Matemáticas básicas para Ingenierías

EDITORIALUNIVERSITAT POLITÈCNICA DE VALÈNCIA

MAT

EMÁT

ICA

S BÁ

SICA

S PA

RA

INGE

NIE

RÍA

S. E

JER

CICI

OS

RES

UEL

TOS

MATEMÁTICAS BÁSICASPARA INGENIERÍASEJERCICIOS RESUELTOS

MATEMÁTICAS BÁSICAS PARA INGENIERÍASEJERCICIOS RESUELTOS

| Lucía Agud Albesa | Margarita Mora Carbonell

Este libro pretende ser un puente entre los estudios pre-universitarios y los pri-meros cursos de grados de ingeniería. Su principal objetivo es afianzar las bases matemáticas necesarias para llevar a buen término los estudios universitarios.

La dinámica del texto consiste en la presentación de los conceptos teóricos que se necesitan para la resolución de ejercicios, para posteriormente abordar todos los contenidos desde la exposición de ejemplos desarrollados con todos los pasos, indicaciones, explicaciones y justificación de cada uno de los cálculos.

Los ejemplos se presentan por grado de complejidad y acorde a cada una de las secciones donde están inmersos, en ellos además de detallarse todos los pasos a seguir, entre los cálculos se insiste en los errores más comunes que se suelen cometer. Cada capítulo finaliza con una sección de ejercicios resueltos, donde ya están mezclados tanto en cuanto a dificultad como a utilización de distintas herramientas ya vistas en ese capítulo o en anteriores.

| Lucía Agud Albesa | Margarita Mora Carbonell

MAT

EMÁT

ICA

S

EDITORIAL

EDITORIAL

UPVUPVColección Punto de Partida

A través de estos manuales, la UPV quiere fortalecer los conocimientos sobre materias básicas que los alum-nos de nuevo ingreso deben dominar para cursar las asignaturas regladas. Con este objetivo, se presenta esta colección en la que se sintetizará teo-ría y práctica, para cualquiera de las materias que forman los planes de estudio universitarios y con las que el estudiante podrá reforzar el segui-miento de las mismas.

Lucía Agud AlbesaLicenciada en Ciencias Matemáticas por la Universidad de Zaragoza (1989-1994) y premio extraordinario García de Galdeano. Posee un Máster Universitario en Investi-gación matemática y el título propio de Especialista en Pedagogía Universitaria, ambos de la UPV.

Profesora de Secundaria y B.U.P. de Ma-temáticas e Informática en el colegio de Santa Ana (Zaragoza, 1994-2000). En el 2000 ejerció como profesora del departa-mento de Matemática Aplicada en la Uni-versidad de Zaragoza, para ingresar en el 2001 como profesora de Matemática Apli-cada en la UPV hasta el día de hoy, donde actualmente continúa en la categoría de Contratado Doctor.

Doctora en Matemáticas por la Univer-sidad de Zaragoza dentro del tema de Transformada Wavelet y Análisis Multirre-solución. En la actualidad pertenece al gru-po de investigación de Análisis Funcional y medidas vectoriales de la UPV. Ha sido subdirectora de Cultura y Deportes del Campus de Alcoy y Directora del colegio mayor Ovidi Montllor. Tiene publicados otros libros docentes, sobre Análisis ma-temático en Derive y de Matlab para inge-nierías.

Margarita Mora CarbonellLicenciada en Ciencias Matemáticas por la Universidad Autónoma de Madrid (1988). Actualmente es Titular de Universidad del Área de Matemática Aplicada en la UPV.

Su labor docente abarca más de 25 años en el departamento de Matemática Apli-cada de la UPV desde 1988, en la Escuela Politécnica Superior de Alcoy, en la que ha desempeñado además los cargos de Sub-directora de Investigación y Directora del Colegio Mayor Ovidi Montllor.

Doctora en Matemáticas por la UPV en 2009 en el campo de la segmentación de señales electrocardiográficas bajo el empleo de la Transformada Wavelet y el Análisis Multirresolución. Actualmente desempeña su labor investigadora como miembro del Grupo de Procesos de Oxida-ción Avanzada del departamento Ditexpa/UPV en el marco de la optimización de modelos y tratamiento de datos Multiva-riables. Ha trabajado en 5 proyectos de investigación, subvencionados tanto por organismos internacionales y nacionales. En la actualidad es investigador principal (IP) en un Proyecto para Grupos Emergen-tes (GV/2015/074). VVV

UPVpuntodepartida

VVVUPV

puntodepartida

UPVUPV

ED |

UPV

9 788490 482926

9 788490 482926

EDITORIALUNIVERSITAT POLITÈCNICA DE VALÈNCIA

Matemáticas básicas para Ingenierías

Ejercicios resueltos

Lucía Agud Albesa

Margarita Mora Carbonell

Colección Punto de Partida

Para referenciar esta publicación utilice la siguiente cita: AGUD ALBESA, L., MORA CARBONELL, M. (2016). Matemáticas básicas para ingenierías. Ejercicios resueltos. Valencia: Universitat Politècnica de València

Los contenidos de esta publicación han sido revisados por el Departamento de Matemática Aplicada de la Universitat Politécnica de València

© Lucía Agud Albesa Margarita Mora Carbonell

© 2016, Editorial Universitat Politècnica de València distribución: Telf.: 963 877 012 / www.lalibreria.upv.es / Ref.: 0550_03_01_04

Imprime: Byprint Percom, sl

ISBN: 978-84-9048-548-4 Impreso bajo demanda

La Editorial UPV autoriza la reproducción, traducción y difusión parcial de la presente publicación con fines científicos, educativos y de investigación que no sean comerciales ni de lucro, siempre que se identifique y se reconozca debidamente a la Editorial UPV, la publicación y los autores. La autorización para reproducir, difundir o traducir el presente estudio, o compilar o crear obras derivadas del mismo en cualquier forma, con fines comerciales/lucrativos o sin ánimo de lucro, deberá solicitarse por escrito al correo [email protected].

Impreso en España

Resumen

Este libro pretende ser un puente entre los estudios pre-universitarios y primeroscursos de grados de ingeniería. A lo largo de nuestra labor docente como profe-soras de primeros cursos en Grados de Ingeniería hemos podido constatar que elalumno universitario no siempre se encuentra en condiciones de abordar con éxitolas asignaturas de matemáticas. El principal objetivo de este libro es, por tanto,afianzar las bases matemáticas necesarias para llevar los estudios cursados a buentérmino.

Las matemáticas para ser entendidas tienen que ser escuchadas, de ahí, que a lahora de presentar una definición, una propiedad, un teorema, se intente dar unaidea intuitiva del mismo, todo ello sin perder el rigor y la notación científica nece-sarias. Se analizan todos los aspectos del cálculo de una variable que un estudiantedebe precisar, conocer, manejar con habilidad y destreza, de cara a poder finalizarsus estudios con éxito.

El libro no contiene demostraciones, ese aspecto queda fuera de nuestro objetivo,sino más bien presenta un manual recopilatorio de las matemáticas básicas que elestudiante precisa en su nueva etapa. La dinámica del texto consiste en la presen-tación de los conceptos teóricos que se necesitan para la resolución de ejercicios,para posteriormente abordar todos los contenidos desde la exposición de ejem-plos desarrollados con todos los pasos, indicaciones, explicaciones y justificaciónde cada uno de los cálculos.

Los ejemplos se presentan por grado de complejidad y acorde a cada una de lassecciones donde están inmersos, en ellos además de detallarse todos los pasos a se-guir, entre los cálculos se insiste en los errores más comunes que se suelen cometer.Si el alumno procede de bachillerato este libro le permitirá asegurar muchos delos conceptos que ya conoce y estará en condiciones de saltarse la parte introduc-toria del capítulo para acceder a los ejemplos más complicados; ahora bien, si elalumno procede de módulo formativo es aconsejable que empiece cada capítulo porel principio. Cada capítulo finaliza con una sección de ejercicios resueltos, dondeya están mezclados tanto en cuanto a dificultad como a utilización de distintasherramientas ya vistas en ese capítulo o en anteriores.

iii

Es un placer expresar nuestro agradecimiento a todos aquellos compañeros que trasaños de trabajo han compartido con nosotras su experiencia en la dificultad de losalumnos de primer curso. Con ellos hemos compartido horas de café comentandolas anécdotas de errores repetitivos y carencia de cálculo en las operaciones, estelibro surge principalmente por esa necesidad que un gran número de alumnos deprimer curso precisa. Esperamos que sirva de ayuda.

iv

Índice general

Resumen iii

Índice general v

1 Los números reales. Operaciones elementales. Los números com-plejos 1

1.1 El conjunto de los números reales: R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Algunas propiedades de los números reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.2 El valor absoluto de un número real y sus propiedades . . . . . . . . . . . . . 7

1.2 Igualdades notables y fórmulas importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2.1 Identidades notables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2.2 Fórmula ciclotómica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2.3 Binomio de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3 Fracciones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.3.1 Factorización de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.3.2 Cálculo de las raíces enteras de un polinomio: Método de Ruffini . . . . . . 17

1.3.3 Operaciones con fracciones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.4 Radicales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.4.1 Operaciones con radicales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.4.2 Racionalización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1.4.3 Ecuaciones irracionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

1.5 Los números complejos, C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

1.5.1 Operaciones con números complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

1.5.2 Conjugado de un número complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

v

Índice general

1.5.3 Módulo y argumento. Forma trigonométrica y forma polar . . . . . . . . . . 46

1.5.4 La forma exponencial. Fórmula de Euler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

1.5.5 Raíces n-ésimas de un número complejo.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

1.6 Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

2 Funciones reales de variable real 772.1 Introducción. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

2.2 Dominios de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

2.3 Algunas de las funciones más importantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

2.3.1 Función exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

2.3.2 Función logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

2.3.3 Funciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

2.3.4 Funciones hiperbólicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

2.4 Límites de funciones. Cálculo de asíntotas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

2.4.1 Límites en el infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

2.4.2 Límites en un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

2.4.3 Cálculo de asíntotas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

2.5 Continuidad de funciones reales de una variable real. . . . . . . . . . . . . . . . 158

2.5.1 Tipos de discontinuidades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

2.5.2 Funciones continuas: ejemplos y operaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

2.5.3 Teoremas importantes de continuidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168


3 Derivada de una función real de variable real 1773.1 El concepto de derivada. Tasa de cambio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

3.2 Derivada de una función en un punto x = a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

3.3 La función derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

3.3.1 Tabla de derivadas de funciones elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

3.3.2 Reglas de derivación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

3.3.3 Interpretación geométrica de la derivada. Ecuación de la recta tangente . . 186

3.4 Derivadas laterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

3.4.1 Derivada de la función compuesta. Regla de la cadena . . . . . . . . . . . . . 194

3.5 Regla de L’Hôpital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

3.6 Crecimiento-Decrecimiento de una función. Máximos y mínimos relativos . 199

3.6.1 Crecimiento-Decrecimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199vi

Índice general

3.6.2 Extremos relativos: Máximos y mínimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

3.6.3 Problemas de Optimización. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

3.6.4 Concavidad-convexidad. Puntos de Inflexión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214


4 Integral de una función 2314.1 Primitiva de una función. Integral indefinida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

4.2 Métodos de integración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

4.2.1 Integración por sustitución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

4.2.2 Integración por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

4.2.3 Integración de funciones racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

4.3 Integral definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

4.3.1 Propiedades de la integral definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257


vii

Bibliografía 267

Índice alfabético 269

Capítulo 1

Los números reales. Operacioneselementales. Los números complejos

En este capítulo se estudiarán las propiedades más importantes ybásicas de los números reales y complejos que el lector debe conocer,siempre desde el punto de vista práctico mediante la resolución de ejer-cicios. La sección 1.1 se centra en definir y trabajar con intervalos,manipular desigualdades de números reales y la definición y manejodel valor absoluto de un número real. El capítulo finaliza con la sec-ción 1.5 que estudia el conjunto de números complejos, introduciendosu necesidad y desarrollando ejemplos de las operaciones y propiedadesmás importantes de los mismos. En la subsección 1.5.3 se recomien-da repasar las funciones trigonométricas que se han desarrollado en elCapítulo 2 concretamente en la subsección 2.3.3 de este mismo libro.

1.1 El conjunto de los números reales: R

El primer conjunto de números con el que se trabaja es el de los Números Naturales,N, que viene definido de forma axiomática con los llamados Axiomas de Peano.Su descripción matemática vendría dada por:

N := {1, 2, 3, 4, . . .}

Si a los números conocidos se le añade el signo y el número 0, se tiene el conjuntode los Números Enteros, Z, definido por:

1

Capítulo 1. Los números reales. Operaciones elementales. Los números complejos

Z := {· · · ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, · · · } = −N ∪ {0} ∪ N

evidentemente por definición, los números naturales están contenidos en los núme-ros enteros, N ⊂ Z.

La necesidad de poder realizar las operaciones conocidas como suma, resta, mul-tiplicación y división fueron dando lugar a introducir otro nuevo conjunto de nú-meros, los Números Racionales, o aquellos que pueden ser expresados medianteuna fracción, y que son denotados por Q. Se entiende que cuando se habla de unnúmero racional es un conjunto que incluye una fracción y todas sus fraccionesequivalentes. De nuevo se verifica que N ⊂ Z ⊂ Q.

Pero ya desde tiempos de Pitágoras se descubrió que no todos los números puedenser expresados mediante un fracción. Números tan importantes como π,

√2, e,

etc., no pertenecerían a este conjunto, surgiendo así el conjunto de los NúmerosIrracionales, al que se llamará I.

La unión de estos dos conjuntos dan lugar al conjunto de los Números Reales, R,de forma que: R = Q ∪ I. Y por lo tanto, las relaciones de contenido o inclusiónque se tienen son:

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R

Para los números reales también existe una definición axiomática, (ver ross) perocomo la idea de este manual no es tanto el desarrollo teórico de los conceptos, sinosu aplicación y manipulación mediante ejercicios resueltos, se destacarán aquí laspropiedades más importantes que surgirán en los ejercicios que a continuación seirán mostrando. Aún así se considera oportuno recordar los axiomas, en cuanto aleyes de cálculo que conviene tener en cuenta,

Axiomas de Álgebra:

Axioma 1 (Leyes Conmutativas) x+ y = y + x, xy = yx

Axioma 2 (Leyes asociativas) x+ (y + z) = (x+ y) + z, x(yz) = (xy)z

Axioma 3 (Ley distributiva) x(y + z) = xy + xz

Axioma 4 (Elemento neutro de la suma) Dados x, y ∈ R existe z ∈ R tal quex + z = y. Se denota z = y − x. El elemento x − x es denotado por 0. Sepuede demostrar que 0 no depende de la elección de x ∈ R.

2


Axioma 5 (Elemento inverso del producto) Si x, y ∈ R y x 6= 0 entonces existez ∈ R tal que xz = y. Se denota z = y

x . El elemento xx es denotado por 1. Se

puede demostrar que 1 no depende de la elección de x ∈ R.

Axiomas de Orden:

Axioma 6 Se verifica una, y sólo una, de las relaciones x = y, x < y o x > y

Axioma 7 Si x < y, entonces, para cada z ∈ R, x+ z < y + z

Axioma 8 Si x > 0 e y > 0 entonces x+ y > 0, xy > 0

Axioma 9 Si x > y e y > z entonces x > z

1.1.1 Algunas propiedades de los números reales

La representación gráfica de los números reales es la recta real. Si dentro de ellase quieren indicar subconjuntos formados por números reales, estos son los inter-valos. De forma que un intervalo I es el conjunto formado por todos los númerosreales comprendidos entre dos elementos dados, que reciben el nombre de extremosdel intervalo. Por la propiedad de los números reales conocida como Densidad delos números reales, se sabe que dados dos números reales cualesquiera, siempreexisten infinitos números reales entre ellos. Matemáticamente se escribiría, dadosa, c ∈ I, ∃b ∈ I tal que a < b < c.

Existen distintos tipos de intervalos según sus extremos. Además pueden ser inter-valos acotados, es decir, sus extremos son números reales, o intervalos no acotados,cuando al menos uno de sus extremos es infinito:

Intervalo abierto acotado: se denota I =]a, b[ o también I = (a, b) y se definecomo todos los números reales comprendidos entre a y b sin incluir a estos.Es decir:

]a, b[:= {x ∈ R : a < x < b}

Intervalo cerrado: denotado por I = [a, b], en este caso comprende a todos losnúmeros reales entre a y b, incluidos a y b:

[a, b] := {x ∈ R : a ≤ x ≤ b}

Intervalo semiabierto acotado: los hay de dos tipos:

]a, b] := {x ∈ R : a < x ≤ b}, [a, b[:= {x ∈ R : a ≤ x < b}3


Intervalos no acotados: siempre deben ser abiertos por el extremo que sea in-finito. Por tanto, se tienen cuatro posibilidades dependiendo de si uno de losextremos es un número real:

]a,∞[ := {x ∈ R : x > a}, [a,∞[:= {x ∈ R : x ≥ a}]−∞, b[ := {x ∈ R : x < b}, ]−∞, b] := {x ∈ R : x ≤ b}

y finalmente, el intervalo no acotado ]−∞,∞[= R.

Cabe destacar el concepto de Recta real ampliada, que se denota como R =R∪{−∞,∞}. Es decir, los conceptos de ±∞ son elementos de este conjunto. Estenuevo conjunto es muy adecuado en el caso de que se quiera indicar, por ejemplo,que el resultado a de una operación puede ser tanto un número real como infinito,lo que se expresaría como: a ∈ R.

Los intervalos son necesarios cuando se quiere resolver inecuaciones, o desigual-dades, para indicar los conjuntos donde se encuentran las soluciones. A continua-ción, se detallan las propiedades operacionales más importantes para trabajar coninecuaciones y que están relacionados con los Axiomas de orden antes expuestos.Sean x, y, a, b ∈ R:

1. Si x < y, entonces x + a < y + a. La misma propiedad se verifica si ladesigualdad no es estricta (si x ≤ y, entonces x+ a ≤ y + a).

2. Si x < y, a > 0, entonces ax < ay. Sin embargo, si a < 0, entonces ladesigualdad cambia, ax > ay.

Dicho de otra forma, dada una desigualdad, se puede sumar o restar la mismacantidad a ambos lados sin que la desigualdad cambie. Y lo mismo ocurre si semultiplica, o divide, por una misma cantidad ambos miembros, siempre que es-ta cantidad sea positiva. Si la cantidad es negativa, simplemente el símbolo dela desigualdad cambia de orden. Por lo tanto, las inecuaciones pueden operarsede forma análoga a las ecuaciones teniendo en cuenta siempre el símbolo de ladesigualdad.

Para una mejor comprensión de cómo manejar las desigualdades, se presenta elsiguiente ejemplo con polinomios de grado 1. Más adelante cuando se haya tra-tado la descomposición factorial de polinomios en la subsección 1.3.1 se trataránproblemas de inecuaciones con polinomios de grado superior ya en la sección 1.6.

Ejemplo 1.1.1 Resolver las siguientes desigualdades:

a) − 5x+ 2 < 11x− 3 b)− 2 < x+ 5 ≤ 7 c) 3x− 5 ≤ −5x+ 6 < x− 1

4


Para resolver este ejemplo basta usar las propiedades citadas anteriormente. Setrabaja como en las ecuaciones, despejando la variable incógnita, x, de los polino-mios de grado 1. Para ello, se agrupan las variables en un miembro y los términosindependientes en el otro; lo que suma pasa restando y lo que resta, sumando.

a) Esta primera desigualdad, −5x+ 2 < 11x− 3, es muy sencilla, así sirve parapracticar las reglas descritas.

−5x+ 2 < 11x− 3 ⇐⇒ −5x− 11x < −3− 2 ⇐⇒ −16x < −5

Si ahora se despeja, teniendo en cuenta el cambio en la desigualdad pordividir por un número negativo, se tiene

x>−5

−16⇐⇒ x >

5

16

Con lo que la solución es el intervalo

x ∈]5

16,∞[.

Hay que notar que como la variable tiene coeficiente negativo, para despejarlaha habido que dividir ambos miembros por −16, que al ser negativo ha hechoque la desigualdad cambie de símbolo de orden.

Otra forma de hacerlo, y quitarse de encima el tema de dividir por unacantidad negativa, es pasar las x al miembro donde se vea que el coeficienteva a quedar positivo, en este caso, el segundo. Es decir:

−5x+ 2 < 11x− 3 ⇐⇒ 5 < 16x ⇐⇒ 5

16< x

obteniendo mismo resultado.

b) Para resolver −2 < x + 5 ≤ 7, como sólo se tiene la variable en el miembrocentral, se pueden operar las desigualdades todas a la vez. La idea, al igualque en las ecuaciones, es despejar la incógnita, para ello se resta 5 en todoslos miembros:

−2 < x+ 5 ≤ 7 ⇐⇒ −2− 5 < x ≤ 7− 5 ⇐⇒ −7 < x ≤ 2

Y ya se tiene el resultado final:

5


x ∈]− 7, 2]

c) En este apartado ha de resolverse una inecuación con tres miembros, 3x−5 ≤−5x+ 6 < x− 1.

Si se puede, es bueno intentar resolverla en un sólo paso como en el caso ante-rior, siempre que quede la variable aislada en uno cualquiera de los miembrosde la desigualdad, pasando las variables al miembro adecuado. Pero en es-te ejercicio no se puede, ya que para que desaparezca, por ejemplo, 3x delprimer miembro, debe restarse 3x en todos los miembros, pero aún así lavariable seguiría estando en el segundo y tercer miembro.

Cuando ocurra esto, simplemente hay que trabajar por separado las dosdesigualdades que aparecen unidas, y luego hacer la intersección de las solu-ciones, ya que deben cumplirse todas las condiciones.

Por lo tanto, se harán dos pasos. Primero resolver, por ejemplo, −5x+ 6 <x− 1. Y después se resuelve la que quede, en este caso 3x− 5 ≤ −5x+ 6. Esdecir, resolver el sistema formado por:

−5x+ 6 < x− 13x− 5 ≤ −5x+ 6

}

Obsérvese que la desigualdad en un caso es estricta (es decir, dará un inter-valo abierto). Y en el otro caso habrá que considerar el extremo.

• −5x+ 6 < x− 1

Se llevarán las variables, por ejemplo, al segundo miembro, para que asíqueden con coeficiente positivo (recordar que esta operación es equiva-lente a sumar en ambos miembros 5x, así ’desaparece’ del miembro enel que está). Si se quieren dejar en el primer miembro por comodidadtampoco pasa nada. Simplemente después, al despejarla, como tendrácoeficiente negativo, no hay que olvidarse de cambiar el símbolo de ladesigualdad.

7 < 6x ⇐⇒ 7

6< x ⇐⇒ x ∈ S1 =]

7

6,∞[

• Ahora se resuelve la otra desigualdad, 3x − 5 ≤ −5x + 6. Pasando alprimer miembro las variables y al segundo los términos independientes,se tiene:

6


8x ≤ 11 ⇐⇒ x ≤ 11

8⇐⇒ x ∈ S2 =]−∞, 11

8]

• Se juntan ambas soluciones realizando la intersección:

x ∈ S =]−∞, 11

8]∩]

7

6,∞[

Para calcular esta intersección, como 118 > 7

6 , (al realizar los productoscruzados 11 ·6 > 8 ·7 pues 66 > 56; otra forma de comprobar esto es po-ner común denominador en ambas y quedarse con la que dé numeradormayor), la intersección será:

x ∈ S =]7

6,

11

8]

Si se representan gráficamente todas las soluciones, calcular la intersec-ción es sombrear cada una de las soluciones y quedarse con el trozo queesté coloreado en todas las ocasiones:

Figura 1.1: Cálculo de la intersección de las soluciones, S1 de color rojo, S2 de colorverde y la intersección S de color azul �

1.1.2 El valor absoluto de un número real y sus propiedades

El valor absoluto de un número real x se define como

|x| ={x si x ≥ 0−x si x < 0

Se pueden comprobar fácilmente las siguientes equivalencias. Para cada x ∈ R yb > 0

|x| ≤ b⇔ −b ≤ x ≤ b⇔ x ∈ [−b, b] (1.1)

|x| ≥ b⇔ ↗↘

x ≥ b

x ≤ −b⇔ x ∈]−∞,−b] ∪ [b,+∞[ (1.2)

7


Es importante destacar que en el caso de que las desigualdades anteriores seanestrictas, los intervalos que se obtienen serán abiertos.

Estas propiedades se utilizarán para quitar de las desigualdades el valor absolutosiempre que sea posible. En otras ocasiones, como cuando aparezcan sumas o restasde valores absolutos, no pueden aplicarse directamente, así que habrá que recurrira la definición.

Recordar al lector que la propiedad que se tiene para la suma de valores absolutoses la conocida Desigualdad triangular (la primera de las dos desigualdades queindicamos a continuación):

|x+ y| ≤ |x|+ |y||x− y| ≥

∣∣|x| − |y|∣∣aunque su uso no será objeto de los ejemplos aquí expuestos.

El primer paso para aplicar estas equivalencias, será aislar el valor absoluto en unode los miembros de la desigualdad. Desde ahí, ya podrán ser aplicadas.

A continuación se muestra un ejemplo de aplicación directa de las propiedadesvistas en la Ecuación 1.1 y en la Ecuación 1.2.

Ejemplo 1.1.2 Resolver las siguientes inecuaciones de valor absoluto

1. |2x+ 1| < 5

2. |3− 4x| ≥ 6

Para resolver el ejercicio, hay que fijarse en cuál de las dos ecuaciones se debeaplicar.

1. |2x+ 1| < 5. En este caso procede el uso de la Ecuación 1.1,

−5 < 2x+ 1 < 5 ⇔ −5− 1 < 2x < 5− 1⇔ −6 < 2x < 4× 1

2⇔ −3 < x < 2⇔ x ∈]− 3, 2[

2. |3− 4x| ≥ 6. En este caso la ecuación que corresponde es la 1.2,

|3− 4x| ≥ 6 ⇔ ↗↘

3− 4x ≥ 6

3− 4x ≤ −6⇔ ↗↘

3− 6 ≥ 4x

3 + 6 ≤ 4x⇔ ↗↘

−34 ≥ x

94 ≤ x

⇔ x ∈]−∞, −34 ] ∪ [ 94 ,+∞[

�8

1.2 Igualdades notables y fórmulas importantes


Se recordarán aquí primero las identidades notables más básicas y se efectuaránejemplos de su aplicación. También se verá la fórmula ciclotómica, muy interesantea la hora de factorizar polinomios; y el binomio de Newton, cuya utilidad tanto enestadística, combinatoria como en cálculos elementales, es primordial. Si el lectorrequiere recordar conceptos básicos de aritmética y álgebra puede revisar el textobiblia

1.2.1 Identidades notables

Las identidades notables más importantes y que aparecen con mayor frecuenciason

Cuadrado de una suma(a+ b)2 = a2 + 2ab+ b2 (1.3)

Cuadrado de una diferencia(a− b)2 = a2 − 2ab+ b2 (1.4)

Suma por diferencia(a+ b)(a− b) = a2 − b2 (1.5)

Cubo de una suma(a+ b)3 = a3 + 3a2b+ 3ab2 + b3 (1.6)

Cubo de una diferencia(a− b)3 = a3 − 3a2b+ 3ab2 − b3 (1.7)

Aunque estas son las más conocidas es conveniente tener en cuenta algunas másque pueden ser obtenidas fácilmente a partir de las anteriores. Por ejemplo, se de-talla aquí el cuadrado de un trinomio (tres términos), y que se puede generalizara cualquier número de sumandos. Se va a ilustrar el proceso de obtención del cua-drado de un trinomio y luego ya se concluirá con la fórmula y sus generalizaciones.

Ejemplo 1.2.1 Obtener el resultado de (a+ b+ c)2.

Se aplicará la Ecuación 1.3, la propiedad asociativa de la suma y la distributivadel producto con respecto la suma

(a+ b+ c)2 = [(a+ b) + c]2(1.3)= (a+ b)2 + 2(a+ b)c+ c2

(1.3)= a2 + 2ab+ b2 + 2ac+ 2bc+ c2

9


Reordenado los términos, se tiene la fórmula final para el cuadrado de un trinomio

(a+ b+ c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab+ 2ac+ 2bc

Notar que aparecen todos los cuadrados de cada sumando y todos los posiblesdobles productos sumándose. �

Ejemplo 1.2.2 Obtener el resultado de (a+ b− c)2.

Se aplicará la Ecuación 1.4, también la Ecuación 1.3, la propiedad asociativa dela suma y la distributiva del producto con respecto la suma

(a+ b− c)2 = [(a+ b)− c]2 (1.4)= (a+ b)2 − 2(a+ b)c+ c2

(1.3)= a2 + 2ab+ b2 − 2ac− 2bc+ c2


(a+ b− c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab− 2ac− 2bc

Igualmente aparecen todos los cuadrados de cada sumando y todos los posiblesdobles productos, pero aquellos donde interviene el sumando con signo ’−’ aparecenrestando. �

Ejemplo 1.2.3 Obtener el resultado de (a− b− c)2.

Se aplicará la Ecuación 1.4, la propiedad asociativa de la suma y la distributivadel producto con respecto la suma

(a− b− c)2 = [(a− b)− c]2 (1.4)= (a− b)2 − 2(a− b)c+ c2

(1.4)= a2 − 2ab+ b2 − 2ac+ 2bc+ c2


(a− b− c)2 = a2 + b2 + c2 − 2ab− 2ac+ 2bc

Igualmente aparecen todos los cuadrados de cada sumando y todos los posiblesdobles productos, aquellos donde interviene el sumando con signo ’−’ aparecen

10


restando, y el doble producto que afecta a b y c aparece con signo ’+’ ya que(−) · (−) = +. �

Nota: Las fórmulas anteriores se pueden generalizar para cualquier número desumandos

(a+ b+ c+ d)2 = a2 + b2 + c2 + d2 + 2ab+ 2ac+ 2ad+ 2bc+ 2bd+ 2cd

y en caso de tener algún sumando con signo menos, sólo variar el signo de losdobles productos asociados a ese signo,

(a+ b− c+ d)2 = a2 + b2 + c2 + d2 + 2ab− 2ac+ 2ad− 2bc+ 2bd− 2cd

1.2.2 Fórmula ciclotómica

Esta fórmula es muy útil a la hora de factorizar polinomios de dos variables, otambién si se encuentran restas de potencias. Dado n ∈ N, la fórmula ciclotómicaes

xn − yn = (x− y)(xn−1 + xn−2y + · · ·+ xyn−2 + yn−1) (1.8)

Obsérvese que en el fondo es sencilla de memorizar, ya que si se aprende en el ordenadecuado simplemente consiste en que la suma de las potencias de los monomiosque aparecen en el segundo factor siempre da n − 1. De forma que, se comienzapor la primera variable elevada al máximo valor n − 1, y mientras el exponentede esta va bajando, el de la otra variable va subiendo, manteniendo la suma deambos siempre constante y siempre igual a n− 1.

Se indican a continuación unos ejemplos de su aplicación.

Ejemplo 1.2.4 Factorizar los polinomios de dos variables siguientes

1) p(x, y) = x3 − y3, 2) q(x, y) = x4 − y4

1. Aplicar la Ecuación 1.8 con n = 3

x3 − y3 = (x− y)(x2 + xy + y2)

2. En este caso, aplicar la Ecuación 1.8 con n = 4

11


x4 − y4 = (x− y)(x3 + x2y + xy2 + y3)

Este apartado también podría haberse visto como una diferencia de cuadra-dos, y aplicar la Ecuación 1.5 dos veces

x4 − y4 = (x2)2 − (y2)2(1.5)= (x2 + y2)(x2 − y2)

(1.5)= (x2 + y2)(x− y)(x+ y)

quedando en este caso una factorización mejor, en cuanto que los factoresson de menor grado cada uno. �

Nota: Siempre que se pueda hay que combinar las fórmulas descritas en estasección para obtener los factores del menor grado posible.

1.2.3 Binomio de Newton

Para comenzar esta parte ha de definirse primero una nueva operación matemática,el factorial de un número natural. Sea n ∈ N, se llama factorial de n y se escriben! a

n! = n(n− 1)(n− 2) · · · 3 · 2 · 1

Por ejemplo

6! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 7205! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120,4! = 4 · 3 · 2 · 1 = 24,

...1! = 1,0! = 1 por convenio

Una de las propiedades que verifican los números factoriales es la siguiente.

Propiedad 1.2.1 Dado n ∈ N, se verifica:

(n+ 1)! = (n+ 1)n!

Una vez definido el factorial ya se puede hablar del número combinatorio. Dados

n, m ∈ N, con n ≥ m, se llama número combinatorio(

nm

), y se lee ’n sobre m’

12


a: (nm

)=

n!

m!(n−m)!(1.9)

Sin más que hacer las cuentas, puede concluirse que(n0

)= n!

0!n! = 1(n1

)= n!

1!(n−1)! = n��(n−1)!��(n−1)! = n(

nn

)= n!

n!0! = 1

Aunque no es objeto de este libro, el número combinatorio se usa por ejemplo enprobabilidad cuando se quiere hallar el número de posibles combinaciones de nelementos tomados de m en m. Aquí el estudio se centrará en su utilización comocoeficientes del binomio de Newton.

En el apartado anterior se han descrito las identidades notables, y entre ellas setenían el cuadrado y cubo de sumas o diferencias. Cuando quieren hallarse poten-cias mayores de 2 ó 3, de sumas o restas, pueden usarse las fórmulas anterioresdescomponiendo las potencias y siguiendo el proceso de las operaciones que vayansurgiendo. Por ejemplo, usando la fórmula del cuadrado de un trinomio, ecuación1.2.1, se tiene

(a+ b)4 = ((a+ b)2)2(1.3)= (a2 + 2ab+ b2)2

(1.2.1)= (a2)2 + (2ab)2 + (b2)2 + 2a2 · 2ab+ 2a2b2 + 2 · 2abb2

= a4 + 4a2b2 + b4 + 4a3b+ 2a2b2 + 4ab3

= a4 + 4a3b+ 6a2b2 + 4ab3 + b4

(a+ b)5 = (a+ b)4(a+ b) = (a4 + 4a3b+ 6a2b2 + 4ab3 + b4)(a+ b) = . . .

y así sucesivamente, pero puede verse que este trabajo es laborioso y puede llevarfácilmente a errores en las cuentas.

Este problema lo soluciona el Binomio de Newton, cuya fórmula es, dado n ∈ N

(a+ b)n =

(n0

)an +

(n1

)an−1b+

(n2

)an−2b2 + · · ·

+

(n

n− 1

)abn−1 +

(nn

)bn

= an + nan−1b+

(n2

)an−2b2 + · · ·+

(n

n− 1

)abn−1 + bn

(1.10)

13


De nuevo la regla nemotécnica es sencilla, ya que salvo los coeficientes, los mono-mios que aparecen verifican que la suma de sus exponentes debe dar n, comenzandopor el primer sumando a la máxima potencia, y mientras este va bajando su ex-ponente, el otro sumando lo va aumentando.

Hay una forma rápida de calcular los coeficientes del Binomio de Newton que es elTriángulo de Tartaglia, donde los números que aparecen en cada fila se obtienende ir sumando los dos que tiene encima justo en la fila anterior

1 11 2 1

1 3 3 11 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

además estos valores corresponden a los números combinatorios siguientes(10

) (11

)(

20

) (21

) (22

)(

30

) (31

) (32

) (33

)(

40

) (41

) (42

) (43

) (44

)(

50

) (51

) (52

) (53

) (54

) (55

)

y así se podría ir repitiendo el proceso.

Si en lugar de una suma se tiene una resta, simplemente hay que alternar lo signos,siempre que se mantenga el orden descrito en los sumandos, como se indica aquí

(a− b)n =

(n0

)an −

(n1

)an−1b+

(n2

)an−2b2 − · · ·

+(−1)n−1(

nn− 1

)abn−1 + (−1)n

(nn

)bn

Ejemplo 1.2.5 Calcular (a+ b)6 y (a− b)6.

Como en este caso n = 6, hay que calcular una fila más en el triángulo de Tartagliadescrito arriba, por lo tanto los coeficientes serán

1 6 15 20 15 6 1

con lo que: (a+ b)6 = a6 + 6a5b+ 15a4b2 + 20a3b3 + 15a2b4 + 6ab5 + b6.

Mientras que para la resta, se alternan los signos quedando

(a− b)6 = a6 − 6a5b+ 15a4b2 − 20a3b3 + 15a2 − 6ab5 + b6

�14

1.3 Fracciones algebraicas


Primeramente se verá cómo factorizar polinomios, también llamada descomposi-ción en factores de polinomios, ya que de cara a operar fracciones algebraicas, esdecir, aquellas cuyo numerador y denominador está formado por polinomios o fun-ciones donde aparezca la variable x ∈ R, es importantísimo poder factorizar estostérminos. Así, podrán ser simplificadas y hacer más sencilla tanto su expresióncomo las operaciones a realizar con ellas.

1.3.1 Factorización de polinomios

El objetivo de esta sección es obtener la descomposición en factores de polino-mios, para ello se hace un breve recordatorio de los polinomios. Las expresionesalgebraicas que se forman a partir de la unión de dos o más variables y constan-tes, vinculadas a través de operaciones de multiplicación, resta o suma, reciben elnombre de polinomios.

En esta sección se van a tratar los polinomios reales de variable real. Un polinomioreal de una variable real p(x) de grado n en la variable real x es una expresiónmatemática de la forma

p(x) = anxn + an−1x

n−1 + · · ·+ a1x+ a0 (1.11)

donde x ∈ R es la variable real y ai ∈ R, i = 1, 2, ..., n con n ∈ N son los coefi-cientes del polinomio. A an se le llama coeficiente director del polinomio y a0 esel término independiente. Cada uno de los sumandos que constituyen el polinomio(Ecuación 1.11) se denomina monomio.

Se define el grado de un monomio como el exponente de su variable. El grado deun polinomio es el del monomio de mayor grado. Por ejemplo,

p(x) = 5x3 es un monomio de grado tres.

p(x) = 2x es un monomio de grado 1.

p(x) = 5x3 + 2x es un polinomio de grado 3 con a3 = 5.

A los polinomios cuyo coeficiente director es 1 se les llama polinomios mónicos.

Se llaman ceros del polinomio a aquellos valores de la variable que al ser sustituidosen el polinomio este da valor 0. Si en vez de un polinomio se habla de la ecuaciónpolinómica correspondiente, se les llama raíces o soluciones de la ecuación. Lospolinomios se pueden factorizar siempre que se conozcan sus raíces.

15


Se puede demostrar que un polinomio de grado n con coeficientes reales tienesiempre n raíces incluida su multiplicidad, pudiendo ser éstas complejas en cuyocaso aparecerá también la compleja conjugada. En caso de que el lector no estéfamiliarizado con los números complejos y con el concepto de complejo conjugado,vea la subsección 1.5.2. Más adelante, este resultado se extenderá al cuerpo de loscomplejos en el Teorema 1.5.1 en la sección 1.5.

De momento el estudio de las raíces se centra en polinomios de coeficientes reales.

Sean x1, x2, · · · , xn las n raíces de un polinomio de grado n.

Para factorizar un polinomio verificando lo anterior se tendrá

p(x) = an(x− x1)(x− x2) · · · (x− xn)

En el caso de que alguna de las raíces sea múltiple con multiplicidad α, es decir, laraíz aparece α veces como solución, ese factor también aparecerá α veces, α ∈ N.A las raíces cuya multiplicidad es 1 se les llama raíces simples.

Supongamos que todas las raíces del polinomio son reales, x1, · · · , xr ∈ R, y cadauna de ellas con multiplicidad α1, · · · , αr, respectivamente. En ese caso, el polino-mio se factorizará mediante

p(x) = an(x− x1)α1 · · · (x− xr)αr

donde r ≤ n y α1 + ... + αr = n. La suma de las multiplicidades coincide con elgrado del polinomio.

En los ejemplos que se pondrán a continuación se trabajará siempre con polinomioscon coeficientes reales. Además, en caso de que las soluciones sean complejas,generalmente no se factorizará ese término, dejándolo siempre como esté, pues lafactorización que se está buscando es en el cuerpo de los números reales.

Ejemplo 1.3.1 Determinar el polinomio cuyas únicas raíces son x = 2 simpley x = −1 doble con coeficiente director 5.

Puesto que tiene una raíz simple, y una doble, el polinomio tiene grado 3. Losfactores que intervienen son x−2, y por parte de la raíz doble (x−(−1))2 = (x+1)2.Y se corresponde con el desarrollo de la operación

5(x− 2)(x+ 1)2 = 5x3 − 15x− 10

�

16


Ejemplo 1.3.2 Factorizar el polinomio p(x) = x3 + x.

Primero han de hallarse sus raíces en R, resolviendo:

x3 + x = 0 ⇐⇒ x(x2 + 1) = 0⇒ x = 0

ya que

x2 + 1 = 0⇒ x2 = −1 < 0⇒ @x ∈ R

pues todo número real elevado al cuadrado es siempre positivo. Por lo tanto, estefactor se dejará como está. Quedando la factorización:

p(x) = x3 + x = x(x2 + 1)

�

Más adelante este mismo ejemplo se factorizará en el cuerpo de los complejos.

1.3.2 Cálculo de las raíces enteras de un polinomio: Método deRuffini

Para encontrar las raíces enteras de una ecuación polinómica, o equivalentementelos ceros que son enteros del polinomio, se puede aplicar el método de Ruffini,que simplemente es una forma abreviada de realizar la división del polinomio p(x)entre el polinomio x− a con a ∈ R, (ver para más información mates2).

Si a es una raíz del polinomio, entonces el factor x − a forma parte de la des-composición en factores y, por tanto, la divisón por x − a debe dar de resto 0,deducción que se obtiene directamente del llamado Teorema del resto, que afirmaque el valor que toma un polinomio p(x) para x = a, denotado como p(a), es elresto de dividir el polinomio entre x−a. Resultado del cual se deduce también quelas raíces enteras tienen que ser divisores del término independiente.

En Ruffini se trabaja sólo con los coeficientes del polinomio ordenados de mayora menor exponente, teniendo en cuenta que si no aparece algún monomio se de-berá poner un 0 en su lugar. Con ello, si se parte de un polinomio de grado n,tienen que aparecer n+ 1 coeficientes, desde el grado n gasta el grado 0 o términoindependiente.

Cuando se realiza Ruffini probando con el valor a, los valores que se obtienen co-mo resultado son los coeficientes del cociente de la división p(x)

x−a , y el último valor

17


corresponde al resto de dicha división. Como el divisor es de grado 1, el cocienteserá de grado n− 1.

Así pues para encontrar las raíces enteras se tomarán aquellos divisores enteros deltérmino independiente que hagan 0 el último valor de los coeficientes obtenidos,ya que este es el que corresponde al resto de la división.

El método se puede resumir así:

Primero en una fila se escriben los coeficientes con sus signos completando conceros los que falten y en una fila inferior una posición hacia la izquierda se escribea. Los coeficientes del polinomio cociente se hallan mediante los siguientes pasos:

1. El primer coeficiente del cociente es el mismo que el primero del dividendo.

2. El coeficiente del segundo término del cociente se obtiene multiplicando elprimero por a y sumándolo al segundo del dividendo. De la misma manerase obtienen los demás.

3. El resto se halla multiplicando por a el último coeficiente del cociente ysumándolo con el último dividendo.

Se ilustra el método con el ejemplo que viene a continuación.

Ejemplo 1.3.3 Dividir mediante Ruffini p(x) = −3x2 + 5x3 + 1 por x− 2.

Para aplicar la regla de Ruffini se ordena el polinomio en orden decreciente y secompletan con ceros los coeficientes de los monomios que faltan, p(x) = 5x3 −3x2 + 1:

5 −3 0 12 10 14 28

5 7 14 29

1. El primer coeficiente del cociente es el mismo que el primero del dividendo,es decir, el 5 se baja a la tercera fila.

2. El coeficiente del segundo término del cociente se obtiene multiplicando elprimero, 5, por 2 que da el 10 y sumándolo al segundo del dividendo. Seobtiene entonces −3 + 10 = 7. De la misma manera se obtienen los demás,es decir, 7 ∗ 2 = 14 y 0 + 14 = 14.

18


3. El resto se halla multiplicando por 2 el último coeficiente del cociente, 14,que da 28 y sumándolo con el último dividendo, 1 + 28 = 29, que realmentees hacer lo mismo que en el paso 2.

Se deduce entonces que el cociente de la división es C(x) = 5x2 +7x+14 y el resto29. Además, aplicando el teorema del resto, se puede deducir que p(2) = 29. �

El siguiente ejemplo consiste en el uso de Ruffini para factorizar un polinomio.

Ejemplo 1.3.4 Factorizar el polinomio q(x) = x3 − 4x2 + x+ 6.

En este caso, los divisores del término independiente son {±1, ±2, ±3, ±6}.

Se comenzará en este ejemplo con −1, pero en caso de que este valor no funcionehay que seguir probando con los demás

1 −4 1 6−1 −1 5 −6

1 −5 6 0

Como el último valor da 0, quiere decir que el resto de la división p(x)x+1 es 0; y

por lo tanto eso significa que x = −1 SÍ es un cero del polinomio, con lo que(x− (−1)) = (x+ 1) será un factor del polinomio. Además, como se partía de unpolinomio de grado 3, el cociente es de grado 2, c(x) = x2 − 5x+ 6.

Para seguir factorizando se puede volver a hacer Ruffini, aunque al quedar unpolinomio de grado 2 es recomendable resolver este usando la fórmula conocida deresolución de ecuaciones de segundo grado,

ax2 + bx+ c = 0⇔ x =−b±

√b2 − 4ac

2a

x2 − 5x+ 6 = 0 ⇐⇒ x =5±√

25− 24

2=

5± 1

2=

{x = 3x = 2

Por lo que el polinomio factorizado será

q(x) = x3 − 4x2 + x+ 6 = (x+ 1)(x− 3)(x− 2)

Notar que como el polinomio tiene como coeficiente director 1, este no aparece enla factorización. Si fuera distinto de 1 habría que ponerlo. �

19


Ejemplo 1.3.5 Factorizar el polinomio p(x) = 3x3 − 15x2 + 21x− 9.

Primero se observa que podemos sacar factor común el 3. Siempre que se puedasacar factor común es el primer paso recomendable para factorizar.

p(x) = 3(x3 − 5x2 + 7x− 3)

Se factorizará el polinomio que queda, usando Ruffini. En este caso los divisoresdel término independiente son {±1,±3}. Se probará en este caso con el valor 3

1 −5 7 −33 3 −6 3

1 −2 1 0

Por lo tanto, como el 3 es raíz aparece el factor x − 3. El polinomio restante, elcociente de la división x3−5x2+7x−3

x−3 , es de grado 2, así que se puede resolver de laforma habitual, pero en este caso, obsérvese que el polinomio que se ha obtenidocomo cociente es

x2 − 2x+ 1

que puede reconocerse como el cuadrado de una diferencia, la identidad notablevista en la sección anterior en la Ecuación 1.4. Por lo que

x2 − 2x+ 1 = (x− 1)2

Quedando la factorización final

p(x) = 3(x3 − 5x2 + 7x− 3) = 3(x− 1)2(x− 3)

Es decir, este polinomio tiene una raíz simple, x = 3 y una raíz doble x = 1. �

Nota importante: Cuando se tiene una ecuación de segundo grado, con coeficientedirector 1, hay una fórmula que permite hallar de forma rápida las soluciones.Denotando como S la suma de las soluciones de la ecuación, y como P el productode las mismas, una ecuación de grado 2 puede escribirse

x2 − Sx+ P = 0 (1.12)

20


Esta fórmula es muy conveniente si se quiere encontrar una ecuación de segundogrado conocidas sus raíces, pues

si x2 − Sx+ P = (x− x1)(x− x2) entonces S = x1 + x2 y P = x1 · x2

o también para calcular rápidamente las raíces enteras de un polinomio de grado2, como ilustran los siguientes ejemplos.

Ejemplo 1.3.6 Hallar una ecuación de grado 2 cuyas soluciones sean 3 y −8.

Procede aplicar la Ecuación 1.12, donde la suma es S = 3 + (−8) = −5 y el pro-ducto P = 3 · (−8) = −24, por lo que la ecuación buscada será

x2 + 5x− 24 = 0

Se puede comprobar este resultado calculando las raíces

x2+5x−24 = 0 ⇐⇒ x =−5±

√25 + 96

2=−5±

√121

2=−5± 11

2=

{x = 3x = −8

tal y como se quería obtener. �

Ejemplo 1.3.7 Hallar las soluciones de la ecuación x2−7x+12 = 0, sin resolverla ecuación.

Utilizando la fórmula de x2 − Sx+ P = 0, se buscan dos soluciones tales que sussuma sea S = 7 y su producto P = 12.

Hay que buscar todos los pares de enteros cuyo producto da 12. Teniendo encuenta que el producto es positivo, han de considerarse tanto pares con ambosvalores positivos o pares con ambos valores negativos

(1, 12), (−1,−12), (2, 6), (−2,−6), (3, 4), (−3,−4)

De todos ellos sólo interesan aquellos cuya suma dé 7. Por lo que la única opciónes el par

(x1, x2) = (3, 4)

Así pues x2 − 7x + 12 tiene por raíces x = 3 y x = 4 que se han hallado sinnecesidad de resolver la ecuación de segundo grado. �

21


Ejemplo 1.3.8 Factorizar los polinomios de la siguiente fracción y, si es posi-

ble, simplificar el resultadox4 − 20x2 + 64

x3 − 4x2 − 4x+ 16.

Para factorizar el numerador deben hallarse sus raíces. Observar que lo queaquí se tiene es una ecuación bicuadrada, ya que las potencias que intervienenson todas pares, concretamente grado 4, 2 y 0. Estas ecuaciones se resuelvenhaciendo un cambio de variable x2 = t, lo que implica que x4 = (x2)2 = t2.Con este cambio de variable, se convierte la ecuación bicuadrada en x en unaecuación de grado 2 en t, posteriormente se deshará el cambio para obtenerx. Así, reescribiendo la ecuación

x4 − 20x2 + 64 = 0 ⇐⇒x2=t

t2 − 20t+ 64 = 0

resolviéndose ahora esta ecuación de grado 2

t2 − 20t+ 64 = 0 ⇐⇒ t =20±

√400− 256

2=

20±√

144

2=

20± 12

2

Por lo que las soluciones serán{t1 = 16 = x21 ⇒ x1 = ±

√16 = ±4

t2 = 4 = x22 ⇒ x2 = ±√

4 = ±2

Se han obtenido las 4 soluciones reales de la ecuación bicuadrada. Con estoya se tiene factorizado el polinomio del numerador

x4 − 20x2 + 64 = (x− 4)(x+ 4)(x− 2)(x+ 2)

Para factorizar el denominador, al tener un polinomio de grado 3 se buscaránsus soluciones por Ruffini. Los divisores del término independiente son

{±1,±2,±4,±8,±16}

Se probará con alguna de las soluciones del numerador, para ver si así luegose puede simplificar. Por ejemplo, con x = 2. En este caso se hará Ruffinidos veces para ver otra forma de resolver hasta el final con este método,

22


1 −4 −4 162 2 −4 −16

1 −2 −8 0−2 −2 8

1 −4 0

Las soluciones son x = 2 y x = −2 y el último cociente da x− 4, con lo quela factorización del denominador es

x3 − 4x2 − 4x+ 16 = (x− 2)(x+ 2)(x− 4)

Sustituyendo en la fracción de partida

x4 − 20x2 + 64

x3 − 4x2 − 4x+ 16=

��(x− 4)(x+ 4)��(x− 2)��(x+ 2)

��(x− 2)��(x+ 2)��(x− 4)= x+4, ∀x /∈ {−2, 2, 4}

Es decir, la fracción inicial coincide con el polinomio x + 4 allí donde estádefinida, por eso se quitan los puntos donde el denominador se anula, ya quepara esos valores no se podría calcular la fracción. �

1.3.3 Operaciones con fracciones algebraicas

Mediante varios ejemplos se van a repasar operaciones con fracciones algebraicas,haciendo hincapié en aquellos errores que las autoras han ido detectando a lo largode su trabajo con estudiantes.

Una fracción algebraica es aquella en la que en el numerador o/y denominadoraparecen expresiones algebraicas. El primer paso es factorizar los polinomios siem-pre que se pueda, de cara a poder simplificar después. En caso de tener radicales,intentar eliminarlos o bien factorizando o bien multiplicando y dividiendo por lasexpresiones conjugadas. Hay que ir mirando cada caso.

Ejemplo 1.3.9 Operar y simplificar las siguientes fracciones algebraicas

1)12 + x− x2

2x2 − 9x+ 42)

x

x− 3− 2

3x+ 43)

2x − 3

1− 1x−1

4)

√16− 9x2 + 9x2(16− 9x2)

−12

16− 9x2

1.12 + x− x2

2x2 − 9x+ 4

Para operar esta fracción algebraica, como está compuesta sólo por polino-mios, se pasará a factorizar cada uno de ellos. Recordar que en una fracción

23


sólo se pueden simplificar factores que afecten a todo el numerador y a todoel denominador. NO se pueden simplificar sumandos.

Factorícese primero el polinomio del numerador, para ello, hay que calcularsus raíces. Ordénese el polinomio para trabajar más fácilmente con él, siendoademás conveniente, que el coeficiente director sea siempre positivo para quelos cálculos sean más sencillos. De cara a calcular las raíces da igual resolverp(x) = 0 que −p(x) = 0, ya que las raíces son las mismas. Eso sí, a la hora defactorizar, ha de hacerse con el polinomio original, es decir, con el coeficientedirector que le corresponde

−x2 + x+ 12 = 0 ⇐⇒ x2 − x− 12 = 0 ⇐⇒ x = 1±√1+482 = 1±

√49

2

= 1±72 =

{x = 4x = −3

Por lo tanto, la factorización del numerador será

−x2 + x+ 12 = −(x− 4)(x+ 3)

Se pasa ahora a factorizar el denominador. Las raíces de este vienen dadaspor

2x2 − 9x+ 4 = 0 ⇐⇒ x =9±√

81− 32

4=

9±√

49

4=

9± 7

4=

{x = 4,x = 1

2

Con lo que el denominador puede escribirse como

2x2 − 9x+ 4 = 2(x− 4)(x− 1

2)(∗)= (x− 4)(2x− 1)

donde la última operación hecha en (∗) proviene de 2(x− 12 ) = 2x− 1.

Sustituyendo en la fracción algebraica

12 + x− x2

2x2 − 9x+ 4=−(x− 4)(x+ 3)

(x− 4)(2x− 1)

Nota importante: se va a simplificar al factor x−4, pero hay que tener cuida-do con un detalle crucial. La fracción algebraica inicial no está definida parax = 4 ya que anula el denominador y un denominador nunca puede valer0, pues el resultado no es un número real. Cuando se habla de simplificar

24


fracciones, hay que tener en cuenta que la fracción inicial y la fracción simpli-ficada serán equivalentes en todos los puntos, salvo en aquel cuyo factor hasido simplificado, puesto que la fracción simplificada no presenta problemasen ese punto, pero sí la de partida.

12 + x− x2

2x2 − 9x+ 4=−��(x− 4)(x+ 3)

��(x− 4)(2x− 1)=−(x+ 3)

2x− 1=

x+ 3

1− 2x, ∀x 6= 4

2.x

x− 3− 2

3x+ 4

En este ejemplo primero debe realizarse la resta de las fracciones, ponien-do común denominador. En este caso, como en los denominadores no hayfactores comunes, el común denominador es el producto de ambos

x

x− 3− 2

3x+ 4=x(3x+ 4)− 2(x− 3)

(x− 3)(3x+ 4)=

3x2 + 4x− 2x+ 6

(x− 3)(3x+ 4)=

3x2 + 2x+ 6

(x− 3)(3x− 4)

Conviene dejar el denominador factorizado, así sólo hay que factorizar elnumerador para ver si se puede luego simplificar factores.

Las raíces de numerador son

3x2 + 2x+ 6 = 0 ⇐⇒ x =−2±

√4− 72

6/∈ R

Como el numerador no tiene raíces reales, eso quiere decir que no se puedefactorizar (con factores que no sean complejos). Su expresión más sencilla esla que tiene, por lo que

x

x− 3− 2

3x+ 4=

3x2 + 2x+ 6

(x− 3)(3x− 4)

3.2x − 3

1− 1x−1

Este caso muestra fracciones que contienen fracciones. El primer paso esoperar para que en cada fracción no haya más fracciones, poniendo comúndenominador en el numerador y luego en el denominador

2x − 3

1− 1x−1

=2−3xx

x−1−1x−1

25


Una vez llegados aquí, se operan las fracciones recordando que

abcd

=a

b:c

d=a · db · c

Por lo tanto, aplicado al caso que se está llevando a cabo

2−3xx

x−1−1x−1

=(2− 3x)(x− 1)

x(x− 2)

donde no hay factores que puedan simplificarse.

4.√

16− 9x2 + 9x2(16− 9x2)−12

16− 9x2

Lo primero que hay que realizar es quitar los exponentes negativos, ya queestos dan lugar a fracciones camufladas

(16− 9x2)−12 =

1

(16− 9x2)12

=1√

16− 9x2

Sustituyendo en la fracción inicial se tiene

√16−9x2+9x2(16−9x2)

−12

16−9x2 =

√16−9x2+ 9x2√

16−9x2

16−9x2 =

(√

16−9x2)2+9x2√16−9x2

16−9x2

= 16−��9x2+��9x2

(16−9x2)√16−9x2

= 16(16−9x2)

√16−9x2

�

Se ponen a continuación ejemplos de resolución de ecuaciones donde intervenganfracciones algebraicas.

Ejemplo 1.3.10 Resolver las siguientes ecuaciones

a)2x− 1

3− x− 3

4=

5x

12+

7

6b)

2(x− 3)

x2 + 2x− 3=

3

x+ 3c)

2

x2 − 1− 1

x+ 1=

1

x− 1

a) Para resolver 2x−13 − x−3

4 = 5x12 + 7

6 poner común denominador, teniendo encuenta que cuando hay un signo menos delante de una fracción, este signoafecta a cada uno de los términos de la fracción:

26


4(2x− 1)− 3(x− 3)

12=

5x+ 14

12

4(2x− 1)− 3(x− 3)

��12=

5x+ 14

��12

Como en este ejemplo el denominador es el mismo en ambos miembros, pue-den quitarse los denominadores (en el fondo, esto es multiplicar en ambosmiembros por ese denominador; si no fuera el mismo denominador bastaríahacer productos cruzados). Una vez quitados los denominadores, se juntanmonomios semejantes.

8x− 4− 3x+ 9 = 5x+ 14

Como queda un polinomio de grado 1, se llevan las variables a un lado y lostérminos independientes al otro

8x− 4− 3x+ 9 = 5x+ 14 ⇐⇒ 0x = 9 ⇐⇒ 0 = 9

que se sabe IMPOSIBLE. Este resultado se interpreta como que la ecuaciónNO tiene solución en R.

b)2(x− 3)

x2 + 2x− 3=

3

x+ 3

Al tener en cada miembro una fracción, basta hacer productos cruzados. Esdecir:

2(x− 3)(x+ 3) = 3(x2 + 2x− 3)

obsérvese que en el primer miembro se tiene una suma por diferencia, Ecua-ción 1.5, por lo que el resultado dará diferencia de cuadrados

2(x2−9) = 3x2 + 6x−9 ⇐⇒ 2x2−18 = 3x2 + 6x−9 ⇐⇒ 0 = x2 + 6x+ 9

En este ejemplo la ecuación de segundo grado es muy sencilla de resolversin necesidad de aplicar la fórmula, ya que puede reconocerse en el segundomiembro el cuadrado de una suma:

x2 + 6x+ 9 = (x+ 3)2

y al tenerlo igualado a 0, evidentemente, el número de dentro del paréntesisdebe ser 0. Eso sí, la raíz será doble (multiplicidad igual a 2):

(x+ 3)2 = 0 ⇐⇒ x+ 3 = 0 ⇐⇒ x = −3 con multiplicidad 227


c)2

x2 − 1− 1

x+ 1=

1

x− 1

Póngase común denominador en el primer miembro para hacer la resta defracciones que aparece. Fijarse que los denominadores SÍ tienen factores co-munes ya que el primer denominador es una diferencia de cuadrados

x2 − 1 = (x− 1)(x+ 1)⇒ m.c.m{x2 − 1, x+ 1} = x2 − 1

Recuérdese que el mínimo común múltiplo entre varios factores está formadopor los factores comunes y no comunes al mayor exponente.

Por lo tanto, al poner común denominador la ecuación queda:

2

x2 − 1− x− 1

(x− 1)(x+ 1)=

1

x− 1⇐⇒ 2− (x− 1)

x2 − 1=

1

x− 1

Llegados aquí se puede o hacer productos cruzados, o como el denominadordel segundo miembro también es uno de los factores de x2 − 1, multiplicarambos miembros por x2 − 1. El resultado al que se llega es el mismo. Porhacerlo de otra forma al apartado anterior, se multiplicarán ambos miembrospor x2 − 1 que era igual a (x − 1)(x + 1). Recuérdese que un signo menosdelante de un paréntesis cambia el signo de cada término del paréntesis,quedando

2− x+ �1 = x+ �1 ⇐⇒ 2 = 2x ⇐⇒ x = 1

�

1.4 Radicales

Se llama radical a una expresión de la forma k n√am, con a ∈ R y n,m ∈ N, donde

n es el índice del radical o raíz, am se llama radicando y k es el coeficiente delradical.

Un radical puede expresarse como una potencia con exponente fraccionario, dondeel índice del radical es el denominador de la fracción del exponente,

n√am = a

mn

Por lo tanto, todas las propiedades de las potencia son válidas para los radicalesy pueden verse en la tabla siguiente:

28

1.4 Radicales

Tabla 1.1: Propiedades de los radicales y potencias

n√ab = n

√a n√b n

√ab =

n√a

n√b

( n√a)m = n

√am

a0 = 1 a−n = 1an an · am = an+m

an

am = an−m (an)m = an·m anm = m

√an

(a · b)n = an · bn(ab

)n= an

bn

(ab

)−n=(ba

)n

Nota importante: Ojo, no hay propiedades para la raíz de la suma o de la resta,así que

n√a± b 6= n

√a± n√b

Se destaca aparte una de las propiedades más importantes de los radicales, queademás es utilizada con mucha frecuencia y en ocasiones lleva a error. Para estapropiedad y ejemplo posterior conviene repasar el concepto de valor absoluto deun número real, visto en la subsección 1.1.2.

Propiedad 1.4.1 Sean n ∈ N, a ∈ R

n√an =

{a si n es impar

|a| si n es par(1.13)

Es decir, si se calcula

√a2 = |a|

ya que a2 siempre es positivo pero el valor de a puede ser cualquiera; sin embargo,el resultado de

√a2 debe ser positivo ya que es un radical positivo. Por ejemplo,√

4 =√

22 = 2 y también√

4 =√

(−2)2 = 2, luego si se desconoce el signo de aentonces hay que llevar precaución al calcular

√a2.

No hay ningún problema cuando se calcula (√a)2 = a, ya que en este caso, para

que la raíz exista, ya se parte de que el radicando debe ser a ≥ 0.

Mientras que: 3√a3 = a, ya que una raíz cúbica puede tener radicando nega-

tivo, dando lugar en ese caso, a un resultado negativo.

29

Para seguir leyendo haga click aquí

http://www.lalibreria.upv.es/portalEd/UpvGEStore/products/p_550-3-1

Matemáticas básicas para Ingenierías

Documents

Transcript of Matemáticas básicas para Ingenierías