La hipérbola

M. en C. René Benítez López

(Versión preliminar)

Departamento de Matemáticas

Universidad Autónoma Metropolitana-Iztapalapa

Una hipérbola se define como el lugar geométrico de todos los puntos, tales que la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos, es una constante positiva. Los puntos fijos se llaman focos, y el punto medio del segmento cuyos extremos son los focos se llama centro de la hipérbola.

Conocidos los focos y la diferencia positiva de las distancias a los focos desde uno de los puntos de una hipérbola, ella se construye como sigue:

1 2yF F 2a

P

m

Q

F1 F2

H

1. Con centro en F1 trazar una circunferencia C de radio 2a.

2. Trazar una semirrecta en donde Q es un punto de C.

1FQ��������������

3. Unir F2 con Q.

4. Trazar la mediatriz m de . Se obtiene P en .

2FQ

1m FQ��������������

Por ser m mediatriz de y por estar P en m, se tiene que , y como entonces O sea

2FQ

2PF PQ 1 2 ,FP PQ a 1 2 2 .FP PF a P H :

CP es punto de la hipérbola, porque:

HP

m

F1

Q

F2

m

H

F2F1

P

Q

Repitiendo los pasos 2, 3 y 4; se obtienen otros puntos de la hipérbola. Observe:

Si F1 y F2 son fijos, ¿qué sucede con la hipérbola si el valor de a crece?

Si F1 y F2 son fijos, ¿qué sucede con la hipérbola si el valor de a decrece?

¿Qué sucede si se traza C con centro en F2 con el mismo radio 2a?

¿Es la mediatriz m de , tangente a la hipérbola?2FQ

¿Cuál es el lugar geométrico de los puntos medios de los segmentos con Q punto arbitrario de C ?

2FQ

Es una circunferencia tangente a la hipérbola en los vértices

Sí

Se obtiene la misma hipérbola

La hipérbola se abre

La hipérbola se cierra

El segmento que une los focos se llama línea focal o segmento focal.

Las intersecciones de la hipérbola con la línea focal se llaman vértices de la hipérbola y se les denota como V1 y V2.

H

C

m

F1

V1

F2

V2

La mediatriz m de es eje de simetría de la hipérbola H, porque: 1 2FF

Si P y P’ son simétricos respecto a m, con P en H, entonces y ' .'PM MP PP m

Además entonces 2 ,MPO CFO 2 .POM FOC

2 1 1 2 2 2 2

' ' 2

2

PO P O PP PM PO PM

OF OF FF CF OF CF

H

C

m

F1 F2

PP’M

O

2 ,POM FOCDe donde Por lo que C, O y M están alineados; porque:

2 2 2180 180POM MOF FOC MOF

2 2POM FOC POM FOC

Por tanto O está en m. Entonces Así que

De donde Además

1 2 y . 'OF OF PO P O

1 2' .POF P OF 1 2.'PF P F

1 2,'PP FF 2 1' .PP O F FODe donde por lo que Por tanto

2 1 2 1

2 12 1 2 1 2 1

' ' ''

PO P O PO OF P O OF PF P FPF P F

OF OF OF OF OF OF

Por tanto: 1 2 2 1 .' ' 2P F P F PF PF a Por lo que P’ es punto de la hipérbola H.

H

C

m

F1 F2

PP’M

O

V1V2

De la simetría de la hipérbola respecto a la recta m, se sigue que:

1 1 1 1 2 2 2 2VF CF CV FC V C V F

Por lo que:

1 2 1 2 2 2 1 2 1 1 2VV VF V F VF VF a

Por tanto, la distancia de cada vértice al centro de la hipérbola es a. O sea:

1 2, ,d V C a d V C

Por otra parte, si la distancia del centro a cada foco es c, y si B2 es un punto en el eje de simetría m tal que su distancia a los vértices es también c, o sea entonces por el teorema de Pitágoras se tiene que:

2 1 2 2 ,B V B V c

a

c 2 2b c a

V1 C

B2 2 2 2c a b

en donde 2 2b c a

F1

H

C

m

F2

B2

V1V2

c

a

b

Si B1 es el simétrico de B2 respecto a la línea focal , entonces la recta focal es mediatriz del segmento y en forma similar se establece que la hipérbola es simétrica respecto a la recta focal.

1 2,BB

F1

H

C

m

F2

B2

V1V2a

b

B2

b

B1

Los segmentos respectivamente se llaman eje transversal y eje conjugado de la hipérbola. Estos ejes definen un rectángulo, cuyas diagonales determinan las asíntotas de la hipérbola. Los ejes de simetría de la hipérbola son las rectas , las cuales respectivamente se llaman eje focal y eje no focal.

1 2 1 2yVV BB

1 2 1 2yVV BB���������������������������������������� ���

Si el eje x es el eje focal de la hipérbola, y si el origen es el centro de la hipérbola; entonces se tiene el diagrama que sigue, en el que:

y

H

0 x

,P x y

1 ,0F c 2 ,0F c

1 2 2PF PF a

2 2 2 20 0 2x c y x c y a

2 2 2 20 2 0x c y a x c y

22 2cx a a x c y

2 2 4 2 2 2 2 2 22 2c x a a cx a x cx c a y

2 2 2 2 2 2 2 2c a x a y a c a

De donde:

2 2 2 2 2 2b x a y a b

2 2

2 21

x y

a b

Si el eje focal de la hipérbola es paralelo al eje x , y si el centro de la hipérbola es el punto ; entonces se tiene el diagrama que sigue: ,C h k

y

H

0x

,P x y

1 ,F h c k 2 ,F h c k

h

kC

Por lo que:

1 2 2PF PF a

2 2 2 22x h c y k x h c y k a

y ,u x h v y k Considerando se tiene que:

2 22 2 2u c v u c v a

De donde:2 2

2 21

u v

a b

2 2

2 21

x h y k

a b

Por tanto la ecuación de la hipérbola que tiene eje focal paralelo al eje x con centro en el punto , es: ,C h k

Esta ecuación es la forma estándar o canónica de una hipérbola horizontal con centro en , .C h k

Asíntotas de una hipérbola de la forma 2 2

2 21

x h y k

a b

Cuando los valores de x crecen o decrecen indefinidamente, la gráfica de la hipérbola se aproxima a las gráficas de dos rectas llamadas las asíntotas de la hipérbola.

Las asíntotas se obtienen como sigue:

2 2 2

2 2 21 1

x h y k x hy k b

a b a

Cuando x crece o decrece indefinidamente, el valor de crece

indefinidamente confundiéndose con el valor de por lo que los

valores de se aproximan a los valores

2

21

x h

a

2

2,

x h

a

2

21

x hy k b

a

2

2

x h by k b k x h

a a

Esta ecuación define las rectas: y ,b b

y k x h y k x ha a

las cuales son las asíntotas de la hipérbola

2 2

2 2.1

x h y k

a b

En este procedimiento el valor 1 de la ecuación de la hipérbola en su forma estándar o canónica se anuló, por lo que las ecuaciones de las asíntotas de la hipérbola también se obtienen así:

2 2

2 20 0

x h y k x h y k x h y k

a b a b a b

o0 0

x h y k x h y k

a b a b

ob b

y k x h y k x ha a

Nótese que las pendientes de las asíntotas, son las mismas que

las pendientes de las diagonales del rectángulo determinado por los ejes

transversal y conjugado de la hipérbola. Además dichas diagonales son parte de

las asíntotas. Observe:

yb b

a a

F1

H

C

m

F2

B2

V1V2a

b

B2

b

B1

Longitud del lado recto de una hipérbola

Cada una de las cuerdas perpendiculares al eje focal por los focos de una hipérbola, se llama lado recto de la hipérbola.

x

P

F2F1 0

y

Q

En la figura adjunta, el segmento PQ es lado recto de la hipérbola, y se calcula como sigue:

2 2 2

2 22 2 2 2 2 21 1 2 2 2 2 2 22 2 4

c a bPF F F PF c PF PF a c PF PF

a a

Por el teorema de Pitágoras y el hecho de que se tiene que:

1 2 2 ,PF PF a

Pero P y Q son simétricos respecto al eje focal, entonces la longitud del lado recto es:

22bPQ

a

Ejemplo 1 Graficar la hipérbola y expresarla en su forma canónica. Además obtener las ecuaciones de sus asíntotas, la longitud del lado recto y las coordenadas del centro, de los vértices y de los focos.

2 24 2 24 3 ,9 0x y x y

Solución

221

3 14

xy

Sus asíntotas son: y2 5 0 2 7 0x y x y

-4 -2 2 4

1

2

3

4

5

6

La longitud del lado recto es: 22 2 12

12

b

a

1,3C

1 1 5,3F

2 1 5,3F

1 3,3V

2 1,3V

Si el eje y es el eje focal de la hipérbola, y si el origen es el centro de la hipérbola; entonces se tiene el diagrama que sigue, en el que:

1 2 2PF PF a y

0x

,P x y

1 0,F c

2 0,F c 2 2 220 2x y c x y c a

2 2 220 2x y c a x y c

22 2cy a a x y c

2 2 4 2 2 2 2 2 22 2c y a a cy a y cy c a x

2 2 2 2 2 2 2 2c a y a x a c a

De donde:

2 2 2 2 2 2b y a x a b 2 2

2 21

y x

a b

Si el eje focal de la hipérbola es paralelo al eje y, y si el centro de la hipérbola es el punto ; entonces se tiene el diagrama que sigue: ,C h k

y

0x

,P x y

1 ,F h k c

2 ,F h k c

h

Ck

Por lo que:

1 2 2PF PF a

2 2 2 22x h y k c x h y k c a

y ,u x h v y k Considerando se tiene que:

2 22 2 2u v c u v c a

De donde:2 2

2 21

v u

a b

2 2

2 21

y k x h

a b

Por tanto la ecuación de la hipérbola que tiene eje focal paralelo al eje y con centro en el punto , es: ,C h k

Esta ecuación es la forma estándar o canónica de una hipérbola vertical con centro en , .C h k

Excentricidad de una hipérbola

Cuando se divide la longitud de la línea focal entre la longitud del eje transversal de una hipérbola, se obtiene un número llamado la excentricidad de la hipérbola, lo cual se denota con la letra e por lo que

2

2

c ce

a a

2 2

2 20 o

y k x h b bx h y k x h y k

a b a a

Asíntotas de una hipérbola de la forma

2 2

2 21

y k x h

a b

Se obtienen en la forma en que se obtuvieron las asíntotas de una hipérbola horizontal. Observe:

Ejemplo 2 Graficar la hipérbola y expresarla en su forma canónica. Además obtener su excentricidad, las ecuaciones de sus asíntotas, la longitud del lado recto y las coordenadas del centro, de los vértices y de los focos.

2 29 18 2 17 0,y x x y

Solución

221

1 19

yx

Sus asíntotas son: y3 4 0 3 2 0x y x y

-1 -0.5 0.5 1 1.5 2

-8

-6

-4

-2

2

4

6

La longitud del lado recto es: 22 2 12 2

3 3

b

a

1, 1C

1 1, 1 10F

2 1, 1 10F

1 1, 4V

2 1,2V

10

3e

Ejemplo 3 Graficar la hipérbola y expresarla en su forma canónica. Además obtener su excentricidad, las ecuaciones de sus asíntotas, la longitud del lado recto y las coordenadas del centro, de los vértices y de los focos.

2 24 8 6 11 0,y x x y

Solución 2 23 1

116 4

y x

Sus asíntotas son: y2 5 0 2 1 0x y x y

La longitud del lado recto es: 22 2 22

24

b

a

1, 3C

1 1, 3 2 5F

2 1, 3 2 5F

1 1, 7V

2 1,1V

2 5 5

4 2e

-4 -2 2 4 6

-15

-10

-5

5

10

Fin