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El recorrido de una esferaManuel es un estudiante muy observador. Él ha realizado el experimento de dejar caer una esfera desde una determinada altura, lo que constituye un movimiento vertical de caída libre.

En este tipo de movimiento vertical, la velocidad inicial es cero y, conforme va transcurriendo el tiempo de la caída libre (en segundos), la velocidad aumenta a razón de 9,8 m/s. El cuerpo está afectado por la aceleración de la gravedad, que es 9,8 m/s2 en el planeta Tierra.

Con ayuda de un cronómetro (para medir el tiempo en segundos) y una wincha (cinta métrica para medir la altura en metros), Manuel mide la altura desde la cual deja caer la esfera. La altura está relacionada con el tiempo que le toma a la esfera llegar hasta el suelo.

Para el experimento de dejar caer libremente una esfera desde una determinada altura, Manuel halló los siguientes resultados:

A partir de ello:

1. ¿Cuál sería la expresión matemática que permite modelar la caída de la esfera?

2. Representa la caída de la esfera con una gráfica en el plano cartesiano.

Tiempo (s) 0 1 2 3 …

Altura (m) 0 5,0 19,8 44,0 …

Propósito: Establecemos relaciones entre datos, valores desconocidos o variación entre

magnitudes, y transformamos esas relaciones en expresiones algebraicas o gráficas que incluyen

funciones cuadráticas. Además, con lenguaje algebraico y diversas representaciones gráficas,

tabulares y simbólicas, expresamos nuestra comprensión sobre el comportamiento gráfico de

una función cuadrática, para interpretar su solución estableciendo conexiones entre dichas

representaciones.

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2Ficha

Aplicamos nuestros aprendizajes

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Diseñamos o seleccionamos una estrategia o plan

Ejecutamos la estrategia o plan

1. La caída libre es un caso particular del MRUV y es cuando el cuerpo se deja caer libremente a la super-ficie de la tierra con velocidad inicial cero. Entonces, ¿qué estrategia se puede aplicar para encontrar la función que modele el recorrido de la esfera?

a) Utiliza el ensayo y error.

b) Empieza por el final.

c) Usar una fórmula.

d) Resolver un problema más simple.

Comprendemos el problema

1. Describe el movimiento vertical de caída libre mediante un dibujo.

2. ¿Qué datos se consideran en el experimento de Manuel?

3. ¿Qué nos piden hallar en la situación significativa?

2. ¿Qué tipo de gráfico emplearías para representar la caída de la esfera?

a) Diagrama de Venn

b) Diagrama de árbol

c) Diagrama cartesiano

d) Diagrama lineal

1. ¿Cuál de las siguientes fórmulas del MRUV (caída libre) te permitirá modelar la caída de la esfera? Justifica tu respuesta. Toma en cuenta que h es la altura desde la cual cae, t es el tiempo hasta llegar al suelo, Vo y Vf son las velocidades al inicio y final de la caída y g es la aceleración de la gravedad.

a) Vf = Vo + ht b) h = Vot + gt2

2c) Vf

2 = Vo2 + 2hg

4. ¿Cuáles son los datos que se relacionan para modelar la caída de la esfera?

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4. Calcula algunas alturas empleando la expresión de la función hallada, luego organiza los resultados en una tabla como la que usó Manuel.

Reflexionamos sobre el desarrollo1. Describe el procedimiento realizado en Ejecutamos

la estrategia o plan.

3. Escribe la expresión matemática que permite hallar la altura desde la cual cae la esfera. Recuerda que Vo = 0 y g = 9,8 m/s2.

2. ¿Por qué la gráfica de la función solo muestra valores positivos?

3. Describe otras situaciones de la vida cotidiana que se puedan modelar con una función cuadrática y cuya gráfica resulte una parábola.

2. Si hallas algunos valores con la fórmula de caída libre, ¿los resultados obtenidos serán los mismos que Manuel presentó en la tabla? Argumenta tu respuesta.

5. Grafica en el diagrama cartesiano los resultados para la caída de la esfera, relacionando el tiempo y la altura desde la cual se deja caer la esfera.

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Se pide hallar el área máxima. Entonces, como estrategia utilizaremos la fórmula para hallar el vértice, ya que este punto será el valor máximo de la función; además, de A = –x2 + 150x, obtenemos a = –1, b = 150 y c = 0.

Por tanto, el ancho deberá medir 75 m y el área, 5625 m².

Resolución

Situación significativa A

Jorge decidió cercar una parte de su terreno, para lo cual compró en oferta 300 m de malla. El deseo de Jorge es cercar el máximo terreno rectangular posible. ¿Cuáles serían las dimensiones del terreno cercado y qué área tendría?

Representamos mediante un rectángulo el terreno, para plantear una ecuación relacionando los lados del terreno y, así, hallar el perímetro y el área:

Ancho del terreno: xLargo del terreno: y

Como se conoce el perímetro, se tiene:

2x + 2y = 300

x + y = 150 ‒→ y = 150 – x

Calculamos el área: A = x . y

Reemplazamos "y": A = x(150 ‒ x)

A = ‒x2 + 150x

Obtenemos una función cuadrática donde el coeficiente del término cuadrático es negativo. Entonces, la gráfica de esta función será una parábola que se abre hacia abajo.

Reemplazamos y resolvemos: V = = (75; 5625) ‒b2a

‒b2 + 4 ac4a

‒(150)2 . (‒1)

‒1502 + 4 . (‒1) . 04 . (‒1)

; = ;

Respuesta: Para que Jorge pueda cercar la máxima parte de su terreno con 300 m de malla, deberá considerar un cuadrado de lado de 75 m que tendría un área de 5625 m².

Comprobamos nuestros aprendizajesPropósito: Seleccionamos y empleamos estrategias heurísticas, métodos gráficos, recursos y

procedimientos matemáticos para determinar términos desconocidos en funciones cuadráticas.

Asimismo, planteamos afirmaciones sobre el cambio que produce el signo del coeficiente cuadrático

de una función cuadrática en su gráfica, las relaciones entre coeficientes y variación en la gráfica

y otras relaciones que descubrimos. También justificamos y comprobamos la validez de nuestras

afirmaciones mediante ejemplos o propiedades matemáticas.

x

y

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3. Escribe las diferencias entre área y perímetro de una figura geométrica.

4. ¿A qué corresponden los valores a, b y c en la

fórmula del vértice?

1. Describe el procedimiento utilizado para dar respuesta a la pregunta de la situación significativa.

2. ¿Por qué el vértice se considera como punto o valor máximo? ¿En qué situación el vértice sería el punto o valor mínimo?

V = ‒b2a

‒b2 + 4 ac4a

;