ELASTICIDAD

Deformaciones mecánicas

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ELASTICIDAD• Objetivos

– Comprender y entender que la materia no es totalmente rígida.

– Diferenciar entre deformaciones mecánicas y deformaciones térmicas.

– Diferenciar entre las tres deformaciones mecánicas que experimentan los sólidos.

– Distinguir entre comportamiento elástico, comportamiento plástico y ruptura y cuándo los sólidos los experimentan.

– Entender el sentido de los módulos elásticos y saber diferenciar entre uno y otro.

– Poder analizar cualquiera de las tres deformaciones mecánicas de los sólidos.

ELASTICIDAD– Entender que el movimiento

vibracional de la materia es producido principalmente debido a la elasticidad de la misma.

ELASTICIDAD• Deformaciones

– Cambio en las propiedades físicas de la materia

– Tipos:• Mecánicas

– Producidas por fuerzas– Pueden ser

• Longitudinales (cambia la longitud)

• Volumétricas (cambia el volumen)

• Torsión (se tuerce)

• Térmicas– Producidas por calor– Pueden ser

• Longitudinales (cambia la longitud)

• Superficiales (cambia el área)

• Volumétricas (cambia el volumen)

ELASTICIDAD– Los sólidos pueden experimentar

cualquiera de estas deformaciones tanto mecánicas como térmicas• Los fluidos solo pueden experimentar las

deformaciones volumétricas tanto mecánicas como térmicas

ELASTICIDAD• Elasticidad

– Propiedad de la materia que le permite regresar a su forma y estado original una vez se le retire eso que la deforma

– Es responsable por la deformación que puede experimentar la materia

– El sistema elástico más sencillo es el resorte• Su proceso de deformación se rige mediante La

Ley de Hooke– La magnitud de la fuerza elástica del resorte es

directamente proporcional a la posición del mismo en relación a su posición de equilibrio {F=-kx}• Para las x’s positivas, las F’s son negativas• Para las x’s negativas, las F’s son positivas• La fuerza elástica actúa siempre hacia la

posición de equilibrio del resorte

ELASTICIDAD– La magnitud de la fuerza que la va a producir

una deformación al resorte es igual a la magnitud de la fuerza elástica en el resorte cuando éste se encuentre a cierta distancia de su posición de equilibrio {F=kx}

– Esto es cierto siempre y cuando no se sobrepase el LÍMITE ELÁSTICO del resorte• La fuerza máxima o deformación máxima que

puede experimentar un resorte sin que se deforme permanentemente

• Mientras no se sobrepase este límite, el comportamiento del resorte será elástico

• Si se sobrepasa este límite, el comportamiento del resorte será plástico

– Recordemos que k representa la constante de fuerza del resorte (que también se conoce como su rigidez) y x representa la distancia del resorte a partir de su posición de equilibrio (que en este caso se conoce como su deformación)

ELASTICIDAD– Esto significa que si una fuerza de 500 Nts

hace que un resorte se deforme 25 cm, su rigidez es de

k = F/x = (500 Nts)/(0.25m) = 2,000 Nts/m• Cada 2,000 Nts de fuerza le va a producir

al resorte una deformación de 1 m• Para cada metro de deformación se

necesita una fuerza de 2,000 Nts

La Ley de Hooke

ELASTICIDAD– Si construímos una gráfica de F vs x

Límite de ruptura F Límite Elástico

x

ELASTICIDAD• Elasticidad en la materia

– Cuando hablamos de la deformación de los sólidos, los líquidos y los gases ésta no necesariamente es proporcional a la fuerza produciéndola• La deformación de la materia puede tener

diferentes valores dependiendo de cómo una fuerza única sea aplicada al material– Para una persona parada sobre un área grande

L(def

ormación pequeña en longitud)

ELASTICIDAD– Para la misma persona parada sobre un área

pequeña

L (deformación grande en longitud)

– Bajo el efecto de una misma fuerza deformativa, la deformación es inversamente proporcional al área

• Como en la deformación de la materia está envuelta el área sobre la cual actúa la fuerza, hablamos de un esfuerzo deformativo (ED) en vez de una fuerza deformativa

– ED = F/A– Se expresa en Nt/m²=Pascal, D/cm² y Lb/ft²

ELASTICIDAD– Cuando hablamos de las deformaciones de

la materia debemos tener en consideración que los objetos pequeños tienden a deformarse poco y los objetos grandes tienden a deformase mucho• Las deformaciones son proporcionales a sus

tamaños iniciales• No podemos hablar de deformaciones como tal

sino que hablamos de deformaciones relativas (DR)– Deformaciones en relación a su tamaño inicial– Como hay tres tipos de deformaciones mecánicas,

hay tres tipos de deformaciones relativas• deformación longitudinal relativa = L/Lo

Lo

L

F

ELASTICIDAD• deformación volumétrica relativa = V/Vo

F

• torsión = = x/h (para cuerpos rectangulares)

x (desplazamiento de una capa en relación a la base fija)

h (separación entre los dos niveles)

(Ángulo de torsión)

[para ángulos pequeños tan = radianes = x/h]

Vo

V

F

ELASTICIDAD– Siempre y cuando el objeto no se

deforme permanentemente podemos aplicar la Ley de Hooke haciendo uso de los cambios correspondientes en los términos• “El esfuerzo deformativo (ED) es

proporcional a la deformación relativa (DR)”– Para deformaciones longitudinales

• F/A es proporcional a L/Lo

– Para deformaciones volumétricas• F/A es proporcional a V/Vo

– Para torsiones• F/A es proporcional a (x/h)

• el esfuerzo deformativo se conoce como el “stress” mientras que la deformación relativa se conoce como el “strain”– “stress” proporcional al “strain”

ELASTICIDAD• El esfuerzo deformativo por unidad de

deformación relativa es constante para un material en específico– Se conoce como el módulo elástico– Es el equivalente a la rigidez en el resorte

• Como hay tres tipos de deformaciones mecánicas, tienen que haber tres tipos de módulos elásticos– Se requieren diferentes esfuerzos deformativos

para producir cada una de estas deformaciones– Módulos elásticos

• Módulo de Young E (para deformaciones longitudinales)

• Módulo volumétrico B (para deformaciones volumétricas)

• Módulo de torsión S (para torsiones)

– Se expresan en las mismas unidades que el esfuerzo deformativo ya que las deformaciones relativas no poseen unidades• Nts/m²=Pa, D/cm² y Lbs/ft²

ELASTICIDAD– De acuerdo a la lógica

• B > E > S• Producir una deformación en las tres

dimensiones debe requerir un esfuerzo deformativo mayor que producir una deformación en una dimensión

• Producir una deformación en una de las dimensiones debe requerir un esfuerzo deformativo mayor que deslizar una capa del material en relación a otra

En una deformación volumétrica o longitudinal hay que vencer las fuerzas intermoleculares

En una deformación por torsión no hay que vencer estas fuerzas: solo rotar unas moléculas del material en relación a las otras

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– Comparación entre los diferentes módulos

MATERIAL YOUNG (E)

VOLUMÉTRICO (B)

TORSIÓN(S)

acero 20x10^10 Pa

16x10^10 Pa 7.5x10^10 Pa

aluminio 7x10^10 Pa 7.5x10^10 Pa 2.5x10^10 Pa

cobre 11x10^10 Pa

14x10^10 Pa 4.4x10^10 Pa

hierro 21x10^10 Pa

16x10^10Pa 7.7x10^10 Pa

Latón 9x10^10 Pa 6x10^10 Pa 3.5x10^10 Pa

níquel 21x10^10 Pa

17x10^10 Pa 7.8x10^10 Pa

plomo 1.6x10^10 Pa

4.1x10^10 Pa 0.6x10^10 Pa

vidrio 6x10^10 Pa 5x10^10 Pa 2.5x10^10 Pa

Los módulos tienen valores extremadamente grandes ya que representan el esfuerzo deformativo que se necesitaría para producir

una unidad de deformación relativa

ELASTICIDAD– Para analizar cada una de estas

deformaciones usamos las ecuaciones• F/A = E L/Lo

• F/A = B V/Vo

• F/A = S = S (x/h)– En el caso de las deformaciones

longitudinales y volumétricas, la fuerza debe actuar perpendicular a la superficie (F┴A)

– En el caso de las deformaciones por torsión, la fuerza debe actuar paralela a la superficie (F║A)

ELASTICIDAD– Comportamientos

• Elástico– Cuando el esfuerzo deformativo no sobrepasa

el límite elástico

• Plástico– Cuando el esfuerzo deformativo sobrepasa el

límite elástico pero el sólido no se rompe

• Ruptura– Cuando el esfuerzo deformativo sobrepasa el

límite de ruptura• Esfuerzo deformativo máximo que puede

aguantar la materia sin que ésta se rompa• También se conoce como fortaleza última

• Ejemplo #1– Una viga de acero con un diámetro de

10 cm y una longitud de 2.5 m sostiene una carga de 2,000 kg. Determine:• El esfuerzo deformativo sobre la columna

ED = F/A Y DR Y L/Lo

F = Wt = mg = (2,000)(9.8) Nts = 19,600 NtsA = d²/4 = (.10)²/4 m² = 0.00785 m²

ED = [19,600/.00785) Nt/m² = 2.5E6 Nt/m² = 2.5 MPa

• La deformación relativaDR = L/Lo ED/Y

DR = (2.5E6)/(20E10) = 1.25E(-5)

ELASTICIDAD

• La deformación de la columnaL = (DR)Lo (FLo)/(AY)

L = [1.25E(-5)](2.5 m) = 3.12E(-5) mL = - 0.0000312 m

• La longitud final de la columnaLf = Li + L

Lf = 2.5 + (-0.0000312) = 2.4999688 m

• La deformación relativa en términos de %% = (L/Lo) x 100% = DR x 100%

% = (.0000312/2.5)*100% = 0.00125%

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• Ejemplo #2– Un bloque rectangular de plomo con

dimensiones de 25 cm x 60 cm x 48 cm se encuentra bajo una esfuerzo deformativo de 24,900 Nt/m². Calcule:• su deformación relativa

DR = V/Vo ED/BDR = 24,900/4.1E10) = 6.07E(-7)

• su deformación volumétricaV = DR Vo (FVo)/(AB)

V = [6.07E(-7)] (.25x.60x.48) m³ = 4.37E(-8) m³• La fuerza deformativa sobre la superficie

mayorF = (ED) A [(DR)(B)]A

F = (24,900) (0.6x0.48) Nts = 7,200 Nts

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• Ejemplo #3– Un bloque de aluminio de 10 cm de

largo, 20 cm de ancho y 15 cm de alto experimenta una fuerza paralela a su superficie superior y la misma se desplaza 0.0037 cm. Calcule:• su ángulo de torsión

= x/h ED/S = 0.0037/15 = 2.47E(-4) rad

• El esfuerzo deformativo sobre el bloqueED = S DR S

ED = (2.5E10)(0.000247) Pa = 6,180 Pa• La fuerza deformativa

F = (ED) A S AF = (6,180) (0.1x0.2) Nts = 124 Nts

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