El plano cartesianoEl plano cartesiano

M. en C. René Benítez LópezM. en C. René Benítez López

(Versión preliminar)

Departamento de Matemáticas

Universidad Autónoma Metropolitana-Iztapalapa

Trimestre 04-P

Coordenadas de un puntoFrecuentemente, para ubicar la posición de un objeto en un plano, se considera un punto de referencia llamado origen, por el cual se trazan dos ejes perpendiculares como se muestra enseguida:

1 2 3 4 5

1

2

3

0

Eje horizontal

Distancia de la casa al eje horizontal

Eje vertical

Origen

Distancia de la casa al eje vertical

Observa que cada eje es una copia de la recta numérica.

La distancia de la casa al eje horizontal es 3 unidades.La distancia de la casa al eje vertical es 4 unidades.

Los números 3 y 4 forman una pareja que se ordena (4, 3) y se llama las coordenadas del punto en el cual se ubica la casa.

Ejemplo 1

( 3, 2 )

Primero se avanza desde elorigen 3 unidades hacia laderecha, porque 3 es un númeropositivo.

Luego se avanza 2 unidadeshacia arriba, porque 2 espositivo.

Localizar en el plano cartesiano el punto de coordenadas (3, 2)

1

3

01 2 3 4

2

4

y

x

(3, 2)

Al eje horizontal se le llama eje de las abscisas o eje de las x, y al eje vertical se le llama eje de las ordenadas o eje de las y, a un diagrama coordenado como el anterior se le llama sistema de coordenadas cartesianas o plano cartesiano.

Una pareja ordenada se puede localizar en el plano, teniendo en cuenta que cada pareja denota un recorrido desde el origen hacia la derecha o hacia la izquierda; y luego, hacia arriba o hacia abajo, dependiendo ello del signo de cada coordenada o componente de la pareja.

Ejemplo 2

Localizar en el plano cartesiano el punto de coordenadas (3, 2)

0

4

3

2

1

1

2 3 4

x

y

( 3, 2 )

Primero se avanza desde elorigen 3 unidades a la izquierda,porque 3 es negativo.

Luego se avanza 2 unidadeshacia abajo, porque 2 esnegativo

En el diagrama adjunto, ¿cuál es la posición de cada uno de los aviones?

x

1

3

0 1 2 3 4

2

4

5 6 7

y

5

En el diagrama adjunto, ¿cuáles son las coordenadas de los vértices de cada polígono.?

1

3

0 1 2 3 4

2

4

5 6 7 x

y

5

Ejemplo 3

Ejemplo 4

Distancia entre dos puntos

La distancia d entre dos puntos y se determina mediante el teorema de Pitágoras así:

1 1 1( , )P x y 2 2 2( , )P x y

1P

2P

1x 2x

1y

2y

0

2 1x x

2 1y y

x

y

d

2 222 1 2 1d x x y y

2 2

2 1 2 1d x x y y

1

3

0 1 2 3 4

2

4

5 6 7 x

y

5

Calcule el perímetro y el área de cada polígono de la figura adjunta.

A

D C

BP

R

Q

Y su semiperímetro p es:

El perímetro del triángulo es:ADC 2 5 2 2 2AC CD DA

2 5 2 2 21 2 5

2p

Entonces usando la fórmula del área de un triángulo del matemático griego Herón de Alejandría (Siglo I DC), se tiene que el área del triángulo ADC es

ADCA

Ejemplo 5

ADCA p p AC p CD p DA

en donde p es el semiperímetro del triángulo ADC, y AC, CD y DA son las medidas de los lados de dicho triángulo. Entonces:

1 2 5 1 2 5 2 5 1 2 5 2 1 2 5 2 2ADCA

1 2 5 1 2 5 2 5 1 1 5 2

2 22 22 5 1 1 5 2

6 2 10 2 10 6 2 3 10 10 3 2

Similarmente se obtiene que

El perímetro del triángulo ABC es:

2 4 2 2 5

4ABCA

El perímetro del triángulo PQR es:

5 10 17

13

2PQRA

2 4 2 2 2 2AB BC CD DA El perímetro del trapecio es:ABCD

ABCDAEl área del trapecio ABCD es:

4 2 6ABCD ABC ADCA A A

Y su área es:

Y su área es:

División interna y externa de un segmento

Considérense dos puntos fijos y y un tercer punto

alineado con ellos y llamado punto de división.

1 1 1( , )P x y 2 2 2( , )P x y ,P x y

1P

2P

1x 2x

1y

2y

0

2x x

2y y

x

y

P

Q

R

x

y

1x x

1 1 1

2 2 2

0PP x x y y

rPP x x y y

Por ser semejantes los triángulos

y , se tiene que:1PPQ 2PP R

De donde las coordenadas de P, se obtienen así:

1 2

1

x rxx

r

1 2

1

y ryy

r

La razón se llama razón de semejanza o razón de división del segmento PQ.

1

2

PPr

PP

1P

2P

1x 2x

1y2y

0

2x x

2y y

x

y

P

Q

R

x

y

1x x

1 1 1

2 2 2

0PP x x y y

rPP x x y y

Por ser semejantes los triángulos

y , se tiene que:1PPQ 2P PR

Un punto P tal que , se llama punto de división interna del segmento

si , y se llama punto de división externa del segmento si .

1

2

PPr

PP

1 2PP

0r 1 2PP 0r

De donde las coordenadas de P, se obtienen así:

1 2

1

x rxx

r

1 2

1

y ryy

r

Ejemplo 6

Determine las coordenadas del punto P de división del segmento que une al punto con el punto en

la razón .

1

3

1,2A 2,1B

Ejemplo 7

Determine las coordenadas del punto P de división del segmento que une al punto con el punto en

la razón .

1

3

1,2A 2,1B

1 7,

4 4P

5 5,

2 2P

Fin