El Teorema de Euclides y la Filosofía 1

El Teorema de Euclides y la Filosofía 1

Vicente Umpiérrez Sánchez

El Teorema de Euclides y la Filosofía 1Unas de las proposiciones del teorema de Euclides reza así: En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la altura sobre la hipotenusa es igual al producto de las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa.

Pasamos a la demostración. El triángulo rectángulo del que se ha hecho la proposición expuesta anteriormente se ha desdoblado en dos triángulos rectángulos más pequeños. Aplicamos a ambos triángulos el teorema de Pitágoras.

Sumamos ambas ecuaciones:

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b2 + a2 = 2h2 + q2 + p2

h2 = q p

h

q p

b a

h = Altura sobre la hipotenusa

a = cateto

q = Proyección del cateto b sobre la hipotenusa

A

b2 = h2 + q2

a2 = h2 + p2

b2 + a2 = h2 + h2 + q2 + p2

b = cateto

･

p = Proyección del cateto a sobre la hipotenusa

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Aplicamos al triángulo que contiene a los dos triángulos anteriormente señalados el teorema de Pitágoras.

Sustituimos el primer miembro de la ecuación A por el primer miembro de la ecuación B.

Simplificamos.

Queda demostrada esta proposición del teorema de Euclides. Cedemos el turno ahora a Hegel.

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(q + p)2 = b2 + a2 q2 + 2q.p + p2 = b2 + a2

B

q2 + 2q.p + p2 = 2h2 + q2 + p2

q2 + 2q.p + p2 = 2h2 + q2 + p2

2q.p = 2h2

2q.p = 2h2

h2 = q p･

En cuanto a las verdades matemáticas, aún menos podríamos considerar como geómetra a quien, sabiendo de memoria el Teorema de Euclides, lo supiese sin sus demostraciones, no lo supiese en su interior, como cabría de decir en contraste con aquello. Y del mismo modo habría que considerar no satisfactorio el conocimiento que alguien, midiendo muchos triángulos rectángulos, pudiera adquirir acerca del hecho de que sus lados presentan la conocida proporción.

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• Las proposiciones del teorema de Euclides caen dentro de las verdades matemáticas.• En relación a esto tenemos que señalar dos tipos de conocimientos matemáticos que

son defectuosos:(a) El conocimiento matemático que sabe de memoria la proposición (h2 = q.p), pero

desconoce su demostración. (b) El conocimiento matemático que llega a la proposición por medio de la medición de

muchos triángulos rectángulos.

• Conocer la demostración de un teorema es conocerlo en su interior.• Conocer sólo de memoria un teorema es conocerlo en su exterior.• El conocimiento de la demostración de un teorema es propio del saber teórico.• El conocimiento basado en la medición es propio del saber empírico.El conocimietno

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El conocimiento matemático es verdadero cuando el teorema se sabe con su demostración, esto es, cuando la proposición es resultado de un proceso de demostración.

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