EL MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS: AVANCES … los recursos de la computación para ... matemáticas...
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1
EL MEL MÉÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS:TODO DE ELEMENTOS FINITOS:
AVANCES RECIENTES AVANCES RECIENTES
ISMAEL HERRERA REVILLA (SNI)PREMIO NACIONAL DE CIENCIAS
INVESTIGADOR NACIONAL DE EXCELENCIA
Instituto de Geofísica, UNAM
3
LA MODELACILA MODELACIÓÓN N MATEMMATEMÁÁTICA Y TICA Y
COMPUTACIONAL, COMPUTACIONAL, Y SU ENORME PODER Y SU ENORME PODER
4
FFÍÍSICA MACROSCSICA MACROSCÓÓPICA PICA Y LA Y LA
MECMECÁÁNICA DE MEDIOS NICA DE MEDIOS CONTINUOS CONTINUOS
6
Marco físico - matemático : Modelos básicos
Mecánica Leyes científicas Teórica que rigen los fenómenosRelaciones empíricas
⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩
7
MECMECÁÁNICA APLICADANICA APLICADA
Especializa y aplica los conocimientos de
la mecánica teórica a los problemas de
la ciencia, la ingeniería y la tecnología.
8
MECMECÁÁNICA COMPUTACIONAL NICA COMPUTACIONAL
Utiliza los recursos de la computación para
construir los modelos que dan respuesta a
los problemas de la ciencia, la ingeniería y
la tecnología.
9
OTRAS CLASIFICACIONES
Sólidos (y estructuras)Mecánica Fluidos
Multiescala Estática
Mecánica Dinámica Lineal
Mecánica No Lineal
⎧⎪⎨⎪⎩⎧⎪⎨⎪⎩⎧⎪⎨⎪⎩
10
TRÁNSITO DEL MODELO CONTINUO AL COMPUTACIONAL
Modelo Matemático
Discre-tización
Progra-maciónModelo
Numérico
Modelo Computa
cional
11
MÉTODOS DE DISCRETIZACIÓN
• Elementos finitos (FEM)• Elementos de frontera (FEM) • Diferencias finitas (FEM)• Celdas (FVM) • Espectrales • Libres de malla (Meshfree)
12
COMENTARIO INFORMATIVOCOMENTARIO INFORMATIVO• En mecánica de sólidos y estructural el
predominio de FEM es tal que las diferencias finitas han casi desaparecido. Sin embargo, en algunas áreas de aplicación los BEM son altamente competitivos.
• En mecánica de fluidos libres los métodos de diferencias finitas siguen siendo importantes
• FVM es importante en fluidos en medios porosos (agua y petróleo) y problemas especiales de mecánica de fluidos (gases con números de Reynolds altos).
• Los métodos libres de malla son los más jóvenes y están siendo objeto de investigación intensa
13
ÁÁREA EMERGENTE REA EMERGENTE
• En los últimos años los métodos de escalas múltiples han tenido éxitos notables habiendo resuelto problemas de gran interés
• La investigación de estos métodos es muy intensa y están teniendo un desarrollo muy rápido
14
B.B.EL GRUPO DE MODELACIEL GRUPO DE MODELACIÓÓN N
COMPUTACIONAL DE LA UNAMCOMPUTACIONAL DE LA UNAMInstituto de Geofísica
15
TRABAJO DE INVESTIGACITRABAJO DE INVESTIGACIÓÓN N
• Teoría de ecuaciones diferenciales en funciones discontinuas definidas por pedazos
• Métodos de elementos finitos con funciones discontinuas definidas por pedazos
• Nuevos métodos de discretización; colocación, FEM mejorado, FEM-OF, etc.
• Aplicación del cómputo en paralelo a la MMC • Métodos de escalas múltiples
16
TEORTEORÍÍA DE ECUACIONES DIFERENCIALES A DE ECUACIONES DIFERENCIALES CON FUNCIONES DISCONTINUASCON FUNCIONES DISCONTINUAS
La forma más eficiente de plantear los métodos numéricos de ecuaciones
diferenciales parciales es en espacios de funciones discontinuas definidas por pedazos
Se ha desarrollado la teoría correspondiente y un buen número de aplicaciones
17
FEM CON FUNCIONES DISCONTINUASFEM CON FUNCIONES DISCONTINUAS
Las formulaciones habituales de FEM se hacen en espacios de funciones continuas El grupo desarrolla una teoría de FEM con funciones definidas por pedazos discontinuas
18
MMÉÉTODOS DE ESCALAS MTODOS DE ESCALAS MÚÚLTIPLESLTIPLES
Debido a su importancia y su gran potencial para el futuro, se ha iniciado esta línea de investigación
Estos métodos requieren la integración de grupos interdisciplinarios con conocimientos en computación, matemáticas aplicadas, física, química y otras ramas de la ciencia
20
COLOCACICOLOCACIÓÓN N
Se ha desarrollado un método de colocación que tiene diversas ventajas con respecto al convencional. Entre ellas: Reduce el número de grados de libertad; Produce matrices mejor estructuradas y Se puede combinar eficazmente con métodos de descomposición de dominio (fácilmente paralelizable).
21
FEMFEM--OFOF
El método de elementos finitos con funciones óptimas tiene gran generalidad y proporciona un marco teórico adecuado para desarrollar una teoría unificada de FEM mejorados
22
ALGUNAS PUBLICACIONES RECIENTESALGUNAS PUBLICACIONES RECIENTES
Herrera I. and R. Yates, “Unified theory of Trefftz methods and numerical implications”, CAMES 10 , Polish Academy of Sciences, pp495-514, 2003.
Herrera I., M. Diaz, and R. Yates, “A more general version of the Hybrid-Trefftz finite element model by application of TH-domain decomposition”, Lecture notes in computational science and engineering, 40, pp 301-308. Kornhuber, R. et al. Eds. Springer, Berlin, 2004. (Also on line, www.ddm.org).
Herrera I., and R. Yates, “A general effective method for combining collocation and DDM: An application of discontinuous Galerkin methods”, NUMER METH PART D E, 21(4), pp672-700, 2005 (Also on line)
Diaz, M. and I. Herrera, “TH-Collocation for the biharmonic equation”, ADV ENG SOFTW 36, pp243-251, 2007 (Also on line)
Herrera, I., R. Yates and E. Rubio “More Efficient Procedures for Applying Collocation”, ADV ENG SOFTW 38 (10), pp. 657-667, 2007 (Also published on line: 07/01/2007).
Herrera, I. “Theory of Differential Equations in Discontinuous Piecewise-Defined-Functions”, NUMER METH PART D E, 23(3), pp597-639, 2007 (Also published on line: 06/11/2006)
Herrera, I. “New formulations of iterative substructuring methods without Lagrange multipliers: Neumann-Neumann and FETI”, 2007. (In press)
Herrera, I. “Enhanced Finite Elements: A unified approach”, (In press, 2007).
25
Ω
( )12
u u u y u u u+ − + −≡ − ≡ +i
Г
SALTO Y PROMEDIO
-
n+
1 1: 2 2
Note u u u and u u u+ −≡ + ≡ −i i
26
SÍNTESIS DE FEM-OF
1. Se define la “información buscada”; i.e., información suf., en Γ, para PBP. locales
2. Se obtiene la información buscada3. Métodos directo e indirecto 4. Funciones óptimas de base y de peso 5. Solución de problemas locales para
construir la solución en todo el dominio
27
TEORÍA ALGEBRAICA DE PVF
( )
( )
Problemas de frontera con saltos prescritos (BVPJ) P B J u f j g
FÓRMULAS DE GREEN HERRERA P B J Q C K *
DESCOMPOSICIÓN CANÓNICA
− − = − −
−
− − = − −
K K J J K S R y J S R = + = +
28
FUNCIONES ÓPTIMAS
( )
( )
0
0
J
K
Funciones de base óptimas P B R
Funciones de peso óptimas Q C R w
− − =
− − =
v
30
VERSIÓN DE PETROV-GALERKIN
( )( )( )
( )
ˆ
ˆ ,
,
0
B
P T
P R K P
Una función óptima de base u O contiene la información buscada, si y solo si
P B J u,w f Pu w
P B J u u ,w w O
AquíP B J u f g S u & S u
Γ
Γ
∗Γ
∈
− − = − +
− − − ∀ ∈
− − = − − =
32
0
Problema de valores en la frontera con saltos prescritos
u f , en , = 1,...,E
u , en
u un
α αΩ− Δ = Ω
= ∂Ω
∂=
∂0, en = Γ
33
LAS FUNCIONALES BILINEALES
,
,
,
Pu,w w udx, Qw u u wdx
w u Bu,w u dx, Cw u w dx n n
u w w u Ju,w w u dx, Kw u u wn n n n
Ω Ω
∂Ω ∂Ω
Γ
= − Δ = − Δ
∂ ∂= =
∂ ∂
⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂⎜ ⎟ ⎜ ⎟= − = −⎜ ⎟ ⎜∂ ∂ ∂ ∂⎜ ⎟ ⎜
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
∫ ∫
∫ ∫
∫i i
i idx
Γ ⎟⎟
∫
34
FORMULACIÓN DE FEM-OF
?
K K
Información buscada
u , en
Descomposición canónica
w S u,w u dx , R u,nΓ
= Γ
∂=
∂∫
i
i
J J
uw w dx n
u w S w,u w dx , R w,u u dx n n
Γ
Γ Γ
∂= −
∂
∂ ∂= = −
∂ ∂
∫
∫ ∫
i
ii
35
LAS FUNCIONES ÓPTIMAS
0, 1,...,0,
0,
0, 1,...,0,
0,
Funciones óptimas de base
en , E en
en
Funciones óptimas de peso
w en , E w en
w en
α
α
α
α
⎧Δ = Ω =⎪
= ∂Ω⎨⎪ = Γ⎩
⎧Δ = Ω =⎪
= ∂Ω⎨⎪ = Γ⎩
vvv
37
APLICACIÓN CON BICÚBICAS COMPARACIÓN: GRADOS DE LIBERTAD
74%7h-327h-33D
67%3h-29h-22D
Ahorro FEM-OFFEMEstándar
Error~h4
38
ALCANCES DE FEMALCANCES DE FEM--OFOFRANGO DE APLICABILIDADRANGO DE APLICABILIDAD
• Toda ecuación diferencial parcial lineal, o sistema de tales ecuaciones, cualquiera que sea su tipo: elíptico, parabólico e hiperbólico, independientemente de su orden e incluyendo ecuaciones con coeficientes discontinuos.
39
EJEMPLOS EJEMPLOS
• Ecuaciones elípticas de segundo orden (transporte con difusión)
• Ecuación biarmónica • Elasticidad • Métodos mixtos • Problema de Stokes
41
CONSTRUCCIÓN DE LAS FUNCIONES ÓPTIMAS
• Cada función ótpima está determinada de manera única por su traza en Г
• Se escogen polinomios hasta cierto grado, definidos por tramos en Г
• Entonces los problemas locales se resuelvenpor cualquier método numérico (en particular FEM, por ejemplo)
42
( ) ( )( )
*
0, 1,...,0,
0,
0, 1,...,0,
0,
i
B
i
T
a b c
w a w b w cw
Funciones óptimas de base
in , i EO on
on
Funciones óptimas de peso
w in , i Ew O w on
w on
≡ −∇⋅ ⋅∇ +∇⋅ +
≡ −∇⋅ ⋅∇ − ⋅∇ +
⎧ = Ω =⎪
∈ ⇔ = ∂Ω⎨⎪ = Σ⎩
⎧ = Ω =⎪
∈ ⇔ = ∂Ω⎨⎪ = Σ⎩
L
L *
L
L
v v v v
vv v
v
43
LA MATRIZ DEL SISTEMA
( )
( ) ( )
,
* * * , , ,
0B T
P B J w
a w b w c w dx
Q C K w w O O
Es positiva definida cuando b and c 0.
Ω
− − =
∇ ⋅ ⋅∇ − ⋅∇ +
= − − ∀ ∈ ×
= ≥
∫v
v v v
v v
45
( ) *:
0, 1,...,
0, 0,
0, 1,...,
0, 0,
i
B
i
B
C
Funciones de base óptimas in , i E
O on on
Funciones de peso óptimas w in , i E
w O w on w on
≡ −∇⋅ ∇ ≡
= Ω =⎧⎪
∈ ⇔ = ∂Ω⎨⎪ = Σ⎩
= Ω =⎧⎪
∈ ⇔ = ∂Ω⎨⎪ = Σ⎩
L L
L
L
v v v
v
v vv
46
CONSTRUCCIÓN DE LAS FUNCIONES ÓPTIMAS
• Los campos de los desplazamientos se escogen como polinomios por pedazos
• Los problemas bien planteados locales, se resuelven por cualquier método numérico como FEM o colocación
47
LA FORMA BILINEAL
( )
( ) ( )
,
: :
* * * , , , B T
P B J w
w C dx
Q C K w w O O
Es positiva definida
Ω
− − =
∇ ∇
= − − ∀ ∈ ×
∫
v
v
v v
48
MATERIALES ISOTRÓPICOS
( )
( ) ( )
,
2 :
* * * , , , B T
P B J w
w w dx
Q C K w w O O
Es positiva definida
λ μΩ
− − =
∇ ⋅ ∇ ⋅ + ∇ ∇
= − − ∀ ∈ ×
∫v
v v
v v
50
0
; *
)
p f
p u
qw rDefina : y w y w
qr r q w
La "información buscada" (el 'flujo' en
Ω∇ =⎧⎪⎨ −∇ =⎪⎩
∇⎛ ⎞⎛ ⎞ ∇⎛ ⎞ ⎛ ⎞≡ ≡ ≡ ≡ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−∇ −∇⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Γ
i
iivv v
vL L
,
0, 1,...,
0, 0,
0, 1,...,
0,
i
B
i
B
p n en
en , i E
Funciones de base óptimas O en r n en
w en , i E
Funciones de peso óptimas w O w en
Γ
= Ω =⎧⎪
∈ ⇔ = ∂Ω⎨⎪ = Γ⎩
= Ω =
∈ ⇔ = ∂
ii
i
v
v v
L
L
0, q n en
⎧⎪⎪ Ω⎨⎪ = Γ⎪⎩ i
52
0
; *
p u f
p
q ww rDefina : y w y w
qr p
La "información buscada"
Ω∇ −Δ =⎧⎪⎨∇ =⎪⎩
∇ −Δ⎛ ⎞∇ −Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞≡ ≡ ≡ ≡ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ −∇−∇⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
i
iiv v
v vv
L L
,
0, 1,...,
0, 0,
0, 1,...,
0, 0,
i
B
i
B
u en
en , i E
Funciones de base óptimas O en en
w en , i E
Funciones de peso óptimas w O w en w en
Γ
⎧ = Ω =⎪⎪∈ ⇔ = ∂Ω⎨⎪ = Γ⎪⎩
= Ω =⎧⎪
∈ ⇔ = ∂Ω⎨⎪ = Γ⎩
i
v
v vv
L
L
54
EL CEL CÓÓMPUTO EN PARALELOMPUTO EN PARALELO
Destaca entre las nuevas herramientas computacionales, pues Destaca entre las nuevas herramientas computacionales, pues en la actualidad parece ser la ven la actualidad parece ser la víía ma máás efectiva para lograr s efectiva para lograr aumentos adicionales en la rapidez del procesamiento aumentos adicionales en la rapidez del procesamiento
La comunidad internacional de modeladores computacionales La comunidad internacional de modeladores computacionales ha trabajado intensamente, desde su apariciha trabajado intensamente, desde su aparicióón hace 20 o 25 n hace 20 o 25 aañños, para aprovechar este valioso recursoos, para aprovechar este valioso recurso
Casi desde el principio se reconociCasi desde el principio se reconocióó que la forma mque la forma máás efectiva s efectiva para aprovecharla en modelacipara aprovecharla en modelacióón eran los mn eran los méétodos de todos de descomposicidescomposicióón de dominio (DDM) n de dominio (DDM)
55
LOS LOS DDMDDM EN LA MODELACIEN LA MODELACIÓÓN EN N EN PARALELO PARALELO
Dificultades del CDificultades del Cóómputo en Paralelo: La coordinacimputo en Paralelo: La coordinacióón de los n de los mmúúltiples procesadores y la transmisiltiples procesadores y la transmisióón de la informacin de la informacióón n entre ellos entre ellos
CaracterCaracteríísticas de los DDM: Las tareas que efectsticas de los DDM: Las tareas que efectúúa cada a cada procesador son, en gran medida, independientes; y por eso procesador son, en gran medida, independientes; y por eso mismo, la informacimismo, la informacióón que se requiere transmitir entre ellos n que se requiere transmitir entre ellos es muy poca es muy poca
Ventajas de los DDM: Minimizan las necesidades de Ventajas de los DDM: Minimizan las necesidades de coordinacicoordinacióón; y tambin; y tambiéén las de transmisin las de transmisióón de informacin de informacióón n
56
ACTIVIDADES INTERNACIONALES EN ACTIVIDADES INTERNACIONALES EN MMÉÉTODOS DE TODOS DE
DESCOMPOSICIDESCOMPOSICIÓÓN DE DOMINIO N DE DOMINIO
En 1987 se creEn 1987 se creóó la Organizacila Organizacióón Internacional de Mn Internacional de Méétodos de todos de DescomposiciDescomposicióón de Dominio n de Dominio
Ha celebrado 16 Congresos Internacionales de MHa celebrado 16 Congresos Internacionales de Méétodos de todos de DescomposiciDescomposicióón de Dominio; uno cada an de Dominio; uno cada añño y medio o y medio
El dEl déécimo cuarto (DDcimo cuarto (DD--14) lo organizamos aqu14) lo organizamos aquíí en la UNAM; en la UNAM; en enero de 2002, en en enero de 2002, en CocoyocCocoyoc, Morelos. , Morelos.
58
E.E.MMÉÉTODOS TODOS
PRECONDICIONADOS DE PRECONDICIONADOS DE
SUBESTRUCTURACISUBESTRUCTURACIÓÓN N
ITERATIVOS ITERATIVOS
59
MMÉÉTODOS DE DESCOMPOSICITODOS DE DESCOMPOSICIÓÓN N DE DOMINIO: CLASIFICACIDE DOMINIO: CLASIFICACIÓÓN N
•• MMéétodos de dominios yuxtapuestos todos de dominios yuxtapuestos
•• MMéétodos de dominios ajenostodos de dominios ajenos
62
Ω
( )12
u u u y u u u+ − + −≡ − ≡ +i
Г
SALTO Y PROMEDIO
-
n+
1 1: 2 2
Note u u u and u u u+ −≡ + ≡ −i i
63
EL PROBLEMA DE POISSON en funciones discontinuas
1 2, 0;
0 ,
0
u f en y u en
uenu
n
Ω−Δ = Ω Ω= ∂Ω
⎫=⎪ Γ⎬∂
= ⎪∂ ⎭
Ω1 Ω2
64
ALGORITMO DE NEUMANN-NEUMANN
1
1
1
11 21 2
, ,
0; 0;
0 0 ,
,
n
n
n
nn
n
n
n n
n
u f en y f en y
en u en
uen
nuen
un n
ψ
ψ
ψ
ψ
ψ
+
+
+
+ΩΩ
−Δ = Ω Ω−Δ = Ω Ω
= ∂Ω = ∂Ω
⎫ ⎫= ∂⎪ =Γ ⎪⎬ ∂ ⎪= ⎪⎭ ⎪ Γ⎬⎪∂ ∂ ⎪=
∂ ∂ ⎪⎭
i
Ω1 Ω2
65
ALGORITMO DE DIRICHLET-DIRICHLET(FETI PRECONDICIONADO)
11 2 1 2
1
1
1
, ,
0; 0;
0 0 ,
,
n n
n n
n n
n n
n n
f en y u f en y
en u en
uenn
en uu
n n
ψ
ψ
ψ
ψψ
+Ω Ω
+
+
+
−Δ = Ω Ω −Δ = Ω Ω
= ∂Ω = ∂Ω
⎫ ⎫∂ == ⎪⎪ Γ∂ ⎬⎪⎪ ⎪Γ =⎬ ⎭⎪∂ ∂
= ⎪∂ ∂ ⎪⎭
i
i
Ω1 Ω2
67
MÉTODO DEL GRADIENTE CONJUGADO
( ) 12
Dada una transformación A, simétrica y positiva definida, y un vector b encuentre un vector u tal que Au = b.
Equivalentemente, minimice la funcional
J u u Au - b u.
•
•
≡ i i
Es el método iterativo más eficiente de que se dispone en la actualidad.
68
PROPIEDADES DEL GRADIENTE CONJUGADO
2122 012
1
1
n
n
La transformación A, debe ser simétrica y positiva definida.
La rapidez de convergencia está dada por :
u - u u u κ
κ
•
•
⎡ ⎤−⎢ ⎥≡ − ⎢ ⎥+⎢ ⎥⎣ ⎦
69
NUEVO ALGORITMO DE NEUMANN-NEUMANN
1
1
1
11 21 2
, ,
0; 0;
0 0 ,
,
n
n
n
nn
n
n
n n
n
u f en y f en y
en u en
uen n
enu
un n
ψ
ψ
ψ
ψ
ψ
+
+
+
+ΩΩ
−Δ = Ω Ω−Δ = Ω Ω
= ∂Ω = ∂Ω
⎫ ⎫= ∂⎪ = ⎪Γ⎬ ∂ ⎪⎪⎪ Γ= ⎬⎭⎪∂ ∂ ⎪=⎪∂ ∂ ⎭
i i
i i
Ω1 Ω2
70
NUEVO ALGORITMO DE FETI
11 2 1 2
1
1
1
, ,
0; 0;
0 0 , ,
n n
n n
n n
n n
n n
f en y u f en y
en u en
uenn
en u
un n
ψ
ψ
ψ
ψψ
+Ω Ω
+
+
+
−Δ = Ω Ω −Δ = Ω Ω
= ∂Ω = ∂Ω
⎫ ⎫∂ == ⎪⎪ Γ∂ ⎬⎪ ⎪Γ⎬ = ⎭
⎪∂ ∂ ⎪=∂ ∂ ⎭
i i
i i
Ω1 Ω2
71
VENTAJAS DE LOS NUEVOS ALGORITMOS
• La transformación un =>un+1 sí es positiva definida
• Esto sin necesidad de usar multiplicadores de Lagrange
• Es posible aplicar el Método del Gradiente Conjugado
72
COMENTARIOS FINALESCOMENTARIOS FINALES
El método de elementos finitos (FEM), que es un método poderoso y de gran generalidad para la obtención de modelos de sistemas continuos, sigue perfeccionándose por medio de muchas investigaciones. FEM es apto para desarrollar modelos basados en el cómputo en paralelo y también para los de escalas múltiples. El grupo de MMC del Instituto de Geofísica realiza investigación y docencia en estos métodos, habiendo hecho ya contribuciones significativas. Hay varias formas en que los estudiantes e investigadores jóvenes interesados en formarse en estos campos lo pueden hacer:
i).- Realizando una tesis profesional con un tema pertinente;
ii).- Estudios de posgrado en Modelación Matemática y Computacional; o
iii).- Participando en algún proyecto de investigación y docencia.
Los interesados pueden obtener mayor información en