ELECTROMAGNETISMO PARA INGENIERÍAS

ELECTROMAGNETISMO FI; PARA INGENIERÍAS LI:

JESÚS FABIÁN JURADO

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIASEDE MANIZALES

FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES

Manizales, Colombia septiembre de 2013

© Universidad Nacional de Colombia Sede ManizalesFacultad de Ciencias Exactas y Naturales© Autor

JESÚS FABIÁN JURADO [email protected]

i] ISBN 978-958-761-564-7

tí Diseño y ediciónH| Sección Publicaciones e Imagen % Primera edición, 2013| Impreso y hecho en Manizales, Colombia.5'í

! Prohibida la reproducción total o parcial *4 por cualquier medio sin la autorizacióny escrita del titular de los derechos patrimoniales

mailto:[email protected]

Prologo

Este documento en su primera versión hace parte de la recapitulación de notas de clases, de la signatura electricidad y magnetismo impartidos a estudiantes de ingeniería en la Universidad Nacional de Colombia Sede Manizales.El objetivo del texto es de servir de guía al lector, en los procesos de discriminar los detalles matemáticos y de interpretación de fenomenologías referentes a la electricidad y magnetismo. Además, de ayudarle en la solución de un problema particular con los argumentos mínimos necesarios para pasar de una operación matemática a la siguiente.El contenido está organizado en capítulos, en cada uno de ellos se incluye una exposición mínima del núcleo básico, seguida de un planteamiento y solución de algunos problemas típicos propuestos en los textos. Muchos de los ejemplos y ejercicios presentados en aquí fueron tomados de los textos que se presentan en la bibliografía.

Agradecimientos

Son muchas las personas que de una u otra forma contribuyeron para escribir la primera versión de estas notas. Agradezco la colaboración al personal de la Universidad Nacional de Colombia Sede Manizales. Finalmente, agradezco el apoyo desplegado por mi esposa Luz, mis hijos Nathaly y Fernando. Fueron ellos los que me brindaron continuamente el estímulo y la tolerancia para el desarrollo de estas notas.

índice general

1. Electrostática y Ley de Coulomb 11.1. Electrostática......................................................................................................................................... 11.2. Carga eléctrica...................................................................................................................................... 11.3. Ley de Coulomb................................................................................................................................... 21.4. Campo eléctrico ................................................................................................................................... 51.5. Ejem plos................................................................................................................................................ 5

2 . Flujo de campo eléctrico y Ley de Gauss 392.1. Flujo e lé c trico ..........................................................................................................................................392.2. Ley de Gauss ..........................................................................................................................................402.3. Ejem plos....................................................................................................................................................41

3. Energía potencial y potencial eléctrico 533.1. Trabajo y energía potencial....................................................................................................................533.2. Potencial eléctrico....................................................................................................................................543.3. Superficies equipotenciales ................................................................................................................ 603.4. Ejem plos....................................................................................................................................................61

4. Capacitancia eléctrica 774.1. Acople de capacitores............................................................................................................................. 824.2. Capacitores con dieléctrico....................................................................................................................844.3. Ejem plos....................................................................................................................................................85

5. Corriente y circuitos de corriente continua 935.1. Resistencia eléctrica, ley de O h m .......................................................................................................935.2. Acople de resistores.................................................................................................................................965.3. Ejem plos.................................................................................................................................................... 995.4. Energía y potencia ...............................................................................................................................1025.5. Circuitos de corriente co n tin u a ........................................................................................................ 1035.6. E jem plos..................................................................................................................................................104

6 . Campo magnético 1196.1. Introducción........................................................................................................................................... 1196 .2 . Rujo de campo m agnético................................................................................................................. 1206.3. Fuerza m agn ética..................................................................................................................................1216.4. E jem plos..................................................................................................................................................1246.5. Fuentes de campo m ag n ético ........................................................................................................... 1366 .6 . Ejem plos..................................................................................................................................................1386.7. Ley de A m p e r e .....................................................................................................................................1626 .8 . E jem plos..................................................................................................................................................162

7. Inductancia 1677.1. Introducción........................................................................................................................................... 1677.2. Ley de inducción de Faraday: fe m de m ovim iento.................................................................... 1677.3. E jem plos..................................................................................................................................................1697.4. Relación entre la fem y campo eléctrico no estático.................................................................... 172

7.5. E jem p lo s ...................................................................................................................................................... 1727.6. Autoinductancia: Inductancia m u tu a ................................................................................................ 1797.7. Circuitos con in d u cto res ........................................................................................................................ 183

A. Unidades y constantes fundamentales 193A .l. Unidades: Sistema Internacional ( S I ) .................................................................................................193A.2. Constantes fís ic a s ..................................................................................................................................... 193A.3. C on stan tes...................................................................................................................................................194

B. Trigonometría 195B.l. Funciones trig o m étricas ........................................................................................................................195B.2. Geometría an alítica .................................................................................................................................. 196

C. Calculo diferencial e integral 199C .l. Deriva de una fu n c ió n ......................................................................................................................... ...C.2. Integrales indefinidas.............................................................................................................................. 200C.3. Integrales de probabilidad.................................................................................................................... 200C.4. Operador Laplaciano (v2) del potencial eléctrico V ........................................................................200

índice alfabético 204

Capítulo 1

Electrostática y Ley de Coulomb

1.1. Electrostática

1.1.1. IntroducciónEsta sección está dedicada al estudio que rigen los fenómenos físicos donde se involucra la carga

eléctrica. Esta parte de la física esta integrada por leyes que están bien definidas en tomo a la interacción entre cargas eléctricas. En un marco más general, es plausible interpretar que la interacción entre la materia se puede enmarcar en cuatro fuerza: Gravitadonal, electromagnética nuclear fuerte y nuclear débil. Estas interacciones decrecen con la distancia de separación de los cuerpo interactuan- tes. Los resultados muestran que la interacción más fuerte es la nuclear fuerte, la cual está presente en el núcleo atómico y es mayor en dos ordenes de magnitud con respecto a la interacción electromagnética. Mientras que, la interacción electromagnética es mayor que la interacción gravitadonal en un factor de 1039, aproximadamente. La fuerza gravitadonal surge de la interacción mutua de las masas, mientras que la interacdón electromagnética proviene de la interacción de las cargas. Dada la existencia de dos tipos de interacdón repulsivo y atractiva, se ha concluido que en la naturaleza existen dos tipos de carga eléctrica; carga positiva y carga negativa. Se ha logrado establecer que cargas del mismo signo la interacción es de tipo repulsivo, mientras que de signos contrarío su interacción es de tipo atractivo, (ver referendas).

1.2. Carga eléctricaEsta bien establecido que la materia esta constituida por moléculas, las moléculas están cons

tituidas por átomos y los átomos poseen estructura. La descripción dásica de un átomo se puede interpretar como un modelo de esfera. En el modelo se acepta que en el núcleo están localizados los protones y neutrones en tanto que rodeando al núcleo se hallan los electrones(nube electrónica). Se ha logrado determinar que los electrones y protones poseen carga eléctrica con signo contrario mientras que los neutrones no poseen carga. La unidad de medida de la carga eléctrica es el coulomb (C). Las características más relevantes de estas partículas se listan en la tabla(5.1). La carga neta del núcleo se considera como Ze, siendo Z el número atómico y e la carga fundamental ( e « l , 6 x 10- 19C). Existen muchas técnicas experimentales para adicionar o extraer electrones a un átomo, éste procedimiento se conoce con el nombre de ionización. La materia en su estado natural o no perturbado es neutro, mientras que cuando un átomo posee un exceso o ausencia de carga (electrones) se denomina un átomo ionizado (cargado). En todo el proceso de transferencia de la carga se cumple con dos principios fundamentales: (i) Principio de conservación de la carga: Éste principio establece que en todo sistema aislado, la carga que sale de un objeto es igual a la carga que entra al otro objeto, (ii) Cuantización de la carga: Este principio establece que en la transferencia de carga siempre se hace en un número entero de cargas elementales.

‘ Unidades de la masa del protón

Tabla 1.1: Magnitudes físicas

Partícula Símbolo Carga Masa*

Protón P e 1,000

Neutrón n 0 1,001

Electrón e~ -e 0,000545

Positrón e+ e 0,000545

Muón -e,+e 0,1126

Mesón pi(positivo, negativo) n +, n~ -e,+e 0,1488

Pión neutro 7T° 0 0,1138

Fotón 7 0 0

Neutrino V 0 0

Lambda A° 0 1,189

Mesón p p * 'p ~ ,p ° -e,-e,0 0,82

Mesón cu Cü 0 0,836

Se listan a continuación algunos de los métodos experimentales más populares para cargar objetos eléctricamente,

1. conducción, se da cuando hay movimiento de carga eléctrica a través del objeto.

2 . inducción, movimiento de carga sin hacer contacto mecánico entre los objetos.

3. fricción, transferencia de carga cuando hay contacto directo entre los objetos.

4. fotoluminiscencia, la presencia de luz induce carga eléctrica en el objeto.

5. piezoeléctrico, la diferencia de presión puede causar exceso de carga.

1.3. Ley de CoulombAl rededor de 1780, el físico francés Charles Augustin de Coulomb postuló la manera de cuantifi-

car la interacción entre cargas eléctricas a través de la ley de Coulomb. Esta interacción cuantifica la repulsión o atracción entre dos cargas. La representación gráfica de esta interacción se muestra en la figura(l.l).El montaje experimental para cuantificar la interacción, fue el mismo que utilizó Cavendish para cuantificar la fuerza gravitadonal. Es muy importante destacar que el arreglo experimental no está diseñado para cargas puntuales, por lo cual se opta en distribuir en forma homogénea la carga en dos objetos esféricos de radios iguales. Si la distancia de separación de los objetos esféricos es mucho mayor que el radio de las esferas, se puede considerar la interacción como una interacción de dos objetos puntuales.

De la observación experimental entorno al interacción entre los dos objetos puntales cargados con cargas q y separados un distancia r, se llega a las siguientes conclusiones:

Figura 1.1: Interacción electrostática entre dos cargas eléctricas puntuales.

1. La fuerza eléctrica, esta en la dirección que une a las dos cargas.

2. La fuerza eléctrica, es directamente proporcional al producto de las dos cargas (q • q).

3. La fuerza eléctrica f es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que separa a las dos cargas.

Estas características están contenidas en una sola ecuación denominada Ley de Coulomb.

?12 = ■ r- q' ql ,3 ( 3 - ri) = - h)K 2 - rl r I r2 - rl I

(1.1)

A partir de la expresión(l.l) se puede determinar el valor de la constante k, denominada constante de Coulomb o constante eléctrica. El valor de la constante eléctrica se ha logrado determinar con mucha precisión, pero es muy usual considerar el valor k « 8,99 x 109 NC~2m2, para efectos de los cálculos numéricos se puede aproximar a 9 x 109. Es muy habitual escribir la constante eléctrica en términos de la permisividad eléctrica del vacío siendo k = 5^ .Aprovechando el principio de superposición, la ley de Coulomb se puede generalizar para una distribución de cargas discretas(cargas puntuales).La fuerza resultante sobre una carga puntual, es la superposición de la fuerzas entre pares de cargas. La figura(1.2) muestra la fuerza resultante sobre la carga q¡ debido las N-cargas presentes.

Para el caso de una distribución de carga continua (objeto), la fuerza que puede experimentar una carga puntual q', se puede determinar a partir del principio de superposición, tal como se hizo con la distribución de carga discreta.Consideremos un objeto cargado Q en el cual se elige un elemento de carga Aq (figura(1.3)). La interacción entre el elemento de carga Aq y la carga puntual q' no es más que el elemento de fuerza AF, que está dada por,

A F = _ k ¿ A2_ (PI r ' — r I3 '

(1.2)

Para determinar la fuerza total resultante sobre la carga c¡ , se suma sobre todos los elementos de fuerzas. Para obtener un cálculo lo más exacto posible, se debe considerar los diferenciales de carga

Figura 1.2: Distribución discreta de N + 1 cargas.

o) b)

Figura 1.3: (a)Fuerza sobre una carga puntal q' debido a una distribución de carga, (b) campo eléctrico

generado por una distribución de carga.

lo más pequeño posibles, es decir, Aq 0 e integramos sobre toda la carga del objeto, resultando-

00 - rF = lím V AF = / dF n * \

Aí/-+o „=i J (13a)

í ki d* (r- ' _ nyQ I p _ jr |3 r) (1.3b)

La ecuación(1.3b) representa la fuerza total que hace el objeto con carga Q sobre la carga puntal q'.

1.4. Campo eléctricoConsideremos en el espacio dos carga puntuales Q y carga q' las cuales están separadas un distan

da |r* — r|, sufidentemente grande. Sea F la fuerza que ejerce la carga Q sobre o¡, tal como se indicaen la fígura(1.3a). Ahora, definamos la magnitud de la fuerza por unidad de carga como el campoeléctrico É (fígura(1.3b)). Las unidades del campo eléctrico están dadas por: E =Es muy importante resaltar que, el campo eléctrico es una magnitud intrínseca de la carga eléctrica, y su valor se determina a partir de;

E = lím 4 (1.4a)4 -*o qf

= lím W Q ( ? - r ) (1.4b)q'->o q' | r* - r |3

= - {? - r) = ~ Q {? - f) (1.4c)| r' — r |3 v ' | r' — r |2 ’

Esta expresión(1.4c), representa la defmidón más exacta de campo eléctrico a un distancia | r' — r | medida desde la carga fuente Q.Para el caso de un distribudón discreta de N cargas, el campo eléctrico a un distancia | r' — r \ medida desde cada una de las cargas es la superposición de los campos individuales:

í - ñ r í V - n - E r í V - o osi=i | r' — r p í T i l r ' —r|2

Para el caso de un distribudón de cargas continua (objeto cargado), el campo eléctrico estaría dado por la expresión:

g = f - J É S - {? - T ) = f (r' — r)JQ I r' — r I3 JQ I r1 — r I2

(1.6)

1.5. Ejemplos

1.5.1. Cargas puntuales en los vértices de un triánguloTres cargas puntuales están localizadas en las esquinas de un triángulo equilátero de lado / = 1

m, tal como se muestra en la figura(1.4), donde; q\ = 1 x 10" 19 Q ,q2 = 2 x 10“ 19 C, q$ = 3 x 10-19C. Determinar la fuerza eléctrica sobre la carga q\, localizada en el origen de coordenadas.

SoluciónPara determinar la fuerza resultante sobre la carga puntual q\, hacemos que el origen de coorde

nadas coincida con esta carga, y determinamos las dos fuerzas que actúan:

F = F! + F2 (1.7)

Los vectores fuerza F¡ y ?2 se terminan a partir de;

r _ ^ 1^2 /-. -y \f | _ i v r ? r p < r2 _ r ' )

en correspondencia con la geometría disponible construimos los respectivos vectores de posición r\ y ?2. De donde;

h = 0

posición(m)

Figura 1.4: Tres cargas puntuales localizadas en los vertices del triángulo equilátero.

luego, de reemplazar los valores respectivos se tiene que:

p (9 x 109)(1 x 10"19)(2 x 10-19) ,1 * 3 . -

1 _ [(| )2 + ( i ) 2]3 ( 2 ? + 4 ^ ° )

Fj = 24,65 x 1(T29( Í i + ^ ¡)N

La fuerza está dada por:

P _ (9 x 109)(1 x 10~19)(3 x IO-19)(O2 + 12)3/2 ( "

F2 = 27 x 10~29¡N

la fuerza total es:

F = F1 + h = 24,65 x 10- 29(i¿ + |/)N + 27 x 10~ *ÍN = Fx + Py

F = 39,32 x 10~29íN + 18,48 x 10" 29/N

F = y (39,32)2 + (18,48)2N

F = 43,44 x 10~39N

El ángulo a , de inclinación con respecto al eje x, se determina a partir de;

Fya = arctan = arctan(0,469) = 25,1°

1.5.2. Cargas puntuales en los vertices de un hexágonoUn hexágono regular de lado L, posee cargas en cada uno de los vértices. Determinar el campo

eléctrico en el centro del hexágono y evalué para cuando L=1 cm y q = C, tal como se indica en lafigura(1.5), para cuando; q\ = qi = % = 9 y *?3 = «?4 = % = - q .

I y i

Figura 1.5: Cargas puntuales localizadas en los verdees de un hexágono regular de lado L.

SoluciónEl campo eléctrico resultante en el centro geométrico del hexágono, se determina a partir de la

superposición de los campos individuales creados por cada una de las cargas:

E j = Éj = Éi + É 2 + É3 + £4 + É5 + Éó i

- . —xl — 1/7 , —y] , xi — yjE t = k q ^ 3- + kq— + kq -------------

V + y2) i V ) 3 (x2 + y2) i

_ k q ^ ^ + *9 ^ 4 +(*2 + y2)§ (y2)* (*2 + y2) Í

(x2 + y2)5 3r (*2 + y2) 2 3r

= 2 ^ ; ; - X r i - 2 k q i y , + i ) ;

(* + y ) 2 ( * 2 + y2) 2 y

= - k q V 3 l ( T ) t - k q l ( - T + 4 - ) /( f /2 + |/2)* ( ¡ i 2 + \i2) í V 2

_ kq y /3? 9 k q ? _ 2kqy/3? 9kq *= ]2 1 ]T 1 ~ ¡2 1 /2~ 1

Evaluando para cuando; k=9 x 109, q = 1 }iC y /=10 cm.

p 2 ( 9 x l 0 9) ( l (T 6) ( l ,7 3 )? 9(9 x 109)(1(T 6) ,£t í F 3 1 N /c W* ; 7

= 31,14 x 1071 N /C — 81 x 107/N /C

La magnitud del campo eléctrico está dado por;

£ = ^ ( 3 M 4 > r i o 7 ) 2 T ( 8 l T l ^ N / C = ^969,69 + 6561 x 107 N /C

= 86,78 x 107 N /C

1.5.3. Átomo de hidrógenoConsidere el átomo de hidrógeno para un modelo clásico, (a) Calcular la fuerza electrostática que

ejerce el núcleo sobre el electrón, (b) Comparar las magnitudes de la fuerza gravitacional del núcleo sobre el electrón con la fuerza electrostática.

Solución1. El átomo de hidrógeno en un modelo clásico es considerado como un esfera, donde el núcleo es

concéntricos a la órbita que describe el electrón a un distancia r = 0,53 Á. El núcleo tiene carga +e, mientras que el electrón posee una carga -e. La fuerza eléctrica sobre el electrón (figura(1.6)) calculada por un observador localizado en el núcleo del átomo, estaría dada por:

Figura 1.6: Modelo clásico del átomo de hidrógeno. El núcleo es concéntrico a la órbita que describe

el electrón localizado a una distancia r.

k(e )(e) „ s

(9 x 109Nm2/C 2) ( l ,6 x 1(T19C)(1,6 x 1 0 -19C )," (0,5o- 1» « ) 2 (_ f )N

F = 92,16 x 10- 9 (—?) N

la magnitud de la fuerza es,F = 92,16 x 10~9 N

El signo menos de la expresión indica que la fuerza esta dirigida hacia el núcleo, es decir atrae- ti va.

2. Ahora, calculemos la fuerza gravitacional Fg, que experimenta el electrón:

* G(m„)(me) llt Cm„mepg = -, r i - ^ F (ri ~ r2) ~ - r { ~ r)

(6,67 x 10“ 11Nm2 //cg2)(9 ,ll x 10~31 Are )(1,67 x 10“27f a ) , f 8 - ' (0,50“ ,0m)2 N

Fg = 405,6 x 10"49(-P ) N

La razón entre las dos fuerzas esta dada por;

Razón = J L = 2 ,2 7 x 1039Fg

Este resultado muestra como la fuerza eléctrica es 1039 veces mayor que la fuerza gravitacional. En otras palabras podríamos decir, la fuerza gravitacional es despreciable en comparación con la fuerza electrostática.

1.5.4. Cargas puntuales en línea

Imaginemos dos cargas puntales Q\ y Qz desconocidas, en un punto de la línea que las une a 5 de la distancia Qi a Q2, el campo eléctrico es cero. ¿Qué puede decirse con relación a esas dos cargas?.

SoluciónSi en el punto en cuestión el campo es cero, podemos decir que:

£ 7 = £1 + £2 = 0 —> E\ = — £2

las magnitudes de los dos campos eléctricos, son:

kQi = kQ2

( l )2 (D 2de donde se concluye:

Qi = \Q i

La conclusiones a las cuales se puede llegar, es que las cargas tiene el mismo signo y la carga Q2 es cuatro veces la carga Qi

1.5.5. Cuentas cargadas en un tazón aislanteDos cuentas idénticas de masa M = 0,30 kg y carga Q. Cuando se colocan en un tazón esférico

con paredes lizas (sin fricción) no conductores, las cuentas se deslizan sobre el tazón hasta encontrar la posición de equilibrio y quedan separadas una distancia R, tal como se indica en la fígura(1.7). Si el radio del tazón es de R=0.75 m, determinar la carga en cada cuenta.

SoluciónLas fuerzas que actúan sobre la cuenta del lado izquierdo y de considerar el primer principio de

equilibrio se tiene,

para la dirección x

para la dirección y

luego,

N eos 6 — F — 0 —>• N eos 6 = F

N sin 9 — Mg = 0 —> N sin 6 = Mg

_ Mitan 6 = —y r _

y*

Figura 1.7: (a) Cuentas esféricas con carga deslizan sobre un tazón de radio R, (b) fuerzas que actúan

sobre la carga del lado izquierdo.

la magnitud de la fuerza eléctrica está dada por:

F - * 0 f

de comparar estas dos fuerzas

k & = Mg_ /M gR iR2 tan 9 V k tan 6

en correspondencia con la geometría, 9 = 60°,

/ (0,3kg)(10m/s2) (0,75m)2 _ /¿ — -_QQ V (9 x 109Nm2/C 2)(tan(60°)) V ° ' 108 10 C 0 ,3 3 x 1 0 C

1.5.6. Cargas iguales pendiendo de cuerdas(a)Dos objetos puntuales iguales con carga q y masa m, están atadas a cuerdas aislantes de igual

longitud y masa despreciable, sujetas al techo en el mismo punto formando un péndulo (figura(1.8a)). Determinar el valor de las tensiones en las cuerdas y la distancia de separación para que el sistema esté en equilibrio, (b) Si se lograría desaparecer una de las dos cargas, calcular la velocidad de la otra al pasar por la vertical.

Solución(a) Cuando el sistema está en equilibrio, se establece que la suma de fuerzas que actúan sobre las

masa es igual a cero, entonces;

para la dirección x :

Fx — 0; —> Tx — Fe = 0

a) b) c)

Figura 1.8: (a)Dos cuerpos puntales iguales están suspendidas de dos cuerda de longitud igual desde

el mismo punto, (b) movimiento de caída de una carga, (c) geometría para determinar la velocidad

de la masa cuando pasa por la vertical.

donde,

r _ k<?W k<f „ T . ÍM kq2x2 ~ x 2 ~ sin(fl) —

siendo x, la separación entre las dos cargas;

para la dirección y:

Fy = 0; Ty — mg = 0 —> T cos(0) = mg

de combinar las dos expresiones se tiene:

tan(0) = 4 ¿ - _ x2= —xLmg mgtan(0 )

la tensión en las cuerdas es,

T* mS AT = ^ ( é ) = m s s e c e

(b) al desaparecer una de las cargas, la fuerza eléctrica desaparece y la masa caerá. Por el principio de conservación de la energía, se establece que (figura(1 .8)b):

A Ec = -A L/

mgh = Im v 2 -> v = , / 2gh = ^ 2g {l - e o s 9)

1.5.7. Electrón moviéndose en un campo eléctrico uniformeUn electrón es lanzado horizontalmente, con una velocidad inicial de Vq = 100 m /s, a lo largo

de la dirección de las placas planas de un capacitor cuya longitud es de /=50 cm. Tal como se indica la figura(1 .9 ), el electrón cae sobre una pantalla fluorescente vertical situada a una distancia s=50 cm del borde de la salida del capacitor, sobre la cual se mide un desplazamiento vertical del electrón de H=20 cm. La distancia entre las placas del capacitor mide d- 20 cm. Determinar: (a) El valor del campo eléctrico entre las placas, (b) la diferencia de potencial entre las placas, (c) el desplazamiento vertical h experimentado por el electrón justamente a la salida de las placas.

Figura 1.9: Movimiento de un electrón en un campo eléctrico uniforme.

Solución(a) Cuando el electrón ingresa a la región entre las placas, las fuerzas que actúan sobre éste son las

fuerzas eléctrica y gravitacional, pero la magnitud de la fuerza gravitacional es mucho menor que la magnitud de la fuerza eléctrica por lo cual la podemos despreciar. La aceleración que actúa sobre el electrón es debido a la fuerza eléctrica y está en la dirección y, cuya magnitud es:

r eEeE = ma —► a = —m

Al salir el electrón de la región entre las placas, la fuerza eléctrica deja de actuar. El electrón se moverá con un movimiento rectilineal hasta golpear con la pantalla. La velocidad del móvil, las coordenadas y la rapidez del electrón en el punto que abandona las placas del capacitor son;

/x = /, Vx = - = V0

de donde se tiene,

y = h = i at2, vy = at

l l 50 x 10 2m 4 3t = — = — = -----------;— = 50 x 10 s = 5 x 10 s

vx vq 100 m /s

vv at H — hat2 vnHtana = — = — = ------ — -> a = -

vx v0 s ts + \v0t2

(100) (20 x 10-2 ) _ 1a = (5 x 10"3)(50 x 10~2)+ 0 ,5 (1 0 0 )(2 5 x 10~6) ~ 250 x 10~5 + 62,6 x 10~6

1 = 0,011 x 106^ = 11 x 103m /s2

luego el campo eléctrico es,

L mea ( 9 , l l x l Q - 31) ( l lx lO » )e 1 ,6 x lO -19

E = x io~9N /C = 62,63 x 10-9 N /C1,6(b) La diferencia de potencial, entre las placas es:

V = Ed = (62,63 x 10-9 )(20 x 10_2)V = 1252,6 x l (T n V = 1,25 x 1 0 "8 V

(c) el desplazamiento vertical del electrón es:

h = l a t 2 = i ( l l x 103)(5 x 10_3)2 m = 137,5 x 10~3 m = 137,5mm

1.5.8. Globos con cargas iguales

Dos globos iguales de masa despreciables se llenan con helio en condiciones normales de presión y temperatura, y en su centro se colocan sendas cargas positivas iguales q. Mediante dos hilos se atan a un peso de 8 g, quedando el conjunto en equilibrio en la posición que se indica en la fígura(l.lO). Determinar: (a) La tensión en las cuerdas, (b) la carga q.

Solución

Para que el sistema este en equilibrio, se verifica que la suma de fuerzas que actúan deben ser igual a cero.

6 m

o)

F iF em p

P 1

P

b)

Figura 1.10: (a) Globos de helio con carga q soportan un peso P, (b) representación de las fuerzas del

sistema.

(a) En correspondencia con el principio de equilibrio, en el punto donde actúa el peso P, se tiene que:

en la dirección x:

T sin (X — T sin oí = 0 —> T sin a = T sin a

en la dirección y:

T eos cc + T eos ol — P = 0 —» 2T eos oc = PP 4 4 4 4T = --------- -> cosa = - = . . = —= = -

2 eos a L y/32 + 42 y/25 5

r = (8 x 10-»)(10) = 8(10)(5) x 10-» _

2(1) *(b) aplicando el principio de equilibrio en uno de los globos se tiene:

en la dirección x:

T s in 9 — Fi = 0 ->• Fi = T sind = 5 x 10_2(|)N = 3 x IO-2 N5

pero la fuerza eléctrica está dada por:

ty2 íh , /3x IO"2 „ fi " T* = - ? = r V T = V T x lO 9- ] / ^ x W ~ 5 C = 1,81 }iC

1.5.9. Dipolo eléctricoSobre el eje y hay dos cargas -Q y Q separadas una distancia d, tal como se indica en la figura(l.ll).

Determine el campo eléctrico en un punto distante P(x,y). Exprese la respuesta en coordenadas cartesianas y polares.

t P(x,y)=P(r,0)

Figura 1.11: (a) Dos cargas iguales de diferente signo separadas un distancia d, "dipolo eléctrico", (b)

variación del campo eléctrico con la distancia para cuando; Q = 1^C,¿/ = 1 mm y 6 = 45°.

Solución

1. En coordenadas cartesianas. En correspondencia con la geometría, el campo eléctrico en el punto P, está dado por la superposición de los dos campos:

£ = £+ + £_= ^pr+ -r+ r±

donde los vectores; r+ y r_ y su respectiva magnitud están dados por:

r+ = x í+ { y - | ) J ->• * + = i* 2 + (y ~ ¿ ) 2}*

r - = x i + ( y + ^ ) j ->• iZ_ = [x2 + (y + t ) 2]l

Para la parte operativa, consideremos únicamente las dos componentes del vector campo eléctrico:

Ex = kQ {--------- í — — 5-------------- í — — 3-}[x2 + { y - í ) 2]* [x2 + ( y + # ) 2] l J

£ - m í y ~ 2 _____________ y ± l _ iV 4 [x2 + ( y - 1 )2]1 [x2 + ( y + f ) 2] i }

Si consideremos que la distancia d, es muy pequeña en comparación a la distancia r (d <C r), se puede hacer la siguiente aproximación:

(y ± ^ )2 = y2 ± y d + ^ « y2 ± y d

Luego,

[x2 + ( y ± f ) 2]2 [x2 + y2 ± y d ]i (x2 + y2) 2 ( l ±

(*2 + y 2) t ( i ± ^ )

teniendo en cuenta la aproximación de Bernoulli; (1 + *)" ~ 1 + nx para cuando x —► 0 , entonces:

E' - W^ (I+i - Í ^ T (I - \ , 3 yd 3 yd

(x2 + y2) 2 2 x2 + y2 2 x2 +y-

kQx , 3yd . _ 3kQxyd (x2 + y 2)5 Ar2 + yzl _ (*2 + y 2)l

Si hacemos que Qd = p, siendo /? momento dipolar eléctrico. Entonces, el campo eléctrico en función del momento de dipolo,

e = 3kP*y = 3Pxy(x2 + y2) I 47re0 (x2 + y2)2

para la componente y

£ = kQ[- y - - /23 (1 + l yd -2v ) - y — — 3- ( l - - ^ )](x2 + y 2)§ 2 (x2 + y2) ( * 2 + y2)l 2 (x2 + y 2) ' J

JtQ d 3yzd 3yd2 d~ {x2 + y2) 3* 2 + 2( * 2 + y2) 4 (*2 + y 2) y 2

3y2d 3yd2 .2(x2 + y2) 4(x2 + y2)

(x2 + y 2)l (*2 + y 2) U 2 + y2)i * 2 + y2

^ T T ^ - X 2](x2 + y2)i

P p y 2 - * 2) y án e0(x2 + y2) *

Ey —

2 . En coordenadas polares. Si hacemos que:

r+ ~ r - => r+ r- = r \ = i2_ = r 1

entonces

de donde,

luego,

kQ _ /cQ_ , ^ rr l r + - r i r ^ r+ _ - =

{r3_ r+ - rj_r_) ~ r3^ - r_) ~ rod eos6

_ kQr^deos0 _ ^(Q ^r3 eos0 __ kpcosQ pcosO ( r 2 ) 3 í* - ^ 3 — = 4 ^ 3

1.5.10. Anillo delgado cargadoUn anillo delgado de radio R, localizado en el plano ry con centro en el origen de coordenadas,

posee un carga total Q la cual está distribuida uniformemente en todo el anillo. Calcular la fuerza eléctrica sobre una carga puntual q', localizada en un punto de coordenadas (0/0,z)(fígura(1.12)). ¿Para que valores de z, la fuerza es máxima?.

SoluciónLa geometría correspondiente para esta distribución de carga continua, es una geometría cilindri

ca. Consideremos un diferencial de carga dq y calculamos la fuerza dF sobre la carga q\El elemento de fuerza dF, en correspondencia de la geometría disponible es,

d f = kq'dq . (zük - Rür)(z2 + R2) l

donde los vectores unitarios Wjt y ür son los vectores en coordenadas cilindricas en la dirección z y en la dirección radial respectivamente. El elemento de carga en términos de la densidad de carga se puede escribir como; dq = A di = A RdQ, siendo A la densidad de carga lineal.La fuerza resultante F, estaría dada por:

r- f rt ’ íJ J (z2 + R2) 2

F = kq’zAR j 2n —— j ^ + kcfAR f R Rd°H Jo <z2 + R2) i ’ Jo(z2 + R2)2 J o (z2 + R2)Í

Ur

d) b)

Figura 1.12: (a) Fuerza sobre una carga q ' debido a un anillo cargado uniformemente, (b) variación

de la fuerza con la distancia z, para cuando q = 1 }iC Q = 100 }iC R=1 m. La fuerza es máxima para

cuando z =

Pero el vector radial ür, se puede expresar en términos del ángulo 0, es decir; ür = eos OÍ + sin O], mientras el vector ü no es función del ángulo 0. Al tener en cuenta estas consideraciones, se tiene que:

p _ k q ' z X R ( 2 n )(z 2 + R 2 ) §

_ k q ' z \ R ( 2 n ) A~ , - „ , . 3 “ *

(Z2 + R 2 ) J

k q ' z Á R ( 2 n ) .

_ (z2 + R2)i Uk

Como,rQ r fin

Q = JQ dq = j Adl = jQ ÁRde = \R{2n)

entonces;- k q ' z A R ( 2 n ) k q ' z Qr = -------------- Z-I/t = ------------- ~-Ulr

( z 2 + R 2 )2 ( z 2 + R 2 )5

La variación de la fuerza en función de z, se muestra en la figura(1.12b). Para este resultado, podemos hacer algunas consideraciones:

1. para z » R . Si la carga puntual q' esta muy alejada del anillo, la interacción electrostática de estos dos objetos se reduce al caso de dos cargas puntuales, separadas una distancia z .

kq'ÁR2 (Z2 + R 2 )3

kq'ÁR2

(z 2 + R2)2

r2n

Jo ‘eos 6dQi —

(0 - 0 )i +

kq'AR2

(z2 + R2) i kq’ÁR2

r ,Jo

sin 6d6j

(z2 + R2)2

2 . para z=0. Si la carga puntual q , está localizada en el origen de coordenadas y coincide con el centro del anillo, la fuerza electrostática neta sobre q', por simétrica es igual a cero.

=* kq'(0)Q „ zF = * v 3 úk = 0

(0 + K2)Í

3. z -> oo. La fuerza decrece con la distancia al cuadrado, cuando la carga puntual q' esta suficientemente alejada del objeto cargado, la fuerza sobre está será igual a cero.

4. ¿Para que valores de z, la fuerza es máxima sobre la carga puntual q'?. Para encontrar este valor hacemos que dF = 0 .

d f d kq'zQ dz d z \ z 2 + R2) ¡ )Uk

_ kq'Q(z2 + R2) § - kq’Q (l)2z(z2 + Rz)\ n (z2 + R2) 3 “ °

0 = (22 + R2)2 -32?(z? + R2)1

(z 2 + R2)¡ = 3 z2(z2 + R2)!

(z2 + R2)3 = 9z4 (z2 + R2)

(z2 + R2)2 = 9z4

(z2 + R2) = 3Z2

2z2 = R2

,R \/2 z = ± —

La fuerza es máxima para cuando, z = +^-3—•

1.5.11. Densidad de carga lineal

Un alambre delgado posee una densidad de carga lineal A, está doblado en forma de un semi- anillo, tal como muestra en la figura(1.13). Encontrar el valor del campo eléctrico en el centro de curvatura del arco.

Solución

Consideremos un elemento de carga dq, el elemento diferencial de campo eléctrico en el origen de coordenadas es:

dÉ = -----— — j ( x í + yj)(x2 + y2) V

El elemento de carga se puede escribir como; dq = kd l, donde A es la densidad de carga por unidad de longitud (C/m ) y el elemento de longitud di = Rd6.Las proyecciones sobre los ejes están dada por:

* = Rcos(0), y = Rsin(0) y x2 + y2 = R2

Figura 1.13: (a) Semi-anillo con densidad de carga carga A, constante, (b) variación del campo eléctrico

para un ángulo; ^ < 6 < f , A=1 C /m y R = 1 m.

E = í d E = í — — — T(xt+yj)J-e J-9 (x2 + y2)*f 9 kÁ R d9,„

= J-e J É 2)^ +Rsm{0)j)

kX r0= -= -[/ (eos (B)dQi + sin (0)d6¡)\

R J -9kX

= \-e)‘ + ( - cos(e) \-s)ñ

= ^ [ s i n { e ) t - 0j\ = 2 Y s¡n(0)?

El resultado muestra como el campo eléctrico, tiene solamente una componente, la cual varía con el ángulo 6. El valor máximo del campo es para cuando 6 = n i 2, y está dado por;

2*AR

1.5.12. Anillo delgado cargado

Consideremos un anillo delgado de radio R, el cual está centrado sobre el origen de coordenadas, posee una carga distribuida uniformemente, (a) Calcular el campo eléctrico en un punto P localizado sobre el eje z, medido desde el origen del anillo (figura(1.14)), (b) ¿para que valores de z el campo eléctrico es máximo?, (c) si en el punto P se localiza una carga -q y se suelta desde el reposo, ésta se acelera hacia el centro del anillo. Después de pasar por el origen, la dirección de la aceleración se invierte haciendo que la carga describa un movimiento de ida y vuelta, es decir la carga describe un movimiento periódico. Demostrar que este movimiento es armónico simple (MAS), determinar la frecuencia y periodo del movimiento.

y■ ->

a)

Z(m)

b)

Figura 1.14: (a) Anillo cargado con densidad uniforme y constante, (b) variación del campo eléctrico

con la distancia z, para cuando; Q = 1 }iC, R=1 m. El campo eléctrico es máximo para cuando z =

Solución(a) Consideramos un elemento de carga dq sobre el anillo (geometría cilindrica) y calculamos el ele

mento de campo dE, en el punto P.

dÉ = r (zük - R ü r)(z2 + R2)§

luego, el campo eléctrico total es igual a la integral sobre todo el anillo.

kdqu f n - j

iE = kzAR

(z2 + R 2) ! ■2* dd

(z 2 + R2)¡

(ZÜk -R Ü r)

- , f R Rdeuk + k\R \ — t ürJo (72 .- -■"*(z2 + R2) I

Teniendo en cuenta la simetría de la geometría, la segunda integral es cero, al igual que el ejemplo anterior. (La componente radial del campo eléctrico posee simétrica radial que hace que esta sea cero).El campo eléctrico resultante solo posee dirección k. Es decir, el campo eléctrico es perpendicular al plano del anillo.El campo eléctrico en el punto P (0 ,0, z), está dada por,

-, kzÁR{2n) „ kzQE = ---------- - j u k = ------------

(Z2 + R2)3 (Z2 + R2)2Ük

Ahora, se considera los casos que se presenten de comparar z con R.(i) Para cuando z » K, el campo eléctrico en el punto P, tiene un valor de:

É =kQz . kQ „ (z2) l Uk ~ (z2) Uk

Este valor de campo eléctrico es igual al que genera una carga puntual Q a una distancia z.(ii) Para cuando z=0, el campo eléctrico en el centro del anillo es cero.(iii) Para cuando z -> oo, el valor del campo eléctrico a grandes distancias tiende a cero.

(b) Para determinar el valores de z, para cuando el campo eléctrico es máximo, hacemos que:

dzk\R 2n(z2 + R2) i - kX R2nz\lz{z2 + R2) 2

(z2 + R2)3

(z2 + R2) 2 - 3z2(z2 + R2) j = 0

(z2 + R2)2 = 3z2(z2 + R2)*

(z2 + R2)3 = 9z4(z2 + R2)

(z2 + R2) = 9z4 -> 3Z2 - z2 = R2

, R R n/2Z = ± —7= = ± ——

v/2 2

El campo eléctrico es máximo para cuando z = ±

= 0

(c) La fuerza eléctrica que actúa sobre la carga -q, está dada por; F = — qÉ, lo relevante en este caso, es que la fuerza siempre apunta en la dirección del origen. Es decir, la fuerza es una fuerza recuperadora. La aceleración está en la dirección z, entonces;

_ d2z _ kqÁ lnR z d2z _ kqX lnR zm d f i ~ (z2 + R2)i ^ ¿í2 ~ m(z2 + R2) í

si hacemos que z < R , entonces;

d2z _ k q fá n R _ kQqz _ 2dt2 mR3 2 mR3 W Z

d2z ? • , kQq—ir = —co z siendo co = ——j dt2 mR3

La ecuación diferencial obtenida, identifica que el movimiento que describe la carga eléctrica es movimiento armónico simple (M.A.S). La frecuencia (f) y el periodo (T) respectivos del movimiento, están dados por;

(jú 1 IkQ q 1 Im R3mi

1.5.13. Anillo con radio interno y externoConsideremos un anillo delgado con radio interno R\ y radio externo R2, el cual está localizado

en el plano xy y centrado en el origen de coordenadas. Calcule el campo eléctrico en un punto de P(0,0,z), tal como se indica en la figura(1.15).

SoluciónEn correspondencia a la geometría cilindrica, elegimos a un elemento de carga dq = adA: Donde

a es la densidad de carga superficial y el elemento de área dA — rdOdr. Entonces;

d ^ = T 2kd\ , ^ zü* - rür)(z2 + r2)2

líX

a)

Z( m)

b)

Figura 1.15: (a) Anillo delgado de radios R\ y R2, con densidad a uniforme y constante, (b) variación

del campo eléctrico con la distancia z, para cuando; a =1 C m '2, Rj= 0.5 m y #2=4 m.

El campo eléctrico debido a todo el objeto cargado en el punto P, estaría dado por:

£ = f = C r r ^ 2?"(z<2í _ rür)J Jo (z2 + r2) i f in rR.2 kcrrdOdr

'-I fJo J rí-(zûk - r û r)

JRi (z2 + r2) 2 tin rR2 kazrdOdr r2n rR2 kar2dOdr ^

Jo j R\ (z2 + r2) 2 J° J R1 (z2 + r2)2

pero el vector unitario en la dirección radial ür, se puede expresar en función de los vectores unitarios i e /, siendo ür = eos 6i + sin 6j, entonces:

E = kaz {2n) f J R

r 2 rdr „ f 2n rR2 r2drdO *------------ Tuk - k a / 5-(cos(0)z + sm (6)í)

Ri (z2 + r2) i Jo JRi (z2 -f- r2) i ' K )])

Para resolver la primera integral de la expresión, hacemos un cambio de variable;

(z2 + r2) = u2 => 2rdr — ludu rdr = udu

E = k<rz(2n) f ^ ük - k r 11” i' J U3 JR , (22 + r2)| V 10

rK— ka JRí

r 2 r 2d r(z2 + r2) 2

sin(0 ) \? f)

E = kcrz(2n ) { —u 1 ) |“f — Ô — Ô

= kaz (2n ) ( - j = = ) Ük

= /ccrz(27r)[ ]«*

Éste resultado muestra, que el campo eléctrico tiene una sola componente y es perpendicular al plano del anillo.Ahora, consideremos algunos casos;

1. Si R\ = 0, es el caso de un plano cargado uniforme y el valor del campo en el punto P, está dado por;

£ = kaz (2 n ) [ i 1 _ ]ükZ

2 . Si Ri = 0 y z R2, éste es el caso para cuando estamos muy alejados del plano, para este caso el campo eléctrico tiende a cero

£ = k<rz(2n ) [ l 1 = }ük = A:t7-z(27r)(i - h ü k = 0 = 02 y 22 + R2 2 2

3. Si R\ = 0 y R2 z, el valor del campo eléctrico en un punto muy cercano al plano cargado delgado de radio muy grande (un disco).

E = kaz {2 tt)[| - ^-]u* = kaz (2 n)[^ - 0]iJ* = k<r(2n )ú k

= ér0{a2n)üka „

= 7T T Mjk

Este último resultado es muy importante destacar, ya que muestra que el valor del campo para un punto muy cercano a un plano cargado es constante (¿^ ) y el vector esta perpendicular saliendo del plano, para el caso de que la carga sea positiva. Si la carga del disco es negativa, el vector campo eléctrico estará entrando perpendicularmente al plano del disco.

1.5.14. Disco delgado cargadoConsideremos un disco delgado de radio R con carga total Q. Este está emplazado en el plano

xy, con el centro localizado en el origen de coordenadas. Calcule el campo eléctrico en un punto de coordenadas P(0,0,z) figura(l.ló).

SoluciónEn correspondencia con la geometría del disco, la cual corresponde a una geometría cilindrica.

Consideremos un elemento de carga dq del disco y calculemos el campo eléctrico en el punto P (0 ,0, z), cuyo valor está dado por:

d £ = k Í L ( Z ü k - r ü r )

( z 2 + r 2) 5donde tí*, ílr son vectores unitarios en coordenadas cilindricas. El elemento de carga dq = adA , siendo cr la densidad de carga superficial por unidad de superficie C /m 2 y dA el diferencial de área en el plano; d A = rdrdO. El intervalo de variación para estas magnitudes son: 0 < r < RyO < 6 < 2 n. El campo eléctrico total en el punto P (0,0 ,z), se puede expresar como:

f j ? Í Q kdq t * x í 2n Í R kcrrdOdr , *E = dE = / ---------— T(zuk - r ú r) = / / T (zuk - r u r)J J o ( z 2 + r2) 3 J o J o ( z 2 + r2 )5

En correspondencia con la geometría, el vector unitario ür, es función del ángulo 0, mientras que el vector ñr es constante para todo; 6 y z.

¿ [ Q k d q [ ln f R kardOdr „ .E = -------- 1— T(zuk - r u r) = / / T(zuk - r u r)

J o ( z 2 + r2 ) 2 * ' J o J o ( 2 2 + r2 ) r2tt kazrdOdr [ 2tt f R kcrzr2d(pdr „__ r ¿ n r K k c r z r d d d r „ r ¿TT r K

J o J o ( 2 2 -f-r2 ) 2 k J q J o

Z(m)

a) b)

Figura 1.16: (a)Disco delgado de radio R con densidad de carga uniforme, (b) variación del campo

con z, para cuando <7=1 Cm~2 y R=4 m.

el vector unitario radial se puede expresar como: ür = eos(9)t + sin(0)/, entonces,

r2n rR kazrdOdr „ r2n rR kazr2d9dr „E ~ J o Jo i<z2 + r2)\Uk Jo Jo (z2 + r2)\Ur

r2n rR kazrdOdr „ f 2n f R kcrzr2d0dr , ~

- y . í i ^ í ' i »[27i rR kazr2dOdr . . . ?

- / / -3 sin(0);Jo Jo (z2 + r2)2

i ^ \ Í R rdr - i í 2n Í R r2dOdr f/i.~= kaz(2n) / ------------ Tuk - k a z / 3-cos(0 )zJO (z2 + r2) 2 Jo Jo (z2 + r2)3

r2n rR r2dOdr . *— kaz / / ~-sin(0 )/

Jo Jo (z2 + r2) i

* n/r „ , /*2;r f R r2dOdr

1 (z2 + r2)2.71 pR r2dOdr

(z2 + r2):Z* reír /*27r z* r2dr

= kaz(2n) / jü^ — kaz / cos(0W0 / ------------ -z' J o (z2 + r2)f -/o /o (z2 + r2)i

27r . / R r2drfin r¿dr■ kaz / sin(6)dQ / ---------

Jo Jo (z2 r(z2 + r2) i ’R rdr „ /** r2drz* Z*J

= kaz (2n) — - j ü k - k ( T z { l - Í ) -,Jo (z2 + r2) 2 -/o (z r ) 2

. A* r2dr ?-forz(O -O ) — ----- —y ;

Jo (z2 + r2)2

= kcrz(2 n) [ R _ rdry i:ük = kcrz(2n)( — 1 ) |£ a*•/O (z + r ) 2 (z2 + r2)2

= /C(JZ(2 71 ) [—-------------2 (Z2 + R2)2

El campo eléctrico originado por el disco a distancia z, medida desde el centro del disco es perpendicular al plano del disco. Ahora, podemos hacer algunas consideraciones al comparar la distancia z y el radio R.

1. Si z » K, el valor del campo eléctrico para puntos muy alejados del disco es cero, puesto que el campo eléctrico decrece con la distancia al cuadrado.

É = kcrz(27i)[^ - ^\ñk = 0 = 0

2 . Si R z, éste es el caso para cuando el punto P está muy cerca del disco, en estas condiciones el valor del campo no es afectado los extremos del disco. Es decir, no se podrá identificar la forma geométrica del objeto cargado; bien podría ser un disco u otra forma geométrica tal como; cuadrado, rectángulo triángulo, etc. Para estas condiciones geométricas, el valor del campo eléctrico estaría dado por:

£ = kffz(2 n ) [ l - = kcr(2n ) ( l - j ) ú k ~ k c2 nük =

2eo

1.5.15. Semi-cascarón esférico cargado

Consideremos un semi-cascarón esférico de radio K, cargado uniformemente sobre toda la superficie. Determine el campo eléctrico en un punto localizado sobre el eje del cascarón, tal como se indica en la figura(1.17).

Solución

En correspondencia con la geometría esférica, el elemento de carga considerado es, dq = crdA, siendo dA = r2 sin 6d6d(p. Los intervalos de variación para estas variables son: 0 < 9 < f y 0 <</>< 27T. Elemento de campo eléctrico generado por el elemento de carga en el punto, está dado por:

En correspondencia con la geometría del problema, el vector unitario ü r , se puede expresar como: üR = iiz — ür. Entonces.

7_ kcrr2 sin QdOdó „ dE = --------^2------ ü*

_ kcrr sinOdOdjp ^QQS — l)w2 — sin 0 eos(pí — sin 9 sin(pj\

¡car2 /*27r /•?Ex = _ 7 / / sin2 6d6 eos (pd(p

R Jo Jo

= l f sm2 0c/0 = 0

forr2 /*27T /*5Ey = j J sin 0d0 sin<pd(p

= - ^ T - ( - cos<P) lo* f j sin2 ed9 = o

kcrr2 /*27r /* ? kcrr2 /*27t /* ?£z = “r 5"/o Jo ™ Med* - - B r ]0 J0 sineeoseaed(p

lcíTT 17 t-/rr2 í-5= ^ - ( 2 t t ) J 2 tinOdO - ?jg-(2n) j f ’ sin flcosft»

kar22n kar2n . . _= —R2~ + R2 V— - ^2

r _ forr2 7Te ~ ~ rT

Figura 1.17: (a) Cascarón esférico cargado uniformemente, (b) variación del campo eléctrico con la

distancia para cuando; p=l Cm~2, R=1 m.

1.5.16. Cilindro cargado

Consideremos un cilindro delgado de radio R y largo L concéntrico al eje z, la carga total Q está distribuida sobre toda la superficie. Determine el campo eléctrico en un punto localizado sobre el eje z, desplazado una distancia pequeña zq, medida desde el origen de coordenadas, figura(1.18).

a )

Distancia(m)

b)

Figura 1.18: (a) Cascarón cilindrico concéntrico al eje z, cargado uniformemente, (b) variación del

campo eléctrico en función de la distancia para; R=1 m, L=1 m, y a = l/ (9 n x 109) C m "2.

Solución

Consideremos un elemento de carga dq, en el cascarón cilindrico y calculamos el elemento de campo eléctrico dE, en el punto de coordenadas (0,0,zo). El elemento de campo eléctrico se puede expresar como:

dE= kdq A r - ? )\7-r'\

los vectores en correspondencia con la geometría son:

Y — z oük y r' = Rür + zük

Mientras, el elemento de carga esta dado por:

dq = adA y dA = Rdípdz

la variación de estos parámetros están dados por: 0 < (p < 2n y — L < z < L,

, - kaR dédz , A A ,dE = 7,-------- ^ — 7 7 ^ (z° Uk ~ Rlír ~ Zl‘k)[(zq - z)2 + R2p

toMfcfe

como el vector unitario se puede escribir como: úr = eos (pi + sin <pj,

dÉ = kcrRdcpdz— ¡ - z ) ü k - R eos (pi - R sin <pj\[(20 - 2)2 + R2] i 1

El campo eléctrico en el pianto estaría dado por:

É = í dÉ = í í kaMcpdz— 0 - z ) ü k ~ R eos (pi - R sin (pj\j Jo J - L í (Zn - z )2 4- R212 r[(20 - 2)2 + K2]2

f L (zo “ z)dz _ kaR n

E‘-» ¿ L

- L [(20 - Z )2 + R2]i

r 1

[(2 0 - L)2 + R2]idz i

• [(zo - z)2 + R2]i J'•L dz

~l [(zo - z )2 + R2] 2'L dz

- L [(zo - z)2 + R2] 2•L dz

7T I- L

rlneos

(0) = 0

2nr¿n/ sin (pdó

Jo

— (0 ) = 0 [(20 - z )2 + R2]2

El resultado final muestra que el campo en el punto 2o, solo tiene componente y esta en la dirección k. Las otros dos componentes se anulan por simetría. Para cuando 2o = 0 el campo en el centro del cilindro es cero.

1.5.17. Anillo con densidad de carga variable

Un objeto tiene la forma de un anillo de radio R, está en el plano xy, figura(1.19). El objeto tiene una carga por unidad de longitud expresada por A = Ao sin 6, determine el campo eléctrico en un punto P, en z -h sobre el eje 2.

Solución

Consideremos un elemento de carga dq, del anillo y determinamos el elemento de campo eléctrico dE en el punto P. En correspondencia con la geometría del problema: El campo eléctrico esta dado

A

Figura 1.19: (a) Anillo de radio R, con densidad de carga A variable, (b) variación de campo eléctrico

en función de la distancia z, para; Aq=1 Cm-1 y R=1 m.

por:

.ft kdq A x kÁRdO A . dE = -------- -— rihiik — Rur) = ----------------------- — Rur)

(h2 + R2) V (fc2 + R2)i=* r ,=» r kÁoR sin Q d Q A .E = d E = — -------------------- “ Rür)

J J (h2 4 - R2)2

» m i f 2n sin 9d0 . . o •» /*27r sin0d0= kRhÁQ / ------------^ íik - k R Ao / 3-tV•/o (/j2 + R2)Í 7o (ft2 + R2)2

kRhÁo ,2n .= -------------------5 - c o s 0 n k *

(ft2 + R2)l °

, n2 , /*27r sin0í/0— kRr\o / -------------^-(cos0z + sm0y)

JO (h2 + R 2 )V

= Oíífc------- ^ , [ f sin 6 eos 6d0i + f sin2 6dd(])\(ft2 + R 2) i - / o y0

- - Í Í Í O (0 . „ ) / . . J ^ Í 2 ” (,1(fc2 + R2)2 (/l2 + R2)2

1.5.18. Dipolo eléctrico

Consideremos a lo largo del eje y, dos cargas -q y -q separadas una distancia 2a (dipolo eléctrico),(a) Determine el campo eléctrico en un punto localizado a una distancia x (figura(1.20)). (a) ¿Para que valores de x, el campo es máximo?.

a) b)

Figura 1.20: Dipolo eléctrico; (a) Campo eléctrico en un punto simétrico de la mediatriz, (b) variación

de campo eléctrico en función de la distancia x.

SoluciónEl campo eléctrico en el punto x, es la superposición de los campos eléctricos generados por las

dos cargas,

pero los campos están dados por:

E = Ej -h É*2

El = -----— r (xí-a j )(*2 +a*) i U

El = 3 ( x í + a j )(x2 + a2) i

E = 2 -----(x2 + a2) 2

Para encontrar el valor de la variable x, para cuando el campo eléctrico es máximo, hacemos que-

[2kq(x2 + «2)i] - (§(x2 + a2) i 2x2kqx] _(i 2 + fl2)3 ~°

(x2 + a2) 2 - 3x2(x2 + a2) J = 0

x2 + a2 - 3* 2 = 0

- 2x2 + a2 = 0

los valores de x, para cuando el campo eléctrico es máximo son:

1.5.19. Pequeñas esferas cargadas formando un péndulo en un campo eléctrico

uniformeDos esferas muy pequeñas, cada una con masa 2.0 g están suspendidas por medio de cuerdas

ligeras de 10 cm de largo (figura(1.21)). Un campo eléctrico uniforme se aplica en la dirección x. Si las esferas poseen cargas de 5.0 ¡iC y -5.0 }iC respectivamente: Determine el valor del campo eléctrico para que el sistema este en equilibrio a un ángulo de 0=15°.

a) b)

Figura 1.21: (a) Dos cargas iguales están suspendidas de cuerdas e inmersas en un campo eléctrico,

(b) diagrama de fuerzas.

SoluciónConsiderando que el sistema esta en equilibrio, las fuerzas presentes se pueden mostrar en la

fígura(1 .21b).

En la dirección x:

F\ —Tx — Fz = 0 -> qE — T sin d — — ■ = 0

donde á, es la separación entre las dos cargas y / es la longitud de la cuerda:

En la dirección y:

T y -m g = 0 -> T eos 9 - mg = 0

de comparar las dos expresiones tenemos,

_ T sin 9 kq2 _ mg sin 9 kq q + qd2 q eos 9 + d2

a) b)

Figura 1.22: (a) Dipolo eléctrico inmerso en un campo eléctrico, (b)diagrama de fuerzas.

en correspondencia con la geometría, se tiene

d = 21 sin 0

q (2/sm0)2(2 x 10-3 /cg)(10m/s)(tan(15°)) ( 9 x l 0 9) ( 5 x l 0 ~e)N

5 x 1 0 " 6C ((2 )(0 ,1) sin(15))2C45 x 10-3

E = 1,072 x 10-3 N /C + 67 x 1q=3 N /C = (1,072 x 10~9 + 16,791) N /C

E ~ 1 7 ,8 6 ^

1.5.20. Dipolo eléctrico oscilando en un campo eléctricoUn dipolo eléctrico en un campo eléctrico uniforme, se desplaza de su posición de equilibrio,

como se muestra en la figura(1.22). El ángulo de desplazamiento es pequeño. El momento de inercia del dipolo es 1. Si el dipolo se libera desde esta posición, demuestre que el dipolo oscilara con un movimiento armónico simple, (M.A.S).

SoluciónCuando al sistema se saca del estado de equilibrio, éste trata de recobrar su estado inicial. El

momento de fuerza total que actúan sobre el sistema está dado por la expresión:

f = r x F = leí

el módulo del momento de fuerza es,

r = rF sin 6 = aF sin 9

hay un par de fuerzas actuando sobre el sistema, entonces

t = 2aF sin 6

y

V

a)

U

I

*(m)

b)

Figura 1.23: (a) Alambre delgado cargado, (b) variación del campo en función de x, para cuando; L=1

m y A=1 C m "1.

la fuerza eléctrica que actúan sobre la carga es,

F = qE

el momento de fuerza y teniendo en cuenta la fuerza recuperadora, será

r d20 „ ,la = I - j~2 = —2a qE sin 6

d20 _ 2aqEsir\0 2aqEQW ~ 1 “ T~

d2e _ 2aqE _ 2w - —r e--wdsiendo a;2, la velocidad angular,

2 = M = _ 29I dfi

La ecuación diferencial obtenida, garantiza que el movimiento que describe el dipolo al rededor de la posición de equilibrio es un M.A.S. La frecuencia del moviendo está dada por: / = c o /2n =

¿v/¥-

1.5.21. Varilla cargada uniformemente

Una varilla uniforme cargada de longitud 21 y densidad lineal de carga A, está centrada en el origen y orientada en la dirección del eje y (figura(1.23)): (a) Encontrar el campo eléctrico en el punto P(x,0).

SoluciónConsiderando el origen de coordenadas en la mitad de la línea cargada, tal como se indica en la

figura(1.23), el campo eléctrico debido al diferencial de carga dq, está dado por:

kdqdE =

(x2 + y 2p

donde el elemento de carga, está dado por:

dq = Ádl = Ády

el campo en el punto P, está dado por;

e- i de- úkkdy

(:x2 + y 2) ì(xí-yj)

xdyi — kÁ í -J -L i

ydy tVíé = k\[

É = k\[

(*2 + y 2 )i J - l ( x2 + y1)Í'

X2 yjx2 + y2 21x2v^n?

Si hacemos que L x, se puede hacer que;

* 2 M*

1.5.22. Conductores paralelosDos conductores lineales de longitud infinita y densidad de carga A constante, están situados en

el plano xy paralelos al eje y y separados a una distancia 2a, tal como se indica en la fígura(1.24). Determine el campo eléctrico que generan los conductores en un punto sobre el eje z.

p(0.0.z)

' XX

/ a y

' O X/

EE , \ / E i

\p(0,0,z)'

/

Xo_ *r/ V iz \

a a X

1.4*10"

7,0x10'*

0.0

í\ X=1C/m, a=0.2m

a) b ) c)

Figura 1.24: (a) Dos conductores lineales infinitos con densidad de carga uniforme paralelos, (b) re

presentación de los dos campos eléctricos y el campo resultante en el punto p(0, 0, z), (c) variación del

campo eléctrico con la distancia z de dos conductores lineales paralelos separados a una distancia a.

Solución

El campo eléctrico generado por la distribución lineal de carga a una distancia r, está dado por la expresión;

E= 2neorLa superposición de los campos generados por los dos conductores en el punto p (0 , 0, 2) dan como resultado, una sola componente a lo lago del eje z (figura(1.24)).

E = Ei eos9 -f- E2 COSÉ? = 2Ei cos0 =neo r

E = — — = A 27T£q r2 7T£o ZZ + ü2

la variación del campo en función de la posición z, se gráfica y se muestra en la figura(1.24c).

1.5.23. Fuerza electrostática en un globo

Un globo de radio R tiene una carga total Q, distribuida uniformemente en toda la superficie. Demuestre que el globo experimenta una fuerza electrostática hacia fuera por imida de área superficialdada por; j =

Solución

Recordemos que la energía almacenada en la superficie esférica, está dada por:

kQ2u = -¥-2 r

la fuerza en la dirección radial a una distancia R, está dada por:

p _ JL/j 1 = * £ 1 = í £dr dr 2r 'R 2r2 2R2

Luego,

F kQ2 Q2A 4n R 2 8ttR4 32tt2£0R4

1.5.24. Plano suficientemente grande

Consideremos un plano suficientemente largo paralelo al eje x, ancho L, carga total Q centrado en el eje x. Determine el campo eléctrico en un punto localizado sobre el eje z (figura(1.25)).

Solución

Consideremos en el plano, una línea de longitud L con densidad de carga A, el campo eléctrico originado por esta línea a una distancia r, está dado por:

Figura 1.25: Plano delgado cargado centrado a lo largo del eje x de ancho L y longitud infinita.

El campo eléctrico total generado por todo el plano aun distancia z, se obtiene de superponer todos los diferenciales de campos generados por las diferenciales de líneas de carga dc¡ = crdA = aldx, tal como se indica en la fígura(1.25).

d E = » ^r

La simetría del problema hace que la componente del campo en la dirección paralela del plano se cancela. El campo eléctrico resultante solo tiene una componente perpendicular al plano de carga, la cual esta dada por:

2kadx dEfr = — -— cos0

En correspondencia con la geometría, se tiene que:

x = rsm 9 -> r = — => x = z tan 9 luego dx — z sec2 9d9eos 9

el intervalo de variación están dados por:

Si,

oo,7T

2Si,

luego;dE 2kazse^ecosgie = 2kad0

COSÚ

6 , / dEf - 2to(2) / / « - - 4 >

El resultado es importante destacar, porque muestra que el campo eléctrico para puntos muy cercanos al plano de carga es constante e independiente de la forma geométrica del plano .

1.5.25. Esfera de material conductor cargadaUn cascarón esférico de material conductor, está uniformemente cargado. Determinar el campo

eléctrico en un punto externo al mismo.

Figura 1.26: Cascarón esférico de material conductor uniformemente cargado.

SoluciónPara determinar el campo eléctrico de la esfera un punto fuera de la esfera, consideremos una

rodaja de la superficie dA esférica con carga dq = adA , el campo eléctrico generado por éste elemento de carga produce un campo eléctrico solo con en la dirección radial, y está dado por (figura(1.26)):

,r kdq dEr = —r cosa

s2

pero dA, en coordenadas esféricas es;

_ _ 2 . Jr, ka2n R 2 sm 0d9dA = 2 n R sm 0 d ü —* dEr = ---------- =---------- cosa

s2

en correspondencia con la geometría, la distancia s varía entre:

s = r - R para 0 = 0° s = r + R para 9 = 180°

por la ley de los cosenos:

s2 = r2 + R2 — 2rR eos 9 =>• sds = rR sin 9d9 luego, sin 9d9 = ^

por ley de los senos:

s2 4- r2 — R2R = s + r - 2s r c o sa => cosa = ----------------2 sr

al reemplazar estos valores en el campo se tiene,

kcr2nR2sds s2 + r2 — R2 kan R r2 — R2 . ,dEr = “ Á R 2i7— = — í1 +

/ kcrnR f s=r+R„ , rz - R 2 AE' - j dE' - — l„ ,_ R 0 + - P - ) *

- - ^ ] 128- ^ [ 2 « + M] = ^ - £

El resultado muestra que el campo eléctrico en un punto externo un poco alejado al conductor, es igual al campo eléctrico que se origina cuando toda la carga se acumula en un punto localizado en el origen de coordenadas. Ahora, también se puede demostrar con la Ley de Gauss, que el campo dentro de la esfera es cero, puesto que la carga en el conductor se localiza únicamente sobre la superficie. Esto también implica que el campo eléctrico con la distancia sufre un discontinuidad en la frontera.

Capítulo 2

Flujo de campo eléctrico y Ley de Gauss

IntroducciónEsta sección esta dedicada al estudio de los fenómenos físico que involucran conceptos de flujo

eléctrico y ley de Gauss. Estos conceptos son muy importantes en entendimiento de fenómenos relacionados con el electromagnetismo, puesto que involucran directamente en su aplicabilidad la ley de Coulomb. Para tener claridad sobre los conceptos, es relevante conocer y tener manejo operativo en tomo a los conceptos matemáticos de integrales de entorno aplicados a superficies abiertas y cerradas.

2.1. Flujo eléctricoEn la aplicación de los conceptos de flujo eléctrico a través de una superficie es relevante en pri

mera instancia entender el conceptos y su aplicabilidad de integral de superficies.Consideramos una superficie S, en una región del espacio donde podemos definir una función / (x, y, z) que puede ser evaluada en todo punto de la superficie. Esta superficie se puede dividir en regiones de áreas muy pequeñas A a. Es decir, (Afl -* 0). Sí cada elemento de área está bien definida la función / , por lo cual se puede operar el producto /¡-A«,*. Esta condición induce a introducir el concepto de integral. A esta operación matemática se le conocen como integral de superficie y se representa como: (figura(2 .1)).

n -lím £ / ¡ A flf= f - d A (2.1)

oo ~ J s

El resultado de esta operación es un escalar. Si hacemos que la función sea una función unitaria, la integral de superficie es el área de la superficie. Se puede presentar el caso, que la función / , sea una función variable; por ejemplo, la densidad de carga, entonces la integral de superficie da como resultado la carga total contenida en la superficie.Las superficies se pueden orientar, y la manera usual de orientarla es trazando un vector unitario perpendicular en un punto de la superficie. En esta caracterización, el vector direccional en una área infinitesimal dA es, dÁ = ñdA: Siendo ñ, el vector unitario normal(apuntando hacia fuera de la superficie).

Ahora, consideremos una superficie S inmersa en un campo vectorial É, tal como se indica en la figura(2 .1). Algunas líneas de campo eléctrico atraviesan la superficie. En muchos de los casos es posible cuantificar el número de líneas de campo que atraviesan la superficie. Éste concepto es el que se aprovecha para definir flujo de campo eléctrico.Si en cada punto de la superficie existe un vector £, entonces en cada punto de la superficie se le puede asociar una cantidad escalar definida por; E • dÁ. Éste valor representa la porción del vector E que

Figura 2.1: Flujo de campo eléctrico a través de la superficie S.

traviesa el elemento de superficie dA. Este cantidad escalar es la que se denomina diferencial de flujo de campo eléctrico y se denota como: d<p. Por lo tanto, se puede escribir como; dcp = E • dÁ = É • ñdA. El flujo de campo eléctrico sobre toda la superficie, es la suma de estos diferenciales:

<p = J^d<p = J$É • ftdA = J^ É • dÁ = J^E cosddA (2 .2)

Las unidades de flujo de campo eléctrico (ecuación(2 .2)) en el sistema internacional (SI), se definen como; (p=jtm2.

El flujo de campo eléctrico se puede dar a través de superficies abiertas y cerradas. El flujo alcanza el máxima valor para cuando; eos 9 = 1. Es decir, E || ñ, y el mínimo valor para cuando, eos 0 = 0, es decir, É _L ñ.

2.2. Ley de GaussConsideremos el caso particular de una carga Q, localizada en el origen del radio vector de su

perficie esférica. Para ésta geometría el vector campo eléctrico É, es paralelo al vector normal a la superficie ñ. Luego, el flujo a través de la superficie esférica cerrada estaría dado por: (figura(2.2))

(p = E • dA = j)^E eos 9dA = j> EdA (2 .3)

Pero el campo eléctrico tiene el mismo valor en toda la superficie de la esfera, con una magnitud de £ = ^2 , de donde:

í = / s E « - « / s ^ . ^ ( t e R 2, . e

Este resultado muestra el flujo de campo eléctrico a través de la superficie cerrada, está dada por:

. Qenc<P = — (2.4)

siendo Qmc la carga encerrada por la superficie.

Figura 2.2: Flujo de campo eléctrico a través de la superficie esférica de radio R, donde la carga está lo

calizada en el centro de la esfera.

Lo relevante de esta ecuación(2.4) es que el flujo de campo eléctrico a través de una superficie cerrada es proporcional a la carga encerrada por la superficie. La expresión ecuación(2.3)se denomina Ley de Gauss. La superficie por la cual se calculo el flujo se denominan superficies gaussianas. Estas superficies en algunos casos pueden ser no reales. Para el caso particular, cuando la carga encerrada por la superficie gaussiana es cero, no hay flujo de campo eléctrico (flujo cero). Es también importante destacar, la ley es de doble implicación. Es decir, a partir del flujo de campo eléctrico a través de una superficie, se puede determinar la carga encerrada en esa región y /o a partir de una distribución de carga, se podrá determinar la magnitud del campo eléctrico en un punto. La ley de Gauss, es de fácil manejo para superficies o distribuciones de carga con alta simetría, pero cuando no hay simetría los cálculos se hacen más complejos de operar.

2.3. Ejemplos

2.3.1. Flujo eléctrico a través de una superficie cúbica

Determine el flujo de campo eléctrico que pasa a través de una superficie de una caja cúbica de lado L, la cual está inmersa en un campo eléctrico uniforme, de modo que dos caras son perpendicular al campo, É = EÍ (figura(2.3)).

Solución

El flujo de campo eléctrico a través del cubo, se puede expresar como;

<p = j^ -d Á = J^E-dÁ + j ^ E d Á + - - + J jL d Á

Como, los vectores E y dA = ñdA en las superficies denotadas como; 3, 4, 5 y 6 son paralelos. Dada esta condición, el producto escalar entre los dos vectores en cada una de las superficies respectiva es cero. Mientras que, para la superficie denotada como 1 el producto es -1 y para la superficie 2 es 1.

X

>

z

Figura 2.3: Flujo de campo eléctrico a través de la superficie cúbica de lado L.

Entonces:

<p = J^ É -d Á = - ^ EdA + ^ EíM

como la magnitud del campo es constante en toda la superficie, entonces se tiene que:

» = J^ É ■ dÁ = - E J^ dA + E J^ dA = - E L 2 + EL2 = (

2.3.2. Distribución de carga en una superficie esférica

Suponga una esfera central positiva de radio a y carga neta +Q aislante, rodeada de un cascarón metálico descargado de radio interior b y radio exterior c. Utilizando la ley de Gauss, calcule el campo eléctrico para cualquier posición medida desde el centro. Figura( 2.4).

Solución

Para calcular el campo eléctrico en una determinada región utilizando la ley de Gauss, consideramos una superficie gaussiana y se determina el flujo eléctrico a través de la misma.

1. Para, 0 < r < a. Consideremos un superficie gaussiana esférica con radio dentro de esta región.El flujo a través de esta esfera está dado por:

Í E d Á = ^Js t'o

cf EdA = E ¿ d A = EAnr2 = —Js Js £o

Qcnc4nr2£Q

la carga encerrada por la superficie gaussiana Qenc, se puede determinar a partir de:

Qenc = pV' = P^TTr3

D is ta n c ia (m )

b)

Figura 2.4: (a) Esfera aislante de radio a con carga Q, concéntrica a esta hay un cascarón esférico

conductor de radios b y c sin carga. Representación de la inducción de carga en el cascarón metálico

esférico y representación de las superficies gaussianas en cada una de las regiones, (b) variación del

campo eléctrico con la distancia radial.

siendo V", el volumen encerrado por la superficie gaussiana.

Además,

Q = p V = p ^ n a i

siendo V, el volumen total de la esfera asilante. De compar estos dos resultados, se tiene

Qe"c - q - O —Q a3 üenc n3

se remplaza el valor de Qenc en la expresión del campo, resultando:

Ka*E = = Qr3 _ pr_4ne(¡r2 47i£:0rt3r2 3eo

2. Para, a < r < b . Consideremos un superficie gaussiana esférica de radio r y calculamos el flujo eléctrico a través de la misma.

E d A Qenc

EO

= ® EdA = £ a dA = E47rr2 = Qenc

£0

£ =4/Tf2£0

La carga encerrada por la superficie esferica es la carga total Q, en la esfera aislante

Q4 n r2eo

3. Para, b < r < c. Consideremos un superficie gaussiana esférica de radio r y calculamos el flujo eléctrico a través de la misma.

<p = ¿ É - d Á = ^J s £0

= <£ EdA = E <fdA = E47112 = ^ Js J s £o

£ 0Qenc4zrr2£o

La carga encerrada por la superficie gaussiana es la carga Q de la esfera aislante más la carga -Q, que es la carga inducida en la superficie interior de la esfera metálica (figura(2 .4)). Es decir Qenc = Q — Q = 0 . luego, el campo eléctrico para esta región es:

£ = 4 ¿ ^ =0

4. Para, r > c. Consideremos un superficie gaussiana esférica de radio r y calculamos el flujo eléctrico a través de la misma.

Q e i<p= < ¡> É -dÁ = Q ^ -Js e0

Qej

Qenc

= <f EdA = E í d A = Eám 2 =Js J s £n

E =47ZT2£o

La carga encerrada por la superficie gaussiana es la suma de las cargas de: la esfera aislante más la carga inducida en la superficie interna del conductor, más la carga inducida en la supefide externa del conductor; Es decir: Q enc = Q - Q + Q = Q . Luego, el campo eléctrico para esta región es:

4 n r2£o

La representación geométrica del campo en función de la distancia se muestra en la figura(2.4b).

2.3.3. Modelo atómico

Suponga el modelo atómico que consta de una esfera central positiva de radio Rj y carga neta +Ze rodeada de un cascarón negativo de radio exterior R2 con carga neta -Ze. Calcule el campo eléctrico para cualquier posición dentro del núcleo, en el cascarón y fuera del átomo. Figura( 2 .5).

SoluciónPara determinar el campo eléctrico en un punto localizado a una distancia r, medida desde el

centro de la distribudón. Trazamos un superficie esférica y determinamos el flujo de campo a través de la misma.

a ) b)

Figura 2.5: (a) Modelo atómico de una distribución de carga, (b) variación del campo eléctrico con la

distancia.

1. Para la región, 0 < r < R\. Trazamos un superficie gaussiana de radio r concéntrica y calculemos el flujo de campo eléctrico a través de la misma:

d>= ¿E -dX = Qe*Js €o

pero el campo y el vector normal a la superficie son paralelos, entonces:

(¡> = j> EdA, como el campo es constante

0 = E A = E t e r 2 = - * £ = 7 ^ 5 = 7 ^ %47T£o» 47T£0'

para determinar cuanta carga quedo encerrada en la superficie gaussiana, se calcula a partir de:

_ Qenc _ Ze siendo V, el volumen totaly V | ttR 3

Q Z'ep = ^— - , siendo Vf, el volumen encerrado or la superficie gaussiana

de comparar estas dos expresiones tenemos:

. Z o . . _ Z'e Zer3 ZeZ = W r ' lue8° el campo es: E = — 2 = — 2 = — r

2. Para la región, R\ < r < Ri- Trazamos un superficie gaussiana de radio r concéntrica y calculemos el flujo de campo eléctrico a través de la misma.

<p= <(É-dÁ=QmJs £q

pero el campo eléctrico y el vector normal a la superficie son paralelos. Luego:

<p = j> EdA = E j ¡ dA ya que £ es constante

4> = EA = Eánr2 = ^ -> E = Qenc - Z'e£o 47T£or2 in egr2

para determinar cuanta carga queda encerrada por la superficie gaussiana, hacemos que:

Qenc = Ze — Z £

siendo — Z'e parte de — Ze, la cual la podemos determinara a partir de:

Qenc —ZeP2 ~ V $ n (R 3 - R3)

siendo V, el volumen total,

Qenc —Z'eP2 =

V' * n (r 3 - R 3)

donde V' y Z ' son el volumen y la carga encerrados por la superficie gaussiana.

De comparar estas dos expresiones se tiene que:

—Ze - Z ' e Z Z'§ n ( R l - R ¡ ) ~ $ n (r3 - R 3) (R 3 - R\) ~ (r3 - R3)

luego,

Z! =(r3 — R?)

£ Qenc

(R32 - R ¡ )

. = _ l _ ÍZe_ Ze]l = J L ¡ ! _4 n e0r2 4 n c0 [ R ^ - R 3) r2 47r£o ( R ^ - R 3) V

3. Para la región, r > Rz- Trazamos un superficie gaussiana de radio r concéntrica y calculemos el flujo de campo eléctrico.

d> = E d Á = ^Js £o

pero el campo y el vector normal a la superficie son paralelos, luego:

(p = j>^Ed A = E dA , ya que £ es constante

<b = EA = E47T12 = —£0

Pero la carga encerrada por la superficie es:

Qenc = Ze + ( - Z e ) = Ze - Ze = 0

el campo estaría dado por:

r Qenc 04 tXCqT2 4/T£qí'2

a ) b )

Figura 2.6: (a) Alambre delgado de longitud L y densidad de carga A, (b) variación del campo eléctrico

en función de la distancia al alambre.

2.3.4. Alambre delgado cargado

Utilizando la ley de Gauss, calcule el campo eléctrico generado por un alambre delgado cargado con densidad de carga A y longitud L (figura(2.6)).

Solución

Para determinar el campo eléctrico en un punto localizado a una distancia r, trazamos un superficie cilindrica concéntrica a la línea de carga y determinamos el flujo de campo a través de la misma.

= ¿ É - d Á =£0

s, es la superficie cilindrica total, la cual se puede separar en tres superficies,

<p = j f E ■ dÁ = J^ É ■ dÁ = J^ E ■ dÁ = j Í É • dA = ^

pera las caras 2 y 3 los vectores E y ñ son perpendiculares. El flujo a través de estas superficies es cero. Entonces:

É • dÀ = E I dA = EA = E {2nrL) = — = 9.£o Eoluego, el campo es:

E = Q , Q „ A l — , como A = — -> E = -----------2 n e0Lr L 2 n e0 r

2.3.5. Disco delgado cargado eléctricamente

Una carga puntual q, se localiza en el eje de un disco de radio R a una distancia L del plano del disco, tal como se indica en la figura(2.7). Determine el flujo de campo eléctrico a través del disco.

"Disco a

a)

Figura 2.7: (a)Carga puntual q, localizada a un distancia L, medida desde el plano del disco circular

de radio R, (b) construcción geométrica de la superficie gaussiana de radio r.

Solución

Para determinar el flujo de campo a través del plano de radio R, trazamos una esfera de radio r con centro en la carga puntual q, y calculamos el flujo de campo a través del cascarón esférico que se formó. Entonces, el flujo de campo eléctrico sobre el cascarón esférico es:

<p= ¿ E - d Á = ^ -Ji £o

a y

v

Figura 2.8: Lámina semi-infinita de densidad de carga uniforme, po-

como el campo eléctrico y el vector normal a la superficie son paralelos, se tiene:

d, = i EdA = ^ = £/ £0 £o

un elemento de superficie en coordenadas esféricas y el campo a una distancia R están dados por:

dA = r2 sin 9d9d<p, donde, 0 < <p < 2 n , 0 < 9 < a , y E = ^|

- r n - — *ip = kq (2 n ) í sin9d9 = k q {2 n ) { — c o s9 ) |S= k q ( 2 n ) ( c o s a - 1)

Jo

en correspondencia a la geometría, se tiene que

eos a = ^ , luego k 2n q(l - = ■£- => (1 - - ) = i

- = - y r2 = L2 + R2 => 2 L = \/L2 + R 2 r 2

por tanto,

R = V 3 L

2 .3 .6 . Lámina cargada uniformemente

(a) Considere una lámina cargada uniformemente con densidad de carga p. Encontrar, el campo eléctrico dentro de la placa, (b) suponga que un electrón se coloca dentro de la placa. Si se suelta el electrón desde el reposo a una distancia x, medida desde el centro. Demuestre que el electrón describe un movimiento armónico sim ple (M.A.S) (figura(2.8)).

Solución

(a) Consideramos ima superficie gaussiana dentro de la lámina con geometría acorde a la geometría de la placa, calculamos el flujo de campo a través de la misma:

<p= <£E-dÁ = Q mJ s eo

Solo hay flujo sobre las superficies perpendiculares a la dirección x, entonces:

<p = j E d A = ^

para determinar cuanta carga está atrapada por la superficie gussiana, hacemos que:

p = ® , siendo V, el volumen total

QfP = y j siendo V' y Q' el volumen y la carga de la superficie gaussiana

comparando las dos expresiones, se tiene que:

§ = ^ =*> Q' = Q y = PV' = pAx

siendo A, la superficie transversal de la superficie gaussiana.

luego, el campo eléctrico es:

E ^ Qenc _ pAx _ P x Ae0 Aeq £q

(b) Sobre el electrón actúa la fuerza eléctrica y considerando la segunda ley de Newton, se tiene:

_ _ (p-xF = - e E -» - e E =

px d2x- e — = rn—j £0 dt2

f x _ ____d t 2 TTI£q

ep 2 — X = —C ü X

Esta ecuación diferencial de segundo grado homogénea, garantiza que el movimiento que describe el electrón es un movimiento armónico simple (M.A.S). La constante = o;2, es la frecuencia angular del movimiento. La frecuencia y periodo del M.A.S, están dados por:

f = — = — J ^ S Í - > T = i = 27T,J 2n 27r V m£o f

2.3.7. Rodaja esféricaConsidere una rodaja esférica, tal como se indica en la figura(2.9). Determine el flujo de campo a

través de la superficie.

ZA

yQ

X

Figura 2.9: Flujo de campo eléctrico a través de la rodaja esférica.

SoluciónPara determinar el flujo a través de la superficie, consideremos una superficie esférica de radio r,

concéntrica en la carga Q. El campo eléctrico a una distancia R, debido a la carga puntal Q, está dado por la expresión;

El campo eléctrico radial es constante y paralelo al vector normal a la superficie esférica.

el elemento de superficie dA, expresado en coordenadas esféricas, está dado por:

dA = r2 sin 6 d6 d<p, donde los intervalos varían en: a <Q < /$, y 0 <(p < 2nrln r¡3 rfi

(p = kQ I / sin 6 dd d(p = kQ 2 tí / sin QdQJO Ja Ja.

(p = kQ 2n ( — cos0) |£= kQ 2n (co sa — cos/S)(p = kQ2n(coscc — cos/$)

consideremos el caso partcular para cuando; a:=0 y £=7t, se concluye que:

Es el valor del flujo de campo elécrico sobre una superficie esferica de radio R con la carga dentro de la esfera.

2.3.8. Flujo sobre una esferaDetermine el flujo del campo eléctrico de una distribución de carga lineal infinita, a través de una

superficie esferica de radio R, la cual tiene el origen en un punto de la línea de carga (figura(2.10)).

Figura 2.10: Línea de carga A, flujo de campo eléctrico a través de una esfera de radio R.

Solución

El flujo a través de la superficie esta dado por,

$ = J E-dÁ

pero el campo electrico generado por el alambre a un distancia r, esta dado por;

g A f A r Itceoy 2tteo r2

el elem ento de superficie se puede escribir como,

d Á = dA R = d A — ; R = z k + r K

r . A r J A zk + r , A r , ,J s ^27i£0 r2 R 2 tie0R Js

A^ = 2 ^ R (47rR2)

2AR<P= —Eo

Capítulo 3

Energía potencial y potencial eléctrico

Introducción

Esta sección esta dedicada a explicar los fenómenos electrostáticos con la ayuda de los conceptos de trabajo y energía. Como la fuerza eléctrica es una fuerza conservativa, entonces podemos correlacionar las propiedades en estos sistemas.

3.1. Trabajo y energía potencialConsideremos un carga q, que inter-actúa con otra carga Q. Para determinar el trabajo total que

hace la fuerza eléctrica para llevar la carga siguiendo la trayectoria mostrada en la figura(3.1), se hace a partir de la superposición de los trabajos realizados por la fuerza eléctrica en pequeños desplazamientos. El trabajo realizados por la fuerza eléctrica en el desplazamiento desde una posición f\ hasta la posición r j, esta dado por:

a y

Figura 3.1: Desplazamiento de una carga q, desde el punto 1 al 2, siguiendo la trayectoria indicada.

dW = F - d T = ^ $ f - d T (3.1)

pero el desplazamiento / tiene dos componentes, según la geometría tiene una paralela y otra perpendicular al vector r. La única componente de la fuerza que si hace trabajo es la componente paralela al

radio vector, la cual esta dada por: dr. Entonces:

m = kj Q dr = kqQ %r¿ rz

AW = J dW = kqQ 2 ^ (3.2)

= ~ k q Q ¿ - hr2 T\

Este resultado(3.2) es bien importante, puesto que revela que el trabajo realizado por la fuerza eléctrica solo depende únicamente de las posiciones inicial y final, no depende de la trayectoria seguida por la carga. Esta condición también es aceptada para definir cuando una fuerza es conservativa.

A W = - k q Q { y - y ) r i r2

= (3.3)r2 r¡

= - ( 1 7 2 - 1 / 0 = - A U

donde se ha definido las constantes ¡i] y U2 como;

U 2 = kj Q y =r2 rx

La ecuación(3.3) representa la definición de energía potencial eléctrica de la carga c¡ en los puntos 1 y 2 respectivamente. Entonces AU, es la variación de energía potencial eléctrica de la carga puntual q.El signo menos de la expresión(3.3), indica que cuanto más se aleja la carga q, de la fuente de campoeléctrico la energía potencial disminuye: Por otro lado, las unidades en el sistema internacional "SI", de la energía potencial eléctrica son; l/=Julios=J.

3.2. Potencial eléctricoPor otro lado, consideramos la ecuación(3.3).

AW = ~ (U 2 - ¡JO = AU = - k q Q ( - - i )rl r2

AW L /2 _ U i) <3-4)q ' i r\ q q

Si hacem os el cambio de variable, V2 = ^ y Vi = ^ L, se tiene que

AW (3-5) = -A l/

q

Está expresión(3.5) indica que la diferencia de potencial entre dos puntos, es igual al trabajo por unidad de carga realizado por el campo eléctrico.Las funciones Vj y V2, son los potenciales eléctricos en los puntos 1 y 2 respectivamente, y Al/ es la diferencia de potencial entre estos dos puntos. La unidad del potencial en el SI ¿=voltios=V.A partir de este resultado, se puede decir que el potencial eléctrico que origina una carga Q en un punto r referido al infinito, esta dado por:

i/ _ v U kQV — Jim — — — /o /-\q—>0 q r

A

n-cargas

o

Figura 3.2: Potencial eléctrico en un punto del espacio, debido a una distribución de N-

cargas(discreta).

La ecuación3.6 expresa, que el potencial eléctrico no es más que el trabajo por unidad de carga realizado por el campo eléctrico.

El potencial es una magnitud escalar que puede sere positivo o negativo generado por la carga eléctrica Q, de aquí que a la carga se le denominada fuente de campo y potencial eléctrico. La diferencia de potencial entre dos puntos, está dada por:

Si hacemos que uno de los puntos esté en el infinito (r\ —> oo), en ese punto el potencial tiende a cero, luego el potencial en un punto p comparado con el infinito se denota como.

3.2.1. Distribuciones de carga discreta

Consideremos una distribución de cargas puntuales discreta, el potencial eléctrico generado por estas cargas en un punto del espacio, está dado por la super-posición de los potenciales individuales

El potencial debido a la carga ¡j„ en un punto del espacio localizado a la distancia | 7 — r¡ |, medida desde la carga está dado por:

El potencial eléctrico total en el punto p del espacio, es la superposición de los potenciales individuales generados por cada una de las N-cargas, y está dado por:

A V = (V2 - V 1) = k Q ( ± - h r2 r i

(3.7)

(figura(3.2)).

Este valor del potencial esta comparado con el potencial en el infinito, es decir;

A V = Vp — Veo = Vp — 0 = V,,

A

dV

Figura 3.3: Potencial eléctrico en un punto del espacio debido a una distribución continua de carga.

3.2.2. Distribución de carga continua

Si la distribución de cargas puntuales es una distribución continua (objeto), el potencial eléctrico un punto generado por esta distribución es la super-posición de los potenciales individuales gene-r\c n n r n n r l i f o r o n r i n l r i o n7\YCr7\ fKd í f l O l i r a n

en unrados por un diferencial de carga Aq. (figura(3.3)).

El potencial generado por Aq, esta dado por:

kAq¡Vi

. r — r¡ \

el potencial total, será:N

v = E 1 = 1

ces:Si hacemos que el diferencial de carga sea suficientemente pequeño como se pueda (Aq —>■ co), enton-

N N N KV = V A V¡ = lím V A Vi = lím V — ^

( ? A ^oo ~\ \ r — r¡

V =r e kdq " (3'10)

Jo I r - Ti I

La expresión(3.10), es considera como la definición de un potencial generado por una distribución de carga en un punto del espacio. La expresión lleva implícita la consideración de que el potencial en el infinito es cero.Recordemos que el trabajo infinitesimal está definido como; dW = F ■ dr = qÉ ■ dr. Ahora, efectuemos la siguiente operación:

dW . . . e „— = - d V = E ■ drq

Teniendo en cuenta que el vector campo eléctrico y el vector de posición son funciones de coordenadas, es decir; E s E (x ,y ,z ) y r s r (x ,y ,z ) .

Las respectivas componentes del campo eléctrico, están dada por;

(3.11a)

(3.11b)

(3.11c)

Luego,

(3.12)- V V = E

La expresión(3.12) se denomina gradiente de potencial y permite determinar el campo eléctrico a partir del potencial eléctrico. Esta propiedad, se puede considerara como una consecuencia directa asociada a que el campo eléctrico es una magnitud conservativa, o también se puede afirmar que el campo de fuerzas es un campo conservativo.Para el caso particular de una distribución de cargas con densidad de carga independiente en cada

una de la tres direcciones, el campo eléctrico en una dirección no da lugar a campos eléctricos en las otras dos componentes. Para esta particularidad de distribución de carga, consideremos una superficie gaussiana de forma de una lámina, donde el paralelepípedo tiene dimensiones; dx, dy y dz la cual esta inmersa en la región de la distribución de carga. Si aplicamos la ley de Gauss a esta superficie, de inmediato se puede concluir que por cada una de las caras de la superficie la contribución al flujo de campo eléctrico, es la componente perpendicular a la cara respectiva. Por ejemplo, considerando el vector Ex, solo hay flujo eléctrico sobre la superficie dydz, para el vector Ey, solo hay flujo eléctrico sobre la superficie dzdx y para el vector E2, solo hay flujo eléctrico sobre la superficie dxdy. Por otro lado, para las dos superficies normales a la dirección x localizadas en x y x+dx, el campo eléctrico Ex tiene un valor en cada uno de las posiciones, es decir; y E^x + d x )i respectivamente. Los vectores unitarios en cada una de las posiciones se discriminan así: en la posición x el vector unitario es ñ = —i y para la posición x+dx el vector unitario es ti = i. Teniendo en cuenta esta consideraciones, el flujo de campo a través de la superficie dA, esta dada por:

la condición, es que el campo es independiente de las otras componentes y es el mismo en todos los puntos de las superficies s í y s2 , de tal manera que se puede escribir como:

Qcnc£o

4> = {Ex(x + dx) - Ex(x )]A

+ [Ey(y + dy) - Ey(i/)]^ + [Ez(z + dz) — Ez (z)]y4

Qcnc

Para cada una de las componentes del campo eléctrico, se puede escribir como:

[EX{x + dx) - Ex(jr)]y4 _ p {x )A dx £ 0

[Ey {y + dy) - Ey{y)\A = p(y )A dy £ 0

[E~(z + dz) - Ez (z)]A _ p {z)A dz ~ £q

entonces:

en correspondencia con la definición de derivada parcial, se tiene:

dEx dEy dEz = jodx dy dz £0

Como,

Ex = ~ V ( x , y , z ) , Ey = ~ V { x , y , z ) , Ez = ~ V { x , y , z )

d2V d2V d2V pdx2 + dy2 + dz2 ~ (3'13)

La ecuación(3.13) se conoce con el nombre Ecuación de Poisson en coordenadas cartesianas. Para elcaso particular, que la densidad de carga sea cero la ecuación3.13 se convierte en;

d2V d2V d2V „d i 2 + 'dy2 + H I2 <3 '14)

La expresión((3.14)) se denomina Ecuación de Laplace en coordenadas cartesianas.Com o el operador Laplaciano V 2 representa "la divergencia del gradiente" y teniendo en cuenta que:

(I) En coordenadas cartesianas,

V 2y = v • W = + | -/ + ~ k ) - & + | - J + ~ k )dx dy' dx dx d y 1 dz '

de donde,V 2V =

£o

( I I ) En coordenadas cilindricas,

2 1 3 , 3V\ 1 d2V d2V7 a ? (r + + fo t

(m) En coordenadas esféricas,

, 1 d , 2 d V x 1 d , . d V . : 1 d2V

V V ~ 7 2 ' dr^ 3 r r2 sin 0 30 m 3 0 ) r2 sin2 0 3 <p2

3 .2 .3 . E n e rg ía a lm a ce n a d a s en u n a d istrib u ció n d e carg a

Recordemos que la energía potencial de un sistema de cargas, es igual al trabajo hecho para ensamblar el sistema de cargas y es independiente del procedimiento que se elija: En vista de estos, im aginem os el ensamble de n cargas en una región del espacio donde inicialmente esta libre de cargas y fuerzas.

N -c a r g a s

Figura 3.4: Trabajo que se hace para ensamblar n cargas en una región del espacio

1. El trabajo que se hace para traer un carga q i , desde el infinito hasta el punto 1 está dado por:

Wj = q i (AV) = q ^ - Veo) = 9 l (0 - 0) = 0 (3.15)

Siendo V\, el potencial en el punto 1 y Voo el potencial en el infinito, los dos potenciales son cero.

2. El trabajo que se hace para traer la carga q2, desde el infinito y ensamblarla en el sitio 2, estadada por:

W2 = q2{AV) = q2(V2 ~ V«,) = qi(V 2 - 0) = <7 2 ^ 2 (3-16)

Pero el potencial V2, es potencial en el punto 2 debido a la carga q 1 , el cual se puede determinara a partir de; (Figura( 3.4)):

V2 = V2l = kqi = (3.17)| r2 -r \ | r2\

3. El trabajo que se hace para traer la carga í / 3 , desde el infinito y ensamblarla en el sitio 3 y se puede determinar a partir de;

W3 = qi(A V ) = £/3 (V3 — V^) = ¡7 3 ( 1/3 — 0) = £73 V3 (3.18)

Pero el potencial V3 , es potencial en el punto 3, debido a las cargas q 1 y q2 y se podría calcular a partir de;

V3 = V a + V$2 = kq i + (3-19)I r3 - r l I I r3 - r2 I

4. Así, se puede repetir el procedimiento para determinar el trabajo para ensamblar las cargas q¿, c]5 hasta la carga qn. Estos trabajos estarían dados por;

W4 = q4(A V ) = q4(V4 - Veo) = q4(V4 - 0) = q4V4 (3.20)

donde el potencia V4, está dado por: V4 = V4 1 + V42 + V4 3

W„ = q„(A V) = q„(V„ - VM) = q„(V„ - 0) = q„V„ (3.21)

donde el potencial Vn, esta dado por;

V,i = V„i + V,l2 + ^ „ 3 + • • • + ^ ,( , , . 1 )

5. El trabajo total para ensamblar las »-cargas, es la suma de todos los trabajos individuales, y estaría dado por:

11

W = Wj 4- W2 + W3 + • • • + Wfl = VV/1=0

= íi(0 )

r 21

r31 r32kq-i kq2 kq$

+ 7 4 7^ + 9 4 "^ + 74 r4i r4 2 r4 3

+ , > + « > + , > + ■■■ + , . Í 2 = l»■ni r„ 2 r„3 r „ „ _ i

= <?i Vio + 72V21 + 73 V31 + 73V32 -I----+ illu n i + InV11Z + 7«^«3 + • ' • + qnV,m-i

n Jen- n

M r,i M»1

w = l t i ñ

(3.22)

El factor 5 de la última expresión(3.22), evita que se repitan los términos cruzados, es decir V¡¡ = V¡¡.

3.3. Superficies equipotencialesUna superficie equipotencial se define como la superficie en la cual el potencial en cada uno de los

puntos es el mismo. Es decir, si se consideran dos puntos de la superficie, la diferencia de potencial entre estos dos puntos es cero.Un ejemplo de superficies equipotenciales, se ilustran en las figuras(3.5):

linea de campo ^

Figura 3.5: Superficies equipotenciales con geometrías: (a) esférica, (b) planos y (c) cilindricas.

3.4. Ejemplos

3.4.1. Gotas cargadas

Cincuenta gotas idénticas de mercurio, se cargan simultáneamente al mismo potencial de 100 voltios. ¿Cuál será el potencial V , de la gran gota formada por aglomeración de las gotas? (suponer que las todas las gotas tienen forma esférica).

Solución

El potencial en la superficie de una gota esférica de radio r es:

kq V rV = — -> q = ~ rr k

la gran gota formada, tendrá una carga total Q=50q, y el potencial en la superficie de radio R, estará dado por;

' " - T - T “ 50^ - 50^Por otro lado, el volumen de la gran gota es 50 veces el volumen de una gota. Entonces,

4 3 4 3 r3 1 r 1- n R = 5 0 - ^ => R3 = 50 =* R = W 0

luego, el volumen de la gran gota será

V' = 5 0 ^ tt= (100) = 1357,2 voltios v/50

3.4.2. Cargas localizadas en las esquinas de un cuadrado

Consideremos cuatro cargas puntuales: q, 2q, 3q y Aq siendo q=5 }iC, localizadas en las esquinas de un cuadrado de lado, «=50 cm, tal como se indica en la figura(3.6). Determinar el trabajo que se debe hacer para ensamblar las cuatro carga en los vertices del cuadrado. ¿Cuál es la energía electrostática almacenada en el arreglo?.

Solución

Calculemos el trabajo que se hace para ensamblar cada una de las carga en su respectivo lugar.

w = o + 3q(V\2) + {—q)(vo + V23) + q(V\4 + V42 + V43)„ ,k2 q . , k2q k3q. ,k 2 q k3q kq .

« ' + ’ (V + ^ - 7 >6 kq2 2kq2 3 kq2 2kq2 3 kq2 kq2

a a \¡2 a a a\ Í2 a

1 0 kq2 kq2a a\Í2

= £ ( , 0 + > ) = * É ! H 4 ± ! )a s/2 a s /2

_ a « « ? s0,7071 0,7071

posición(cm)

Figura 3.6: Cuatro cargas puntuales están localizadas en las esquinas de un cuadrado de lado L=50

La energía almacenada en esta configuración de carga es 4818,2 J. La densidad de energía por unidad de superficie es:

W _ kc?2 (10\/2 + l ) _ 4818,2/ = 1 9 2 7 2 ,8 -^ = 19,2728M

/I „ V 2 0,25

3.4.3. Línea de carga

Considerem os un línea de carga A de longitud L, localizada a lo largo del eje x, tal como se indica en la figura(3.7). Determinar el potencial eléctrico en el punto de coordenadas P(0,y).

dV

O ' A dq

dxL

a ) b )

Figura 3.7: (a) Alambre delgado de longitud L y densidad de carga constante A, (b) variación del

potencial eléctrico en función de la distancia r, para cuando; A=1 Cm ’ 1 y L=1 m.

Solución

Consideremos un elemento de carga dentro del alambre, y calculamos el elemento de potencial eléctrico en el punto p, el cual está determinado por:

d V = ^ U| y - * l {y1 + x1 )2

kÁdx

V =

{y2 + x2) i

¡«-HJO (y2 + x2)|

V = k\h\(x + y jx 2 + y2) |o= fcA[ln(L + ^ L2 + y2) - lny]

v „ tA to (í ± ^ í ! ± Z ,y

Consideramos un pimto muy cercano al alambres, es decir; L » y, de donde se concluye,

V = U l n ( L + ^ LÍ ± ^ ) ~ jfcAln(— )y y

3.4.4. Anillo delgado cargado

(a) Consideremos un anillo delgado de radio R cargado eléctricamente, localizado en el plano zx, centrado en el origen de coordenadas. Determinar el potencial eléctrico en un punto localizado sobre el eje y. A partir del resultado obtener el campo eléctrico, (b) cuál sería el potencial en el mismo punto, si se considera un semi-anillo (mitad de anillo)(figura(3.8)).

♦ Z

d V y s► >

y( m)

b)

Figura 3.8: (a) Anillo delgado de radio R uniformemente cargado, (b) variación del potencial con la

distancia para cuando; Q=1 }iC y L=0.01 m.

Solución

Consideremos un elemento de carga dq = A di, calculamos el elemento de potencial dV , en un punto ubicado a una distancia medida desde el cento del anillo y esta determinado por:

1 . anillo,kdq k\dl

dV = —-\ y ~ ur\ (y2 + R2) ’

kXRdB

(yo + R2)*

kÁRdd , , „ „dV = r donde 0 < 9 < 2 n

k\R r2n

(;yl + R2)J Jov = f d v = — - [ "de J (v l + R2) *

{yl + R2)1 (y20 + R2)*El campo eléctrico se puede determinar a partir de: £ = —^ V , entonces:

f 3 , kQ kQ 2y\{y2 + R2)-\ ,

¿y (y2 + R2)z (y2 + R2) 7_ fcQy ,

(y2 + R2)Í

a) Si hacemos que R y, entonces:

= _ k Q y _ _ kQ y _ KQ

y (y2 + R2) i y3 y2

b) Si hacemos que y —► oo, entonces:E y

2. semi-anillo. Para este caso se considera;

kdq k\dldV =

| y - « r l (y¿ + R2)¿kÁRd9 , ,

rfK = ---------------r donde 0 < 9 < n(yo + ^ 2) 3

v = f dV — — - Á- , r d e J (y l + R2) í Jo

v = kÁR ,(*) = — 'cQ ,(yo + R2) J (j/¿ + k 2) j

3.4.5. Semi-cascarón esférico

Consideremos un semi-cascarón esférico de radio R, el cual esta cargado uniformemente. El centro del cascarón coincide con el origen del sistema de referencia. Determine, el potencial eléctrico en el centro del cascarón (figura(3.9)).

Solución

Si consideramos un elemento de carga dq = crdA sobre la superficie del cascarón. De donde el diferencial de potencial en el origen de coordenadas está dado por:

kdq kdq kadAdV = r n = i r = —¡r-I ur i r r

Solución

En correspondencia con el planteamiento, se tiene:

V(r) ~ lnr =¡> V(r) = C ln r

siendo C, una constante de proporcionalidad.

(a) Variación del campo eléctrico;

e - ~ S ? V * - | ( C l n r ) = í f , e ; * E ~ 1

(b) Distribución de carga;

C 4nr2

por otro lado,

j E - d Á = 0 ^ => E{A ) = E ( 4 ^ ) = ^

4 n C r = ^ => Q e nc (r ) = 4 n c 0 C r

P ir) = ^ -*■ dQ = p(r)dv = An p dr^ = A n^ pir) = 4 n e0C

P(r) = ^

La funcionalidad de la carga con el radio (inverso al cuadrado del radio), infiere que la distribución de carga en esa región posee geometría esférica.

3.4.7. Cascarón esféricoCalcular la energía almacenada en un cascarón esférico delgado de radio R con carga Q, distribui

da sobre toda la superficie.

SoluciónLa densidad de energía u, está dada por:

Pero la intensidad de campo en la superficie esférica de radio r, está dado por:

un diferencia] de volumen está dado por; dv — 4 n r2dr un diferencial de densidad de energía, estaría dado por;

3.4.8. Distribución de carga eléctrica variableUna distribución de carga eléctrica, está dada por:

ÍP o O - ¿ ) f s n Poa3 p a ra r < a ,

para r > a

Encontrar la intensidad de campo y el potencial eléctrico, en el exterior de la distribución de carga.

SoluciónInicialmente encontremos la carga contenida en la región, 0 < r < a

Q = í pdv = 4 n í p0( l - ^ r 2dr Jo Jo a

= 4 n p o [ a r > d r - 4- ™ [ ° r*dr Jo a¿ Jo

= 47T|O0( y - y ) = 4 n p 0a3^ = ^ n p o d 3

Para determinar el campo eléctrico en la región fuera de la distribución de carga, determinamos inicialmente el flujo de campo eléctrico a través de una superficie esférica de radio r' (siendo r1 > a), que encierre la distribución de carga. Entonces, el flujo está dado por;

<p = ^ £ • dÁ = f EdA = E ^rcr12) = Q

luego, el campo está dado por;

r Q 8 3 2ppfl347rr'2Eo 15£q1 7ir/2 nP°a \5e0ra

Para encontrar el potencial eléctrico, utilizamos la condición de que V = — / E • dr'. Entonces,

A V = - ¡ É - d ? = f ' ’ Edr ' = i ' ' dr 'J J co Joo 15eo rr¿

= 2p0fl3 dr = 2p0a3 - 1 ,,15c0 i « r72 15í0 1 r'

= _ 0 = 2 p ° a 3 1 15e0 V ’ 15e0 r'

3.4.9. Esferas unidas por un conductorDos esferas de radios R¡ y R-2 conductores cargas con Qi y Q2 respectivamente, están unidas por

un c o n d u c t o r (figura(3.10)). Encontrar la relación entre las cargas y los radios.

SoluciónEl potencial eléctrico en la superficie de cada una de las esferas respectivamente, es:

v _ v w - k&

Figura 3.9: Cascarón esférico delgado de radio R, cargado uniformemente.

donde el elemento de superficie en coordenadas esféricas, está dado por:

dA = R2 sin ddddip para 0 < 0 < — y 0 < tp < 2 n

luego se tiene que:

dV =kcrdA k a R 2 sin 9d9dtp

R

V = kR arn/2 rln rn/2

/ / sin ddddih = k R a ln / sin 9d9Jo Jo Jo

kO= kR cr2n(—l ) (c o s t í / 2 — cosO) = kR u 2n = —

KEl valor del campo, para una esfera completa resulta al considerar los intervalos; 0 < 9 < n , 0 < tp < 2 n. Luego, el potencial será:

V = k R a í í sinddddíb = k R a2 n f sin 9d9 Jo Jo Jo

= kR cr2n(—1 ) ( — 2) = kR crin = ^K

Podríamos extrapolar el caso para un cascarón esférico con un espesor. Es decir, el cascarón tenga un radio interno Ri y radio externo R2- Para determinar el potencial en el centro del cascarón esférico(tiene espesor), se cambia el elemento de superficie por elemento de volumen, dv — r2 sin 9d9d(pdr.Para este caso los intervalos de integración están dados por: 0 < 9 < tí, 0 < ip < 2 n y R j < r < R2.

V = kp í [ [ r sin 9d9dipdr = kp2n [ f rsir\6d9drJo Jo J r, Jo J r¡

n 2= kp4n í rdr = k p 4 n ~ | 2= kp2n(R 2 — R2)

J R\ '

3.4.6. Simetría esférica con densidad de carga variable

Una distribución de carga continua, esférica y simétrica, produce un potencial eléctrico que varía proporcionalmente a ln r. (a)¿Cómo varía el campo eléctrico?, (b) ¿qué clase de distribución de carga produce este campo?.

Figura 3.10: Esferas conductores cargas unidas por un conductor.

cuando están unidas por el conductor sus potenciales son iguales, porque se configura un superficie equipotencial.

V - V kQ l - kQ2

de donde,

6l _ Q lR i R j

Este resultados indica, como la carga almacenada en las esferas es directamente proporcional al radio. Es decir, la de mayor radio posee mayor carga. En términos de la densidad se puede expresar como:

4/rR¡cr1 _ R¡

4 nR^crz ^ 2

c± _ R2(72 R j

en términos del campo eléctrico,

h = hE2 R i

La esfera de menor radio posee una densidad de carga mayor. El campo eléctrico en la superficie de cada esfera es inversamente proporcional a al radio respectivo. Éste efecto se conoce como efecto de borde. Dicho en otras palabras, el campo eléctrico es mucho mayor en las puntas que en las superficies planas.

3.4.10. Placa conductora circular muy grande con densidad de carga variable

Una placa de material conductor circular muy grande de radio R, tiene una densidad de carga superficial cr, dada por; a = <r0( l - j ) . Siendo r, la distancia medida desde el centro de la placa. D eterm ine el potencial en un punto sobre un eje perpendicular a la placa y que pasa por su centro, tal com o se indica en la figura(3.11).

SoluciónConsideram os un elem ento de carga dq, el cual genera un diferencial de potencial eléctrico en un

punto,

d v = - , kdqV r2 + z2

Distancia(m )

Figura 3.11: (a) Placa circular delgada de radio R, con densidad de carga variable, (b) variación del

potencial con la distancia para cuando; R=1 m, cr0= 4 ( 7r )( 9 ) ( 1 0 9) C m ~ 3

pero,

luego,

dcf = u 2 n rdr = 27rt7o[l — — ]rdr

v - [ ¿ v = a m , l [ ’ - g L = - R Í ' ‘ - í ^ lJ Jo yjr2 + z2 Jo v r 2 + z2

V = 2 k n a 0[ V r 2 + z i \g - R l n ( r + V r2 + z2) |£]

V = 2kmro[ V R 2 + z2 — z — R ln(R + \/R2 + z2) — ln(z)]

V = — [\/R2 + z2 — z — R ln 2eo

R + x/R2 + z2

Consideremos el caso para cuando z > R ,

\/R2 + z2 ~ z

luego,

V = £ - { z - z - R l n ( ^ ) ) = ^ ( - R l n ( ^ ) - R ln (l)) = - ^ l n ( £ )Z£q Z Z£g Z Z

3.4.11. Placa conductora circular muy grande con densidad de carga constante

Una placa de material conductor circular muy grande, de radio R, tiene una densidad de carga superficial <7 o, constante. Determine el potencial en un punto sobre un eje perpendicular a la placa y que pasa por su centro (figura(3.12)).

♦ X

y

dVo

o 2 4 6 8 10 12D is ta n d a (m )

a ) b)

Figura 3.12: (a) Placa circular delgada de radio R, con densidad de carga constante cr0, (b) variación

del potencial en función de la distancia, para cuando; cr0=4(7r)(9xl09) Cm2 y R=0.01 m.

Consideramos un elemento de carga dq, éste genera un diferencial de potencial eléctrico en un punto localizado a una distancia r, medido desde el centro de la carga: Entonces;

como, dq = ctqI u rdr, luego;

si hacemos que z > R, entonces \/R2 + z2 ^ z, luego el potencial se puede escribir como:

Este resultado muestra que para puntos bastante alejados de la placa, el potencial en esos puntos tiende a cero.

3.4.12. Movimiento de carga eléctrica cerca de un plano cargadoUn disco con densidad de carga a y radio R, está centrado en el origen de coordenadas. Si una

carga puntual q, se libera desde un posición x muy cercana al plano, ésta se acelera en la dirección x alejándose del plano. Determinar la velocidad de la carga q, cuando este muy alejada del plano

Solución

V = 2knaQ V r2 + z2 $

V = 2kna0[V R 2 + z2 - z ] = 2 k n ^ [ V R 2 + z 2 - z ] = \/K2 + 22 - 2]

a) b)Figura 3.13: (a) Dipolo eléctrico inmerso en un campo eléctrico, (b) representación de geométrica de;

dipolo, fuerzas y momento de fuerza en el sistema de coordenadas.

Solución

En correspondencia con el principio de conservación de la energía, se tiene que

(E c + U") inicial = (^ c + U ) f j nai

siendo Ec y U las energías cinética y potencial respectivamente,

1 i 1 ?-mug + qVj = 2mv + °ivf

en correspondencia con el problema, la velocidad inicial y el potencial en el infinito respectivamente, son ceros;

V2 = mm

Ahora, el potencial una distancia x de la placa, está dado por:

para un punto muy cercano al plano del disco, es decir R x, se puede aproximar:

- X \ —2 7T£qR2

27T£oR21 2 27T£ojR

luego, la velocidad estaría dada por.

_ Í2qV¡ __ I 2qQ _ UkqcrnR2 _ U kqanRV V m V 2neomR V mR V m

3.4.13. Energía potencial de un dipolo en un campo

Determinar la energía potencial eléctrica, de un dipolo inmerso en un campo eléctrico uniforme.

Solución

El dipolo eléctrico localizado en un sistema de coordenadas. Las coordenadas x, están dadas por: (figura(3.13)).

la coordenada de q, es: Xq + a eos 9,

la coordenada de -q, es: Xg — a eos 9,

las energías potenciales de cada carga, son:

U+ — ^~q[—E ( xq + a eo s 9) + Vq]

Lf_ = - q [ - E ( x 0 - a c o s O ) + Vo]

la energía total, está dada por;

U = U+ + íi= — la q E c o s d = — p E e o s 9 => U = —p x É

Este problema también se puede resolver teniendo en cuenta el momento de fuerza sobre el dipolo. Luego,

f = a x F —> r = aF sin 9 = aqE sin 9

el trabajo para girar al dipolo eléctrico un ángulo 9, es:

W : J d W = — 2 J Td9 = 2aqE sin 9d9 = — 2 aqE eos 9 = —pE eos 6

3.4.14. Dipolo eléctrico

Sobre el eje y, están localizadas dos cargas -Q y Q respectivamente, las dos cargas están separadas una distancia d. Determine el potencial eléctrico, en un punto distante P(x,y). Exprese la respuesta en coordenadas polares (figura(3.14)).

Solución

Teniendo en cuenta que la magnitud del campo eléctrico debido a un dipolo eléctrico en un punto en coordenadas p (r ,9 ) , está dado por:

p eos 9

47T£of3

donde; p = Qd, es el momento de dipolo y r es la distancia medida desde el origen de coordenadas al punto P. El potencial eléctrico se puede determina a través de,

A v = - J E - d r = - j'f Edr

f f p eos 9 .Jr¡ 4 n e0r3 T

Consideram os el caso para cuando el potencial en el infinito sea cero, entonces el potencial eléctrico en un punto a una distancia r, sería;

V (r) = ^4neor2

P(x,y)=P(r,0)

: - q

10

a ) b )

Figura 3.14: (a) Dipolo eléctrico, (b) variación con la distancia del potencial eléctrico para cuando;

Q=1 }iC, d =1 mm y 0=45°.

3.4.15. Trabajo del campo eléctrico

Un hilo delgado de longitud L, está cargado uniformemente con densidad de carga A constante, y está situado a un distancia h y paralelo a un plano infinito cargado con densidad constante a , tal como se indica en la figura(3.15). Calcular el trabajo que hace el campo eléctrico para girar el hilo y ponerlo perpendicular al plano, haciendo que uno de los extremos quede a un distancia h medida desde el plano.

Recordemos que el campo eléctrico a un distancia cercana a un al plano suficientemente grande de densidad de carga a , es un vector perpendicular al plano con magnitud constante igual a:

el potencial en ese punto es;

Ahora, el trabajo infinitesimal dW , que hace el campo eléctrico para trasladar un carga dq, desde un punto a otro, se puede determinar a través de (figura(3.15));

dW = dq(A V ) = dq{Vf - V¡)

En correspondencia con la geometría del problema, al girar la carga lineal, el elemento de carga dq = Ady, que está situada inicialmente a un distancia y, medida desde el origen de coordenadas pasa de un potencial; V¡ = V(h) a un posición final con potencial; V2 = V (z) = V(h + y). Luego, el trabajo

Solución

aV = — Ez + constante = — - — z + constante

2c0

Figura 3.15: Rotación en 90° de una línea de carga A, que inicialmente está paralela a un plano infinito

de carga a .

realizado es;

dW = ^ y d y =s- W = í ~ y d y =2eo 3 Jo 2e0 3 2 e0 2 10

IA7 — — ] 2

3.4.16. Distribución esférica de carga

Se dispone de un distribución de carga uniforme esferica de radio R y carga total Q¡ Sobre la superficie de radio de radio R0/ hay una carga Q0 de densidad constante cr0. El potencial en el interior de la esfera está dado por V¡ = k¡ + k jr 2 y el potencial en el exterior V2 = h / r . Determinar- (a) los valores de las constantes k\,k2 y £3 , (b) el campo eléctrico El para r < R y el campo eléctrico E nar r > R. (c ) Dibujar el perfil del campo y el potencial eléctrico en fundón de la distancia medida desde el centro de la distribución.

Solución

El potencial en el exterior de la superficie está dado por;

(a). . 1 Qtotai _ 1 Qo + Qi _ ^ 3 , l

2 ~ 47T£0 r 4 n c0 r r 3 _ 47te0

La relación entre la densidad de cubica de carga y el potencial eléctrico para puntos interiores de la geom etría. La expresión en coordenadas esféricas está dada por, que:

Recordemos que,

V • E = — , V V = - É Eo

de donde,V ( W ) = V 2V = — £■

eoEsta expresión se denomina Ecuación de Poisson

Por otro lado, en coordenadas esféricas se tiene que;

9 1 3 , 9 3 Ví. 1 d . 2 d ,, , 2wv v - r ^ i F ) = ? T r ^ k' +l:iñ)

- i í (r2,2hrn=2*V3F(,>) - 2t4 (3,2)=“ !- — = 6ÍC9 =► p = — 6/c2£q

EO

La carga contenida en la región 1 está dada por;

Qi = pVVB¡ = P ^ k r 3 = - 6 fc2£o R 3 = -8 fc 2 7T£0 R 3

de donde la constante k2 está determinada por;

Qik2 = -87TEoR3

Si el potencial es un función continua, se establece que en la frontera (r = R) los potenciales deben ser iguales, es decir:

V i(R) = V2(R)

k i + k2R2 =?2 _ 3R

ki = k- ± - k 2R2

5 + 5íS f k21 2Q0 + 3Qi

1 47T£q 2R

De donde se tiene que:

,/ /■> i, , i 2 _ 1 2 Qo + 3Qi Qi 2

\ h Qo + Qi 1V2(r) = 7 = ^ T 7

(b) La relación del potencial y el campo eléctrico en cada una de la regiones, se establece a través de la expresión; É = — de donde:

3 ^ _ Qi »•Ei = - ^ ( / c1 + V ) = -2<:2 - — ^

p _ 3 Jc3 /c3 _ Qo + Qi 12 3 r V ; r2 4 tt£ 0 r2

(c) la representación grafica se muestra en la figura(3.16).

Figura 3.16: Variación del potencial y el campo eléctrico en función de la distancia r, para cuando;

Q0=1 ¡iC, Qi=2 ]iC, y R=0.01 m.

Capítulo 4

Capacitancia eléctrica

CapacitanciaEsta sección esta dedicada al estudio de los dispositivos denominados capacitores o condensa

dores, estos dispositivos se constituyen como uno de los elementos básicos de la electrónica. Los capacitores en su parte básica están constituidos por dos conductores de forma arbitraria separados una distancia, los cuales están en disposición de almacenar cargas iguales pero de signo opuesto. La estructura del capacitor está caracteriza por dos aspectos muy importantes; (i) La geometría de los conductores, la cual debe garantizar que toda línea de fuerza que comienza en uno termina en el otro conductor, y (ii) el medio que separan los dos conductores.La carga neta de un capacitor, está determinada por la carga que hay en uno de los conductores, mientras que la diferencia de potencial entre los dos conductores es proporcional a la carga. (fígura(4.1))

Q ~ AV -> Q = CAV

la constante de proporcionalidad C, se denomina capacitancia eléctrica y se define como:

Las unidades la capacitancia eléctrica, en el Sistema Internacional (SI) son; = y=Faraday=F.Esta unidad de medida tienen múltiplos y sub-múltiplos; siendo 1 F=106/¿F=109 nF=1012 pF.

La capacitancia se podría definir como la capacidad que posee el dispositivo para almacenar carga eléctrica. También, se puede afirmar que lo que almacena el dispositivo es energía en forma de campo eléctrico. La capacitancia es el análogo al volumen de un recipiente para almacenar un gas (una masa), y la presión del gas es directamente proporcional al número de moléculas. Para un gas ideal la ecuación de estado está dada por:

PV = ttRT -> n = ^ v (4.2)

de donde P, V, n,R, y T son; la presión, volumen, número de moléculas, constante real y temperatura absoluta del gas respectivamente. La analogía entre la capacitancia y el volumen se representa entre las ecuaciones(4.1) y (4.2)).

4.0.17. Capacitor de placas planas paralelasConsideremos dos conductores planos paralelos con carga +Q y -Q respectivamente, separados

una distancia d. La diferencia de potencial entre los dos conductores se puede determinar a partir de:

f f - rdA v = ~ Ji E -d r = Edr

A

Figura 4.1: (a)Representación esquemática de un capacitor eléctrico, (b) representación gráfica de un

capacitor y (c) variación de la diferencia de potencial con la distancia de separación entre los conduc

tores.

el campo eléctrico es perpendicular a los conductores y constante a la distancia d •

AV = [ d — d r = — d Jo £o £ 0

luego,

C = — = — =AV §-o d a d d

siendo A, el área de la sección transversal del conductor. La permisividad eléctrica del vacío esta dada por, e0 - 8 , 8 5 x 10 “ 1 2 £ .Se quiere construir un capacitor de un faradio con las placas planas paralelas y separación una dis

tancia de un milímetro. En correspondencia con la capacitancia para esta geometría se tiene que-

£q A dedonde; A = — = = 0

Eo 8 ,85 x 10 - 1 2 C = ~ T ’ dedonde; A = — = ^ “ ___________ = 0 , l l x l 0 9 m2

si consideram os la sección transversal A, como un cuadrado de lado L, entonces-

L = VA = \/0 , 1 1 x 1 0 9 m2 ~ 0 , 1 0 x 1 0 5 m ~ 1 0 km

Este resultado indica que las placas cuadradas tienen aproximadamente 10 km de lado Es muy importante resaltar que la unidad de medida faradio es un unidad muy grande. Es decir un H dor con una capacitancia de un faradio es un dispositivo de una gran capacidad * « isa -mucha frecuencia es muy útil presentar la unidad en términos de submúltiplos.

4.0.18. Capacitor cilindrico coaxial

Considerem os dos cilindros largos huecos concéntricos de radios R, y R2 siendo R cargas +Q y -Q respectivamente, tal como se indica en la figura(4.2). Determinar la cararita dispositivo. La capacitancia del dispositivo, está dado por; citancia del

Figura 4.2: Capacitor: (a) cilindrico coaxial, (b) esférico coaxial; donde Rj es el conductor interno con

carga +Q y R2 el conductor externo con carga -Q.

la diferencia de potencial entre los dos conductores se determina a partir de:

AV = — J E ■ dr donde E || dr

el campo eléctrico en la región entre los dos conductores, se determina a partir de la ley de Gauss.

La última ecuación(4.3), representa la capacitancia por unidad de longitud del conductor coaxial.

4 .0 .19 . C a p a cito r esférico

Dos esferas de un material conductor concéntricas tienen radios R¡ y R2, siendo R¡ < R2. Determine la capacitancia de este dispositivo. La capacitancia del arreglo experimental está dado por:

pero la diferencia de potencial entre los dos conductores se determina a partir de :

luego:r R 2 dr

2 n e0 J ri rLde donde,

C _ 27T£o(4.3)

el campo eléctrico en la región entre los dos conductores, se determina a partir de la ley de Gauss

<f É ■ d Á = E47I7-2 = — => E = J 2 _ 1J £ o 4 7 TEQ r2

de donde,

Ay = f Rl - Q —dr = J2_ f * 2 — = 1*2J r , 4 7 T£0 r2 47T£o A , r2 47T£ 0 r '

Q , 1 1 x _ Q ( R 2 - R 1 )Atxeq R i R2 47teo RjRi

luego, la capacitancia es;

c _ Q _ 4nE 0R 2R i ~ A V R 2 - R l

4.0.20. Capacitor con placas no paralelas

Determinar la capacitancia de un capacitor en el cual una de sus placas está inclinada un ángulo con respecto a la otra placa, tal como se ve en la figura(4.3).

Solución

Considerem os un segmento de geometría yAx, donde la capacitancia de este segmento es- AC — siendo A, la sección transversal del segmento (A = LAx). La capacitancia de todo el capacitor

está dado por la capacitancia equivalente asociado a los segmentos que están acoplados en la confi guración paralela, es decir;

Ce = lím r AC = lím Y"! — LAx¡ = £0L [ —Ajr—>0 y id y

donde y, se puede expresar com o función lineal de x, es decir;

y = mx + d, siendo m la pendiente de la recta y d el punto de corte con el eje yH - d H - d H - d H - d

— — => y = ~ x + d => dy = — _—

e0 L2 í h dy e0L2 h e0 L2 He ~ H - d J d y ~ H - d (y) ld H - d { d>

teniendo en cuenta el triángulo formado entre la placa inclinada y el eje horizontal y para un ángulo muy pequeño, se tiene;

tan 9 ~ 9 ~ ^ => H = L9 + d

e0L2 L9 + d Ce = ~ 9 L H ^ )/■- i /-i i LO xCe = — ln (l + T )

para un desarrollo de potencias, se puede aproximar;

X2 X3ln (l ± x) ~ ± x - — ± — ------- , para cuando x < 1

e0L L9 1 19 2 e0L2 n _ l L 9 e ~ 9 1 d 2 [ d H d 1 2 d ’

Para el caso cuando el ángulo 0 = 0, la capacitancia del dispositivo es igual a la de un capacitor de placas planas paralelas separadas una distancia d,

r - e° L l m ^e ~ d [ 2 d ’ d d

4 .0 .21 . E n erg ía a lm a ce n a d a en u n ca p a cito r

Consideramos que U es la energía almacenada en el capacitor que tiene una carga neta q, entonces;

AV = — => dU = AVdq, luego AU = í AVdq (4.4)q J

pero,

¡S V = % => A U = l ^ d q = ^ - Q ¿ (4.5)

Esta ecuación(4.5) indica el trabajo que se debe hacer para almacenar una carga Q en un capacitorde capacitancia C, la cual es la energía almacenada en el capacitor. Esta energía también se puedeexpresar como:

A U = ^CAV 2 = ÍQ A V (4.6)

Para el caso de un capacitor de placas planas paralelas, C = ^ . Entonces:

AU = -C A V 2 = ^ I a V 2; pero, Al/ = Ed (4.7)2 2d

_ EoAdE _ EqvE siencjo v, el volumen del capacitor (4.8)2 2

la energía por unidad de volumen será:

AU e0 E2

A partir de este resultado(4.9) se puede concluir, la energía que almacena el capacitor esta en el campo eléctrico y es proporcional a la intensidad del campo al cuadrado, e independiente de la geometría del dispositivo.Como ilustración, consideremos una esfera de material conductor de radio R, la cual esta cargada uniformemente en la superficie, aislada del medio externo. Para determinar la energía electrostática almacenada en el espacio que la rodea hacemos que:

El campo eléctrico a un punto distante de la esfera esta dado por:

E = ^ p , entonces U = ^ E 2 = - ( - Q ' 2rZ O O v /2 2 47T£o r2

la energía almacenada en un cascarón esférico de volumen v, con radios r y r+dr es:

d l l = vU = 4ti^ U d r = 4 n r2 — { — Q-^r)2dr = -Q— ~2 47ic0 r2 8 n c0 r2

la energía total seria,

Q 2 r°>dr _ Q2 - 1 Q 2 1r°° /■“ dr — 1A U = / d U = -± = — ) |r =

J r 8 n e0 J r r2 8 m 0 K r IR 87T£o R

¿Cuál debe ser el radio de la esfera, para que almacene la mitad de la energía actual?.

1 u _ Q 2 f R ° d r - Q 2 / 1 1[K od r = Q* 1 1J r r2 87i£n R R0 >

por lo temto,

2 8 jx e o J r r2 87T£o R Ro

1 Q2 1 Q2 1 1 _ 1 1 1 1 12 8 7 T£ 0 R ~ 8tt£o R Ro R R0 ^ R0 ~ r " ~ 2)

R0 = 2 R 6 R = y

4.1. Acople de capacitoresEn los circuitos eléctricos suele conectarse capacitores entre si, ya sea en serie, paralelo y mixto

Discutiremos, cuál es el efecto de la conexión de capacitores.

4.1.1. Serie

Considerem os tres capacitores con capacitancia; C\, C2 y C3 inicialmente descargados, conectados y aislado del medio externo, tal como se indica en la figura(4.4a). El efecto de conectar los' capacitores en esta form a, es el de que al aplicar el potencial en la placa del capacitor Q aparece una carga +Q ésta a su vez induce una carga -Q en la placa del mismo capacitor C j, ésta carga negativa induce una" carga +Q en el capacitor C2, la cual induce en el mismo capacitor una carga -Q, ésta carga induce una carga +Q en el capacitor C3, la cual induce en el mismo capacitor una carga -Q. Esta última carga esta en la placa del capacitor que está conectado a la diferencia de potencial AV. Este acople acondiciona la situación a que sí, en la placa del capacitor aparece un carga +Q, en la otra placa aparece otra carga de com pensación -Q. Si hacem os un suma total de todas las cargas que parecen en cada una de las placas de los tres capacitores se demuestra que las cargas +Q del capacitor uno y -Q del capacitor tres no se cancelan y son las que están conectadas a la diferencia de potencial. La conclusión de esta conexión, es que en cada capacitor se almacena una carga Q y que la carga total de la configuración

es Q.

C1

C i

C2

C3

Q

± - Q

± —Q

a )

AV

C2

C3

AV

b)

Figura 4.4: Tres capacitores Q , C2 y C3 . (a) Conectados en serie a una diferencia de potencial AV, (b)

conectados en paralelo a una diferencia de potencial AV.

La diferencia de potencial de cada capacitor es; A Vi, AV2 y AV3, respectivamente. El potencial total sería:

AV = A Vi + AV2 -{- AV3

en términos de la diferencia de potencial de cada uno de los capacitores,

av = q+§ + § = q(¿ + ¿ + ¿) = Sde donde se puede concluir, la capacitancia equivalente de ésta conexión es:

1 1 1 1 _ 1— — 7 — h — h o Cf —q Ci c2 c3 ' £ + £ + £

generalizando para n-capacitores, la capacitancia equivalente es:

1 " 1 1c = E c 0 Cc = ? ^ r - x (4-1Q),=1 L(=i

Lo relevante de este tipo de conexión es:

1 . la carga en cada capacitor es igual.

2 . la carga neta de la conexión, es la carga de un capacitor.

3 . la diferencia de potencial aplicada se divide en la suma de las diferencias de potenciales de cada capacitor, es decir esta conexión sirve como im divisor de potencial.

4 . si la capacitancia es diferente, la carga en el acople estará limitada por capacitancia más pequeña.

CO

Qo Qo

C

AV o-

a)

K

A V

Q-*

+K

-------A V

b) c)

Figura 4.5: (a) Capacitor sin dieléctrico, (b) capacitor con dieléctrico de constante K y Q0 se mantiene

constante, (c) capacitor con dieléctrico de constante K y se mantiene constante el potencial A Vq.

r - Q1 ~ a v

c 2 =

4 .1 .2 . P ara le lo

Consideremos tres capacitores con capacitancia; Cu C2 y C3 inicialmente descargados, conectados y aislado del medio externo, tal como se indica en la figura(4.4b). Para esta conexión los trescapacitores están conectados al mismo potencial AV, de donde se pude aseverar que;

Qi = QAV

q2 = C]AV

Qs = C,AV

Q = Qi + Qi + Qs = C iA V + C2AV + C3 AV = (Q + C2 + C3) AV = CeAV

la capacitancia equivalente del acople de los tres capacitores es:

Cc = C, + C 2 + C3

generalizando para «-capacitores acoplados en paralelo, la capacitancia equivalente es,

Ce = L C> (4.11)n= 1 '

Q2 AV

c = 0 33 AV

4.2. Capacitores con dieléctricoConsiderem os un capacitor que ha sido cargado previamente con un carga Q0, la diferencia de

potencial entre sus placas es AV. Ahora, si entre sus placas introducimos un dieléctrico que llene com pletam ente el espacio entre las placas. El potencial entre las placas disminuye en un factor K siendo K una constante que caracteriza al dieléctrico.

el potencia] en el capacitor con dieléctrico de constante K, está dado por:

ai/ AVo r Qo i' Qo v r .A V = _ pero C = _ = K — « KC0

=* C = KC0

(4.12)

(4.13)Esta expresión(4.13) indica que el efecto de introducir un dieléctrico de constante K entre las placas del capacitor, es el de aum entar la capacitancia en un factor K. Si se mantiene el potencial AV0 aplicado al capacitor constante, la carga en el capacitor cambiará:

QAV° C KC0

Q = K(C0 AV0) = KQo

A

y

+

La)

Figura 4.6: (a)Capacitor con dos dieléctricos, (b) elemento de capacitancia dC\, dC2 respectivamente.

La expresión indica que la carga en el capacitor aumenta en un factor K, cuando se mantiene constante el potencial entre las placas y se introduce un dieléctrico de constante K el cual llena completamente el espacio entre las placas.

4.3. Ejemplos

4.3.1. Evaluación numérica en un capacitor de placas planas

Un capacitor de placas paralelas de capacitancia 200 ;iF se carga con una carga de 30 x 10 - 6 C. Si la separación entre sus placas es de 5 mm, calcule el campo eléctrico entre las placas:

Solución

La capacitancia, el potencial y el campo eléctrico de un capacitor de placas planas paralelas, están dadas por:

luego,

r ~~ 1 ~ Cd ~ (200 x 10_ 6 F )(5 x 10~3m) ~ mE , i , ° , . - 3 0 ^

4.3.2. Capacitor de placas planas con dieléctrico

Un capacitor de placas planas paralelas de área A, y separación s. La región de separación se llenan con dos materiales dieléctricos, tal como se muestra en la figura(4.6). Suponga que; s < L y s < m.(a) Determine la capacitancia, (b) demuestre que cuando las constantes; K¡ = K2 = K, el resultado se vuelve el mismo que el correspondiente a un capacitor que contiene un solo dieléctrico.

Solución

(a) Consideremos dos capacitores diferenciales entre las placas con ancho dx, tal como se indica en la figura(4.6b). Estas capacitancias están conectados en serie, uno con constante dieléctrica K2 y

separación y, el otro con constante dieléctrica K\ y separación entre placas s — y. La capacitancia equivalente es.

_L - _L _LdCe ~ dCj + dC2

donde,

dC2 = ^ d A = ^ d Xy y

dCl = d ¿ = ^ d x s - y s - y

1 1 1dCe K ^ , dx hM Ldx

Ahora, definimos y en función de x, a partir de la recta que divide los materiales dieléctricos, es decir;

, „ , y2 - y i s — o sy = mx + 0 =>• m = —— — = --------- = _x2 - x i L - 0 L

s s Ly = j x ; dy = ^dx =» dx = -d y

Reemplazando el valor de dx, en la ecuación tenemos;

1 1 1+dCe ^ L dy ^ L dy

1 _ ( s - y ) s , ysdCe K ic0iuLdy K2E0w L d y

"s -y_, ydCe eqwL dy \ Ki K2

i _ s ( (s — y) 2 + Ki ydCf E o w L d y \ Kj K 2

^ _ e0w L K iK 2 e0 w LK iK 2K 2(s - y ) s + Kj ys y ^ - K - 2 s y + K lSy y

Integramos para hallar la capacitancia equivalente total del arreglo experimental

c , = í d C e = r ^ t w yJ Jo K2( s - y ) s + K ¡ ii ys

H aciendo un cambio de variables,

u = K 2 ( s - y )s + K\ys du = s(K j - K2)dy

_ EqwL K i K2 [ k ¡s2 duy * IS- d u

J Ki s2 us(K] - K2) J k2s2 CqWLKiKj , / K\

Le ~ s(K , - K2) \ K 2

(b) considerem os el caso para cuando; K\ = K2 = K y reemplazamos en la expresión dCc,

EqwLK2 dy _ EQivLKdy K ( s - y ) s + K y s s 2

/dC’ ■ Ls EgwLKdy _ e 0 w L K _ e q K A

AV

C s

, A

r bc,

U 2

---------------------------C

z c4_

A V

b)

c2

p 1

c,

A B ( - -----------1 |------------1

p----------------

a)

c , c2

C)

Figura 4.7: Acople de capacitores; (a), (b) y (c) circuitos equivalentes.

el área transversal del capacitor es A = wL, el resultado coincide con el esperado para un capacitor de placas plano paralelas con un solo dieléctrico.

Ce = K

4.3.3. Capacitancia equivalente

Considere el acople de los cinco capacitores que se muestra en la figura(4.7). ¿Cuál es la capacitancia equivalente del sistema?. Evalúe cuando: C2 = C4 = 3 ;íF y Ci = C3 = C5 = 6 ;íF.

Solución

Si tiramos los puntos A y B en la figura(4.7a) en direcciones opuestas obtenemos una nueva configuración del acople, tal como se muestra en la figura(4.7b). Por la simetría en los valores de la capacitancia se puede concluir que los puntos A y B tienen el mismo potencial, entonces el capacitor Cj esta conectado al mismo potencial, por lo cual podemos unir estos dos puntos. En estas circunstancia se tiene un nuevo circuito equivalente, tal como se ve en la figura(4.7c).

Cel = Cc 2 = Ci + C2 = ( 6 x 10 6 F) + (3 x 10’ 6 F) = 9 ;¡F

_ Q jC C2 _ (9 x 10~6 F ) 2 _ e Q , + Ce 2 18 x 10“ 6F 1

Ce = 4 ,5 ;/F

4.3.4. Voltaje de ruptura en un capacitor

Considerem os los condensadores; C j= 2 /¡F, C2 = 6 //F, C3 =3,5 /íF dispuestos como se muestra en la figura(4.8). Si los potenciales de ruptura de cada uno de los condensadores son respectivamente; Vi=100 V, V2=50 V y V3=400 V. ¿Qué voltaje máximo puede aplicarse entre los puntos A y B ?.

Solución

Figura 4.8: Acople de tres capacitores con potenciales potenciales de ruptura; 1^=100 V, V2=50 V y

1/3=400 V respectivamente.

Com o el capacitor C3 tiene el voltaje de ruptura mayor que los capacitores Q y C2, entonces se puede aseverar que estos dos últimos limitan el voltaje máximo que se puede aplicar entre los puntos A y B. H acem os la siguiente consideración: (i) Si asumimos que el condensador C2 posee el voltaje m áxim o, entonces determinemos el voltaje en el capacitor C j. como,

Vc2 = 50 V Qi = (Vc2 )(C 2) = (50V )(6 x 1 0 - 6 F) = 3 0 0 //C

pero,

Q 2 = Qi = (V c ,)(C i)Q i 300 x 10_6C

2 X 1 0 - . F ° 1 50V

Para esta configuración el capacitor Cj supera el voltaje de ruptura del mismo. El sistema colapsa por el capacitor C j. (ii) Si asumim os que el capacitor Q , posea el máximo potencial de ruptura entonces determ inem os valor del voltaje en el capacitor C2, donde;

VCl = 1 0 0 V Qi = (V c ,)(C 1 ) = ( 1 0 0 V ) ( 2 x 1 0 ~6 F) = 2 0 0 }iC

pero,

Qì = Q2 - (Vc2)(C2)Q 2 200 x 10- 6 C ,

V = f 2 = 6 T W s f = 3 3 '33V

El voltaje en C2 no supera el máximo valor permitido. Por lo tanto, el voltaje máximo que se puede aplicar entre los puntos A y B, para que ninguno de los tres condensadores colapse, es decir;

Vab = 1 0 0 V + 33,33 V = 133,33 V

4.3.5. Capacitancia entre dos alambres paralelosConsiderem os dos alam bres suficientemente largos paralelos de radios R¡ y R2 y poseen cargas + q

y —(/ respectivam ente, estos están separados un distanc.a l a (figura(4.9)). Determine la capacitancia.

Figura 4.9: Dos conductores paralelos con carga.

Solución

El valor del potencia en un punto P, localizado a una distancia r medida desde un alambre de radio R con carga c], está dado por;

2/T£q

El potencial total debido a los dos alambres, es;

V = = £ - l n * 12 tte0 ri 2 n e0 r2

- ¿ - l n ^27T£0 R2r i

Podemos hacer una primera aproximación, haciendo que los dos radios de los alambres sean iguales, es decir; R\ = R2 = R. La capacitancia se define como; C = entonces;

C = _QAV

Pl2n€Q r ]

2 tteqI

KConsideremos que el punto P está en el mismo plano (x ,y ). Expresamos los vectores rj y r2 en términos de estas coordenadas. _____________

C = 2 tí£qI / ln ( x - a ) 2 + y 2

entonces

2 'i "i" 1 7 2x — 2 a x -— - 4- + a

(x + a )2 + y 2

Ahora, si hacemos que el argumento del logaritmo sea t = |*+" j2 yS

( x - a ) 2 + y 2 - t [ ( x + a )z + y1\ = 0 =

completando el cuadrado se tiene que:

/ 2 / yít \ 2

esta última, es la ecuación de un círculo de radio r = =yrr, centrado en x = y y = 0 .

4.3.6. Fuerza sobre un dieléctrico en un capacitor de placas planas paralelas

Un capacitor se construye a partir de dos placas cuadradas de lado / y separación ii. Un material dieléctrico K, se inserta una distancia x dentro del capacitor como se muestra en la figura(4.10). (a)

Encuentre la capacitancia equivalente del dispositivo, (b) calcule la energía almacenada en el capacitor si la diferencia de potencia es V, (c) encuentre la dirección y magnitud de la fuerza ejercida sobre el dieléctrico, suponiendo una diferencia de potencial constante V. Ignore la fricción y los efectos de borde, (d) obtenga un valor numérico para la fuerza suponiendo que 1=5 cm, V=2000 V, s=2 mm y que el dieléctrico sea vidrio con K=9,5.

Figura 4.10: (a) Capacitor lleno parcialmente con un dieléctrico de constante dieléctrica K, (b) confi

guración de la conexión.

SoluciónSe puede considerar como dos capacitores, uno con dieléctrico y otro sin dieléctrico conectados en

paralelo, tal como se indica en la figura(4.10b). La capacitancia equivalente seria:

(a)r _ eq^i ,

Ce — m) i M ^

E jlx + g0s(f - x ) K = £0Sjx + x ( ; _ ;t)]s a d

£- ° í ( x + K l - K x ) = £- f ( x ( \ ~ k ) + Kl) d a

(b) la energía almacenada en el sistema,

U = \ c eV2 = l { E- f \ x ( l - k ) + Kl}V2}

(c) la fuerza sobre dieléctrico,

f = ~ l u - - é í ' f w 1 - + - - ^ r ' - ■ K , !

Esta es la fuerza que empuja al dieléctrico hacia dentro del capacitor.

(d) el valor numérico de la fuerza,

_ (200)2(8 ,85 x 10~12) (0 ,05 )(0 ,5 ) = 2 2 n x 1()- 6 N h - 2 ( 2 x l 0 3)

4.3.7. Trabajo-energía en un capacitorT 1 ranacitor de placas planas paralelas, se sujeta a un resorte de constante de fuerza kLa placa de cJ P aC,^ r^ rte/J como se indica en la figura(4.11). Si la carga +Q se pone en la

l ¡ : ° ' Z C o S y a la cual esta «(a. ^ n . o se « „ ir , el reso,,« p „, e ,ec,„ Ce „

+Q -ok

- n m ^ -

Figura 4.11: Trabajo realizado por el campo eléctrico para desplazar una placa con carga Q.

Solución

En condiciones de equilibrio, las fuerzas que actúan sobre la placa sujeta al resorte son:

^elast "1" l'clí’c = 0 Pelee ^elast 0 , luego Pelee elast

cr cr O O2kx = EQ = — Q a : = « - *

2 eo 2 eo k 2eqA k

donde A, es la sección transversal de la placa y k, la constante elastica del resorte.

Capítulo 5

Corriente y circuitos de corriente continua

IntroducciónEsta sección esta dedicada al estudio de fenómenos físicos que involucran la carga eléctrica en

movimiento.

5.1. Resistencia eléctrica, ley de OhmConsideremos una trayectoria continua en un material donde se pueda mover la carga eléctrica, a

esta trayectoria se la denomina circuito eléctrico. El circuito está conectado a una diferencia de potencial AV, la diferencia de potencial puede ser producido por una batería o un generador. Esta batería o generador se representa geométricamente por dos placas, una placa más larga, representando la de mayor potencial la más larga. La de mayor longitud es la placa positiva (figura(5.1)), mientras que la de menor es la negativa. La cantidad de carga que atraviesa una sección transversal del conductor en la unidad de tiempo se denomina corriente y es denota por i o I. La corriente eléctrica es unamagnitud escalar, que puede ser positiva o negativa, es decir:

variación d e carga AQ variación d e l t iem p o Af (5-1)

las unidades de la corriente, están dada por;

r Ci = — = nm pere = A

La corriente eléctrica tiene múltiplos y submúltiplos: ÍA ^ O 3 mA=106 ;/A=109 nA=101 2 pA=10 - 3

kA.Para cuando el intervalo de tiempo se hace infinitesimalmente pequeño la corriente se denomina corriente instantánea, que se define como;

/ = l í m ^ = ? (5.2)AT —> 0 Af dt

En condiciones normales, el movimiento de carga eléctrica se establece de un potencial mayor a otro menor. Esta dirección de movimiento de carga, se denomina corriente convencional. En un conductor eléctrico las cargas más móviles son los electrones (c¡ = —e), entonces el movimiento de los electrones se hace desde la placa negativa a la placa positiva. Por convención se ha considerado que la corriente en un conductor va desde el la placa positiva a la placa negativa. Es probable que en un medio se

Figura 5.1: (a) Representación de la corriente eléctrica de electrones y de la corriente convencional un

circuito eléctrico, (b) Elemento diferencial de conductor o corriente.

presente el movimiento de cargas negativas y positivas, para este caso la corriente neta será la suma de las dos corrientes:Considerem os un elem ento de conductor de sección transversal A, longitud Al, con volumen AlV0¡ Si q, es la carga móvil, entonces AQ es la carga contenida en el elemento de conductor, dado por:

AQ = nqAV0¡ = nqAAl = nqAvAt ( 5 3 )

siendo n, es la densidad y v la rapidez de mayor a menor potencial. Af es el tiempo que tardan lascargas en recorrer la distancia Al. A partir, de la ecuación (5.3), se puede concluir:

AQ . I- j = nqA v = I => j = — = nqv (54)

la ecuación(5.4) se denomina densidad de corriente (A/m2) . Como la magnitud v es un vector entonces podemos asociar que la densidad de corriente j es un vector que tiene la misma dirección que la velocidad.

/ = nqv

para el caso de cargas negativas -q,

7 = —n'qv

si en el medio se mueven más de un tipo de cargas con densidades; ri\, n2, n3 , ■ • •, cada una con cargas <7 l / <7 2 / <7 3 / ‘ ‘ / y velocidades v\,v2, v z , - ■ ■, respectivamente, entonces la densidad de corriente neta es-

N

7 = En = 1

la corriente total, que pasa a través de una superficie A, perpendicular sera:

/ = A ^ n iq iV j ",

Para algunos materiales el vector densidad de corriente es proporcional al vector campo eléctrico. Este es el caso particular de los metales (conductores eléctricos) denominados materiales ohmicos.

7 ~ E =* 7 =0_E (5.5)

la constante de proporcionalidad a , se denomina conductividad y es un indicador para clasificar a los conductores en una escala de buenos a malos. Esta última ecuación(5.5) se denomina Ley de Ohtn microscópica. El inverso de la conductividad se denomina resistividad, p = l/c r . La tabla(5.1) muestra algunos valores para esta constante, así como el valor del coeficiente de temperatura a. Ahora,

’ Coeficiente de temperatura.

Tabla 5.1: El valor de la conductividad y el coeficiente de temperatura a para algunos materiales: C

conductor, S.C semiconductor y • el valor depende de las impurezas contenidas en el material.

Material Resistividad p(Cl ■ m ) « \ °C ) - J Grupo

oro 2 , 2 2 x “ 8 0,0034 C

plata 1,90 x lO " 8 0,0061 C

cobre 1,68 x lO “ 8 0,0068 C

aluminio 2,65 x lO “ 8 0,00429 C

tungsteno 5 ,6 x l0 - 8 0,0045 C

hierro 9 ,7 x l0 ~ 8 0,00659 C

platino 1 0 ,6 x l 0 " 8 0,003927 C

micromio lOOxlO- 8 0,0004 C

carbon(grafito) (3-6) x lO - 5 -0,0005 S.C

germanio (1-500) x lO “ 3 -0,05 S.C

silicio (0,1-60) x lO “ 3 -0,07 S.C

vidrio 1 0 9 - 1 0 1 2 •

caucho 1 0 3 - 1 0 1 5 •

consideremos la diferencia de potencial en los extremos del elemento de superficie de un conductor donde el campo es uniforme y constante:

AV = Vab = V „ - V a = [ ' E dl = - E [ ' dl = - E l (5.6)Jo Jo

El signo de esta expresión(5.6) está indicando que en la dirección del campo eléctrico el potencialdisminuye. Es decir, en la dirección de a hacia b hay un caída de potencial. Para efectos del cálculo,consideremos únicamente la magnitud de la diferencia de potencial. Entonces,

¡ | AV| , f A A, = => I = - A V = - A V (5.7a)

/ = si hacemos que, R = ^ (5.7b)~Á

entonces,

AV AV V/ = - => K = - = T (5.7c )

Esta última ecuación(5.7c), se denomina ley de Ohm macroscópica. Donde R, se denomina resistencia del material se ha considerado.La unidad de la resistencia esta definida, como;

V voltios , . „R = — = ;— = ohm io = f i

I am perios

Para el caso particular donde la corriente y la temperatura sean constantes, la resistencia no depende del potencial eléctrico ni la corriente, la resistencia depende exclusivamente de la geometría y tipo

Figura 5.2: (a) Variación de la corriente con el potencial para un conductor, (b)variación de la corriente

con el potencial para un semi-conductor.

de material. En la representación gráfica de V vs. / la tendencia es lineal. La pendiente de la recta representa la resistencia R. Una conclusión inmediata a este comportamiento es la denominación de un m aterial ohmico. Un ejemplo, para este comportamiento, la presentan los metales para valores de temperatura no muy altas. Existen m ateriales para los cuales la respuesta de la resistencia no es lineal este es el caso de los m ateriales denominados semiconductores, la resistencia de estos varía punto á punto (fígura(5.2))(materiales no ohmicos).También se puede dar el caso donde la resistencia varía con la temperatura siguiendo la función-

R = ^o[l + ct{T — To)] o p = ^o[l + u (T — To)]

donde R0 (po) es el valor de la resistencia (resistividad) a la temperatura To y a el coeficiente de temperatura. A partir, de este com portam iento, los materiales se pueden clasificar en; semiconductores metales y super-conductores, tal como se indica en la figura(5.3).

5.2. Acople de resistoresLos circuitos eléctricos suele contener resistores conectados en; serie, paralelo o mixto. El efecto de

estas conexiones se discuten a continuación:

5.2.1. Acople de resistores en serie

Considerem os tres resistores con resistencias R¡, R2 y R3 respectivamente, conectados y aislado del medio externo tal como se indica en la figura( 5.4). En estas circunstancia, existe un solo camino para la corriente, entonces la corriente en todo el circuito es única. En cada una de las resistencia, los potenciales eléctrico en términos de la corriente están dados por:

AV, = IR 1

AV2 = IR2 AV3 = IR 3

Figura 5.3: Variación de la resistividad con la temperatura; (a) semiconductor (b) metálico y (c) super

conductor.

al sumar esta expresiones tenemos;

AV = AV 4- AV2 AV3 = I(R\ R2 “t- R3 ) = IRe

donde, la resistencia equivalente se a definido como:

Re = Ri + R2 + R3

generalizando para n-resistencias, la resistencia equivalente se define como,

Re = E R- (5-4)

5 .2 .2 . A co p le de resisto res en p ara le lo

Consideremos tres resistores con resistencias; R¡, R2 y R3 conectados y aislado del medio externo, tal como se indica en la figura(5.4). En la configuración los tres resistores están conectados al mismo potencial AV. Las corrientes en cada uno de los resistores es diferente.Si aplicamos la ley de Ohm, tenemos:

Al/~R¡h = —

1 - A V

,2~

Í2“ rT

de sumar las tres expresiones, resulta;

R1 R2 R3

Figura 5.4: Conexión de resistencias; (a) serie, (b) paralelo

luego, la resistencia equivalente se a definido como:

_L - J_ JL —R e ~ R i + R l +

generalizando la expresión para n-resistencias, la resistencia equivalente es,

± = ¿ ± o R , = - L - (5.5)«e i K, L , r¡

5 .2 .3 . M o d elo de co n d u cció n de D ru d e

El modelo considera que los electrones se mueven en un ambiente donde los átomos están localizados en sitios fijos. Estos sitios pueden estar distribuidos de forma aleatoria. La aceleración que actúa sobre cada electrón es debida al campo eléctrico, dada por; a = jjf, la velocidad de un electrón un instante f, se denominada velocidad de deriva y esta dada por; v¡¡ = Vq + at. Consideramos que los electrones parten del reposo, es decir; Vq = 0. Por otro lado, la velocidad de deriva crecerá linealmente con el tiempo, para el intervalo de tiempo entre: f = 0 y t = t , (en estas circunstancias r se denomina tiempo libre). El valor medio de la velocidad de deriva es la mitad de la velocidad de deriva y esta dada por; ^ . Entonces;

vd eE V(¡ = ~2 ~ 2m

La densidad de corriente j , para una densidad de electrones n es:

ne2E1 = neVd = ^ r T

«e2; = a E => a = — r ’ 2 m

como,

/ ne2lt = — =*> <J = =— —

vd 2 mvd

Esta es la presentación de la conductividad según el modelo de Drude, donde r es el tiempo libre medio. En algunos de los casos se define el tiempo de relajación r, como la mitad del tiempo libre medio.

z< >

dR

Figura 5.5: Sección de un conductor de forma de cono truncado con resistividad p.

5.3. Ejemplos

5.3.1. Rapidez de los electrones en el cobre

Un alambre de radio r= 6 mm, si por éste pasa un corriente de 15 A. Calcule la velocidad de deriva de los electrones en el cobre (n = 8 ,5 x 102 8 e/m3)(considere que hay un electrón libre por átomo). Si el campo aplicado es de; E ~ 7 y si los electrones tienen una rapidez de; 2 x 105 m/s, estime la distancia media recorrida por los electrones entre choque y choque.

Solución

I

) = nev¿ => vd = i

15 A(8 ,5 x 102 8 e/m3 ) ( l , 6 x 1 0 - 1 9 C )(tt)(6 x 10“ 3 ) 2 s

velocidad de deriva,

eE-— T

2mvd 2(9 x 10“ 3 1 ^ ) ( 3 ,5 x 10“ 4f )^ T — - r* o 1/ veE (1, 6 x 1 0 * 1 9 C )(7 x 10- 3 ^ )

= 5 ,63 x 10“ 13s

el recorrido libre medio,

l = vát = (3 ,5 x 10 “ 4 j ) ( 5 , 6 3 x 10“ 1 3 s) = 19,71 x 10“ 17m

5.3.2. Cono truncado conductor

Un material de resistividad p, de forma de cono truncado de longitud L y radios a y b en los extremos, como se indica en la figura(5.5). (a) Encontrar la resistencia entre las caras planas, (b) cuál es el resultado cuando a = b.

S o lu ció n

(a) Consideremos en el cono una rodaja de espesor z y sección transversal A = n y2, la resistencia de esta rodaja es:

dR = pdz = pdzA n y 2

para encontrar la funcionalidad de la sección transversal A con la distancia z, se considera la ecuación de la recta que pase por el borde del cono, de pendiente m y punto de corte con el ejeyo = a,

, , b - a b - ay = mz + a, donde m = -— - =*- y — —-— z + ay L - 0 L

luego,j b - a a a Ldydy = —-— dz =$■ d z = — —

J L b - a

la resistencia de todo el cono, es la suma (conexión en serie de rodajas de resistencias dR) de las resistencias dR.

R = f R dR = [ b p d z _ p L f b dy _ p L - 1 „Jo Ja n y 2 (b — a ) n J a y2 (b — a )n y

R = p L í1 1 ] - pL(b — a ) n a b nab

(b) para cuando a = b, consideremos la última expresión, de donde;

R _ p L _ p L _ p L naa n a 2 A

siendo A, la sección transversal del cilindro de radio a y longitud L

5 .3 .3 . A lam b re co n d u cto r coaxial

Un resistor se construye a partir de un material de resistividad p, en forma de cilindro hueco de radio interno a, radio externo b y largo L(figura(5.6)). (a) Si se aplica una diferencia de potencial entre los extremos del cilindro, la densidad de corriente es un vector paralela al eje del cilindro. Encuentre la expresión de la resistencia, (b) Obtenga un valor numérico para cuando: p = 3 ,5 x 105 f im -3 , L=40 cm, a =20 cm y b=50 cm. (c) Si la diferencia de potencial se aplica entre las superficies interna y externa de modo que la densidad de corriente sea radial hacia fuera, cuál es la expresión de la resistencia para esta nueva configuración.

S o lu ció n

(a) Cuando la densidad de corriente es paralela al eje del cilindro, la sección transversal es constante, entonces:

R = donde A = n (b 2 — a 2) =► R =A n (b 2 - a 2)

(b) evaluado, se tiene;

(3 ,5 x 105 Qw) ( 0 , 4 m) _ „ i nl 5„R ~ 7 r [ ( 5 0 x l 0 - 2)2 - ( 2 0 x l 0 - 2)2]m2 '

(c) para cuando la densidad de corriente sea radial y saliendo, el área que encuentra la densidad de corriente no es constante, entonces determinamos la resistencia de una rodaja de radio r

dR = P^L siendo A = 2nrL A

L a) b)

Figura 5.6: Cilindro hueco de resistividad p; (a) densidad de corriente ésta a lo largo del eje del cilin

dro, (b) densidad de corriente radial.

la resistencia total es la suma de los diferenciales de resistencia,

rRd R = [ b Pdr - P í b d r - ^ n „ r M»Jo

= [ln b — ln fl] = ln - 2 n L ' 2 n L a

5.3.4. Cuña de material conductor rectangular

Un material de resistividad p, de forma de cuña como se indica en la figura(5.7). Encontrar la resistencia eléctrica del material entre las caras a y b.

Solución

Cuando la densidad de corriente sea perpendicular a las caras 1 y 2, el área que encuentra la densidad de corriente no es constante. Entonces, la resistencia de una pequeña sección transversal, A = Hy. La resistencia de esta sección transversal, es;

d R ^ P _ ^ = P_dx A Hy

para encontrar la dependencia funcional del area /I con x e y, determinamos la ecuación de la recta que pasa por los puntos de coordenadas (0, fl) y (L, b)

b - a b — ay = m x + a, siendo la pendiente m = —— - => y = ^ -x + a

luego,b - a , Ldy

dy = —;— dx =s* dx = — —y L b — a

la resistencia de todo la cuña es la suma (conexión en serie de diferenciales de resistencias dR) de lasresistencias dR,

1 pdx _ pL rb dyR í d R - f P - p í W

Jo Ja Hy H (b — a) Ja y

= H ( b - f l ) (lny) H ( b - a ) ]n (a )

X ■ >

a) b)

Figura 5.7: (a) Material de resistencia R en forma de cuña, (b) Corte transversal de la cuna.

Figura 5.8: Circuito de corriente continua donde; e es la f e m , r es la resistencia interna de la batería, R

es la resistencia de carga del circuito.

5.4. Energía y potenciaConsideremos un circuito compuesto por una batería y una resistencia R (R es la resistencia de

carga del circuito) figura(5.8). A medida que la carga se mueve desde a hacia b a través de la batería, la energía potencial aumenta en un cantidad VAQ, siendo V el potencial en el punto b, mientras que la energía potencial química en la batería disminuye en la misma cantidad (principio de conservación de la energía). La diferencia de potencial que suministra la batería suele denominarse fem , fuerza electromotriz, e.De considerar la ley de Ohm para el circuito, se establece que:

e = IR (5.6)

Consideram os que la batería tiene un resistencia interna r, asociada con la calidad de la misma (en muchos de los casos r < R), la ley de ohm establece que:

e = IR + Ir, entonces I = (5.7)

la diferencia de potencia entre los puntos a y b, esta dada por;

Vab = Vb - V a = £ - I r

en la ecuación(5.7), cada uno de los términos lo multiplicamos por I, resulta;

e l = R Iz + r I2

las unidades de uno de los términos de ésta última ecuación, esta dado por;

1 C ](voltios)(A tnj}erios) = —— = - = watios = W

Esto significa que cada uno de los términos de la ecuación tienen unidades de potencia: Es decir; e l es la potencia entregada por la batería al circuito, R I2 es la potencia en la resistencia de carga. También se puede afirmar que es la rapidez conque convierte la resistencia la energía eléctrica en calor (efecto Joule), y r / 2 es la rapidez conque se convierte energía eléctrica en calor en la batería (interna). Aprovechemos, para determinar el valor de la resistencia R para que la potencia consumida en la batería sea cero. Para determinar esta condición se hace que:

> ) = ^ í - ^ = ¿ ( rT 7 - ( rT ^ ) = °— c2 2 re2

+ n = 0 =* R + r = 2r =► R = r(R + r ) 2 (R + r)

5.5. Circuitos de corriente continua

5.5.1. Leyes de Kirchhoff

En los circuitos donde no se puede aplicar directamente la ley de Ohm, es necesario utilizar otros mecanismos como es el caso de las leyes de Kirchhoff. Estas leyes son dos: ley de Mallas y ley de Nodos. La primera está fundamentada en el principio de conservación de la energía. Esta establece que en un camino cerrado (malla) la suma de los potenciales debe ser igual acero. Teniendo en cuenta que en la dirección del recorrido se pasa de más a menos se denomina un caída de potencial y es negativa mientras que si se pasa de menos a más en el recorrido. El potencial para este último caso es positivo y se denomina aumento del potencial:

y~! Vaumento ~ Yh ^caida ~ V¡ = 0 (5.8)i

para operar con esta ley, es muy importante hacer la siguiente anotación en el circuito eléctrico. Figura(5.9):

1. Para lafem

» Cuando se hace el recorrido de n hacia b, la dirección de la corriente coincide con la dirección del recorrido. Entonces; £ > 0.

o Cuando se hace el recorrido de a hacia b, la dirección de la corriente coincide con la dirección del recorrido. Entonces; £ < 0.

■ Cuando se hace el recorrido de b hacia a, la dirección de la corriente coincide con la dirección del recorrido. Entonces; t > 0.

» Cuando se hace el recorrido de b hacia a, la dirección de la corriente no coincide con la dirección del recorrido. Entonces; e < 0.

2 . para los resistores

o Cuando se hace el recorrido de c hacia d, la dirección de la corriente coincide con la dirección del recorrido, entonces; IR < 0.

s ,r s ,rR R

£ > 0

a)

8 < 0

b)

I R < 0

c)

I R > 0

d)

Figura 5.9: Convención de los signos para; fem y IR.

n Cuando se hace el recorrido de d hacia c, la dirección de la corriente no coincide con la dirección del recorrido, entonces; IR > 0 .

La segunda ley de Kirchhoff esta fundamentada en el principio de conservación de la carga. La ley establece que, en un nodo (derivación del circuito) la sumas de las corrientes que entran al nodo menos las corrientes que salen del nodo es igual a cero, es decir;

¡entran E ^salen — 0 (5.9)

en la convención para estas corrientes es usual, considerar positivas la que entran y negativas las que salen del nodo.

5.6. Ejemplos

5.6.1. Circuito de corriente DC

Considere el circuito que se muestra en la figura(5.10). (a) Determinar las corrientes; lu 12 y /3. (b) Determinar la diferencia de potencial entre los puntos A y B.

Solución

(a) para el nodo A , se tiene que;

I¡ - h — h = 0 =>■ h = h + h

2 . 0 Q

Figura 5.10: Circuito de corriente. Los números (T) y © se refieren a las mallas respectivas.

para la malla 1 , se tiene;

24 - 4 h - 4 /2 = 0 => I2 = 2 4 ~ 4?1- = 6 -

para la malla 2 , se tiene;

12 + 4/3-8/3 = 0 =► /3 = 12+g4T2 =

del reemplazo de las corrientes; /2, /3 y /1 , se tiene;

3 + /2

/1 = 6 - h + ■ 2, 3 /2 15 6 T,

2 / ,- 6 + - + - - t + - - t

para la corriente /2/ se tiene;

para la corriente ¡3 , se tiene;

h =3 + 12 _ 3 + f _ 24

10¡3 = 2 ,4 A

(b) Para encontrar la diferencia de potencial entre los puntos a y b, podemos seguir la trayectoria a través de la resistencia de 4 , 0 f i . Entonces;

Va - (4 ,o n ) J2 = V„ => V , - 4 9- = Vb

V a - ^ = Vb => Va - V b = ~ = 7 , 2 V

5.6.2. Resistores conectados formando un cubo

Se conectan doce resistores idénticos de resistencia R tal que forman un cubo de lado / (figura(5.11)). ¿Cuál es la resistencia equivalente de la configuración cuando se conectan a una diferencia de potencial los vértices denotados con; A y D?. Sugerencia : Para resolver el problema aplique simetría para igualar las com entes en algunas de sus ramas antes de aplicar las reglas de Kirchhoff.Solución

Para obtener una respuesta más inmediata al problema planteado es muy usual utilizar conceptos de simetría. Por ejemplo, los puntos donde están conectados los resistores en los puntos 3 y 6 así como, los resistores conec-A°- tados en los puntos 4 y 5. En correspondencia con esta simetría estos puntos tiene el mismo potencial. En vista de esta condición estos puntos conforman puntos equipotenciales por lo cual podemos unir estos puntos y las corrientes en el circuito no cambiaran.

D °Con esta conexión el circuito toma una nueva configuración (circuito equivalente), para el cual encontramos las resistencias equivalentes en cada par de resistencias que a su vez están en paralelo.

> R ? R

3.6L j r J R

R l = R 2 = R 3 = R 4 = R ¡ = R'

R R R R + R ~ 2

R1 :

5.6.3. Red de resistores infinita

Se conectan resistores, tal como se indica en la figura(5.12) prologándose la conexión hasta el infinito, hacia la derecha. ¿Cuál es la resistencia entre los puntos A y B?.

SoluciónPara resolver este problema es conveniente hacer algunas consideremos. Por ejemplo, al circuito

se le puede anular o quitar dos resistores del extremo derecho de la red. El resultado de esta operación es un nuevo circuito del cual podemos determinar la resistencia equivalente, cuyo valor no ha

Figura 5.11: Resistores conectados formando un cubo.

— R 2 ■+■ R 4- R 4

R6 = R '+ R + R' = 2 R f + R

R6 = 2(f) + R = 2 R

AO------R'

■

1<<

Cd

D oR-

R ? R/ =R '- R 6 _ f -2R

R7 =

R' + Ró f + 2 R 2R

Rs = R ' + R 7 + R'

Ra „ R 2R R r 8 = _ + _ + _

R - 7R R s - t

R t

R t = R -R sR + i R + ^

R r = n R

cambiado del valor de la resistencia del circuito inicial. En el nuevo circuito, la resistencia del lado derecho la podemos denominar por X, con este procedimiento reiterativo se va obteniendo circuitos equivalentes con los cuales se ha logrado ir reduciendo el circuito. Este procedimiento se muestra en las figuras(5.12b,c). Las respectivas resistencias de cada uno de los circuitos equivalentes que se va encontrando están dadas por;

(2R )X 1 2R + X

luego,

R t = R + R\

r t = r + ^ L 2R + X

R R R

a)

R R R

Xb )

R R R

C)

Figura 5.12: Red de resistores: (a) Circuito inicial, (b), (c) y (d) circuitos equivalentes.

Si hacemos que R j = X. Esta suposición se hace en virtud que la red es infinita y el circuito no cambia significativamente al omitir los primeros dos resistores de la conexión.

x = r + 2RX2 R + X

(2R + X ) X = (2R + X )R + 2RX

2RX + X 2 = 2R2 + XR + 2RX

X2 - X R - 2R2 = 0

en la solución la ecuación cuadrática en X resultante, podemos utilizar la fórmula; X = 2 £/de donde se tiene que:

„ R ± \JR2 + 4(2R ¿) X ~ 2

R ± v #À —

2R ± 3 R

Figura 5.13: Circuito RC. Los números con círculo significa las mallas respectivas.

las dos raíces de la solución, están dadas por;

4RX , = — = 2 R

X 2 = ^ = - R

El valor de resistencia negativa físicamente no es aceptable, por lo tanto la respuesta aceptable físicamente es R j = 2 R.

5.6.4. Circuito RC, contantes de tiempo

Consideremos un circuito donde están acoplados tres resistencias y un capacitor (figura(5.13)). Para cuando: R j=100 f i , R2=150 Q, R^=50 f i , £=24 V y C=200 }iF. (a) Calcular la constante de tiempo del circuito en el estado transitorio y evaluar, (b) se cierra el interruptor s y se espera un tiempo suficientemente largo, para volverse abrir nuevamente. ¿Cuánto tiempo se tardará para que la carga en el capacitor disminuya el 1 0 % de su valor máximo?.

Solución

(a) En el nodo A, se tiene que;

h - I 2 - l c = 0 => h = h + k (5-10)

en la malla 1 , se tiene;

£ - R , í , - R 2 I2 = 0 => I2 = E ~ R) fl (5.11)R2

en la malla 2 , se tiene;

R3 Ic + Vc = R2 I2 =S* I2 = ^ I c + £ - (5.12)i\ 2 -* 2

al reemplazar la ecuación(??) en la ecuación(5.11) se obtine;

+ (5.13)

- • ' - i r r (514> /?2

igualando la ecuación(5.14) con la ecuación(??) se obtiene;

^1 ]c + Y l =Ri c R l 1 +

/c[K3(1 + + R,] = /c(R 3 + ^ + R i)e - Ve( l +

3 ^ 2 + ^ 3 ^ 1 + R l R l ) = e R 2 ~ V c (R 2 + R l )

j _ £ ^2 ~ V ir(R 2 + R \ )

R3 R2 + R3 R ¡ + R2R 1

í/ j R-2 + R\ 1 dQdt R3R2 + R3R 1 “h R2R 1 C í/f

íí t R’C T 1 r I L I I

d i c = ~~C c ^ Iní<r lío= “ "c f lo

¡c(t) =

de esta expresión podemos determinar la resistencia equivalente y la constante de tiempo, las cuales están determinados por;

„ R2 + Ri _ £e ~ R3 R 2 + R 3 R 1 + R2R 1 y T _ R ¡

evaluando,

R f ,_ [150(50) + 5 0 (1 0 0 ) + 100(150)] 9 x 1 0 3 n y T 0,009 22’22m s

(b) la carga en el capacitor, varía como;

Q (f) = Qbe"T => 0,9(Q 0) = Q0e - i

luego,

ln (0 ,9 ) = — => f = - r ln(0,9) = 2 2 ,2 2 ( 0 ,1 0 ) ms = 2 2 2 , 2 ms

5.6.5. Estimación de la velocidad de deriva de los electrones en un metal

Una barra metálica de sección transversal de 12 m contiene 6 x 102 5 electrones libres por centímetro cúbico. Si en la barra fluye una corriente de 3 A, evalúe la velocidad de deriva de los electrones.

Solución

n = 6 x 1025 e ~ / c m 3 = 6 x 1031 e_ /m3

I = HíjAO_ 3A__________________

V nqA ( 6 x 103 1 e~/m3) (1,6 x 10_ 1 9 C)(12m ) 2

v = 2 ,17 x 109 m /s

5.6.6. Densidad de portadores en el aluminio

La densidad del aluminio es de 2.7 g/cm 3 y su masa atómica de 27 g/mol; cada átomo tiene tres electrones de conducción. Halle el número de electrones libres de conducción por cm3. Si en un alambre de aluminio de 1 mm 2 de área transversal, fluye una corriente de 10 - 3 A, obtenga la velocidad de deriva de los electrones.

Solución

El número de átomos por cm 3 en el alambre es:

átomos 2,7 g 1 mol 6,023 x lO^átom os _ L w l r i 2 2 átomos-------------------------- — r ---------------------------------------------------------------- — O , U Z j X 1 U q

vol cm3 27 g 1 mol cm 3

Si consideramos que por cada átomo tiene tres electrones de conducción, entonces;

n átomos 3e~ ____ _ „ electrones6,023 x 102 2 r— — --------- = 1,807 x 102 3 =-----

cm 1 átomo cmJ

El alambre tiene sección transversal; A=1 mm 2 =10 - 2 cm2, con una corriente 1=10 3 A, la velocidad (v ) de los electrones es:

/ I— = nav =í> v = ——A Anq

10- 3 C/s

(10 - 2 cm2) ( l ,8 0 7 x ÍO23^ ) (1 ,6 x 10“ 1 9 C)

v = 3,458 x 10~ 6 — s

5.6.7. Circuito RC, energía almacenada

Un capacitor C, se carga con una diferencia de potencial A\A En fo = 0, se cierra un interruptor, completando un circuito con una resistencia R, en serie. La carga en el capacitor evoluciona con el tiempo de la forma; q(t) = qo e~ l/RC. Demuestre que la energía total disipada en la resistencia es igual a la energía almacenada inicialmente en el capacitor.

Solución

Para calcular la energía disipada por la resistencia, debemos primero encontrar la corriente y la diferencia de potencial en este elemento.

^ t ____ ? ! a ~ ‘ /R Cdt RC

el signo menos indica que la corriente en el circuito disminuye a medida que el tiempo se incrementa.

Para la resistencia, el potencial es V = IR , entonces;

_ q o R - t / R C _ _ f [ o - i / r c RC C

La variación de la energía por unidad de tiempo en la resistencia es:

P = V I =► p = ^ e ~2t/RC = dURC2R e dt

Ur = _ Í Q - e-2 1/RC R 2 C

UR = - ^ ( e - 2t/R C - l )

Para un periodo de tiempo suficientemente largo, se tiene;

lím UR = lím ( e - 2,/RC - l ) /->oo K t->OO 2C V J

UR(t -» oo) = ^

Ahora, la energía almacenada por el capacitor es;

rioL Vr% 9

Jo Cq2 1<lo2C09o2C

UC =

De com parar los dos valores de la energía se puede concluir que: LÍr = üc- El resultado esta indicando que toda la energía almacenada por el capacitor se disipa en la resistencia.

5.6.8. Energía en un capacitor

Para el circuito mostrado en la figura(5.14), se cierra el interruptor en t0 = 0. (a) Trace una gráfica del voltaje AVC del capacitor en función del tiempo, (b) Calcule la carga en el capacitor después de transcurrido un tiempo muy largo, (c) ¿Cuánta energía proporciona la batería en el proceso de carga?,(d) ¿Cuánta energía almacena el capacitor cuando está cargado totalmente?, (e) ¿A donde va el resto

de la energía?.

t(s)

a ) b )

Figura 5.14: (a) Circuito RC. £ es la f e m de la batería, R la resistencia de carga y r la resistencia interna

de la batería, (b) Variación del potencial eléctrico en el capacitor.

Solución

(a) Al cerrar el interruptor s, la carga en el capacitor comienza a aumentar hasta alcanzar el máximo valor. Calculemos ese aumento.

AV - R I - V c = 0 => A V - R ^ - | = 0ctt Cdq _ 1 . f Q dq__ _ f 1 dtdt R C ^ ) Jo (q - AVC) Jo RC

integrando se tiene;

, _ ( Q - A V C \ t\ - A VC ) RC

Q (t) = A VC ( l - e “ í/RC)

A l / ( l - e - ' /RC)

AVc(í) = A l/ (l - e “ ,/KC)

Ayc(f) = 10V ( l - e “ í/8s)

El AVc en el capacitor crece con el tiempo alcanzando el máximo valor de 10 V (figura(6.14b)).

(b) Cuando ha transcurrido un tiempo suficientemente grande, la carga del capacitor ha tomado el valor de,

Q (t -> oo) = lím A VC ( 1 - e~ ,/RC) l-> 00 V /

Q (t =» oo) = Al/C = 10V ( 4 x 1 e r 6 f )

Q ( f —> co ) = 4 0 ; í C

(c) La batería realiza un trabajo para mover las cargas a través de la diferencia de potencial, la variación de este trabajo o energía en la unidad de tiempo es la potencia que esta definido como;

P = 1 AV. Luego, la energía suministrada por la batería en el proceso de carga sería.

dUp = i AV =

o (A V ) 2 P = v „ e

dt

t /R C

j _ ^ Y-p-t/RCdt R

AV2

7o TJ d U = £ ^ r - e~ l/RCdt

U = -A V 2C e~,/RC = AV2C lo

(d) La energía almacenada en el capacitor cuando éste esta totalmente cargado, está dado por;

AV2CU = £

c 2CLíc = Líc = 2 x 1 0 - 4 /

(e) El resto de la energía proporcionada por la batería y que no está almacenada en el capacitor es disipada en forma de calor por la resistencia:

UR = U - U C = A V2C ■A V2C

Teniendo en cuenta el principio de conservación de la energía, se puede establecer que: Una parte de la energía se almacena en el capacitor y la otra se disipa en la resistencia R en forma de calor. Una mitad se almacena en el capacitor y la otra mitad es disipada por la resistencia.

5.6.9. Tetraedro de resistores

Un tetraedro está formado por lados que son conductores idénticos, cada uno de estos posee una resistencia, R — i n (figura(5.15)). En el arreglo experimental se conecta en dos de sus vértices a una diferencia de potencial, AV = 4V. (a) ¿Cuál es la resistencia equivalente del circuito?, y (b) ¿determinar la potencia disipada en cada resistor?.

Figura 5.15: Tetraedro de resistencias.

Solución(a) La simetría del circuito permite aseverar que la resistencia que está conectada verticalmente tiene

el mismo potencial en sus extremos(puntos equipotenciales). Esta condición de simetría del circuito nos permite asegurar que la diferencia de potencial en los extremos es cero, por lo tanto no hay corriente. Por esta razón, podemos unir los extremos de la resistencia y obtenemos un circuito

equivalente. Figura(5.16).

Ra

R i

4 V

i h f

Figura 5.16: Circuitos equivalentes.

R\ = R2 = R3 — R4 = R5 = 1 0

R _ R _ R x R _ R _ l 0

6 “ 7 “ r T r ~ 2 = 2

R$ = R(, R7 = 1 D

R e = ü * - i n+ Ri 2

(b) Los potenciales y las corriente en cada uno de los resistores son:

Vrj = Vr8 = 4 V

de donde,

Vp 4 VI«* = I* = I«s = t = m = 4A

Vr2 = Vr3 = V*. = /r6R6 = {4 A ) l n = 2 V

Vr4 = ^r5 = Vr7 = ÍR7 R 7 = (4 a ) - n = 2 1 /

la potencia,

Pr2 = Pr3 =

*. M ) 2

i r(VR3 )

P r = — =Rl i n : 16 W

(2 V ) 2

r 3 i n

K = Pr = - -K 4 Rs r 5 1 n

= 4 w

PRi = PR. = = 4 w

Por el principio de conservación de energía, la potencia entregada por la fuente debe ser igual a la suma de las potencias disipadas en cada una de los resistores.

y 2 (4 ) 2

p^ = R 7 = ( l A ) = 32W5

Platal = E PR , = 16VV + 4 W + 4W + 4W + 4W = 32W

5.6.10. Circuito RC

Dado el circuito que se muestra en la figura(5.17): (a) ¿Cuál es el potencial del punto A con respecto al punto B, cuando el interruptor s esta abierto?, (b) ¿Qué punto A o B esta a mayor potencial?, (c) ¿Cuál es el potencial final del punto B con respecto a tierra cuando el interruptor s está cerrado?, (d) Cuánto cambia la carga en cada capacitor cuando s está cerrado?

Solución

20V

Figura 5.17: Circuito con resistencias y capacitores.

(a) Cuando el interruptor s, ha estado abierto durante mucho tiempo, los capacitores están totalmente cargados y actúan como dos terminales en circuito abierto. De este modo no hay flujo de corriente por ninguna de las ramas que contienen los resistores; 6 f i y 3 f i , por lo que no presenta ninguna caída de potencial. Cuando el interruptor esta abierto, el potencial en el punto A es igual a potencial de la fuente 20 V. El punto B está a igual potencial que la tierra V=0. Ahora, la diferencia de potencial entre los dos puntos sería; (figura(5.18))

Va b = Vb - V a = 0 - 2 0 = - 2 0 V = > VA = VB + 20

(b) Com parando los valores VA y VB, decimos que el punto A se encuentra a un mayor potencial que el punto B.

(c) Cuando el interruptor s se cierra VA = VB. Después de mucho tiempo los capacitores se cargan totalm ente y se comportan como circuitos abiertos. La corriente por el resistor de 6 f i es la misma que la corriente en la resistencia de 3 fi.

V _= 2 0 V-------R e ( 6 + 3) fi

El potencial en el punto B será,

VA = VB = 2 0 - V r , = 2 0 - I R i

VA = VB = 2 0 - ( 2 , 2 2 ) ( 6 ) = 6 , 6 8 V

La diferencia de potencial entre el punto B y tierra VBj ,

VBT = VT - VB = 0 - 6 , 6 8 = - 6 , 6 8 V

2 0 V+v

íR1

i< 6Q

0

R2 <3 Q >

20V+V

R16 ÍJ

J _ 0 V

R 2<3 0 5

I OV

a) b) c )

Figura 5.18: (a) Cuando s esta abierto, (b) y (c) cuando s esta cerrado

5.6.11. Constante de tiempo de un circuito RC(a)Determine la constante de tiempo relativa a la carga del capacitor en el circuito de la figura(5.19).

(b) ¿Cuál es la carga máxima del capacitor.?

R 1 11 . Ic ►A ------►

--------------V W ------------ (

,2|k <! (D í, R 2 © - .

Figura 5.19: Circuito RC. Los números en los círculos representan las mallas 1 y 2 respectivamente.

Solución

Para la malla 1, tenemos;

/1 R 1 + /2 R2 - £ = 0 => h = £ ~ I 2R2K l

para la malla 2 , tenemos;

para el nodo A, tenemos;h = h + k => h = h — k

Reemplazando los valores de e I2, en la ultima expresión, se tiene;

= C - I 2R2 _ j ^ £ _ 1 R _ i r =z R¡ R2C ¿ ¿ 1 R2C

qR 2 <?Rj_ R^C ~ ~ R^C

Pero, la corriente h = j ¡

, _ l _ ^ R _ 5 ^ L = n =;> i ? / 1 1 _ d<7C dt 1 R 2C Ri R i C R2C ' dt

IrP r níi? 1 p ti 1 - • f gR2C ^ Rl + J?21 ^ R j R j C df - ^ r 1 + r 2 ^ R ^ C df

Por el método de variable separables, integramos para determinar la carga en función del tiempo,

_ d q _ R\ + R2^t

KlRzCrQ dc\ - _ Ri + r 2

" KlR2Cdt

( R . + R z ) ,

1 J

_ £^2C _ _ _ £ ^ 2 - ( R , + R 2) t / R , R 2C

R\ + R2 Rl + ^ 2

e ( f) = p £^ ( 1 - e" (R,+R2)'/R,R2C)i<l + /<2

La carga en función del tiempo, es de la forma::

Q (0 = Qm«( i - e - ,/T)

(a) A partir de este resultado, se puede concluir que la constante de tiempo del circuito es:

R j R z C

T ~ r , + r 2

(b) donde la carga maxima almacenada en el capacitor está dada por la expresión:

_ eRzRiC Utnax ~ R i + R l

Capítulo 6

Campo magnético

6.1. IntroducciónEl avance de la ciencia en el ámbito de la aplicación tecnológica de los imanes y/o electroima

nes es bastante considerable. La correlación y su explicación entre el magnetismo y la electricidad está bastante claro, pero se unen esfuerzos para optimizar aun más el desempeño de los dispositivos que utilizan como elementos activos los imanes. La humanidad ha estado interesada desde mucho tiempo atrás en los fenómenos magnéticos, se presume que al rededor de 800 años AC los griegos ya utilizaban dispositivos que involucran efectos magnéticos. La magnetita es un material natural que presenta la propiedad de atraer ciertos materiales.La fenomenología ha demostrado que en los imanes se discrimina dos partes. Estas partes se denominan polos y están localizados en los extremos del imán; polo norte N y polo sur S. La interacción entre dos polos se presenta de dos tipos; atractivo y/o repulsivo. Esta interacción establece que; dos polos del mismo signo se rechazan y de diferente signo se atraen. También se ha establecido que no puede existir un polo aislado. Es decir, no se pueden separar los dos polos. Para ayudar al entendimiento de los fenómenos magnéticos, es muy útil hacer un paralelismo con los fenómenos eléctricos.

Características más importantes del campo eléctrico

Características más importantes del campo magnético

■ La carga eléctrica es fuente de campo eléctrico, ■ La carga eléctrica en movimiento es fuente de

el cual decrece con el cuadrado de la distancia campo magnético

o La carga inmersa en un campo eléctrico experi ■ La carga en movimiento inmersa en un campo

menta fuerza eléctrica magnético experimenta fuerza magnética

Consideramos un imán permanente en forma de barra en una región del espacio libre, si dejamos caer limaduras de hierro sobre la región circundante al imán, las limaduras se alinearían en cada punto (figura(6.1)). Si unimos en forma tangencial cada limadura se formará una línea continua, a estas líneas se denominan líneas de fuerza magnética. Por otro lado, si consideremos una región s, en diferentes regiones del espacio inmerso en el imán, podemos concluir que la densidad de líneas en los polo es mayor que en otra región, y decrece a medida que se aleja del imán. La tangente en cada punto de las líneas magnéticas es un vector tangente denominado, vector campo magnético y se denota con B. Si se toma una región cercana a los polos (figura(6.1)) y se amplia, se observa que las líneas de fuerza son casi uniformes.

Figura 6.1: (a) Imán permanente, (b) líneas de campo magnético B uniforme.

6.2. Flujo de campo magnéticoTeniendo en cuenta el concepto de flujo de campo eléctrico, donde se define como la integral de

la componente de campo £ , normal a la superficie sobre un área dada. En está analogía se definirá el concepto de flujo de campo magnético <Pm. Para definir este concepto consideremos una superficie A, la cual está inmersa en un campo magnético B. Entonces, el flujo de campo magnético a través de la superficie estará dada por:

Figura 6.2: Flujo de campo magnético a través de una superficie A.

<J>,„ = jd<X>m = ñdA = J § -d Á (6 .1 )

siendo; dA , es un elemento de area y ñ el vector normal a la superficie en el punto. Las unidades de flujo son; [4>m]= Tesla-metro2 =Tm 2 =Weber=Wb. Para cuando el campo magnético es constate y uniforme el flujo a través de la superficie, esta dado por;

Om = BA (6.2)

El signo del flujo magnético puede ser positivo o negativo según como se escoja la superficie normal. Si la superficie es una superficie cerrada y el campo magnético es constate y uniforme, el flujo será;

<J>,„ = B ■ dÁ = 0 (6.3)

El resultado es una evidencia clara de que en la naturaleza no existe mono-polos magnéticos. En la naturaleza existen dipolos magnéticos que no se pueden separar. Este resultado también evidencia que todo el flujo magnético que entra a una superficie cerrada debe abandonarla. Esto nos indica que los campos magnéticos no tienen fuente ni sumideros y en este formalismo se puede expresar matemáticam ente que la divergencia del campo magnético es cero, es decir: La expresión(6.3) se puede

Figura 6.3: Fuerza magnética F sobre un carga q, que ingresa con una velocidad v a un campo magnéti

co B.

también interpretarla como la ley de Gauss para el magnetismo.

V • B = 0 (6.4)

6.3. Fuerza magnética

6.3.1. Fuerza magnética sobre una carga puntual

Consideremos un carga q, que se mueve con una velocidad v, e ingresa con un ángulo 9, respecto al campo magnético B, tal como se indica en la figura(6.3).

La fuerza magnética en un punto del espacio sobre la carga tiene las siguiente propiedades:

(a) la fuerza magnética es proporcional a la carga y a la velocidad de la partícula.

(b) la magnitud y dirección de la fuerza depende de la dirección y velocidad de la partícula.

(c) el vector velocidad forma un ángulo con el campo magnético, la magnitud de la fuerza será proporcional al seno de ese ángulo.

(d) la fuerza está en el plano que forman los vectores; v y B.

(e) la fuerza es máxima para cuando v y B son perpendiculares.

(f) la fuerza es cero para cuando v y B son paralelos.

Estas propiedades, se pueden integrar en la siguiente ecuación:

F = qv x B (6.5)

la magnitud de la fuerza magnética, esta dada por;,

F = qvBsír\9 (6 .6 )

Las unidades del campo magnético en el sistema S.I están dadas por:[B] = ¡=7 7 j=Tesla=T=W b/m 2 =N/Arn. Para el sistema C.G.S; 1T=104 gauss=104 G. El campo magnético generado por la tierra es de aproximadamente de 0,64 G. Calculemos un diferencial de trabajo realizado por un diferencia de fuerza magnética, en pequeño desplazamiento ,

dVJ = F - ds = F ■ vdt = (qv x B) ■ vdt = 0, porque F 1 v

Este resultado evidencia que la fuerza magnética no realiza trabajo. La fuerza magnética cambia únicamente la dirección de la velocidad.

6.3 .2 . F u e rz a m ag n ética so b re u n co n d u cto r

Consideremos un conductor que transporta una corriente I constante, el conductor esta inmerso en un campo magnético uniforme (figura(6.4)). Sobre el conductor se ejercerá una fuerza magnética, que es simplemente la fuerza magnética sobre las partículas cargadas que se mueven en el conductor. La fuerza magnética sobre una carga puntual q¡, estaría dada por:

F¡ = q¡v x B

donde v es la velocidad de los portadores de carga. El número de cargas contenidas en el elemento de corriente es n. Y Al es el elemento de volumen. Por lo tanto, la fuerza neta sobre todo el conductor es:

F — ^2, F¡ = (qv x B )nA l = qnA lv x B, donde qnAv = / i

luego,

F = U x B (6.7)

donde / es un vector paralelo a v. La ecuación(6.7) es valida para cuando el conductor es recto y el campo magnético no cambia en toda la longitud. Esta ecuación se puede generalizar para cualquier forma del conductor, para ello se elige un elemento de corriente infinitesimal (id/) y expresar la fuerza que actúa sobre dicho segmento:

dF = IdT x B

la fuerza total, se determina a partir de la integración sobre todo los elementos de corriente,

F = J IdT x B (6 .8 )

A partir de la expresión(6 .8 ) se puede considerar algunos casos particulares:

1. Para cuando la corriente / es constante y el campo B es constante en amplitud y dirección, la solución es la ecuación(6.7).

2. Consideremos el caso para cuando el conductor forma una espira cerrada de corriente de forma arbitraria y que lleva una corriente l, la cual está inmersa en un campo magnético constante, tal como se indica en la figura(6.4a), la fuerza sobre el conductor está dada por;

F = J IdT x B = 1 j d í x B = l ( j di) x B = 1(0) x B = 0

donde la suma vectorial de todos los vectores desplazamiento di, conforman un polígono irregular cerrado, entonces la suma vectorial es cero. Por lo tanto, la espira está sometida a una fuerza magnética neta cero, e independiente de la forma de la espira. Para este caso, se puede considerar una espira cerrada en forma de "D" inmersa en un campo magnético(figura(6.4b)).Para la parte curva de la espira, se tiene que;

F¡ = f IdT x B = / y R dd(eos 6 Í + sin 9J) x Bi

rn ! 2 . _ r * / 2 _= 1RB / eo s9 d 9 ( i x i ) + IRB sin 9 d 9 ( jx i )

J - n /2 J - n n

= 0 - IR B (cos9 ) 1^4 / 2 ~k = - ,R B 2k

\ R f:" \ / d l

a) b)

Figura 6.4: Espira de corriente en un campo magnético B uniforme: (a) forma irregular y (b) forma

regular.

b)

Figura 6.5: (a)Espira de corriente en un campo magnético B uniforme, (b) representación geométrica

de un momento magnético.

Para la parte recta de la espira, se tiene que:

F2 = J ld~ íxB = I d l ( - J )

= lB2R k

x Bi =rlR

— 7B y d l ( j x ! )

la fuerza magnética neta, esta dada por;

F = Fj + F2 = -2 1 R B k + U R B k = 0

6.3.3. Momento de fuerza sobre una espira de corriente

Cuando un conductor que transporta un corriente y esta inmersa en un campo magnético, sobre éste conductor se ejercerá una fuerza. Si el conductor forma una espira cerrada, la fuerza neta sobre el conductor es cero. Si la espira tiene un eje en el cual puede pivotar, ésta tiende a rotar al rededor de ese eje, tal como se indica en la figura(6.5). Teniendo en cuenta los valores de la corriente y la longitud del alambre, las fuerza; F\ = —F2 y F3 = — F4. En correspondencia con el eje de rotación, las fuerzas

F3 y F4 producen un torque sobre la espira, el cual se puede calcular a partir de:

f = r x F = ?i x Fi + ?2 x F2 a a

r = - F j s in 0 + -F ^ s in d = aFi s in 0 = a (IbB ) s in 0 = a b lB s in d

r = .M B sinS

se ha definido A = ab, como el área de la sección transversa] que encierra la corriente. Para el caso de N-espiras, el momento de fuerza estaría dado por:

r = N IA B sinO

Si hacemos que; ;;=NIA y consideremos un vector normal a la superficie de la espira como Añ — Á. Entonces, f¡ = N IA ñ. El vector momento de fuerza esta dado por:

f = fi x B

El vector fi, se denomina vector momento dipolar magnético y es perpendicular a la superficie de la espira de corriente, así como es valida para cualquier geometría. Las unidades del momento magnético es [fí]=Amz.Para rotar una espira de corriente un ángulo 9, en un campo magnético, se debe hacer un trabajo en contra la fuerza magnética y está dado por:

fO rBU = rd9 = N IA B sin9d9 = — u B e o s 9 = — ü ■ B

Jo Jo

Es importante destacar que; una carga girando al rededor de un eje, un imán natural o electroimán todos estos se comportan como dipolos magnéticos. Un ejemplo típico de este comportamiento es el m omento magnético dipolar de un electrón, que gira al rededor de núcleo del átomo de hidrógeno. En este caso la única fuerza que actúa sobre el electrón es la fuerza eléctrica, además de mantenerlo rotando al rededor del núcleo:

F =(9 x 109) (1,6 x 10~ 1 9 ) 2 m

4 7 r£-0 r2 r y 4 nz^mr ]] (9,31 x 10_ 3 1 )(0 ,53 x 1010) s

v = 2 ,16 x 1 0 ~4- s

como la corriente es la variación de la carga (e) por unidad de tiempo(para un periodo), y el área descrita en este periodo es; A = n r2, entonces:

e ev . . evr ev' - T - 2 S •

( 1 , 6 x 1 0 - |9) ( 2 . 1 6 x 1 0 ' 4) ( 0 , 5 3 x '°) 2 n ,^ ---------------—------------------ —------------ '-A nr = 0,915 x 10 Am¿

6.4. Ejemplos

6.4.1. Movimiento de cargas en un campo magnético

Consideremos, una carga q que se nueve con una rapidez v, ingresa perpendicularmente a un campo magnético B. La partícula estará sometida a una fuerza que la obliga a mantener en un movimiento circular uniforme. (Figura( 6 .6 )).

x x S ^ d x X X X XX x x*x xbx: x x x x y ( \ x x x k

q - X - X Í X - ^ - ^ f )4 q

%xxxjxxxx xx x xjx x x k x >< x xbu<5< x

q V

Figura 6 .6 : Un carga puntual ingresa a una región donde existe un campo magnético B constante y

uniforme.

luego,

mv

donde r, es el radio de la trayectoria, cu = y es la velocidad angular, y T = ^ (/ = T l ,se denomina frecuencia ciclotrón) es el periodo de la partícula. Para el caso cuando la velocidad de la partícula no sea perpendicular al campo magnético, la trayectoria no será cerrada. Para este último caso, la fuerza tendrá una componente en la dirección del campo que hace que las partículas describiría un movimiento helicoidal.

6 .4 .2 . E fecto H all

Consideremos un conductor que transporta un corriente I y está inmerso en un campo magnético B, las partículas cargadas que se mueven en el conductor, por efectos del campo magnético estarán sometidas a una fuerza magnética, tal como se indica en la figura(6.7). La dirección de la fuerza depende del signo de la carga. Esta interacción provoca que en el conductor haya un exceso de carga en los extremos (positiva y negativa). Esta distribución de carga en los extremos del conductor genera un campo electrostático, que se opone a la fuerza magnética sobre los portadores de carga. La diferencia de potencial, V¡-¡ (potencial Hall) entre estos extremos se incremente hasta que se establece un equilibrio, es decir;

Fe = Fm => ^Eh = <pB =>■ Eh = vB

luego,

Vh

dEh = vB => Vh = vBd

siendo d, el espesor del conductor. La corriente a través de la sección transversal en términos de la densidad, es:

/ , , ¡B RHB¡I = nqvA =» v = — - => VH = — -— = — -—

nqA nqhiu t

se ha definido la constante R^ la cual se denomina constante Hall.

Esta ultima expresión es muy importante, porque a partir de la medida de una diferencia de potencial y la geometría del conductor, se puede determinar el valor de campo magnético. En vista de

A

Figura 6.7: Cinta metálica que transporta una Corriente i , inmersa en un campo magnético B cons

tante y uniforme.

esta aplicabilidad tecnológica a este arreglo experimental, comúnmente se le denomina sonda Hall. También se puede determinar experimentalmente el valor de la densidad y tipo de portador móvil en el material. Para estimar el orden de magnitud de los valores experimentales que pueden ser medidos, consideremos los siguienes valores; Si la corriente que circula a través del conductor es de 100 mA. El material es cobre con geometría rectangular de; 8x5 mm 2 y está inmerso en un campo magnético de0.5 T. El voltaje Hall que se mide en el material es;

VH =(1 x 1 0 ~ M )(0 ,5 T )

(8 ,4 x 102 8 m~3 ) ( l , 6 x 10“ 1 9 C)(5 x W~3 m) = 7 ,4 “

6.4.3. Péndulo

Una barra metálica con una masa por unidad de longitud //, conduce una corriente I. La barra cuelga de dos alambres en un campo magnético vertical uniforme, como se ve en la figura(6 .8 ). Si los alambres forman un ángulo a. con la vertical, cuando están en equilibrio. Determinar la intensidad del campo magnético.

Figura 6 .8 : (a)Alambre que conduce una corriente I inmerso en un campo magnético B constante y

uniforme, (b) diagrama de fuerzas.

Solución

Las componentes de las fuerzas que actúan sobre el conductor, son;

en la dirección x,

Y^FX = 0 => Tz - F = 0 => T sin k — IIB = 0

en la dirección y,

Fy = 0 =» Ty — mg = 0 => T eo s a - m g = 0

combinando las dos ecuaciones anteriores resulta,

IIBtana =

mgt, mS ‘ana

= Ti

6.4.4. Desviación partículas cargadas en un campo magnético uniforme

Partículas de masa m = l,6 x l0 - 2 7 kg y carga de q = l , 6 x l 0 - 1 9 C, se acelera mediante una diferencia de potencial de 5 x 105 V, y se dirige perpendicularmente a un campo magnético uniforme de 0.2 T (figura(6.9)). La región donde se encuentra el campo tiene 30 cm de profundidad. Calcule la desviación angular (0 ), de las partículas.

©

©

©

©

©

©

Figura 6.9: Desviación de partículas de carga q y masa m que ingresan con una velocidad v a un campo

magnético B constante y uniforme.

Solución

Cuando las cargas q ingresan al campo magnético, estas son obligadas a describir un movimiento circular uniforme por el efecto de la fuerza magnética.

mv2 qRBqvB = —— =>- v = 1-----

R m

La energía cinética de las partículas en términos de potencial eléctrico, esta dada por::

qBR _ 2qV 2 _ 2cl vm m ~ m

de donde,

(qvR )2 _ 2qV m

2qvm ¿ _ 2 Vmm

2 >q2B m m

R =2 Vm 1 2 VmqB 2 B y q

1R

R = 5 x 10 _1m = 0 ,5 m

En correspondencia con la geometría,

1 / (2)(5 x 105 )(1 ,6 x 10-27) /-------------r-- O V 1 , 6 x 1 0 - . . --------- ¿ ™ - 5 ^ ¡ Ó ^ Ü F 5 ,

0 25sin0 = — => 6 = 30°

r

6.4.5. Conductor en equilibrio

(a) Un conductor está suspendido por dos resortes (conductores de resistencias despreciable), como se indica en la figura(6.10). La masa por unidad de longitud es de 0,040 kg/m. ¿Qué corriente debe circular por el conductor para que la fuerza en los resortes sea cero, cuando el campo magnético es de 3,6 T y está entrando al plano de la página?, (b) Si los resortes se alargan 0.5 cm bajo el peso del alam bre conductor. El circuito tienen un resistencia total de; 12 Q y una diferencia de potencial de 24 V. Cuando se activa el campo magnético que apunta hacia dentro del plano del papel, los resortes se alargan 0,3 cm adicionales. ¿Cuál es la magnitud del campo magnético?.

AV

a)

R

¡ k k

B

® ® ® ® ® ® ® ®

® ® ® ® ® ® ® ®

® ® ® ® L ® ® ® ®

® ® ® ® ® ® ®

® ® ® ® ® ® ® ®

FeX

Ì yn

m g

b)

m g

c)

Figura 6.10: (a) Alambre suspendido en resortes conduce una corriente 7, inmerso en un campo

magnético B constante y uniforme, (b) y (c) diagrama de fuerzas sobre el conductor.

Solución

(a) Cuando no circula corriente por el conductor el estado es de equilibrio y las fuerza que actúan son; la fuerza elastica y la fuerza gravitacional, entonces(fígura(6 .1 0 ));

mgFe = Fg = 2ky0 = m g =*• y0 =

donde yo es el alargamiento en los resortes. Para que las fuerzas elásticas sean cero, se necesita que el conductor regrese a la posición yo = 0 , para esto se requiere que la fuerza magnética debe realizar un trabajo. La corriente debe circular de derecha a izquierda (figura(6.10)), entonces;

AW = F • Ay = ILByo => / = ^ ™ = g

evaluado:(0,04/cg/m)(10m/s) _ Q n ^

3,6 T

(b) Cuando el campo magnético esté presente, las fuerza que actúan sobre el conductor son:

2 ky = m g + IIB

siendo y, el desplazamiento adicional. Luego, De donde,

_ 2ky — mg = 2 f^ y - mS = m g (y /y 0 - 1 )¡L IL IL

B = o,o4QM»0(a | _ 1)T = o<ol27.

6.4.6. Partículas en un campo magnético que describen un elipse

Un campo magnético uniforme está dirigido a lo largo del eje x, con una magnitud de 0.500 T, una partícula de masa m = l ,6 7 x l0 -27 kg y carga Q = 1 ,6 x 10 - 1 9 C, tal como se muestra en la figura(6.11a). Solo actúa sobre la partícula la fuerza magnética, y en el instante f=0 s, tiene componentes de velocidad; vx = 1,50 x 105 ms_1, Vy = 0 ,0 ms~l y vz = 2 ,00 x 105 m s~ 1. (a) En el instante que t = 0 s, encuentre la fuerza que actúa sobre la partícula, (b) Encontrar el radio de la trayectoria helicoidal y el paso de la hélice.

Solución

La fuerza magnética que actúa sobre las partículas q, que se mueven con velocidad v esta dada por:

F = qv x B = q(vx + vz) x Bv = qBxvzj

= ( 1 , 6 x 1 0 - 1 9 C )(0 ,5 T )( 2 , 0 0 x 1 0 5 ms- 1 )/

F = 1,6 x _14/N

Teniendo en cuenta el movimiento circular,

„ 2

F = ~ y v2 = J v 2x + v * = \J (1,5 x 1 0 5 ) 2 + (2 , 0 x 1 0 5 ) 2 = 2,5 x 1 0 5 (m /s ) 2mvi r

(a) La fuerza

(1 ,67 x 1 0 - 2 7 ) (2 ,5 x 105)qvzBx = — =» R =R qvzBx ( l , 6 x _ 1 9 ) ( 2 , 0 x 105 )(0 ,5 )

R = 2,61 x 10 ~s m

y

z.

Figura 6.11: (a) Cargas puntuales que describen una elipse en un campo magnético B constante y uni

forme, (b) cargas puntuales que describen una elipse en un campo magnético B y un campo eléctrico

E constantes y uniformes.

(b) El paso de la elipse: El periodo de rotación esta dado por;

_ 2 n _ 2 n _ 2nR _ 2nm v2 _ 2nm v u) v /R v

Paso = p = vxT =

v qvzBxv c¡vzBx

2nm vvx _ (6 ,2 8 )(1 ,6 7 x 10~27)(5 0 0 )(1 ,5 x 105)qvzBx ( l ,6 x ~ 19)(2 x 105)(0 ,5 )

P =7865,7 x 1 0 "2

1 ,6 x 10“ 14- m = 491,0 x 10 m = 4,91 x -5

Fuerza de Lorentz

En una región hay un campo magnético de B=5,0k T y un campo eléctrico E=5,0k V/m. Un proton con carga (7p= l ,6 0 x l0 -19 C, mp= l ,6 7 x l0 -27 kg ingresa a los campos en el origen de coordenadas con velocidad inicial, Vq=2,5í m/s (figura(6.11b)). Determine la posición después de 3 revoluciones completas.

Solución

Cuando el protón ingresa a la región de los campos eléctrico y magnético, éste estará sometido a dos fuerzas una eléctrica Fe y una fuerza magnética Fm:

F = Fe + Fm = qp E + qpv x B

La fuerza eléctrica acelera a las partículas en la dirección k y la posición después de un tiempo f, será;

z = - a t 2 y a = u -2 7 nip

la fuerza magnética hace que el protón describa un movimiento circular uniforme,

2 nm„qpvB = — donde el periodo de los protones es, T = qpB

luego, la posición será:

_ 1 qpE 2 n m q 2 _ \8 n 2Emp

2 vip tfpB2

(1 8 )(tt2)(5 )(1 ,6 7 x 10~27) _ 1480,45 x 10~272 5(1 ,6 x 10“ 19) 40 x 10~19

= 37 ,0 x 10- 8 ni = 0 , 3 7 x -6 m

6.4.7. Haz de electrones

Los electrones de un haz cilindrico de radio a =1 mm, se mueven con rapidez, v = 2 x 107 m/s constante y dirigida a lo largo del eje, de forma que se mantiene una distribución uniforme de n = 5 x 1010 eléctrones/m3. Determinar: (a) La densidad espacial de carga, la densidad de corriente y la intensidad de corriente, (b) el campo eléctrico en la superficie del haz, (c) el vector de campo magnético magnético en la superficie del haz, (d) las fuerzas de origen eléctrico y magnético que actúan sobre un electrón situado en la superficie del haz y el cociente entre las dos.

Solución

(a) Para determinar la densidad de carga, hacemos que;

p = — = - n e = ( - 5 x 1010)(1 ,6 x 10“ 19) - ^ = - 8 , 0 x 10“ 9- í r r yo/ m3 m3

la densidad de corriente eléctrica, se define como,

j = neo = (8 ,0 x 10“ 9)(2 x 107) = 16 x ÍO“ 2- ^ - ^ = 0 ,1 6 -^J \ m 3 m z m ¿

y la corriente esta dada por,

I = jA = n ev (n a2) = (0 ,1 6 - í j) (7 r ( l x IO- 3 )2) A = 5 ,02 x IO-7 A

(b) Para determinar el campo en la superficie cilindrica de radio a, utilizamos la ley de Gauss,

E -d A = — eo

= <í EdA = E <fdA = E {2n al) = — => E = ■ QencI I eo eo2 nal

pvol p (n a 2 l) n e (n a 2l)E =

E =

e^ ln a l eq2 n a l eo2 nal nea

2^0„ (8 ,0 x 10“ 9)(1 x IO- 3 ) N n 1C1 N

2(8,854 x l O - 12) C ' C

(c) Para determinar el campo en la superficie del cilindro de radio a, utilizamos la ley de Ampere,

j> B ■ di = ¡iq!

f]l = R di d i = B ( ? n n ) = u n í =$■ R =I n a

= j> Bdl = B j d l = B (2 na) = \i0l =*■ B =

p0 (n ev (n a2)) y¡0nevaB = 2 na = T ~

= (2n x 10“ 7) (8 ,0 x 10 ' 9)(2 x 107) (1 x K T 3) T = 100,52 x 10 12T

(d) La fuerza eléctrica sobre un electrón en la superficie del cilindro, está dado por;

Fe = - e E =*> Fe = (1 ,6 x 10_19)(4 ,5 ) N = 7 ,2 x 10-20 N

la dirección de la fuerza eléctrica es la dirección radial.Para determinar la fuerza magnética sobre los electrones, efectuamos el producto vectorial.

Fm = - e ( v x B) = evBür = (1 ,6 x 10~19)(2 x 107)(100,531“ 12)ùr N

= 3 ,22 x 10_22« r ]SÍ

la razón entre las dos fuerzas,

Fm 3 ,2 2 x 1 0 - - = 4 / 4 7 x 1 0 _ 3Fe 7 , 2 x l O - 20

6.4.8. Aceleración de un conductor en un campo magnético

(a)Una barra de masa m, longitud d y resistencia R, se desliza sin fricción sobre rieles (longitud L) paralelos como se muestra en la figura(6.12). Una batería que mantiene una fuerza-electromotriz constante entre los rieles. Un campo magnético constante B,donde están contenidos los conductores. Si la barra parte del reposo. Encontrar la rapidez de la barra para cuando abandona, (b) Evaluar el resultado para cuando m=0,72 kg, d=12 cm, R=50 Cl, f e m =50 V, L=45 cm y B= 0,24 T.

Solución

L

Figura 6.12: (a) Conductor que transporta una corriente I inmerso en un campo magnético B constante

y uniforme.

Solución

La fuerza magnética sobre e! conductor, está dada por;

F = J Í x B = ld (k ) x B (—J) = Id B Í

1. Si consideremos que entre los rieles no hay fricción. Para un sistema conservativo, el teorema del trabajo y energía establece que:

AW = F -7 = IdB L = AEC = ^rnv2 => Vf =

Vf, es la velocidad con que la barra abandona los rieles.

2. evaluando,/2(1 i4)(0,12 n¡)(0 ,2 4 T)(0,45m) „ , onm

v f = V----------------oT ñ k g ----------------- " 7

6.4.9. Momento de fuerza sobre una espira de corriente

Una corriente de 1.2 A, circula en una espira que consta de N=100 vueltas con un enrollado muy próximas. La forma de la espira es rectangular con dimensiones; fl=30 cm y fe=30 cm. La espira se articula a la largo del eje y, de tal manera que su plano forma un ángulo, 6 = 30° con el eje x. ¿Cuál es la magnitud del momento de torsión ejercido sobre la espira por un campo magnético uniforme B=0.8 T dirigido a lo largo del eje x7..

Figura 6.13: (a) Conductor que transporta una corriente I, inmerso en un campo magnético B cons

tante y uniforme.

Solución

Sobre la espira de corriente se ejercen cuatro fuerzas, identificadas como; F¡ = — F2 y F3 = — F4 . Teniendo en cuenta el eje de rotación de la espira, únicamente la fuerza F3, produce la rotación de la espira en la dirección que se denota en la figura(6.13), la cual está dada por;

F3 = N / íx B = (100)(l,2/ 4)(0 ,4m )fc x (0 ,8 T ) i = 3 8 ,4 ;N

el momento de torsión sobre la espira de corriente, es;

f = r x F3 = (0 ,3 ? + 0 ,3 J) m x (38,4JN ) = ll,5fcm N

El resultado nos indica que el momento de fuerza es un vector que esta en la dirección del eje z y la dirección de rotación se indica en la figura(6.13). El momento magnético está dado por; ^=NIA=100(1,2)(0/3)(0.4)=14.4 Am2, donde la dirección es perpendicular a la superficie de la espira.

6.4.10. Densidad de portadores en una lámina

Una cinta delgada de plata con un espesor de t=0.2 mm, es usada como sonda Hall para la medición de un campo magnético uniforme que es perpendicular a la placa, tal como se indica en la figura(6.14). El coeficiente Hall para la plata es R//=0,84xl0~10 m3/C. (a) Para este experimento, ¿cuál es la densidad de los portadores de carga en la plata?, (b) si una corriente /=20 A, produce un voltaje Hall, de AVy¡ = 15 ;/V, ¿cuál es la magnitud del campo magnético aplicado?.

Figura 6.14: Cinta de plata que transporta una corriente I, inmersa en un campo magnético B constante

y uniforme.

Solución

a) el potencia Hall Vn, que se mide entre los dos lados a y b, está dado por;

a v h = ^ = Ü t nqt

de donde,

1 1 electrones ,8 electronesy, _ ________ _ — y 4 4 X 1 ________________ -

R h c¡ (0 ,84 x 1 0 -10)(1 ,6 x 10” 19) m3 ' m3

b) el campo magnético medido es;

_ A VHt _ (15 x 10~fe 1/)(0,2 x 10~3m) = /g N_ = ?í)T Rb 1 (0 ,84 x 1 0 - 10m3/C)(20/l) ' Am

6.4.11. Campo magnético no uniforme

Un imán se coloca debajo de un anillo conductor horizontal de radio R, que conduce una corriente I com o se muestra en la figura(6.15a). Si las líneas de fuerza del campo magnético hacen un ángulo Ó, con la vertical. ¿Cuál es la magnitud y dirección de la fuerza resultante sobre el anillo?.

Figura 6.15: Fuerza magnética sobre una espira de com ente I inmersa en un campo magnético B; (a)

constante no uniforme, (b) constante uniforme.

Solución

La fuerza magnética sobre el conductor, está dada por;

F = I J d f x B , pero di _L B => F = IB 2nR

La fuerza sobre el anillo conductor tiene dos componentes; una perpendicular y otra paralela al plano del anillo. La componente paralela al plano por simetría se anula, únicamente actúa la componente perpendicular al plano del anillo. Entonces, la fuerza que actúa sobre el anillo es F = IB ln R sin0. Este es un ejemplo donde la fuerza neta sobre una espira de corriente cerrada no es cero.

6.4.12. Campo magnético uniforme

En la figura(6.15b) se muestra un cubo de lado, 1=40 cm. Cuatro segmentos rectos de alambre ab, be, cd y da forman un espira cerrada, y conduce una corriente I = 5 A en la dirección que se muestra en la figura. Un campo magnético uniforme B=0.02 j T. Determine la fuerza magnética sobre cada segmento y la fuerza total sobre la espira.

Solución

La fuerza magnética en cada uno de los segmentos del conductor, está dada por;

F = U x B

identificamos los vectores /, en cada uno de los casos:

ab = -0 ,4 / be = 0 ,Ú

cd = - 0 , 4 í + 0,4/ da = 0 ,4 í - 0 ,4 k

Las fuerzas están dadas por;

Fi = lab x B = / ( - 0 ,4)/ x (0,02)/ = (5) ( - 0 ,4 ) (0 ,0 2 )(] x j) = 0 ,0 N

?2 = Ibc x B = 1(0 ,4k) x (0,02)/ = (5 )(0 ,4 )(0 ,0 2 )(£ x j) = 0,04 ( ~ í) ,N

F3 = I c d x B = /(—0,4i + 0,4/) x (0 ,02 ) / N

= (5 )(—0 ,4 ) (0 ,02) (i x J) + (5 ) (0 ,4 ) (0 ,02) (/ x /) = 0,04 (É) N

F4 = Ida x B = 1(0 ,4 ) ' i - (0 ,4 * ) x (0 ,02)/ N

= (5 )(0 ,4 ) (0 ,0 2 )( í x ]) + (5 ) (—0,4) (0,02) (fc x j) = 0 ,0 4 (-k ) N + 0,04(1) N

F = F1 + F2 + F3 + F4 = 0 ,0 4 (—í) N + 0 ,04(£) N + 0,04( - k ) N + 0,04(j) N = 0

6.5. Fuentes de campo magnéticoRecordemos que ima corriente eléctrica es fuente de momento magnético, el momento magnético

es un vector siendo perpendicular al plano que describe la corriente. Este hecho fehaciente muestra como las cargas en movimiento son fuente de campo magnético. Las observaciones realizadas por Oersted, mostraron que una aguja de una brújula cerca de un conductor que transporta un corriente eléctrica, ésta siempre se sitúa en una posición perpendicular al conductor. Estas observaciones más tarde fueron comprobadas por Biot-Savart y Ampere. Estas observaciones fueron conducentes a establecer a una relación que permita calcular el campo magnético en cualquier punto del espacio, entorno a un conductor que transporte una corriente.

6.5.1. Campo magnético generado por una carga puntual

Considerem os una carga puntual q, que se mueve con una velocidad v. El vector campo magnético B generado por la carga en un punto localizado a una distancia f del conductor, se representa en la figura(6.16). Esta magnitud vectorial posee las siguientes características:

Figura 6.16: Carga puntual q, viaja con una velocidad v, la cual es fuente de campo magnético B.

B ~ (? ; B ~| o |B ~ ¡3 ; B ~ al plano que contienen?,!?

Las cuatro características están contenidas en la expresión:

g = M | x f donde f ?L = r (6 .9)r¿ \r \ '

la constante km = se denomina permeabilidad magnética y /íq la permeabilidad magnética delvacío. k m= 1 0 -7Ns2C2= 1 0 -7N A -2= 1 0 -7 W b A ^ n r M O - 7 TA“ 1

6.5.2. Campo magnético generado por una corriente. Ley de Biot-Savart

Figura 6.17: Conductor que transporta un corriente I, la cual es fuente de campo magnético B.

Para determinar el campo magnético en un punto P, localizado a un distancia F(figura(6.17)), se determina a parir de considerar un elemento de carga dQ , dado por:

dQ = nqAdl

siendo n y q la densidad y la carga respectivamente. A y rfl son la sección transversal y longitud del elemento del conductor respectivamente. El campo magnético esta dado por:

jB , j ^ v x r , . J x f , d í x rdB — k mdQ ^ — k mnqAdl ^ — kmI ^

Para determinar el campo magnético debido a todo el conductor, integramos a lo largo de todo el conductor:

- r f , dT x rJ — J m 2

en correspondencia con la geometría, se tiene;

dT = dyj, el vector posición; r = - = — Z-r v y 2 + z2

L d y } x { - y j + zk) f L zdy____-

luego,

= kml í j J - L 1,

- w /- l (y2 + z2) v7y2 + z2 J - l (y2 + z2)3/2

B = kml % ----- . l í f ¡ = kml 2 1 . !--=£ ■ r v i = k mi — = x / F T ? UL z v T 2

B = ^ í47TZ \/L2 + z2

+ z2

consideremos algunos casos:

(a) Si L<C z: Este es el caso para cuando estamos muy cerca del conductor, el efecto de los extremos es despreciable, entonces la magnitud del campo magnético en un punto muy cercano del conductor sería:

R = }i0I 2 L _ ii0 I 2 L = iiqI_47rz y/L 2 + z2 47rz y/ ¡ 2 2n z

b = M2 7 T Z

Esta expresión se denomina ley de Biot-Savart.

(b) Para puntos m uy alejado del conductor, el campo magnético tiende a cero, puesto que decrece al cuadrado de la distancia.

6.6. Ejemplos

6 .6 .1 . E sp ira de co rrien te

Evaluar la inducción magnética en un punto del eje z, generado por una corriente I, que fluye en una espira circular de radio a en el plano xy cuyo centro está localizado en el origen de coordenadas (fígura(6.18)).

Figura 6.18: Campo magnético B generado por una espira de corriente circular de radio a que trans

porta un corriente I.

SoluciónDe considerar un elem ento de corriente se determina un diferencial de campo en un punto sobre

el eje z, medido desde el centro de coordenadas, el cual está dado por:

. ,d l x f dB = k„¡ I 2

r¿

En correspondencia con la geometría, el diferencial de campo magnético tendría dos componentes; una paralela y otra perpendicular al plano de la espira de corriente. Por simetría, la componente paralela del campo magnético con respecto al plano de la espira se cancela. Por lo tanto, el campo resultante solo tendría una componente, la componente perpendicular dBz, la cual está dada por:

donde:

luego,

dBz = k m I\ J Ü i * k = c o s e = *2 ™. cosí

d i JL f , di = adip, eos 9 = ° y r = \/z2 + a2

í Jn f k mlad<p a _ k mIa2 [ 2n A J ~ J z2 + a2 y/zl+~a¿ (z2 + fl2)3«./o *

km!a2 _2 _ }i0 Ia2

[z2 + fl2)3« 2(z2 + fl2)3«

El resultado se puede expresar en términos del momento magnético, ft = 1A = I n a 2, entonces:

27r(z2 + fl2)3«

consideremos dos casos:

(a) Para cuando; a » z. Es el caso para cuando el radio de la espira de corriente es muy grande comparada con la distancia z, entonces:

_ lió la 2 _ }i0 la 2 _ ¡i0I2(z2 + fl2)3« ~ 2a3 2a

(b) Pora cuando; z=0. El campo magnético en el centro de la espira:

_ }¡o¡a2 _ }i0 Ia2 _ \i0 l2(z2 + fl2)3« ~ 2a3 2«

Otra manera de resolver este problema es en coordenadas cilindricas, donde:

di = dlúq, y r = z¡2jt — flúr

luego,

, dlÜA, x (zük - aü r) k mIdl ,(z2 + a2)3« (z2 + fl2)3« r z'

por simetría del problema la componente radial del campo se anula, luego la componente perpendicular al plano de la espira será:

kmldl f , _ km la f 27 — T ~ i T V \ ñ a ^ 2 — / 2 — t 2 , 2 \ 3 /2 /(z2 + fl2) 3« J (z -{- a ) ' Jo

kmIa 2 ^ a _ Hola2

rZn

(z2 + fl2)3« 2(z2 + fl2)3«

6.6.2. Conductor que transporta una corriente constante

Considere el circuito mostrado en la figura(6.19). Los segmentos curvos, son parte de círculos cuyos radios son a y b respectivamente. Los segmentos rectos están a lo largo de los radios respectivos. Determine el campo magnético B, en el punto P, suponiendo que en el circuito circula una corriente

+

Figura 6.19: Circuito de corriente cerrado.

Solución

Determinamos el campo magnético en el origen de los radios vectores, para cada uno de los segmentos de corriente.

1. Para, r=a. El campo magnético en el punto o, está dado por;

dB = k mI d¡ ■■ donde d T = d l ( í + f) , r = - x ¡ + y j

ríR - I r r^ + i ) x ( - * * '+ y/) , , dl (x + y) r,( x 2 + l/2 )3/2 k m \ x 2 + y 2 ) 3 / 2 k

según la geometría,

x = flsin a , y = a c o s a , di = adcc r < « < -3 2 - - 2

- 2 akmI , . , f 9' 2 .B = — — [ J a s m a d a — J acosad a\ k

~ 2kmI r . 0 , . 0, 2kmI , . 2 / ^\ . 9 .-B = — [ - ( eos - - 1) - s in - ] = — - [ 2 s i n z ( - ) - sin-JA:

Si consideramos que el ángulo 6 /2 , sea muy pequeño tanto como se pueda

9 9sin2 ( - ) —>0, y s i n 0/2

luego,

g = _ 2 M [ S ] f = _ W f a 2 n

2. para, r=b. Siguiendo el mismo procedimiento se obtiene que el campo originado por el sector decorriente es: ,

B = kS ^ k b

3. Los segmentos recto de la corriente no generan campo magnético en el origen en el punto o.

El campo magnético total, es la suma de los dos campos.

6.6.3. Lámina de corriente

Una lámina de metal delgada y larga de ancho a lleva una corriente 1 a lo largo de su longitud, como se muestra en la figura(6.20). Determine el campo magnético en el punto P, que esta localizado en el plano del lámina.

yA

az /

X - >

Figura 6.20: Lámina de corriente.

Solución

Para determinar el campo magnético en un punto en el plano de la lámina a una distancia s, medido desde el borde la lámina, consideremos un elemento de corriente muy delgado, d i , el cual genera un campo magnético en el punto en cuestión. Utilizando la ley de Biot-Savart se determina la magnitud del campo, el cual esta dado por;

dB ■ t‘odI2 n {s + y)

Para encontrar la relación del elemento de corriente d i con el espesor, podemos plantear la relación:

_ idydl_T

dya

d i = —- a

luego, la magnitud del campo magnético en el punto en cuestión estará dado por;

b = [ d B = 2 ± rJ 2n a J - i ¡ y + s na s

la dirección será:u0 1 , r rt + S , -

6.6.4. Conductores paralelos

Dos alambres largos paralelos llevan corrientes 7j, I2 de direcciones opuestas, como se muestra en la figura(6.21). Los conductores están separados por una distancia 2a. Determine: (a) La magnitud y dirección del campo magnético resultante en el punto o, localizado a una distancia x, (b) para qué valores de x la intensidad de campo magnético es máxima, (c) cuál es la fuerza magnética por unidad de longitud que experimentan los conductores?, (d) determine la magnitud y dirección del campo magnético resultante en el punto o, localizado a una distancia y para; y > a y I-¡ = I2 = I.

a y

a

a

i ®

í ®*

« )

r.x.

r

X

■ >

-------------------------!-----------------------1----------------------

B - f w o l I i + I O y S n t o ’ + j ' )

Ii=Ij=1 A , a=lOcm

-

X (m )

b )

Figura 6.21: a) Conductores paralelos que transportan corrientes de signo opuesto, b) variación de B

a lo largo del eje x, para cuando I¡ = I2 = 1 A y «=10 cm.

Solución

Para determinar el campo magnético en el punto o, utilizamos la ley de Biot-Savart. La dirección se determina a partir de la ley de la mano derecha.

(a) Las corriente I¡ y I2, generan campos magnéticos en el punto P, cuyas magnitudes respectivas son:

Bx = B h . , B2 = t o k 2 n r 2 n r

En correspondencia con la geometría del problema, el campo magnético total, solo tiene componente a lo largo del eje x, la componente y se anula:

B = —(Si sin a + B2 sin«)/ = — sinaíA + U)i2 n r '

B = - ^ ) ( h + h ) U - g ^ (/I + /2)í(b) para determinar el valor de x para cuando B es máximo, se hace que;

¿ b = o » £ < / . + = o

2x = 0 => x = 0(a2 + x2)2

El cam po magnético resultante es máximo para cuando x=0

(c) para determinar la fuerza que experimentan los conductores, se pude determinar a partir de calcular el campo magnético en el punto donde esta el otro conductor. Entonces, el campo magnético que genera la corriente Ii en el sitio donde está I2 es:

B = --1 2 n r Ana

con dirección —i. Entonces,

R - } l o I l ¡ Ana

La fuerza magnética sobre el conductor I2 es,

La fuerza por unidad de longitud es repulsiva dada por:

Fi _ }>ohh * l Ana

(d) Utilizando la ley de mano derecha, la ley de Biot-Savart y el principio de superposición en un punto sobre el eje y (ver figura(6.22)) se tiene que,

}‘o h j _ l'oh ■ 2 n r 2 n (y - a)

2 2 n r lTc(y + a)

B = B\ -b B2

}i0IaB

- r 1

Este valor es válido para cualquier valor de y,

6 .6 .5 . C o n d u cto r lin eal d e co rrien te

Un circuito lleva una corriente /, como se muestra la figura(6.23). Calcule el campo el campo magnético en el punto o, tal como se muestra en la figura.

S o lu ció n

El campo magnético en el punto o, se determina calculando el campo que origan cada uno de los segmentos de corriente. Los segmentos rectos de corriente no generan campo magnético en el punto o, porque la corriente y el vector posición son paralelos.El campo generado por el sector circular lo podemos calcular a partir de la definición, entonces;

d S = kmI dl ^

de donde:

di = d l(i + ] ) = R da(i + f ) , 0 < « < n

R x i — y ir = — = — siendo x = R co sa , y = R sin a

R \A 2 + y2

ft * ft

a

a

i ® y

■ i ®

a )

y(m)

b )

Figura 6.22: a) Conductores paralelos que transportan corrientes de signo opuesto, b) variación de B

a lo largo del eje y, para cuando I¡ = I2 = 1A y fl=10 cm.

Figura 6.23: Conductor que transporta una corriente I.

luego,

B == / = w / Rda + ^ XJ R2 sin a d a (k ) — J R2 co sad u (k )]

6.6.6. Línea de corriente finita no simétrica

Un conductor lineal finito de longitud L, transporta una corriente I constante. Determinar el campo magnético en el punto o, tal como se muestra en la figura(6.24).

Figura 6.24: Conductor que transporta una corriente I.

Solución

Para determinar el campo en el punto o, consideremos un elemento de corriente y calculamos el diferencial de campo:

, di x f dB — k,tjl ~

r¿

en correspondencia con la geometría, se tiene que:

di = d l(J) = d y (j), r = -•» - y;

luego

d s = kmi dy{A x = - kmi , . xdi , . j(x2 + y2)3/2 (x 2 + y2)3/2

B = J dB = - k ml x jh+L

^ k = —k n,I x ----------i',+LJh (x2 + y 2) 3' 2

En correspondencia con la geometría se tiene que:

h = x tan ív y h + L = x tan /3

x2 sJx^Ty1 h

B = -/ r xtan/3 x tan«

]*

B = -

x y . ï 2 + x2 tan2 ¿5 \/x2 + x2 tan2 a

k m 11 tan ¡i ta n a .f k ml . . ----- \k = --------- sin B — sin oc\k

x see p sec oc x

El campo resultante está entrando al plano del papel.

6.6.7. línea de com ente finita simétrica

Un conductor lineal finito de longitud L, transporta una corriente I constante. Determinar el campo magnético en el punto p, el cual esta localizado sobre el eje de la mediatriz del segmento, tal como se indica en la figura(6.25a).

Figura 6.25: (a) Conductor lineal que transporta una corriente I , (b) espira de corriente triangular de

lados iguales que transporta un corriente I.

Solución

Para determinar el campo en el punto p, consideremos un elemento de corriente y calculamos el diferencial de campo:

, ,d l x r dB — k ml ~

d í = d l( l) = d x (i) , r = xi — a j

luego,

dB, d x ( ! ) x ( x i - a j ) ,

— Km T~i ñTTT — K-m1(x2 + a2)3«adx

(x2 + a2 )3' 2 ( - * )

El campo total se obtiene de;

B = J dB = j k ml ^ 2 + a2)3/2 ( - * )

Este resultado muestra que el campo magnético resultante es un vector que apunta hacia dentro del plano de la página. Para resolver la integral utilizaremos dos procedimientos :

(a) sustitución trigonométrica. En el triángulo (figura(6.25a)):

a n asm d = - =► r = = a ese 6r sm S

ta n 0 = - => x = -— - = a c o t9 ; luego d x = - a c s c 2 8dd

calculemos solo la magnitud,

r , , adx , , 2 r — ese2 8dd , , 2 [ — esc2J " (x2 + n2)3/2 “ m J “ m J «3 ese3 0

B = _^J fid B = _ks¿ í? sül6de = _h±{_cosg) £ a Je esed a Je a

B = - (eos /? — eos 0)

como,

0 < /S =>■ eos /5 — eos 9 < 0

luego el vector está dado por;

B = ^ ( c o s 0 - eos B )(—k) = ^ - ( c o s 0 — eo sp ) ( —k) a 4n a

(b) considerando el resultado de la integral:

luego

/ ( * 2 + fl2 ) 3 / 2 « 2 ^/j. 2 4 . fl;+ c

,/2 k , adx - k Ia x I " 2,/2* mV + «2)3/2 V v ' í ^ L " 2

g _ km¿ l g = frni f (_ £ )a v ^ 2 + (//2)2 a s j n2 + (í/ 2)2

6 .6 .8 . E sp ira de co rrien te tria n g u la r (tres lad o s ig u ales)

Un conductor lineal finito, forma una espira de corriente triangular con los tres lados iguales, transporta una corriente ¡ constante. Determinar el campo magnético en el punto o, el cual esta localizado en el centro geométrico del triángulo, tal como se indica en la figura(6.25b).

S o lu ción

Para determinar el campo magnético en el punto o, utilizamos el resultado obtenido para una línea de corriente, dada por:

B — (eos 0 — eos /5)

El campo magnético total será la suma de la contribución por los tres lados:

B = B, + B2 + B3 = 3 ~ ~ (c o s 0 — cosjS)

En correspondencia con la geometría de la figura(6.25b), se tiene que:

tan 9 = ^ a = ^ tan Y fí = tt — 9

cos( 7T — 9) = — cosjS

B = 3 (77if¡ib r^ 2co s^ = ^ j ^ cos0cot0

I 2 kml V 3 /= = 18kmI1 2 L

La dirección del campo total está entrando al plano del papel

6.6.9. Espira de corriente cuadrada (lado 1)

Un conductor lineal finito, forma una espira de corriente cuadrada de lado /, transporta una corriente I constante. Determinar el campo magnético en el punto o, el cual esta localizado en el centro del cuadrado, tal como se indica en la figura(6.26a).

Figura 6.26: (a) Espira de corriente forma un cuadrado de lado I, (b) espira de corriente de forma

hexagonal inscrita en un círculo de radio de radío R, (c) geometría para un polígono inscrito en una

circunferencia de radio R.

SoluciónPara determinar el campo magnético en el punto o, utilizamos el resultado obtenido para una línea

de corriente, dada por:

B = (eos 9 - eos fí) a

El campo magnético total será la suma de la contribución por los cuatro lados:

k 1B = B, + B2 + B3 + B4 = 4 — (cose - cos/3)

En correspondencia con la geometría de la figura(6.26a), se tiene que:

a=¡2 y = Tt — 9eos (n — 9) = — cos/3

D . km l / 8 V 2 kml= 4 (z72)(2cos0) = —[ ~ cose = ----1----

La dirección del campo total está entrando al plano del papel.

6.6.10. Espira de corriente en forma de hexágono (lado R)

Un conductor lineal finito forma una espira de corriente de forma de hexágono de lado R, transporta una corriente I constante, el hexágono está inscrito en un círculo de radio R. Determinar el campo magnético en el punto o, el cual esta localizado sobre el centro del círculo, tal como se indica en la figura(6.26b).

Solución

Para determinar el campo magnético en el punto o, utilizamos el resultado obtenido para una línea de corriente dada por:

B = (eos 9 — eos /3)

El campo magnético total será la suma de los seis lados:

B = Y^Bj = 6^ -^ (eos 9 — cos/3)


sin 0 = -L => a = R sin 9 y /3 = n — 9K

cos(7r — 9) = — eos /3

„ , k ml ^ n k mI Ln u V 3 k mIB = 6 - t (2 c o s 6 ) = — - — cot9 = -----

R sin0 ' R R

6.6.11. Espira de corriente de forma de un polígono de n lados

Un conductor lineal finito forma una espira de corriente de forma de un polígono regular de n lados, transporta una corriente I constante, el cual está inscrito en un círculo de radio R. Determinar el campo magnético en el punto o el cual esta localizado sobre el centro del círculo, tal como se indica en la figura(6.26c).

Solución

Para determinar el campo magnético en el punto o, utilizamos el resultado obtenido para una línea de corriente, dada por:

B¡ = (eos 9 — eos /3)

El campo magnético total será la suma de los (/-lados:

B = L Bi 1 = 1


sin e = - => a = R sin e y ¡6 = n — 6

COS ( 7T — 9) = — cos/3

r, kmI , . 2nkml a 2 \/3nkmIB = " r ^ (2 co s0 ) = = R

En correspondencia con la geometría disponible, el lado del polígono será:

1/2l = AB y co s0 = -z— => / = 2R co sa

R

Esta ecuación es muy importante porque relaciona el lado del polígono con el ángulo 9. Por otro lado, el ángulo central a , se puede expresar en términos de los lados (íi) del polígono inscrito en el círculo:

luego

f-fl— \jn n \ cos( f ~ « ) _ c°s(rc/2) c o s ( n /n ) + sin(7r/2) sin(7r/w) C° C° 2 n s in ( f — f ) sin(7r/2) c o s ( n /n ) — cos(7r/2) s i i i(n /n )

finalmente se tiene que:

sin(0) , n .cote = — —f = t a n ( - )

c o s9 n

2 nkmI 2 nkmI n nfi0I nB = — - — cot9 = — - — tañí —) = - tan( —)

R R v n ' 2 txR v n '

Ahora evaluemos el resultado para polígonos regulares inscritos en un círculo de radio R, para; n = 0 y « = 3, n = 4, n = 6 y para cuando n —> co, el resultado se aproxima al campo generado por una espira circular.

(a) Para, n = 0. Se tiene que;

no existe corriente el campo es cero,

(b) Para, n = 3. Tenemos que;B = '2M tan {H ) = 37M ia n {!L)

2nR v n ' 2 nR v 3 'En correspondencia con la geom etría, se tiene que;

R = S = — -—r = 7— Trr = — -j= - = —7 = y tan( 7r/3 ) = t/32cos 0 2 c o s (7t / 3 ) 2 ( ^ ) %/3

luegon 3[i0I fo _ 3}i0 I3 _ 9[Iq]

~ l n 7 3 27r' 27r/

Ahora comparemos el resultado obtenido por el otro método, donde el campo es:

B = 3 ^ ( 2 e o s9) = cose = cose a 4m? 2wn


a 2a I . n n , ,tan e = j j 2 = T ^ a = 2 y = 71

l . I 1 ¡ V 3a = - t a n ( 7 r / 6 ) = - - ^ = —

reemplazando se tiene,

B = p í cose== y _ cose = = =2n a 27r|tan0

(c) Para, n = 4. Este valor corresponde a una espira cuadrada de lado / cuadrado, de donde;

B = ^ t a n ( í ) = ^ t a n ( ^ )2nR n ' 2nR K 4 '

en correspondencia con la geometría se tienen que:

n/2,R = y / ( l / 2)2 + (//2)2 = y tan(7r/4) = 1

reemplazando se tiene que:

p 4//0í m _ 4 ;í07 _ 2 \ Í 2 \iqI _ 8 V 2kmI Zn 4 ¡ n V 2 1 ~ n i ~ 1

comparemos el resultado obtenido por el otro método, donde el campo es:

B = 4 — (2 co s0 ) = ^ c o s 0 = ^ c o s 9 a Ana na


a = - , 0 = •? Y tan(7r/4) = 12 4

reemplazando tenemos;

B = ^ c o s 0 = ^ c o s ( ; r / 4 ) =na \ 1 / n i 2 n i

(d) Para, n = 6. Este valor corresponde a una espira en forma de hexágono regular de lado l=R, de donde;

B = ^ tan(ZI) = ^ tan(^2nR v n 1 2nR v 6 ’

de donde,

tan(7r/6) = —=V 3

luego;

B = 5ííoí tan(ZE) = 2>1qI 1 _ ' / W?rK 6 27tR y/ 3 nR

comparemos el resultado obtenido por el otro método, donde el campo es:

B = 6 — (2 eos 6 ) = ^ ^ - c o s 6 = ^ c o s 0 a Ana na


tan0 = = ^ n = ^ ta n 0 , 9 = |j- y tan(7r/3) = V3

al reemplazar tenemos,

B = ^ c o s 0 = ^ L Co s ( n / 3 ) = - ^ 1 =™ t t§ nR V 3 2 nR

(e) Para cuando n —> oo. Es el caso para una espira circular.

pero,

luego,

B = í ! M tan(ZE)2 n R v n ’

/ T í . 7 T lim tartí—) ~ — n->co n n

_ U}t0I Tí _ I J o l

2 ttR n 2 R

Este resultado es el valor correspondiente al valor del campo magnético, en el centro de una espira de corriente de radio R.

6.6.12. Comparación de formas geométricas de una espira de corriente

Se dispone de ion conductor delgado de longitud L, se quiere construir un espira de corriente. Determinar cual de las formas geométricas; triangular, cuadrada, hexagonal y circular se obtiene el mayor campo magnético en el centro de la figura geométrica cuando circula una corriente I.

Solución

De acuerdo con los resultados obtenidos anteriormente el campo en el centro de simetría de la figura tenemos:

1. triangular;

2. cuadrada;

3. hexagonal;

4. circular;

B =

_ 9^07 _ 9yi0l _ 27}t0I 2 n i 2 n L /3 2 n L

2 y /2/<p/ = 2%/2/zq/ = 8 y/2 ft0¡n i n L /4 nL

_ \Z3hqI _ y/3}i0 l _ 6 %/3;<q7 n i n L / 6 nL

fi0I _ p0/ _ n¡40l2 R L

ahora comparamos los respectivos valores

Brirr T 1 27

B,r,in -wc ¿nn m í n 2

# £ = T t K = ^ = 0 '86 =* Bc,rc = 0,86BcuadrBcuadr 8 ^ B d 8 s /2nL

B ■ ^ n 2— T ~ k — 7 = = 0 '9 5 => Bcirc = 0 ,9 5 B hexag

B h e m 6 7 3

g, 6 'fil'O1 3 y / jVhexng = = = ()<92 ^ Bhexag = 0,92 BcuairB cuadr « A ia í 4 y/2

nL

Figura 6.27: (a) Banda cargada se mueve con rapidez v, (b) corte transversal de la representación

geométrica.

6.6.13. Banda cargada

Una gran banda de material no conductor está cargada, se mueve con una rapidez v. Calcule el campo magnético B, en un punto localizado fuera de la banda pero en el mismo plano.

Solución

Si consideramos un elemento de carga en la banda, cuando ésta se mueve con una velocidad v, genera una línea de corriente /, que a la vez genera un campo magnético en el punto en cuestión. La simetría del problema, infiere que el campo solo tendrá una dirección, la cual está en la dirección x. La dirección se puede determinar a partir de la ley de la mano derecha y la magnitud con la ley de Biot-Savart. Entonces:

po d idB =2 n r

de donde se puede establecer que;

ií = a A = a x l, y 1 = - r = - r ( crxl) = a l ^ = crlv y dt d r ' dt

además,d I 1 a , ] A— = — =4- di = —dxdx w zv

La componente en la dirección x esta dada por,

, D . /'od i . fio I , 2 /locrlvzdxdB x = dBsm cc = —— sm # = — d x - = —---------- =r2 n r 2 n r w r 2 m v r2

luego,

figcrlvz f w/2 dx _ \iocrlvz2 _ i ,w ,m i v z p dx = ^ Z 2 tan_ , w 2m u J - w / 2 X2 + z 2 2nw z 2z- w / 2 X2 + Z:

Hocrlvz2 / n^ ¡.igcrlv ~2 mü~~z 2 “ 2 w

6.6.14. Fuerza magnética entre conductores

Un alambre recto transporta un corriente I¡, paralelo a lo largo de una espira rectangular que transporta una corriente h , como se ilustra en la figura(6.28a). Determinar la fuerza magnética sobre la espira de corriente.

l \ 1 1

a)

Figura 6.28: (a) Conductores que transportan sendas corrientes, (b) representación de las fuerzas sobre

la espira de corriente.

Solución

La espira de corriente esta inmersa en un campo magnético que es originado por el conductor lineal. La fuerza neta es la suma de las fuerzas sobre cada uno de los segmentos rectos. Entonces;

dFi = I2d l x B = l2dx ¡ x { ~ ~ ) k

para,

para,

para,

la fuerza neta sera:

d ?2 = J2d ï x B = —I2d y J x ( ~ ^ ) kHoh~ 2 n x ‘

F2 = f d F 2 =J 2 n (a + b) Jo 2 n (a + fe)

d ?3 = l2d í x B = —l2dxi x { - ~ ) k

= r d p3 = _ h o h h r + b djc} = _ ^ a + bJ 3 2n Ja x 1 2 n v a "

l'oh 2 n x l h

2 n (a + b) 1Fa =

dF4 = I2d î x B = /2dy/ x { - ~ ) k¿ TÏX

[ ,p _ F o h h f b . »./ 4 27t(rt + b) Jo 2 n (a + fe)

F = E ^

- Wn/1 /2 , , « H- N c , H0 /1 Í2 , , f ?< o J l Í 2 i r , í fl + & 'l ? V o h h , í

F = 2j t ~ ln (~ ) ; + 2 ^ T b ) fc' “ ta( « ) ; 2 n (a + b ) b‘ ~ Q

6.6.15. Bobina de Helmholtz

Dos bobinas circulares coaxiales cada una de radio R, están separados a una distancia 2d, tal como se muestra en la figura(6.29a). Las dos llevan una corriente I, ésta distribución produce un campo magnético uniforme en el punto medio que une los dos centros de las espiras de corriente. Encontrar la expresión del campo magnético en el punto P. Una manera de demostrar que el campo magnético en la región muy cercana a la mitad que separa las dos bobinas es uniforme es demostrando que:

d=z=R (z0 = 0), entonces; $ = 0 y ^. dB1 : 0 .

a ) b )

Figura 6.29: (a) Dos espiras de corriente separadas una distancia 2d, (b) representación esquemática

del campo generado por la espira del lado derecho.

Solución

Inicialmente determinemos el campo en el punto generado por la espira de corriente del lado izquierdo. Consideramos un elemento de corriente y calculamos el diferencial de campo en el punto P.

dB i = k,„ 1^ ■* - donde r = Rñr + zük, dT = dlúg = Rddúg

luegop Rddüg x ( - R ü r + zük) kmIR 2ddñk + k m¡Rzddür

1 “ (R 2 + Z2 )3/2 ~ (R 2 + Z2 )3/2

Por simetría del problema, la componente radial se cancela, solo sobrevive la componente perpendicular al plano de la espira.

s í k mlR 2 f 2n _ kmlR ‘1 “ J 1 _ ( R 2 + z 2)3/2 J0 d 9 l ‘ k ( R 2 + 2 2)3/2 711 * 2 ( R 2 + Z2)3/2

l‘o iR 2

k mlR 2 fio IR 2«k

B, = «Jt2 [ R 2 + ( d + z0 )2]3/2

Para la espira del lado derecho el campo será:

fio IR 2r floIR2 ab 2 - ~ Jó\ i/iuk - “ k2 ( R 2 + z2)3/2 k 2 [ R2 + (d — Z0 )2]3/2

El campo magnético total sería la suma vectorial de los campos,

5 _ 5 , v _ 1'0i r 2 r 1 , 1 ! .1 2 2 { [ R 2 + ( r f + Zo) 2 ] 3 / 2 + [R 2 + ( d _ 2 o ) 2 ] 3 / 2 } " t

Para cuando 2 o = 0, el valor del campo en la mitad de la distancia que separa las dos espiras de com ente es:

d _ d _i_ r _ f‘° IR2 r.1 2 [R2 + ( d ) 2]3 /2 k

Para demostrar que el campo magnético en la región cercana a la mitad que separa es uniforme, para esto hacemos coincidir el origen de coordenadas con el centro de la bobina de la izquierda ( 2 = 0 ), entonces la distancia que separa las dos es 2 d, luego el campo total en un punto 2 = d + 2 0 esta dada por:

d i _ H0Ir 2 r 1 . 1 ____ ;U~Z 2 t [R2 + 22]3/2 [ R 2 + ( 2 d - 2 ) 2p 2 >

luego,

dB pi0 IR 2 3 r - [ R 2 + ( 2 ) 2 ] 1 / 2 2 z

dz ~ 2 2 [R2 + (2d + 2 ) 2 ] 2

- [ R 2 + (2 d - z ) 2 ]1 /2 2 (2 d - z)[R2 + (2d - z )2]2 }

}ioIR 2 3 , 2 z 2 ( 2 d — z)2 2 1 [R2 + z2]5' 2 [R2 + ( 2 d - z ) 2}V 2 Í

si hacemos que; 2 = R y 2d = R, estam os exactamente en el la mitad de separación de las dos bobinas, entonces;

dB ;/0 7 R 2 3 2 R 2 (2 R - R)J i ~ 2 2 [R2 + R2]5 /2 [R2 + (2 R — R )2 j 5/2

dB _ }i0 1R2 3 2R 2(R)d2 ~ 2 2 [R2 + R2 ] 5 / 2 [R2 + (R ) 2 ] 5 / 2 *

Ahora, calculemos la segunda derivada y se evalúa para z = R.

d2B d }i0 IR 2 3 í 2 2 2(2d - z )d2 2 dz 2 2 [R2 + z2 ] s / 2 [R2 + (2d — z ) 2 ] 5 / 2

d2B _ } i 0 lR 2 3 2[R 2 + z2 ) 5 / 2 - 2z|[R 2 + z2 ]3 /2 2zdz2 2 2 [R2 + z2]5

—2[R 2 + ( 2 d - z ) 2 ] 5 / 2 + 2(2d - z )\ [R2 + (2d - z )2 ]3 /2 2(2d - z) [R2 + (2d - z )2J2 1 5 }

evaluando para z = R y 2d = R, tenemos:

d2B un IR 2 3 -2 [2 R 2 ] 5 / 2 + 2R §[2R 2 ]3 /2 2R dz2 ~ 2 2 [ 2 R 2 ] 5

- 2 [2 R 2 ] 5 / 2 + 2(R )| [2R 2 ]3 /2 2 (R ) ,+ [2R2 ] 5 ‘

d2B UnIR2 3 , — 2[2R2]5« + 2| [2R2 ]3 « 2 R 1

dz2 ~ 2 2 [2R2]5

d2B HqIR2 3 -2 [2 R 2 ] 5 / 2 + 2 [2 R2 ] 5 / 2 _ n dz2 _ 2 2 [ 2 R 2 ] 2

6.6.16. Modelo de átomo de Bohr

En el modelo clásico del átomo hidrógeno según Bohr, el electrón gira alrededor del núcleo en una trayectoria circular de radio 5,3 x 10 - 1 1 m, con una frecuencia de / = 6,5 x 101 5 Hz. ¿cuál es el valor del campo magnético en el centro de la órbita?.

Solución

Recordemos que la corriente esta dada por:

J = 1 = 1 = = e f = (1 ,6 x 10“ 19) C (6,5 x 1015) Hz = 10,5 x 10 " 4 A

luego, el campo en el centro de la órbita será:

M = (4„ x io-7S)(io,5 x io -M ) . m _2 R 2 ( 5 ,3 x 1 0 - u )m m2

6.6.17. Modelo del átomo de Bohr: Cambio de frecuencia

En el átomo de hidrógeno, el electrón se mantiene en órbita circular de radio R, alrededor del protón del núcleo por medio de la atracción electrostática. Ahora, si el átomo se coloca en un campo magnético débil B, la frecuencia de rotación de los electrones que giran en un plano perpendicular, cambia en una cantidad A/. ¿Cuál es ese cambio?.

Solución

(a) En ausencia de campo magnético, la fuerza que mantiene girando al electrón al rededor del núcleo es la fuerza electrostática, dada por:

ke2 m vi ke2 2 ke2—t = =*■ Ri = — ñ 0 v\ = —R\ R\ mv\ m R i

luego, el periodo es:

2tíR 2nR ¡ _ 2 n R 31/2 _ V ke1

v T ~ Vk¡? ° h ~ R3' 2v mR, 1

(b) En la presencia de un campo magnético, las fuerzas que actúan son; la fuerza eléctrica y magnética, entonces:

ke2 m vl mv% Ke2F = Fc + Fm = - +eV 2B = — => - - — = ev2 B2

1 - K e 2n — i\c 1YIV9 . _ ,R2 = — -— ~ ^ — £ para cuando, Fe « : f m

ev2B ev2B, eBR 2 _ 2 n R 2 2nm

ví — ------- =* ‘ 2 = nD >— = — 5 - => J2 =L nt eB R 2/m eB

,2

la variación en la frecuencia es,

A * , , eB V ké2

A Z

2.5

I

d X------------ ►

b d x

a)

ab)

Figura 6.30: Flujo de campo magnético a través de la superficie A. (a) coordenadas cilindricas, (b)

coordenadas rectangulares.

6.6.18. Flujo de campo magnético: Coordenadas cilindricas

Consideremos un campo magnético dado por la expresión, B = (^ ) i i^ (T ) . Determine el flujo de campo magnético <t>, que cruza sobre la superficie plana definida por las coordenadas; 0 , 5 < r < 2 , 5

y 0 < z < 2 ,0 , tal como se indica en la figura(6.30a)

Solución

El flujo a través de la superficie, es;

r r ~ f 2'0 r2'5 2 , 0<J>m = y d<J>m = y B ■ dA = J q — ü f drdzüq

r 2,o r25 dr 2 5<t>m = 2,0 / dz — = 4 ,0 1 n ( - M Wb = 6,44Wfe

Jo Jo s r

6.6.19. Flujo magnéticos: Espira rectangular

Un alambre recto que conduce una corriente I, es paralelo a lo largo de una espira rectangular como se ilustra en la figura(6.30b). Encontrar el flujo de campo sobre la espira rectangular.

Solución

Para determinar el flujo a través del contorno rectangular, hacemos que:

<í> = [ B - d A

siendo d Á , un vector normal entrando a la superficie del contorno con área; dA = adx y B el campo a una distancia x, medida desde el conductor. Luego,

6.6.20. Anillo cargado rotando

Un anillo de radio R, tienen una densidad de carga lineal A, constante. Determine el campo magnético sobre un punto localizado sobre el eje de rotación, cuando ésta girando como un cuerpo rígido con velocidad angular oj, alrededor de un eje que pasa por su centro (figura(6.31a)). ¿Cuál es su momento magnético?.

Figura 6.31: Distribución de carga uniforme y constante girando al rededor de un eje simétrico: (a)

anillo, (b) disco y (c) esfera.

Solución

Para determinar el campo magnético en un punto sobre el eje de rotación del anillo cargado, utilicemos el resultado obtenido el campo magnético de una espira de corriente de radio R, el cual esta dado por:

B = / > o / R 2 ___2(z 2 + R2 )3 ' 2

Entonces consideremos un elemento de corriente d i, el campo generado por este elemento de corriente en el punto P es;

fi0 R2 Jr , , J t dQ Adl Avdl A R u d ldB = ñ d l, donde d i = — - = — - = — - - = —- ■ ■ -

2(z2 + R2 )3/1 T T 2nR 2 nR

luego,

B = I dB = I , J ,oRL „ Á“ dl = . J ‘° R2 ^ 2 n R2(z2 + R2 ) 3 /2 2 n 2(z2 + R2 )3/2 2n

2(z 2 + R2) 3/2

El campo magnético en el origen o del anillo, donde z = 0;

B = ^Aa>2

Para determinar su momento magnético:

í a j , j j a r, 2 jt dQ Adi ai Adlu = A dl, donde A = nR u d i = — = — = -------J T T 2 n

luego,f UJÁdl n _

H = I (n R ) — = w Á7zR ; ;í = coXnRn

El momento magnético del anillo está apuntando hacia arriba.

6.6.21. Disco cargado rotando al rededor del eje perpendicular al plano

Un disco delgado de radio R, tienen una densidad de carga superficial a , constante. Determine el campo magnético sobre un punto localizado sobre el eje de rotación, cuando ésta girando como un cuerpo rígido con velocidad angular u>, alrededor de un eje que pasa por su centro (figura(6.31b). Determinara su momento magnético.

Solución

Para determinar el campo magnético en un punto sobre el eje de rotación del disco cargado. Consideremos el resultado obtenido para el cálculo de campo magnético de una espira de corriente de radio R, el cual esta dado por;

B= V°,R22(z 2 + R2 ) 3^2

Consideremos un elemento de corriente d i, el campo generado por este elemento de corriente en el punto P, está dado por;

2dB = — Jf° -— - d l

2 (z2 + r2 ) 3 / 2

de donde,dQ ad A au>2nrdr

d i = — = - = - = — = aivrdr1 1 2n

luego,

Para resolver esta integral, hacemos un cambio de variable; si,

u = r2 + z2, du = 2 rdr y r2 = u — z2

luego,

f R2 = u ^ 2d u - z 2 í R2 u~3' 2du]J„=Z* 2u3' 2 4 V H= Z 2 J u = z 2 1

^ a w fio f R , ( u - z 2 )d u i _ acvfto

B = ™ [2 u1 /2 | + ( 2 z2 )u - ./ 2 | 2]

B = ^ [ 2 ( R - | z | ) + 2 z2 ( l - r^ ) ]

El valor del campo magnético en el centro del disco, se obtiene para cuando z = 0,

B = ^ p [2 W ] = ^ M

Para determinar su momento magnético:

r ? dQ ad A a jad A a ja2 n rd rf i = A dI, donde A = n r y d i = — = = ~ 2 n = — ^ —

luego¡■R , rR , ojanR4H = J (nr)cvardr = wan rdr = — -—

El mom ento magnético del disco está apuntando hacia arriba.

6.6.22. Esfera cargada rotando al rededor de un eje que pasa por uno de sus

diámetros

Una esfera de radio R, tienen una densidad la carga distribuida uniformemente sobre todo el volumen, p. Determine el campo magnético sobre un punto localizado sobre el eje de rotación, cuando ésta girando como un cuerpo rígido con velocidad angular w, alrededor de un eje que pasa por su centro (figura(6.31c)). Determinar su momento magnético.

Solución

Para determinar el campo magnético en un punto sobre el eje de rotación de la esfera cargada, consideremos el resultado obtenido del campo magnético de una espira de corriente de radio R, a una distancia z, medida desde el centro de la espira el cual esa dado por:

2 (2 2 + R 2 ) 3 ' 2

Ahora, consideremos un elemento de corriente d i, donde el campo generado por este elemento de corriente en el punto P, en correspondencia con la geometría de la figura(6.31c), es:

* ■ *

entonces,

■VR2-z* r R r'drdz

" h - e p L Lr= 0 Jz= -R (Z2 + r2) 3 / 2

Para resolver esta integral doble, hacemos un cambio de variable, donde;

luego,

r2 + z2, —> du = 2 rdr y r2 = u — z2

pu>ii0 r R r R (u — z2)du d _ J u=z2 Jz=-2 Ju=z2 Jz= -R 2 u3/2

R2 rRB = p ^ í 0 ' U-U 2 dll _ 2 2 j r K^ u- * n du )d z

B = ^ C _ r { 2 " 1 / 2 l2 = * H 2z2 )u - " 2 C z2}d z

B=£f £ Í > ' i- l z " + 22!< 5 -| 71» 'i2

_ pu>íi0R23

Para determinar su momento magnético, efectuamos:

u = í A dI, donde A = n r2 y d I = ^ = £ * = ^ = ^ J t r d r d z * J T T 2n

luego

r V R 2 - z 2 r z = R F = / (nr-)w prdrdz

J r = 0 J - z = —Rr V R 2 - Z 2 rR rR ( , / j ? 2 _ 7 2 \ i

» = wpnL L r pdrdz= apnU —^ = 0^7T | R ( r 2 _ z2)2d z = C^7T j \ R4 _ ^ 2 + ^

F = ^ [ R \ 2 R ] - 2 R ( ~ ) + ? R 5] = ± c p n R 5

El momento magnético de la esfera está apuntando hacia arriba.

6.7. Ley de AmpereEn las secciones anteriores, se ha demostrado que una corriente es fuente del campo magnético y

se pude calcular a partir de su definición o de la ley de Biot-Savart(B ~ I). La dirección del campo se puede determinar a partir de la ley de la "mano derecha". Si tomamos el conductor con la mano derecha y hacemos coincidir el dedo pulgar con la dirección de la corriente, los dedos indican la dirección del campo magnético en un punto determinado. Ésta situación se presentó al rededor de 1820, con el experimento de que una corriente genera una fuerza magnética sobre una brújula orientándola en una dirección, tal que siempre es tangente a un círculo que se trace en este punto donde se localiza la brújula.Para el caso particular de un conductor lineal, si trazamos un círculo haciendo coincidir el eje del

círculo con la línea de corriente, el campo magnético en cualquier punto del círculo será un vector tangente. Ahora, la integral j B ■ di, al rededor de la trayectoria del círculo (curva cerrada) es proporcional a la corriente que atraviesa la superficie que encierra el perímetro de la curva cerrada. Esta fenomenología se denominada Ley de Ampere, y se representa por:

j > B d l ~ I => ^ B - d l = n oI (6.10)

El desplazamiento di, es un vector direccional tangente en cada punto de la curva cerrada c. La ley de Ampere es semejante a la ley de Gauss para el campo eléctrico. Es muy útil para el caso de geometrías simétricas de la distribución de corriente que deben cumplir las condiciones: En cada punto de la trayectoria cerrada el campo magnético es tangente o normal a la trayectoria, y el campo debe tener el mismo valor en todos los puntos de la trayectoria elegida.Esta ley se puede extender para el caso de regiones donde estén presentes varias corrientes: /j, /■>, /3

•••,/„ que dan lugar a los campos magnéticos B], § 2 , 8 3 , ■ • ■ ,B„ respectivamente. La ley de Ampere establece: ^

B f d l = }ioh donde B¡ = ¿ B¡ y ¡ti i

La corriente total //, es la corriente que atraviesa la superficie que encierra la curva c.

6.8. Ejemplos

6.8.1. Alam bre coaxialUn conductor coaxial muy largo consiste elemento cilindrico interno de radio R ¡, y otro externo

R 2 L o s conductores internos y externos llevan corrientes 1 de igual magnitud pero sentidos opuestos. La densidad de corriente en ambos conductores es uniforme. Obtenga la expresión para la intensidad de cam po magnético en función de la distancia r, medida desde el eje del conductor coaxial.

Solución

Para determinar el campo magnético utilizando la ley de Ampere, consideremos las regiones;

(a) para la región, r < R\. Estamos en la región dentro del conductor interno de radio R\. Consideremos una curva cerrada de radio r, con centro en el conductor de radio R\. Para este caso la ley de Ampere establece;

B (2nr) = ;/0W

£ B • di — ¡tQ lene

n _ llpiel2 nr

la corriente lenc, se refiere a la corriente que está dentro de la superficie que encierra el contorno de radio r. Mientras que la corriente I no es toda la corriente que circula por el conductor interno. Entonces para determinar la corriente ICnc hacemos la siguiente relación:

¡ene . I lene , r , r21 • c . * i t r

I = ,r> Pero 1 ~ — 9 / 'o V? = — 2 ' Iueg ° ‘ ene = ‘ 7 d , ,' n (R ¡ ) 2 n r2 n (R \)2 n r¿ [R i)

entonces, el campo será:

8 = ^ / 4 = j m * r2 n r R2 2nR\

(b) para la región, R\ < r < R2. Para determinar el campo magnético en la región entre los dos conductores, se elige una curva cerrada de radio r que pase por esta región. Luego, la Ley de Ampere sería:

n/o \ r p }l o h n c _ H 0 l- }l0hne =* B _ ^ - 2n r

Para este caso, la corriente que atraviesa la superficie que encierra la curva de radio r, si es toda la corriente 1.

(c) para la región, r > R2. Ahora elegimos un contorno cerrado que pase por la región fuera del conductor, un contorno de radio r, aplicamos la ley de Ampere para esta curva cerrada.

£ B • d i = ¡Io lene

la corriente Ie„c, es la corriente total que atraviesa el contorno de radio r, para este caso la corriente es lene = 1 — 1 = 0 , luego la integral

j f B ■ d i = 0

este resultado muestra que, el campo magnético para la región fuera del conductor coaxial es cero.

6.8.2. Campo magnético de un solenoide

En la figura(6.32) se muestra un corte longitudinal de un enrrollado de N vueltas de un conductor, denominado "solenoide". Si L es la longitud de las N espiras. Utilizando la ley de Ampere obtenga la expresión para campo magnético para puntos localizados para la región dentro del solenoide.

N-espiras

1

© © © © © ©/

B2

3

a )

1

Figura 6.32: a) Corte longitudinal de un solenoide de N-espiras y radio R por el cual circula una

corriente I : En una primera aproximación el campo dentro del solenoide y a lo largo del eje de simetría

es uniforme y constante, b) Corte longitudinal de un solenoide de N-espiras y radio R por el cual

circula una corriente I: El campo magnético sobre el eje de simetría y cerca a los bordes del solenoide

no es uniforme.

Solución

Para de terminar el campo magnético en un punto dentro del solenoide utilizando la ley de Ampere, consideramos un contorno cerrado c, el cual esta constituido por los segmentos 1 , 2 y 3 de la figura(6.32) y calculamos la integral sobre este contorno;

En correspondencia con la disposición geométrica, se tiene que: para los sectores 2 y 4 que el campo magnético B es perpendicular al vector di, mientras que para los sectores 1 y 3 el campo B es paralelos al vector di. Si consideramos que la región 3, está muy alejada del solenoide podemos decir que- f^ B ■ di = 0. Además, la corriente total que atraviesa la sección transversal del contorno c, es N-veces I, luego podemos decir que; Ienc = N I.

£ b ■ di = J^ B ■ di = J^ B d l = BL = /<0 N/

„ 1‘oN I B = <—j — = vo n i

Este es el valor del campo magnético dentro del solenoide, siendo n = j - , el número de espiras por unidad de longitud. Para éste resultado se ha considerado que el campo en la región dentro del solenoide es constante y homogéneo. Pero resulta que el campo no es homogéneo en toda la región. En los extrem os del solenoide el campo no es uniforme. Para demostrar este efecto consideremos la siguiente geom etría representada en la figura(6.32b):Si consideram os una espira de corriente de radio R, con el eje de simetría que coincida con el eje de coordenadas x. El campo magnético generado por la espira en un punto del eje esta dado por:

¡i0 R2I ~ 2 (x 2 + R2) 3 /2

Ahora, el cam po neto de un solenoide de N-espiras será la superposición de los campo de todas las espiras. El número de espiras de corriente en contenidas en una longitud dx, es (N /L )d x . Luego, la

com ente total en ese ancho será: I (N /L )d x . El campo generado por esta corriente en un punto sobre el eje de simetría será:

JD _ I‘or 2 d I _ }‘° r2 N I dx~ 2 (x 2 + R2)3« 2(x2 + R2 ) 3 ' 2 L

En correspondencia con la geometría del problema, se tiene que;

tan 9 = => x = R tan 0 y dx = R sec2 dddR

para,

para,

Luego,

x = =L— 0 = 0 i y 0 = 0 2

/'0 r 2 _ f H0 r 2

+ R2 )3/2 J 2(x2

IIqN I r R3 sec2 6dd _ ¡iqN I r 1“ J [R2 (tan2 0 + 1 ) ] 3 / 2 _ 2 L J se cd

B ~ J d B ~ J 2(x2 + R2)3/2^ / 2(1* + R2)3/2 L dx

2L J [R2 (tan2 0 + l ) ]3«

^qN/ [ Bi2 l yfll

^ ^ ( 3 ^ 1 0 2 - 5 ^ 0 ! )

• / eos 0 d0JO,

Esta última expresión indica como varía el campo dentro del solenoide, por lo tanto el campo dentro del solenoide no es uniforme. Ahora, consideremos los dos casos posibles:

1. Si el punto donde estamos calculando el campo está localizado exactamente en el centro del solenoide y si el radio del solenoide es mucho menor que la longitud del mismo, es decir; R c L , se puede considerar que los ángulos; 0j = —n / 2 y 0 2 = n /2 . Se tiene que:

Este es el valor del campo en el centro del solenoide obtenido por esta metodología coincide con el obtenido utilizando la ley de Ampere.

2. consideremos el caso para cuando estamos en el borde del solenoide. Hacemos la consideración que; x = —L/2 . luego, = 0 y 0 2 = n /2 .

B - í g í p t 0 ) = !> - e f =

Es el valor del campo en los extremos del solenoide

Estos resultados dan evidencia que, para solenoides suficientemente largos (L » R), el valor del campo magnético en los extremos se aproxima la mitad del valor del campo en el centro del solenoide.

6.8.3. Ley de Ampere-Maxwell

La ley de Ampere en su forma estática, relaciona la circulación del campo magnético en un contorno cerrado con la corriente que traviesa la superficie que encierra el contorno. Ahora bien, para el caso dinámico esta relación se modifica sustancialmente. Para determinar esta relación consideremos

+

Figura 6.33: Flujo de campo eléctrico a través de las superficies Sj y s2: Ley de Ampere-Maxwell.

una superficie cerrada constituida por dos superficies, Si y s2, tal como se indica en la figura(6.33). Para ésta geometría en particular, la ley de Ampere está bien definida para el contorno de la superficie Sj , mientras que para el contorno de la superficie s2 no. Ya que el flujo a través de esta superficie es cambiante en el tiempo. La discriminación de éste comportamiento es atribuida a Maxwell. Si el conductor de área A , de la figura(6.33) está conectado mecánicamente a una fuente de voltaje, la carga de este conductor aumenta en el tiempo. El flujo de campo eléctrico a través de la superficie s2, está dado por;

La corriente I¡¡, se denomina corriente de desplazamiento. Con esta consideración la ley de Ampere establecida a través de las superficies S] y s2 será:

A d a _ i_dQ _ J _ ; £ 0 dt cq dt £q d

donde,

(6.11)

donde I, es la corriente de conducción, la cual está correlacionada con el movimiento de carga real, tal como electrones protones e iones. Aunque la carga no puede cruzar físicamente la superficie s2, las líneas de campo eléctrico sí la cruzan, produciendo una corriente de desplazamiento ld.

Capítulo 7

Inductancia

7.1. IntroducciónEn el capitulo que precede, los ejemplos de aplicación mostraron que una corriente es fuente de

campo magnético. Las observaciones inducen plantear preguntas del tipo. ¿Es posible invertir los procesos?, es decir, un flujo de campo magnético induce una corriente en un circuito. Se cree que uno de los experimentos que conllevaron a la formulación de estas preguntas fue el experimento planteado por Oersterd en el año de 1819. Por más de 10 años se intento con diversos experiencias tratar de dar respuesta a las preguntas surgida en el momento, más sin embargo al rededor de 1831, se planteo que si podría generar una corriente a partir de un campo magnético, cuando el flujo de campo magnético a través del circuito es variante en el tiempo y se denominó inducción electromagnética, es así, como las corrientes y voltajes se denominaron corrientes inducidas I y fuerza electromotriz inducida fem . Michael Faraday de nacionalidad inglés y Joseph Henry de origen americano, los dos simultáneamente plantearon el fenómeno de la inducción electromagnética. Está establecido que a partir de estos principio se da inicio al desarrollo de la tecnología referente a la construcción de maquinas que transformen el trabajo mecánico a energía eléctrica y viceversa. En vista de esto acontecimientos el descubrimiento de la inducción se les atribuye a estos dos científicos ser los padres de los motores y los generadores eléctricos. Faraday y Henry también mostraron fenomenológicamente que cuando en un circuito fluye una corriente variable en el tiempo, el campo magnético del propio circuito actúa induciendo una fem en el mismo circuito cuyos efectos son tales que se oponen a la f e m externa, que provoca la variación de la corriente. A este fenómeno se le denominado auto-inducción

7.2. Ley de inducción de Faraday: fem de movimientoEn una región donde exista un campo magnético y en el esté inmerso un circuito eléctrico, y si

el flujo de campo magnético a través del circuito cambia con el tiempo, en el circuito se induce una f em cuya magnitud es directamente proporcional a la intensidad del cambio del flujo magnético con respecto al tiempo. Esta observación se puede expresar en términos de la ecuación:

(7-, )

donde c, es una constante de proporcionalidad. Para el sistema SI, la constante c, tiene valor de 1. El signo menos de la ecuación esta relacionado con la dirección de la corriente inducida o polaridad en el circuito. En el lazo de corriente genera un flujo <t>m que se opone al aumentar B. La polaridad se relaciona con el principio de conservación de la energía y se conoce con el nombre de Ley de Lenz. La ley de Faraday se enuncia como:

E", = - j * , n = - j t f s B d Á = - ^ B A c o Se (7.2)

Donde A , es el área lim itada por el circuito y 9, es el ángulo entre el campo magnético y la normal del plano del circuito. Por otro lado, se puede considerar que:

d r „dB _ ndA n .d ( c o s 9 ) .£m = - ^ - B A c o s d = — L 4 co s0 — + B co s 0 — + B A — —— m dt 1 df dt dt 1

= —y4 eos 6 ^ - — B eos 6 ^ - + Bj4o> sin 0 df dt

aquí o», es la velocidad angular. La ecuación(7.3) establece las condiciones por los cuales se puede inducir una f e m en un circuito:

m La variación de la magnitud del campo magnético.

o La variación del área del circuito.

h la variación del ángulo comprendido entre el campo y la normal de la superficie.

» cualquier combinación de las opciones anteriores.

Ahora, consideremos un caso particular de un conductor que se puede deslizar con una rapidez v constante, sobre dos rieles inmersos un campo magnético uniforme B. Por simplicidad consideremos el caso que el conductor se mueve perpendicular al campo. Las cargas móvües q, del conductor experimentaran una fuerza magnética dada por:

F = qv x B

Bajo esta interacción, la carga se desplazan a lo largo del conductor hasta alcanzar los extremos del mismo. Se acumularan ahí, provocando un exceso de carga positiva en un lado y negativa en el otro. Este exceso de carga inducida en los extremos dan origen un campo eléctrico dentro del conductor que equilibra la fuerza magnética presente. Ahora, la condición de equilibro establece que:

qE = qvB =4 > E = vB

En términos del trabajo que hace el campo eléctrico para mover las cargas de un extremo hasta el otro extremo de la barra (longitud l) es - qv B l. Que corresponde al trabajo por unidad de carga - q v B l/q = vBl. Este último resultado no es más que la f e m inducida entre los extremos del conductor móvil. Es decir, la f e m inducida por movimiento del conductor no es más que:

e m = - v B l

Si se considera que el circuito tiene una resistencia total R, la corriente I debido a la fe m inducida es:

I £m I _ vBl R R

La cantidad de energía eléctrica disipada en el conductor de resistencia R (efecto Joule), en un tiempo df, debe ser:

dW = I Rdt = I { IR )d t = UBvdt

M ientras que el trabajo que hace la fuerza externa Fext, para desplazar el conductor una distancia áx, en un tiempo de tiempo df, es Fextdx.Según el principio de conservación de la energía, es de esperar que estos dos trabajos deben ser

'gUaleS' dxFextdx = UBvdt => Fext-J-= FextV = I lBv

lL,eg ° ' v B ^Fe:xt = U B —

Esto lo que significa que el conductor de longitud /, cuando se mueve con rapidez v, en un campo m icn ético B éste experim ente una fuerza una magnética que es igual en magnitud y dirección con-

* a ia fuerza externa Por lo tanto, la fuerza neta sobre el conductor es cero lo que significa que la fuerza externa no acelera al conductor solo vence la fuerza magnética

x dxFigura 7.1: Conductor lineal de longitud L, desliza sobre rieles en un campo magnético uniforme B,

por efecto de un fuerza externa Fex¡-

7.3. Ejemplos

7.3.1. Barra deslizándose sobre rieles

Consideremos una barra tal como se indica en la figura(7.1), donde R=6,0 f i , L= 1,2 m y un campo magnético uniforme y constante de 2,5 T está dirigido hacia dentro del página. ¿Conque velocidad debería moverse la barra para producir una corriente de 0,5 A en la resistencia?.

Solución

Consideramos el resultado obtenido anteriormente,

vBl IR 0,5/4 • 6 ,0 0 3 m m= ~R ^ V = lB = 2,5T- l,2m = 3 7 7

7.3.2. Barra conductora en movimiento

Una barra de un material conductor de longitud /, se mueve con rapidez v, a lo largo de una dirección paralela de un alambre largo que lleva una constante corriente I. La barra se mantiene siempre perpendicular al alambre figura(7.2a). Encontrar la fem en la barra.

Solución

Cuando la barra avanza en la dirección x, esto hace que haya un flujo de campo magnético variante en el tiempo, por lo cual la fem , entre los extremos de la misma se puede determinar a partir de:

= >m = -jiJSdÁen correspondencia con la geometría disponible, el campo magnético y el vector normal a la superficie sean paralelos. Entonces:

£m = B dA cosQ ) = BdA)

Figura 7.2: (a) Conductor lineal se mueve con rapidez constante cerca a un conductor, (b) Conductor

lineal desliza sobre rieles en un campo magnético uniforme B, por efecto de la fuerza gravitacional.

Por otro lado, el campo magnético generado por el conductor varía a lo largo de toda la barra según la ley de Biot-Savart. El flujo sobre la superficie que se genera cuando la barra se ha desplazado la distancia x, y esta dado por:

. f b+l „ , í b+l Hol , /io/ , , b + LL Bxdy = h 2 n y ^ ~ ^¿ñ 1 /

luego la f e m , seria:

d jíq¡ , f b + l . n o l b + l . d x ii0I , , b + l .

El signo de la expresión establece la dirección de la corriente en el circuito.

7.3.3. Barra deslizando en un plano inclinado

Los rieles están conectados en su extremo superior mediante un conductor paralelo al alambre y sin resistencia, de tal forma que el alambre y los rieles forman una espira rectangular. El plano de los rieles forman un ángulo 9, con la horizontal. En esta región existe un campo magnético uniforme vertical B (fígura(7.2b)). Demostrar que el alambre adquiere una rapidez constante.

Solución

Cuando la barra se desliza sobre los rieles hacia abajo, las fuerzas que actúan sobre las misma son- la fuerza magnética y la fuerza gravitacional que hacen que el sistema este en equilibrio. Entonces

Fm = Fg => IlB = m g sm 9 , de donde / = ^

La f e m inducida sobre la barra conductor es:

id i Em lBve m = lBv pero / = — = —

De com parar estas dos expresiones, se tiene

m sR sin 9 V = P B2

Del análisis de la última ecuación, se puede concluir de que todos los valores son constante entoncesy la velocidad conque desciende a lo largo del plano inclinado es constante.

7.3.4. Barra conductor rotando al rededor de uno de sus extremos

Un conductor recto de longitud R, rota al rededor de uno de sus extremos con velocidad angular constante íü, en un campo magnético constante B y paralelo al eje de rotación (figura(7.3)). Hallar la fem , inducida entre los extremos del conductor.

Figura 7.3: Conductor lineal rotando con velocidad angular constante en un campo magnético uni

forme B.

Solución

Cuando la barra rota al rededor de un eje, las cargas q, móviles presentes en el conductor son desplazadas a los extremos de la barra por efecto de la fuerza magnética. La presencia de esta carga generan un campo eléctrico no estático, con polaridad tal como se indica en la figura(7.3)(en correspondencia con la ley de la mano derecha). La fuerza total sobre las cargas móviles (fuerza de Lorentz) esta a lo largo del radio de rotación de la barra y se puede escribir como;

qE + qvB = — mRui2 =4 - E = — Ru>(B + ^ ^ )

Para determinar la f e m inducida, entre los extremos de la barra a partir de este campo eléctrico no estático E, se tiene;

fR -. fR meo= AV = - / E ■ dR = — / EdR = w (B + ------- ) / RdR

Jo Jo q Jo

m ui. R2 tüR2 , „ m ui.b + T ) t = — < b + T >

La ecuación de la f e m inducida, muestra dos términos: El primero debido está asociado con la presencia del campo B y el segundo con la rotación de la barra (inercia rotacional). Si no hay campo magnético (B), la fem se debe únicamente a la aceleración centrípeta que hace que las cargas movibles en el conductor se desplacen a los extremos de la barra. Más sin embargo, el voltaje es muy pequeño como para tener certeza de su medida. Comprobemos el orden de magnitud de este voltaje inducido suponiendo que: R=0,5 m, a 1 =6000 rpm. Si la carga móvil son los electrones, entonces;

m=9,1 1 x 1 0 3 1 k g y q = l,6 x \ 0 1 9 C. Al evaluar, se tiene;

mco2R 2 (9 ,11 x 10 - 3 1 kg) (6000 r a d /s ) 2(0,5 m )2 ~ 2q ~ 2 ( 1 , 6 x 1 0 “ 19)

81 99= x 10 - 6 y = 25,62 x 10 “ 6 V ~ 2 5 i iV

El valor de la f e m inducida para este caso es de 25 /;V.Ahora, evaluemos el primer término de la ecuación considerando únicamente la presencia del campo magnético terrestre, cuyo valor se considera que es de 0 .5x 10~ 4 Wb/m2, de donde:

. , , Bu)R2 (0 ,5 x 10 - 4 W b / m2) (6000 r a d /s ) (0 ,5 m )2 .AV = —— = — ^ = 375 x 10~ 4 V

De com parar estos dos resultados obtenidos puede concluir que la fern , debida al campo terrestre es aproximadamente 1500 veces mayor que la fern , debido a la rotación, esto hace que la medida debida a la rotación sea incierta para este experimento. Por lo tanto, para tener una medida más o menos aceptable de una f e m debido a la rotación tendríamos que aislar el campo magnético terrestre en el experimento.

7.4. Relación entre la f e m y campo eléctrico no estáticoUn campo eléctrico se crea a partir de un flujo de campo magnético cambiante en el tiempo, en

un medio e incluso en el espacio vacío. Es muy importante resaltar que las características del campo eléctrico inducido son diferentes al campo eléctrico estático, para indagar sobre esto consideremos una región donde hay un campo magnético uniforme, inmerso en el campo hay un lazo de conducción de radio r. Ahora, si el flujo campo varía con el tiempo, el flujo sobre el lazo de conducción varía y la f e m inducida, sera e„, = —d<t>m/dt. Por otro lado, el trabajo para mover una carga q, en esa trayectoria cerrada estará dada por:

A W = qE (2 n r) además q em = AW => e,„ = 2nrE

como,

Em = -d<s>m/dt = » 2 n rE = = >

Esta ecuación(7.4) es otra forma de presentación de la ley de magnético con el campo eléctrico.

7.5. Ejemplos

7.5.1. Corriente variable en el tiempo

Un alambre recto es paralelo a lo largo de una bobina rectangular formada por N espiras, como se indica en la figura(7.4a). Si la corriente en el alambre varía con el tiempo dada por 7 = 70 sin(cot + ¿). Encontrar la f e m inducida en la bobina.

Solución

La f e m inducida en la espira se determina a partir de:

d---------<.

dtE -d s = — (7 4 )

Faraday, la cual relaciona el campo

Ttm

B

dA

a) b )

Figura 7.4: (a) Conductor lineal lleva una corriente dependiente del tiempo, (b) Solenoide de n, vueltas

sobre metro, induce una f e m en la espira con N vueltas.

donde el flujo a través de la superficie de una espira está dada por:

<3>„, = J B ■ dÁ = J BdA

Pero el campo magnético en un punto a una distancia y del alambre que lleva la corriente I, esta entrando al plano del papel y su magnitud, según Biot-Savart es; B = Por otro lado, el elemento de area en el punto y, es; dA = Idy, luego:

= f BdA = í a+ b^ - Idy = l f . 1„ ( £ ± ^J Ja 2 n v 2 n a

para N espiras,

luego la f e m sera:

=

2n y

N j'oll , , 0 + bs2 n

■ ln (-

d ,N fi0l l a + b . N fiol .a + b . d . .Em = 11 = )5í [Josin(wf-+<5)1

= _ n^ íocosM+¿)Z 7 T a

Este resultado indica que la f e m , es un voltaje sinusoidal (armónico) con una amplitud j /0

7.5 .2 . S o len oid e

Un solenoide largo con n vueltas por metro, conduce una corriente que varía con el tiempo I = lo s in (u>t). Dentro del solenoide coaxial se encuentra una bobina de radio R, con N vueltas de alambre muy compactas. ¿Cuál es la f e m en la bobina interna?. Evalué el resultado para n = 400 vueltas por metro, I = 30/lsin(gg), R=6.0 cm y N=250 vueltas. (figura(7.4b)).

S o lu ció n

La f e m en la bobina interna estaría dada por:

el flujo a través de la superficie de la espira está dada por:

<J>,„ = J B - d Á = J BdA = B J dA = BA

la intensidad de campo magnético alejado de los bordes y cerca del eje de simetría del solenoide es, B = ¡i0n l y el área de la espira interna es, A = n R 2, luego el flujo magnético está dado por;

<t>m = BA = }ion ln R 2

De donde,

= - J ¡ ( l ‘o n ln R 2) = -/ í0 íi7rR2^;[/o sin(a;f)J = - } i 0n n R zcjI0 cos(u>t)

para N, espiras seria:em = —Nii0nnR2u)Iocos(wt)

evaluando,

em = ( -2 5 0 ) (4 ) ( t t ) x 10 “ 7 N M 2(400)(7r)(0,6 m)2(l/ 60 ra d /s )(3 0 A) cos( — )60

£ra = - 0 ,0 7 c o s ( ¿ ) V '

Este valor esta indicando que la f e m inducida en el la bobina es función del tiempo (un voltaje alterno).

7.5.3. Toroide

Una bobina toroidal de inducción con sección transversal de; a=2.0 cm, 6=3.0 cm y R=7.0 cm consta de dos bobinas independientes. La bobina denominada primaria tiene Ni =500 vueltas de alambre que conduce una corriente I = Ig sin(o¡t), con /q= 20 A y una frecuencia / = c j/ 2n = 60 Hz, la bobina denominada secundaria se compone de; ^ 2 = 1 0 0 vueltas. Determine la f e v i inducida en la bobina secundaria: (figura(7.5b))

© © Ó Q rfD O Q Q o ° ©

R

a

b)

Figura 7.5: (a) Bobina toroide con dos enrollados; primario 500 vueltas y secundario 100 vueltas, (b)

corte transversal del toroide.

SoluciónPara calcular la f e m en la bobina secundaria de 100 vueltas, hacemos que:

£m = - J j ' & m => <P„1 = [ B ■ dÁ = J BdA

Ahora, determinamos el campo en la superficie de sección ab, utilizando la ley de Ampere.

?<0 Ni7B -d l = //0 N1í B 2nr = /íqN]/; B = ■

2 n r

luego, el flujo a través de la bobina con N2 vueltas, seria;

<J>m — N2 J BdA = J}IqNiN2 I , _ jjoNiN2h] f R+b dr-adr =

2nr 2nr“+0 dr

J r r4>m = t o

La f e m inducida, será;

= _ d _ B ^ L H R + b) = _ l í ^ _ ]n{R + b) d_ [IosSn{ut)]

£m = _ to N 1 N ^ H R + b )co s {w t]

evaluando,

(4)(tt) x 10- 7 (500)(100)(2) x 1 0 -2(20)(2tt/ 60)ln (13) 2 n

Em = —1,0 x 10 - 3 cos(wf) V

cos(wf)

el voltaje inducido, es un voltaje altemo(dependiente del tiempo).

7.5.4. Bobina rotando en el campo magnético terrestre

Un bobina rectangular de lados: fl=20 cm y b=30 cm consta de 100 vueltas de alambre, esta gira al rededor de su eje vertical a 1500 rev/min, como se indica en la figura(7.6). La componente horizontal del campo magnético terrestre en la posición de la bobina es de 2 ,0 x l0 - 5 T. Calcule la máxima fem inducida, para este campo.

B

a) b)

Figura 7.6: (a) Bobina rectangular rotando alrededor de un eje, (b) representación del campo magnéti

co y el vector normal a la superficie.

Solución

la fe m inducida en la bobina con N espiras que está girando al rededor del eje;

Em = —N^<t>m => 4>m = J b - íIÁ = J B d A c o sd = B A co sd

siendo 9, el ángulo que forman la normal de la superficie de la espira y el campo magnético. Este ángulo esta variando con el tiempo, es decir; 9 = wt. Por lo tanto,

Em = —N -jj[B A cos(w t)} = - N B A ^ -c o s (w t ) = -N B A co sin(a>f)

La f e m inducida es máxima, para cuando; sin(o;f) = 1. Al evaluar se tiene:

| em |= N BAco = (1 0 0 )(2 ,0 ) x 10~ 5 T (0 ,2 m ) (0 ,3 m) [ 1 5 0 0 ^ 1”” ” ]

| e m |= 0,01884 V

7.5.5. Disco rotando en un campo magnético

Un disco circular de radio R=10 cm, gira al rededor de su eje vertical a 1500 rev/min, en la presencia de un campo magnético B=1.0z T, el cual es perpendicular al plano del disco. Hay dos contactos que se deslizan (centro y borde del disco) que conectan un voltímetro al disco. ¿Qué voltaje se indica en el medidor de este generador. Este generador es denominado generador de Faraday.

Solución

Considerem os un elemento diferencial de carga localizado a un distancia r, el cual se está moviendo con un velocidad ü = wrúq,. La intensidad de campo eléctrico no estático que se define como la fuerza por unidad de carga está dado por;

E,„ = ¡7 x B = üj rü r

Ahora, la f e m inducida en términos de este campo es:

íoR2BrR . _ fR _/ Em ■ di = (¡7 x B) ■ dr = / œ rB û r ■ drûr =

Jo Jo Jo

al evaluar, se tiene que:

£m = I 1 5 0 0 - ^ ^ ^ ( 0 , lm ) 2 ( l , 0 T) = 0 ,7 9 V 2 min 1 rev 60s

7.5.6. Motores Generadores

La forma más simple de un generador de corriente alterna, también conocido como alternador consiste en una bobina de N vueltas, fijadas sobre un rotor que gira con una velocidad angular u>, constante en un campo magnético uniforme B, (denominado "stator") (figura(7.7b)). La f e m inducida, se calcula a partir de la ley de Faraday que para N vueltas, esta dado por.

£m = = - N J , B A c o s e

Siendo 9, el ángulo que forma la normal de la superficie de la espiras con la dirección del campo. Para esta configuración geométrica, el campo B y la sección transversal A son constantes y el ángulo 9, cambia a medida que el rotor gira,

e,„ = - b ¡ B A j t cos9 = - N B A s iu 9 ( J^ )

i m = N B A u s m 9

Este resultado muestra como la f e m inducida, es una función sinusoidal o armónica con amplitud N BA. Si la resistencia en el circuito es R, la corriente también es una función armónica. De aquí el nombre generador de corriente alterna o alternador. La representación de la f e m y corriente se muestran en la figura(7.7), las dos funciones están en fases pero diferente amplitud.

rotor

0 I 2 3 4 5 6ticmpo(s)

b)

Figura 7.7: (a) Generador de corriente alterna, (b) Variación de la f e m y la corriente inducidas en

función del tiempo.

7.5.7. Barras rotando en un campo magnético radial

Una espira de corriente esta conformado por dos barras, de longitud /=50 cm conductores paralelos localizadas desde el centro del radio vector con rj=30 cm y r2 =50 cm, respectivamente. La resistencia de estos dos conductores es de, R=0,2 f i . Esta espira rota como un todo a 500 rev/min (figura(7.8)). Determinar la corriente que se induce en el circuito conformado por los dos conductores. (a) Para cuando los dos conductores están en un campo magnético radial constante y uniforme de, B=0,25úr T. (b) Si los dos conductores están en dos campos tal; para ri=30 cm, el campo toma el valor de B=0,80ür T, mientras que para el otro, r2=50 cm el campo es de B=0,25»r T.

CÚ

r ¡

b y

R

B• - >

X.o 0.5cm

ooÑ35•O

Figura 7.8: Espira de corriente rotando en un campo radial.

Solución

1. Cuando la barra gira con un velocidad angular u¡, se emplaza un distancia, 8 = ait. El flujo a través de esta superficie sera:

* m = J B -d Á

pero =0,25r y dÁ — lrd9úr, luego

<J>m = 0 ,25 Ir J d9 = 0 ,25 lr9

luego, la f e m inducidad

d d£m = - 3 7 = - 0 ,2 5 lr-j-9 = —0 ,25/ro;

dt dt

al evaluar para cada uno de los conductores se tiene:

£mi = - (0 ,25 T) (0 ,50 cm) (0 ,30 m) (500 reV 2f m d ) = -1 ,9 6 Vmin 60s 1 rev

em2 = - (0 ,25 T) (0,50 cm) (0 ,50 m) (500 ~ rad) = -3 ,2 7 Vmm 60s lreu

La corriente en el circuito es:. 3 , 2 7 - 1 ,9 61 = — 0 2 = 6' 5 5 ^

2. Ahora, determinamos el flujo magnético para cuando el campo toma valores con respecto al radio:

eml = — (0 ,80T )(0 ,50 cm )(0 ,3 0 m) (500 Te° 1™ n 2 * rad) = _ 6 2 8 ym » 60s 1 reo

Em2 = — (0 ,25 T) (0 ,50 cm) (0 ,50 m) (500-^?- - 7 ^— ) = _ 3 /2 7Vmin 60s 1 reu '

La corriente en el circuito es:, 3 , 2 7 - 6 ,2 7 _ „í = — 0 2 = - 15' 0 ^

Otro método para resolver est problema es considerando el campo eléctrico no estático en cada uno de los conductores,

í - f -= / Em - d l = ( v x B ) - d l Ja Ja

Para el caso de que v _L B y el conductor es normal a ambos, entonces la f e m es, em = Blv

rev \min . „v\ = 5 0 0 —:— ——-(2n)(0 ,30m )U d, = b n u ^ m /s

min 60s v r

[05era] = y (5TTÚ,p x 0 ,8ú r) ■ dzüz = —6,28 K

t?2 = 500— - - 7 ^— (27r) (0 ,50 m )«* = &,3m~i,pm/s m w 60s

/•0.5£ „ i 2 = y (8,371«^, x 0,25i?r) ■ dz!/2 = - 3 ,2 7 V

las /effls inducidas, obtenidas por este método coinciden con los obtenidos anteriormente. Los signo presentes en las expresiones tienen que ver con la dirección de la corriente.

7.6. Autoinductancia: Inductancia mutuaConsideremos un solenoide de N-espiras, conectado a un diferencia de potencial a través de un

interruptor s, tal corno se indica en la figura(7.9). Cuando se cierra el interruptor s, la corriente en el circuito aumenta con rapidez finita hasta alcanzar su máximo valor, ahora el campo magnético en el interior del solenoide crece al mismo ritmo del aumento de la corriente. Esta variación del campo magnético implica la existencia de un flujo de campo sobre el mismo solenoide, en vista de esto se puede afirmar que el flujo a través de solenoide es proporcional a la corriente que circula, es decir:

~ 1, para N espiras, N<l>m ~ I

Luego,AI <±>„,

Nd>„, = LI => L = (7.5)

Donde L, es una constante de proporcionalidad denominada autoinductancia.Las unidades de la autoinductancia [L]=VVb/A=Henry=H. La inductancia es una magnitud que depende de la geometría y material del dispositivo (inductor) no depende de la corriente ni el potencial.

7 .6 .1 . S o len oid e

Para el caso del solenoide, recordemos que el campo magnético dentro del solenoide alejado de los bordes es, B = fignl. El flujo magnético a través de las N espiras las cuales tiene una sección transversal A y longitud I, seria;

N<i>„, = J NB ■ dÁ = N BA = N ^ n lA = l‘° N*A I

_ N<J>,„ _ fi0N2A I ~ l

Este es el valor de la inductancia para el solenoide. Como se indicó arriba, la inductancia de pende exclusivamente del número de espiras, tipo de material y geometría. El potencial al cual esta conectado el solenoide efectúa un trabajo para establecer una corriente I en el circuito, luego la potencia del circuito es;

la energía almacenada en el circuito para un tiempo í, es

u = J P(t)dt= j uf tdt = \Ll2

Al reemplazar el valor de L, en esta expresión:

u = 1( ^ )í2= i ^ oiií)2= i ^ b2L l ¿}lQ L }l0

donde la densidad de energía, en el solenoide es:

U 1 r,2 u = — 1 = ^ ® vol 2 ^o

Esta expresión es valida para cualquier dispositivo inductor. Un inductor almacena energía en forma de campo magnético y es proporcional a la intensidad del campo al cuadrado. Esta expresión tiene similitud a la densidad de energía en un campo eléctrico iagual a; \coE2. Para el caso donde existan los dos; campo eléctrico y magnético la densidad de energía estaría dada por:

“ = ¿ b2 + 5£°£2

7.6.2. Toroide

Recordemos que el campo magnético dentro del toroide es, B = ^nr ' Consideremos el caso cuando el radio interno es a y el externo b, esto significa que el radio medio del solenoide es:

a + b d = —

donde la longitud de la circunferencia media es,

c = 2 n d = n (a + b)

el número de espiras por unida de longitud es:

H _ Nc 7 r ( a + b)

con estas consideraciones, se tiene:

B = t o N l = llon(a + b )I = d_2nr 2r r

Para el caso de un toroide muy delgado, se pude considerar que; (d / r ) ~ 1, entonces B ~ n0nl. El flujo del campo magnético a través del toroide será,

d d i4 >m = BA = ¡i0nIA => em = - N — <J>„, = - ] i 0nA -^

L = nonN A

N = nc y c = 2 n d => L = 2 n p 0dn2 A

Para hacernos un idea del orden de magnitud de la inductancia, consideremos los siguientes valores: Una bobina con geometría de: longitud 7,0 cm, área transversal 3,0 cm2 y 50 vueltas:

_ jjqN 2A _ 4 n x 10 7(50)2(3 x 10 4) H = x 1 0 _ 5 H = 1 3 5 H L ~ I 7 x 10^ 2

Un toroide de 5.0 cm de radio, área transversal de 3.0 cm 2 y 50 vueltas/cm se obtiene:

L = 2 n },0dn2A = (2 n )(4 n ) x 1 0 ^ ( 0 ,5 )(5 0 )2(3 ,0 x 10~4)

L = 2,96 x 10 - 3 H = 2,96 mH

7 .6 .3 . A co p le de in d u ctan cia : S erie y P aralelo

Al igual que los resistores y capacitores se pueden acoplar en serie paralelo o mixto para obtener una inductancia equivalente. Figura(7.10): Para esta descripción consideremos el caso de tres induc-

a)

Figura 7.10: a) Acople de resistores paralelo y serie, b) circuitos equivalentes.

tores; L\, L2 y Í. 3 que están conectados en serie a una diferencia de potencial AV: El potencial en cada uno de los inductores es:

1 dt d t 3 dtluego el potencial total es,

, d i , d i , d ie ~ LlTt + l2dI + L3Tt

l § = ( l 1 + l 2 + l 3) §

L = L\ + L2 + L3

Generalizando la expresión de la inductancia equivalente para »-inductores

L = E "L ; (7.6)

Se puede deducir la expresión de la inductancia equivalente de n inductores conectados en paralelo, la cual esta dada por:

L ' L,(7.7)

7 .6 .4 . C o n d u cto r lineal

Halle la inductancia por unidad de longitud de un conductor coaxial, el cual esta conformado por un conductor interno de radio a y otro externo de radio b.

S o lu ció n

Las dos corriente del alambre coaxial están enlazadas por el flujo a través de la superficie concéntrica de radio r y longitud /. El flujo a través de esa superficie es,

<j>m = J BdÁ =luego la autoinductancia será:

L

J BdA = / ^ dA = B l ¡2 n r 2 Tí

f bI dr =

Ja 27r b

= B - l In £ o 271 b

L }‘o , a7 = 2 ^ 5

7 .6 .5 . In d u cta n cia m u tu a : T ran sfo rm ad o res

Es posible tener /ems en un circuito por cambios de flujo debido a otros circuito, a este fenómeno se denomina inducción mutua. Para describir éste fenómeno consideremos el caso que se ilustra en la figura(7.11), se muestran dos circuitos por los cuales circulan corrientes denominadas /] y I2 respectivamente. Si las corrientes cambian en el tiempo, sobre cada superficie de cada circuito se presenta un flujo de campo magnético. El flujo a través del circuito 1 el cual denominaremos 4>i esta determinado

Figura 7.11: Dos circuitos que transportan corrientes; I¡ y I2, respectivamente.

por:

4>i f B\ - dA\ + f B2 • dA\ = ‘í ’n "1" ^ 1 2is , isi

donde B¡ y B2 son los campo generados por las corrientes I1 y /2- Además, Si y s2 son las áreas limitadas por los circuitos 1 y 2 . El flujo a través del circuito 2, <t>2 es,

<J>2 = j B\ ■ dA 2 + / B2 • dA2 = *$ *2 1 + ^ 2 2

Js-7 JSy

En correspondencia con la ley de Faraday, se tiene que:

d<t> i d< 1 ^ ^ 1 2

C¡ = d f = Jt dt~d >\\ dl\ d \2 d¡2dl\ dt dl2 dt

i d,] m d]i= ~dF ~dT

donde se ha definido las magnitudes,

i-i se denomina auto-inductancia y M-¡2 como la inductancia mutua. La última magnitud relaciona el cambio del flujo magnético a través del circuito 1 con respecto a la corriente del circuito 2 .De forma análoga se puede obtener en el circuito 2.

d*í>2 1 dl\ d(P22 dI2£l = - H h l T ~ ~ d h ~ d t

- M I dl2

donde la auto-inductancia es L2 y la inductancia mutua es M2\. Esta última magnitud relaciona el cambio del flujo magnético a través del circuito 2 con respecto a la corriente del circuito 1 .

7.7. Circuitos con inductoresEn el campo del electromagnetismos es muy importante estudiar el comportamiento de los circui

tos donde se vean involucrados; resistores, capacitores e inductores los cuales están conectados en; serie, paralelo y mixto.

7.7.1. Circuito LC

Consideremos uno de los acoples más simples que se puede presentar, tal es el caso de un capacitor C e inductor L conectados en serie a una diferencia de potencial e a través de un interruptor s commutable, tal como se indica en la figura(7.12).

0,000 0.002 0,004 0,006 0,008 0,010

(üt(rad)

Figura 7.12: (a) Circuito L-C, (b) variación de la corriente en el circuito y la carga en el capacitor para

cuando: L=10.0 H, R=5.0 u> y £=20.0 V.

(a) Cuando el interruptor s esta en la posición A. En el instante f=0 s que se cierra el interruptor s, la carga en el capacitor comienza a crecer hasta alcanzar su máximo valor, la corriente en el circuito cambia en el tiempo partiendo de un máximo. Esta descripción fenomenológica la podemos analizar a

través las ley de Kirchhoff: En el circuito cerrado, para cualquier instante t, se cumple que:

e = VL + V c

= L — + — dt C

d d2I 1 daJt£ ~ W + cT t

, d2I 1 da d2I 10 = L - r ~ + - = - r =¥■ -tt- + — I = 0

dt2 C dt dt2 LCLa solución de esta ecuación diferencia de segundo grado, son las funciones armónicas (seno ocoseno o combinación lineal entre ellas):

I(t) = Iocos(u>t + S)

siendo Ig, es la corriente inicial para f= 0 s y u> la frecuencia angular de la oscilación en rad/s, <5 el ángulo de fase. Los valores de lo y <5 solo se pueden determinar a partir de las condiciones iniciales del circuito. La frecuencia angular de oscilación esta dada por:

r 2 nW ~ V LC ~ nf~ TLa frecuencia /, se le denomina frecuencia naturalo propia del circuito. De la expresión para la corriente obtenida, podemos afirmar que para esta configuración la corriente es una función armónica con frecuencia de oscilación u>.Por otro lado,

/ = => dq = Idt = Iocos(u>t + S)dt

q = f q dq = In í cos(cüt + ¿)dt = — [— sin ¿ + sin (o ;f-f <5)1 Jo Jo w

para cuando t=0 , tanto la corriente como la carga q son cero, es decir;

Iq e o s <5 = 0 =4 - eos <5 = 0 o <5 = ± —

de donde,

e = |í = o = l 4 - |(= o 10 c o s í = — 70a iL s in < 5 =$■ I0 = — ^ -s in < 5d t d t col.

Al evaluar los valores que pueden tomar; <5 = , la corriente inicial debe ser una cantidadpositiva por lo tanto el valor asignado es <5 = —f de donde sin( — -J) = —1 . Además, 7q = =

£ \ / fAl reemplazar este valor en la expresión de la carga se tiene:

q(t) = ^ [— sin <5 + sin(a;f + <5)] = ^ - [ 1 - cos(o;f)]

para la corriente en función del tiempo es,

I(t) = I0 cos(ü Jt + S) = I0 c o s ( w t - ^ ) = — sin(wf)

De compara las expresiones de la carga en el capacitor y la corriente del circuito se puede concluir que las dos magnitude están defasadas(desfasadas) en 7t/ 2 . En tanto que para cuando la carga en el capacitor crece, la corriente en el circuito decrece.Por otro lado, la diferencia de potencial en el capacitor e inductor serán,

AVC = 1 = [ 1 - cos(wf)] = e[l - cos(wf)]

&VL = L ~ = e c o s (cot) dt

(b) Cuando el interruptor s esta en la posición B. Se debe suponer que el capacitor se ha cargado previamente, es decir el interruptor s, pasa de la posición A la posición B. Para el instante inicial f=0 s, se tiene que;

0 = VL + V c =*■ L ^- + i = 0clt C

pero,

? = ' dt

luego,

La solución de esta ecuación diferencial, es armónica de la forma;

q(t) = qosm (a jt + S)

de donde qo, es la carga inicial en el capacitor, w = es la frecuencia angular de la oscilación en rad/s, S el ángulo de fase. Los valores de qo y S solo se pueden determinar a partir de las condiciones iniciales del circuito. Es decir, para cuando f=0 s, la carga en el capacitor es la carga inicial qo,

q(t = 0 ) = qo =o sin(á) => sin S = 1 , de donde S = 0

por lo tanto,q(t) = q0 sin(o;f)

para la corriente, se tiene;r, x d¡(t) = j~t q = q0w eo s ivt

Al igual que en el caso anterior, la carga en el capacitor y la corriente en el circuito oscilan armónicamente con frecuencia; f = <jj/2tt, con un desfase de 7t / 2 .

Consideremos el caso particular de un circuito donde; L=10.0 H, R=5.0 ai y £=20.0 V. La dependencia de la corriente en el circuito y la carga en el capacitor con el tiempo se muestra en la figura(7.12b).

7.7.2. Energía y campo magnético

En el circuito de la figura(7.13), se tiene que;

e = VL + Vc =► eí = VLl + VCI (7.9)

el = Ll j- - VC1 = U (7.10)dt

De la expresión(7.10) se puede discriminar lo siguiente:

1. El término de la izquierda representa el ritmo conque la fuente entrega energía al circuito.

2. El primer término de la derecha, representa el ritmo conque se almacena energía en forma de campo magnético en el inductor.

3. El segundo término de la derecha, representa el ritmo con se almacena energía en el capacitor(en formad de campo eléctrico).

Por lo tanto, la energía por unidad de tiempo que entrega la fuente al circuito, es igual al la suma dela energía por unidad de tiempo que se convierta en carga en el capacitor más la almacenada en elinductor: Por otro lado, en el inductor se tiene,

Figura 7.13: Variación de la energía en el circuito LC para, cuando: L=0.5 H, C=5 ; í F y £=12.0 V.

las potencias en cada uno de los términos.

2£ £e l = £—- sin(a)f) = —r sinfort)

cvL w L£ £2 £2

V,I = £co s(a )í)— sin(o;í) = — cos(w í) sin(o;f) = — sin(2o;f)

. 9 ,w f. . , .yc/ = c( l - c o s(a jt)) — sm (u t) = ( “J - ) sinM )

7 .7 .3 . C ircu ito LR

Un resistencia R, esta conectada en serie con un inductor y estos a la ves están conectados a una f e m a través de un interruptor commutable s, tal como se indica en la figura(7!4). Cuando el interruptor esta en la posición A. De aplicar la ley de Kirchhoff, se tiene;

e = VL + VR => d i = (£ - IR )dt d i dt

£ - IR ~ L

j f r b - r j f * -7(0 = Jb(i-*■*')

La ecuación muestra que la corriente en el circuito crece exponencialmente hasta alcanzar el máximo valor I0. Para el caso cuando el interruptor s pasa a la posición B, en el circuito formado se establece

Ticm po(s)

b)

Figura 7.14: (a) Circuito circuito L-R, (b) variación de la corriente con el tiempo en el circuito para

cuando: L = 10H, R = 5 C le = 20,OV

Para este caso, la corriente es un función decreciente. La constante r = se denomina constante de tiempo. Consideremos el caso particular de un circuito donde L=10 Fl, R=5 f i y £=20,0 V. La dependencia de la corriente con el tiempo se muestra en la figura(7.14b).

7.7.4. Energía en el circuito

Para determinar como varía la potencia en cada uno de los elementos que intervienen en el circuito LR, hacemos que. Figura(7.15).

c = VL + V R eI = VLI + V RI

.d ie l = L I - RI = Udt

(7.11)

(7.12)

De la expresión(7.11) se puede discriminar lo siguiente:

1. El término de la izquierda representa, el ritmo conque la fuente entrega energía al circuito.

2. El primer término de la derecha, representa el ritmo conque se almacena energía en forma de campo magnético en el inductor.

3. El segundo término de la derecha, representa el ritmo con se convierte energía en calor en el resistor(efecto Joule).

La energía por unidad de tiempo que entrega la fuente al circuito, es igual al la suma de la energía por unidad de tiempo que se converte en calor más la almacenada en el inductor: El término referente al inductor se tiene,

4 - l i = L I^ - =» dU = L ld l, de donde U = ^ L I 2 dt dt 2

Ahora evaluemos los tres términos involucrados para cuando: L=10 H, R= 5 O £=20,0 V y el interruptor s, está en la posición A.

£/ = £Í0( 1 - e - ? ' ) = ^ ( 1 - e“ TO') = 4(1 - e“ °'5í)5

= io )(4 2 ) ( i - < r 0 '5 ' ) 2

A<? \ q B

J W M X-L

R

a)

cot(rad)

b)

Figura 7.15: Circuito circuito LR. Variación de potencia para cuando: L=1 OH, R=5 f i £=20,0 V.

7.7.5. Circuito LRC

Consideremos el acople de un capacitor C, un resistor R y un inductor L conectados en serie, tal como se indica en la figura(7.16). Con la condición inicial de que el capacitor posea una carga inicial cjo. Cuando el interruptor s se cierra, en el circuito se establece que:

Vc = VR + Vi

el signo menos en el potencial del capacitor esta asociado a que el capacitor pierde carga a medida que transcurre el tiempo. De donde;

La solución a esta ecuación diferencial, es de la forma;

¡7 ( 0 = lo? “ 1 co s(w t —

La constante introducida a = sjj- = i es denominada constante de tiempo del circuito.La ecuación en términos de la corriente se puede expresar como:

d2I d i 1 n L d ¿ + R dt + c - °

La solución de esta ecuación diferencial es de la forma,

í(f) = Ioe~vt sin(w f + S)

siendo,1

- ( — ) 2 CL 2LR / I R 2

V = T l y W = V CL _ 4L2

Las expresiones de las corriente como la carga en función del tiempo, muestran una función dependientes del valor de la cosntante cv.Que para el caso particular de que ¿ > ( ¿ ) 2, el valor de w es real. Es decir, las funciones tanto la corriente como la carga tienen la forma de una oscilación amortiguada, tal como se muestra en la figura(7.16).

0,0 0.1 0.2 03 T iem p o (s)

a ) b )

Figura 7.16: Circuito RCL. Variación de la corriente en función del tiempo para diferentes valores de

l / R\2 ÜE > v2 EJ •

7.7.6. Circuito RL: Acople mixto

Consideremos el circuito mostrado en la figura(7.17). Cuando el interruptor s, se cierra en un tiempo f=0. Determinar la corriente en el inductor y la corriente a través del interruptor como función del tiempo.

7.7.7. Solución

Cuando se cierra el interruptor s, para el nodo A, se cumple que;

íi — ¡2 — I3 = 0

en la malla 1 se cumple que,10 - 4 / i - 472 = 0

en la malla 2 se cumple que,

1 0 — 4 / i — 8 / 3 — ( 1 ,0 ) = o

de combinar las dos ecuciones anteriores, resulta;

10 1,= 1F + 2

al reemplazar estas última ecuación en la tercera ecuación, se tiene;

§ +10í3 -5=° - é w r dld ’3 = lOiif => ln ( i - í3) = —1 0 Í

i - / 3

para la corriente í j , se tiene

h = y + \ h = [ j + ¿ O - = [ \ - i ( r 10s' 1,)]A

a )T iem p o (s)

b)

Figura 7.17: Circuito RL. Acople mixto.

7.7.8. Inductancia equivalente

El circuito que se muestra en la figura(7.18) esta conformado por dos inductores, Lj y L2 con inductancia mutua M, están conectados en paralelo a una diferencia de potencial AV. Determine la inductancia equivalente del circuito.

Solución

Consideremos el nodo A, donde;/ — /j — J2 = 0

en la malla 1 se cumple,

en la malla 2 se cumple,

Aî/ = - l Æ - àÆ¿ dt dt

de compara las dos ultimas ecuaciones se tiene,

dJ l _ M dJ l = _ L2dJ l - a Æ = - l eqdidt dt dt dt q dt

de las ecuaciones 2 y 3 se tiene:d h _ _ A V M d h ~dt L x + Li dt

d l2 _ AV M d hdt ¿ 2 í - 2 dt

al reemplazar 5 y 6 en 2 y 3 se tiene:

A

■AV

L 2 s 8 : go , oO j M ^

a ) b)Figura 7.18: (a)Dos inductores conectados en paralelo a una diferencia de potencial, (b) Circuito equi

valente.

De igual manera se puede obtener que,

, d l2 AV M d¡2 . AT7” L2 i f ‘ M<- i r + i r ' 5 r , * 4 V

, M 2 ,d ¡2 . . . . . M AV

( - L i h + M2) ^ = - M)

al sumar esta dos expresiones se tiene que,

(~ L : L2 + M 2) ^ - + ( - L 2 I4 + M 2) ^ = AV(L 2 - M) + AV(Lj - M)

( -L jL z + M 2) ( ^ - + ^ ) = AV(L 2 + Lj — 2M )

o tí/( - L jL 2 + M )( — ) = AV(L 2 + L, - 2M )

(,L,L 2 - M 2) rf/ rfJ (L iL 2 - M 2)" ( L 2 + L1 - 2 M ) l d í , _ A V _ - ^ l d fJ e" ~ (L2 + L, — 2M )

7 .7 .9 . C ircu ito LC p aralelo

Consideremos el circuito mostrado en la figura(7.19). (a) Cuando el interruptor se cierra, ¿como varía la corriente en el circuito para después de mucho tiempo de haber cerrado el interruptor?, (b) si después de estar por mucho tiempo el interruptor cerrado, este se abre ¿como varía la corriente en el circuito?.

S olu ción

1. Después de mucho tiempo de haber cerrado el interruptor, la corriente a través del capacitor es cero. El circuito RL que resulta, la corriente estaría dada por:

Figura 7.19: (a)circuito LC.

la constante de tiempo del circuito, r = L /R .

2 . Cuando se abre el interruptor s, la carga inicial es la maxima, Qo = Qm tante, la carga y la corriente son funciones armónica y están dadas por:

Q(0 = Q ocos(a;f) => /(f) = -a ;Q o sin(a;í)

. El circuito CL resul-

Unidades y constantes fundamentales

A.l. Unidades: Sistema Internacional (SI)

magnitud nombre sím bolo

Longitud metro mMasa kilogramo kgTiempo segundo sCarga eléctrica carga eléctrica CArea metro cuadrado m 2

Volumen metro cúbico m3

Temperatura kelvin KFuerza Newton NPresión pascal N/mDensidad densidad kg/m 3

Trabajo trabajo N- m

A.2. Constantes físicasconstante gravitacional permitividad dieléctrica del vació constante eléctrica constante de Planck constante de Boltzman carga eléctrica del electrón masa en reposo del electrón masa en reposo del protón masa en reposo del neutrón permeabilidad magnética del vació número de Avogadro constante de los gases velocidad de la luz en el vació unidad de masa atómica magneton de Bohr radio de Bohrlongitud de onda Compton aceleración de la gravedad terrestre masa de la tierra radio medio de la tierra periodo de la tierra

G 6,673 x 10_ n N • m2/k g 2<?o 8,854 x 10“ 1 2 C2 / N -m 2

k j j L = 8,987 x 109N -m 2/ C 2h = 2jrh 6,626 x 10“ 3 4 J- s

k 1,381 x 10-23//Ke - 1 ,6 0 2 x 1019C

me 9,11 x 1 0 - 3 1 Jt£mp 1,673 x 1 0 -27^me 1,675 x 10~27kgFo 4 7T x 10~7T • m /ANA 6,023 x 102 3 moléculas/molR 8,314//mol • KC 2,998 x 108 m/su 1,660 x 1 0 -27fcg

h „ — & llB — 2 m, 9,27 x 10- 24I / T

« 0 0,53 x 10“ 1 0

Ac 2,426 x 10~12m8 9.80 m/sM 5,98 x lO 1 4 kgr 6 ,3 7 x l0 6 mT 3,156x 107s

A.3. Constantes

A.3.1. Contantes numéricas

7T = 3,1415

e = 2 ,7182

In 2 = 0,6931

ln l0 = 2,3025

sin (30°) = cos(60°) = - = 0 ,5

/3sin(60°) = eos (30°) = ~ = 0,866

Æsin(45°) = cos(45°) = = 0,707

tan (60°) = V 3 = 1,7320 1

tan (30°) =V 3

A.3.2. Trabajo: Energía

1/(jou le) = 1N m = 107 erg

leV (electrovolt) = 1,602 x 10“ 19/

1 pie — libra = 1,356/

lfccaZ = lOOOcflZ = 4186/

\Btu(British therm al unit) = 1055/ = 0,252kcal

A.3.3. Presión

1 P a(pasca l) = 1 N /m = 10 d in /m

ltorr(m m H g ) = 133 ¿ N / m 2

l lb /p u lg 2(psi) = 6 ,895 x 103N /m 2

la tm (atm ó sfera ) = 1,013 x 105N /m 2

lb a r = l t f N / m 2

l k g f / c m 2 = 9,806 x 10i N /m 2

A.3.4. Unidades eléctricas y magnéticas

1 C (coulom b) = 6,242 x 10 e

lA (A m p ere) = lC /s = 6,242 x 101 8 e/s

1 S(siem ens) = \ A /V

1 T (Tesla) = l N / A - m

1 W b(W eber) = IV ■ s

1 Cl(ohm) = 1 V M

in • m = íoon • cm I S / m = 0,01S/cm

1 T = Wfe/m2

1 Wfc = 1 - m2 - kg- s ~ 2 • /l' 1

Trigonometría

B.l. Funciones trigométricas

Las funciones trigonométricas relacionan los lados de un triángulo rectángulo:

cateto opuesto al ángulo 9 a 1sin(0 ) = -----------£ ----------------- -------- = sec(0 ) =

hipotenusa c ' cos(0 )cateto adyacente al ángulo 9 b 1

cos(0 ) = ------------------------ 2 -= csc(0 ) = —------hipotenusa c ' sin(0 )

. . . cateto opuesto al ángulo 9 a . . . 1tan(0 ) = ----------- £- 5 -------- • cot(0 ) = ------ —

cateto adyacente b tan(0 )

B .l . l . R elacion es

sin(—9) = - sin(0) sin (7r — 0) = sin(0)c o s (-0 ) = cos(0) cos(7T — 9) = — cos(0)ta n (-0 ) = - tan(0) tan(7r — 9) = - tan(0)

1 = cos2(0) + sin2 ( 0 ) sec 2(0) = 1 + tan2 (0 )

sin(20) = 2sin (0) cos(0) ese2 9 = 1 + cot2 9

sin2 (0 ) = ^ [ 1 — cos(2 0 )] cos2 (0 ) = ^ [ 1 + c o s ( 2 0 )]

sin2[^] = i [ l - cos(0 )] cos(2 0 ) = cos2 (0 ) - sin2 (0 )

sin(ft ± P ) = sin (a) cos(/3) ± cos(a) sin(0) tan(20) = a

cos(a ± /3) = cos(a) eos(/3) sin(a) sin(/5) tan 9 / 2 =

tan(a) ± tan(/3)tan(a ± /3) =

1 — eos 6

1 + eos 6

1 — tan(a) tan(fi)

B.2. Geometría analítica

B.2.1. Ecuación de una recta

La ecuación de una recta con pendiente m, que pasa por el punto de coordenadas p(xo,yo).

y = y0 + m { x - x 0)

B.2.2. Ecuación de una circunferencia

La ecuación de una circunferencia de radio r, con centro el origen de coordenadas p(0,0).

x 2 + y2 = r2

B.2.3. Ecuación de una elipse

La ecuación de una elipse con semi ejes mayor a y semi eje mayor b, centro el origen de coordenadas y eje paralelos a los ejes de coordenadas.

x2 y27T + T T = 1

B.2.4. Ecuación de una parábola

La ecuación de una parábola con vértice en el origen de coordenada con el eje paralelo al eje de coordenadas y.

y = ax2

Ecuación de una parábola cuyo vértice se encuentra en y = b con el eje paralelo al eje de coordenadas

y-y --- ax2 + b

B.2.5. Desarrollos en series de potencias

(a + b)" = fl” + l f l " - 1 b + ,l(”2¡ 1 )a " - 2b2+

( 1 + x )n = 1 + n x + ” ”2¡ ^ x2 + ■■■

x2 x 3e* = \ + x + — + — + •■•

1 , 1 ,In ( 1 ± x) = ± x - - x 2 ± - x 3 -------

s in j: = x — — + g j - -

c o s x = \ - y + - £ - en radianes

B .2.6 . O p eracio n es con algo ritm os

x = ay -*• y = loga x

loglO = l ln« =

log(fib) = logfl + logb ln (^ ) =

logfl" = íilogfl h\e" =

>°g(^) = logfl + logb

1

— lnfl

n

Calculo diferencial e integral

C.I. Deriva de una función

Dadas dos fundones arbitrarias u(x) y v(x), presentamos algunas formulas de derivadas más empleadas en el desarrollo del texto.

m dldx m ál

dx

ax a sin u C0SU7Tx

ax2 ax eos u ”sin u 3*

ax" naxn~l tan u sec2 11 Tx

u(x) _ ,.-l dunu n cotw -CSC2 Uj¿

i r 1 1 du“ i? 3? see u sec u tanu^

eu CSC u — CSC U COt U j j

ln u i ÚR u dx sin-1 u 1 du\ Z \ -u 2

eos- 1 u 1 du V T ^ d x

tan-1 u

C.2. Integrales indefinidas

/ " ' - i Í T T P, ” n í ' 1

f(u + v)dx = J udx + jvdx Jx \/a2 - x2dx = - (x2 ± x2)3nJ udv = uv — J vdu J eaxdx = -eax

/ Y = klJC J \naxdx = (xk\ax) - xf dxu — \ ln(a + bx) f ---- —____ xJ a + bx b J (x2 + fl2)3/2- a2^2^2í dx = 1 f xdxJ (a + bx)2 b(a + bx) J

■ + x2= - tan -

1

( a :2 + « 2) 3/2 v ^ 2 ^ 2r dx

J áf dx _ 1 fl + S , d;c J

J a2 - x 2 2a a - x J

í ^ 7 = M « 2 ± * * ) í dx - fJ a 2 ± x 2 2 J ^ l i = —a co iax

J v f e = SÍn_1 « = ~ C0S_1 í (fl2 - > °> / = - i ln(oos(«x))

/ vPTP = ^ + V'*2±fl2) J tan(ax)dx = 1 ln(sec(ax))f xdx - = _ y ¡ r r ^

J Va2 — x2

f y/a2 - *2dx = i ( x \/fl2 - x2 -M 2 sin-1 - )y 2

. ó— = - tan ax su r aje fl

C.3. Integrales de probabilidad

I o - r e - * d x = \ J EJo 2 V a

/ , - r ^ x - 1•/o 2a

/2 = r x2^ d x = d- h = i . [ EJo da 4 V #3

C.4. Operador Laplaciano (v2) del potencial eléctrico VEl operador Laplaciano representa la divergencia del gradiente de potencial

1. En coordenadas rectangulares :

^ V = v v V = { rx t + ^ j + - k ) . ( - i + - ^ , + - k )

vz = v • vV = —- £

= *7 . T7V = — —

2. En coordenadas cilindricas:

V2V = I 2 (r!K) + lüiX + ÜZrd r dr r2 dqP- dz2

3. En coordenadas esféricas:

Bibliografía

[1] ELECTROMAGNETISMO, volume II. CAMPOS Y ONDAS. ADDISON-WESLEY IBEROAMERICANA, Editorial McGraw-Hill LATINOAMERICANA S:A. Bogotá Colombia., 1985.

[2] ELECTROMAGNETISMO. SERIE SCHAUM-MCGRAW HILL, Editorial McGraw-Hill LATINOAMERICANA S:A. Bogotá Colombia., 1990.

[3] FISICA PARA CIENCIAS E INGENIERÍA, volume 2 . HARLA S.A, MÉXICO, ANTONIO CASO 142,06470, MÉXICO, 1990.

[4] FISICA: Clásica y Moderna. McGRAW HILL, 1991.

[5] FISICA: PARA CIENCIAS E INGENIERIA, volume H. PRENTICE-HALL HISPANOAMERICA- NA.S.A., Enrique Jacobo 20, col. el Conde. 53500 Naucalpan de Juárez, Edo. de México, 1994.

[6] FISICA: Principios con aplicaciones, volume TERCERA EDICIÓN. PRENTICE-HALL HISPANOAMERICANA,S.A, Enrique Jacobo 20, col. el Conde. 53500 Naucalpan de Juárez, Edo. de México, 1994.

[7] FISICA, volume TOMO II, CUARTA EDICIÓN. McGRAW W-HILLINTERAMERICANA EDITORES, S.A. DE C.V., Cedro No 512, Col. Atlampa. 06450 MÉXICO, D.F, 1996.

[8] FÍSICA: La naturaleza de las cosas, volume DOS. INTERNATIONAL THOMSON EDITORES, S.A de C.V, SÉNECA 53, COLONIA POLANCO11560, MÉXICO, 1999.

[9 ] FISICA UNIVERSITARIA, volume 2. UNDÉCIMA EDICIÓN. PEARSON EDUCACIÓN, ATLA- COMULCO 500,5 PISO, MÉXICO, 2004.

[101 FISICA, volume II. TERCERA EDICIÓN. CAMPAÑA EDITORIAL CONTINENTAL,S.A, CALZ. DE TLALPAN NUM.4620,MEXICO 22, D.F., SEPT. 1984.

índice alfabético

A,anillo

semianillo, 64 anillo cargado, 16 armónico, 173 átomo

de Bohr, 157 de hidrógeno, 8,124 modelo, 44

B,bobina

de Helmhotz, 155 rotando, 177 toroide, 174

c,campo

no uniforme magnético, 134 campo eléctrico

anillo, 16,19,21,63 cilindro, 27 densidad de carga, 28 dipolo eléctrico, 29 disco delgado, 48 estático, 5globo electrostático, 35 hilo, 18 lámina, 49 modelo atómico, 44 no estático, 172plano suficientemente largo, 35 rodaja esférica, 50 semi cascarón, 25,64 varilla, 33

capacitoracople de, 82 coaxial, 78 con dieléctrico, 85 esférico, 79placas no paralelas, 80 placas planas, 77

cargaesférica, 42

carga eléctrica, 1 en un tazón, 9

cascarón esférico, 66 circuito

DC, 104 LC, 183LC paralelo, 191 LR, 186 LRC, 188 RC, 109,111,117

coordenadas polares, 14,16 corriente

variable en el tiempo, 172

D,densidad

de cargas variable, 66,67 dipolo

coordenadas polares, 72 eléctrico, 14 enería de un, 71 inmerso en un campo, 31 magnético, 121 oscilaciones, 32

E,ecuación

de estado, 77 de Laplace, 58 de Poisson, 58 ,74,75

efectoHall, 134 Joule, 103,168

electrón en movimiento, 12 energía

campo magnético, 185cascarón esférico, 66de un dipolo en un campo, 71efecto Joule, 187en un capacitor, 81,90,112en una distribución de carga, 61magnética en un inductor, 187potencial, 53,102trabajo, 194

flujoatravés de un cubo, 41 de campo magnético, 158 eléctrico, 39 ley de Gauss, 40

fuerza

centrípeta, 126conservativa, 53,57de Lorentz, 130,171elástica, 90,128eléctrica, 1,119electromotriz, 102gravitacional, 1,129línea de, 77magnética, 119magnética, 1,119,168magnética sobre un conductor, 122momento d e , 123nuclear, 1sobre un dieléctrico, 90

funciónarmónica, 177de la corriente con el tiempo, 184 de la corriente creciente, 187 de la resistencia con la temperatura, 96 del campo magnético con la distancia, 162 lineal, 80trigonométrica, 195

funciones, 188

Gaussley para el campo eléctrico, 39 Ley para el magnetismo, 121 superficies Gaussiana, 42

geometriaanalítica, 196

HaUefecto, 125

inducción, 167 bobina, 173fem de movimiento, 167 ley de Faraday, 167 Ley de Lenz, 167 toroide, 174

inductanciaacople de, 181 autoinductancia, 179 equivalente, 190 motores generadores, 176 mutua, 179,182

intensidadde campo máxima, 142 de campo magnético, 126 de corriente, 93

J,Joule efecto, 103,187

Kelvin temperatura, 96

L,ley

Ampere-Maxwell, 166 de Biot-Savart, 137 de Faraday, 167 de Kirchhoff, 103 de Lenz, 167conservación de la energía, 11 conservación de la energía, 71 de Ampere, 131,162 de Coulomb, 2 de Gauss, 121,131 de Kirchhoff, 184 de Ohm, 93,94

M,modelo

átomo de hidrógeno, 8 de Drude, 98

momentode fuerza, 133 de dipolo, 15,72 de fuerza, 32 de torsión, 133

movimientoarmónico, 21 ,32 ,49,50 periódico, 19

N,

O ,oscilación, 184,185 oscilaciones

amortiguada, 188 oscilaciones armónicas, 184

p,péndulo, 10 permisividad, 78 piezoeléctrico, 2 potencial

de ruptura, 88densidad de carga constante, 69 densidad de carga variable, 68 gotas cargadas, 61

potencial eléctrico, 54

Q, R ,resistencia

alambre coaxial, 100 circuito, 177 circuitos, 97 conductor, 168 cuña, 101

de tetraedro de resistores, 114 Joule, 168red de resistores, 107

s,solenoide, 163,164

inducción, 179 superficie plana, 68 superficies equipotenciales, 60

T,tabla

derivadas, 199 integrales, 200 logaritmos, 197 magnitudes físicas, 1

toroideinducción, 180

trabajoenergía potencial, 53

v,velocidad

de deriva, 110 de deriva, 98

ELECTROMAGNETISMO PARA INGENIERÍAS

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