida a partir del
aprendizaje de conceptos y habilidades matemáticas básicas).
Es importante señalar que, aún cuando en esta segunda interpretación del
término los problemas son vistos como una habilidad en sí misma, las
concepciones pedagógicas y epistemológicas que subyacen son precisamente las
mismas que las señaladas en la interpretación anterior: las técnicas de resolución
de problemas son enseñadas como un contenido, con problemas de práctica
relacionados, para que las técnicas puedan ser dominadas
Tercer significado: resolver problemas es hacer matemática
Hay un punto de vista particularmente matemático acerca del rol que los
problemas juegan en la vida de aquellos que hacen matemática, consiste en creer
que el trabajo de los matemáticos es resolver problemas y que la matemática
realmente consiste en problemas y soluciones.
El matemático más conocido que sostiene esta idea de la actividad matemática es
Polya con su trabajo a través del libro “How to solve it” (1954), en el cual introduce
33
el término “heurística” para describir el arte de la resolución de problemas,
concepto que desarrolla luego en “Matemática y razonamiento plausible” (1957) y
“Mathematical Discovery” (1981).
La conceptualización de Polya sobre la matemática como una actividad se
evidencia en la siguiente cita: “para un matemático, que es activo en la
investigación, la matemática puede aparecer algunas veces como un juego de
imaginación: hay que imaginar un teorema matemático antes que probarlo; hay
que imaginar la idea de la prueba antes de ponerla en práctica. Los aspectos
matemáticos son primero imaginados y luego probados, y casi todos los pasajes
de este libro están destinados a mostrar que éste es el procedimiento normal. Si el
aprendizaje de la matemática tiene algo que ver con el descubrimiento en
matemática, a los estudiantes se les debe brindar alguna oportunidad de resolver
problemas en los que primero imaginen y luego prueben alguna cuestión
matemática adecuada a su nivel” (Polya 1954).
Para Polya, la pedagogía y la epistemología de la matemática están
estrechamente relacionadas y considera que los estudiantes tienen que adquirir el
sentido de la matemática como una actividad, es decir, sus experiencias con la
matemática deben ser consistentes con la forma en que la matemática es hecha.
3.7 FACTORES QUE INTERVIENEN EN EL PROCESO DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS MATEMÁTICOS.
Hasta el momento no hay ningún marco explicativo completo sobre cómo se
interrelacionan los variados aspectos del pensamiento matemático, en este
contexto, parece haber un acuerdo general sobre la importancia de estos cinco
aspectos (Schoenfeld, 1992).
34
1. El conocimiento de base (los recursos matemáticos)
Para entender el comportamiento individual de un sujeto puesto ante una
situación matemática (ya sea de interpretación o de resolución de
problemas), se necesita saber cuáles son las herramientas matemáticas
que tiene a su disposición. ¿Qué información relevante para la situación
matemática o problema tiene a mano? ¿Cómo accede a esa información y
cómo la utiliza?
En el análisis de rendimiento en situaciones de resolución de problemas,
los aspectos centrales a investigar generalmente se relacionan con lo que
el individuo sabe y cómo usa ese conocimiento, cuáles son las opciones
que tiene a su disposición y por qué utiliza o descarta alguna de ellas.
Desde el punto de vista del observador, entonces, el punto principal es
tratar de delinear el conocimiento de base de los sujetos que se enfrentan a
la situación de resolución de problemas. Es importante señalar que en
estos contextos, el conocimiento de base pueda contener información
incorrecta. Las personas arrastran sus concepciones previas o sus
limitaciones conceptuales a la resolución de problemas y esas son las
herramientas con las que cuentan.
Los aspectos del conocimiento relevantes para el rendimiento en resolución
de problemas incluyen: el conocimiento intuitivo e informal sobre el dominio
del problema, los hechos, las definiciones y los procedimientos
algorítmicos, los procedimientos rutinarios, las competencias relevantes y el
conocimiento acerca de las reglas del lenguaje en ese dominio (Shoenfeld,
1985).
En resumen, los hallazgos en la investigación señalan la importancia y la
influencia del conocimiento de base (también llamado recursos) en la
resolución de problemas matemáticos. Estos esquemas de conocimiento
son el vocabulario y las bases para el rendimiento en situaciones rutinarias
y no rutinarias de resolución.
35
2. Las estrategias de resolución de problemas (heurísticas)
Las discusiones sobre las estrategias (o heurísticas) de resolución de
problemas en matemática comienzan con Polya, quien plantea cuatro
etapas:
PRIMERO: COMPRENDER EL PROBLEMA. ¿Cuál es la incógnita?
¿Cuáles son los datos? ¿Cuáles son las condiciones? ¿Es posible
satisfacerlas?¿son suficientes para determinar la incógnita, o no lo son?
¿Son irrelevantes, o contradictorias?
SEGUNDO: DISEÑAR UN PLAN. ¿Se conoce un problema relacionado?
¿Se puede replantear el problema? ¿Se puede convertir en un problema
más simple? ¿Se pueden introducir elementos auxiliares?
TERCERO: PONERLO EN PRACTICA. Aplicar el plan, controlar cada paso,
comprobar que son correctos, probar que son correctos.
CUARTO: EXAMINAR LA SOLUCIÓN. ¿Se puede chequear el resultado?
¿El argumento? ¿Podría haberse resuelto de otra manera? ¿Se pueden
usar el resultado o el método para otros problemas?.
3. Los aspectos metacognitivos
En el curso de una actividad intelectual, como por ejemplo, la resolución de
problemas, en algún momento se hace un análisis de la marcha del
proceso. Monitorear y controlar el progreso de estas actividades
intelectuales son, desde el punto de vista de la psicología cognitiva, los
componentes de la metacognición.
Hallazgos de investigación en educación matemática señalan que el
desarrollo de la autorregulación en temas complejos es difícil y
frecuentemente implica modificaciones de conducta (desaprender
conductas inapropiadas de control aprendidas antes). Estos cambios
pueden ser realizados pero requieren largos períodos de tiempo.
36
Los aspectos metacognitivos se relacionan, con la manera en que se
seleccionan y despliegan los recursos matemáticos y las heurísticas de que
se dispone.
4. Los sistemas de creencias.
Las creencias, concebidas como la concepción individual y los sentimientos
que modelan las formas en que el individuo conceptualiza y actúa en
relación con la matemática, comenzaron a ocupar el centro de la escena en
la investigación en educación matemática, a partir de la última década,
sobre lo anterior, Lampert (1992) señala:
“Comúnmente, la matemática es asociada con la certeza; saber
matemática y ser capaz de obtener la respuesta correcta rápidamente van
juntas. Estos presupuestos culturales, son modelados por la experiencia
escolar, en la cual hacer matemática significa seguir las reglas propuestas
por el docente; saber matemática significa recordar y aplicar la regla
correcta cuando el docente hace una pregunta o propone una tarea; y la”
verdad” matemática es determinada cuando la respuesta es ratificada por el
docente. Las creencias sobre cómo hacer matemática y sobre lo que
significa saber matemática en la escuela son adquiridas a través de años de
mirar, escuchar y practicar”
Las creencias pueden ser consideradas la zona oscura o de transición entre
los aspectos cognitivos y afectivos. Thompson (1992), reseño los estudios
que documentan cómo los docentes difieren ampliamente en sus creencias
sobre la naturaleza y el sentido de la matemática, así como en su visión
sobre cuáles son los objetivos más importantes de los programas escolares
de matemática, el rol de los docentes y los estudiantes en las clases de
matemática, los materiales de aprendizaje más apropiados, los
procedimientos de evaluación, etc. Estas investigaciones también han
mostrado que existen relaciones entre las creencias y concepciones de los
docentes de matemáticas por una parte y sus visiones sobre el aprendizaje
y la enseñanza de la matemática y su propia práctica docente, por otra.
37
5. La comunidad de práctica
Un gran cuerpo de literatura emergente en los últimos años, considera al
aprendizaje matemático como una actividad inherente social (tanto como
cognitiva) y como una actividad esencialmente constructiva, en lugar de
receptiva.
Hacia mediados de los 80, se produce una extensión de la noción de
constructivismo desde la esfera puramente cognitiva, donde fue hecha la
mayor parte de la investigación, hacia la esfera social. Muchas líneas de
investigación cognitiva, se orientan hacia la hipótesis de que desarrollamos
hábitos y habilidades de interpretación y construcción de significados, a
través de un proceso más concebido como de socialización que como de
instrucción.
El aprendizaje es culturalmente modelado y definido: Las personas
desarrollan su comprensión sobre cualquier actividad a partir de su
participación en lo que se ha dado en llamar la “comunidad de práctica”,
dentro de la cual esa actividad es realizada. Las lecciones que los alumnos
aprendan acerca de la matemática en el aula son principalmente culturales
y se extienden más allá del espectro de los conceptos y procedimientos
matemáticos que se enseñan: lo que se piensa que la matemática es,
determinará los entornos matemáticos que se crearán y aún la clase de
comprensión matemática que se desarrollará.
Se observa actualmente una tendencia a realizar investigaciones en
educación matemática más centradas en entornos de aprendizaje
naturales.
3.8 LA ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA DESDE UNA CONCEPCIÓN BASADA EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS.
Enseñar a partir de la resolución de problemas, tal como lo plantea Polya, se
vuelve difícil para los docentes por tres razones diferentes:
38
1. Matemáticamente, porque los docentes deben poder percibir las
implicaciones de las diferentes aproximaciones que realizan los alumnos,
darse cuenta si pueden ser fructíferos o no y qué podrían hacer en lugar de
eso.
2. Pedagógicamente, porque el docente debe decidir cuándo intervenir, qué
sugerencias ayudarán a los estudiantes, sin impedir que la resolución siga
quedando en sus manos, y realizar esto para cada alumno o grupo de
alumnos de la clase.
3. Personalmente, porque el docente estará a menudo en la posición (inusual
e incómoda para muchos profesores) de no saber trabajar bien sin saber
todas las respuestas, requiere experiencia, confianza y autoestima.
Por otra parte, distintos autores señalan que existe una urgente necesidad de
proveer a los docentes con mayor información acerca de “cómo enseñar a través
de la resolución de problemas”, destacándose tres aspectos principales a
profundizar:
1. El rol del docente.
2. Lo que realmente ocurre en las clases centradas en la resolución de
problemas
3. La investigación debe centrarse en los grupos y las clases como un todo y
no en los individuos aislados.
Es importante destacar el legado que dejó Pólya, el cual enriqueció a las
matemáticas con un invaluable aporte en la enseñanza de estrategias para
resolver problemas, estos son:
Diez Mandamientos de Pólya:
1.- Interésese en su materia.
2.- Conozca su materia.
3.- Trate de leer las caras de sus estudiantes; trate de ver sus expectativas y
dificultades; póngase usted mismo en el lugar de ellos.
39
4.- Tenga en cuenta que la mejor manera de aprender algo es descubriéndolo por
uno mismo.
5.- De a sus estudiantes no sólo información, sino el conocimiento de cómo
hacerlo, promueva actitudes mentales y el hábito del trabajo metódico
6.- Permítales aprender a conjeturar.
7.- Permítales aprender a comprobar.
8.- Advierta que los rasgos del problema que tiene a la mano pueden ser útiles en
la solución de problemas futuros: trate de sacar a flote el patrón general que yace
bajo la presente situación concreta.
9.- No muestre todo el desarrollo inicialmente: deje que sus estudiantes hagan sus
conjeturas antes y encuentren por ellos mismos las soluciones.
10.- Sugiérales procedimientos; no que los acepten a la fuerza.
Hay que pensar que no basta con conocer técnicas de resolución de problemas,
se pueden conocer muchos métodos pero no cuál aplicar en un caso concreto.
Por lo tanto hay que enseñar también a los alumnos a utilizar los instrumentos que
conoce, con lo que nos encontramos en un nivel metacognitivo, que es donde
parece que se sitúa la diferencia entre quienes resuelven bien problemas y los
demás.
40
4. METODOLOGIA
4.1 ENFOQUE DE INVESTIGACIÓN: Cualitativa Sobre métodos cualitativos existe mucha literatura y gran parte de ella hace
referencia a la educación, algunos de estos autores son: Glasery Strauss (1967);
Lincolyn Guba (1985); Tayloyr Bodgan( 1984); Goetz y LeCompte( 1988); Ruiz
labuénaga y Ispizua (1989); Eisner( 1991); Eisner y Peshkin( 1990); Denzin y
Lincoln( 1994)., en términos generales se puede afirmar que los puntos
esenciales que caracterizan el enfoque cualitativo son los siguientes:
• Se enmarca en el paradigma interpretativo
• Se percibe la realidad educativa como algo que se construye en las
personas que directa o indirectamente están implicadas en la misma
• La finalidad es conocer e interpretar los significados de algunos fenómenos
que ocurren en situaciones de aprendizaje desde el punto de vista de los
sujetos implicados
En lo que hace referencia al desarrollo del presente trabajo, hay que precisar que
las siguientes características lo enmarcan en un enfoque de investigación
cualitativa:
• El mundo cotidiano y la vida ordinaria es el marco en el que se plantean los
problemas planteados para el estudio
• Da especial importancia a la observación de los casos concretos, en cuanto
al comportamiento de los estudiantes en las actividades desarrolladas
• Los estudiantes se interesan por el desarrollo de las actividades
• Es de tipo inductivo, por lo que la teoría se elabora principalmente a partir
de los datos
41
• Es un proceso cíclico de planteamiento de conjeturas, recogida de datos,
verificación y refinamiento de la teoría.
4.2 DISEÑO: Investigación - Acción
La exigencia social de responder a una enseñanza de calidad, exige a los
profesores un análisis más riguroso de su práctica docente, para tal fin se propone
el modelo de Investigación – Acción porque ofrece la posibilidad de profundizar en
la enseñanza, como una actividad que se realiza diariamente en el aula superando
la rutina y, además, da un carácter educativo a la investigación al integrar el
conocimiento y la acción mediante la relación teoría y practica. La investigación acción es una forma de entender la enseñanza, no sólo de
investigar sobre ella. La investigación – acción supone entender la enseñanza
como un proceso de investigación, un proceso de continua búsqueda. Conlleva
entender el oficio docente, integrando la reflexión y el trabajo intelectual en el
análisis de las experiencias que se realizan, como un elemento esencial de lo que
constituye la propia actividad educativa. Los problemas guían la acción, pero lo
fundamental en la investigación – acción es la exploración reflexiva que el
profesional hace de su practica, no tanto por su contribución a la resolución de
problemas, como por su capacidad para que cada profesional reflexione sobre su
propia práctica, la planifique y sea capaz de introducir mejoras progresivas. En
general, la investigación – acción constituye una vía de reflexiones sistemáticas
sobre la práctica con el fin de optimizar los procesos de enseñanza - aprendizaje.
La investigación - acción se revela como uno de los modelos de investigación más
adecuados para fomentar la calidad de la enseñanza e impulsar la figura del
profesional investigador, reflexivo y en formación permanente (Rincón 1997)
Entre los diversos campos de aplicación de la investigación – acción en
educaciones puede destacar la aplicación para la evaluación de centros,
aprendizaje, instituciones, etc. Vale la pena citar una frase de Sthenhouse (1984)
42
“Lo deseable en la innovación educativa no consiste en que perfeccionemos
tácticas para hacer progresar nuestra causa, sino en que mejoremos nuestra
capacidad de someter a crítica nuestra práctica a la luz de nuestros conocimientos
y nuestros conocimientos a la luz de nuestra práctica”
Esta metodología, es considerada como una vía para el cambio (Bartolomé Pina,
1992), tiene como fin último mejorar la realidad vivida, busca evaluar para cambiar
la realidad desde la realidad misma (Kemmis & MacTaggart, 1988, Kemmis,
1988). Muchas acepciones han sido propuestas para la investigación – acción, desde lo
social, lo profesional y lo educativo. Para Elliot (1990), principal representante de la investigación acción, “es el estudio
de una situación social con miras a mejorar la calidad de la acción dentro de ella”.
Los profesionales la llevan a cabo tratando de mejorar su comprensión de los
acontecimientos, las situaciones y los problemas para aumentar la efectividad de
su práctica; desde un enfoque interpretativo “El propósito de la investigación –
acción consiste en profundizarla comprensión del profesor (diagnóstico) de su
problema. Por tanto, adopta una postura exploratoria frente a cualesquiera
definiciones iniciales de su propia situación que el profesor pueda mantener. La
investigación acción interpreta lo que ocurre desde el punto de vista de quienes
actúan e interactúan en la situación problema, por ejemplo, profesores y alumnos,
profesores y director”. (Elliot, 1993).
Entre de los representantes de la investigación – acción se pueden citar los
siguientes:
• El primero es el trabajo de Kurt Lewin (1946, 1952). Aunque la idea de
investigación – acción ya la habían utilizado otros autores anteriormente,
fue Lewin, en los años 40, en Estados Unidos, quien le dio entidad al
intentar establecer una forma de investigación que no se limitara, según
su propia expresión, a producir libros, sino que integrara la
43
experimentación científica con la acción social. Definió el trabajo de
investigación – acción como un proceso cíclico de exploración, actuación
y valoración de resultados, es decir, un proceso orientado al cambio
social, caracterizado por una activa y democrática participación en la toma
de decisiones. En 1952 en sus trabajos iniciales comparó la afectividad de
las conferencias, la enseñanza individualizada y la toma de decisiones en
grupo, los resultados sobre este cambio de actitudes, condujo a la
adopción de la investigación – acción en el campo educativo (Corey,
1949), pero el interés por la misma no fue sostenido, el trabajo de
Stenhouse (1975) lo reinstaló y favoreció una amplia adopción en el área
de la educación, este autor avanzo en la idea de concebir los docentes
como investigadores
• Stephen Kemmis junto con Wilfred Carr y el equipo de la Universidad de
Deakin, en Australia, desde comienzos de los años 80, buscan una
reconceptualización de la investigación - acción. Consideran que ésta
no puede entenderse como un proceso de transformación de las
prácticas individuales del profesorado, sino como un proceso de cambio
social que se emprende colectivamente.
• En un seminario sobre investigación – acción citado por Carr y Kemmis
(1988), se la definió como una expresión que describe una familia de
actividades vinculadas con el desarrollo del currículo, del profesional, del
mejoramiento de los programas y de las políticas y sistemas de
planeamiento. Estas actividades tienen en común: la identificación de
estrategias y de acciones planeadas, que son aplicadas y
sistemáticamente sometidas a observación, reflexión y cambio. Estos
autores han adoptado una base teórica a la investigación – acción,
apoyados en el concepto de ciencia crítica desarrollado por Habermas
(1972,1974, 1979), éste filósofo alemán, cree que los individuos
44
construyen el conocimiento en torno de un marco de referencia de tres
intereses constitutivos del conocimiento: técnicos, prácticos y
emancipativos. Habermas sostiene que los métodos de indagación y el
marco de referencia de Carr y Kemmis, no proporcionan una base
satisfactoria para la ciencia social, Carr y Kemmis argumentan que la
investigación educativa y el desarrollo del currículo necesitan ser
considerados como ciencia social. El interés constitutivo del conocimiento
emancipativo, está asociado con la ciencia social crítica, la cual está
interesada con el medio del poder.
• Los fines de la ciencia social crítica son: revelar mediante autoreflexión,
una toma de conciencia de cómo los objetivos y propósitos pueden ser
frustrados o distorsionados y sugerir cómo podrían ser eliminados los
impedimentos
4.2.1. CARACTERÍSTICAS DE LA INVESTIGACIÓN - ACCIÓN
La investigación – acción se presenta como una metodología de investigación
orientada hacia el cambio educativo y se caracteriza entre otras cosas por ser un
proceso que como señalan Kemmis y MacTaggart (1988);
1. Se construye desde y para la práctica
2. Pretende mejorar la práctica a través de su trasformación, al mismo
tiempo que procura comprenderla.
3. Demanda la participación de los sujetos en la mejora de sus propias
prácticas.
4. Exige una actuación grupal por la que los sujetos implicados colaboran
coordinadamente en todas las fases del proceso de investigación.
5. Implica la realización de análisis crítico de las situaciones y
45
6. Se configura como una espiral de ciclos de planificación, acción,
observación y reflexión.
Entre los puntos clave de la investigación – acción, Kemmis y Mctaggart (1988)
destacan la mejora de la educación mediante su cambio, y aprender a partir de la
consecuencias de los cambios y la planificación, acción, reflexión nos permite
dar una justificación razonada de nuestra labor educativa ante otras persona
porque podemos mostrar de qué modo las pruebas que hemos obtenido y la
reflexión crítica que hemos llevado a cabo nos han ayudado a crear una
argumentación desarrollada, comprobada y examinada críticamente a favor de lo
que hacemos.
A estas características debemos unir las siguientes:
1. No se puede reducir al aula, porque la práctica docente tampoco está
limitada ni reducida a ella. Investigar nos lleva a cambiar la forma de
entender la práctica: qué enseñamos?, qué cuestionamos? Qué nos
parece natural o inevitable? Y qué nos parece discutible y necesario
transformar? En qué nos sentimos comprometidos?
2. Es una forma por la cual el profesor puede reconstruir su conocimiento
profesional como parte del proceso de constitución de discursos públicos
unidos a la práctica y sus problemas y necesidades.
3. No puede ser nunca una tarea individual, debe ser, por el contrario, un
trabajo cooperativo. Cualquier tarea de investigación requiere un contexto
social de intercambio, discusión y contrastación. Este tipo de contextos es
el que hace posible la elaboración y reconstrucción de un conocimiento
profesional no privado y secreto, sino en diálogo con otras voces y con
otros conocimientos.
46
4. Como cualquier planteamiento que trate de defender una práctica docente
reflexiva, investigadora, de colaboración de colegas, necesita de unas
condiciones laborales que la hagan posible.
5. Es una tarea que consume tiempo, porque lo consume la discusión de
colegas, la planificación conjunta de tareas, la recogida de información y
su análisis.
4.2.2 PROCESO
De forma genérica se puede decir que la investigación acción se desarrolla
siguiendo un modelo en espiral en ciclos sucesivos, este proceso se resume
en cuatro fases:
• Desarrollo de un plan de acción, críticamente informado, para mejorar
aquello que está ocurriendo
• Actuación para poner el plan en práctica
• Observación de sus efectos en el contexto que tiene lugar
• La reflexión en torno a los efectos como base para una nueva
planificación
A continuación la siguiente cuadro muestra la comparación el Método Magistral
vs. Método de resolución de problemas de Pólya.
47
MÉTODO MAGISTRAL Vs. MÉTODO RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
CUADRO N.01
MAGISTRAL
Trabajo Individual
El profesor es activo en clase y
el estudiante es totalmente
pasivo. (Clase magistral)
El estudiante se limita a
escuchar y presenta poca o
ninguna participación en clase.
Se tiende a mecanizar los
procesos algorítmicos
Los estudiantes no sienten motivación
en el desarrollo de la clase más que la
nota.
NUEVO CENTRADO EN
RESOLUCION DE PROBLEMAS
Trabajo de equipo.
Tanto el Profesor como los
estudiantes son activos en
clase.
El estudiante habla más con el
profesor y participa en el
desarrollo de la clase.
Se analiza el proceso como tal
para llegar a una solución.
El desarrollo de la clase es más
amena y el estudiante
reflexiona sobre lo aprendido
anteriormente para el desarrollo
de los problemas aplicados
La siguiente figura muestra el ciclo generado en sus cuatro fases
48
MËTODO MAGISTRAL MÉTODO
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE
PÓLYA
FIGURA No. 1
4.2.3 INSTRUMENTOS RECOGIDA DE DATOS
La recogida de información se efectúa utilizando diversos instrumentos previstos
en el diseño de investigación del propio plan de trabajo. Para la recogida de
información se pueden utilizar tres instrumentos básicos: los estudios
cuantitativos, las observaciones y los diarios. La utilización de estos tres
instrumentos básicos no excluye el posible uso de otros complementarios y
habituales como el análisis de documentos, datos fotográficos, grabaciones en
audio y video (con sus correspondientes transcripciones), entrevistas, encuestas
de opinión, etc.
El grupo de estudio son estudiantes de Segundo semestre de Ingeniería de la
Universidad de la Salle.,
Muestra: 30 estudiantes de ingeniería segundo semestre ( 2006)
Edad: Oscila entre 17 y 20 años
EXPLICAR RESOLVER EJERCICIOS EJEMPLOS.
OBSERVACIÓN NO SE TIENE
ENCUENTA EN EL MAGISTRAL
PLANEACIÓN CLASE
MAGISTRAL
REFLEXIÓN SE REALIZA AL
FINAL DEL SEMESTRE Y
NO POR CLASE.
ACCION ORGANIZAR ORIENTAR
ACOMPAÑAR
OBSERVACIÓN Rol Docente
Rol Estudiante Testimonio
PLANEACION CLASE MODELO
POLYA
REFLECCIÓN TEORIA
PRÁCTICA MOTIVACIÓN.
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En el presente trabajo se estableció un paralelo entre el tipo de problemas de
aplicación de la integral definida, que el estudiante resuelve en un curso habitual
de Cálculo Integral y los problemas de aplicación de la integral definida con
contexto real que se resuelven utilizando el método de Polya; además se analizó
el proceso de solución que empleó el estudiante en cada una de sus dos fases:
ANTES: MÉTODO MAGISTRAL
DESPUES: MÉTODO DE POLYA.
4.2.4. PROCESO LLEVADO A CABO PARA EL DESARROLLO DEL TRABAJO
Para este estudio de investigación, de resolución de problemas en la
interpretación y manejo de la integral definida, se escogieron los estudiantes de
segundo semestre de ingeniería del grupo 07, durante el segundo ciclo del año
2006, formaban parte del espacio académico de Cálculo Integral de la Universidad
de la Salle y a los cuales se les aplico un ciclo de la metodología Investigación –
acción en sus cuatro fases de la siguiente manera:
1. PLANEACION: Se planearon cinco problemas reales, basados en el tema
de integral definida (Anexo 1). El día de la clase se organizaron grupos de
tres estudiantes y se les dio la opción de escoger tres de los cinco
problemas propuestos.
2. DESARROLLO DEL PLAN DE ACCIÓN: Los estudiantes recibieron
instrucciones precisas sobre la planeación de la clase y se les hizo entrega
del material correspondiente, incluyendo el método de los cuatro pasos de
George Pólya para la solución de problemas (Anexo ).
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Paso 1. Entender el problema:
¿Entiende todo lo que dice?
¿Puede replantear el problema en sus propias palabras?
¿Distingue cuáles son los datos?
¿Sabe a qué quiere llegar?
¿Hay suficiente información?
¿Hay información extraña?
¿Es este problema similar a algún otro que haya resuelto antes?
Paso 2 Configurar un Plan
¿Puede usar alguna de las siguientes estrategias? (una estrategia se define
como un artificio ingenioso que conduce a un final)
Ensayo y Error (Conjeturar y probar la conjetura)
Usar una variable
Buscar un Patrón
Hacer una lista
Resolver un problema similar más simple
Hacer una figura
Hacer un diagrama
Usar razonamiento directo
Usar razonamiento indirecto
Usar propiedades de los números
Resolver un problema equivalente
Resolver una ecuación
Buscar una fórmula
Usar un modelo
Usar análisis dimensional
Usar coordenadas
Usar simetría
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Paso 3: Ejecutar el Plan.
Implementar la o las estrategias que escogió hasta solucionar
completamente el problema o hasta que la misma acción le sugiera tomar
un nuevo curso.
Concédale un tiempo razonable para resolver el problema. Si no tiene éxito
solicite una sugerencia o haga el problema a un lado por un momento
No tenga miedo de volver a empezar.
Paso 4: Mirar hacia atrás
¿Es la solución correcta? ¿Su respuesta satisface lo establecido en el
problema?
¿Advierte una solución más sencilla?
¿Puede ver cómo extender su solución a un caso general?
Comúnmente los problemas se enuncian en palabras, ya sea oralmente o
en forma escrita. Así, para resolver un problema, uno traslada las palabras
a una forma equivalente del problema en la que se usan símbolos
matemáticos, resuelva esta forma equivalente
3. OBSERVACIÓN: Para el desarrollo de esta parte del ciclo se tuvo en
cuenta los siguientes puntos de vista:
Rol del docente: Al comienzo de la actividad, el docente tuvo una
participación activa, pero a medida que transcurría el tiempo el accionar del
docente se fue convirtiendo en pasivo, vale la pena precisar que siempre
hubo una interacción entre el profesor y cada uno de los grupos
conformados para desarrollar la actividad, el docente modifica su papel de
fuente del saber por el de facilitador y orientador del proceso de
aprendizaje. Su rol se podría sintetizar en: diseñador de ambientes de
aprendizaje, observador, orientador, evaluador de procesos y estrategias de
aprendizaje, investigador e innovador educativo
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Rol del estudiante: Durante toda la actividad el estudiante fue el principal
protagonista, su accionar fue activo en todo momento e hizo notar su
motivación por resolver los problemas planteados; algunos estudiantes
dentro del grupo se convirtieron en líderes y moderadores de las
discusiones que se generaron al interior de cada grupo.
Testimonios de los estudiantes: Al finalizar la prueba, se oriento a los
estudiantes para que en cada grupo se discutiera y respondiera la pregunta
¿QUÉ OPINAN DE LA ACTIVIDAD, CON RESPECTO A LA
RESOLUCION DE PROBLEMAS Y A LA SOLUCIÓN DE EJERCICIOS?
Los resultados por grupos se observan en los Anexos:
Además de este testimonio escrito, se hizo un registro en sonido de 20
minutos aproximadamente, en el cual se puede apreciar los momentos en
los que cada estudiante daba a conocer, ante el grupo, sus opiniones
acerca del problema y luego se generaba una polémica donde los unos
trataban de convencer a los otros, finalmente, el líder (sin que se nombrara
de común acuerdo) llevaba la vocería y decidía la forma de resolver el
problema. Algunos estudiantes reaccionaron desfavorablemente cuando se
les estaba grabando, en el sentido de que la intervención fue escasa y con
cierto grado de timidez en el lanzamiento de ideas que aportaran luces a la
solución del problema.
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ACTIVIDAD REALIZADA CON LOS ESTUDIANTES DE INGENIERÍA
2º SEMESTRE UNIVERSIDAD DE LA SALLE
RESOLUCION DE PROBLEMAS. (INVESTIGACIÓN – ACCIÓN)
CALCULO INTEGRAL
TEMA : “Integral Definida”.
El profesor hizo la presentación de la actividad a realizar por los estudiantes,
formando grupos de 3 – 4 estudiantes.
Se da inicio a la actividad, con seis grupos, los cuales de los ejercicios dados se
les da la opción de elegir 3 problemas de los 6 planteados, se observa que en la
mayoría de los grupos inicia la resolución de problemas sin leer completamente la
actividad.
OBSERVACIONES POR GRUPO.
GRUPO 1:
Grupo conformado por niñas, las cuales leen primero todos los problemas luego
seleccionan que problema desarrollar, se observa que las tres trabajan el
problema, en el planteamiento para la tasa de crecimiento piden aclaración de
la profesora, una de las estudiantes explica a las demás como podría solucionarse
uno de los problemas por sumatorias, tratando de evadir el planteamiento para la
integración.
GRUPO 2:
En este grupo los estudiantes discuten las diferentes formas de solucionar el
problema y buscan en sus apuntes problemas similares.
Solicitan la atención de la profesora 10 minutos despues de haber iniciado el
ejercicio.
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Se visualiza dinámica y participación de los tres estudiantes en la resolución de los
problemas.
Piden intervención del profesor en el problemas 1.
Participan los tres en la resolución de problemas, definen que les interesa saber
de cada problema- incógnitas – respuesta.
GRUPO 3:
Este grupo no acepta el seguir el taller bajo las indicaciones dadas, dan su opinión
de las diferentes formas de solucionarlo sin seguir exactamente la metodología de
Polya. Ellos ya tienen una forma de solucionar que es parecida a la establecida,
por esta razón no creen importante seguir el método dado.
Se observa mucha interacción entre ellos y discusión en el desarrollo de los
problemas, solicitan ayuda del profesor, que les proporciona información para el
desarrollo del problema.
GRUPO 4:
Este grupo solicita ayuda al profesor aproximadamente a los 15 minutos de haber
iniciado la actividad. para la aclaración en uno de los problemas.
Están solucionando el problema sin utilizar integración.
Solicitan aclaración de la proporcionalidad.
Uno de los estudiantes se acerca al grupo 3 a comparar procesos de desarrollo de
los problemas.
Pregunta el significado $ por año.
GRUPO 5:
Analizan de acuerdo a la función que le dieron como pueden solucionar la
pregunta.
GRUPO 6:
Desde el momento de la entrega de los problemas comienzan a desarrollarlo.
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Solicitan la aclaración del profesor en algunos temas de conceptos de semestres
anteriores.
OBSERVACIÓN GENERAL:
Se observa una interacción entre los estudiantes e interés por encontrar la
solución de los problemas, es interesante ver el entusiasmo con que los
estudiantes desarrollan los problemas, las discusiones y la defensa de sus puntos
de vista para la solución de los mismos.
La dinámica que se ante la resolución de los problemas en la cual se ve como se
enfrentan a situaciones diferentes de las vistas en clase y buscan las diferentes
formas de solucionarlos ( por integración, sumatorias, lógica etc.)
Los grupos interactúan con otros grupos, para ver los diferentes razonamientos.,
buscan solucionarlo bajo la menor intervención del profesor.
por grupo se observó:
Grupo 1 concentración, interés y motivación
Grupo 2. le faltó perseverancia , el nivel de razonamiento es medio-bajo poca
concentración.
Grupo 3 : Concentración, interés, motivación y perseverancia.
Grupo 4: Razonamiento bajo, si tiene perseverancia y concentración.
Grupo 5: Razonamiento y concentración pero poca perseverancia.
Grupo 6: Concentración, interés, motivación y perseverancia
Se observa que los estudiantes no saben interpretar los resultados obtenidos.
Para las conclusiones, se realizó una pregunta a los estudiantes que intervinieron
en la actividad:
¿QUÉ OPINION TIENE DE LA ACTIVIDAD CON RESPECTO A LA SOLUCION
DE PROBLEMAS Y LA SOLUCIÓN DE EJERCICIOS.?.
Las respuestas por grupos son:
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Grupo 1: “ Esta actividad debería hacerse más seguido y dentro del programa de
cálculo, porque realmente no es suficiente con saber hacer ejercicios, sino saber
aplicarlos a problemas de la vida real”
Grupo 2: “ Consideramos que por medio de la actividad hecha, los ejercicios
tienen una facilidad de solucionarlos más que los problemas, ya que en la solución
o en el planteamiento de problemas se pueden cometer más errores.”.
Grupo 3: “Estos problemas nos ayudan a adquirir experiencia para desarrollarlos
e ir aumentando nuestra capacidad de análisis y sirven para adquirir destreza
para solucionar problemas en la vida cotidiana.
En cuanto a la resolución de ejercicios, estos nos sirven para entrenarnos para
resolver ejercicios, problemas y demás, pero no son tan importantes como la
resolución de problemas.”.
Grupo 4: “ En la resolución de problemas, el análisis es más profundo ya que
tenemos que plantear las ecuaciones para resolver la incógnita, es decir, se
manifiesta la interpretación de más habilidades mentales.”.
Grupo 5: “ Es bueno ver ejercicios para aprender a solucionar lo básico pero
despues se debería enfocar en la aplicación de problemas.”.
Grupo 6 : “ Es importante la solución de ejercicios de igual forma que el
planteamiento de problemas, ya que si uno no sabe resolver un ejercicio no sabe
tampoco proponer, plantear y solucionar un problema que se puede presentar en
la vida cotidiana.”.
Esta fue la respuesta de los estudiantes frente a la resolución de problema
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4. REFLEXIÓN DEL ANÁLISIS DE LA OBSERVACIÓN
La preferencia que los estudiantes manifiestan con relación a la importancia
que se debe dar a la integración definida teoría – práctica mediante la
resolución de problemas, permite reflexionar sobre la práctica educativa
diaria en el aula de clase, donde los conceptos se transmiten como
información y quedan ahí, sin tener aplicabilidad en la vida real, mientras
que en el desarrollo de los contenidos por medio de la resolución de
problemas los estudiantes experimentan la potencia y utilidad de las
Matemáticas en el mundo que les rodea, y la importancia de la aplicabilidad
de las matemáticas para poder entender el comportamiento del mundo
real. También se puede evidenciar la motivación de los estudiantes por
resolver los problemas, así como, la interacción permanente entre ellos, lo
cual hace muy enriquecedora la actividad.
Es importante destacar que la selección de los problemas fue un poco
dispendiosa ya que la literatura es muy escasa en la aplicabilidad de la
integral definida en la vida real.
Desde la dimensión Cualitativa, se presenta a continuación la comparación
entre los docentes, y estudiantes frente a la metodología anterior La Magistral y la
del Método de Pólya, en la resolución de problemas.
En el siguiente cuadro se muestra el contraste de tendencias en las dos
fases:
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CUADRO N.02
En estas dos comparaciones antes y despues de aplicado el método de Pólya,
enfocado a la solución de problemas matemáticos, el accionar del docente cambia
de ser un transmisor del conocimiento a un facilitador y orientador del proceso de
aprendizaje.
ANTES DESPUES
DOCENTE ALUMNO TENDENCIA DOCENTE ALUMNO TENDENCI
A Explica, recomienda lecturas, organiza grupos de trabajo, establece criterios para las sustentaciones, pregunta, profundiza y orienta.
Con las explicaciones y orientaciones trabaja y expone los avances de su trabajo
Conductista. Equiparable a instruir, adiestrar para almacenar conocimientos
Organiza, orienta y acompaña el trabajo de los alumnos.
Reconoce y hace análisis, recoge información, construye explicaciones, emite hipótesis, hace propuestas y produce informes
Constructivista. Se propicia situaciones significativas a partir de las cuales los alumnos construyen su propio aprendizaje y desarrollan competencias investigativas
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5. CONCLUSIONES
Una de las mayores dificultades que enfrenta un estudiante del grupo 07 de
segundo semestre de Ingeniería de la Universidad de la Salle, que no esta
acostumbrado a solucionar problemas es al planteamiento del mismo. Si se trata
de un problema que en su enunciado presenta el planteamiento, no tiene
dificultad, pero cuando el estudiante tiene que realizar una buena lectura,
interiorizar la situación planteada, modelarla mediante una integral definida,
resolverla, verificar y ajustar la solución al contexto del problema, entonces se
convierte en una actividad frustrante y desmotivante, aunque para ellos es clara la
importancia de este manejo interpretativo y propositivo para su accionar con ( y
en) situaciones reales de su vida profesional
En la mayoría de los estudiantes las causas de este fracaso consistente y
generalizado se basan en la adquisición de las habilidades matemáticas
requeridas en los diferentes niveles del sistema educativo, en la dificultad evidente
para realizar todas aquellas actividades que impliquen procesos de naturaleza
matemática y/o algebraica, en el desconocimiento de la importancia de la
matemática para la vida cotidiana y su relación con otras disciplinas; y finalmente,
en el no reconocimiento de que la matemática no sólo constituye un área
específica del conocimiento sino que está vinculada con la estructura de
pensamiento de los individuos.
A continuación se precisan las conclusiones específicas correspondientes al
Modelo de Polya centrado en la resolución de problemas, en la interpretación y
manejo de la Integral Definida.
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Es una estrategia que genera creatividad intelectual en los estudiantes, se
presenta mayor interrelación entre los estudiantes e ingenio para solucionar los
problemas propuestos.
Utiliza la integral definida para modelar problemas de la vida diaria y la resuelve
correctamente., mediante el modelo de Pólya.
Permite reevaluar los preconceptos adquiridos hasta el momento en el desarrollo
de Problemas para el manejo de la Integral definida.
El profesor tiene la oportunidad de analizar, sobre las bases de los conceptos
adquiridos y sopesarlos con los logros propuestos para el futuro.
Activa el pensamiento y la acción del estudiante, lo que permite no ser usuario del
conocimiento sino buscarlo.
Fomenta los valores, como escuchar y respetar la opinión ajena.
Ayuda y Fortalece el desarrollo de las competencias interpretativa, argumentativa,
propositiva y comunicativa.
Fomenta el trabajo en equipo ya que genera actitud cooperativa.
Permite un continuo acercamiento Profesor-alumno convirtiendo más propicio el
ambiente del aula de clase para asimilar conceptos.
Los estudiantes reconocen la utilidad e importancia de la aplicación de las
matemáticas en el comportamiento del mundo real.
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Como estrategia didáctica activa el pensamiento y la acción del estudiante, lo que
permite no ser usuario del conocimiento sino más bien buscarlo.
Como estrategia pedagógica el modelo de Pólya, para la resolución de problemas
mejora la actitud del estudiante frente a las matemáticas, este método es más
motivante para el estudiante en comparación con el método que llamamos método
Magistral por la actitud del docente habitualmente en el contexto universitario.
62
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NCTM
66
7. ANEXOS
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ANTES: MODELO MAGISTRAL
Prueba realizada en forma habitual en las clases magistrales
de matemática.
68
69
70
DESPUES:
Prueba realizada bajo los lineamientos del Modelo de Pólya
en La Resolución de Problemas.
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72
73
74
75
