El método de resistencia al flujo de Fredsobe

Moisés Berezowsky Verduzco Instituto de Ingeniería,

Universidad Nacional Autónoma de México

Miguel Ángel Mejía González Instituto Mexicano de Tecnología del Agua

Fredsoe propone un método para estimar el tamaño y la forma de las dunas en cauces arenosos, así corno la manera en que se modifica su altura y longitud al aumentar la velocidad de/ flujo. Las dimensiones de las dunas dependen tanto del transporte de sedimento por el lecho como del que viaja en suspensión. El método predice una transición suave de dunas a fondo plano: conforme las ondulaciones disminuyen su tamaño y se hacen mas largas, la resistencia al flujo disminuye.

Palabras clave: Flujo de agua, dunas, cauces, transporte de sedimentos.

Introducción

La resistencia al flujo en canales naturales ha sido materia de estudio por mucho tiempo. Debido a los múltiples factores que influyen en el escurrimien- to del agua sobre cauces aluviales, todavía no ha sido posible establecer una ley Única que relacione la fricción con la velocidad media del flujo y con el transporte de sedimentos. La interdependencia entre el gran número de variables involucradas hace extremadamente complejo el análisis. Aun cuando se han desarrollado muchas teorías que intentan dar una explicación plausible a la variabilidad de la resis- tencia al flujo en cauces arenosos, no se ha llegado a una que tenga aceptación universal. Sucede que en algunos casos, las conclusiones de las teorías no concuerdan con los hechos. Así pues, cuando se esta ante un problema real, resulta siempre difícil decidir qué método o fórmula conviene utilizar, por lo que todavía hoy, la deteminación de la resistencia al flujo requiere de experiencia, destreza, imaginación, y habilidad para realizar las predicciones de manera que se ajusten lo mejor posible al problema que el ingeniero desea resolver.

Las dimensiones de las dunas son de esencial

interés para la resistencia al flujo en cauces arenosos, pues la pérdida de energía en la expansión aguas abajo de la cresta de la duna contribuye significativa- mente a dicha resistencia. Fredsoe (1982), propone un método con el que determina la perdida de energía en función del tamaño y forma de las ondulaciones. Con la teoría de este autor, es posible explicar caracte- rísticas importantes de las dunas como, por ejemplo, por que su altura crece con esfuerzos cortantes de poca intensidad, mientras que decrece cuando se incrementan. Además, explica el alargamiento de las ondulalciones para esfuerzos cortantes considerables.

Relación entre el nivel local del lecho y el esfuerzo cortante

La ecuación de continuidad del sedimento es valida tanto para estudiar la evolución global del fondo en un tramo, como también para analizar la evolución local de la elevación del lecho, h, a lo largo de una duna estacionaria (que viaja con el flujo sin cambiar su forma) conforme varía el transporte de sedimento a lo largo de la ondulación. Dicha ecuación tiene la forma siguiente:

donde = gasto sólido local, en volumen por unidad de ancho; t = tiempo; n = porosidad del lecho arenoso y x=distancia. Puede demostrarse que la siguiente es una solución de la ecuación 1:

(2)

donde a es la velocidad de migración de la duna y una constante: Si las abscisas se miden positivas

hacia arriba a partir de los valles de las ondulaciones, ilustración 1, en la ecuación 2 puede verse que cuan- do h = O, = dado que en el valle de las dunas, el transporte de sedimento de fondo es Prácticamente nulo, representa entonces el gasto sólido transpor- tado en suspensión en el valle de la misma.

considérese primero el caso en que todo el trans- porte de sedimento es de fondo (lo que sucede para esfuerzos cortantes pequeños, es decir, velocidades relativamente bajas). En este caso, la constante de la ecuación 2 es cero y se puede deducir que el gasto sólido a lo largo de la duna es proporcional a la altura de la misma, o sea, es máximo en la cresta y desaparece en su seno. En este caso, de la ecuación 2 se obtiene que la velocidad de viaje de la ondulación es

donde H altura total de la duna y = gasto sólido en la cresta de la ondulación. Al reemplazar U en la ecuación 2 y al considerar, como ya se discutió, que = O, se obtiene:

donde = gasto sólido de fondo. Sean los parame- tros adimensionales de transporte de sedimento, y de esfuerzo cortante,

donde s = densidad relativa del sedimento, g = ace- leración de la gravedad, d = tamaño característico del sedimento; = esfuerzo cortante local. En general se acepta que el gasto sólido depende del esfuerzo cortante, esto es

Por tanto, la ecuación 4 puede escribirse como:

que relaciona la variación local del nivel del lecho al cambiar el cortante a lo largo de la ondulación.

Distribución del esfuerzo cortante a lo largo de una duna

El perfil longitudinal de una duna es aproximadamente triangular; aguas arriba de la cresta presenta una superficie convexa con una pendiente suave y aguas abajo un talud inclinado con ángulo cercano al de re- poso del material. Como este ángulo es relativamente grande, existe una zona de separación del flujo en la cresta. Dado que parte del flujo vuelve a juntarse en el seno de la duna, se forman corrientes de retorno en el lecho aguas abajo de la cresta. En la zona de separación, se disipa gran cantidad de energía por turbulencia. Además, en el punto de reunión del flujo, algunas partículas son arrastradas por el efecto de la turbulencia, aun cuando el esfuerzo cortante local puede ser inferior al cortante crítico.

Bradshaw y Wong (1972) midieron en un túnel de viento la variación del coeficiente de fricción superficial

a lo largo de un escalón de 2.5 cm de altura. Sus re- sultados se muestran en la ilustración 2; [ = es la distancia adimensional, y H s , la altura del escalón. Aguas abajo del escalón hay una zona de separación y el chorro se une nuevamente al lecho a una distancia de seis veces H s ; a partir de este punto, la aceleración del flujo incrementa muy rápidamente el coeficiente de fricción, A una distancia aproximada de 16 a 18 veces H s , el esfuerzo cortante es máximo; se recuerda que y se relacionan con la ecuación

= donde V es la velocidad media del flu- jo aguas arriba del escalón, decrece hacia aguas abajo debido a que aumenta el espesor de la capa límite, El incremento de medido por Bradshaw y Wong, se reporta también en la ilustración 2. En la ilustración 3 se muestran las mediciones reportadas por Smith (1970), donde se aprecia que el efecto de la variación del espesor de la capa límite al modificarse el tirante no es importante. En la ilustración se ha dibujado normalizado con la curvas son casi idénticas entre sí y muy parecidas a las de la

donde tirante; el primer factor del lado derecho de la ecuación considera el cambio en la sección

ilustración 2. El flujo sobre una duna difiere ligeramente del des-

crito en el párrafo anterior, ya que hay un gradiente de presión favorable en la cara de aguas arriba de la ondulación. (1975), midió la distribución del esfuerzo cortante en un elemento triangular, como el mostrado en la ilustración 4; el coeficiente de fricción lo dedujo con base en la velocidad media local, Se observa un máximo en a una distancia de apro- ximadamente 16 veces la altura del escalón. Aguas abajo, el coeficiente vuelve a incrementarse debido a que, en un flujo convergente (esto es, en la siguiente duna), el espesor de la capa límite no crece. Dado que en la realidad, la cresta de las dunas no es angular, sino mas bien plana, este incremento tiene un límite.

propone la siguiente relación para la variación del esfuerzo cortante a lo largo de una duna:

transversal, mientras que el segundo es la función de la ilustración 2.

Cálculo de la forma de las dunas para gastos sólidos pequeños

propone calcular la altura del fondo local, h, y la forma de las dunas como sigue: se obtiene el gasto sólido de fondo; para ello puede emplearse cualquier criterio, como el de Meyer-Peter y Müller:

que es valida para tasas pequeñas de transporte de sedimento, esto es, cuando el gasto sólido es pre- dominantemente de fondo; es el esfuerzo cortante crítico y el parámetro de Shields modificado de tal manera de incluir el efecto de la gravedad en el transporte de sedimento conforme los granos van subiendo en la duna, como proponen Lysne (1969), y Fernández-Luque (1974), y que se valúan como:

Si la variación de calcula con la ecuación 8, al integrar la ecuación 11 se obtiene el perfil de la duna, esto es, la variación h con Se impone como condición de frontera, que en el valle de la ondulación, h es cero, no hay transporte de sedimento

= y el fondo es plano. Como al iniciar el calculo no se sabe dónde se encuentra la cresta de la duna, es necesario iterar, esto es, suponer un valor de H . En la parte de la cresta el fondo es también horizontal y en el lado derecho de la ecuación 11, O*

abajo de la posición de por el efecto de la gravedad. presenta ejemplos de la forma de dunas calculadas con el procedimiento descrito en la ilustración 5.

Como O* disminuye aguas abajo de la cresta (ver ilustración 2), la altura de la duna decrece y el flujo se hace divergente, por lo que el efecto de la fricción decrece substancialmente, hasta ser prácticamente nulo para un ángulo de divergencia cercano a 5". Si se considera que sólo se tiene transporte de fondo y que el cortante disminuye aguas abajo de la cresta, la Única manera de que h sea proporcional al gasto sólido es tomando en cuenta el efecto de la gravedad sobre el sedimento que se mueve en un fondo con pendiente, como se indica en la ecuación 10. Por ello, la pendiente de la ondulación es cercana al ángulo de reposo del sedimento. Si se supone que la duna termina justo aguas abajo de la cresta, es posible calcular la relación entre su altura, H , Y su longitud, L , como una función de y O,. En la ilustración 6 se reportan los cálculos de lo valuó para la rugosidad de los granos, O', que es el llamado

La cresta se localiza ligeramente aguas

donde v = velocidad media; k = rugosidad de la arena; = velocidad de fricción efectiva causada por la fricción de grano. Para Einstein, es el tirante asociado a la rugosidad de los granos; sin embargo, según Engelund y Hansen (1967), también puede considerarse como el espesor de una capa límite turbulenta que se desarrolla a lo largo de la superficie de la duna (ilustración 1), por lo que y tienen aproximadamente el mismo significado físico.

En la ilustración 6 se ve que cuando el esfuerzo cortante es pequeño, la relación H / L es pequeña, lo que coincide con otros resultados: Yalin (1972) y Yalin y Karahan (1978). La' relación H / L crece casi hasta 0.06 conforme se acerca de 4 a 5 veces O,. Dado que se ha supuesto que el sedimento se mueve como de fondo, la relación H / L permanecerá constante en un valor cercano a 0.06 para valores grandes de como se muestra en la mencionada ilustración. La razón de ello es que el efecto de la gravedad en la pendiente local es importante en el transporte de fondo para esfuerzos cortantes pequeños, pero para esfuerzos cortantes considerables, la ecuación 11 se reduce a:

15, todos los valores se evalúan en la cresta de la duna. Si se supone que la perturbación es pequeña, la ecuación 15 puede expresarese como:

La ecuación 1 de continuidad del sedimento se escribe en este caso así:

Si la perturbación es positiva en el sentido de que tanto como son positivas, es valido supo- ner que el esfuerzo cortante de fondo esta dado por la ecuación 8, y puesto que el flujo es convergente, el factor de fricción es prácticamente constante. En la ecuación 8, h se sustituye por h + El Último termino de la ecuación 17 puede calcularse empleando las ecuaciones 9 y 10, esto es:

esto es, la variación de h, depende Únicamente de la variación de theta*, dada en la ilustración 2. De aquí se concluye que la máxima altura del lecho se localiza aguas abajo a 16 veces h, que sería la lon- gitud aproximada de las dunas. Este resultado es consistente con datos experimentales en los que el esfuerzo cortante es pequeño; pero no lo es para esfuerzos cortantes considerables, pues en este caso se ha observado una disminución en la relación H / L . El caso de esfuerzos cortante altos, en que interviene el gasto sólido de fondo en suspensión, se discute mas adelante.

Influencia del tirante en la altura de la duna

En el análisis de la influencia del tirante, emplea la teoría de estabilidad de pequeñas pertur- baciones, como puede verse en (1979). A una forma de duna como las que se muestran en la ilustración 5, se le sobrepone un pequeño disturbio:

El cambio en la altura del lecho en la cresta de la ondulación se calcula como:

J

Si en la ecuación 8 se considera la función valuada en la cresta, esto es, f = 1, se obtiene:

Sustituyendo la ecuación 17 en la 14, considerando las ecuaciones 18 y 19, se obtiene:

En la ecuación 21 se observa que, si H / D es suficientemente pequeño, se hace positivo. Si por el momento se considera despreciable el efecto de la gravedad en la ecuación 20, por lo que se cancela el último termino del lado derecho en dicha ecuación, se obtiene que >O, esto es, que la duna crece con el tiempo, lo que significa que es inestable. Puede demostrarse que este argumento no cambia aunque se incluya el último término en la ecuación 20. Si la perturbación en el lecho se describe con una serie de Fourier de la forma = donde i es

donde a es ahora la velocidad de migración de la duna a la que se agregó la perturbación y que esta dada por:

donde testada es el cambio local en el gasto sólido debido a la perturbación En las ecuaciones 14 y

el número imaginario, el número de onda y el coeficiente de Fourier, la ecuación pluede escribirse como:

Efecto en la altura de la duna

Cuando el gasto sólido es grande, sólo una parte del sedimento transportado se asentara en el frente de la duna mientras que la parte restante sera llevada en suspensión hacia la siguiente ondulación aguas abajo. Aun cuando una porción del sedimento suspendido puede quedar atrapado en el vórtice de la zona de separación, (1981), propone suponer que el material que se deposita corresponde al gasto de fon- do, mientras que el resto, al gasto en suspención

En el análisis de perturbación se considera ahora que la velocidad de migración de la ondulación se determina como:

en donde se aprecia que la gravedad tiende a es- tabilizar las perturbaciones, especialmente si son de longitud corta. Sin embargo, si y > O, las perturbacio- nes con longitudes de onda lo suficientemente largas siguen siendo inestables. No obstante, si la altura de la duna es comparativamente grande,? tiende a cero, lo que indica que la ondulación no crece mas. La Única forma de lograr la estabilidad es cuando y = O, de donde se obtiene la siguiente relación entre la altura de la duna y el tirante:

Los valores del lado derecho de esta ecuación deben calcularse en la cresta de la duna. Al combinar las ecuaciones 9 y 23, se obtiene:

donde, como antes, se ha reemplazado por la fricción efectiva de grano 8’. En la ilustración 7 se muestra esta relación. De nuevo, el resultado mostra- do es consistente para cortantes pequeños; para es- fuerzos cortantes grandes, H/D tiende al valor 0.285, lo que no concuerda con las observaciones en las que se ve que para valores grandes de duna tiende a desaparecer. Por ello es necesario considerar el efecto del sedimento en suspención como se plantea enseguida.

Influencia del transporte de sedimento en suspensión

En las secciones previas se ha supuesto que el trans- porte de sedimento es únicamente transporte de fon- do, lo que cumple sólo para esfuerzos cortantes pequeños (si es menor que aproximadamente 0.2). El gasto sólido total, es la suma del de fondo, y el de suspensión, Para valores altos del esfuerzo cortante, parte del sedimento viaja en suspensión e in- clusive, para valores muy grandes de el transporte en suspensión predomina.

puesto que el sedimento en suspensión no se depo- sita en el frente de la duna y, por tanto, no contribuye a su migración. Al incluir el gasto total dividido en el de fondo y suspensión, y (ecuación 21) se valúa en este caso como:

por lo que, considerando los argumentos relativos a la estabilidad ya presentados, la altura de la duna (ecuación 23), se obtiene al considerar que y = O, esto es:

donde es el esfuerzo cortante en la cresta (que aproximadamente es igual . Para usar la ecuación 27, es necesario calcular por separado el gasto sólido de fondo y el de suspensión. empleó los métodos de cálculo de gasto sólido que proponen Engelund y (1976), para obtener la variación de la relación H / D con que se muestra en la ilustración 7; en los cálculos, el tirante se conservó fijo pero se varió el tamaño del sedimento.

En la ilustración 7 se ve que para valores pequeños de existe una sola curva para determinar la altura de la duna, que corresponde al caso en que predomina el transporte de sedimento de fondo, mientras que para valores grandes de hay una familia de curvas en función del tamaño del sedimento. Esto se debe al hecho de que el gasto sólido en suspensión depende no sólo de sino de otros parámetros, entre los cuales destaca = velocidad de caída, =

velocidad al esfuerzo constante); además, la relación d / D tiene también alguna influencia.

Efecto en la longitud de la duna.

Como en el caso anterior, para valores altos de se observa que la relación altura-longitud de duna se incrementa, inclusive hasta un poco más de 16 veces, que corresponde al punto donde se localiza el máximo esfuerzo cortante en la ilustración 2.

Para explicar esto, conviene recurrir al análisis de estabilidad planteado por Kennedy (1963), en el que demuestra que existe una fase entre el transporte de sedimento a lo largo de la duna, la velocidad de flujo y el crecimiento de la ondulación. Además, que también a lo largo de la duna hay un corrimiento del gasto sólido en suspensión con relación al esfuerzo cortante, como discuten Engelund y (1974). En la realidad, el máximo del gasto sólido en suspensión se presenta a una cierta distancia, aguas abajo del lugar del máximo esfuerzo cortante.

considera que la distancia al máximo gasto sólido (y por tanto la altura máxima del lecho) se recorre del punto del máximo esfuerzo cortante (16 veces H ) a

nuevo, existe una sola curva para cortantes pequeños y una familia para cortantes altos.

Resistencia al flujo

La idea es determinar el efecto de una duna, caracteri- zada por su altura y longitud, en la resistencia al flujo. Se emplea la conocida hipótesis de que el esfuerzo cortante total se divide en dos partes: la primera considera la rugosidad de los granos y la segunda, la de las dunas; en forma adimensional:

Así como Engelund y Hansen, considera que corresponde a la pérdida por expansión aguas abajo de la cresta de la ondulación calculada con la ecuación de Borda-Carnot:

donde es el coeficiente de pérdida por expansión, sin dimensiones; dado que el ángulo del frente de la duna es cercano al de reposo de la arena, 33º, se considera el valor de = 1. Por definición esta dado por:

donde representa la fase y se valúa como:

por lo que, al sustituir en la ecuación 30, se obtiene:

E = D es la velocidad de remolino, con- siderada aquí constante en la vertical. Tomando en cuenta esta definición, conviene escribir la ecuación 29 así:

Como ya se discutió, para esfuerzos cortantes gran- des, por el efecto del gasto sólido en suspensión la altura de la duna decrece, ilustración 7. De la ecua- ción 28 se infiere que su longitud se incrementa, por lo que la relación H/L también decrece, ilustración 6. De

donde es un valor estimado de la velocidad del flujo cerca del lecho y que se obtiene de la ecuación siguiente:

H/D y L se obtienen con las ecuaciones 27 y 28, respectivamente.

En la ilustración 8 se dibuja la relación entre y dada por la ecuación 33 y se compara con los datos experimentales de Fort Collins (Guy et al, 1966). Los valores de H / D y H / L se tomaron de las ilustraciones 6 y 7. Como era de esperarse, para valores pequeños de se obtiene una curva Única mientras que en la región de transición se obtiene una familia de curvas, puesto que la geometría de la duna depende de la relación entre el gasto sólido de fondo y el de suspensión.

Nótese que con el método de la resistencia al flujo calculada en la zona de transición, concuerda bastante bien con los datos experimentales. Debido a la dispersión en los datos, es difícil distinguir si la transición ocurre más pronto para sedimento fino,

como lo predice la teoría. Para valores pequeños de la concordancia es muy buena.

Discusión

En los párrafos anteriores se comparan cálculos he- chos con el método de con datos experimen- tales; en general los resultados son bastante satisfac- torios. A continuación, con el objeto de estudiar el comportamiento del método en distintas condiciones, se propone emplear la gráfica adimensional, sugeri- da por Chollet (1987), del plano S , (donde S= pendiente y = es llamado número de Froude de grano) ; se emplea como parámetro, = cte. En la ilustración 9 se muestra que, si se emplea papel log-log, para fondo plano se obtiene una recta (empleando las ecuaciones de Keulegan, para resis- tencia de grano, o Strickler-Manning), mientras que, debido a las dunas, la curva se corre a la derecha: para una misma velocidad y tirante, la resistencia al flujo, medida con S , es mayor (la curva de la derecha es indicativa y no se obtuvo con el método de La contribución de las ondulaciones a las pérdidas es la distancia horizontal entre las dos curvas. Otra manera de ver estas curvas es la siguiente: para un tirante fijo (esto es, un valor de

y distintos valores de la pendiente del fondo, S , con el método de resistencia se obtiene la velo- cidad media del flujo (en forma adimensional, En la gráfica para pendientes pequeñas, se tiene la resistencia de rizos; conforme aumenta S la diferencia entre la curva con ondulaciones y la de fondo plano es mayor por el efecto de las dunas. Para valores altos de S , las ondulaciones se barren por lo que la curva que incluye el efecto de las dunas se acerca a

la de fondo plano. Para valores muy grandes de S se llegaría a la zona de antidunas, que no se contempla en este artículo. Por definición de esfuerzo cortante del flujo, si D es constante, crece conforme crece S . (García, 1982), hace una discusión amplia del tema y compara diversos métodos de resistencia al flujo empleando este tipo de gráficas. Otras gráficas adimensionales pueden verse en Berezowsky y Lara (1986) Y Berezowsky et al (1992).

En la ilustración 10 se incluye la curva de resistencia al flujo que se obtuvo con el método de calculada con 1mm, y D=5.0m esto es, la rela- ción = 5000 y se compara con el método de Engelund modificado según Berezowsky et al (1992). Ambos métodos son idénticos para pendientes pe- queñas; en este caso, se tiene mayor efecto de la resistencia por las dunas con que con En- gelund. Los métodos regresan de manera semejante a fondo plano en régimen superior para pendientes grandes. En la ilustración 11 se comparan los mismos métodos para el mismo valor de = 5000, pero ahora = 0.2 mm se tiene mayor resistencia con

sobre todo para pendientes grandes. En la ilustración 12 se han dibujado curvas para

distintos valores de Las curvas son semejan- tes entre sí, aunque se nota un efecto mayor de la resistencia al flujo para valores menores de En todos los casos, se parte de fondo plano sin trans- porte de sedimento, pues para pendientes pequeñas toda la resistencia al flujo se debe a la resistencia de grano. Conforme la pendiente aumenta, se nota el efecto de las dunas, Y luego las curvas tienden suavemente a la pendiente de fondo plano en la zona de transición.

Conclusiones

FredsØe desarrolló un método de resistencia al flujo que toma en cuenta los efectos de la turbulencia que se desarrolla aguas abajo de la cresta de las dunas y que arrastra parte del sedimento que viaja por el lecho. FredsØe plantea ecuaciones para obtener la altura y longitud de las dunas en función del transporte de sedimento de fondo y en suspensión. La teoría explica por qué la altura de las ondulaciones decrece y su longitud aumenta conforme el esfuerzo cortante aumenta. Para cortantes pequeños, en el transporte de sedimento predomina el de fondo que contribu- ye a la formación de la siguiente duna; conforme el cortante aumenta, el sedimento empieza a quedar en suspensión y como no se deposita, aporta poco al tamaño de las ondulaciones. Incluso, para cortantes muy grandes, todo el material del lecho se suspende y las formas desaparecen.

Si con el método aquí expuesto se predicen la magnitud y forma de las dunas, es posible inferir la pérdida por expansión aguas abajo de la cresta con la fórmula de Carnot y determinar la contribución de las ondulaciones a la resitencia total (ilustración 8). Con el método, se parte de un fondo plano para cortantes bajos y se llega de nuevo de manera suave a fondo plano conforme las dunas se barren. En la zona de transición, se obtiene una familia de curvas en función de D / d y de otros parámetros, entre los que destaca

que es relevante en el transporte en suspensión. La concordancia de los cálculos con datos me-

didos es satisfactoria. No obstante, vale la pena mencionar que el método es complejo, y resulta en una metodología elaborada para el cálculo de la resis-

tencia al flujo. Aunque es de los pocos métodos que se resuelven la zona de transición, la concordancia en rangos grandes de datos es del orden de la de otros métodos, como puede verse, por ejemplo, en van Rijn (1984). Vale la pena mencionar la opinión planteada por Karim y Kennedy (1990), con relación al problema de resistencia al flujo "La mayoría de las teorías de fluvial son tan deficientes en su manera de representar la verdadera mecánica del proceso que, con muy pocas y notables excepciones, apenas proveen de datos disponibles". Esta severa (auto) crítica a los investigadores que trabajan en el tema de la mecánica de la resistencia al flujo, no le resta méritos a esfuerzos como el de que aquí se presenta; obliga a continuar en el tema, con mayor ímpetu y nuevos enfoques teórico-experimentales.

Por todo esto, es opinión de los autores de este artículo, que la teoría de es recomendable cuando se tienen pendientes grandes, esto es, cortan- tes altos = 0.5 0.6) y sedimento fino (transporte de sedimento en suspensión, pues el método resuelve muy bien la zona de transición.

Revisado: octubre, 1993

Referencias

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Abstract

Berezowsky M. and M. A. Mejía, Flow Resistance Method", Hydraulic Engineering in Mexico (in Spanish), Vol. VlII Num. 2-3, pages 7-16, May-December, 1993.

proposed a model to estimate the size and form of dunes in sandy channels and the means by which their height and length are modified by the flow velocity The dune's dimensions depend on fhe sediment transported in the chanel and on that in suspension. The model predicts a smooth transition of dunes in a plane bottom: alike the curve becomes smaller and longer the resistence to flow Becomes lower. An analysis of the metod is provided.

Key words: river flow, river beds, flow ressistance, sand dunes, sediment transport.