Matemáticas Básicas Para Ingeniero

Oviedo Vergara Elver Javier

UNIVERSIDAD DE SUCRE

2º Periodo 2008

MATEMATICAS BÁSICAS

PARA INGENIEROS

ELVER OVIEDO VERGARA

2

MATEMÁTICAS BÁSICAS PARA INGENIEROS

3

PRESENTACIÓN

MATEMÁTICAS BÁSICAS PARA INGENIEROS es una propuesta metodológica de

trabajo en el aula de primer semestre de la facultad de ingeniería, intentando

acompañar a los estudiantes en la profundización de conocimientos adquiridos en su

transcurso por la secundaria, a través de la contextualización y afianzar en el

desarrollo de los pensamientos numérico, métrico, geométrico, espacial, variacional y

aleatorio.

La integran seis grandes unidades de la matemática básica que el futuro ingeniero

recordará de la secundaria estas son: LOGICA Y CONJUNTOS, CONCEPTOS

BÁSICOS DEL ALGEBRA, ECUACIONES - SISTEMAS DE ECUACIONES,

INECUACIONES - SISTEMAS DE INECUACIONES, ECUACIONES POLINOMICAS,

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS Y GEOMETRIA. Las dos últimas unidades por su

extensión centrarán su interés resumiendo y privilegiando las situaciones más afines a

las ciencias y a la ingeniería.

El lenguaje en que está escrito es muy familiar al contexto sabanero, sin faltar al lector

de otras regiones del país que se forma en nuestra Alma Mater; el constante desarrollo

de la temática abordada en el presente texto, llevaron al autor a compilar y ordenar su

experiencia para la posterior presentación de esta obra, que sin lugar a dudas, le

brinda ventajas de tiempo, dinero, riesgos, y algo mejor, conocimiento a los futuros

ingenieros.

Podría decirse también que MATEMÁTICAS BÁSICAS PARA INGENIEROS es el

espacio común en el que se encuentran los conceptos y conocimientos de muchos

textos de las matemáticas “modernas” con exclusivos beneficios para quienes se

forman en la ingeniería y que posteriormente verán entre otras asignaturas el cálculo

diferencial, integral y vectorial, ecuaciones diferenciales y la física.


4


5

UNIVERSIDAD DE SUCRE FACULTAD DE INGENIERÍA

ASIGNATURA: MATEMÁTICAS

1. DESCRIPCIÓN ADMINISTRATIVA

1.1 ASIGNATURA Matemática

1.2 CÓDIGO 0235710

1.3 NATURALEZA Teórico

1.4 AREA Ciencias Básicas

1.5 INTENSIDAD 4 HT / Semanal

1.6 SEMESTRE I

1.7 PREREQUISITOS Ninguno

1.8 COREQUISITOS Ninguno

1.9 REQUISITOS PARA Dibujo de Ingeniería

1.10 CREDITOS 3

2. JUSTIFICACIÓN

La lógica matemática, el álgebra y la geometría euclidiana proporcionan a los

ingenieros los conocimientos necesarios para manejar y aplicar expresiones

matemáticas referidas a problemas propios de la ingeniería, y de otra parte posibilitan

al estudiante acceder satisfactoriamente a otras asignaturas como lo son el cálculo I, II

y III, álgebra lineal, ecuaciones diferenciales, métodos numéricos y física.

3. OBJETIVO GENERAL

Proporcionarle al estudiante la oportunidad de adquirir destrezas operacionales en

aquellos conceptos básicos de la lógica matemática, el álgebra y la geometría

euclidiana a un nivel más avanzado, buscando que el estudiante pueda plantear,

resolver e interpretar problemas o modelos propios de la ingeniería.

4. COMPETENCIAS

Comprender la lógica matemática, el álgebra y la geometría euclidiana como

herramientas que posibiliten plantear, resolver e interpretar problemas propios de

la ingeniería.


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Tener habilidad para manejar tecnologías e instrumentos que permitan transferir

conocimientos, manejar situaciones problemáticas y tomar decisiones en

momentos de incertidumbre.

Tener una disposición creativa, de iniciativa e innovación que propendan por una

superación y aprendizaje permanente y asumir una actitud crítica y constructiva en

la resolución de conflictos.

Mantener actitudes de cooperación, solidaridad y convivencia pacífica que se

reflejen en acciones de responsabilidad, honestidad y transparencia que lo

conlleven a interactuar con justicia y equidad.

5. CONTENIDO SINTÉTICO:

Lógica y conjuntos, Conceptos básicos del álgebra, Ecuaciones - Sistemas de

ecuaciones, inecuaciones - Sistemas de inecuaciones, Ecuaciones polinómicas,

Funciones Trigonométricas, Geometría.

6. CONTENIDO ANALÍTICO

UNIDAD 1: LÓGICA Y CONJUNTOS

OBJETIVO: Aplicar las operaciones, propiedades, relaciones y el cardinal de un

conjunto en problemas propios de la ingeniería.

TEMAS Y SUBTEMAS: Proposiciones lógicas, conectivos lógicos y tablas de verdad,

Leyes de las proposiciones lógicas, argumentos lógicos y cuantificadores, Conjuntos,

notaciones, maneras de determinarlos, clases, relaciones y propiedades, Operaciones

con conjuntos, diagramas de Venn, regiones y número de elementos, Conjuntos

numéricos. Propiedades de los números reales, desigualdades e intervalos.

Estrategias metodológicas

Clase magistral

Talleres

Conferencia

Recursos: Tablero, Retroproyector, Guías de Trabajo.


7

UNIDAD 2: CONCEPTOS BÁSICOS DEL ÁLGEBRA

OBJETIVO: Proporcionar al estudiante las herramientas conceptuales referidas al

álgebra que posibiliten plantear, resolver e interpretar problemas específicos de la

ingeniería.

TEMAS Y SUBTEMAS: Expresiones algebraicas, signos de operación, símbolos de

agrupación y reducción de términos semejantes, Leyes de la potenciación,

operaciones con polinomios, Productos notables, factorización, Fracciones: mínimo

común denominador, simplificación de fracciones, Racionalización.

ESTRATEGIAS METODOLÓGICAS

Clase magistral

Taller

Software Derive

Recursos: Tablero, Guía de trabajo,

UNIDAD 3: ECUACIONES-SISTEMAS DE ECUACIONES, NECUACIONES

- SISTEMAS DE INECUACIONES

OBJETIVO: Utilizar la solución de inecuaciones y de sistemas de ecuaciones para

resolver problemas de aplicación a la ingeniería

TEMAS Y SUBTEMAS: Ecuaciones lineales: Características y aplicaciones,

Ecuaciones cuadráticas: Características y aplicaciones, Ecuaciones que se pueden

llevar a la forma cuadrática, Métodos para resolver sistemas de ecuaciones,

interpretación geométrica y aplicaciones.

ESTRATÉGIAS METODOLÓGICAS

Clase magistral

Talleres

Software Derive

Recursos: Tablero, Calculadoras Ti-92 plus, Calculadoras graficadoras,

Retroproyector


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UNIDAD 4: ECUACIONES POLINOMICAS.

OBJETIVO: Utilizar el Teorema del factor y el teorema del residuo para resolver

ecuaciones y calcular raíces racionales por medio de la división sintética.

TEMAS Y SUBTEMAS: Binomio De Newton, División sintética. Teorema del

residuo y del factor, Teorema fundamental del álgebra, ceros reales de polinomios con

coeficientes reales, ceros racionales de polinomios con coeficientes enteros,

Descomposición en fracciones parciales.


Clase magistral

Recursos: Tablero, Retroproyector

UNIDAD 5: FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

OBJETIVO: Aplicar las funciones trigonométricas en la solución de problemas

referidos a la ingeniería.

TEMAS Y SUBTEMAS: Ángulos, sistemas de medidas de ángulos, conversiones,

Funciones trigonométricas, identidades trigonométricas básicas, Ecuaciones

trigonométricas, Aplicaciones.


Clase magistral

Taller

Software Cabri Gómetri II

Recursos: Tablero, Retroproyector, Guía de trabajo.

UNIDAD 6: GEOMETRIA

OBJETIVO: Comprender la relación estrecha que existe entre los conceptos

geométricos y sus aplicaciones en la ingeniería mediante la solución de problemas de

esta disciplina.


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TEMAS Y SUBTEMAS: Definiciones y construcciones. Punto, recta, plano y

espacio. Relación entre rectas y planos. Algunas figuras geométricas básicas.

Polígonos, Razonamiento en geometría. El proceso de razonamiento inductivo.

Generalizaciones falsas y contraejemplos, Esquemas de razonamiento, Triángulos.

Postulados sobre la congruencia de triángulos. Triángulos especiales, Desigualdad del

triangulo, Cuadriláteros y polígonos, Paralelogramos. Rectángulos, rombos y

cuadrados, Trapecios, Semejanza. Proporciones, Polígonos semejantes, el postulado

de la semejanza AAA, triángulos rectángulos y triángulos semejantes. Teorema de la

semejanza LLL y LAL, Áreas y perímetros, área del paralelogramo, área del triangulo

y trapecio, área de polígonos regulares, comparación entre perímetros y áreas de

polígonos semejantes, Sólidos: Pirámides y prismas, áreas y volúmenes. Cilindro,

áreas y volúmenes. Cono y Esfera, Poliedros regulares.


Clase magistral

Taller

Software Cabri Gómetri II

Recursos: Tablero, Retroproyector, Calculadoras graficadoras, Guía de Trabajo.

7. SISTEMA DE EVALUACIÓN

4 exámenes parciales 75%

Quices, trabajos y actitud 25%


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OBJETIVOS:

Aplicar las operaciones, propiedades, relaciones y el cardinal de un conjunto en

problemas propios de la ingeniería.

Al finalizar la unidad el estudiante de ingeniería estará en condiciones de:

1. Determinar el valor de verdad de cualquier proposición,

2. Construir esquemas proposicionales a partir de un texto y elaborar su tabla de

verdad.

3. Negar proposiciones que contengan cuantificadores.

4. Decidir cuándo un elemento pertenece o no a un conjunto dado.

5. Distinguir cuándo un conjunto está descrito por comprensión o por extensión

6. Utilizar correctamente los símbolos de entre otros

7. Hallar otros conjuntos a partir de las operaciones entre dos o más conjuntos

dados.

8. Resolver problemas de aplicación que involucren la teoría de conjunto

INTRODUCCIÓN

La siguiente unidad dará los elementos esenciales en la formación de los estudiantes

que se inician en la teoría de conjuntos, en ella, se hace un breve recorrido a las

principales notaciones, definiciones y ejemplos, además contiene un significativo

número de ejercicios relacionados con la cotidianidad.

Invitamos al educando a interesarse en esta importante teoría matemática muy

trabajada por B. Bolzano (1781 – 1848)1 y Georg Cantor (1845 – 1918).

1 Consultar quienes fueron estos señores.

LÓGICA Y

CONJUNTO


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LÓGICA

a lógica estudia la forma del razonamiento, es una

disciplina que por medio de reglas y técnicas

determina si un argumento es válido o no. La lógica

es ampliamente aplicada en la filosofía, matemáticas,

computación, física. En la filosofía para determinar

si un razonamiento es válido o no, ya que una frase

puede tener diferentes interpretaciones, sin embargo

la lógica permite saber el significado correcto. En las

matemáticas para demostrar teoremas e inferir resultados matemáticas que puedan

ser aplicados en investigaciones. En la computación para revisar programas. En

general, la lógica se aplica en la tarea diaria, ya que cualquier trabajo que se realiza

tiene un procedimiento lógico, por ejemplo; para ir de compras al supermercado un

ama de casa tiene que realizar cierto procedimiento lógico que permita realizar dicha

tarea. Si una persona desea pintar una pared, este trabajo tiene un procedimiento

lógico, ya que no puede pintar si antes no prepara la pintura, o no debe pintar la parte

baja de la pared si antes no pintó la parte alta porque se mancharía lo que ya tiene

pintado, también dependiendo si es zurda o derecha, él o ella puede pintar de

izquierda a derecha o de derecha a izquierda según el caso, todo esto es la aplicación

de la lógica.

La lógica es pues muy importante; porque permite resolver incluso problemas a los

que nunca se ha enfrentado el ser humano utilizando solamente su inteligencia y

apoyándose de algunos conocimientos acumulados, se pueden obtener nuevos

inventos e innovaciones a los ya existentes o simplemente utilización de los mismos.

Intentaremos comprender y dominar toda la temática tratada sobre lógica ¡aquí

vamos!

PROPOSICIONES

Antes de hablar de las proposiciones, recordemos los que nos dijo el profesor de

castellano sobre lo que es una oración, tal vez nos dijo “es un conjunto de palabras

con sentido completo” o “es un conjunto de palabras que tiene una estructura

ordenada; tiene sujeto, sobre quien recae una acción y tiene un predicado, que es lo

que se dice del sujeto” o lo primero complementado con lo segundo diciendo que un

conjunto de palabras tiene sentido completo cuando tiene “sujeto y predicado”.

L

http://www.monografias.com/trabajos14/disciplina/disciplina.shtml

http://www.monografias.com/trabajos11/norma/norma.shtml

http://www.monografias.com/Computacion/Programacion/

http://www.monografias.com/trabajos13/mapro/mapro.shtml

http://www.monografias.com/trabajos5/elciclo/elciclo.shtml

http://www.monografias.com/trabajos13/mapro/mapro.shtml

http://www.monografias.com/trabajos7/perde/perde.shtml

http://www.monografias.com/trabajos13/histarte/histarte.shtml

http://www.monografias.com/trabajos15/calidad-serv/calidad-serv.shtml#PLANT

http://www.monografias.com/trabajos15/inteligencia-emocional/inteligencia-emocional.shtml

http://www.monografias.com/trabajos/inventos/inventos.shtml


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En fin, es muy importante recordar y aclarar el concepto de oración dado que

Def: n°1 Una proposición es antes una oración, pero ! no toda oración es

proposición.

Sólo son proposiciones las oraciones a las que se les puede asignar un valor de verdad

ya sea falso (f) o verdadero (v)

NOTACIONES

Las proposiciones se representan con las letras minúsculas p, q, r, s, t, …

A continuación se tienen algunos ejemplos de proposiciones válidas y no válidas, y se

explica el porqué algunos enunciados no son proposiciones. Las proposiciones se

indican por medio de una letra minúscula, dos puntos y la proposición propiamente

dicha. Ejemplo.

p: La tierra es plana.

q: -17 + 38 = 21

r: x > (y - 9 )

s: El Nacional será campeón en la presente temporada de futbol.

t: Hola ¿cómo estás?

w: Lava el coche, por favor.

Los incisos p y q sabemos que pueden tomar un valor de falso o verdadero; por lo

tanto son proposiciones válidas. El inciso r también es una proposición válida,

aunque el valor de falso o verdadero, depende del valor asignado a las variables x y y

en determinado momento. La proposición del inciso s también está perfectamente

expresada aunque para decir si es falsa o verdadera se tendría que esperar a que

termine la temporada de futbol. A las proposiciones r y s se les llama proposiciones

abiertas.

Sin embargo los enunciados t y w no son válidos, ya que no pueden tomar un valor

de falso o verdadero, uno de ellos es un saludo y el otro es una orden.

PROPOSICIONES SIMPLES

Def: n°2 A las proposiciones que no tienen palabras de enlace como y, o, Si …

entonces…, Ni … ni …, …si y sólo sí…, son proposiciones simples.

http://www.monografias.com/trabajos11/tierreco/tierreco.shtml

http://www.monografias.com/trabajos14/nuevmicro/nuevmicro.shtml

http://www.monografias.com/trabajos14/nuevmicro/nuevmicro.shtml

http://www.monografias.com/trabajos12/guiainf/guiainf.shtml#HIPOTES


13

Son ejemplos de proposiciones simples las proposiciones p, q, r, y s del ejemplo

anterior.

NEGACIÓN DE PROPOSICIONES SIMPLES

Para negar una proposición simple simplemente enunciamos la proposición

anteponiendo la palabra no…, no es cierto…, no es verdad, hacemos una afirmación

antónima de la proposición original. Ejemplo, neguemos las proposiciones dadas en

el ejemplo anterior:

p La tierra no es plana.

q -17 + 38 ≠21

r x ≤ (y - 9 )

s El Nacional no será campeón en la presente temporada de futbol.

Es importante aclarar que decir la tierra no es un planeta es equivalente a decir no es

cierto que la tierra es un planeta, igualmente ocurre con las otras proposiciones.

Por notación el símbolo de la negación es una s ( ) acostada o como se ve

antepuesta a las letras que representan a las proposiciones dadas.

Nota: la negación de una negación es equivalente a la proposición original.

Ejercicios:2

En tu cuaderno de apuntes vas a escribir mínimo 10 proposiciones simples a tu gusto

con su respectiva negación.

CONECTIVOS LÓGICOS

Def n°3 A los símbolos o palabras de enlace que sirven a las proposiciones simples de

unión con otras proposiciones para formar Proposiciones compuestas, se les

denomina conectivos lógicos ellas son:

2 Entregar esta actividad N° 1. Con el primer taller que se deje en clase.

http://www.monografias.com/trabajos11/tierreco/tierreco.shtml


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Nombre Símbolo Lógico Símbolo Gramatical

Disyunción v “o”

Disyunción Exclusiva v “o… o…”

Conjunción “ y”

Condicional “ Si … entonces…”

Implicación “ … implica …”

Bicondicional “ … si y solo si …”

Equivalencia o doble implicación “ … equivale a …”

Negación conjunta “ Ni… ni …”

PROPOSICIONES COMPUESTAS

Def n°4 Las Proposiciones Compuestas se forman de unir dos o más

proposiciones simples con uno o más conectivos lógicos. Los Conectivos lógicos dan

su nombre a las proposiciones compuestas que ellos formen. Es decir podemos formar

una conjunción con dos proposiciones simples unidas con el conectivo lógico “y”.

Ejemplos: sean p: María es de Chinú q: Carlos es de Montería

Entonces María es de Chinú y Carlos es de Montería. CONJUNCIÓN

María es de Chinú O Carlos es de Montería. DISYUNCIÓN

O María es de Chinú O Carlos es de Montería. DISYUNCIÓN EXCLUSIVA

Si María es de Chinú entonces Carlos es de Montería. CONDICIONAL

Ni María es de Chinú ni Carlos es de Montería. NEGACIÓN CONJUNTA

Ejercicios3: Con las proposiciones simples de la actividad N° 1 haga ahora

proposiciones compuestas con diferentes conectivos lógicos.

VALOR DE VERDAD

Una proposición simple se sabe tiene dos posibles valores de verdad, falso (f) o

verdadero (v), ahora toda proposición tiene igualmente esas mismas posibilidades de

verdad. Sin embargo, para proposiciones compuestas de dos o más proposiciones

simples podemos analizar caso por caso y su correspondiente valor de verdad.

3 Entregar esta Actividad N° 2 con el primer taller que se deje en clase


15

Si se sigue las rutas de la grafica se observa que para

dos proposiciones resultan cuatro caso, para tres

resultan ocho caso, y ellos nos llevaran a determinar

cuál es valor de verdad real de la proposición que se

esté tratando.

Al determinar ese valor de verdad es indispensable

analizar caso por caso y cada una de las

proposiciones compuestas ya estudiadas.

Para la elaboración de las tablas de verdad se tiene

en cuenta lo siguiente:

Para una proposición p

Para dos proposiciones p y q, consideramos para la primera, dos valores

verdaderos y dos valores falsos, y para la segunda, uno verdadero y uno

falso, uno verdadero y uno falso.

Para 3 proposiciones p, q y r, consideramos

para la primera; 4 valores verdaderos y 4 valores falsos,

para la segunda; 2 verdadero y 2 falso, 2 verdadero y 2

falso y, para la tercera; uno verdadero y uno falso, uno

verdadero y uno falso…

Es posible que ya hayas generalizado para cuatro para 5 o

para cualquier número n de proposiciones. Observa que:

para 1 hay 2 posibilidades



Cuantas habrá para 4?, para 5? Y para n?


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VALOR DE VERDAD DE LA DISYUNCIÓN4

Para analizar los valores de verdad de estas proposiciones basta hacerlo solo con dos

proposiciones simples unidas con conectivo lógico.

La disyunción, recordamos es la proposición formada por dos proposiciones simples

unidas con el conectivo lógico “o” (v)

Suponga cuatro proposiciones cuyo valor de verdad no admita discusión alguna, dos

totalmente verdaderas y dos falsas.

Ejemplo:

p (v): Chinú es un municipio del Departamento de Córdoba

p(f): Sincelejo es un municipio del Departamento de Arauca.

q(v): Simón Bolívar nació en Caracas.

q(f): Bogotá es la capital de Francia.

Si observamos la tabla para dos proposiciones el primer caso es que las dos

proposiciones sean verdaderas.

Es decir, si dijeran:

pvq: Chinú es un municipio del Departamento de Córdoba o Simón Bolívar

nació en Caracas. (v)

El segundo es la primera verdadera y la segunda, falsa.


pvq: Chinú es un municipio del Departamento de Córdoba o Bogotá es la capital de

Francia. (v)

El tercero es la primera falsa y la segunda, verdadera.

4 Construya el valor de verdad de la Disyunción Exclusiva


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pvq: Sincelejo es un municipio del Departamento de Arauca o Simón Bolívar


El último caso son falsas ambas proposiciones

Es decir, si nos dijeran:

pvq: Sincelejo es un municipio del Departamento de Arauca o Bogotá es la capital de

Francia. (f)

La tabla que en resumen resulta es la siguiente

VALOR DE VERDAD DE LA CONJUNCIÓN

La conjunción, recordamos es la proposición formada por dos proposiciones simples

unidas con el conectivo lógico “y” ( )

Consideremos las mismas proposiciones del estudio de la disyunción.

Ejemplo:

p (v): Chinú es un municipio del Departamento de Córdoba




Aplicamos lo mismo


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p q: Chinú es un municipio del Departamento de Córdoba y Simón Bolívar


El segundo es la primera verdadera y la segunda, falsa.


p q: Chinú es un municipio del Departamento de Córdoba y Bogotá es la capital de

Francia. (f)

El tercero es la primera falsa y la segunda, verdadera.


p q: Sincelejo es un municipio del Departamento de Arauca y Simón Bolívar nació

en Caracas. (f)

El último caso son falsas ambas proposiciones


p q: Sincelejo es un municipio del Departamento de Arauca y Bogotá es la capital

de Francia. (f)

La tabla que en resumen resulta es la siguiente


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VALOR DE VERDAD DE LA NEGACIÓN CONJUNTA

La negación conjunta, recordamos es la proposición formada por dos proposiciones

simples unidas con el conectivo lógico “Ni … ni…” ( )

Consideremos las mismas proposiciones de los estudios anteriores.

Ejemplo:

p(v): Chinú es un municipio del Departamento de Córdoba




Aplicamos lo mismo


proposiciones sean verdaderas. Las cuales quedarán convertidas en falsas.

Es como si dijeran:

: Ni Chinú es un municipio del Departamento de Córdoba ni Simón Bolívar

nació en Caracas. (f)

El segundo es la primera verdadera y la segunda, falsa, con lo que se nos invertirán los

valores de verdad.

Es como si dijeran:

: Ni Chinú es un municipio del Departamento de Córdoba ni Bogotá es la

capital de Francia. (f)

El tercero es la primera falsa y la segunda, verdadera. También se nos invertirán los

valores de verdad.

Es como si dijeran:

: Ni Sincelejo es un municipio del Departamento de Arauca ni Simón Bolívar

nació en Caracas. (f)


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El último caso son falsas ambas proposiciones, pero quedarán convertidas en

verdaderas ambas.

Es como si dijeran:

: Ni Sincelejo es un municipio del Departamento de Arauca ni Bogotá es la

capital de Francia. (v) La tabla que en resumen resulta es la siguiente

VALOR DE VERDAD DEL CONDICIONAL

El condicional, recordamos es la proposición formada por dos proposiciones simples

unidas con el conectivo lógico “Si…entonces..” ( )

Consideremos la siguiente proposición.

Si me graduó de Ingeniero Civil entonces pavimento mi pueblo natal.

Ahora suponemos los valores de verdad de cada proposición a diferencia de los

ejemplos anteriores que ya estaban determinados.

Sea p: me graduó de Ingeniero civil q: pavimento mi pueblo natal



Supongamos que si hubo grado de ingeniero civil y si hubo pavimento en el pueblo,

diríamos entonces que fue una promesa cumplida por lo que la frase es verdadera.

(v) Supongamos que si hubo grado de ingeniero civil y si no hubo pavimento en el

pueblo, diríamos entonces que fue una falsa promesa por lo que la frase es falsa. (f)


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Supongamos que no se graduó de ingeniero civil y cumplió, pavimento el pueblo, sin

ser ingeniero, lo que hace de la frase una verdad. (v)

Y por último si suponemos que ni hubo grado de ingeniero civil, ni hubo pavimento

en el pueblo, diríamos entonces que no se nos dijo mentira dado que no fue ingeniero,

en este caso la frase es verdadera. (v) La tabla que en resumen resulta es la siguiente

Las proposiciones formadas con un condicional reciben ese nombre (condicional), y

específicamente la primera se le denomina antecedente y la segunda consecuente.

VALOR DE VERDAD DEL BICONDICIONAL

El Bicondicional es una doble condición, tiene una equivalencia con la conjunción de

condicionales invirtiendo el antecedente y el consecuente en el segundo condicional,

su tabla de verdad es la siguiente:

NEGACIÓN DE PROPOSICIONES COMPUESTAS

A continuación se describe el proceso para negar cada una de las proposiciones vistas:

NEGACIÓN LA DISYUNCIÓN.

Para negar una disyunción se niegan las proposiciones y se cambia el símbolo de la

disyunción por el de la conjunción. Esto es, q).~p(~q)(p~


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Ejemplo gramatical:

Chinú es un municipio del Departamento de Córdoba o Simón Bolívar


Su negación es:

Chinú no es un municipio del Departamento de Córdoba y Simón Bolívar

no nació en Caracas. (f)

NEGACIÓN LA CONJUNCIÓN

Para negar una conjunción se niegan las proposiciones y se cambia el símbolo de la

conjunción por el de la disyunción. Esto es, q).~p(~q)(p~

Ejemplo gramatical:

Chinú es un municipio del Departamento de Córdoba y Simón Bolívar


Su negación es:

Chinú no es un municipio del Departamento de Córdoba o Simón Bolívar


NEGACIÓN DEL CONDICIONAL

Para negar un condicional se deja el antecedente, se cambia el símbolo del

condicional por el de la conjunción y se niega el consecuente. Esto es:

q).~(pq)(p~

Ejemplo gramatical:

Si Chinú es un municipio del Departamento de Córdoba entonces Simón Bolívar



23

Su negación es:

Chinú es un municipio del Departamento de Córdoba y Simón Bolívar


LA NEGACIÓN CONJUNTA5

LOS CUANTIFICADORES

Hay dos cuantificadores básicos: el cuantificador existencial, y el cuantificador

universal. Aquí están los símbolos.

Nombre Notación Se lee

cuantificador universal x... Para todo x...

cuantificador existencial ...x Existe por lo menos un x...

Las declaraciones cuantificadas se escriben en la forma px, o q/y que se leen

"para todo x, es verdad que p" y "existe por lo menos un y tal que q es verdad".

En realidad, estos dos cuantificadores son iguales, ya que px, dice lo mismo que

dice q/y . En otras palabras, decir "no es para todo x que p es verdad" es igual que

decir "existe x tal que p es falsa".

Las proposiciones simples o compuestas pueden contener un cuantificador universal o

existencial.

Los niños juegan, esta proposición contiene un cuantificador universal

Hay un niño que no es feliz, esta proposición contiene un cuantificador existencial.

5 Actividad n° 3 Niegue la negación conjunta y la disyunción Exclusiva y entregue en el próximo taller que

se deje en clase


24

CONVERSIÓN DE LENGUAJE LÓGICO AL GRAMATICAL Y

VICEVERSA

Consideremos las proposiciones siguientes:

P: José Yances fue un futbolista profesional

q: Cartagena es una ciudad de muy bajas temperaturas

r: Los calzados de mi pueblos son de buena calidad

s: En Sincelejo hacen corralejas en Enero

DE GRAMATICAL A SIMBOLOGÍA LÓGICA

Expresemos en forma gramatical las siguientes representaciones en símbolo lógico.

a)

pq~ b) r~q

c) r)(qs d)

q~r)(p

Solución :

a) pq~ : Cartagena no es una ciudad de muy bajas temperaturas y

José Yances fue un futbolista profesional.

b) r~q : Cartagena es una ciudad de muy bajas temperaturas o Los calzados

de mi pueblo no son de buena calidad.

c) r)(qs : Si En Sincelejo hacen corralejas en enero entonces Cartagena

es una ciudad de muy bajas temperaturas y Los calzados de mi pueblo son

de buena calidad.

d) q~r)(p : José Yances fue un futbolista profesional y Los calzados de mi

pueblo son de buena calidad, o Cartagena no es una ciudad de muy bajas

temperaturas.

Ahora podemos expresar en símbolos lógicos un texto gramatical que esté formado

por proposiciones dadas.


25

DE SIMBOLOGÍA LÓGICA A GRAMATICAL

Consideremos las mismas proposiciones anteriores:

P: José Yances fue un futbolista profesional

q: Cartagena es una ciudad de muy bajas temperaturas

r: Los calzados de mi pueblo son de buena calidad

s: En Sincelejo hacen corralejas en Enero

Expresemos en símbolo lógico los siguientes textos gramaticales.

a) Si Cartagena es una ciudad de muy bajas temperaturas entonces Los

calzados de mi pueblo no son de buena calidad.

b) En Sincelejo no hacen corralejas en Enero o José Yances fue un futbolista

profesional.

c) Ni Cartagena es una ciudad de muy bajas temperaturas ni José Yances fue

un futbolista profesional

d) Si En Sincelejo no hacen corralejas en Enero entonces ni Cartagena es

una ciudad de muy bajas temperaturas ni José Yances fue un futbolista

profesional.

Solución, amigo estudiante es un gusto informarte que solo se hará el cuarto ejercicio

que es el de más cuidado, tú haces los demás en la libreta de apuntes.6

d) p)(qs~ Este es el esquema que representa el texto del inciso d). se leería: si no s entonces ni q

ni p

ESQUEMAS PROPOSICIONALES Y SUS TABLAS DE VERDAD

Def n°4 Un esquema proposicional, es una representación de una o más

proposiciones unidas con conectivos lógicos. Ejemplo: La representaciones de los

textos anteriores en simbología lógica son esquemas proposicionales.

a) pq~ b) )r(qs c)7 q~r)(p d)8

r~q

6 Actividad N° 4 haga el ejercicio en su libreta de apuntes

7 Actividad N° 5, construya la tabla de verdad


26

Si deseamos saber cuál es el valore de verdad del texto que está representado por

cada uno estos esquemas proposicionales es indispensable elaborar una tabla de

verdad que me indique el valor de verdad de ellos conociendo el valor de verdad de

las proposiciones simples que lo forman.

Ejemplo: quiero saber cuál es el valor de verdad en cualquier caso de:

a) pq~ b) )r(qs

ESQUEMAS PROPOSICIONALES EQUIVALENTES

Def n°5 Un esquema proposicional se dice que es equivalente a otro si para cada

caso igual coinciden sus valores de verdad. Esto es si al construir la tabla de verdad de

ellos el resultado que se obtiene es el mismo.

Ejemplo: la negación conjunta es equivalente a la conjunción de las negaciones de las

proposiciones, es decir:

q)~p(~q)(p

Para comprobar esta equivalencia, debemos construir las tablas de los esquemas, ya

conocemos la de la negación conjunta.

8 Actividad N° 6, construya la tabla de verdad.


27

TAUTOLOGÍAS Y FALACIAS

Algunos esquemas proposicionales son siempre VERDADEROS para todos los

casos, pues a ellos se les denomina tautología, y a los que son siempre falsos,

pueden ser las negaciones de las tautologías se les denomina falacia.

Ejemplo: Tautología

Falacia

CONJUNTO

Def n°6 Ésta no es propiamente una definición dado que en el estudio de las

matemáticas y más exactamente en la teoría de conjuntos no se encuentra una

definición de CONJUNTOS, este es un concepto primitivo, por lo tanto no tiene

definición, no obstante, podemos hacernos una idea de lo que es conjunto, o qué

podemos considerar como tal.

A los términos colección, grupo, equipo, familia, agrupación…, nos dan la idea de

conjunto.

Ejemplo 1: Consideremos al conjunto A formado por los países de

América del sur, así


28

Ejemplo 2: Consideremos al conjunto B formado por los alumnos de este curso, Así

Ejemplo 3: Consideremos al conjunto C formado por los niños que hay en el

mundo, así

Ejemplo 4: Consideremos al conjunto D formado por los rectores de la Universidad

de Sucre, así

Ejemplo 5: Consideremos al conjunto N formado por todos los números naturales,

Así o

Ejemplo 6: Consideremos al conjunto E formado por las empresas agroindustriales

del Departamento de Sucre, así

Escriba en su libreta de ejercicios o apuntes cinco ejemplos de conjunto

imaginados o creados por Usted. ¡PIENSE!

ELEMENTO

Def. Nº 7 A cada uno de los objetos, personas o cosas que forman un conjunto se les

denominan ELEMENTOS.

Notación de Conjuntos

Como pudo ver en los ejemplos dados, por notación se acostumbra a representar a los

conjuntos con letras mayúsculas de nuestro abecedario (A, B, C, D, E…) mientras que

a los objetos o elementos que los conforman se les representa con letras minúsculas,

números, o cualquier otro símbolo separados entre sí por coma (,) y encerrados entre

llaves

Ejemplo 7: Consideremos el conjunto H como el conjunto formado por las vocales,

entonces .


29

RELACIÓN DE PERTENENCIA Y NO PERTENENCIA

Consideremos el siguiente conjunto , Pregunta:

¿Cuántos elementos tiene el conjunto A?

Usted responde lo que la mayoría de los estudiantes en esta parte del curso

responderían, Está pensando en OCHO cierto? Veamos:

Detallemos uno a uno los elementos del conjunto A

1. El elemento pertenece al conjunto A






Aunque estén en un corchete dentro del conjunto A no son propiamente

elementos de él, y a pesar de que el elemento tenga aspecto de conjunto, al

estar dentro del corchete que agrupa los elementos de A, lo convierte en eso, en

ELEMENTO. Podríamos decir que:

1. El elemento no pertenece al conjunto A

2. El elemento no pertenece al conjunto A

Los símbolos de pertenencia y no pertenencia son respectivamente de manera

que lo anterior se puede representar así:

A A A A

A A A A

DETERMINACIÓN DE CONJUNTOS

Un conjunto lo podemos determinar o nombrar por comprensión o por extensión y

algunos podemos nombrarlos de las dos formas.

Aquellos conjuntos cuyo número de elementos es pequeño y que se quiere visualizar


30

todos y cada uno de sus elementos podemos determinarlo por extensión.

Ejemplo 8: Consideremos al conjunto A formado por los números dígitos, entonces

A=

Este mismo conjunto podemos determinarlo por comprensión así,

.

Ejemplo 9: Considere al conjunto B como el conjunto formado por los profesionales

de la ADMINISTRACIÓN en Colombia, Entonces

Def. Nº 8 Determinar un conjunto por extensión consiste en presentar dentro

un signo de agrupación, preferiblemente corchete, todos y cada uno de los elementos

que lo conforman separados por una coma. Como se hizo con los ejemplos 1, 4, 7 y 8

Def. Nº 9 Determinar un conjunto por comprensión consiste en representar sus

elementos con un símbolo (Generalmente se ha usado x) y damos una cualidad o

característica común de sus elementos. Los conjuntos de los ejemplos 2, 3, 5, 6, 7, 8 y

9

Cuando los elementos de un conjunto cumplen un orden podemos escribir los tres o

cuatro primeros seguidos de tres puntos suspensivos como fue el caso del ejemplo nº 5

CLASIFICACIÓN DE CONJUNTOS

Los conjuntos los podemos clasificar según su número de elementos de forma general

y particular.

Def. Nº 10 En forma general: si el número de elementos de un conjunto se puede

determinar o contar o se tiene la certeza de que es finito, el conjunto recibe ese

nombre, conjunto finito.

Ejemplo 10: El conjunto formado por todos los egresados de la Universidad de

sucre.

Ejemplo 11: Los conjuntos de todos los ejemplos anteriores excepto el del ejemplo


31

nº 5 son finitos. A pesar de que algunos sean de un número exageradamente grande

de elementos como es el caso de los niños que viven en el mundo del ejemplo nº 3,

son finitos

Ejemplo 12: Otro conjunto cuyo número de elementos es extenso y que sin embargo

es finito, es el de los granitos de arena que hay en los océanos.

Def. Nº 11 Igualmente si un conjunto tiene un infinito número de elementos, el

conjunto se le denomina, conjunto infinito. Como ejemplo recordamos el de los

números naturales

Ejemplo 13: Los conjuntos infinitos más representativos son los numéricos como los

ENTEROS, RACIONALES, IRRACIONALES y REALES

Def. Nº 12 Aquel conjunto del ejemplo nº 4 es muy particular, pues solo cuenta

con un único elemento, a este tipo de conjuntos se les denomina conjuntos

unitario.

Ejemplo 14: El conjunto formado por los valores de x para los cuales x+5=2, es un

conjunto unitario.

Escriba en su libreta de ejercicios o apuntes cinco ejemplos de conjunto

unitarios imaginados o creados por Usted. ¡PIENSE!

Hasta el momento hemos tratado con conjuntos que son formados por uno o varios

elementos, consideremos los siguientes ejemplos:

Ejemplo 15: El conjunto formado por los campeonatos mundiales de futbol en los

cuales Colombia ha sido CAMPEÓN.

Al revisar las estadísticas de los mundiales de futbol realizados, se puede constatar que

nunca Se ha logrado tal resultado.


32

U 1 7 4 6 2 8 9 0 3 5

Ejemplo 16: Podríamos pensar en las personas mayores de cien años que se

encuentran en este salón.

Y observa que no hay ninguno con esa característica.

Def. Nº 13 Este tipo de conjuntos puede ser considerado y recibe el nombre de

conjunto vacío. Y se denota con el símbolo ø.

Escriba en su libreta de ejercicios o apuntes cinco ejemplos de conjunto vacios

imaginados o creados por Usted. ¡PIENSE!

CONJUNTO UNIVERSAL

Def. Nº 14 En determinadas situaciones se requiere de un conjunto referencial que

nos permita definir otros conjuntos cuyos elementos estén incluidos en este conjunto

global, a este conjunto se le denomina Conjunto Universal, y lo denotamos con la

letra U

Ejemplo 17: Consideremos el conjunto formado por los estudiantes de este curso, a

partir de ésta condición general podemos plantear otras condiciones. Podríamos

considerar la condición siguiente:

Los estudiantes del curso que son menores de edad.

Los estudiantes del curso de sexo masculino.

Los estudiantes del curso oriundos de esta ciudad.

DIAGRAMA DE VENN

Consideremos el conjunto el cual está representado como

usualmente se hace, podría también representarse dentro de una figura cerrada (como

un óvalo, un círculo, un rectángulo…) y decir que está representado mediante un

Diagrama de Venn así:


33

SUBCONJUNTO

Def. Nº 15 Un conjunto puede estar contenido implícitamente en otro, esto ocurre

cuando todos sus elementos están en ese otro conjunto, consideremos el siguiente

ejemplo:

Ejemplo 18: Sea y sea , como ve los elemento de B

son elementos a la vez de A, B está contenido en A, y se denota así

Entonces, se dice que un conjunto B es Subconjunto de A si todos los elementos de

B son a la vez elementos de A

Notas:

El conjunto vacío es subconjunto de todo conjunto incluso de él mismo.

Todo conjunto es subconjunto de él mismo

NUMERO DE SUBCONJUNTOS DE UN CONJUNTO

Ejemplo 19: Considere el conjunto A= el cual tiene cuatro (4) elementos;

¿Cuáles y cuántos son sus subconjuntos?

De acuerdo a la nota anterior los dos primeros subconjuntos serán, vacío y el mismo

conjunto A; le seguirán en su orden todos los subconjuntos unitarios los cuales son

cuatro, ; podemos contar los subconjuntos

que tienen dos elementos, son seis; y podemos

obtener todos los subconjuntos de tres elementos los cuales son otros cuatro

. En total este conjunto de cuatro elementos tiene:

1 subconjunto que no tiene elemento, vacío

4 subconjuntos de un elemento

6 subconjuntos de dos elementos

4 subconjuntos de tres elementos y

1 subconjunto de cuatro elementos, que es él mismo

16 subconjuntos en total

Y así en forma general, el número de subconjunto de un conjunto de n elementos

está dado por la forma , para el caso anterior 24 = 16.


34

NUMERO COMBINATORIO

A la expresión o se lee combinado y está dada por la fórmula

el cual me permite saber cuántos subconjuntos de elementos salen de un

conjunto de – elementos, donde y se conoce como

el número factorial, para los casos particulares 0!=1!=1

En el conjunto de cuatro elementos sus 16 subconjuntos estuvieron distribuidos así:

Subconjunto de cero elemento

Subconjuntos de un elemento

Subconjuntos de dos elementos

Subconjuntos de tres elementos

Subconjunto de cuatro elementos

PARTES DE UN CONJUNTO

Def. Nº 16 Al conjunto formado por todos los subconjuntos de un conjunto A lo

denominamos partes de A y se denota como .

Ejemplo 20: si tomamos el mismo conjunto del ejemplo anterior se tiene que

SUBCONJUNTO PROPIO

Def. Nº 17 Los subconjuntos de un conjunto A excepto el mimo conjunto A son

subconjuntos propios de A

Ejemplo 20: Los elementos de pates de A del ejemplo 18 excluyendo al conjunto A

son Subconjuntos propios de A, es decir que en ese ejemplo hay 15 subconjuntos

propios.

Y en general, el número de subconjuntos propios de un conjunto de n

elementos está dado por la forma ,


35

Para denotar que un conjunto B es subconjunto propio de otro conjunto A

escribimos

IGUALDAD DE CONJUNTOS

Def. Nº 18 Dos conjuntos A y B se dicen que son iguales si son subconjuntos entre sí,

es decir los elementos de A son elementos de B y al mismo tiempo los elementos de B

son elementos de A. Si es así se escribe A=B es equivalente a que .

Ejemplo 21) Los conjuntos y , son

iguales.

RELACIÓN DE CONTENENCIA Y NO CONTENENCIA

Consideremos el siguiente conjunto M , Pregunta:

¿Cuáles de los siguientes subconjuntos son subconjuntos propios de M?

, , ø,

Veamos las respuestas para cada caso:

Para 3,4N la respuesta es que N no está contenido en M dado que tiene un

elemento, a 4, que no es elemento de M. en este caso se denota así MN

Para ia,3,Q la respuesta es que Q está contenido en M dado que todos sus

elementos, son elementos de M. en este caso se denota así MQ

Para 4P la respuesta es que P está contenido en M dado que su único

elemento, pertenece a M. en este caso se denota así MP

Para la respuesta es que está contenido en M dado que vacío es subconjunto

de todo conjunto, así M

Para 43,,D la respuesta es que D no está contenido en M dado que ø no

es elemento de M. en este caso se denota así MD


36

OPERACIONES CON CONJUNTOS

Def. Nº 19 Dados dos conjuntos A y B, podemos obtener a partir de ellos un nuevo

conjunto formado por los elementos que están en A o en B, o en ambos, ese nuevo

conjunto se le llama la unión de A con B. Lo anterior lo podemos denotar de la

siguiente manera: BA

Lo anterior se puede expresar en forma simbólica de la siguiente manera:

BxA x/xBA

Ejemplo 22) Dados los conjuntos: 5,6,7,8,90,1,2,3,4,A y ,12,142,4,6,8,10B

Podemos obtener BA , el cual quedaría así 10,12,145,6,7,8,9,0,1,2,3,4,BA


conjunto formado por los elementos que están en A y en B, es decir los que están en

ambos, ese nuevo conjunto se le llama la intersección de A con B. Lo anterior lo

podemos denotar de la siguiente manera: BA

Lo anterior se pude expresar en forma simbólica de la siguiente manera:

Bx Ax/xBA

Ejemplo 23) Dados los conjuntos del ejemplo 22 5,6,7,8,90,1,2,3,4,A y

,12,142,4,6,8,10B . Podemos obtener BA , el cual quedaría así

2,4,6,8BA


37

Def. Nº 21 Aquellos conjuntos que no tienen elementos en común y cuya

intersección resulta vacía, o sin elementos, se les denominan disyuntos

Ejemplo 24) Los conjuntos 1,4,6A y 2,5,7B no tienen elementos en común

ellos son disyuntos.


conjunto formado por los elementos que están en A y no en B, ese nuevo conjunto

se le llama la diferencia de A con B, o A menos B. Lo anterior lo podemos denotar

de la siguiente manera: BA


Bx Ax/xBA



BA

90,1,3,5,7,

Análogamente podemos definir el conjunto diferencia de B con A, o B menos A, Así

tendríamos:


conjunto formado por los elementos que están en A y no en B, ese nuevo conjunto

se le llama la diferencia de B con A, o B menos A. Lo anterior lo podemos denotar

de la siguiente manera: AB


38


Ax Bx/xA-B


,12,142,4,6,8,10B . Podemos obtener AB , el cual quedaría así

10,12,14A-B


conjunto formado por los elementos que están en BA y no en BA ese nuevo

conjunto se le llama la diferencia simétrica de A con B, o B con A. Lo anterior lo

podemos denotar de la siguiente manera: BA o AB ; También podemos definirlo

como la unión de BA y AB , así BA AB )BA()BA(

)AB()BA(


B)A(x B)A(x/xBA



141210309571 ,,,,,,,,BA


39

Def. Nº 25 Dado el conjunto Universal o referencial y un subconjunto A de U,

podemos obtener a partir de él un nuevo conjunto formado por los elementos que

están en U y no en A, Es decir U-A ese nuevo conjunto se le denomina

complemento de A. Lo anterior lo podemos denotar de la siguiente manera: AC O

A’

U

Ejemplo 28) Consideremos al Conjunto U como el conjunto formado por todos los

naturales menores de 15, es decir 15<xy N x/x=U y sea A el mismo conjunto de

los ejemplos inmediatamente anteriores 5,6,7,8,90,1,2,3,4,A , Así

0,1312,11,14,1A'

Ejemplo 29) Igualmente si 15<xy N x/x=U y ,12,142,4,6,8,10B , tendríamos

también a 9,11,130,1,3,5,7,B'

U

Las anteriores operaciones cumplen entre otras las siguientes operaciones: Para todo

conjunto universal U y todo conjunto A, B y C contenidos en U, se cumple:

AA A AA AAA

AAA 'U 'U ABBA

U'AA 'AA UUA AUA

ABBA )CB(AC)BA( )CB(AC)BA(

A

12 10 11 13 14

A 0 1 2

3 4 8 5

6 7 9

11 13 9 7 5 3 1 0

B 4 6

2 10 12

8 14


40

A)''A( )CB()BA(C)BA( )CB()BA(C)BA(

Estas propiedades se pueden comprobar a través de las regiones que ocupan en los

diagramas de Venn. Consulte otras propiedades y compruébelas como a continuación

las representaremos.

Las operaciones con tres conjuntos requieren de mayor ilustración y la mejor forma de

hacerlo es mediante los diagramas de Venn, veamos las siguientes regiones:

)BA( )CB( )CA( C)BA( C)BA(

)'CB( )'BA( CBA()'CBA(

NÚMERO DE ELEMENTOS DE UN CONJUNTO

A los conjuntos que se han obtenido a partir de la operación entre otros conjuntos se

les puede determinar su número de elementos en función del número de elementos de

cada uno de esos conjuntos que se operaron, así:

1 )BA(n)B(n)A(n)BA(n

2 )CBA(n)CB(n)CA(n)BA(n)C(n)B(n)A(n)CBA(n

3 )BA(n)'A(n)U(n)A(n

APLICACIONES

La teoría de conjunto tiene estrecha relación con la realidad y con la cotidianidad, es

de gran apoyo en estudios o investigaciones. Los siguientes problemas son ejemplo de

ello.


41

Ejemplo 30: En una encuesta realizada a cien personas en el centro de la ciudad de

Sincelejo con relación al supermercado(s) preferido(s) para realizar sus compras y se

obtuvo el siguiente resultado: Ocho de las personas encuestadas respondió que

compraba en los tres principales supermercados, veinte personas respondieron que

compraban en los supermercados Éxito y Ley, igual número de personas respondió

que en Ley y en SAO, dieciocho personas respondieron que en el SAO y en Éxito,

cuarenta personas respondieron que en el nuevo almacén Éxito y cuarenta y cuatro en

el SAO y catorce personas no compran en ninguno de estos tres supermercados.

Pregunta: ¿Cuántas personas compran en el Ley? ¿Cuántas personas compran en dos

almacenes exactamente? ¿Cuántas personas compran en más de un supermercado?

¿Cuántas personas compran en exactamente un supermercado? ¿Cuántas personas

compran a lo sumo en dos supermercados?

Solución, para mayor ilustración y comprensión del problema representaremos la

información en un diagrama de Venn, ubicando los datos interiores primeros, es decir

la triple intersección, si representamos al conjunto de personas que dijo que compraba

en el almacén Éxito con la letra A, A los del supermercado Ley con la letra B y al SAO

con la letra C tenemos:

La información siguiente fue que 20 personas compraban en A y en B,

y como ya llevamos 8 en la triple intersección no queda sino que

colocar el reto donde corresponde:

Luego nos informaron que 18 personas compran en A (éxito) y C (SAO)

por lo que tendríamos:

Más tarde nos dijeron que 40 personas compran en él A (éxito) y 44

en el C (SAO) haciendo la resta de los que ya están incluidos nos

queda:

y finalmente 14 personas no compran en ninguno de los tres

supermercados por lo que tenemos:


42

No queda faltando cuántas personas compran en el almacén B que es una de las

preguntas; para eso, debemos remplazar los datos que nos dieron en la fórmula Nº 2

de número de elementos y tenemos:

)CBA(n)CB(n)CA(n)BA(n)C(n)B(n)A(n)CBA(n No se conoce directamente el número de elementos de la triple unión, sin embargo,

los encuestados son 100 y 14 no están en la triple unión y de acuerdo a la formula Nº

3 de número de elementos se tiene:

))'CBA((n)U(n)CBA(n 8614100)CBA(n

Por lo anterior

8201820444086 )B(n 925886 )B(n )B(n92144

)B(n52

Y si vemos la gráfica ya llevamos 32 en B faltarán por ubicar los últimos 20 así, con la

siguiente grafica podemos responder todas las preguntas

1. ¿Cuántas personas compran en el Ley? R/ta 52

2. ¿Cuántas personas compran en dos almacenes exactamente? R/ta 34

3. ¿Cuántas personas compran en más de un supermercado? R/ta 42

4. ¿Cuántas personas compran en exactamente un supermercado? R/ta 44

5. ¿Cuántas personas compran a lo sumo en dos supermercados? R/ta 92

Pregunta 1 Pregunta 2 Pregunta 3 Pregunta 4 Pregunta 5


43

Ejemplo 31: La administración de una empresa realizó una encuesta sobre los

destinos de preferencia de sus trabajadores en vacaciones logrando los siguientes

encuestados: 45, prefieren el eje cafetero; 15, no viajarán; 105, irán a por lo menos

uno de esos sitios; 3, decidieron a los tres sitios en cuestión; 20, prefieren a Santa

Marta y al Eje Cafetero; 15, a Santa Marta y Cartagena; 18, al Eje Cafetero y

Cartagena; en total, 50 prefieren ir a Santa Marta. ¿Cuántos prefieren ir a Cartagena?

¿Cuántos prefieren ir a Santa marta o Cartagena pero no al Eje Cafetero? ¿Cuántos

prefieren ir a dos sitios exactamente? ¿Cuántos prefieren ir a un solo sitios?

Este ejemplo lo resolveremos sacando los datos primero:

Sea A, el conjunto de los que prefieren el Eje cafetero

Sea B, el conjunto de los que prefieren Santa Marta y

Sea C, el conjunto de los que prefieren Cartagena

Así tenemos:

45)A(n 105)CBA(n 50)B(n 3)CBA(n

15))'CBA((n 20)BA(n 15)CB(n 18)CA(n

Si representamos esta información no quedará faltando pero si remplazamos en

)CBA(n)CB(n)CA(n)BA(n)C(n)B(n)A(n)CBA(n

Tenemos 31518205045105 )C(n

9853105 )C(n )C(n98158

)C(n60

Por lo tanto podemos resolver el cuestionario con el

Siguiente gráfico:

1. ¿Cuántos prefieren ir a Cartagena? R/ta 60

2. ¿Cuántos prefieren ir a Santa marta o Cartagena pero no al Eje Cafetero? R/ta 60

3. ¿Cuántos prefieren ir a dos sitios exactamente? R/ta 44

4. ¿Cuántos prefieren ir a un solo sitios? R/ta 58


44

Pregunta 1 Pregunta 2 Pregunta 3 Pregunta 4

Después de realizar una encuesta en un determinado estado o departamento sobre los

servicios básicos de sus municipios, se sabe que:

El 65% de los municipios tiene servicio de acueducto

El 60% de los municipios tiene servicio de energía

El 40% de los municipios tiene servicio de telefonía

El 40% de los municipios tiene servicio de acueducto y energía

El 25% de los municipios tiene servicio de acueducto y telefonía

El 20% de los municipios tiene servicio de energía y telefonía

El 85% de los municipios tiene por lo menos uno de los tres servicios

Determine:

1. % de los municipios que tienen los tres servicios

2. % de los municipios que tienen los servicios de acueducto y energía pero no

telefónica

3. % de los municipios que tienen sólo un servicio

4. % de los municipios que no tienen ninguno de los tres servicios

5. % de los municipios que tienen exactamente dos servicios

Remplazando en

)TEA(n)TE(n)TA(n)EA(n)T(n)E(n)A(n)TEA(n

Tenemos los siguientes datos en porcentajes

)TEA(n25204040606585 )TEA(n1254585

)TEA(n125130 )TEA(n5


45

Luego ubicando los datos en sus respectivas regiones tenemos

El dato que nos restaría sería el complemento de la triple unión para

lo cual hacemos el siguiente análisis; sabemos que el 85% de los

encuestados tiene por lo menos uno de los tres servicios y para llegar

al cien por ciento de los encuestados falta el 15% que sería el

complemento de la triple unión, así tendríamos:

Para responder los interrogantes tenemos las gráficas siguientes:

Pregunta 1 Pregunta 2 Pregunta 3 Pregunta 4 Pregunta 5


46

EJERCICIOS UNIDAD Nº 1

Parte 1) LÓGICA

1. Escriba cinco proposiciones simple con valor de verdad indiscutible verdadero.

2. Escriba cinco proposiciones simple con valor de verdad indiscutible falso.

3. Escriba cinco proposiciones simples con valor de verdad indefinido. (abiertas)

4. Construya mínimo 20 proposiciones compuestas con los distintos conectivos

lógicos dados.

5. Determine el valor de verdad de estas últimas proposiciones compuestas a

partir del valor de verdad de las proposiciones que las forman.

6. Construya un texto con 6 proposiciones mínimo de las que elaboró en los

inciso 1 y 2 con su respectivo esquema proposicional.

7. Construya la tabla de verdad de ese esquema proposicional.

8. Construya la tabal de verdad de los siguientes esquemas proposicionales:

a) q).~(rq)r(~p

b) p).(rq)(r~p

9. Niegue las siguientes proposiciones:

a) Si Ana gana la competencia entonces Pedro se va del pueblo

b) Ni Carmelo es Campeón ni María es una Atleta.

c) Los Ingenieros son buenos y algunos niños tienen hambre

Parte 2) CONJUNTO

1. Determine por extensión los siguientes conjuntos.

a) 30 a divide Z/xxA

b) 8x5-Z/xB

2. Determina por comprensión los siguientes conjuntos.

a) 11,A

b) ..3,6,9,12,.B

c) 2,3,5,7C

d) laBarranquil Medellín,Cali, ogotá,BD

3. Propón 5 ejemplos de conjuntos y determínalos por comprensión y por


47

extensión.

4. Sea 1197531 ,,,,,A A= . Determina el valor verdad de

cada enunciado.

a) A1,3

b) A9,11

c) A3,5,7

d) A

e) A

f) A

5. Dados los siguientes conjuntos.

8x10-Z/xU 3x2-Z/xA 5x5-Z/xB

3x7-Z/xC Hallar :

a) BA b) A)CB( c) 'A)BC(

d) C)BA( e) A)'BC( f) )BA()'CA(

6. En un hospital se encuentran internados 110 pacientes, de los cuales 57

tienen dolores estomacales, 48 gripe y 51 fiebre. 17 tienen fiebre y gripe,

19 gripe y dolores estomacales, 28 dolores estomacales y fiebre, y 10

presentan los tres síntomas.

¿Existen pacientes que no presenten los síntomas mencionados

Anteriormente? ¿Cuántos tienen solo gripe y fiebre? ¿Cuántos presentan solo

dos síntomas de los mencionados anteriormente?

7. Indica por medio de operaciones entre conjuntos a que corresponde la

región sombreada de cada diagrama.

a) c)

b) d)


48

CONCEPTOS BÁSICOS DEL ÁLGEBRA

OBJETIVOS:

Proporcionar al estudiante las herramientas conceptuales referidas al álgebra que

posibiliten plantear, resolver e interpretar problemas específicos de la ingeniería.

Al finalizar la unidad el estudiante de administración de empresas estará en

condiciones de:

1. Identificar entre expresiones algébricas las que son polinomios.

2. Identificar las partes de un término en un polinomio.

3. Clasificar polinomio según el número de términos que lo forman.

4. Realizar operaciones con polinomios a partir de la reducción de términos

semejantes

5. Relacionar a los productos de polinomios con los casos de factorización.

INTRODUCCIÓN

Las definiciones y los ejercicios de la siguiente unidad nos darán las bases para

expresar algunas situaciones o fenómenos reales en una expresión algébrica; con

estas se enuncian las leyes de la física, la química, la astronomía, los perímetros,

aéreas, costo, ingreso, utilidades de una empresa y muchas otras que son de gran

importancia en la Administración y la economía.

EXPRESIONES ALGÉBRICAS

Def Nº 26 A las operaciones indicadas que se escriben con los símbolos y letras que

representan cantidades desconocidas (incógnitas) o elementos de un conjunto

(variables) ya sea suma, resta, multiplicación, división, potenciación y/o radicación se

les denominan operaciones algebraicas. Y Al conjunto de letras y números ligados


49

entre sí con los signos de las operaciones algebraicas se denomina expresión

algebraica.

Ejemplo 32: Son ejemplos de expresiones algébricas las siguientes: acxy 32

,

37

23 5

t

xt,

5256 xytm

Def 27) Una expresión algebraica a la que podamos distinguir principalmente los

siguientes elementos denominamos término algebraico: zx 23

(S) El signo, en este caso es negativo

(PN) Parte Numeral, en este caso es 3

(PL) Parte literal, en este caso son x, z.

(E) exponente, en este caso son 2, 1.

Obs: Es posible que no aparezca el signo, entonces se asume como positivo

O que no aparezca la parte numeral, entonces asumimos como uno

O que no aparezca el exponente, entonces lo asumimos como uno

O que no aparezca la parte literal, entonces asumimos que puede ser cualquier

letra con exponente cero

Son ejemplos de términos algebraicos los siguientes:

Ejemplo 33:

36 p 4

4yz

25mk

Def 28) Monomio es una expresión algebraica que solamente contiene productos

de números reales y de potencias de una o varias variables, cuyos exponentes son

números naturales. Del ejemplo anterior el último término algebraico no puede ser

monomio. ¿Por qué?.... ¿Hay diferencia entre término algebraico y monomio?

Observamos que los polinomios (con una o dos variables) se construyen al sumar o

sustraer términos de la forma nax , o bien:

mn ybx ; en tales casos, a y b son números

reales, mientras que m y n son números naturales. En un polinomio, ninguna variable

puede aparecer en el denominador ni como exponente ni dentro del signo de radical

ni entre las barras verticales que indican valor absoluto. Así no son polinomios


50

52 3x , 25mk ,

37

23 5

t

xt,

x3 .

Def 29) Binomio es una expresión algebraica que se obtiene de la suma o diferencia

indicada de dos monomios.

Ejemplo 33:

46 3p , 33 75 xn

Aclaro que hay expresiones que a veces forman polinomios, y veamos si puedes

descubrir lo que tienen en común los polinomios, ya que esas condiciones no se

cumplen en expresiones no polinómicas.

Def 30) Los monomios como 3x3y, -5x3y y 7x3y que tienen la misma parte literal con

sus respectivos exponentes iguales en sus variables se les llaman término semejante.

Los términos semejantes tienen la particularidad de que se pueden reducir entre sí por

medio de las operaciones indicadas que determinen sus propios signos.

Los tres términos semejantes dados en la definición como ejemplo podemos recudirlos

a uno solo así 3x3y -5x3y + 7x3y = 5x3y

Def 31) Trinomio es una expresión algebraica que se obtiene de la suma o

diferencia indicada de tres monomios.

Ejemplo 34:

466 3 np , 423 745 xxn

Def 32) Y en general un polinomio de una variable es una expresión de la forma

nn

nn axaxaxa 1

1

10 ... con n que pertenece a los naturales y si , se dice

que el grado del polinomio es n.

Es conveniente identificar ciertos tipos de polinomios para que su estudio sea más

eficiente. Con este propósito se emplea el concepto de grado.


51

Def 33) Si un término del polinomio tiene solamente una variable como factor, el

grado de ese término es la potencia de dicha variable. Si en un término aparecen dos

o más variables como factores, el grado del término es la suma de los exponentes de

las variables.

Ejemplo 35:

36 p es de grado tres, es de grado cero y

4yz es de grado cinco

Def 34) El grado de un polinomio corresponde al del término diferente de cero que

presente el grado más elevado o máximo en el polinomio. (Recuerde que sumamos o

sustraemos términos y multiplicamos factores)

Ejemplo 36:

466 3 np es de grado 3 y 423 745 xxn es de grado 4

LEYES DE LA POTENCIACIÓN LA RADICACIÓN Y LA

LOGARITMACIÓN

Es importante tener en cuenta que esas propiedades de la potenciación, la radicación

y la logaritmación son de mucha utilidad en el desarrollo de las operaciones con

polinomios ellas son:

POTENCIACIÓN

Def 35) Es la operación aritmética que tiene por objeto hallar el producto de factores

iguales.

El factor repetido se llama base.

El exponente es el número que indica cuántas veces se toma la base como factor.

Donde: P = potencia = an

a = base

n = exponente

4


52

Para abreviar la escritura, se escribe el factor que se repite, en la

parte superior derecha del mismo se coloca el número de veces

que se multiplica y se lee:

a elevado a la n - enésima potencia de a

Ejemplo:

22 = 2 x 2 = 4 6) 43 = 4 x 4 x 4 = 64

32 = 3 x 3 = 9 7) 53 = 5 x 5 x 5 = 125

42 = 4 x 4 = 16 8) 24 = 2 x 2 x 2 x 2 = 16

52 = 5 x 5 = 25 9) 25 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32

23 = 2 x 2 x2 = 8 10) 106 = 10 x 10 x 10x 10 x 10 x 10 = 1000000

Las primeras potencias de un número son las siguientes:

Potencia de exponente 0

Potencia de exponente 1 o primera potencia

Potencia de exponente 2 o cuadrada

Potencia de exponente 3 o cúbica


Todo número elevado a la potencia 0 es igual a 1.

La expresión a elevado a la cero no tiene sentido en si misma. La solución se extrae

realizando divisiones sucesivas:


Todo número elevado a la potencia 1 es igual a sí mismo.


53

El exponente 1 no se suele escribir, ya que el resultado es el mismo número.

Potencia de base 0

Toda potencia de base 0 y exponente distinto de 0 es igual a cero.

La potencia de base 0 y exponente igual a 0 es indeterminada ya que:

- Toda potencia de exponente 0 es igual a 1.

- Toda potencia de base 0 es igual a 0.

Potencia de base 1

Toda potencia de base 1 es igual a la base.

Ley uniforme

La potenciación de dos es uniforme ya que su resultado es único, para todo par

distinto de (0,0). Si a ambos miembros de una igualdad se los eleva con un mismo

exponente se obtiene otra igualdad.


54

Ley cancelativa

La ley cancelativa es la propiedad recíproca de la ley uniforme.

Ley conmutativa

La potenciación no es conmutativa, ya que depende del orden de base y exponente:

al cambiar el orden de los mismos la potencia varía.

Ley asociativa

La potenciación no es asociativa, ya que depende de la forma que se asocien los

operandos.

Propiedad distributiva

La potenciación no es distributiva respecto de la

suma y la resta.

La potenciación es distributiva respecto de la

multiplicación y a la división.


55

Potencias de igual exponente

El producto de potencias de igual exponente es igual al producto de las bases

elevado a ese exponente común.

La división de potencias de igual exponente es igual a la división de las bases

elevada a ese exponente común.

Demostración:

Potencias de igual base

El producto de potencias de igual base es igual a la base común elevada a la

suma de los exponentes.

La división de potencias de igual base es igual a la base común elevada a la

diferencia de los exponentes.


56

Demostración:

Potencia de potencia

Toda potencia de otra potencia es igual a una potencia de la misma base cuyo

exponente es el producto de los exponentes dados.

Demostración:

Cuadrado de la suma

El cuadrado de la suma de dos números es igual a la suma de los cuadrados de los

mismos más el doble producto del primero por el segundo.


57

Demostración:

Cuadrado de la diferencia

El cuadrado de la diferencia de dos números es igual a la suma de los cuadrados de

los mismos menos el doble producto del primero por el segundo.

Demostración:

Producto de la suma por la diferencia de dos números

El producto de la suma de dos números por la diferencia de los mismos es igual a la

diferencia de los cuadrados de los mismos.


58

Demostración:

Leyes de monotonía

Si a ambos miembros de una desigualdad se los eleva a un mismo exponente distinto

de cero, se obtiene otra desigualdad del mismo sentido.

RADICACIÓN

Def 36) La radicación es la función inversa a la potenciación. La radicación entre un

número a llamado radicando y otro número n llamado índice, es igual a un número b

llamado raíz, que elevado a la potencia n da como resultado el número a.

y se lee raíz n de a es igual a b.


59

Las primeras raíces de un número son las siguientes:

Raíz cuadrada

Raíz cúbica

Raiz entera

La raíz entera de un número es igual al mayor número que, elevado a la enésima

potencia, de como resultado un valor menor o igual al radicando. La diferencia entre

el radicando y la enésima potencia de la raíz se llama resto.

Leyes y propiedades

La radicación cumple con las siguientes leyes y

propiedades:

Casos particulares

La operación de potenciación presenta los

siguientes casos particulares, cuyo análisis es de

suma importancia:

Raíces del número 1

Raíces de igual índice

Corolarios

Si a un número se le extrae la raíz enésima y al resultado se lo eleva a la

enésima potencia, se obtiene el primer número.

Si un número se lo eleva a la enésima potencia y al resultado se le extrae la raíz

enésima, se obtiene el primer número.


60

Simplificación

De acuerdo a los corolarios de la radicación:

La potencia enésima y la raíz enésima pueden simplificarse.

Propiedad distributiva

La radicación no es distributiva respecto de la suma y la resta.

La radicación es distributiva respecto de la multiplicación y a la división.

Leyes de monotonía

Si a ambos miembros de una desigualdad se les extrae la raíz enésima, se obtiene otra

desigualdad del mismo sentido.


61

Raíces de igual índice

El producto de raíces de igual índice n es igual a la raíz enésima del

producto de los radicandos.

La división de raíces de igual índice n es igual a la raíz enésima de la división

de los radicandos.

OPERACIONES COMBINADAS

Para resolver las operaciones que combinan adición, sustracción, multiplicación,

división, potenciación y radicación se ha fijado un conjunto de reglas que establecen el

orden a seguir para llegar al resultado correcto.

Primero se deben separar los términos y luego resolver cada uno de ellos.

Se resuelven las operaciones encerradas entre paréntesis, corchetes y llaves en

el siguiente orden:

1) Potenciación y radicación

2) Multiplicación y división

3) Adición y sustracción

Pasaje de exponentes e índices

De acuerdo a la definición de raíz exacta, toda radicación tiene una potenciación

asociada:


62

Estas dos igualdades son equivalentes y puede definirse:

Todo índice que figura en un miembro, puede pasarse al otro miembro como

exponente.

Recíprocamente, todo exponente que figura en un miembro, puede pasarse al

otro miembro como índice.

LOGARITMACIÓN

Def 37) El logaritmo es una operación que te sirve para saber quién es el exponente

Veamos un ejemplo:

Tu sabes que 32 = 9 ; entonces :

293 =Log

Y se lee: “logaritmo en base tres de nueve es igual a 2”

Por lo tanto el resultado de un logaritmo siempre es un exponente.

Al igual que sucede en potenciación, los logaritmos también tienen propiedades que

son muy útiles:

1. =Borque a B=n pLog n

a

2. 101 0=e a porqu= Log a

3. =ae a porqu a=Log a

11

4. CLogB=LogCB Log aaa ).(

5. CLogBLogCB Log aaa )(

6. CLogB=LogCB Log aaa )(

7. CLogBLogCB Log aaa )(

8. BLog=n BLog a

n

a .

9. EXISTENO= Log a 0

10. =n aLog n

a

11. aLog

BLog B=Log

K

Ka


63

Dentro de las bases de logaritmos más importantes se encuentran 10 y e. Sus

logaritmos correspondientes se expresan así:

e enbase o natural Logaritmo X=LnXLog

enbase Logaritmo X=LogXLog

e

1010

Mira algunos modelos de ejercicios:

1. Pasar de formas exponenciales a logarítmicas y viceversa

4000100001010

2

122828

249497

4

8

313

7

2

.Log.

Log

Log

/

2. Simplificar expresiones:

20

133

1

72

2020

1

33

7

2

eLogLn ee

LogLog

=Log

OPERACIONES CON POLINOMIOS

SUMA Y RESTA

Hemos visto términos semejantes, igualmente vimos como reducir términos

semejantes y es precisamente eso lo que se debe tener en cuenta a la hora de sumar o

restar polinomios. Teniendo en cuenta que en el caso de la resta el polinomio

sustraendo se afectará por el signo menos (-) de la resta, cambiando los signos de los

términos que lo conforman.

Ejemplo: sean los polinomios 355 234 xyxxy y 555 262 xyyxx , realizar:

a) Suma. (

355 234 xyxxy )+ ( 555 262 xyyxx ) Aquí se rompen los paréntesis sin

ninguna novedad y se juntan los términos semejantes para su posterior reducción. 235555 226334 xxyxyxyxxy

2355 2236 xxyxxy


64

De aquí en adelante no se puede simplificar más, terminando la operación.

b) Reste.

(

355 234 xyxxy )- ( 555 262 xyyxx ) El polinomio minuendo ( 355 234 xyxxy ) en

la operación que tenemos puede ser despojado de los paréntesis que lo cubre sin

ningún inconveniente, pero el polinomio sustraendo ( 552 262 xyyxx ) debemos

romperle el paréntesis que lo cubre pero cambiando cada término que lo forma por su

inverso aditivo, esto es por sus signos opuestos. Luego agrupamos por términos

semejantes para su posterior reducción. Veamos

(

355 234 xyxxy )- ( 555 262 xyyxx )=

355 234 xyxxy - 552 262 xyyxx =

yxyxxyxy 5555 6324 - 23 22 xx =

2355 2292 xxyxxy

Finalizando la operación allí.

MULTIPLICACIÓN

La Multiplicación de polinomio se basa en la propiedad distributiva, veamos el

Siguiente ejemplo sencillo; consideremos lo binomios )yx( 32 2

y )nm( 52 32

, y multipliquemos.

)nm.(y)nm.(x 523522 32232 53235222 322232 n.ym.yn.xm.x

53235222 6432 n.ymynxmx

Finalizando aquí porque no resultaron términos semejantes.


65

DIVISIÓN

Consideremos el caso en el que dividimos un polinomio entre un binomio y seguimos

el proceso como si se estuviera dividiendo un número natural entre otro de dos cifras.

Sean p(x) = 5x4+3x2-7x +8 (polinomio dividendo) y x – 1 (binomio divisor)

8735 24 xxx 1x 34 55 xx 1855 23 xxx

23 35 xx

23 55 xx

xx 78 2

xx 88 2

8x

1x

9

Dentro de los productos entre polinomios podemos resaltar unos por su curiosidad en

el resultado, a estos productos, se les denominan Productos notables, los cuales

incluiremos dentro del proceso. La multiplicación y división de polinomios no debe

estar separada del proceso de factorización dado que cada caso de factorización es el

proceso inverso a uno de multiplicación o división. Por lo anterior se desarrollará por

cada caso de producto o cociente notable su respectivo caso de factorización.

I) Monomio por (Binomio o Trinomio o Polinomio)

Para desarrollar un producto de esta forma se requiere aplicar la propiedad

distributiva:

Ejemplo i:

5x3y2.(2x - 5y2) = 5x3y2.( 2x) – 5x3y2. (5y2) = 10 x4y2 - 5x3y4

Ejemplo ii:

3m2x3.(5x – 7y3 + 2m) = 3m2x3.(5x) – 3m2x3.(7y3 ) + 3m2x3.(2m)

= 15m2x4 - 21m2x3y3 + 6m3x3.


66

I) Factor Común Monomio

Para este caso de factorización procedemos de la siguiente manera: 1°-

Identificamos el factor común, el cual es m.c.d de las partes numerares de los

términos que lo conforman con la parte literal común con sus menores

exponentes. 2° - se coloca como coeficiente de un paréntesis en el que

escribimos todos los de dividir cada termino de la expresión a factorizar entre el

factor común, y por último se simplifica.

Ejemplo i:

10 x4y2 - 5x3y4 = 5x3y2 .

2323 55 yx

y5x

yx

y10x 4324

= 5x3y2.(2x - 5y2)

Ejemplo ii:

15m2x4 - 21m2x3y3 + 6m3x3 = 3m2x3. 32

33

32

3

32 3

6

33 xm

xm

xm

yx21m

xm

x15m 3242

= 3m2x3.(5x – 7y3 + 2m)

II) Binomio por (Binomio o Trinomio o Polinomio)

Para desarrollar un producto de esta forma, que es general y que no tiene

nada de notable, se aplica la propiedad distributiva dos o más veces según el

caso.

Ejemplo i:

= 7x2.(2y3 + 5n5) – 3n2p3.(2y3 + 5n5)

= 7x2.(2y3)+7x2(5n5)–3n2p3.(2y3)–3n2p3(5n5)

= 14x2y3+35x2n5–6n2p3y3–15n7p3

Ejemplo ii:

(2m2y3-5k3).(7p2y+3n3) = 2m2y3.(7p2y+3n3) -5k3.(7p2y+3n3)

=2m2y3.(7p2y) +2m2y3.(3n3) -5k3.(7p2y) -5k3.(3n3)

= 14 m2y4p2+6m2y3n3-35k3p2y-15k3n3

II) Factor Común Por Agrupación de Términos Para este caso de factorización procedemos de la siguiente manera: 1°-

Identificamos el factor común por cada grupo de términos. 2° - se Factoriza

cada grupo de términos como se hizo en el caso anterior. 3° - por último

volvemos a factorizar todo identificando un factor común en las

factorizaciones de cada grupo de términos.


67

Ejemplo i) factorizar

14x2y3+35x2n5–6n2p3y3–15n7p3=14x2y3+35x2n5 – 6n2p3y3–15n7p3

=7x2.2

5

2 77 x

n35x

x

y14x 232

–3n2p3 .32

5

32

3

33 pn

p15n

pn

yp6n 732

= 7x2(2y3 + 5n5) –3n2p3(2y3+5n5)

= (2y3 + 5n5).)ny(

)ny.(p3n

)ny(

)ny.(x 2

53

533

53

532

52

52

52

527

= (2y3 + 5n5)( 7x2 –3n2p3 ) Ejemplo ii:

14m2y4p2+6m2y3n3-35k3p2y-15k3n3=14m2y4p2+6m2y3n3-35k3p2y-15k3n3

= 2m2y3 -5k3

= 2m2y3(7p2y + 3 n3) -5k3(7p2y + 3 n3)

= (7p2y + 3 n3)

= (7p2y + 3 n3)( 2m2y3-5k3)

III) Binomio Al Cuadrado

Para desarrollar este producto, sencillamente realizamos el producto del caso

II), con la diferencia que al resultado se le puede hacer una simplificación de

términos semejantes y se puede observar que es curioso, por lo que resulta ser

un Producto Notable.

Ejemplo i:

(x + y)2 = (x + y). (x + y) = xx +xy + yx +yy = x2 + 2xy + y2

Como se puede ver el resultado, un binomio al cuadrado es el cuadrado de

sus términos más el doble producto de sus términos. Así que es suficiente

aplicar este resultado siempre que se tenga este caso.

Nota: Este resultado se le denomina Trinomio Cuadrado Perfecto.


68

Ejemplo ii)

(2y3 - 5n5)2 = (2y3)2 -2(2y3)(5n5) + (5n5)2

= 4y6 - 20y3n5 + 25n10

III) Trinomio Cuadrado Perfecto.

Para factorizar un Trinomio Cuadrado Perfecto, se requiere tener claro que es

un trinomio que tiene dos términos con raíz cuadrada exacta y que el otro

término es igual en valor absoluto al doble producto de las raíces cuadradas

de los otros dos. Para factorizarlo se escriben las raíces cuadradas en un

paréntesis separadas por el signo del término que es doble producto y el

binomio que resulte se eleva al cuadrado.

Ejemplo i)

x2 + 2xy + y2 = (x + y)2

Ejemplo ii)

4y6 - 20y3n5 + 25n10 = (2y3 - 5n5)2

IV) Producto de la SUMA por la DIFERENCIA

Para desarrollar este producto, sencillamente realizamos el producto del caso

II), cancelando en el resultado dos términos semejantes con signos opuestos,

observando la curiosidad del resultado, a quien también se le denomina un

Producto Notable.

Ejemplo i:

(x + y). (x - y) = xx - xy + yx - yy = x2 - y2

Como se puede ver el resultado, el producto de la Suma por la Diferencia es

una Diferencia de Cuadrado de sus términos. Así que es suficiente aplicar este

resultado siempre que se tenga este caso.


69

Ejemplo ii:

(2y3 + 5n5) (2y3 - 5n5) = (2y3)2 - (5n5)2

= 4y6 - 25n10

IV) Diferencia de Cuadrado

Para factorizar este caso, extraemos raíz cuadrada a los términos, las escribimos

en el producto indicado de dos paréntesis, separándolas en uno de ellos con el

signo más (+) y en el otro con el signo menos (-).

Ejemplo i:

x2 - y2 = (x + y)(x - y)

Ejemplo ii:

4y6 - 25n10 = (2y3 + 5n5) (2y3 - 5n5)

V) Producto de la Forma (X+p)(X+q) “X es literal, p y q son numeral)

Desarrollamos el producto como si fuera el caso II), pero atentos con lo que

sucede.

(X+p)(X+q) = XX + Xq + pX + pq = X2 + (p+q)X + pq = X2 + bX + c,

Donde b = p+q y c = p.q

Esto es un Producto Notable. Es un trinomio de la forma X2 + bX + c. luego

para factorizar este caso aplicamos esta fórmula.

Ejemplo i:

(x + 3)(x – 5) = x2 - 2X – 15 -2 = 3-5 y -15 = (3)(-5)

Ejemplo ii:

(x2-7)( x2+8)= x4 + x2 – 56

V) Trinomio De La Forma X2 + bX + c o X2n + bXn + c

Al factorizar esta clase de trinomio abrimos dos paréntesis, como primer

término de cada paréntesis escribimos la raíz cuadrada del primer término, es


70

decir x o xn, luego como signo del segundo término del primer paréntesis

escribimos el signo de b, y como signo del término del segundo paréntesis,

escribimos el signo producto de los signos de b y c. y por último, buscamos dos

números que multiplicado nos den c y que sumados o restados según los signos

ya determinados nos den b. El número mayor entre p y q que encontremos lo

ubicamos en el primer paréntesis.

Nota: Para buscar los números p y q, es importante que se divida a c por todos

sus divisores hasta encontrar el divisor y el cociente que nos sirvan. Para ellos

es de gran ayuda tener presente los criterios de divisibilidad que recordamos

después de los siguientes ejemplos.

Ejemplo i:

x2 - 2X – 15 = (x - 5 )(x + 3 )

Ejemplo ii:

x4 + x2 – 56 = (x2 +8)( x2 - 7)

CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD

Un número es divisible por:

2 Si la última cifra es un 0(cero)o numero par(2,4,6,8).

3 si la suma de todos sus dígitos es múltiplo de 3.

4 si sus dos últimas cifras (decenas y unidades) son múltiplos de 4. Ej:348 y

1828.

5 si el número termina en 0 ó 5.

6 si el número es divisible por 2 y por 3 a la vez.

7: Existen dos criterios para este número.

o Método directo: Se agrupan las cifras de tres en tres, y luego calcular la

suma alterna (esto es, cambiando el signo a cada número). Si el

resultado es divisible por 7, el número es divisible por 7.

Ejemplo: el numero 943 120 403 788 521 → 521 - 788 + 403 - 120 + 943 =

959 que es múltiplo de 7, por lo tanto el numero también lo es.

o Método recursivo: Se separa el número en dos, donde el primero está

formado por todas las cifras salvo la más a la derecha, y el otro formado

por dicha cifra. Se multiplica el segundo número por 2 y se resta al

primero. Si el valor absoluto del resultado es 0 o divisible por 7, el

número entero es divisible por 7. Suele repetirse el proceso hasta


71

obtener un número de una cifra y, si éste es 0 ó 7, el número es divisible

por 7.

Ejemplo: el numero = 959 → (95 - (9 x 2)) → 77 → (7 - (7 x 2)) → -7. Como

termina en 7, el número es divisible por 7.

8 si el número formado por las tres últimas cifras lo es. Se puede remplazar la

cifra de los miles por 0 si es par o por 1 si es impar (es decir, se puede reducir

módulo 2), y disminuir la cifra de las decenas de 4 u 8 (reducir módulo 4).

Ejemplo: x = 345 065 186 576 → 576 → 136 que es divisible por 8, así que x

también.

9 si la suma de todas sus cifras, descartando los 9 y los 0, es múltiplo de 9.

10 si la última cifra es un 0 (cero)

11 para saber podemos hacerlo de esta manera: sumamos los lugares impares

y por otra parte los pares. Una vez obtenido los resultados de ambos, se restan.

Si el resultado de todo esto te da múltiplo de 11 eso quiere decir que ese nº es

divisible por 11. Ej: 979= (9 + 9 ) - 7=18 - 7= 11

12 si lo es por 3 y 4.

13: Regla parecida a la del 7: se mira si la suma alterna es divisible por 13.

Ejemplo: x = 23 410 456 970 550 → 550 - 970 + 456 - 410 + 23 = - 351

que es múltiplo de 13, luego x también.

Existe también un método recursivo para este número similar al del 7, sólo que

multiplicando la cifra más a la derecha por 9 en vez de por 2.

14 si es par y divisible por 7.

15 si lo es por 3 y 5 a la vez.

16 si lo es el número formado por sus cuatro últimas cifras, pudiéndose reducir

módulo 2 la primera (a la derecha) y módulo 4 la segunda:

Ejemplo: x = 345 999 106 592 → 6592 → 0112 que es divisible por 16, así

que x también.

17: Se separan los dos últimos números y se restan a la parte izquierda, antes

de restar la cifra se multiplica por 2. Si el resultado es divisible por 17, el

número es divisible por 17.

Ejemplo: el numero = 871 25 → 2*871 - 25 = 1717 que es múltiplo de 17.

Otro método consiste en multiplicar la última cifra de la derecha por 5, y

restárselo a la parte izquierda. Si el resultado es divisible por 17, el número es

divisible por 17.

Ejemplo: el numero = 7 08 60 25 → 25 - 60 + 08 - 7 → - 34 que es múltiplo

de 17, luego el numero también.

18 si lo es por 2 y 9.


72

19 si la suma de las unidades por 2 más las decenas es múltiplo de 19, un

ejemplo: 19 x 8 = 152 → 2*2 = 4 + 15 = 19 (JIM)

25: si acaba en 00, 25, 50 ó 75.

100: si acaba en 00.

VI) Producto de la Forma (AX+p)(BX+q) “X es literal, A,B, p y q son numeral)

Desarrollamos el producto como si fuera el caso II), pero atentos con lo que

sucede.

(AX+p)(BX+q) = ABXX + AXq + pBX + pq = ABX2 + (Bp+Aq)X + pq

= aX2 + bX + c, Donde a=A.B, b = Bp+Aq y c = p.q

Esto es un Producto Notable. Es un trinomio de la forma aX2 + bX + c. luego

para factorizar este caso aplicamos esta fórmula.

Ejemplo i:

(5x + 3)(7x – 5) = 35x2 -4X – 15

Ejemplo ii:

(5x2-7)( 3x2+8)= 15x4 +19 x2 – 56

VI) Trinomio De La Forma aX2 + bX + c o aX2n + bXn + c

Al factorizar esta clase de trinomio se debe convertir a un trinomio de la forma

X2 + bX + c multiplicando y dividiendo todo por a, y transformándolo hasta

convertirlo al caso anterior, por último se simplifica. Observemos.

Ejemplo i:

35x2-4X–15=–

=–

=

= =

Ejemplo ii:

15x4 +19 x2 – 56=–

=–

= = =

Más adelante veremos otros casos de factorización.


73

EXPRESIONES ALGEBRAICAS FRACCIONARIAS

Es importante tener en cuenta las expresiones fraccionarias dentro de esas expresiones

algebraicas, y la realización de las operaciones entre ellas.

Def 38) Un cociente indicado de dos expresiones algebraicas se conoce como

EXPRESIONES ALGEBRAICAS FRACCIONARIAS. Suponemos que para ningún

valor de las variables el denominador es cero.

Una operación que aplicamos con frecuencia es la simplificación, para lo cual las

expresiones tanto del numerador como del denominador son factorizable y resultan

con un factor común; el cual se cancela.

Ejemplo: Simplifique: a) b)

Solución.

a) = =

b) = = =

Las operaciones con fracciones algebraicas como la suma, resta, multiplicación y

división atienden a las operaciones con polinomios vistos y a las propiedades de las

fracciones como su proceso de operación.

Al realizar la suma o la resta entre fracciones normales un proceso era buscar el

mínimo común múltiplo de los denominadores, en forma similar ahora buscamos el

MÍNIMO COMÚN DENOMINADOR, el cual es la expresión mínima que la dividen

cada uno de los denominadores de las expresiones fraccionarias que se tengan que

sumar o restar.

Ejemplo

Sumar: El Mínimo Común Denominador MCD es solo el producto de

los denominadores (x-1)(x+2). El procedimiento es similar al de la suma de fracciones

normales.


74

=

Reste: El MCD es (x-1)(x+1)2, entonces

= =

Multiplique: a) b)

El proceso no requiere de mayores recomendaciones, aplique el proceso empleado

para la multiplicación de fracciones.

a)

b)

Divida: a) b)

Aplicamos la operación de la división de fracciones.

a)

b) =

SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES COMPUESTAS

Se refiere a fracciones como la cual se simplifica de la siguiente

manera.


75

= = =

= =

= no es simplificable de aquí en adelante.

RACIONALIZACIÓN

Se encarga de transformar una expresión fraccionaria hasta quitar los radicales del

denominador, o dejar exponente entero positivo en las potencias del denominador.

Ejemplo: Racionalizar a) b)

a)

b) =


76


1-10: Evalué cada uno de los números dados. (utilice la calculadora)

1. a) (-2)4 b) -24

2. a) (1/3)44-3 b) (1/4)-2

3. a) 2-3.54 b) 109/104

4. a) (2/3)-1 b)

5. a) b)

6. a) b)

7. a) b)

8. a) 97/2 b) (-32)2/5

9. a) (4/9)-1/2 b) (-27/8)2/3

10. a) 1024-0.1 b) 32/7.35/7

11 – 14: Simplifique la expresión

11.

12.

13.

14.

15 – 32: Simplifique la expresión y transforme cualquier exponente negativo

15. t7.t-2

16. (4x2)(6x7)

17. (12x2y4)( x5y)

18. (6y)3

19. X9(2x)4/x3

20. a-3b4/a-5b5

21. b4( b2)(12b-8)

22. (2s3 t-1)( s6)(16t4)

23. (rs)3(2s)-2(4r)4

24. (2u2v3)3(3u3v)-2

25. (6y3)4/2y5

26. (2x3)2(3x4)/(x3)4

27. (x2y3)4(xy4)-3/x2y

28. (c4d3/cd2)(d2/c3)3

29. (xy2z3)4/(x3y2z)3

30. (xy-2z-3/x2y3z-4)-3

31. (q-1rs-2/r-5sq-8)-1

32. (3ab2c)(2a2b/c3)-2

33-71: Lleve a cabo las operaciones

indicadas y simplifique.

33. 2(x-1)+4(x+2)

34. 5(2x+3)-7(2x-3)

35. (2x2+x+1) + (x2-3x+5)


77

36. ( 2x2 +x+1) – (x2-3x+5)

37. (x3+6x2-4x+7) – (3x2+2x-4)

38. 4(x2-x+2) – 5(x2-2x+1)

39. 2(2-5t) + t2(t-1) - (t4-1)

40. 5(3t-4) – (t2+2) – 2t(t-3)

41.

42. X3/2( -1/ )

43. (y2-1)

44. (4x-1)(3x+7)

45. (3t-2)(7t-5)

46. (t+6)(t+5)-3(t+4)

47. (x+2y)(3x-y)

48. (4x-3y)(2x+5y)

49. (1-2y)2

50. (3x+4)2

51. (2x-5)(x2-x+1)

52. (x2+3)(5x-6)

53. x(x-1)(x+2)

54. (1+2x)(x2-3x+1)

55. Y4(6-y)(5+y)

56. (t-5)2-2(t+3)(8t-1)

57. (2x2+3y2)2

58. (x1/2+y1/2)(x1/2- y1/2)

59. (x2-a2) (x2+a2)

60. ( (

61. (1+a3)3

62. (x-1)(x2+x+1)

63. (

64. (c+1/c)2

65. (x2+x-2)(x3-x+1)

66. (1+x4/3)(1-x2/3)

67. (x3/2-x+1)(x2+x1/2-2)

68. (1-b)2(1-b)2

69. (1+x-x2)2

70. (3x2y+7xy2)(x2y3-2y2)

71. (x4y-y5)(x2+xy+y2)

72-121: Factorice la expresión

completamente.

72. 2x +12x3

73. 8x5+4x3

74. 6y4-15y3

75. 5ab-8abc

76. X2+7x+6

77. X2 –x-6

78. X2-2x-8

79. X2 -14x +48

80. Y2 -8x +15

81. Z2 +6z -16

82. 2x2 +5x +3

83. 2x2+7x -4

84. 9x2-36

85. 8x2 + 10x+3

86. 6x2 – 5x -6

87. 6+5t-6t2

88. (x-1)(x+2)2 – (x-1)2(x+2)

89. (x+1)3x-2(x+1)2x2+x3(x+1)

90. Y4(y+2)3+y5(y+2)4

91. n(x-y)+(n-1)(y-x)

92. (a2-1)b2-4(a2-1)

93. (a+b)2-(a-b)2

94. T3+1

95. 4t2-9s2

96. 4t2-12t+9

97. X3-27

98. X3+2x2+x

99. 3x3-27x

100. 4x2+4xy + y2

101. 4r2-12rs+9s2

102. X4+2x3-3x2

103. X6+64

104. 8x3-125

105. X4+2x2+1

106. X4+x2-2

107. X3+3x2-x-3


78

108. Y3-3y2-4y+12 109. Y3-y2+y-1

110. 2x3+4x2+x+2

111. 3x3+5x2-6x-10

112. X6-y6

113. X8-1

114. X5/2-x1/2

115. 3x-1/2+4x1/2+x3/2

116. X-3/2+2x-1/2+x1/2

117. (x-1)7/2-(x-1)3/2

118. (x2+1)1/2+2(x2+1)-1/2

119. X-1/2(x+1)1/2+x1/2(x+1)-1/2

120. (a2+1)2-7(a2+1) +10

121. (a2+2a)2-2(a2+2a)-3

122-153 Simplique las expresiones

122.

123.

124.

125.

126.

127.

128.

129.

130.

131.

132.

133.

134.

135.

136.

137.

138.

139.

140.

141.

142.

143.

144.

145.

146.

147.

148.

149.

150.

151.

152.

153.

ECUACIONES-SISTEMAS DE ECUACIONES E INECUACIONES

OBJETIVO: Utilizar ecuaciones lineales, cuadráticas y simultaneas en la resolución de

problemas a fines con la ingeniería.

ECUACIÓN LINEAL

Def 39) Una ecuación lineal es un planteamiento de igualdad, involucrando una o

más variables a la primera potencia, que no contiene productos entre las variables, o

mejor dicho, es una ecuación que involucra solamente sumas y restas de una

variable a la primera potencia. Son llamadas lineales porque representan rectas en

el sistema cartesiano. Una forma común de ecuaciones lineales es y = mx + c Donde

m representa la pendiente y el valor de c determina la ordenada al origen (el punto

donde la recta corta al eje Y). Las ecuaciones que donde aparece el término x*y

(llamado rectangular) no son consideradas lineales

Algunos ejemplos de ecuaciones lineales:

1023 yx

37104723 bba

34753 yxyx

15zyx

2023 zyx

1034 zyx

No se pretende resolver ecuaciones lineales, solo

recordaremos algunas propiedades y nos

apoyaremos en ellas para resolver problemas.

http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n

http://es.wikipedia.org/wiki/Pendiente_de_una_recta

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Ordenada_al_origen&action=editredlink


80

Una ecuación lineal de dos variables cumple en su gráfica con lo siguiente:

- Se puede llevar al forma explícita y=mx+b

- Corta al eje “y” en el punto b

- Forma un ángulo menor de 90° con el eje “x” si m es mayor que cero o forma

un ángulo obtuso con el eje “x” si m es menor que cero.

- m es la tangente del ángulo que forma con el eje “x”

APLICACIONES

Antes de entrar a la resolución de problemas que involucran una ecuación en su

solución veamos en resumen de la teoría de G. Polya que nos será de gran ayuda en

esta parte del programa.

PRINCIPIO DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

George Polya (1887-1985) es famoso entre los matemáticos por sus ideas a

cerca de la resolución de problemas. Sus conferencias sobre este tema en la

Stanford Universit, donde atraía multitudes, y a quienes mantenía atentos,

guiándolos para que encontraran las soluciones por ellos mismos. Podía hacer

lo anterior gracias a su profundo discernimiento respecto a la psicología de la

resolución de los problemas. Su bien conocido libro How To Solve It ha sido

traducido a quince idiomas. Dijo que L. Euler era único entre los grandes

matemáticos puesto que fue capaz de explicar cómo encontraba el resultado.

Polya a menudo le decía a sus estudiantes y colegas “Sí, veo que su solución

es correcta, pero ¿Cómo la descubrió?”. En el prologo de How To Solve It

Polya, escribe “un gran descubrimiento resuelve un gran problema, pero existe

un poco de descubrimiento en la solución de cualquier problema. Su problema

puede ser modesto; pero si reta a su curiosidad y pone en juego sus facultades

de inventiva y lo resuelve por sus propios medios, puede experimentar la

tensión y disfrutar el triunfo del descubrimiento”.

No existen reglas sencillas que garanticen el éxito en la resolución de problemas. Sin

embargo, es posible establecer algunas pautas generales en el proceso de la resolución

de problemas, y algunos principios que puedan ser útiles en la solución de problemas

específicos; estas pautas y principios, son sentido común planteado explícitamente.

Son una adaptación del libro de George Polya How To Solve It.


81

111... COMPRENDER EL PROBLEMA

El primer paso es leer el problema y asegurarse de comprenderlo con toda

claridad. Hágase así mismo las siguientes preguntas:

¿Cuál es la incógnita?

¿Cuáles son las cantidades dadas?

¿Cuáles son las condiciones dadas?

Para muchos problemas resulta útil

dibujar un diagrama

e identificar las cantidades dadas y las requeridas en el diagrama. Por lo general es

necesario

introducir una notación adecuada

Al seleccionar para las cantidades desconocidas. A menudo utilizamos letras como

x n, m, c, b, ,a y y , pero en algunos casos, ayuda usar iniciales como símbolos

sugerentes, por ejemplo V para volumen, o bien t para el tiempo.

222... PIENSE EN UN PLAN

Determine una relación entre la información dada y la incógnita que le permita

calcular ésta. A menudo es bueno preguntarse así mismo: “¿De qué manera puedo

relacionar los datos con la incógnita?”. Si de manera inmediata no se percibe una

relación, en las siguientes ideas pueden ser de utilidad para diseñar un plan.

Trate de reconocer algo familiar

Relacione la situación dada con alguna experiencia anterior. Observa las incógnitas

y recuerde un problema más familiar que tenga incógnitas semejantes.

Trate de reconocer algún patrón

Algunos problemas se resuelven reconociendo que un cierto patrón está

ocurriendo; éste podría ser geométrico, numérico o algebraico. Si se puede

detectar en un problema alguna regularidad, entonces imagine cuál es el patrón y

después compruébelo.


82

Utilice la analogía

Trate de pensar en algún problema análogo, esto es, uno similar o relacionado,

pero más sencillo que el original. Si puede resolver éste, quizás le dé la clave que

necesita para resolver el origen. Por ejemplo, si un problema involucra número

muy grande, podría primero intentar uno semejante con números más pequeños.

O bien si el problema es de geometría en tres dimensiones que un caso similar en

dos dimensiones o si el problema con el cual empieza es general, podría primero

intentar con un caso especial.

Introduzca algo adicional

A veces es posible que necesiten algo nuevo –una ayuda- que le permita establecer

la relación entre la información dada y las incógnitas. Por ejemplo, en un problema

para el cual es útil un diagrama, una estrategia auxiliar podría ser una nueva recta

dibujada en el diagrama. En un problema algebraico la ayuda podría ser una

nueva incógnita relacionada con la original.

Divida en casos

A veces tendrá que dividir un problema en varios casos dando un argumento

diferente para cada uno de ello. Por ejemplo, a menudo tenemos que utilizar esta

estrategia al tratar con el valor absoluto.

Trabaje hacia atrás

A veces resulta útil imaginar que el problema está resulto y trabajar hacia atrás

paso a paso hasta que se llegue a los datos dados. Entonces podrá regresar sobre

sus pasos y, a partir de ahí, construir una solución para el problema original. Este

procedimiento es de uso común en la resolución de ecuaciones. Por ejemplo, para

resolver la ecuación 753x suponemos que x es un número que satisface a

753x y trabajamos hacia atrás. Sumamos 5 a cada lado de la ecuación y

después dividimos entre 3 para obtener 4x . En vista que cada uno de estos

pasos puede invertirse, hemos resuelto el problema.


83

Establezca objetivos parciales

En un problema complejo, a menudo resulta útil establecer objetivos parciales (En

los cuales la situación deseada se satisface particular mente). Si primero alcanza

estos objetivos, quizás pueda laborar a partir de ellos para alcanzar el objetivo final.

Razonamiento indirecto

Algunas veces es apropiado atacar un problema indirectamente. Al utilizar la

demostración por contradicción para probar que p implica q , suponemos

que p es verdadera y q es falsa y tratamos de ver por qué no puede ocurrir. De

alguna manera tenemos que utilizar esta información y llegar a una contradicción

de algo que sabemos con absoluta certeza que es verdadero.

Inducción matemática

Al probar enunciados que involucren un entero positivo n, a menudo es

conveniente utilizar el principio de inducción matemática.

333... EJECUTE EL PLAN

En el paso 2 se elaboró un plan. Al ejecutar dicho plan, debe verificar cada etapa

del mismo y escribir los detalles que prueban que cada etapa es correcta.

444... VER HACIA ATRÁS

Después de completar su solución es conveniente ver hacia atrás, con el objetivo

de detectar si se han cometido errores en la solución y, si Usted puede descubrir en

forma más sencilla de resolver el problema. Otra razón para ver hacia atrás es que

lo familiarizarán con el método de la solución, lo cual es para solución de

problemas futuros. Descartes dijo, “Todo problema que he resuelto se convirtió

en una regla que posteriormente sirvió para resolver otros problemas”.

Veamos algunos principios de resolución de problemas en un ejemplo.


84

PROBLEMA (Rapidez promedio)

Un conductor realiza un viaje. Durante la primera mitad de la distancia conduce a

la cómoda rapidez de 30 millas por hora; durante la segunda mitad conduce a 60

millas por hora. ¿Cuál es su rapidez promedio en todo el viaje?

PENSAMIENTOS PRELIMINARES

Resulta tentador promediar los dos valores que se tienen en la rapidez y decir que

la rapidez promedio de todo el viaje es

mi/h 452

6030

Pero ¿estará correcto este procedimiento simplista?

Veamos un caso sencillo de cálculos. Suponga que la distancia total recorrida

sea de 120 millas. Puesto que las primeras 60 se recorrieron a 30 millas por horas,

fueron necesarias dos horas. Las restantes 60 millas se recorren a 60 millas por

hora, por lo que toman una hora. Entonces el tiempo total es 2+1=3 horas y la

rapidez promedio es

mi/h 403

120

Así nuestra estimación de mi/h 45 está equivocada.

SOLUCIÓN Es necesario que veamos más cuidadosamente el

significado de rapidez promedio. Se define de la forma

ido transcurrtiempo

recorrida distancia promedio rapidez

Sea d la distancia recorrida en cada mitad del viaje, y sean 21 y tt los

tiempos transcurridos durante la primera y segunda mitad del viaje.

Ahora podemos escribir la información que se nos ha dado. Para la

primera mitad

(1) 1

30t

d

Y para la segunda tenemos

(2) 2

60t

d

Ahora podemos identificar la cantidad que se nos pidió

Comprenda el problema

Introduzca notación

Enuncie la información dada

Identifique la incógnita


85

Rapidez promedio para todo el viaje 21

2

totaltiempo

totaldistancia

tt

d

Para calcular esta cantidad es necesario que conozcamos 21 y tt por lo

que resolvemos las ecuaciones 1 y 2 para estos tiempos

30

1

dt

602

dt

Ahora ya tenemos los elementos necesarios para calcular la cantidad

deseada

promedio Rapidez

6030

22

21dd

d

tt

d

603060

)2(60

dd

d

403

120

2

120

d

d

dd

d

Así la rapidez promedio para el viaje completo es de mi/h 40

El siguiente problema requiere de una ecuación de primer grado para su solución.

En 200cm3 una mezcla de arena y cemento hay 25% de cemento y 75% de arena,

pero el ingeniero dice que la cantidad de cemento debe ser mínimo de 35% de

cemento ¿cuántos cm3 de cemento deben anexarse para tener una mezcla ideal?

Solución

Sea x la cantidad de cemento que se necesita

El 25% de 200 es 50cm3 esta es la cantidad de cemento que hay en la mezcla.

Ahora

)x(,)x(,)x(

)x(20035050350

200

50

)x..,)x( 35020035050 206505070350 x,,.xx

37692330650

20Cm,

,x

37692330 Cm,x

Relaciona la información dada con la incógnita


86

ECUACIÓN CUADRÁTICA

Def 40) Una ecuación cuadrática en una variable x con coeficientes reales es una

ecuación de la forma cbxax2 c,b,a y con 0a

Ejemplos:

362x

042 yy

0252 xx

0123 2 nn

12325 22 xxxx

Utilizando la siguiente propiedad de los números reales:

000 b ó aab

la podemos aplicar para resolver ecuaciones cuadráticas.

Ejemplo:

05143 2 nn

050130513 n ó n)n)(n(

53

1n n

Ejemplo:

0103 22 kkxx

0205025 kx ó kx)kx)(kx(

kx ó kx 205

Ejemplo:

82 xx


87

22

82 )x(x

64164 2 xxx

64200 2 xx

040160416 x ó x)x)(x(

4016 x ó x

Para una ecuación de la forma x2 = a, con a real podemos proceder como sigue:

ax2

02 ax

02 ax

02

2 ax

0)ax)(ax(

ax ax

Ejemplos:

ecuación raíces

x2 = 45

x2 = -9

7 n2 = 12

(3 n +1)2 = 25

Ejemplo:

Una cuerda de 50 metros cuelga desde lo más alto de un asta de bandera con altura h,

se sabe que la cuerda queda completamente tensa cuando el extremo libre alcanza los

18 metros desde la base. Determínese la altura h.


88

Ejemplo:

Determinar la longitud x del lado de un triángulo isósceles rectángulo que tiene una

hipotenusa de 7.5 unidades.

Ejercicio.

Resolver las siguientes ecuaciones:

Resolución de la ecuación cuadrática completando el cuadrado.

Los siguientes trinomios son cuadrados perfectos

nótese que en todos ellos el término constante es igual al cuadrado de la mitad del

coeficiente en x.

Ejemplo:

Encontrar las raíces de la ecuación 02102 xx

2102 xx

25225102 xx


89

275 2)x(

275x ó 275x

Ejemplo:

Ejercicios.9

Resolver las siguientes ecuaciones con este método:

Y graficar los siguientes polinomios:

FÓRMULA CUADRÁTICA

El método de completar el cuadrado puede utilizarse para resolver cualquier ecuación

cuadrática. Y lo utilizaremos para obtener la llamada Fórmula Cuadrática.

02 cbxax 0a

9 Haga el ejercicio en su cuaderno de apuntes


90

cbxax2

a

cx

a

bx2

2

2

2

22

44 a

b

a

c

a

bx

a

bx

2

22

4

4

2 a

acb

a

bx

a

acb

a

acb

a

bx

2

4

4

4

2

2

2

2

a

acb

a

bx

2

4

2

2

a

acbbx

2

42

Podemos utilizar esta fórmula para encontrar las raíces de cualquier ecuación

cuadrática simplemente sustituyendo los valores de los coeficientes a, b, c en ella.

Ejemplos:

a x2 + b x + c (a, b, c)

x2 + 5 x + 2 = 0 (1, 5, 2)

x2 - 2 x -19 = 0 (1, -2, -19)

x2 -2 x – 4 = 0 (1, -2, -4)

Naturaleza de las raíces.

El discriminante de la ecuación cuadrática a x2 + b x + c = 0, se define como


91

Y en términos del discriminante la fórmula cuadrática que determina las raíces x1 y x2

de la ecuación queda así

y por lo tanto si

210 x y x Son complejos conjugados

210 x x Sólo una solución real

210 x y x son dos soluciones reales

Hablemos con el profesor de las características de la función cuadrática y

su relación con la ecuación cuadrática.

APLICACIONES

Problema 1

Averigua dos números cuya suma es 32 y su producto 255.

Solución: Sea x uno de los números e y el otro.

x + y = 32 (primera condición).

x.y = 255 (segunda condición).

Despejando la y en la primera ecuación y = 32 - x.

Sustituyendo en la segunda: x(32 - x) = 255. Desarrollando queda: x2 - 32x + 255 =

0

Resolviendo la ecuación obtenemos x1 = 17 y x2 = 15.

Problema 2

Una caja mide 5 cm de altura y de ancho, cinco cm. más que de largo. Su volumen es

1500cm3. Calcular la longitud y la anchura.


92

1500 = 5.x. (x + 5)

Desarrollando queda 5x2 + 20x - 1500 = 0.

Resolviendo la ecuación obtenemos x1 = -20 y x2 = 15.

La primera solución (-20) no vale, por lo tanto la solución es x = 15 cm de largo.

La caja mide: 5 x 15 x 20

ECUACIONES QUE SE PUEDEN LLEVAR A LA FORMA CUADRÁTICA

Si vemos una ecuación como la siguiente diremos que es de primer grado por que la

variable aparece con exponente uno, pero no es realmente así, observemos:


93

Ó

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Ecuaciones equivalentes.- Se obtienen al transformar la ecuación de partida:

Se transforma una ecuación en otra así:

a) A los dos miembros de una ecuación se les suma o resta un número

distinto de cero.

b) Multiplicamos o dividimos los dos miembros de una ecuación por el mismo

número, distinto de cero.

c) Se puede pasar un término cualquiera de un miembro a otro, cambiándolo

de signo.

d) Una ecuación no varía si se suprime un factor común a todos sus términos.

e) Se pueden elevar al cuadrado los dos términos de una ecuación, resultando

otra que tiene las mismas soluciones que la propuesta.

Dos ecuaciones equivalentes tienen las mismas soluciones.

Preparación de una ecuación para resolverla.-

a) Reducir términos semejantes

b) Quitar denominadores

c) Eliminar paréntesis

d) Simplificar términos, si es posible

e) Transponer términos

f) Despejar la incógnita

g) Hallar el valor de la incógnita.

Ejemplo:

2

1

63

3

2

4

32

xx

– quitamos paréntesis 2

3

6

3

3

4

4

6 xx

– el m.c.m. de 4, 3, 6 y 2 es 12

– multiplicamos los dos miembros de la ecuación por el m.c.m. (mínimo

común múltiplo)


94

2

3

6

312

3

4

4

612

xx

– dividimos el m.c.m. entre el denominador y lo multiplicamos por el

numerador de cada término.

–18x + 16 = 6x + 18

– Transponemos términos: –18x – 6x = 18 – 16

– Reducimos términos semejantes: – 24x = 2

– Multiplicamos ambos miembros por (–1) para que la incógnita no tenga

signo negativo

(–24x) (–1) = 2 (–1) 24x = –2

– Despejamos la incógnita 24

2x x = –

12

1

Def 41) SISTEMAS DE ECUACIONES.- Dos o más ecuaciones lineales forman

un sistema.

a) Resolución gráfica:

– Se despeja la y en ambas ecuaciones.

– Se dan valores a la x (variable independiente).

– Se calculan los valores de la y, construyéndose así la tabla de valores

– Se dibujan las coordenadas.

– Se trasladan los valores a las gráfica

– Se trazan las dos rectas

– La solución es el par del punto en el que se cortan ambas rectas.

Ejemplo: 2x + 3y = 13

x + y = 6

en 2x+3y=13 si x=0 , y =13/3 (0,13/3) y si y=0, x=13/2 (13/2,0)

en x + y = 6 si x=0 , y =6 (0,6) y si y=0, x=6 (6,0)


95

b) Resolución numérica: MÉTODO DE IGUALACIÓN

– Se despeja la y ( o la x ) en ambas ecuaciones.

– Se igualan los dos segundos miembros.

– Se halla el valor de la x ( o de la y )

– Conociendo el valor de una incógnita, se halla el valor de la otra incógnita

en cualquiera de las ecuaciones


x + y = 6

y = 3

213 x

3

213 x= 6 – x 13 – 2x = 3(6 – x) 13 – 2x = 18 – 3x

y = 6 – x

– 2x + 3x = 18 – 13 x = 5

y = 6 – x y = 6 – 5 y = 1

c) Resolución numérica: MÉTODO DE SUSTITUCIÓN

– Se despeja la y ( o la x ) en UNA de las ecuaciones.

– Se sustituye el valor despejado en su lugar en la otra ecuación.

– Se resuelve la ecuación resultante para hallar el valor

– Conociendo el valor de una incógnita, se halla el valor de la otra incógnita

en cualquiera de las ecuaciones


x + y = 6 y = 6 – x


96

2x + 3(y) = 13 2x + 3(6 – x) = 13

2x + 18 – 3x = 13 2x – 3x = 13 – 18

– x = – 5 x = 5

y = 6 – x y = 6 – 5 y = 1

d) Resolución numérica: MÉTODO DE REDUCCIÓN

– Se prepara el sistema para que se elimine una de las incógnitas.


x + y = 6 Quiero que se elimine la x

– Multiplico los dos miembros de la segunda ecuación por el coeficiente de la

x de la primera ecuación con el signo cambiado.

2x + 3y = 13 2x + 3y = 13

–2) x + y = 6 –2x – 2y = 6

– Restamos las dos ecuaciones y se me elimina la x

2x + 3y = 13

–2x – 2y = – 12

y = 1

– Se sustituye el valor de la incógnita hallada (y) en cualquiera de las

ecuaciones y se halla el valor de la otra incógnita.

x + y = 6 x + 1 = 6 x = 6 – 1 x = 5

Ejemplo: 2x – y = 9

x + y = 6 Se restan directamente y se elimina la y

3x = 15 x = 3

15 x = 5

x + y = 6 x + 1 = 6 x = 6 – 1 x = 5


97

SISTEMAS 3X3.10

La expresión general de un sistema 3x3 es de la forma:

3333231

2232221

1131211

bzayaxa

bzayaxa

bzayaxa

Para solucionar un sistema de este tipo, el procedimiento a seguir es transformar el

sistema inicial en un sistema 2x2 y seguidamente transformar este último en una

ecuación lineal con una única incógnita.

Ejemplo: Resolver el siguiente sistema de ecuaciones

(3) 83

(2) 103

(1) 932

zyx

zyx

zyx

Solución: Se observa que los coeficientes de las ecuaciones (1) y (2) son de

distintos signos, por lo cual para eliminar esta variable la ecuación (1) se multiplica por

3 y se le adiciona la ecuación (2), y se obtiene la ecuación (4):

103

27936

zyx

zyx

(4) 17- 8z 7x

Luego se adicionan las ecuaciones (1) y (3) para eliminar a y, obteniendo la ecuación

(5):

83

932

zyx

zyx

(5) -12z 5x

Ahora, se juntan las ecuaciones (4) y (5) para tener un sistema 2x2.

(5) 125

(4) 1787

zx

zx

Al observar los coeficientes de z en las ecuaciones (4) y (5), esta variable se elimina al

multiplicar la ecuación (5) por -4 y se le adiciona la ecuación (4).

4820-

1787

zx

zx

-13 13x ,

de donde 1x

10

Complementamos la unidad con esta temática.


98

Este valor obtenido se remplaza en cualquiera de las dos ecuaciones del sistema 2x2.

Se escoge la ecuación (5)

3

2

6

512

125

12)1(5

125

z

z

z

z

z

zx

Los valores de x=1 y z=-3, se reemplazan en cualquiera de las ecuaciones del sistema

3x3, para encontrar el valor de y. Se sustituyen en la ecuación (3)

2

68

833

8)3()1(3

83

y

y

y

y

zyx

Luego la solución del sistema es

3

2

1

z

y

x

DETERMINANTES

Un determinante de orden n es un número, asociado con un arreglo rectangular de n

filas con n columnas, así:

11a 12a 13a …. na1

21a 22a 23a …. na2

. . . .

. . . .

1na 2na 3na nna

Un determinante de segundo orden se escribe como:

11a 12a

21a 22a

y representa un numero real dado por 12212211 aaaa


99

REGLA DE CRAMER PARA SOLUCIONAR SISTEMAS 2X2 Y 3X3

1. Dado el sistema

0 , 222

12 1

ab

abx

y 221

1 11

ba

bay

Con 2221

1211

aa

aa

Entonces:

xx y y

y es decir

2221

1211

222

12 1

aa

aa

ab

ab

x y

2221

1211

221

1 11

aa

aa

ba

ba

y

El determinante 2221

1211

aa

aa se llama determinante coeficiente. Si

2221

1211

aa

aa

entonces el sistema tiene exactamente una solución, que es la dada por la regla de

Cramer. Si 2221

1211

aa

aa = 0, entonces el sistema puede ser inconsistente y no tener

soluciones o tener infinitas soluciones.

2. dado el sistema

Sea =

333231

232221

1312 11

aaa

aaa

aaa

0 ,

33313

23222

13121

aab

aab

aab

x ,

33331

23221

13111

aba

aba

aba

y

33231

22221

11211

baa

baa

baa

z , entonces:

xx y

y y zz es decir

0

22221

11211

byaxa

byaxa

3333231

2232221

1131211

bzayaxa

bzayaxa

bzayaxa


100

333231

232221

1312 11

33313

23222

13121

aaa

aaa

aaa

aab

aab

aab

x

333231

232221

1312 11

33331

23221

13111

aaa

aaa

aaa

aba

aba

aba

y y

333231

232221

1312 11

33231

22221

11211

aaa

aaa

aaa

baa

baa

baa

z

El determinante se forma a partir de los coeficientes de zyx ,,

manteniendo la misma posición relativa en el determinante que se determino en el

sistema de ecuaciones. Observe que el determinante aparece en los

denominadores para y que se puede obtener el numerador para x a partir de él,

al remplazar los coeficientes de x por los valores constantes 21,bb y 3b respectivamente.

Ejemplo 1. Resolver el siguiente sistema, empleando la regla de Cramer

5x + 2y = 16 (1)

4x + 3y = 10 (2)

Solución:

En este caso = 4

5

3

2 = 78152435

Por lo tanto el conjunto solución es 2

4

y

x

Ejemplo 2. Resolver el siguiente sistema, empleando la regla de Cramer

333231

232221

1312 11

aaa

aaa

aaa

333231

232221

1312 11

aaa

aaa

aaa

zyx ,,

27

14

7

6450

7

164105

10 4

16 5

y

47

28

2

2048

7

210316

3 10

2 16

x


101

x + 4y - z = 6 (1)

2x + 5y - 7z = -9 (2)

3x - 2y +z = 2 (3)

Solución:

En este caso =

2- 3

5 2

4 1

1

7

1

= 53)2(21)7(3124)7()2(15

82

19929

)154()212(4145

1

182

82

82

82054

82

)1018()149(4)145(6

82

52)2()9()7(21)9(4)7()2(156

1 2- 2

7- 5 9-

1- 4 6

x

x

x

Ahora para calcular y hacemos

2

282

164

82

311385

82

)274()212(6)149(1

82

)9(322)7(3126)7()2(1)9(1

1 2 3

7- 9- 2

1- 6 1

y

y

y

Similarmente calculamos z,


102

3

382

246

82

82

82

1141248

82

)154(6)274(4)1810(1

82

53)2(26)9(3224)9()2(251

2 2- 3

9- 5 2

6 4 1

z

z

z

Luego el conjunto solución está dado por

3

2

1

z

y

x

DESIGUALDADES E INECUACIONES

Muchos problemas de la ingeniería se plantean como desigualdades en lugar de

ecuaciones. Una desigualdad es una comparación de expresiones como las

ecuaciones, con la diferencia que en su lugar se utilizan signos como o ,,

El siguiente es un ejemplo de desigualdad

7 > 3,

No es una inecuación.

Para tener una inecuación se requiere que la desigualdad contenga una incógnita. La

incógnita que incluyen las ecuaciones, por los múltiples valores que representa, puede

considerarse variable.

Resolver una desigualdad que incluye una incógnita significa determinar todos los

valores de la incógnita que hacen que la desigualdad sea verdadera. A diferencia de

las ecuaciones, las inecuaciones tienen infinitas soluciones, en particular para cuando

el conjunto solución está contenido en el conjunto de los números reales, se dice que

su solución es un intervalo.

En la figura que sigue se ilustra esta diferencia para el caso de una inecuación:

Ecuación 573x

4x

Inecuación 573x

4x

Para resolver inecuaciones utilizamos las siguientes reglas para dejar de un lado del

signo de desigualdad sólo a la variable. Estas reglas nos dicen cuándo dos desigual-


103

dades son equivalentes y en ellas los símbolos A, B. Y C representan números reales o

expresiones algebraicas. Aquí enunciamos las reglas para desigualdades que incluyen

el símbolo , , pero son válidas para cada uno de los cuatro símbolos de desigualdad.

REGLA DESCRIPCIÓN

1. CBCABA

2. CBCABA

3. Si 0C entonces

CBCABA ..

4. Si 0C entonces

CBCABA ..

5. 011

0BA

BA

6. Si

DCBA .y

Entonces DBCA

Las reglas 3 y 4 requieren especial atención: la primera afirma que podemos multi-

plicar (o dividir) cada lado de una desigualdad por un número positivo, pero la

segunda establece que SI MULTIPLICAMOS CADA LADO DE LA DESIGUALDAD

POR UN NÚMERO NEGATIVO, ENTONCES INVERTIMOS EL SENTIDO DE LA

DESIGUALDAD. Por ejemplo, si iniciamos con la desigualdad

REGLAS PARA DESIGUALDADES

Al sumar la misma cantidad a ambos lados de

una desigualdad se obtiene una que es

equivalente.

Al restar la misma cantidad a ambos lados de

una desigualdad resulta una equivalente.

Al multiplicar ambos lados de una desigualdad

por una misma cantidad positiva, se obtiene

una que es equivalente.

Al multiplicar ambos lados de una desigualdad

por una misma cantidad negativa, se invierte la

dirección de la misma.

Al tomar el recíproco de cada lado de una

desigualdad que involucre cantidades positivas, se invierte la dirección de la misma.

Dos desigualdades se pueden sumar miembro

a miembro.


104

3 < 5

y multiplicamos por 2, obtenemos

6 < 10

pero si multiplicamos por -2, lo que resulta es

-6> -10

Ejemplo: Resolución de una desigualdad lineal

Resuelva la desigualdad 3x < 9x + 4 Y esboce el conjunto solución.

Solución

3x < 9x + 4

3x - 9x < 9x +4 – 9x

- 6x < 4

-6X(-1/6) > 4/(-6)

X > -2/3

El conjunto solución está formado por todos lo x mayores que -2/3. En la gráfica

serán la parte roja

PROCESO DE FACTORIZAR UNA INECUACIÓN

CUADRÁTICA

Método gráfico en el proceso de factorizar una inecuación cuadrática nos resultan

inecuaciones de la forma ,0))(( 21 rxrxa o ,00 con 0a . La solución de esta

inecuación también se puede hallar utilizando un método gráfico, conocido

coloquialmente como el “Método de las cruces o del cementerio”. La eficacia del

“Método de las cruces” se manifiesta cuando deseamos resolver una inecuación de

grado n > 2, o sea, cuando al factorizar nos resulta una inecuación de la forma

0Con etc. 0, ,0))...()()(( 321 arxrxrxrxa n


105

PROCEDIMIENTO EN EL MÉTODO GRÁFICO

1. Se factoriza el polinomio.

2. Se organizan los factores de tal modo que la incógnita quede escrita en la parte

izquierda de cada paréntesis y con signo positivo

3. Se traza una recta real por cada factor y una recta real adicional para el

resultado

4. Se calculan las raíces contenidas en cada factor

5. Se ubican en cada recta real las respectivas raíces calculadas en el paso anterior

6. Se trazan rectas verticales por cada punto-raíz

7. A la izquierda de cada raíz ubicada en su respectiva recta, se señala con un

signo menos y a la derecha con un signo más

8. Aplicando la “Ley de los signos” se halla el resultado de multiplicar los signos

de cada columna, dicho resultado se escribe en el lugar correspondiente de la

recta real de resultados

9. Si el sentido de la inecuación es >, la solución estará constituida por todos los

intervalos, en la recta resultado, señalados con el signo más; en cambio si el

sentido de la inecuación es <, la solución será la unión de los intervalos

señalados con el signo menos.

Ejemplo ilustrativo:

Resolver la inecuación 02438132 234 xxxx

Solución:

0)4)(3)(2)(1(02438132 234 xxxxxxxx factorizando

Las raíces de la ecuación son:

4 y 3 2 1 xxxx

Tracemos una recta por cada factor y seguiremos los pasos sugeridos en el

procedimiento:


106

,4bien ó12bien ó 3 xxxxS ),4()1,2()3,(bien ó x

La representación gráfica es:

INECUACIONES QUE CONTIENEN FRACCIONES

El "Método de las cruces" se puede extender a la solución de inecuaciones que

contienen fracciones algebraicas. Lo primero que debemos hacer es excluir los

números reales que hacen que los denominadores se anulen. Luego, pasamos todas

las fracciones y demás expresiones algebraicas al miembro izquierdo de la desigualdad

(en el miembro derecho queda, por supuesto 0). El próximo paso consiste en reducir

las expresiones algebraicas en el miembro izquierdo a una sola fracción. Por último,

después de factorizar tanto el numerador como el denominador aplicamos el "Método

del cementerio", pero teniendo en cuenta tanto los factores del numerador como los

del denominador.


Resolver la inecuación 25

3

7

5

xx

Solución:


107

5,7 ,25

3

7

5x

xx

(Excluyendo los valores que anulan los denominadores)

025

3

7

5

xx (Trasponiendo)

0)5)(7(

702422132550

)5)(7(

)5)(7(2)7(3)5(5 2

xx

xxxx

xx

xxxx

0)5)(7(

)2)(6(20

)5)(7(

)128(20

)5)(7(

24162 22

xx

xx

xx

xx

xx

xx

Dividiendo cada miembro de la desigualdad entre -2 obtenemos

0)5)(7(

)2)(6(

xx

xx

Tracemos una recta por cada factor tanto del numerador como del denominador y

seguiremos los pasos sugeridos en el procedimiento:

,2bien ó 56bien ó 7 xxxxS

),2()5,6()7,(bien ó x


108


TRES EJERCICIOS RESUELTOS

Resolver las siguientes desigualdades aplicando el método gráfico

S o l u c i o n e s

Solución (Factorizando)

Las raíces de son

De manera que:


Solución

Trasponiendo

http://usuarios.lycos.es/calculo21/id400_m.htm




109

De manera que:


Solución

De manera que:



110

GRÁFICA DE UNA INECUACIÓN LINEAL

Para realizar la gráfica del conjunto solución de inecuaciones lineales como

, , ó ,cbyax 0

Se debe tener en cuenta lo siguiente:

Al menos uno de los coeficientes b y a es diferente de cero.

Al trazar la recta 0cbyax y el plano queda dividido en dos semiplanos

abiertos, ninguno de los cuales contiene la recta. Si los puntos 21 p y p

pertenecen a alguno de los semiplanos, entonces existe una curva uniforme

que une 21 p y p tal que toda la curva está contenida en ese semiplano.

Teorema:

Sea ),( yxP un punto en que la gráfica de 0cbyax que divide el plano. Si

, , ó ,cbyax 0 se satisface para las coordenadas de ),( yxP , entonces

, , ó ,cbyax 0 se satisface para todas las coordenadas de los puntos del

semiplano en que se encuentra ),( yxP .

PROCEDIMIENTO PARA TRAZAR LA GRÁFICA DEL

CONJUNTO SOLUCIÓN DE UNA INECUACIÓN LINEAL

1. Se traza la recta de la ecuación ax + by + c = 0

2. Se toma un punto de cada uno de los semiplanos determinados por la recta y se

comprueba si verifican la inecuación dada.

3. Se sombrea el semiplano correspondiente al punto donde se verifica la

inecuación

NOTA: Cuando la inecuación tiene alguno de los símbolos o , se indica, trazando

con una recta punteada la gráfica de la ecuación, que la recta no hace parte del

conjunto solución. En cambio, cuando la inecuación tiene el signo o , se traza

una línea continua para indicar que la recta si forma parte del conjunto solución.


111


Trazar la gráfica de la inecuación

0632 yx

Solución:

Trazar la gráfica de la inecuación

0632 yx , hallando los puntos

donde la recta corta a los ejes:

Para x=0, y=2 y para y=0, x=-3 la

recta la trazamos punteada porque no

forma parte de la solución.

El punto (0,0) se encuentra en el semiplano inferior, y 06060302 es

verdadero; por el contrario el punto (-4,0) se encuentra en el semiplano superior, y

02060342 es falso; por lo tanto, sombreamos el semiplano inferior.

INECUACIONES LINEALES SIMULTÁNEAS

Un sistema de inecuaciones lineales tiene la forma general

Como ya vimos, el conjunto solución de cada inecuación es un semiplano.

Intuitivamente colegimos que el conjunto solución del sistema es la intersección de

todos los semiplanos de las soluciones particulares. Hay que hacer notar que algunas

veces el conjunto solución de un sistema de inecuaciones es el conjunto vacío. Para

resolver un sistema de inecuaciones es recomendable utilizar el método gráfico.


112


Resolver el siguiente sistema de inecuaciones lineales:

Lo primero que debemos hacer es trazar la gráfica de cada una de las ecuaciones.

Basta con hallar las coordenadas de dos de los puntos de cada una de ellas; es

recomendable tomar los intercepto con los ejes:

El conjunto solución es el interior del triángulo sombreado, sin incluir ninguno de los

lados. Para aclarar mejor la solución debemos calcular las coordenadas de los vértices

del triángulo, lo cual se consigue resolviendo los tres sistemas:

Para el primer sistema la solución es (1,2), para el segundo (4,1) y para el tercero

(3,5). La solución del sistema de inecuaciones es, en resumen, el interior del triángulo,

cuyos vértices coordenados son (1,2), (4,1) y (3,5); sin incluir ninguno de los tres lados

del triángulo.

GRÁFICA DE UNA INECUACIÓN CUADRÁTICA

La gráfica de la ecuación cuadrática en dos variables cuya fórmula es cbxaxy 2 ,

es una parábola. Dicha parábola divide el plano en dos regiones, en una de ellas se

cumple que cbxaxy 2 y en la otra cbxaxy 2 (inecuaciones cuadráticas).

El siguiente teorema nos posibilita trazar la gráfica de una inecuación cuadrática.


113

Teorema:

Sea ),( yxP un punto de una de las dos regiones en las que queda dividido el plano

por una parábola. Si cbxaxy 2

en P o si cbxaxy 2 en P , entonces la

correspondiente inecuación se verifica en todos los puntos de esa región.

Procedimiento Para Trazar La Gráfica Del Conjunto

Solución De Una Inecuación Cuadrática

1. Se traza la gráfica de cbxaxy 2

2. Se comprueba la veracidad de la inecuación dada en un punto de cada una de

las dos regiones en que la parábola divide el plano.

3. Se sombrea la región en que la comprobación anterior ha sido afirmativa.


Hállese el conjunto solución de la inecuación cbxaxy 2

Solución:

Primero trazamos la gráfica de la ecuación

252 2 xxy (1)

El coeficiente de x2. 2, es positivo; por lo que

la parábola abre hacia arriba. La absisa del

vértice es 5/4 (calculada a partir de la

fórmula (-b/2a) al sustituir este valor en (1)

hallamos el valor de la ordenada del vértice,

es -9/8. La gráfica corta al eje y en 2 y al

eje x en ½ y 2. Estos datos son suficientes

para graficar la parábola. Al sustituir las

coordenadas del origen en 252 2 xxy , se obtiene la falsedad de

0 > 2; por lo que el conjunto solución de la inecuación está formado por la parte

interior de la parábola, sin incluir la gráfica de la parábola. Por lo tanto sombrearemos

la parte superior y puntearemos la gráfica.


114

INECUACIONES SIMULTÁNEAS QUE CONTIENEN

INECUACIONES CUADRÁTICAS

La técnica para hallar la solución de inecuaciones en la que aparecen inecuaciones

cuadráticas es similar a la que utilizamos para solucionar sistemas de dos o tres

inecuaciones lineales simultáneas. Debemos trazar las gráficas de las inecuaciones

cuadráticas como se mostró en el apartado anterior, y las inecuaciones lineales como

ya aprendimos con anterioridad; la solución del sistema será entonces la intersección

de todas las regiones que se generaron como soluciones de cada inecuación particular.

En algunos de los ejercicios resueltos que se presentan a continuación se ejemplariza la

forma de solucionar sistemas de inecuaciones en la que aparecen inecuaciones

cuadráticas.

EJERCICIOS RESUELTOS

Halle el conjunto solución de las siguientes inecuaciones y de los siguientes sistemas

de inecuaciones:

1. 02yx

2.

012

032

yx

yx

4. 05

562

yx

xxy 5.

01

2

y

xy 6.

13

128

2

2

xxy

xxy

S O L U C I O N E S

1. 02yx

Solución:

Trazamos la gráfica de la ecuación 02yx

para lo cual basta calcular las coordenadas de

dos de sus puntos si ,x 0 2y y si

02 y,x

Ahora, sustituyendo los valores de las

coordenadas del origen en la ecuación,



115

02yx se obtine: 020200 : falsedad

por lo que se concluye que el origen del sistema de ejes coordenados no pertenece al

conjunto solución como tampoco al semiplano que lo contiene. Esto es, el conjunto

solución está constituido por todos aquellos puntos que pertenecen al semiplano que

no incluye al origen (la parte sombreada. Como el signo de la inecuación es , la

recta, que es la gráfica de la ecuación hace parte del conjunto solución, y para

denotar ese hecho se traza la gráfica con una línea continua.

2. 01yx2

03y2x

Trazamos la gráfica de cada una de las

ecuaciones; para lo cual calculamos las

coordenadas de dos de sus puntos:

)0,2/1(y)1,0(:01yx2

)0,3(Y)2/3,0(:03y2x

Ahora, sustituyendo los valores de las

coordenadas del origen en las ecuaciones, y se

obtiene: 032yx falsedad

Por lo que la solución de esta inecuación no

incluye al origen en su solución. Por otro lado al

sustituir en 01yx2 se obtiene 01 por lo

que el conjunto solución de ésta inecuación es un semiplano que incluye al origen. El

conjunto solución del sistema de inecuaciones consiste en la intersección de los

semiplanos solución hallados individualmente (la región sombreada).

3. 1582 xxy

Trazamos la gráfica de la ecuación

1582 xxy la abscisa del vértice, que se

calcula mediante la fórmula a2/b es 4 la

oredena del vértice de la parábola que se

calcula sustituyendo x=4 en 1582 xxy

es 1. Osea el vértice de la aprábola está en el

punto (4,1) lagráfica corta al eje “y” en -15 la

gráfica corta al eje “x” en 3 y en 5; pues son

las raíces de la ecuación 01582 xx .

Estos datos son suficientes para trazar la


116

gráfica.

Si sustituimos las coordenadas del origen en 1582 xxy se obtiene

150 : Falsedad; por lo que se concluye, de a cuerdo al teorema, que el origen de

coordenadas no pertenece a la solución. La solución está constituida, pues, por el

conjunto de puntos del interior de la parábola (región sombreada) y los puntos de la

parábola.

4. 05

562

yx

xxy

Trazamos la gráfica de la parábola y de la

recta…

Remplazamos las coordenadas del origen en

562 xxy se obtiene 50 falso; por lo que

el origen no pertenece a la solución de

562 xxy y por ende, tampoco la región

que contiene al origen. La solución de

562 xxy es el interior de la parábola con

los puntos de ella.

Ahora si sustituimos las coordenadas del origen

en 05yx se obtiene 05 : verdadero,

por lo que el conjunto solución es el semiplano que contiene al origen.

Luego el conjunto solución del sistema es la intersección de los dos conjuntos en el

paso anterior (región sombreada).

5. 01y

xy 2

Trazamos la gráfica de la parábola y de la

recta…

Si sustituimos x=2 e y=1 en y > x2, se obtiene

1 > 4: falso, por lo que el punto (2,1) no

pertenece a la solución 2xy , ni tampoco a la

región que contiene dicho punto; luego la

solución es el interior de la parábola.

Luego si sustituimos los valores de las

coordenadas del origen en y+1<0, se obtiene

1<0 falso: por lo que la solución es el semiplano

que no contiene al origen, que es la parte inferior a la gráfica de la y+1=0 que es una


117

recta, así, la solución será vacía, dado que las soluciones anteriores no tienen

intersección.

6. 1x3xy

12x8xy

2

2

Trazamos las gráficas de ambas parábolas…

Si sustituimos las coordenadas del origen en

12x8xy 2 se obtiene 0 > 12 : falso; por

lo que el origen no pertenece a la solución de

12x8xy 2 por ende tampoco la región

que contiene a dicho punto; la solución de

12x8xy 2 es entonces el interior de la

parábola. Por otro lado si sustituimos los

valores de las coordenadas del origen en

1x3xy 2 se obtiene 0>1: falso; por lo que el origen no pertenece a la solución

de 1x3xy 2, ni la región que lo contiene tampoco. Luego la solución de

1x3xy 2, es el interior de la parábola. La solución del sistema es la intersección

de los dos luciones encontradas en el paso anterior, esto es, la región sombreada. Para

hallar los puntos de intersección basta resolver el sistema

1x3xy

12x8xy

2

2


118


1-40: Son problemas que involucran ecuaciones de primer grado en su

solución

1) Un número multiplicado por 5 sumado con el mismo número multiplicado por

6 da 55. ¿Cuál es el número?

2) ¿Qué número se debe restar de p+2 para obtener 5?

3) El doble de un número aumentado en 12 es igual a su triple disminuido en 5.

¿Cuál es el número?

4) Tres números impares consecutivos suman 81. ¿Cuáles son los números?

5) El doble de un número más el triple de su sucesor, más el doble del sucesor

de éste es 147. Hallar el número.

6) La diferencia entre los cuadrados de dos números consecutivos es 103.

¿Cuáles son los números?

7) En el triángulo ABC, los lados BCAB 3 y ACBC2

1. Si su perímetro es 84 m.

¿Cuánto mide cada lado?

8) Si el lado de un cuadrado se duplica, su perímetro aumenta 40 m. Calcular la

medida del lado del cuadrado.

9) Las dimensiones de un rectángulo están en la razón 3 : 5 y su perímetro es

140 m. Calcular el largo y en ancho.

10) Si el lado de un cuadrado es aumentado en 8 unidades, su perímetro se

triplica. ¿Cuánto mide el lado?

11) Un padre tiene 20 años más que su hijo. Dentro de 12 años, el padre tendrá

el doble de la edad del hijo. ¿Cuántos años tiene cada uno actualmente?

12) Las edades de un matrimonio suman 62 años. Si se casaron hace 10 años y la

edad de la novia era 4

3 de la edad del novio. ¿Qué edad tienen actualmente?

13) La edad de Pedro excede a la de su amigo Santiago en 4 años y a la de su

amigo Juan en 2 años. Hace 6 años la razón entre sus edades era 2:3:4. ¿Qué

edad tienen actualmente?

14) La edad de María es el triple de la de Ester y excede en 5 años a la edad de

Isabel. Si las edades de Ester e Isabel suman 23 años. Hallar la edad de cada

una.


119

15) Guiso tiene la cuarta parte de la edad de su padre Andrés y el triple de la

edad de su hermano David. ¿Qué edad tiene cada uno, si sus edades suman

48 años?

16) Hace 6 años un padre tenía el cuádruplo de la edad de su hijo. En 10 años

más tendrá sólo el doble. Hallar la edad actual del padre e hijo.

17) Un padre tiene 52 años y su hijo 16. ¿Hace cuántos años el hijo tenía la

séptima parte de la edad del padre?

18) Se compran 25 lápices, 32 cuadernos y 24 gomas de borrar y se cancela por

ello $ 16.900. Si cada cuaderno cuesta el triple de cada goma, más $ 20 y

cada lápiz cuesta el doble de cada goma, más $ 8. ¿Cuánto cuesta cada

material?

19) Hernán tiene el doble de dinero que Gladis y el triple que María. Si Hernán

regalara $ 14 a Gladys y $ 35 a María, los tres quedarían con igual cantidad.

¿Cuánto dinero tiene cada uno?

20) Una persona puede pintar una muralla en 5 horas, otra lo hace en 6 horas y

una tercera persona tarda 12 horas en pintar la misma muralla. ¿Cuánto

tardarían si la pintaran entre las tres?

21) El numerador de una fracción excede en dos unidades al denominador. Si al

numerador se le suma 3, la fracción queda equivalente a 3

4. Hallar la fracción.

22) Hallar dos números enteros consecutivos cuya suma sea 103.

23) Tres números enteros consecutivos suman 204. Hallar los números.

24) Hallar dos números enteros pares consecutivos cuya suma sea 194.

25) La suma de tres números impares consecutivos es 99. Hallar los números.

26) La suma de las edades de tres personas es 88 años. La mayor tiene 20 años

más que la menor y la del medio 18 años menos que la mayor. Hallar las

edades respectivas.

27) Dividir 1080 en dos partes tales que la mayor disminuida en 132 equivalga a

la menor aumentada en 100.

28) Dividir 85 en dos partes tales que el triple de la parte menor equivalga al

doble de la mayor.

29) Hallar tres números enteros consecutivos, tales que el doble del menor más el

triple del mediano, más el cuádruple del mayor equivalgan a 740.

30) La cabeza de un pez corresponde al tercio de su peso total, la cola a un cuarto

del peso y el resto del cuerpo pesa 4 kg. 600 gramos. ¿Cuánto pesa el pez?

31) La diferencia entre dos números es 38. Si se divide el mayor de los números

por el menor, el cuociente es 2 y queda un resto de 8. Determina los números.


120

32) Separa el número 180 en dos partes tales que dividiendo la primera por 11 y

la segunda por 27, la suma de los cuocientes sea 12.

33) ¿Qué número debe sumarse al numerador y al denominador de la fracción 13

8

y simultáneamente restarse del numerador y del denominador de 51

40 para

que las fracciones resultantes sean equivalentes?

34) Un trozo de alambre de 28 cm. de largo se ha doblado en forma de ángulo

recto. Determina la distancia entre ambos extremos del alambre, si uno de los

lados del ángulo formado mide 12 cm.

35) Al preguntársele a Pitágoras por el número de sus alumnos, dio la siguiente

respuesta: “La mitad de mis alumnos estudia Matemática, la cuarta parte

estudia Física, la séptima parte aprende Filosofía y aparte de éstos hay tres

niños muy chicos” ¿Puedes deducir cuántos alumnos tenía el famoso

matemático griego?

36) Al comprar 3 Kg. de tomates y 4 Kg. de papas, una dueña de casa pagó $

119. ¿Cuánto vale el kilo de tomates, sabiendo que es $ 14 más caro que el

kilo de papas?

37) La entrada para una función de teatro al aire libre vale $ 60, adultos, y $ 25,

niños. La recaudación arrojó un resultado de 280 asistentes y fue de $

14.000. ¿Cuántos niños asistieron a la función?

38) En un tratado del álgebra escrito por el célebre matemático Leonhard Euler,

publicado en 1770 aparece el siguiente problema: “En una hostería se alojan

20 personas entre hombres y mujeres. Cada hombre paga 8 monedas por su

hospedaje y cada mujer 7, del mismo valor, ascendiendo el total de la cuenta

a 144 monedas. Se pregunta cuántos hombres y cuántas mujeres son”

39) Silvia compra un pañuelo, una falda, y un abrigo en $ 5.050. Calcula los

precios respectivos, si la falda vale 25 veces más que el pañuelo, y el abrigo, el

triple de la falda.

40) Se cuenta que la legendaria fundadora de Praga, la reina Libussa de

Bohemia, eligió a su consorte entre tres pretendientes, planteándoles el

siguiente problema: ¿cuántas ciruelas contenía un canasto del cual ella sacó la

mitad del contenido y una ciruela más para el primer pretendiente; para el

segundo la mitad de lo que quedó y una ciruela más y para el tercero la mitad

de lo que entonces quedaba y tres ciruelas más, si con esto el canasto se

vació. ¿Puedes calcularlo tú?


121

41-49: Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado.

41) 0722 2x

42) 1243 xx

43) 022

12 xx

44) 016 2 yy

45) 092732

xx

46) 222

762 xxx

47) 2

497

11

x

x

x

x

48) 32

7

5

8

xx

49) 04 22 ax

50) Encuentre el valor de x para que el área del rectángulo tenga el valor de 12

cm 2 .

2x

x + 3

51-82: Resolver problemas por medio de ecuaciones de segundo grado

51) Se quiere hacer una caja de 50 cm3 de volumen con una cartulina cuadrada.

Para hacerla se cortan en las esquinas cuadrados de 2 cm de lado. ¿Cuánto

mide el lado de la cartulina cuadrada?


122

52) Determina los lados de un rectángulo, sabiendo que su perímetro es 25m y

su área es 150m2.

53) La edad de Liliana era hace 6 años la raíz cuadrada de la edad que tendrá

dentro de 6 años. Determina la edad actual.

54) Dos cuerdas se cortan en un círculo. Una mide 30 cm, la otra mide 50 cm y

pasa por el punto medio de la primera. ¿Cuáles son las medidas de los

segmentos en que ha quedado dividida la segunda cuerda?

55) Un rectángulo equivale a un cuadrado de 96 cm de lado. Determina las

dimensiones del rectángulo, sabiendo que una de ellas es 6 de la otra.

56) Determina las medidas de un triángulo rectángulo, sabiendo que su

perímetro es 80 cm y la suma de los catetos es 46 cm.

57) El área de un rectángulo es 360 m2 y el largo excede al ancho en dos

unidades. Calcula el perímetro del rectángulo.

58) Determinar las longitudes de los lados de un rectángulo si el lado mayor

excede en 10 cm al menor y la diagonal mide 50 cm.

59) Una sala de clases está distribuida por filas. El número de alumnos es igual al

número de filas. ¿Cuántas filas y cuántos alumnos por fila hay, si en total los

alumnos son 40?

60) Una persona compró cierto número de objetos en $ 300. Podría haber

comprado 10 objetos más, si cada uno hubiese costado $ 5 menos.

¿Cuántos objetos compró?

61) Un deportista caminó 30 km en un cierto número de horas. Si hubiese

caminado 1 km más por hora habría tardado 1 hora menos en recorrer la

misma distancia. ¿Cuántos kilómetros por hora recorrió?

62) Un rectángulo mide 15 cm de largo y 8 cm de ancho. ¿En cuántos

centímetros habría que disminuir, simultáneamente, el largo y el ancho para

que la diagonal sea 4 cm menor?

63) Calcula la altura y la base de un triángulo isósceles cuyos lados iguales

miden 10 cm y la altura es 2 cm más larga que la base.

64) En un círculo de radio 17 cm se traza una cuerda perpendicular a un

diámetro. La distancia desde el centro a dicha cuerda es 7 cm más que la

mitad de la longitud de la cuerda. Calcula la medida de la cuerda.

65) En un círculo, la distancia entre dos cuerdas paralelas congruentes es de 12

cm. Cada cuerda mide 6 cm más que el radio. Determina el radio.

66) Determina los lados de un triángulo rectángulo, sabiendo que las

dimensiones de los tres corresponden a números naturales consecutivos.


123

67) La hipotenusa de un triángulo rectángulo es 25 metros y la suma de los

catetos es 35 m ¿Cuánto miden los catetos?

68) La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 25 m y uno de los catetos

tiene 6 m más que su proyección sobre la hipotenusa. Calcular los catetos.

69) Un cateto de un triángulo rectángulo mide un metro menos que la

proyección del otro cateto sobre la hipotenusa. ¿Cuánto mide esta

proyección, si el otro segmento de la, hipotenusa mide 9 m?

70) La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 9 m más que uno de los

catetos y 8 m más que el otro. Calcular los lados del triángulo.

71) Calcular los lados de un triángulo rectángulo sabiendo que la suma de los

catetos es. 28 m y que la hipotenusa tiene 4 m menos que el doble del cateto

menor.

72) El cuadrado de la suma de los catetos de un triángulo rectángulo tiene 120

m2 más que el cuadrado de la hipotenusa. Calcular los catetos y la

hipotenusa, sabiendo que la diferencia entre los catetos es 7 m.

73) La suma de la base con la altura de un triángulo es 30 m y el área, del

triángulo es 112 m2. Calcular la base y la altura del triángulo.

74) La suma de los perímetros de dos cuadrados es 240 cm y la suma de sus

áreas es 2 522 cm2. ¿Cuánto mide el lado de cada cuadrado?

75) La suma de los catetos de un triángulo rectángulo es 71 cm y el área del

triángulo es 330 cm2. ¿Cuánto miden los catetos?

76) En un triángulo rectángulo el cateto .menor mide 42 cm y los segmentos de

la hipotenusa determinados por la altura tienen una diferencia de 98 cm,

¿Cuánto mide la hipotenusa?

77) En un triángulo isósceles la base mide 19cm y cada lado 8 cm más que la

altura trazada a la base. ¿Qué longitud tiene la Altura?

78) El segundo curso de un colegio tiene 3 alumnos más que el tercero, y el

primero 6 alumnos más que el segundo. En una colecta de caridad cada

alumno del mismo curso da la misma suma, pero cada alumno del tercer

curso da tanto como cada alumno del segundo y del primero juntos. El

tercer curso juntó 10 UF, el segundo 6,9 UF y el primero 5,8 UF. ¿Cuántos

alumnos tiene cada curso?

79) El cateto mayor de un triángulo rectángulo mide 60 cm y la diferencia de las

proyecciones sobre la hipotenusa es 21 cm. Calcular los otros dos lados del

triángulo.

80) En un triángulo la base mide 15 cm más que el doble de la altura. Calcular la

base y la altura, sabiendo que el área del triángulo es 301 cm2.


124

81) Alguien regala US$ 525 para repartirlos entre los niños del nivel cuarto

básico de una escuela. Como 25 niños estaban ausentes, cada uno de los

niños presentes obtuvo US 0,50 más. ¿De cuántos niños se componía el

nivel cuarto?

83-106: Resuelva las ecuaciones simultáneas

82) x + 6y = 27

7x – 3y = 9

83) 7x – 4y = 5

9x + 8y = 13

84) 15x – 11y = -87

-12x – 5y = -27

85) 14x – 11y = -29

13y – 8x = 30

86) 6x –18y = -85

24x – 5y = -5

87) 3x + 5y = 7

2x – y = -4

88) x + 3y = 6

-7x + 8y = 25

89) 4x + 5y = 5

-10y – 4x = -7

90) x – 5y = 8

5x – 2y = 13

91) 4y + 3x = 8

8x – 9y = -77

92) 10x + 18y = -11

16x – 9y = -5

93) –13y + 11x = -163

-8x + 7y = 94

94) 45

12 yx

2x – 3y = -8

95) 11y2

3x

72

yx

96) 6x – 5y = - 9

4x + 3y = 13

97) 3

52

9

14 yxx

10

18

7

23 yyy

98) 17

3

1

1

yx

yx

51

1

yx

yx

99) 37

63

3

9

yx

yx

23

30

6

43

yx

yx

100) a + b = 4


125

-b + a = 8

101) 3x + y = 20

4

3

yx

102) 2x + 4y = 15

6x + 12y = 45

103) x + y +z = 6

x –y +2z = 5

x –y -3z = -10

104) + 4y + 3z = 3

10x – 8y –9z = 0

4x +4y –3z = 2

105) 2x + 3y +z = 1

6x –2y –z = -14

3x + y –z = 1

Problemas

106) En un garaje hay motos de dos cilindros y autos de 6 cilindros. Entre todos

suman 80 cilindros y 58 ruedas. ¿Cuántos motos y cuántos autos hay?

107) Halla dos números cuya diferencia sea –7 y cuya suma sea 43.

108) El producto de dos números es 100 y su cociente es 4. Halla los dos

números.

109) La suma de dos números más 22 es igual al doble del mayor, y su

diferencia menos 1 da el mayor. Halla los dos números.

110) Tengo 1’90 € entre monedas de 0’50 y 0’20 €. Si el total de monedas es 5.

¿Cuántas son de cada clase?

111) La diferencia de dos números es 65, y si el doble del primero, aumentado

en 5 unidades, lo dividimos por el segundo, el cociente es 11. ¿Cuáles son

esos números?

112) El área de un rectángulo es 120 m2 y su perímetro es 46 metros. Hallar sus

lados.

113) El perímetro de un triángulo isósceles es 51 cm. Sabiendo el lado desigual

es 6 cm. más largo que cada uno de los lados iguales. Hallar la longitud de

los tres lados.

114) Para asistir a un concierto la boleta de los hombres costaba 5 dólares y las

de las mujeres 3 dólares; si en total la taquilla recaudó 3.340 dólares y el

número de espectadores fue 900, ¿Cuántos hombres y cuántas mujeres

asistieron al concierto?

115) El valor de la trascripción por hoja tamaño carta es $400 y por tamaño

oficio $500, si se necesitan transcribir dos textos con tamaños diferentes los


126

cuales suman 200 páginas, y en total se pagan $92.000 ¿Cuántas páginas

tiene cada texto?

116) Se consignó la suma de $650.000 en un banco entre billetes de $5.000 y

$20.000; si en total eran 70 billetes ¿Cuántos eran de $5.000 y cuántos

eran de $20.000?

117) Si un número de dos cifras se disminuye en 17 y ésta diferencia se divide

por la suma de sus cifras, el cociente es 5 .Y si el número disminuido en 2

se divide por la cifra de las unidades disminuida en 2, el cociente es 19.

Halle el número.

118) Si Adriana le da a Iván una uva, ambos tienen las mismas y si Iván le da a

Adriana una uva, entonces Adriana tendrá el triple de las de Iván. ¿Cuántas

uvas tienen cada uno?

119) El perímetro de una sala rectangular es 56m. Si el largo se disminuye en

2m y el ancho se aumenta en 2m, la sala se hace cuadrada. Halle las

dimensiones de la sala.

120) En un corral que contiene solo gallinas y conejos se cuentan 60 cabezas y

190 patas, ¿Cuántos animales hay de cada especie?

En los ejercicios de 121 a 133 resuelva las inecuaciones dadas

121)

122) 02

62

X

X

123) 232

4

X

X

124) 3

12

X

X

125) 35

12

X

X

126) 13

3

X

X

127) XX

X 1

2

128) 04

42

2

X

X

129) XX

X3

1

130) XX

3

1

1

131) 0)2)(1(

)1( 2

XX

X

132) 152

3

X

X

133) 2

2

1

11

XXX

01

3

X

X


127

OBJETIVOS:

Utilizar el Teorema del factor y el teorema del residuo para resolver ecuaciones

y calcular raíces racionales por medio de la división sintética.

Valernos del teorema de las raíces racionales para saber si una suma o

diferencia de potencias es divisible entre la suma o la diferencia de las raíces

enésimas de sus dichas potencias.

TEMAS Y SUBTEMAS:

Binomio De Newton, División sintética. Teorema del residuo, Teorema del factor,

Teorema fundamental del álgebra, ceros reales de polinomios con coeficientes reales,

ceros racionales de polinomios con coeficientes enteros, Suma o diferencia de

potencias iguales, Descomposición en fracciones parciales e inecuaciones.

INTRODUCCIÓN

En términos generales la unidad recorrerá las características de un polinomio en una

variable, y de ellas obtendremos más y mejores herramientas para su transformación,

como es factorizarlo, graficar la función polinómicas correspondiente o saber por lo

menos en qué puntos corta al eje x. sin duda las teorías presentadas a continuación

son de gran importancia en el proceso de formación que como Ingeniero se va

teniendo.

ECUACIONES

POLINÓMICAS


128

BINOMIO DE NEWTON11

Vamos a deducir la fórmula que nos permitirá elevar a cualquier potencia de

exponente natural, n, un binomio. Esto es la forma de obtener

Para ello veamos cómo se van desarrollando las potencias de (a+b)

Observando los coeficientes de cada polinomio resultante vemos que siguen esta

secuencia

Esto es el triángulo de Tartaglia que se obtiene escribiendo en filas los números

combinatorios desde los de numerador 1.

O sea que cada uno de esos números corresponde al valor de un número

combinatorio así:

11

http://platea.pntic.mec.es/anunezca/ayudas/factorizacion/factorizacion_polinomios.htm


129

Podemos observar que cada fila empieza y termina por 1, que los números que

aparecen forman una fila simétrica, o sea el primero es igual al último, el segundo

igual al penúltimo, etc., y cada número es la suma de los dos que tiene encima.

Por otra parte en cualquier momento podemos hallar el valor de un número

combinatorio cualquiera recordando que se calculan por la siguiente fórmula:

Por ejemplo si quiero calcular

Por otra parte, observando las potencias de (a+b) de nuevo vemos que las potencias

de a empiezan elevadas a n, va disminuyendo uno a uno hasta llegar a cero. A los

exponentes de b les ocurre lo contrario.

Con lo que ya tenemos podemos calcular directamente la siguiente potencia de (a+b),

sus coeficientes serán la fila quinta del triángulo de Tartaglia.

Y ya podemos escribir la fórmula general del llamado binomio de Newton

que también se puede escribir de forma abreviada así:

nk

K

kknn bah

n)ba(

0

Ejemplos:

1) Desarrollar la potencia


130

La fila 15 del triángulo de Tartaglia es: 1, 15, 105, 455, 1365, 3003, 5005, 6435,

6435, 5005, 3003, 1365, 455, 105, 15, 1

Que serán los valores de los coeficientes.

2) Calcular sin desarrollar el término que ocupara el lugar 50 en el desarrollo de:

(a2+3/b)100

El primer término tiene de coeficiente , el segundo , el tercero , etc.

Por tanto el término de lugar 50 será:

=

= 98913082887808032681188722800. =

En general el término de lugar k+1 en el desarrollo de es

Ejercicios

3) Si el segundo término de un desarrollo de la potencia de un binomio es:

¿Cuál es el término penúltimo? ¿Y cuál es el binomio y su potencia?

El penúltimo término será el de lugar 12, pues habrá 13 términos y vale:


131

El binomio y su potencia será

4) Hallar el término medio del desarrollo de

Como está elevado a 14 habrá 15 términos, por tanto el término que está en medio es

el de lugar 8, tiene 7 por delante y 7 por detrás.

Vamos a desarrollarlo:

5) Escribe el término que contiene x31 en el desarrollo de:

El término de lugar k+1, como hemos dicho antes, tiene esta forma:

Veamos como quedan las potencias x y de y:

Dividiendo las potencias de la misma base, restando los exponentes tenemos:

Por tanto el exponente de x es 40-3k. Como queremos obtener x31, basta igualar 40-

3k=31, de donde k=3. Se trata por tanto del término de lugar 4.

Ahora escribimos el término completo.


132

DIVISIÓN SINTÉTICA

La División Sintética es método abreviado de división de polinomios la cual me

permite dividir un polinomio de la forma nn

nnn axaxaxaxaxP 1

2

2

1

10 ...)(

entre un binomio divisor de la forma bmxxd )( utilizando todos los ( )1n -

coeficientes nn aaaaa ,,...,,, 1210 del polinomio )(xP y la expresión mb / del binomio

divisor bmxxd )( .

En forma general el proceso es el siguiente:

Para dividir nn

nnn axaxaxaxaxP 1

2

2

1

10 ...)( entre bmxxd )(

procedemos así:

nnn aaaaaaa ... 123210

m

b. 1b

m

b. 2b

m

b. 3b ...

m

b. 2nb

m

b. 1nb

m

b. nb

Aquí 0a = 1b y cada número del reglón inferior se obtiene sumando los números

que están por encima de él. El residuo es R y el polinomio cociente es:

x ... x xb x)( 1

3-n

3

2-n

2

1-n

1 nn bbbbxC

Veamos el ejemplo 1:

Tómenos a 77497)( 235 xxxxxP y a 32)( xxd se puede observar que

)(xP es de grado 5, es decir n 5 por lo tanto hay 5+1=6 coeficientes ia uno para

cada i = 0,1,2,3,4,5 ellos son: ,70a 01a ya que 4151 xxxn no aparece,

92a , 43a , 74a y 75a por otro lado en 32)( xxd 2m y 3b por

lo tanto la expresión mb / = -(-3)/2 = 3/2 y será por quien tendremos que dividir los

coeficientes así:

7 0 9 -4 7 -7

7. 3/2=21/2 2

21.

2

3=

4

63

4

99.

2

3=

8

297

8

265.

2

3=

16

795

16

907.

2

3

32

2721

7 2

21

4

99

8

265

16

907 R=

32

2497

Del anterior resultado podemos obtener el polinomio )(xC cociente y el residuo de la

división los cuales son:

)(xC = 7 4x +2

21 3x +4

99 2x +8

265x +

16

907 el residuo será el último valor

... b 14321 nn bbbbb R

m

b

2

3


133

Ejemplo 2:

Sea 257397)( 245 xxxxxP y 5)( xxd se puede observar que )(xP es de

grado 5, es decir n 5 por lo tanto hay 5+1=6 coeficientes ia uno para cada i =

0,1,2,3,4,5 ellos son: ,70a 91a , 02a ya que 3252 xxxn no aparece, 33a

, 74a y 255a por otro lado en 5)( xxd 1m y 5b por lo tanto la

expresión mb / = -(5)/1 = -5 y será por quien tendremos que dividir los coeficientes

así:

7 9 0 3 -7 25

7.(-5)=-35 (-26).(-5)=130 130.(-5)=-650 -647.(-5)=3235 3228.(-5)=-16140

7 -26 130 -647 3228 R= -16115

Del anterior resultado podemos obtener el polinomio )(xC cociente y el residuo de la

división los cuales son:

)(xC = 7 4x -26 3x +130 2x -647 x +3228 el residuo será el último valor

ALGORITMO DE LA DIVISIÓN

Dado un polinomio P(x) dividendo y un binomio divisor d(x) y se obtiene como

resultado otro polinomio cociente C(x) como resultado con residuo R, entonces se

cumple que:

P(x) = C(x) . d(x) + R

TEOREMA DEL RESIDUO

El teorema del residuo me permite calcular el residuo sin hacer la división y

establece que en un polinomio dividendo nn

nnn axaxaxaxaxP 1

2

2

1

10 ...)(

y un binomio divisor bmxxd )( , el residuo R está dado por la expresión R=

nn

nnn ambambambambambP )/(...)/()/()/()/( 1

2

2

1

10 .

Veamos un ejemplo: tomemos como referencia el polinomio del ejemplo 1 de la

división sintética, es decir a 77497)( 235 xxxxxP y 32)( xxd y

-5


134

comprobemos el residuo que se obtuvo en aquella oportunidad. El valor de mb / = -

(-3)/2 = 3/2 si remplazamos a x por 3/2 en 77497)( 235 xxxxxP se tiene:

R= 72

37

2

34

2

39

2

37

2

3235

P = 72

3.7

2

3.4

2

3.9

2

3.72

2

3

3

5

5

= 72

21

4

36

8

243

32

1701=

32

32.716.218.364.2431701

32

2243362889721701

32

2497 que fue el resultado que se obtuvo

¡o no es así?

Probemos también el segundo ejemplo:

Allí 257397)( 245 xxxxxP y 5)( xxd . El valor de mb / =-(5)/1=-5

Entonces si remplazamos a x por -5 en 257397)( 245 xxxxxP se tiene:

R= 2557535957)5(245

P

= 7.(-3125)+9.(625)+3.(25)+35+25

= - 21875 + 5625 + 75 + 35 + 25 = - 21875 + 5760 = - 16115= R

RAÍZ DE UN POLINOMIO

Se dice que m

br es Raíz de un polinomio nn

nn axaxaxaxP 1

1

10 ...)( si

el residuo R de dividir a )(xP entre bmxxd )( es igual a cero esto es si R

0)/()( mbPrP En este caso se diría que el polinomio

nn

nn axaxaxaxP 1

1

10 ...)( es divisible entre el binomio bmxxd )( , o que

bmxxd )( es un divisor del polinomio nn

nn axaxaxaxP 1

1

10 ...)(

Ejemplo de raíces de un polinomio. Comprobemos que r = - 2 es raíz del polinomio

107161357)( 2345 xxxxxxP


135

Si r = -2 es raíz de 107161357)( 2345 xxxxxxP entonces R=

0)2()( PrP veamos: Sustituyamos a x por -2 en

107161357)( 2345 xxxxxxP

R= 10272162132527)2()(2345

PrP

= 7.(-32) +5.(16)-13.(-8)+16.(4)+7.(-2)-10

= - 224 + 80 + 104 + 64 – 14 - 10 = 80 + 104 + 64 – 224 – 24

= 248 – 248 = 0

Por lo tanto podemos decir que el binomio 2)( xxd es un divisor de

107161357)( 2345 xxxxxxP

Es importante tener en cuenta que podríamos conseguir un polinomio que se divida

exactamente entre un binomio cualquiera si restamos el residuo R al polinomio )(xP .

Esto es teniendo en cuanta el algoritmo de la división para polinomio.

Veamos un ejemplo al dividir 257397)( 245 xxxxxP entre 5)( xxd , el

residuo fue R= -16115 entonces es sencillo probar que 5r es una raíz de )(xP -

R, es decir de 257397 245 xxxx - (-16115) = 161407397 245 xxxx

Veamos 1614057535957245

= 7.(-3125)+9.(625)+3.(25)+35+16140

= - 21875 + 5625 + 75 + 35 + 16140= - 21875 + 21875 = 0.

Continuamos con otros resultados relacionados con los temas vistos que serán de gran

importancia en su formación matemática, ellos son:

TEOREMA DE LAS RAÍCES RACIONALES

Se dice que un polinomio de la forma nn

nn axaxaxaxP 1

1

10 ...)( tiene raíces

racionales q

pr si p es un divisor de na y q es un divisor de 0a , veamos un

ejemplo:


136

Las raíces 5

2r , 2r son por lo menos dos raíces del polinomio

12202985)( 234 xxxxxp , para comprobarlo verificamos la teoría de las

raíces racionales para lo cual 05

2p ; veamos: Para

5

2r

125

220

5

229

5

28

5

25

5

2234

p

= 125

220

25

429

125

88

625

165

= 125

40

25

116

125

64

625

80

= 625

)625.(12)125.(40)25.(116)5.(6480

= 625

75005000290032080 = 0

625

79007900

Por su parte 2r también lo es

1222022928252234

p

= 1222042988)16.(5 = 12401166480 = 0156156

Nota: Un polinomio de grado n tiene a lo sumo n - raíces, es posible que tenga

menos o incluso que no tenga raíces racionales ni reales.

En el ejemplo que se acaba de presentar el polinomio es de grado cuatro (4) y tiene

exactamente cuatro raíces racionales ellas son las dos que comprobamos y además

3r y 1r estas dos últimas las debe comprobar Usted en su libreta de apuntes.

Procedimiento para buscar las raíces racionales de un polinomio.

Para un polinomio de la forma nn

nn axaxaxaxP 1

1

10 ...)( procedemos de la

siguiente manera:

Primero: Buscamos todos los divisores p de na y todos los divisor q de 0a

Segundo: Construimos todas las posibles raíces q

pr dividiendo todos los divisores

p de na entre todos los divisor q de 0a (es posible que salgan un número grande de

posibles raíces)


137

Tercero: por último queda buscar cuáles r de las construidas cumplen con la

definición de raíz de un polinomio, es decir R 0)/()( qpPrP

Ejemplo:

Sea 242 xxxxxP 101913)( 244 entonces procedemos a

Primero: Buscamos todos los divisores p de na que en este caso es -24 y todos los

divisor q de 0a que en este caso es 2 de la siguiente manera, los

64,8,3,12,2,24,1 yp y los 21yq .

Segundo: Construimos todas las posibles raíces q

pr dividiendo todos los divisores

p de na entre todos los divisor q de 0a ; ellos son

23

21,24,12,8,6,4,3,2,1 yr

Tercero: por último queda buscar cuáles r de las construidas cumplen con la

definición de raíz de un polinomio, así:

1. 6)1(10)1(19)1(13)1()1( 244 242P

2. 0)1(10)1(19)1(13)1()1( 244 242P -1 es raíz

3. 0)2(10)2(19)2(13)2()2( 244 242P 2 es raíz

4. ???)2(10)2(19)2(13)2()2( 244 242P

5. ???)3(10)3(19)3(13)3()3( 244 242P

6. ???)3(10)3(19)3(13)3()3( 244 242P

.

.

.

. 02

3102

3192

3132

32

3244

242P 3/2 es raíz

Si termina de comprobar, de estas 20 posibles raíces

23

21,24,12,8,6,4,3,2,1 yr sólo -1, 2, 4 y

23 son raíces

verdaderamente, pudiendo ser menos de cuatro.

Otra forma de buscarlas es a través del método de división sintética. Teniendo gran

importancia porque además podemos factorizar el polinomio conociendo el siguiente

teorema.


138

TEOREMA DEL FACTOR

Sea q

pr una raíz del polinomio nn

nn axaxaxaxP 1

1

10 ...)( , entonces el

binomio )( pqx , y el polinomio cociente )(xC que resulte de dividir a )(xP entre

)( pqx son factores del polinomio )(xP .

En el ejemplo anterior )1(x , 2x , 4x y 32x son factores del polinomio

242 xxxxxP 101913)( 244 . Al dividir el polinomio por división sintética entre

)1(x tenemos:

2 -13 19 10 -24

-2 15 -34 24

2 -15 34 -24 0

Así 2434152 23 xxxxC y según el teorema él con )1(x son factores de P(x)

es decir: 242 xxxxxP 101913)( 244 = ( 2434152 23 xxx ). )1(x

- Si se divide entre 2x entonces tenemos:

2 -13 19 10 -24

4 -18 2 24

2 -9 1 12 0

Así 1292 23 xxxxC y según el teorema él con )2(x son factores de P(x) es

decir: 242 xxxxxP 101913)( 244 )1292( 23 xxx . )2(x

Si dividimos entre los otros dos binomios podemos conseguir sus respectivos )(xC y

podemos factorizar al polinomio.

Pero además podemos factorizar a P(x) como

242 xxxxxP 101913)( 244 = )1(x . 2x . 4x . 32x

Puede comprobarlo haciendo un poco de algebra.

2

-1


139

SUMA O DIFERENCIA DE POTENCIAS IGUALES

La siguiente teoría nos sirve para aprender a identificar cuándo una SUMA O UNA

DIFERENCIA DE POTENCIAS IGUALES ( nn yx ) es divisible entre las sumas o las

diferencias de las raíces “n-ésimas” de las potencias, siendo n el grado de

potencialidad en mención.

La divisibilidad de la suma o la diferencia de una potencia entre la suma o

la resta de las raíces n-ésimas puede depender de la condición del grado n,

si es par o si es impar.

A continuación analizaremos cada uno de los cuatro casos posibles a partir del

teorema del residuo y la definición de las raíces racionales.

PRIMER CASO

Consideremos el polinomio nn yxxP )( ¿será divisible entre el binomio yx ?

Según el teorema de residuo y la definición de las raíces racionales sólo si 0)( yP

veamos

0)()( nnnn yyyyyP Sólo si n es impar

Ejemplo 1: Es posible esta división 3

3

3

2187 777

x

x

x

x? Si lo es, ya que

0218721873)3()3( 77P

Y ¿cuánto da el resultado de esa división? Esté atento, al final se la daré:………………


3

3

6561 888

x

x

x

x? Noooooooooooooooo

exactamente, porque el exponente es par y el residuo no da cero, veamos

013122656165613)3()3( 88P

Ejemplo 3: Es posible esta división mx

mx 5151

? Sí y mx

mx 5252

Noooooooooooooo


140

SEGUNDO CASO


Según el teorema de residuo y la definición de las raíces racionales sólo si 0)(yP

veamos

02)()( nnnnn yyyyyyP Para cualquier n, sea par o impar

Conclusión: La suma de potencias iguales nunca es divisible entre la

diferencia de las raíces n-ésimas


3

3

2187 777

x

x

x

x? No lo es, ya que

4374218721873)3()3( 77P


3

3

6561 888

x

x

x

x? Noooooooooooooooo

exactamente, porque el exponente es par y el residuo no da cero, veamos

013122656165613)3()3( 88P


mx 5151

? NOOOOooooo y mx

mx 5252

Menos

TERCER CASO


Según el teorema de residuo y la definición de las raíces racionales sólo si 0)( yP

veamos

0)()( nnnn yyyyyP Sólo si n es par


3

3

729 666

x

x

x

x? Si lo es, ya que

0218721873)3()3( 76P

Y ¿cuánto da el resultado de esa división? ESPERE, al final se la daré:………………


141


3

3

6561 888

x

x

x

x? TAMBIEN, porque el

exponente es par y el residuo no da cero, veamos 0656165613)3()3( 88P


mx 5151

? No y mx

mx 5252

Claro que sí

CUARTO CASO


Según el teorema de residuo y la definición de las raíces racionales sólo si 0)(yP

veamos

0)()( nnnn yyyyyP Para todo n , sea par o impar


3

3

2187 777

x

x

x

x? Si lo es, ya que

0218721873)3()3( 77P

Y ¿cuánto da el resultado de esa división? No se desespere, muy pronto le

diré:………………


3

3

6561 888

x

x

x

x? También es posible, porque

el exponente, veamos 0656165613)3()3( 88P


mx 5151

y mx

mx 5252

? Claro, AMBOS

Conclusión, cuándo es divisible y qué da la división cada uno de los casos?

1. Sólo si n es impar 12322321 ... nnnnnn

nn

yxyyxyxyxxyx

yx

2. yx

yx nn

Nunca es posible exactamente, para ningún n

3. Sólo si n es par 123221 ... nnnnn

nn

yxyyxyxxyx

yx


142

4. Siempre es posible 12322321 ... nnnnnn

nn

yxyyxyxyxxyx

yx

Ejemplos 1: Cuanto da la siguiente división px

px

2

32 55

?

Como si es posible, se trata del primer caso, podemos desarrollar dicha división

43223455

248162

32pxppxpxx

px

px

Ejemplos 2: Cuanto da la siguiente división 5

588

x

x? R/ta. No es posible dividir

exactamente, se trata del caso II


588

x

x? R/ta. Sí es posible dividir

exactamente, se trata del caso IV y da

781251562531256251252555

5 53456788

xxxxxxxx

x


588

x

x? R/ta. Sí es posible dividir

exactamente, se trata del caso III y da

781251562531256251252555

5 53456788

xxxxxxxx

x

FRACCIONES PARCIALES

Si el denominador de una expresión racional (expresión algebraica fraccionaria

donde el numerador y el denominador son polinomios) se puede expresar como

productos de factores lineales no repetitivos, cada término de la descomposición tiene

forma de ax

A

Ejemplo 1

Halla la descomposición de 6

672 xx

x


143

23)2)(3(

67

6

672 x

B

x

A

xx

x

xx

x

6

672 xx

x

)2)(3(

)3()2(

xx

xBxA

67x = )3()2( xBxA

Si 2x entonces cancelamos la A y podemos hallar el valor de B

)32()22(6)2(7 BA

BA 5)0(614

B520

B5

20

B4

Ahora 3x utilizamos entonces cancelamos la B y podemos hallar el valor de A

)33()23(6)3(7 BA

)0(5621 BA

A515

B5

15

A3

Entonces

2

4

3

3

6

672 xxxx

x

Otro ejemplo resuelto de forma distinta es el siguiente:

Expresemos como suma de fracciones 5

62 xx

x

)2)(3(

6

5

62 xx

x

xx

x Así podemos expresar ahora la fracción como la suma


144

23)2)(3(

6

x

B

x

A

xx

x (1)

Se multiplicada cada miembro de la igualdad (1) por el M.C.D de la fracción

)2)(3( xx y se simplifica obteniendo entonces

)3()2(6 xBxAx

BBxAAxx 326 (destruyendo paréntesis)

BABxAxx 326

)32()(6 BAxBAx (2) (obtenemos (2) asociando de una forma

adecuada)

Como (2) es una identidad, los coeficientes del miembro izquierdo deben ser iguales a

los coeficientes correspondientes del miembro derecho. De tal manera que:

1BA (3)

632 BA (4)

Resolvemos el sistema de ecuaciones formado por (3) y (4) y obtenemos que:

222 BA

5

445 BB (5)

Si se sustituye (5) en (3) y haciendo aritmética se tiene:

5

9A (6)

Sustituyendo (5) y (6) en (1) obtenemos

)2)(3(

6

xx

x

)2(5

4

)3(5

9

xx

Si el denominador de una expresión racional se puede expresar como productos de

factores lineales repetitivos, cada término de la descomposición tiene forma de

m

m

qpx

A

qpx

A

qpx

A

)(...

)( 2

21

Ejemplo 2: Halla la descomposición de 43

1015223

2

xx

xx

632 BA


145

43

1015223

2

xx

xx=

2

2

)2)(1(

10152

xx

xx

Como el denominador se factoriza 2)2)(1( xx entonces tenemos que considerar

tanto )2(x como 2)2(x posibles factores en la posible descomposición.

22

2

)2()2()1()2)(1(

10152

x

C

x

B

x

A

xx

xx

222

2

2

2

)2)(1(

)1(

)2)(1(

)2)(1(

)2)(1(

)2(

)2)(1(

10152

xx

xC

xx

xxB

xx

xA

xx

xx

10152 2 xx = 2)2(xA + )2)(1( xxB + )1(xC

Si utilizamos 2x entonces cancelamos tanto A como B y podemos hallar el valor

de C

)12()22)(12()22(10)2(15)2(2 22 CBA )3()0)(3()0(1030)4(2 CBA

C310308 C312

C3

12

C4

Ahora utilizamos 1x entonces cancelamos B y C y podemos hallar el valor de A

)11()21)(11()21(10)1(15)1(2 22 CBA

)0()3)(0()21(1015)1(2 2 CBA A927

A9

27

3A


146

Ya tenemos el valor de A y C, nos falta el valor de B, para hallarlo utilizamos 0x , y

utilizamos los valores de A y C ya encontrados. Al sustituir el 0 por la x, eliminamos

los dos primeros términos del polinomio de la izquierda

)10()20)(10()20(10)0(15)0(2 22 CBA

)1(4)2)(1()2(310 2 B 42)4(310 B

B21210

B2

2

1B

Fialmente obtenemos el resultado el cual es:


147


Del 1 al 6. Determine el polinomio cociente xC y el residuo R por medio de la

división sintética de las divisiones dadas y compruebe el valor de R a través del

teorema del residuo.

1. 1054685 23456 xxxxxxP entre 4)( xxd





6. 854685 23456 xxxxxxxP entre 23)( xxd

Del 7 al 14. Determine las raíces de los polinomios dados y factorícelos

7. 751255352 234 xxxx

8. 75205123272 234 xxxx

9. 611784 234 xxxx

10. 12442343 234 xxxx

11. 2420263 234 xxxx

12. 3660143 234 xxxx

13. 751403250116 2345 xxxxx

14. 754115691612 2345 xxxxx

Del 15 al 22. Realice las divisiones indicadas (si es posible) y pruebe el resultado

15. mx

mx 55

16. 2

266

t

t

17. 2

266

t

t

18. 2

277

y

y

19. 2

277

t

t

20. 6

279936 77

m

m

21. 6

279936 77

p

p

22. mx

mx

34

72940969 66


148

Del 23 al 28. Descomponga como fracciones simple

23. 2

3 2

3 7

6 11 6

x x

x x x

24. 3 2

1

3t t

25. 2 2

1, .a cte

x a

26. 2

3 2

3 3

1

z z

z z z

27. 2

5 3

2 2

2

x x

x x x

28. 2

12

16xe


149

OBJETIVOS:

Aplicar las funciones trigonométricas en la solución de problemas referidos a la

ingeniería.

TEMAS Y SUBTEMAS:

Ángulos, sistemas de medidas de ángulos, conversiones, Funciones trigonométricas,

identidades trigonométricas básicas, Ecuaciones trigonométricas, Aplicaciones.

INTRODUCCIÓN

La trigonometría por si solo compone una asignatura en esta parte de la

programación, brevemente se hace un recorrido por ella y queda a voluntad y

disposición del estudiante los siguientes temas presentados.

DEFINICIONES CLÁSICAS DE ÁNGULO

Euclides define un ángulo como la inclinación mutua de dos líneas que se

encuentran una a otra en un plano y no están en línea recta. Según Proclus un

ángulo debe ser una calidad o una cantidad, o una relación. El primer concepto fue

utilizado por Eudemus, que describió un ángulo como desviación de una línea recta;

el segundo por Carpus de Antioch, que lo vio como el intervalo o el espacio entre las

líneas que se intersecaban; Euclides adoptó un tercer concepto, aunque sus

definiciones de ángulos rectos, agudos, y obtusos son cuantitativas.

Las unidades de medida de ángulos

Transportador de ángulos.

Las unidades utilizadas para la medida de los

ángulos del plano son:

FUNCIONES

TRIGONOMETRÍA

http://es.wikipedia.org/wiki/Euclides

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Proclus&action=edit&redlink=1

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Eudemus&action=edit&redlink=1

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Carpus_de_Antioch&action=edit&redlink=1


150

Radián (usado oficialmente en el sistema internacional de unidades)

Grado centesimal

Grado sexagesimal

Los ángulos se pueden medir mediante utensilios tales como el goniómetro, el

cuadrante, el sextante, la ballestina, el transportador de ángulos o semicírculo

graduado, etc.

CLASIFICACIÓN DE ÁNGULOS PLANOS

Ángulo agudo

Es el ángulo formado por dos semirrectas con amplitud mayor de 0 rad y menor de

2/ rad (mayor de 0º y menor de 90º).

Al punto de inicio o de encuentro, se le llama vértice.

Ángulo recto

Un ángulo recto es de amplitud igual a 2/ rad (equivalente a 90º).

Los dos lados de un ángulo recto son perpendiculares entre sí.

La proyección ortogonal de uno sobre otro es un punto, que coincide con el vértice.

Ángulo obtuso

Un ángulo obtuso es aquel cuya amplitud es mayor a 2/ rad y menor a rad

(mayor a 90º y menor a 180º).

http://es.wikipedia.org/wiki/Radi%C3%A1n

http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_internacional_de_unidades

http://es.wikipedia.org/wiki/Grado_centesimal

http://es.wikipedia.org/wiki/Grado_sexagesimal

http://es.wikipedia.org/wiki/Goni%C3%B3metro

http://es.wikipedia.org/wiki/Cuadrante

http://es.wikipedia.org/wiki/Sextante

http://es.wikipedia.org/wiki/Radian

http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulo_recto


http://es.wikipedia.org/wiki/Perpendicularidad



151

Ángulo llano o extendido

El ángulo llano tiene una amplitud de rad (equivalente a 180º).

Ángulo cóncavo o reflejo

El ángulo cóncavo, externo o reflejo, es el que mide más de rad y menos de rad

(esto es, más de 180º y menos de 360°)

Ángulo completo o perigonal

Un ángulo completo o perigonal, tiene una amplitud de rad (equivalente a 360º)

SISTEMAS DE MEDIDA DE ÁNGULOS

Medir un ángulo es compararlo con otro que se toma por unidad.

SISTEMA CENTESIMAL.- Es la circunferencia dividida en 400 partes iguales,

llamadas "grados centesimales". Cada grado tiene 100 "minutos centesimales" y cada

minuto tiene 100 "segundos centesimales".

Los símbolos para esta unidad son:

grado g, minutos m, segundos s

SISTEMA CIRCULAR.- En este sistema se usa como unidad el ángulo llamado

"radián". Un radián es el ángulo cuyos lados comprenden un arco cuya longitud es

igual al radio de la circunferencia.

Como la longitud de una circunferencia es 2 radianes, es decir 6.28 radianes,

dándole a el valor de 3.14

Un radián equivale a 57°18' (se obtiene dividiendo 360° entre 2 )

SISTEMA SEXAGESIMAL.- Se considera a la circunferencia dividida en 360 partes

iguales. Cada grado se considera dividido en 60 partes iguales llamadas minutos y

cada minuto en 60 partes iguales llamadas segundos.

Los símbolos para esta unidad son:

grado °, minuto ´, segundo "





152

CONVERSIONES ENTRE GRADOS Y RADIANES12

Los grados y los radianes son dos diferentes sistemas para medir ángulos. Un ángulo

de 360o equivale a 2π radianes; un ángulo de 180o equivale a π radianes (recordemos

que el número π = 3.14159265359…). Las equivalencias entre los cinco principales

ángulos se muestran en las siguientes tres figuras:

Para convertir de grados a radianes o viceversa, partimos de que 180o equivalen a π

radianes; luego planteamos una regla de tres y resolvemos.

EJEMPLO A: Convertir 38o a radianes.

Primero planteamos la regla de tres. Nótese

que la x va arriba, en la posición de los

radianes.

Despejamos x, también simplificamos.

Por último obtenemos el equivalente

decimal con calculadora:

EJEMPLO B: Convertir 2.4 radianes a

grados.

Primero planteamos la regla de tres. Nótese

que la x va abajo, en la posición de los

grados.

Despejamos x.

Por último obtenemos el equivalente

12

http://www.amschool.edu.sv/Paes/t1.htm


153

x = 0.6632 radianes decimal con calculadora:

x = 137.5099o

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO AGUDO13

Si miramos el triángulo de la izquierda podemos describir tres razones que

son intrínsecas de los ángulos agudos, ya que las razones solamente

dependen del ángulo α debido al teorema de Thales.

Gracias a estas definiciones podemos calcular razones trigonométricas

aproximadamente dibujando y midiendo simplemente.

Estas razones trigonométricas evidentemente no dependen del triángulo que

tracemos sólo dependen del ángulo.

Ejemplo

Tenemos un triángulo como el de la figura y

queremos saber sus razones trigonométricas así que

medimos sus tres lados a= 60mm b= 80mm c=

100mm

13

http://es.wikibooks.org/

http://es.wikibooks.org/wiki/Imagen:Triangulo2.png


154

RELACIONES ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DEL MISMO

ÁNGULO

Las razones trigonométricas, es decir el sin, cos, tan son dependientes, esto quiere

decir que si sabemos una, sabemos las tres. Estas relaciones son las siguientes:

RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS FUNDAMENTALES

Nota importante: El cuadrado de estas razones no se expresa

sino así Es conveniente que

se aprendan, hay que tener en cuenta que la mayor parte (seguramente toda) de la

literatura matemática usa esa notación.

Demostración

Aplicamos Pitágoras:


155

Ejemplos

Se conoce el cos 53°=0,6 y se quiere calcular cuánto valen

Se conoce la tangente de un ángulo y se quiere calcular cuánto valen

UTILIZACIÓN DE LA CALCULADORA EN TRIGONOMETRÍA

Todas las calculadoras científicas del mercado disponen de teclas para las funciones

trigonométricas seno, coseno y tangente. Sin embargo, es importante tener en cuenta

dos factores de interés:

En algunos modelos se introduce el valor del ángulo y luego se pulsa la tecla de

la razón trigonométrica para obtener su valor, mientras que en otros se hace

justamente al revés, primero se pulsa la tecla de la razón deseada, luego se

introduce el valor del ángulo y por último la tecla de resultado (generalmente

=) nos muestra el resultado en la pantalla.

Las calculadoras científicas utilizan tres sistemas de medida angular, los

radianes (RAD), los grados sexagesimales (DEG) y los gradianes (GRAD). Es

muy importante tener en cuenta este factor, ya que no es lo mismo sin(100o) =

0,984807753 que sin(100rad) = − 0,506365641 o sin(100gra) = 1. La

conversión entre los sistemas es la siguiente: 180o = πrad = 200gra


156

UN ESTUDIO DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

CON CABRI

Taller N° 1

1. Muestre los ejes coordenados

2. Circunferencia con centro en el origen y radio hasta el punto (1,0)

3. Punto P sobre la circunferencia, recomendamos en el primer cuadrante

4. L1 Recta perpendicular al eje “x” por el punto P

5. L2 Recta perpendicular al eje “y” por el punto P

6. L3 Recta perpendicular al eje “x” por el punto (1,0)

7. L4 Recta que pasa por el origen y el punto P

8. S1 Segmento, del origen hasta intersección entre el eje “x” y L1

9. S2 Segmento, del origen hasta intersección entre el eje “y” y L2

10. S3 Segmento, del punto (1,0) hasta intersección entre L3 y L4 (Punto K)

11. S4 Segmento, del origen al punto P (radio)

12. Resalte con grosor y colores diferentes los segmentos S1,S2, y S3

13. Marcar ángulo A entre (1,0), el origen y el punto P

14. Calcular medida del ángulo A

15. Calcule las coordenadas del puntos P y la ordenada del punto K

16. Calcule las funciones seno, coseno y tangente del ángulo A

17. Compare los valores obtenidos con los de las coordenadas de los puntos P y K

18. Oculte las rectas L1, L2, L3 y L4

19. Mueva el punto P sobre toda la circunferencia para determinar los signos en

cada cuadrante de las funciones seno, coseno y tangente; determinar el valor de

las funciones para …

20. L5 Recta perpendicular al eje “x” por el punto (2,0) que simule al eje “y”

21. Transfiera el valor de la medida del ángulo A en (2,0) al punto R en el eje “x”

22. Transfiera ordenada del punto P en (2,0) al punto T1 en el eje “y”

23. L6 Recta perpendicular a L5 por el punto T1

24. L7 Recta perpendicular al eje “X” por el punto R

25. S, Punto de intersección entre L6 y L7

26. Oculte las rectas L6 y L7

27. Activa traza del punto S

28. Activa animación del punto P

29. Realice análogamente los paso del 22 al 28 para el coseno y la tangente.


157

Taller N° 2

1. Muestre los ejes coordenados

2. Circunferencia con centro en el origen y radio hasta el punto (1,0)

3. Punto P sobre la circunferencia, recomendamos en el primer cuadrante

4. S1 Segmento, del origen al punto P (radio)

5. Marcar ángulo A entre (1,0), el origen y el punto P

6. L1 Recta Perpendicular al eje “y” por el punto (0,1)

7. L2 Recta perpendicular a S1 por el punto P

8. L3 Recta que pasa por el origen y el punto P

9. Ct Punto de intersección entre L1 y L3

10. Sc Punto de intersección entre L2 y el eje ”x”

11. Cc Punto de intersección entre L2 y el eje “y”

12. S2 Segmento entre los puntos (0,1) y Ct

13. S3 Segmento entre los puntos (0,0) y Sc

14. S4 Segmento entre los puntos (0,0) y Cc

15. Oculte las rectas L1, L2 y L3

16. Resalte con grosor y colores diferentes los segmentos S1,S2, y S3

17. Calcule la absisa de los puntos Ct y Sc, y la ordenada del punto Cc

18. Calcule medida del ángulo A

19. L4 Recta perpendicular al eje “x” por el punto (2,0) que simule al eje “y”

20. Transfiera el valor de la medida del ángulo A en (2,0) al punto R en el eje “x”

21. Transfiera la absisa del punto Ct en (0,2) al punto T1en L4.

22. L5 Recta perpendicular a L4 por el punto T1

23. L6 Recta perpendicular al eje “X” por el punto R

24. Ct, Punto de intersección entre L5 y L6

25. Oculte las rectas L5 y L6

26. Activa traza del punto Ct

27. Activa animación del punto P

28. Realice análogamente los paso del 21 al 27 para el Cosecante y la Secante.

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

Cuando decimos resolver un triángulo nos referimos a que encontramos todas sus

magnitudes desconocidas, es decir la longitud de sus tres lados y la medida de sus tres

ángulos, a partir de las conocidas.


158

TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

Si un triángulo es rectángulo en realidad ya sabemos una

cosa, que tiene un ángulo de 90º, así que nos hará falta

menos información para resolverlo. Podemos resolver un

triángulo rectángulo si conocemos:

Dos lados

o Podemos calcular el tercer lado con el

Teorema de Pitágoras

o Cuando sabemos lo que miden los tres lados es fácil encontrar los

ángulos a partir de las razones trigonométricas y de la relación entre los

ángulos de un triángulo.

Ejemplo Tenemos este triángulo y sabemos que

Un ángulo y un lado

o Los lados se calculan mediante la razón trigonométrica del ángulo que

tenemos y con la longitud del lado que tenemos

o El ángulo que nos falta se calcula recordando que los ángulos de un

triángulo suman entre los tres 180º siempre.

Ejemplo consideremos un triangulo y conocemos

http://es.wikibooks.org/wiki/Imagen:Triangulo3.png


159

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS NO RECTÁNGULOS. ESTRATEGIA DE

LA ALTURA

Ahora el triángulo Sabemos que miden dos de sus lados a=273 b=326 y el ángulo

Para resolverlo lo que hacemos es trazar la siguiente altura x, obtenemos así dos

triángulos rectángulos:

Del primer triángulo (el 1) conocemos obtendremos x e y.

Del segundo triángulo:

Finalmente para encontrar c aplicamos Pitágoras:

Tenemos un triángulo como el siguiente y queremos encontrar que vale b y c sabemos

que a=30 A=40° B=60°

ALGUNOS RESULTADOS MUY ÚTILES

Esto que viene a continuación uno podría deducirlo. Pero igual que las tablas de

multiplicar que se pueden deducir sumando repetidas veces un número es mejor

memorizarlo ya que aparecen con frecuencia.


160

Proyección de un segmento

Cuando proyectamos un segmento sobre una recta la longitud de dicha proyección es

la misma que la del segmento multiplicado por el coseno del ángulo que formar

segmento y recta.

Altura de un triangulo

Si tomamos cualquier lado del triangulo (que no sea la base) y lo multiplicamos por el

seno del ángulo que forma este con la base obtendremos la altura del triangulo.

AREA DE UN TRIÁNGULO

El área del triangulo es la misma que la mitad del producto de dos de sus lados

multiplicado por el seno que forman

Ejemplos

El Sr. Amon Pep de Sasini ha creado una escultura de un gusano gigante y quiere

ponerlo en su jardín circular de 10 metros de diámetro, ¿le cabe?

El gusano está formado por 4 segmentos de y los ángulos

que forman con el suelo son .

El gusano cabrá si la suma de las proyecciones cabe:

Por lo tanto el Sr. de Sasini puede poner el gusano tranquilamente.


161

Depués de la creación del gusano el Sr. de Sasini y satisfecho con suestros servicios de

proyecciones nos encarga calcular los metros cuadrados de cesped que debe comprar

para embellecer su jardín triangular como el que muestra este boceto.

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS CUALESQUIERA

Podría parecer que este apartado es inútil debido a que ya se ha aprendido a resolver

triángulos cualesquiera con la estrategia de la altura. Sin embargo existen dos

teoremas que no agilizarán mucho las cosas sin que tengamos que hacer tantos pasos

como con la estrategia de la altura.

TEOREMA DEL SENO

Intuitivamente uno puede ver que el ángulo mayor de un triangulo tiene enfrente el

lado mayor, y el ángulo menor de un triangulo tiene enfrente el lado menor.

El teorema del seno dice esto precisamente, un poco más formalmente:

Si tenemos un triangulo de lados y ángulos

Se cumple que:

Demostración

Lo demostraremos a partir de la estrategia de la altura.

Dibujamos la altura h desde el vértice C. Los triángulos AHC y BCH son rectángulos

los dos.

Tenemos que:


162

Para encontrar la igualdad trazamos h desde el vértice B y

procedemos igual que antes.

Aplicaciones

Antes de continuar hay que advertir que cuando nuestra incógnita sea uno de los

ángulos y apliquemos el teorema del seno hay dos soluciones debido a que los

ángulos suplementarios tienen el mismo seno. Tendremos que comprobar si las

soluciones son validas.

Triángulos cualesquiera con dos ángulos y un lado conocidos

Ejemplo

Tenemos un triangulo con las siguientes medidas, y queremos resolverlo.

Conocemos un lado y dos ángulos

Podríamos aplicar el teorema del seno si tuviésemos Para encontrarlo recordemos

que todos los ángulos de un triangulo deben sumar

Dos lados y el ángulo opuesto de uno de ellos conocido


163

Ejemplo

Ahora nos encontramos con el siguiente problema:

Conocemos tenemos que encontrar

Solo tiene una solución, pero podría haber tenido dos o ninguna, juega con los valores

de a y investiga, haciendo dibujos, el por qué de todo esto.

TEOREMA DEL COSENO

Si cogemos un triangulo rectángulo y el ángulo de 90° circulo disminuimos es intuitivo

de que la "hipotenusa" se hará más corta, y si lo hago más grande esta se hará más

grande. Pues esto es lo que nos dice el teorema del coseno, en realidad podríamos

decir que el teorema del coseno es el teorema de Pitágoras versión 2.0

Tenemos un triangulo cualquiera, se cumple que:

Demostración

Dibujamos la altura h, perpendicular a b


164

Aplicamos Pitágoras a AHB y BHC

Se puede comprobar que tanto para todos los tipos de triángulos sale la misma

fórmula.

Aplicaciones

Hay cuatro casos de problemas que se aconsejan resolver por el teorema del coseno

Conocemos tres lado y queremos conocer cualquier ángulo

Conocemos dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos y queremos conocer

el otro lado

Conocemos dos lados y el ángulo que forman y queremos saber el otro lado

Conocemos dos lados y el ángulo que forman y queremos conocer otro ángulo.

Para este último caso deberemos aplicar el teorema del coseno primero para

saber el lado que nos falta y después el teorema del seno para saber el ángulo

Ejemplo

El señor Vuy Pam Boli aconsejado por el senyor de Sasini, decide hacernos una

consulta sobre caza. El tiene una escopeta que alcanza 200m y resulta que desde su

puesto de caza el ve dos árboles donde suelen parar los pájaros, sin embargo uno de

ellos (el C) es difícil medir la distancia que le separa de A. Sin embargo el segundo

árbol si es accesible así que medimos la distancia que resulta ser de 220m. Desde

donde estamos vemos que existe una senda así que podemos medir el segmento

que resulta ser de 90 m y el ángulo que forman es de . Nos queda entonces

por saber si el Sr. Pam Boli le alcanza el arma al árbol C

GARCIA DUMBO Por lo

tanto puede disparar solo al árbol C


165

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

Relaciones básicas

Relación pitagórica

Identidad de la razón

De estas dos identidades, se puede extrapolar la siguiente tabla. Sin embargo, nótese

que estas ecuaciones de conversión pueden devolver el signo incorrecto (+ or −). Por

ejemplo, si sin θ = 1/2, la conversión propuesta en la tabla indica que

, aunque es posible que . Para obtener la única

respuesta correcta se necesitará saber en qué cuadrante está θ.

Funciones trigonométrica en función de las otra cinco.

Funci

ón sin cos tan csc sec cot

sin

cos

tan

csc

sec

cot

DE LAS DEFINICIONES DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS


166

Son más difíciles de probar en la circunferencia trigonométrica o goniométrico (tiene

radio=1):

A veces es importante saber que cualquier combinación lineal de una serie de ondas

senoidales que tienen el mismo período pero están desfasadas, es también una onda

senoidal del mismo período pero con un desplazamiento de fase diferente. Dicho de

otro modo:

Es llamada identidad trigonométrica fundamental, y efectuando sencillas

operaciones permite encontrar unas 24 identidades más, muy útiles para problemas

introductorios del tipo conocido el valor de la función seno, obtenga el valor de las

restantes (sin tabla ni calculadora).

Por ejemplo, si se divide ambos miembros por cos², se tiene:

Calculando la recíproca de la expresión anterior:

Entonces puede expresarse la función seno según alguna otra conocida:

http://es.wikipedia.org/wiki/Combinaci%C3%B3n_lineal


167

y análogamente con las restantes funciones .

TEOREMAS DE LA SUMA Y DIFERENCIA DE ÁNGULOS

Pueden demostrarse según la Fórmula de Euler o mediante la proyección de ángulos

consecutivos. La identidad de la tangente surge del cociente entre coseno y seno, y las

restantes de la recíproca correspondiente.

De lo que se sigue para determinados ángulos suplementarios:

Para ángulos complementarios:

http://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%B3rmula_de_Euler

http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulos_suplementarios

http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulos_complementarios


168

Para ángulos opuestos:

Fórmula de De Moivre:

Identidades del ángulo doble, triple y medio

Pueden obtenerse remplazándolo y por x (o sea sin(x + x) = sin(2x)) en las

identidades anteriores, y usando Pitágoras para los dos últimos (a veces es útil

expresar la identidad en términos de seno, o de coseno solamente), o bien aplicando

la Fórmula de De Moivre cuando n = 2.

Fórmula del ángulo doble

Fórmula el ángulo triple

http://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%B3rmula_de_De_Moivre

http://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%B3rmula_de_De_Moivre


169

Fórmula del ángulo medio

Producto infinito de Euler

Identidades para la reducción de exponentes

Resuelve las identidades tercera y cuarta del ángulo doble para cos²(x) y sin²(x).

Seno

Coseno

Otros

Identidades del medio ángulo

Reemplazando x/2 por x en las anteriores, es posible resolver cos(x/2) y sin(x/2).

http://es.wikipedia.org/wiki/Euler


170

Multiplicando tan(x/2) por 2cos(x/2) / ( 2cos(x/2)) y reemplazando sin(x/2) / cos(x/2)

por tan(x/2). El numerador es entonces sin(x) por la identidad del ángulo doble, y el

denominador es 2cos²(x/2) - 1 + 1 que es cos(x) + 1 por la identidad del ángulo

doble. La segunda identidad se obtiene multiplicando la primera por sin(x) / sin(x) y

simplificando mediante la identidad pitagórica.

Paso de Producto a Suma

Puede probarse usando el teorema de la suma para expandir los segundos miembros.

¿De dónde se origina ?

Esta explicación muestra cómo obtener la formula anterior paso por paso (en otras

palabras, es una demostración)

Sabemos por el teorema de la suma y la resta que:

Si separamos la suma de la resta quedan entonces los dos posibles casos:


171

1): cos(x + y) = cos(x)cos(y) − sin(x)sin(y)

2): cos(x − y) = cos(x)cos(y) + sin(x)sin(y)

Si tomamos la ecuación 1) y despejamos cos(x)cos(y) nos queda que:

3): cos(x)cos(y) = cos(x + y) + sin(x)sin(y)

Y si sumamos el miembro de la derecha de la ecuación 2) al miembro izquierdo de la

ecuación 3), y para mantener la igualdad se suma el lado izquierdo de la ecuación 2)

en el lado derecho de la ecuación 3). (Recuerda que si se suma un elemento a ambos

lados de la ecuación se mantiene la misma), quedaría:

cos(x)cos(y) + sin(x)sin(y) + cos(x)cos(y) = cos(x + y) + sin(x)sin(y) + cos(x

− y)

Simplificando el elemento sin(x)sin(y) y sumando cos(x)cos(y) quedaría:

2cos(x)cos(y) = cos(x + y) + cos(x − y)

Y por ultimo multiplicando ambos lados de la ecuación por ½ queda:

Nota: este procedimiento también se puede aplicar para demostrar el origen de las

otras dos ecuaciones simplemente cambiando los valores.

Paso de Suma a Producto

Reemplazando x por (a + b) / 2 e y por (a – b) / 2 en las identidades de Producto a

suma, se tiene:


172

Eliminar seno y coseno

A veces es necesario transformar funciones de seno y coseno para poderlas sumar

libremente, en estos casos es posible eliminar senos y cosenos en tangentes.

ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS14

Una ecuación trigonométrica es aquella ecuación en la que aparecen una o más

funciones trigonométricas. En las ecuaciones trigonométricas la incógnita es el ángulo

común de las funciones trigonométricas. No puede especificarse un método general

que permita resolver cualquier ecuación trigonométrica; sin embargo, un

procedimiento efectivo para solucionar un gran número de éstas consiste en

transformar, usando principalmente las identidades trigonométricas, todas las

funciones que aparecen allí en una sola función (es recomendable pasarlas todas a

senos o cosenos). Una vez expresada la ecuación en términos de una sola función

trigonométrica, se aplican los pasos usuales en la solución de ecuaciones algebraicas

para despejar la función; por último, se resuelve la parte trigonométrica, es decir,

conociendo el valor de la función trigonométrica de un ángulo hay que pasar a

determinar cuál es ese ángulo.

Nota: en las soluciones pueden aparecer valores extraños (debido a la manipulación

de las ecuaciones al tratar de reducirlas), por ejemplo: nos puede resultar un cosx = 2,

el que debemos descartar, obviamente, pues el codominio del coseno se limita a [-1,

14

http://usuarios.lycos.es/calculo21/id396.htm


173

1]. También, debemos verificar todas las respuestas obtenidas y aceptar sólo aquellas

que satisfacen la ecuación original.

Como las funciones trigonométricas repiten su valor y signo en dos de los cuadrantes,

hay que tener presente que siempre habrá por lo menos dos ángulos distintos en la

solución de una ecuación trigonométrica de la forma trix = a (donde tri: es una de las

seis funciones trigonométricas y a: número cualquiera en el codominio de la función).

Además, debido a que cuando el lado terminal de un ángulo realiza un giro completo

se genera otro ángulo equivalente, es necesario añadir a las soluciones obtenidas un

múltiplo de 360°, esto es, k360°, y k es un entero.

Ejemplo ilustrativo1:

03344 22 tgxxsentgx.xsen

03344 22 )tgx()xsentgx.xsen( Asociamos convenientemente

01314 2 )tgx()tgx.(xsen Factorizando

0134 2 )tgx)(.xsen( Factorizando

12

301034 2 tgxsenx)tgx( ó ).xsen(

12022545 x ó 60x ó,x ó,x

120120

60

225

4545

k ó

k ó 60

k ó 225

k ó

x oluciónS Zk


174




175


1. El ángulo de elevación de de la parte superior del Empire State

de Nueva York, desde una distancia de una milla de la base

del edificio, se ha determinado que es de 11º sobre el nivel del

piso. Con base en la información determine la altura del

Empire State.

2. Un aeroplano que está volando a una altura de 35,000 pies

tiene a la vista el Arco Gateway, en St. Louis Missouri. El

piloto desearía estimar a qué distancia está del Arco de

Gateway. Encuentra que el ángulo de depresión respecto a

un punto sobre la Tierra abajo del arco es de 22°.

(a) ¿Cual es la distancia entre el aeroplano y el arco?

(b) ¿Cual es la distancia entre un punto sobre la Tierra directamente par

debajo del aeroplano y el arco?

3. Un rayo laser debe ser dirigido hacia el centro de la Luna pero el rayo se

desvía 0.5 grados de su trayectoria.

(a) ¿Cuánto se ha desviado de su objetivo cuando llegue a la Luna? (La

distancia de la Tierra a la Luna es de 240,000 millas.)

(b) El radio de la Luna es de aproximadamente 1,000 millas. ¿Impactará el

rayo sobre la Luna?

4. Desde la parte superior de un faro de 200 pies de altura, el ángulo de

depresi6n hasta un barco sobre el océano es de 23°. ¿A qué distancia esta

el barco de la base del faro?

5. Una escalera de 20 pies está apoyada contra un edificio. de manera que el

ángulo entre el piso y la escalera es de 72°. i. altura alcanza la escalera sobre

el edificio?

6. Una escalera de 20 pies está apoyada contra un edificio. Si la base de la

escalera esta a 6 pies de la base del edificio, ¿cuál es el ángulo de elevaci6n de

la escalera? ¿Qué altura alcanza la escalera sobre el edificio?

7. Un árbol de 96 pies proyecta una sombra de 120 pies de largo. ¿cuál es el

ángulo de elevaci6n del Sol?

8. Un cable guía de 600 pies está sujeto a la parte superior de una torre de

comunicaciones. Si el cable forma un ángulo de 65° con la Tierra ¿Cuál es la

altura de la torre de comunicaciones?

http://images.google.com.co/imgres?imgurl=http://www.mainepuzzles.com/Images/Childrens-Wooden-Puzzles/7103_Empire_State_Bldg_3D_Wooden_Puzzle_lg2.jpg&imgrefurl=http://www.mainepuzzles.com/Puzzles/Empire-State-Building-Wooden-3D-Puzzle-Medium__7103.aspx&h=500&w=500&sz=19&hl=es&start=28&um=1&tbnid=_Yf9-orpV4DcFM:&tbnh=130&tbnw=130&prev=/images?q=Empire+State&start=18&ndsp=18&um=1&hl=es&sa=N

http://images.google.com.co/imgres?imgurl=http://archivo.eluniverso.com/2007/03/18/0217/812/files/03-18-07-Puerta-012520.jpg&imgrefurl=http://archivo.eluniverso.com/2007/03/18/0217/812/78BD123ADC804349B0949DAAC77519F4.aspx&h=176&w=252&sz=11&hl=es&start=10&tbnid=ZQaltFhNWIHBfM:&tbnh=78&tbnw=111&prev=/images?q=Arco+Gateway&gbv=2&ndsp=18&hl=es&sa=N


176

9. Un hombre esta tendido sobre la playa, haciendo volar una

cometa. Sujeta el extremo de la cuerda de la cometa al

nivel del piso y estima que el ángulo de elevaci6n de la

cometa es de 50°. Si la longitud de la cuerda es de 450 pies,

¿a qué altura está volando la cometa sobre el nivel del piso?

10. Se debe medir la altura de un acantilado a

partir de un punto del lado opuesto del rio.

Determine la altura del acantilado

partiendo de la informaci6n que se da en

la figura.

11. Un depósito de agua está a 325 pies de un

edificio (véase la figura) Desde una

ventana del edificio se observa que el

ángulo de elevaci6n hasta la parte superior

del dep6sito es de 39° y el ángulo de

depresi6n a la parte inferior es de 25º

¿Cuál es la altura del depósito? ¿A qué

altura está la ventana?

12. Un aeroplano vuela a una altura de 5,150 pies directamente por encima de

una carretera recta. Dos automovilistas están manejando automóviles sobre la

carretera en lados opuestos del aeroplano, si el ángulo de depresi6n de un

autom6vil es de 35° y de 52° el del otro. ¿A qué distancia estan los auto-

móviles entre sí?

13. Si ambos automóviles del ejercicio anterior estan a un solo lado del aeroplano

y si el ángulo de depresión a uno de ellos es de 38° y al otro de 52°, ¿a qué

distancia estan entre sí los automóviles?

14. Un globo de aire caliente flota por encima de una carretera recta. Para

calcular su altura sobre el nivel del piso. Los aeronautas miden

simultaneamente el angulo de depresi6n a 2 postes consecutivos de marcaje

http://images.google.com.co/imgres?imgurl=http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/37/Tenerife64.jpg/250px-Tenerife64.jpg&imgrefurl=http://es.wikipedia.org/wiki/Cometa_(juego)&h=276&w=250&sz=8&hl=es&start=5&tbnid=bCqOYUg1mGwzEM:&tbnh=114&tbnw=103&prev=/images?q=cometa+en+la+playa&gbv=2&hl=es


177

de kilómetros sobre la carretera del mismo lado del globo. Lo ángulos de de-

presi6n encontrados son 20° y 22°. ¿A que altura está el globo?

15. Para calcular la altura de una

montaña se determinan los

ángulos , y la distancia d

según se muestra.

a) Determine la longitud BC en

función de , y d

b) Demuestra que la altura h de

la montaña está dada por la

fórmula )(

..

aSen

SenSendh .

c) Sólo si resolvió el inciso anterior halle la altura para los valores específicos

20 , 25 y piesd 700 .

16. Cuando la Luna esta exactamente en medio

creciente, la Tierra, la Luna y el Sol forman un

triangulo rectangulo (vease la figura). En ese

momento el angulo formado por el Sol, la

Tierra y la Luna se mide y es de 89.85°. Si Ia

distancia de Ia Tierra a la Luna es de 240,000

millas, estime la distancia de la Tierra al Sol.

17. Un piloto mide los ángulos de depresión de dos

barcos como 45° y 60°. Si el piloto esta a una altura

de 30.000 pies, determine la distancia que separa

los barcos.

18. Un depósito de agua de 40m de altura

está en la cima de una colina. Desde

120m colina abajo se que el ángulo

formado entre la parte superior y la

base de la torre de agua es de 10°.

Determine el ángulo de inclinación de

la colina.


178

19. Determine el área del cuadrángulo de la

figura con dos cifras decimales.

20. Un topógrafo desea encontrar la distancia entre dos

puntos A y B del lado opuesto de un rio. En el lado del

rio en que él se encuentra selecciona dos puntos C y D

con una separación de 25m y mide los ángulos que se

muestran. Determine la distancia entre A y B.

21. La órbita de un satélite alrededor de la tierra, hace que

pase directamente por encima de dos estaciones de

rastreo que están separadas 50 millas. Cuando el satélite

está entre las dos estaciones, se miden los ángulos de

elevación desde A y desde B, y estos son de 80° y 74°,

respectivamente.

a) ¿A qué distancia está el satélite de la estación A?

b) ¿A qué altura sobre el nivel de la tierra está el

satélite?

22. La torre CN en Toronto, Canadá es la torra más

alta del mundo. Una señora en la plataforma de

observación a 1150 pies sobre el nivel del piso

desea determinar la distancia entre dos marcas

sobresaliente sobre el piso. Observa que el

ángulo entre las líneas de división a estas dos

marcas, es de 45°, también observa que el

ángulo entre la vertical y la línea de división de

una de las marcas es de 60° y a la otra es de 50°.

Determine la distancia entre las dos marcas

sobresalientes.

23. Demuestre:

a) xSenxTgxSenxTg 2222 .


179

b) SenXTgX

SenXTgX

SenXTgX

SenXTgX

.

.

c) CtgXCscXXTg )2/(

d) YSenXSenYXSenYXSen 22)().(

e) SenXCosX

SenXCosX

TgX

TgX

1

1

f) TgXSecXSenXSenX

.21

1

1

1

g) xSecxTgxTgxSec 2244

h) CtgCos

CscSen

Sen

Cos

1

24. Resuelva:

a) SenXCtgX.CosXTgX.SenX

b) 743 22 XCosXSec

c) 03323 TgXXTgXTg

d) 0273 2 SenXXSen

e) 03613 24 XTgXTg

f) 095 TgXXTg

g) 022 22 XSenXCos


180

CONCEPTOS FUNDAMENTALES15

La geometría se basa en tres conceptos fundamentales que se aceptan sin definirlos

y que forman parte del espacio geométrico, o sea el conjunto formado por todos los

puntos:

El punto: Un punto se representa con una pequeña cruz y se lo designa con una

letra de imprenta mayúscula.

La recta: Una recta se representa con una porción de la misma y se la designa con

una letra de imprenta minúscula.

El plano: Un plano se representa con una porción del mismo y se lo designa con una

letra griega.

15

www.escolar.com/avanzado/geometria001.htm

GEOMETRÍA


181

RELACIONES FUNDAMENTALES

Los tres conceptos anteriores están relacionados a través de las relaciones de

pertenencia e inclusión:

Los puntos pertenecen a las rectas y los planos.

Las rectas están incluidas en los planos.

POSTULADOS

Se llaman postulados a aquellas propiedades que satisfacen los elementos geométricos

que se aceptan sin demostrar y que surgen de la simple observación.

1. Existen infinitos puntos, infinitas rectas e infinitos planos.

2. Todo punto pertenece a infinitas rectas, ya que por un punto pasan infinitas

rectas.


182

El conjunto de rectas que concurren en un punto se denomina haz de rectas.

3. Toda recta está incluida en infinitos planos ya que por una recta pasan infinitos

planos.

El conjunto de planos que pasa por una recta se denomina haz de planos.

4. Dos puntos determinan una y sólo una recta a la cual pertenecen.

5. A una recta pertenecen infinitos puntos y existen también infinitos puntos que no

pertenecen a ella.


183

6. Una recta y un punto fuera de ella determinan un plano de modo que el punto

pertenece al mismo y la recta está incluida en él.

7. La recta determinada por dos puntos de un plano está incluida a dicho plano.

También puede enunciarse como: Dos puntos incluidos en un plano determinan

una recta que está incluida en el plano.

8. A un plano pertenecen infinitos puntos y existen también infinitos puntos que no

pertenecen a ella.


184

DEFINICIÓN

Def: Todo punto perteneciente a una recta separa a la misma en dos porciones, cada

una de ellas recibe el nombre de semirrecta. Al punto que da lugar a las dos

semirrectas opuestas se lo llama origen.

Para diferenciar las semirrectas se determinan dos puntos adicionales, cada uno de los

cuales pertenece a cada semirrecta:

Semirrecta de origen O que pasa por el punto A

Semirrecta de origen O que pasa por el punto B

CARACTERÍSTICAS DE LAS SEMIRRECTAS

Todo punto de una recta pertenece a una de las dos semirrectas o coincide con el

origen.

La intersección de dos semirrectas opuestas es el punto de origen.

La unión de dos semirrectas opuestas es toda la recta.


185

DEFINICIÓN

Dados dos puntos A y B, se llama segmento a la intersección de la semirrecta de

origen A que contiene al punto B y la semirrecta de origen B que contiene al punto A.

Los puntos A y B se denominan extremos del segmento.

Se observa que:

Dos puntos pertenecientes a una misma semirrecta determinan un segmento que no

contiene al origen.

Dos puntos pertenecientes a distintas semirrectas determinan un segmento que

contiene al origen.

Se verifican las siguientes propiedades:

Igualdad de segmentos: se verifican las leyes reflexiva, simétrica y transitiva.

Relación de orden de segmentos: forman un conjunto ordenado.


186

IGUALDAD DE SEGMENTOS

Carácter reflexivo: todo segmento es igual a sí mismo.

Carácter simétrico: Si un segmento es igual a otro, éste es igual al primero.

Carácter transitivo: Si un segmento es igual a otro y éste es igual a un tercero, el

primer segmento es igual al tercero.


187

POLÍGONOS 16

Un polígono es una figura geométrica plana limitada por al menos tres segmentos

rectos consecutivos no alineados, llamados lados. Así, el hexágono es un polígono de

seis lados.

La palabra polígono procede del griego antiguo πολύγωνον (polygōnon), de πολύς,

"muchos" y γωνία, "ángulo". BUA Ya que un polígono P es una región cerrada y

limitada, la frontera de P es un ciclo de aristas, donde dos aristas de tal ciclo

comparten un vértice.

POLÍGONO SIMPLE

Un polígono se denomina simple si dos de sus aristas no consecutivas no se

intersecan. Además figuran los polígonos ortogonales, también conocidos como

isotéticos o rectilíneos, que son aquellos que poseen los mismos elementos que

conforman los polígonos simples: un conjunto de vértices y aristas, pero con la singular

característica de que sus aristas son paralelas a cualquiera de los ejes cartesianos X e

Y.

Suponiendo que n es el número de lados, el número de diagonales trazadas en el

interior de un polígono serán n(n − 3) / 2.

Existe también la posibilidad de configurar polígonos utilizando más de tres

dimensiones. Así, para tres dimensiones se denominan poliedros, en cuatro

dimensiones, polícoros, y en n dimensiones politopos.

16

http://es.wikipedia.org/wiki/Pol%C3%ADgono

http://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa

http://es.wikipedia.org/wiki/Plano_%28geometr%C3%ADa%29

http://es.wikipedia.org/wiki/Segmento

http://es.wikipedia.org/wiki/Poligonometr%C3%ADa

http://es.wikipedia.org/wiki/Hex%C3%A1gono

http://es.wikipedia.org/wiki/Griego_antiguo

http://es.wikipedia.org/wiki/Diagonal

http://es.wikipedia.org/wiki/Poliedro

http://es.wikipedia.org/wiki/Pol%C3%ADcoro

http://es.wikipedia.org/wiki/Politopo

http://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:Simple_polygon.png


188

TIPOS DE POLÍGONOS

EL RAZONAMIENTO EN GEOMETRÍA17

Como se mencionó previamente, el sistema empleado en la geometría consiste de

un conjunto ordenado de proposiciones. Hasta ahora solo hemos examinado los

términos no definidos, así como los axiomas y definiciones anotados en el capítulo

anterior y a partir de esto y usando solo cadena de razonamientos y reglas de

la lógica, podrán probarse otra serie de proposiciones, llamados teoremas, hasta

formar esta importante rama de la matemática.

Existen dos métodos de razonamiento lógico para probar una proposición: El

método inductivo y el método deductivo.

EL RAZONAMIENTO INDUCTIVO

Consiste en observar propiedades específicas de un número limitado de casos

particulares y luego concluir que esas propiedades son generales para todos los

casos. En este razonamiento se procede pues de lo particular a lo general.

Desafortunadamente, tal razonamiento no siempre nos conduce a resultados válidos,

pues esta conclusión inductiva, o conjetura, es solo una proposición tentativa de

lo que parece ser cierto en lo general, que queda desacreditado con solo un caso que

no cumpla con tal proposición.

17

http://docentes.uacj.mx/flopez/Cursos/Geometria/Unidades/Unidad%203/3.1%20El%20Razonamiento


189

Ejemplo de razonamiento inductivo.

Toma un conjunto finito de números impares y realiza las siguientes operaciones:

(1)² -1 = 0 = 8 (0)

(3)² -1 = 8 = 8 (1)

(5)² -1 = 24 = 8 (3)

(7)² -1 = 48 = 8 (6)

La conjetura que podemos hacer es que “El cuadrado de todo número impar

disminuido en la unidad, es múltiplo de 8”. Si podemos probar que esta conjetura

es cierta para todo impar 2n-1, la podríamos aceptar como verdadera, veamos:

(2n-1)² - 1 = 4n² - 4n = 4n (n-1)

y como (n) y (n-1) son factores consecutivos, entonces necesariamente uno de ellos

es un número par que multiplicado por 4 producirá un múltiplo de 8, con lo cual se

prueba la veracidad de nuestra conjetura.

El Razonamiento Deductivo.

Es un método que consiste en partir de ciertas leyes generales para aplicarlas

a casos particulares. En este proceso de razonamiento, hay un conjunto de hechos

conocidos y de suposiciones a partir de los cuales otros pueden ser deducidos. El

conjunto de hechos conocidos son los axiomas, las definiciones y los teoremas

previamente demostrados (que representan las leyes generales). El conjunto de

suposiciones son los datos de la proposición a demostrar y se llama hipótesis,

los hechos que han de ser deducidos se les denomina conclusión o tésis (que

representan

El razonamiento deductivo consiste en obtener conclusiones verdaderas a partir de

enunciados dados, a través de tres pasos:

Un enunciado general que se refiera a un conjunto completo o clase de cosas.


190

II. Un enunciado particular acerca de un o algunos miembros del conjunto o

clase de cosas a que se refiere el enunciado general.

III. Una deducción que se produce lógicamente cuando el enunciado general se

aplica al enunciado particular.

Ejemplo 1 :

Todas las aves tienen alas (Enunciado general)

El águila es una ave (Enunciado particular)

El águila tiene alas (Deducción)

A este arreglo de enunciados que nos permite deducir la tercera se le denomina

silogismo y a la técnica que consiste en usar un silogismo para llegar a una

conclusión se le llama razonamiento deductivo.

En un silogismo, al enunciado general se le llama premisa mayor, y al enunciado

particular premisa menor y la deducción es la conclusión.

Ejemplo 2 :

Premisa Mayor: Todos los perros son animales.

Premisa Menor: “Campeón” es un perro.

Conclusión : “Campeón” es un animal.

CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS18

La congruencia de triángulos estudia los casos en que dos o más triángulos

presentan ángulos de igual medida o congruentes, así como lados iguales, aunque no

necesariamente en la misma posición.

18

http://es.wikipedia.org/wiki/Congruencia_de_tri%C3%A1ngulos

http://es.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A1ngulo

http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulo


191

CONDICIONES DE CONGRUENCIA

Para que se dé la congruencia de dos o más triángulos se requiere que sus lados sean

iguales. Por lados iguales se refiere a que los tres lados del triángulo tengan

exactamente la misma medida en valores numéricos. Esta condición implica que los

ángulos también son iguales.

Las figuras congruentes son aquellas que tienen la misma forma y el mismo tamaño.

Las partes coincidentes de las figuras congruentes se llaman homologas o

correspondientes.

CRITERIOS DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS

Dos triángulos son congruentes cuando sus tres lados y ángulos también lo

son, sin embargo, puede demostrarse la congruencia de dos triángulos si se

sabe que algunas de sus partes correspondientes son homologas.

Las condiciones mínimas que deben cumplir dos triángulos para que sean congruentes

se denominan criterios de congruencia, los cuales son:

Criterio LLL: si en dos triángulos los tres lados de uno son respectivamente

congruentes con los de otro entonces los triángulos son congruentes.

Criterio LAL: Si los lados que forman a un ángulo, y éste, son congruentes

con dos lados y el ángulo comprendido por estos de otro triángulo, entonces

los triángulos son congruentes.

Criterio ALA: Si dos ángulos y el lado entre ellos son respectivamente

congruentes con dos ángulos y el lado entre ellos de otro triángulo, entonces los

triángulos son congruentes.

Criterio LLA: si el lado más largo del triangulo, junto con otro lado de este, y

el ángulo superior del lado más largo del triangulo son congruentes con los del

otro triangulo.


192

DESIGUALDAD TRIANGULAR

El teorema de desigualdad triangular afirma que en cualquier triángulo la longitud

de uno de los lados no puede nunca superar a la suma de las longitudes de los otros

dos.

ESPACIOS VECTORIALES NORMADOS

El teorema puede generalizarse a espacios vectoriales normados, obteniéndose la

siguiente versión de la desigualdad triangular:

En todo espacio vectorial normado

Es decir, que La norma de la suma de dos vectores es siempre menor o igual a la

suma de las normas de los dos vectores.

En el caso particular de considerar la recta real como espacio vectorial normado con el

valor absoluto como norma obtenemos la siguiente versión del teorema:

Para cualquiera dos números a y b,

cuya demostración es:

Demostración (caso real)

Haciendo uso de las propiedades del valor absoluto, es posible escribir:

Sumando ambas inecuaciones:

A su vez, usando la propiedad de valor absoluto si y solo si en

la línea de arriba queda:

http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema


http://es.wikipedia.org/wiki/Espacios_vectoriales_normados

http://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_vectorial_normado

http://es.wikipedia.org/wiki/Recta_real

http://es.wikipedia.org/wiki/Valor_absoluto

http://es.wikipedia.org/wiki/Valor_absoluto

http://es.wikipedia.org/wiki/Inecuaci%C3%B3n


193

PARALELOGRAMO

Un paralelogramo es un tipo especial de cuadrilátero (un polígono formado por

cuatro lados) cuyos lados son paralelos dos a dos.

Propiedades

Los paralelogramos tienen las siguientes propiedades:

En todo paralelogramo los ángulos y lados opuestos son iguales.

Cada diagonal divide a un paralelogramo en dos triángulos congruentes.

Las diagonales de un paralelogramo se cortan en su punto medio.

Dos ángulos contiguos de un paralelogramo son suplementarios ( suman 180º )

La suma de los ángulos internos de un paralelogramo es 360°.

Clasificación

Los paralelogramos se clasifican en:

Paralelogramos rectángulos, son aquellos cuyos ángulos internos son todos

ángulos rectos. En esta clasificación se incluyen

o el rectángulo, que tiene lados opuestos de igual longitud, y

o el cuadrado, que tiene todos sus lados de igual longitud;

Paralelogramos no rectángulos, son aquellos que tienen dos ángulos

internos agudos y dos ángulos internos obtusos. En esta clasificación se incluye:

o el rombo, que tiene todos sus lados de igual longitud.

o el Romboide que tiene sus lados iguales dos a dos.

Ley del paralelogramo

Existe una ley llamada ley del paralelogramo, definida por la siguiente fórmula

(caso diagonales iguales):

donde A, B, C, y D son los vértices consecutivos del paralelogramo (en ese orden).

http://es.wikipedia.org/wiki/Cuadril%C3%A1tero

http://es.wikipedia.org/wiki/Pol%C3%ADgono

http://es.wikipedia.org/wiki/Cuatro

http://es.wikipedia.org/wiki/Segmento

http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulo

http://es.wikipedia.org/wiki/Diagonal


http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulo_interior

http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulo_recto

http://es.wikipedia.org/wiki/Rect%C3%A1ngulo

http://es.wikipedia.org/wiki/Cuadrado

http://es.wikipedia.org/wiki/Rombo

http://es.wikipedia.org/wiki/Romboide

http://es.wikipedia.org/wiki/V%C3%A9rtice_%28Geometr%C3%ADa%29


194

TEOREMA DE THALES19

Si dos rectas cualesquieras se cortan por varias

rectas paralelas, los segmentos determinados en

una de las rectas son proporcionales a los

segmentos correspondientes en la otra.

SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

1 - Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos iguales.

2 - Dos triángulos son semejantes si tienen los lados proporcionales.

19

http://www.vitutor.com/geo/eso/ss_f.html


195

3 - Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales y el

ángulo comprendido entre ellos igual.

CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

1- Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen un ángulo agudo

igual.

2- Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen los dos catetos

proporcionales.

3Los triángulos son semejantes si tienen proporcionales la hipotenusa y un

cateto.

SEMEJANZA DE POLÍGONOS Dos polígonos son semejantes cuando tienen los ángulos homólogos

iguales y los lados homólogos proporcionales.


196

TRIÁNGULO20

h: Altura b: Base

El triángulo es un polígono formado por tres lados y tres ángulos, cumpliendo la

propiedad de que la suma de todos sus ángulos siempre

es 180 grados.

Área: (Base x Altura) / 2

Perímetro: lado + lado + lado

TRAPECIO

El trapecio es un polígono de cuatro lados, pero sus cuatro ángulos son distintos de

90º.

Área del trapecio = [(base mayor + base menor).altura] / 2

Perímetro: Suma de todos sus lados

20

http://www.telpin.com.ar/InternetEducativa/Proyectos/2007/GEOMETRIA/areasyperimetros.htm


197

ROMBO

El rombo es un polígono de cuatro lados iguales, pero sus cuatro

ángulos son distintos de 90°.

Área del rombo = (diagonal mayor x diagonal menor) / 2

Perímetro: 4 x lado

21

21

http://www.telefonica.net/web2/lasmatematicasdemario/Geometria/Elemental/Enelplano/Figgeopla


198

CUBO22

El cubo es un sólido limitado por seis cuadrados iguales,

también se le conoce con el nombre de hexaedro,

22

http://www.bbo.arrakis.es/geom/

http://www.bbo.arrakis.es/geom/def.htm#s%C3%B3lido

http://www.bbo.arrakis.es/geom/cubo2.htm


199

Para calcular su volumen se emplea la siguiente fórmula:

Volumen del cubo = arista elevada al cubo

PRISMAS

Prisma regular es un cuerpo geométrico limitado por dos polígonos paralelos e iguales,

llamados bases, y por tantos rectángulos como lados tenga cada base.


Volumen del prisma = área de la base . altura

A continuación están dibujados los prismas triangular, cuadrangular y hexagonal.

Observa el desarrollo de la figura correspondiente, así como las fórmulas para calcular

el área lateral y total.

http://www.bbo.arrakis.es/geom/def.htm#volumen

http://www.bbo.arrakis.es/geom/def.htm#arista

http://www.bbo.arrakis.es/geom/def.htm#pol%C3%ADgono


http://www.bbo.arrakis.es/geom/prisma2.htm




200

PIRÁMIDES

Pirámide regular es un sólido que tiene por base un polígono y cuyas caras son

triángulos que se reúnen en un mismo punto llamado vértice.


Volumen de la pirámide = (área de la base . altura) / 3

A continuación están dibujados el tetraedro, la pirámide triangular y la cuadrangular.

Tetraedro: es una pirámide formada por cuatro

triángulos equiláteros. Cualquier cara, por tanto, puede

ser la base.

Pirámide triangular: la base es un triángulo equilátero y las

caras laterales son triángulos isósceles.

Pirámide cuadrangular: aquí la base es un cuadrado,

teniendo cuatro caras laterales.


http://www.bbo.arrakis.es/geom/def.htm#pol%C3%ADgono

http://www.bbo.arrakis.es/geom/def.htm#v%C3%A9rtice


http://www.bbo.arrakis.es/geom/piram1.htm




201

CONO

El cono es el sólido engendrado por un triángulo rectángulo al girar en torno a uno de

sus catetos.


Volumen del cono = (área de la base.altura) / 3

CILINDRO

El cilindro es el sólido engendrado por un rectángulo al girar en torno a uno de sus

lados.


http://www.bbo.arrakis.es/geom/def.htm#cateto



http://www.bbo.arrakis.es/geom/cono2.htm

http://www.bbo.arrakis.es/geom/cili2.htm


202


Volumen del cilindro = área de la base.altura

ESFERA

La esfera es el sólido engendrado al girar una semicircunferencia alrededor de su

diámetro.

Para calcular su área se emplea la siguiente fórmula:

Área de la esfera = 4 x3'14xradio al cuadrado


Volumen de la esfera = 4/3 x3'14xradio al cubo

POLIEDROS REGULARES Tiene todos sus ángulos diedros y todos sus ángulos poliedros iguales y sus caras son

polígonos regulares iguales.

Sólo hay cinco poliedros regulares.



http://www.bbo.arrakis.es/geom/def.htm#di%C3%A1metro

http://www.bbo.arrakis.es/geom/def.htm#%C3%A1rea

http://www.bbo.arrakis.es/geom/def.htm#radio



203

CLASIFICACIÓN DE POLIEDROS REGULARES 23

Tetraedro

Su superficie está formada por 4 triángulos equiláteros iguales. Tiene cuatro vértices y

cuatro aristas.

Es una pirámide triangular regular.

Hexaedro o cubo

Su superficie está constituida por 6 cuadrados. Tiene 8 vértices y 12 aristas..

Es un prisma cuadrangular regular.

23

http://www.vitutor.com/geo/esp/f_2.html

http://www.vitutor.net/2/2/12.html



204

Octaedro

Su superficie consta de ocho triángulos equiláteros. Tiene 6 vértices y 12 aristas.

Se puede considerar formado por la unión, desde sus bases, de dos pirámides

cuadrangulares regulares iguales.

Dodecaedro

Su superficie consta de 12 pentágonos regulares. Tiene 20 vértices y 30 aristas.

Icosaedro

Su superficie consta de veinte triángulos equiláteros. Tiene 12 vértices y 30 aristas.





205

Matemáticas Básicas Para Ingeniero

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