Elasticidad de Materiales

7/25/2019 Elasticidad de Materiales

1/32

UNIVERSIDAD DE JAEN

ESCUELA POLITECNICA SUPERIOR

GRADO EN INGENIERIA MECANICA

ELASTICIDAD Y RESISTENCIA DE MATERIALES

Bloque de Elasticidad

Autor:

Pablo Calzado Bravo


2/32


3/32

iii

Prologo

Este texto contiene los apuntes de clase de la asignatura Elasticidad y Resistencia de Mate-riales II del Grado en Ingeniera Mecanica.

En principio, escrib este texto porque quera aprender a utilizar un potente procesador detextos como es LATEX, ademas de un editor de graficos vectoriales (graficos cuya nitidez no se

ve comprometida por el nivel de zoom), ademas de para adquirir conocimientos de IngenieraMecanica que no adquir en mi titulacion (Grado en Ingeniera Electrica), con vistas a ir mejorpreparado al Master en Ingeniera Industrial.

Sin embargo una vez terminado, pense que podra ser util a la persona que curse la men-cionada asignatura, ya que tener los apuntes antes de que se expliquen en clase puede ayudara la comprension de la materia (ya que se puede prestar atencion en lugar de estar copiando atoda velocidad). Ademas, la alta calidad en los graficos y las ecuaciones contribuira a facilitarla comprension.

Confo en que resulte util a aquella persona que decida utilizarlo para el estudio de la asig-natura, pidiendole perdon de antemano por las posibles erratas que puedan haberse colado en

el presente texto.

El autor,

Pablo Calzado Bravo.


4/32


5/32

v

Indice general

Prologo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii

1. Aspectos avanzados sobre tensiones y deformaciones 1

1.1. Introduccion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1. Equilibrio interno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.2. Tensiones y direcciones principales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.3. Invariantes de . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.4. Casos particulares de interes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2. Lema de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3. Transformacion de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3.1. Propiedades de la matriz de cambio de ejes . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4. Tensiones octaedricas. Tensor esferico y tensor desviador . . . . . . . . . . . . . . 5

1.5. Elipsoide de Lame . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.6. Componentes generales del campo de desplazamientos. Interpretacion geometrica 7

1.6.1. Deformaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.6.1.1. Ecuaciones de compatibilidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2. El planteamiento general del problema elastico 9

2.1. El problema elastico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2. Constantes elasticas. Ecuaciones de Lame . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.3. Formulacion del problema elastico en desplazamientos. Ecuaciones de Navier . . 11

2.4. Unicidad del problema elastico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.5. Formulacion del problema elastico en tensiones. Ecuaciones de Beltrami-Michell . 13

2.6. El problema termoelastico. Influencia de la temperatura . . . . . . . . . . . . . . 13

2.6.1. Hipotesis de Newman-Duhamel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3. Teoremas energeticos de la elasticidad 153.1. Introduccion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.2. El teorema de Castigliano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.3. El principio de los trabajos virtuales. PTV. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.4. Los teoremas de reciprocidad de Maxwell-Betti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.4.1. Primer teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.4.2. Segundo teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4. Elasticidad bidimensional en coordenadas 19

4.1. Tension plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4.1.1. Ecuaciones de equilibrio en tension plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4.1.2. Ecuaciones de compatibilidad en tension plana . . . . . . . . . . . . . . . 204.1.3. Ecuaciones de comportamiento en tension plana . . . . . . . . . . . . . . 20

4.1.4. Ecuaciones de Navier en tension plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20


6/32

vi INDICE GENERAL

4.1.5. Ecuaciones de Beltrami-Michell en tension plana . . . . . . . . . . . . . . 214.2. Deformacion plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4.2.1. Ecuaciones de equilibrio en deformacion plana . . . . . . . . . . . . . . . 22

4.2.2. Ecuaciones de compatibilidad en deformacion plana . . . . . . . . . . . . 224.2.3. Ecuaciones de comportamiento en deformacion plana. . . . . . . . . . . . 224.2.4. Ecuaciones de Navier en deformacion plana . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.2.5. Ecuaciones de Beltrami-Michell en deformacion plana . . . . . . . . . . . 23

4.3. Funcion de Airy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

A. Calculo vectorial 25

A.1. Operador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25A.2. Teora de campos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

A.2.1. Gradiente de un campo escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25A.2.2. Laplaciana de un campo escalar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

A.2.3. Divergencia de un campo vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26A.2.4. Laplaciana de un campo vectorial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26


7/32

1

Captulo 1

Aspectos avanzados sobre tensiones

y deformaciones

1.1. Introduccion

Solido elastico Se deformaRecupera forma y tamano al desaparecer las cargas.

Propiedades Isotropos

HomogeneosContinuos

Hipotesis Pequenas deformaciones

Aplicacion lenta de cargasPrincipio de superposicion

= lms0

f

s =

d f

ds (1.1)

=xyz ; =

lmn (1.2)

La matriz de tensiones se define como:

=

x xy xzyx y yz

zx zy z

(1.3)

Donde ij =ji (matriz simetrica).


8/32

2 1. Aspectos avanzados sobre tensiones y deformaciones

1.1.1. Equilibrio interno

Las fuerzas por unidad de volumen se definen matricialmente como:

X=

XYZ

(1.4)

Aplicando la estatica del solido rgido ( F = 0) al elemento diferencial de la Figura1.1seobtiene:

xx

+ xy

y +

xzz

+ X= 0 (1.5)

yxx +

yy +

yzz + Y = 0 (1.6)

zxx

+ zy

y +

zz

+ Z= 0 (1.7)

Donde, expresandolo en notacion indicial:

ij,j+ Xi = 0 (1.8)

Figura 1.1: Elemento diferencial para la deduccion de las ecuaciones de equilibrio.


9/32

1.1. Introduccion 3

1.1.2. Tensiones y direcciones principales

Ya que:

No singular : Existen 3 puntos donde //

Lo que significa que solo hay componente normal de la tension.

Autovalores (1.9) Autovectores (1.10)

x xy xzyx y yzzx zy z

lmn

=

000

(1.11)

Para el calculo de los autovalores y los autovectores, de procede como sigue:

1. Calculo de los autovalores:

| I| = 0

De donde se obtienen las tensiones principiales I, II y II I.

2. Calculo de los autovectores:

Resolver sistema (1.11)

direcciones principales :I, II, II I

Convenio: I> II> II I

Tambien: II I=I II

1.1.3. Invariantes de

Se consideran I1, I2 e I3 invariantes de en todas direcciones:

I1 = x+ y+ z =I+ II+ II I (1.12)

I2 = x xyyx y + x xzzx z + y yzzy z =III+ III I+ IIII I (1.13)I3 = || =IIIII I (1.14)

1.1.4. Casos particulares de interes

I=II=II I Tensor esferico (cualquier direccion es principal)I=II=II I Cualquier direccion perpendicular a II Ies principal)I=II; II I= 0 Tension plana


10/32


1.2. Lema de Cauchy

El Lema de Cauchy se obtiene aplicando lasecuaciones de equilibrio ( F) en los ejes x, y , z .

x xy xzyx y yzzx zy z

lm

n

=

xy

z

(1.15)

= (1.16)

Condiciones de contorno: c= c

Se definen las fuerzas por unidad de superficie en el contorno:

=

xyz

(1.17)

1.3. Transformacion de coordenadas

El cambio consiste en:x,y,z x,y,z Los vectoresdirectrices de las nuevas coordenadas, referidas a losejes x, y , z seran:

x , y , z

Donde:

x =

111

, y =

222

, z =

333

La transformacion de la carga Pse realiza:P =xx+ yy+ zz =x

x+ yy+ z

z (1.18)

La proyeccion sobre los ejes del sistema es la siguiente:

x= 1x + 2y

+ 3z

y= 1x + 2y

+ 3z

z= 1x + 2y

+ 3z

xy

z

=

1 2 31 2 3

1 2 3

xy

z

(1.19)

Por lo que se deduce que:

P =L P (1.20)


11/32

1.4. Tensiones octaedricas. Tensor esferico y tensor desviador 5

Donde L es la matriz de cambio de ejes, que tiene por expresi on:

L=

x y z

Esta matriz es ortogonal, por lo que L1 =LT.

1.3.1. Propiedades de la matriz de cambio de ejes

L1 LT =I (1.21) =L =LT (1.22)= L =LT (1.23) =L

=

Lema de Cauchy

(1.24)

Con lo que:

=L LT (1.25)= L LT =LT L (1.26)

1.4. Tensiones octaedricas. Tensor esferico y tensor desviador

Plano octaedrico igualmente inclinado respecto a los ejes principales (I,II,II I).

Se parte de:

oct=

1/

3

1/

3

1/

3

; oct=

I 0 00 II 0

0 0 II I

1/

3

1/

3

1/

3

=

I/

3

II/

3

II I/

3

(1.27)

oct= octoct= I+ II+ II I

3 = I1

3 (1.28)

oct=

|oct |2 2oct (1.29)

oct=

1

3

2I+

2II+

2II I

13

(I+ II+ II I)2 (1.30)

La tension octaedrica tambien se puede expresar segun:

oct=

1

3(I II)2 + (I II I)2 + (II II I)2 (1.31)Donde oct y oct son invariantes de tension.


12/32


La matriz de tensiones puede descomponerseen dos componentes, segun:

= + d (1.32)

Donde es el tensor esferico y d es el tensordesviador.

La expresion matricial de la ecuacion (1.32) adopta la siguiente forma:x xy xzyx y yz

zx zy z

=

oct 0 00 oct 0

0 0 oct

+

x oct xy xzyx y oct yz

zx zy z oct

d

(1.33)

1.5. Elipsoide de Lame

Es el lugar geometrico del extremo de todos los correspondientes a todos los planos en

un punto del solido.

Partiendo de la ecuacion matricial:

=

xyz

=

I 0 00 II 0

0 0 II I

xy

z

=

IxIIy

II Iz

(1.34)

Donde:

x=x

I, y =

y

II, z =

z

II ISe debe cumplir que:

2x+ 2y +

2z = 1 (1.35)

Por lo que se deduce la ecuacion del Elipsoide de Lame:xI

2+

yII

2+

zII I

2= 1 (1.36)

Ecuacion que se corresponde con la de un elipsoide en R3.


13/32

1.6. Componentes generales del campo de desplazamientos. Interpretacion geometrica 7

1.6. Componentes generales del campo de desplazamientos.

Interpretacion geometrica

A partir de la figura se observa que:

a + u= x (1.37)

Que expresado en notacion indicial:

ai+ ui = xi (1.38)

Por continuidad se tiene que:

ai+ dai+ ui+ dui = xi+ dxi (1.39)

dai+ dui = dxi (1.40)

Si estas ecuaciones se desarrollan debidamente:

dui =1

2

uixj

dxj 12

ujxi

=1

2

uixj

+ ujxi

dxi+

1

2

uixj

ujxi

dxj (1.41)

Donde ij es el tensor de pequenas deformaciones y Wij es el tensor de giro, y se introducen enla ecuacion (1.41) de la siguiente forma:

ij =1

2

uixj

+ ujxi

=

1

2(ui,j+ uj,i) (1.42)

Wij =1

2

uixj

ujxi

=

1

2(ui,j uj,i) (1.43)

As, las ecuaciones (1.41) y (1.38)quedan:

dui = ijdxi+ Wijdxj (1.44)

dxi = dai+ ijdxi+ Wijdxj (1.45)

Donde el termino dai representa la translacion,Wijdxj el giro y ijdxi la deformacion. La matrizde giroWij se puede expresar de la forma:

W =

0 uy

vx

uz

wx

vx

uy

0 vz

wy

wx

vz

wy

vz

0

(1.46)


14/32


1.6.1. Deformaciones

Ley de dualidad

:

I, II, II II, II, II I

=

||2 =2 + 2

I1, I2, I3.

Crculos de Mohr.

Elipsoide de Lame.

I, II, II II, II, II I

=

||2 =2n+ 2TI1, I2, I3.

Crculos de Mohr.

Elipsoide de deformaciones.

1.6.1.1. Ecuaciones de compatibilidad

El campo de deformacionesij no puede ser arbitario ya que se debe mantener la continuidaddel solido, es decir, debe existir compatibilidad.

Distintas ui pueden generar un mismo campo de deformaciones ij, pero variara su movi-

miento como solido rgido.

Las ecuaciones de compatibilidad son:

22xyxy

=2xy 2

+2y

x2 (1.47)

22xzxz

=2xz 2

+2z

x2 (1.48)

22yzyz

=2yz 2

+2z

y 2 (1.49)

2xyz =

xyzx + zxy + xyz (1.50)

2yxz

=

y

xz

y +

yzx

+ yx

z

(1.51)

2zxy

=

z

xy

z +

xzy

+ yz

x

(1.52)

Que expresadas en notacion indicial, resulta:

ij,kl+ kl,ij=kj,il+ il,kj (1.53)


15/32

9

Captulo 2

El planteamiento general del

problema elastico

2.1. El problema elastico

La relacion entre y viene dada por las ecuacionesde comportamiento. La Ley de Hooke establece larelacion entre ij y ij, cuya expresion en notacionindicial es:

ij =1 + E

ij E

kkij (2.1)

Donde ij es la delta de Kronecker y kk representa una suma.

ij =

1 si i= j0 si i =j (2.2)

kk =11+ 22+ 33= x+ y+ z (2.3)

Las ecuaciones de comportamiento en forma matricial son:

= u (2.4)Donde u es la matriz de comportamiento.

Las incognitas fundamentales sonuen la formulacion en desplazamientos y en la formula-cion en tensiones. Expandiendo la ecuacion (2.4) se obtiene:

xyz

xy

yzxz

=

1G

E

E

0 0 0E

1E

E

0 0 0E

E

1E

0 0 00 0 0 1+

E 0 0

0 0 0 0 1+

E 00 0 0 0 0 1+E

xyzxy

yzxz

(2.5)


16/32

10 2. El planteamiento general del problema elastico

La relacion entre u y viene dada por las ecuaciones de compatibilidad, de forma que paracada sentido:

Compatibilidad ij = 12

(ui,j+ uj,i)

dui = ijdxi+ Wijdxj

Para la resolucion del problema elastico, es necesario plantear un sistema de ecuaciones talque tenga igual numero de ecuaciones de que incognitas. Las ecuaciones de equilibrio aportan 3ecuaciones, las ecuaciones de comportamiento 6 ecuaciones y las ecuaciones de compatibilidad,otras 6. Por otro lado, la matriz de tensiones genera 6 incognitas, las matriz de deformacionesotras 6 incognitas y la matriz de giro, 3 incognitas. El sistema consta pues de 15 ecuaciones con15 incognitas.

2.2. Constantes elasticas. Ecuaciones de Lame

ij =Cijklkl 81 ctes (2.6), simetricas i = Cijij (2.7)

Se sabe que:Cij =u

1ij (2.8)

Donde uij es la funcion densidad de energa de deformacion. Surge entonces otra pregunta: EsCij simetrica? Para dilucidarlo, se procede como sigue:

ui

=i = Ciji , uj

=j =Cjij2u

ij=Cij,

2uji

=Cji

Cij =Cji S, es simetrica

Para un solido anisotropo, existen 21 constantes elasticas. Para un solido ortotropo, 9 cons-tantes elasticas (3 planos de simetra en comportamiento).

Se sabe que:

=LT

L (2.9)

L=

1 0 00 1 0

0 0 1

(2.10)

n

T

=

C11 C11 C11 0 0 0C11 C22 C11 0 0 0C11 C11 C33 0 0 0

0 0 0 C44 C11 C11

0 0 0 C11 C55 C110 0 0 C11 C11 C66

n

T

(2.11)


17/32

2.3. Formulacion del problema elastico en desplazamientos. Ecuaciones de Navier 11

Para un solido isotropo existen planos de simetra.

90o C11= C22= C33; C12= C13= C23; C44= C55= C6645o C44= C11 C12 2 constantes :

C12= Coeficiente de Lame

C11 C12= C44= 2G Modulo de elasticidad transversal

La matriz Cij se expresa, pues, de la siguiente forma:

Cij =

+ 2G 0 0 0 + 2G 0 0 0 + 2G 0 0 00 0 0 2G 0 0

0 0 0 0 2G 00 0 0 0 0 2G

(2.12)

Pasando esta ecuacion a notacion indicial, se obtienen las ecuaciones de Lame:

ij = 2Gij+ kkij (2.13)

2.3. Formulacion del problema elastico en desplazamientos.

Ecuaciones de Navier

Se busca conocer el campo de desplazamientos en funcion de las fuerzas masicas y las cargas:

X, P u

Se parte de las ecuaciones de comportamiento, y considerando que e = x+ y+ z:

x= e + 2Gx=

u

x+

v

y+

w

z

+ 2G

u

x (2.14)

x=

u + 2Gu

x (2.15)

xy = 2Gxy =G

u

y +

v

x

(2.16)

xz = 2Gxz =G

u

z +

w

x

(2.17)

Haciendo uso de las ecuaciones de equilibrio:

ij,j+ Xi = 0 (2.18)

x

x =

x u + 2G

2u

x2 (2.19)


18/32

12 2. El planteamiento general del problema elastico

Por lo que entonces, para el eje x:

X+

x u + 2G2u

x2 + G

2u

y 2 + G

2u

xy + + G2w

xz = 0 (2.20)

X+

x u + G

x

u

x+

v

y+

w

z

u

+G

2u

x2+

2v

y 2+

2w

z 2

2u

= 0 (2.21)

Las ecuaciones de Navierson, pues:

X+ ( + G)

x u + G 2u (2.22)

Y + ( + G)

y u + G 2

v (2.23)

Z+ ( + G)

z u + G 2w (2.24)

Que, generalizando, se obtiene la ecuacion fundamental de la elasticidad en notacion vectorial:

X+ ( + G) ( u) + G 2u= 0 (2.25)Esta ecuacion presenta las siguientes caractersticas:

Al ser vectorial, es independiente del sistema de coordenadas elegido.

Solo intervienen X y u.

A partir de u, v , w se garantiza la continuidad.

Las ecuaciones de Navier tambien se pueden expresar en notacion indicial, quedando:

Xi+ ( + G) uj.ij+ Gui,jj = 0 (2.26)

2.4. Unicidad del problema elastico

El teorema de Kirchhoffenuncia que la matriz verifica el equilibrio interno y el equilibrioen el contorno, hecho que se demuestra por energas de deformacion.

Por otra parte, la matriz verifica las ecuaciones de compatibilidad, lo que supone que lasolucion al problema elastico sea unica.


19/32

2.5. Formulacion del problema elastico en tensiones. Ecuaciones de Beltrami-Michell 13

2.5. Formulacion del problema elastico en tensiones. Ecuaciones

de Beltrami-Michell

En este caso, las incognitas fundamentales son los elementos de la matriz . Las ecuacionesde Beltrami-Michellson las que se presentan a continuacion:

2x+ 11 +

2I1x2

= 1 +

X 2 Xx

(2.27)

2y+ 11 +

2I1y 2

= 1 +

X 2 Yy

(2.28)

2z+ 11 +

2I1z 2

= 1 +

X 2 Zz

(2.29)

2

xy+

1

1 +

2I1xy = Xy + Yx (2.30)

2xz+ 11 +

2I1xz

=

X

z +

Z

x

(2.31)

2yz+ 11 +

2I1yz

=

Y

Elasticidad de Materiales

Documents

Transcript of Elasticidad de Materiales