Matemticas Bsicas: Introducci³n a las Matemticas Financieras

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  • Matemticas Bsicas: Introduccin alas Matemticas Financieras

    M. en C. Juliho Castillo3 de marzo de 2017

    ESDAI, Universidad Panamericana

    1

    https://www.youtube.com/channel/UCb1i-EtybaWWX5urFfmMUWQ

  • 2

  • 1 Logaritmos

    Leyes de los exponentes

    Funciones exponenciales

    Logaritmos

    Logaritmo natural

    2 Sucesiones

    Sucesiones aritmticas

    Sucesiones geomtricas

    Ejemplos

    3

  • Logaritmos

    4

  • Logaritmos

    Leyes de los exponentes

    5

  • En esta seccin supondremos que las bases son nmerospositivos, mientras que los coeficientes son nmeros reales.

    6

  • bm bn = bm+n. (1.1)

    Ejemplo 1.1.

    b23 b

    45 = b 23 + 45 = b 2215 .

    7

  • bm

    bn= bmn. (1.2)

    Ejemplo 1.2.

    b23

    b45

    = b 23 45 = b 215 .

    8

  • (bm)n = amn. (1.3)

    Ejemplo 1.3. (b

    23) 4

    5 = b(

    23

    45

    )= b 815 .

    9

  • (a

    b

    )n= a

    n

    bn. (1.4)

    Ejemplo 1.4. (a

    b

    ) 23

    = a23

    b23.

    10

  • bn = 1bn. (1.5)

    Ejemplo 1.5.

    b23 = 1

    b23

    11

  • bnm = m

    bn. (1.6)

    Ejemplo 1.6.

    b23 = 3

    b2

    12

  • Ejemplo 1.7.Simplifique

    1 ax4 a3x5.2 a3x4 a2y3 x2y6

    3y2

    y

    4(x2y3) (xy5)

    y4 y35 (i3)3 (i2)3

    6

    (5xx2

    )3

    7

    (x3

    y5

    )2

    8

    (2Z5x3y5

    )3

    9(1.80)5 (1.80)3 (1.80)2

    (1.80)

    Puede consultar las respuesta en SageMathCloud.

    13

    https://cloud.sagemath.com/projects/4c28fd3b-0a50-472c-877d-94b4adf0b461/files/0201-exponentes-exe.html

  • Ejemplo 1.8.

    1 10

    2 b15 b

    14

    3

    (b3/4b6/8

    b1/4

    )1/44 (y2)3

    5(a1/4

    )2

    6(y4/7)(y4/7)7

    y1/5

    7 (1 + 0.075)5 (1 + 0.075)8x2y3

    9a3

    a4

    5a10

    Puede consultar las respuesta en SageMathCloud.

    14

    https://cloud.sagemath.com/projects/4c28fd3b-0a50-472c-877d-94b4adf0b461/files/0201-exponentes-exe.html

  • Logaritmos

    Funciones exponenciales

    15

  • Leyes de los exponentes y funciones exponenciales

    Leyes de los exponentes Funciones exponencialesb0 = 1 expb (0) = 1b1 = b expb (1) = bbx+y = bxby expb (x + y) = expb (x) expb (y)

    bxy = bx

    byexpb (x y) =

    expb (x)expb (y)

    bnx = [bx]n expb (nx) = [expb (x)]n

    16

  • Logaritmos

    Logaritmos

    17

  • Definicin 1.1.Sea b > 0, b 6= 0 una base y expb(x) = bx la funcinexponencial en base b; su funcin inversa es el logaritmo enbase b y se denota por logb(x).

    Esto quiere decirlogb (expb(x)) = x x (,)expb (logb(x)) = x x > 0En otras palabras: Si y > 0, entonces

    expb(x) = y x = logb(y). (1.7)

    18

  • Definicin 1.1.Sea b > 0, b 6= 0 una base y expb(x) = bx la funcinexponencial en base b; su funcin inversa es el logaritmo enbase b y se denota por logb(x).

    Esto quiere decirlogb (expb(x)) = x x (,)expb (logb(x)) = x x > 0En otras palabras: Si y > 0, entonces

    expb(x) = y x = logb(y). (1.7)

    18

  • Definicin 1.1.Sea b > 0, b 6= 0 una base y expb(x) = bx la funcinexponencial en base b; su funcin inversa es el logaritmo enbase b y se denota por logb(x).

    Esto quiere decirlogb (expb(x)) = x x (,)expb (logb(x)) = x x > 0En otras palabras: Si y > 0, entonces

    expb(x) = y x = logb(y). (1.7)

    18

  • Definicin 1.1.Sea b > 0, b 6= 0 una base y expb(x) = bx la funcinexponencial en base b; su funcin inversa es el logaritmo enbase b y se denota por logb(x).

    Esto quiere decirlogb (expb(x)) = x x (,)expb (logb(x)) = x x > 0En otras palabras: Si y > 0, entonces

    expb(x) = y x = logb(y). (1.7)

    18

  • Figura 1.1: expb(x) vs logb(x)

    19

  • Propiedades de logaritmos

    Las funciones logartmicas revierten las operaciones realizadascon las exponenciales: Si x, y > 0, entonces

    Las funciones logartmicas... convierten... en...logb (1) = 0 1 0.logb (b) = 1 b 1.logb (xy) = logb (x) + logb (y) la multiplicacin suma.

    logb(x

    y

    )= logb (x) logb (y) la divisin resta.

    logb (xn) = n logb (x) exponentes coeficientes.

    20

  • Ejemplo 1.9.Simplificar log10 (1000) .

    Solucin.

    log10 (1000) = log10(103

    )= 3 (log10 (10))= 3(1) = 1.

    21

  • Ejemplo 1.9.Simplificar log10 (1000) .

    Solucin.

    log10 (1000) = log10(103

    )= 3 (log10 (10))= 3(1) = 1.

    21

  • Ejemplo 1.10.Simplificar log2 (32) .

    Solucin.

    log2 (32) = log2(25)

    = 5 (log2 (2))= 5(1) = 5.

    22

  • Ejemplo 1.10.Simplificar log2 (32) .

    Solucin.

    log2 (32) = log2(25)

    = 5 (log2 (2))= 5(1) = 5.

    22

  • Ejemplo 1.11.

    Simplificar log5(

    1125

    ).

    Solucin.

    log5( 1

    125

    )= log5

    ( 153)

    = log5 (1) log5(53)

    = 0 3 (log5 (5))= 3(1) = 3.

    23

  • Ejemplo 1.11.

    Simplificar log5(

    1125

    ).

    Solucin.

    log5( 1

    125

    )= log5

    ( 153)

    = log5 (1) log5(53)

    = 0 3 (log5 (5))= 3(1) = 3.

    23

  • Ejemplo 1.12.Solucionar log4 (x) = 12 .

    Solucin.

    log4 (x) =12 x = exp4

    (12

    ) x = 4 12

    x =

    4 = 2.

    24

  • Ejemplo 1.12.Solucionar log4 (x) = 12 .

    Solucin.

    log4 (x) =12 x = exp4

    (12

    ) x = 4 12

    x =

    4 = 2.

    24

  • Ejemplo 1.13.Solucionar log64 (16) = x.

    Solucin.

    log64 (16) = x 16 = exp64 (x) 24 = 64x

    24 =(26)x

    24 = 26x

    4 = 6x

    x = 23 .

    25

  • Ejemplo 1.13.Solucionar log64 (16) = x.

    Solucin.

    log64 (16) = x 16 = exp64 (x) 24 = 64x

    24 =(26)x

    24 = 26x

    4 = 6x

    x = 23 .

    25

  • Ejemplo 1.14.Solucionar logx (27) = 3.

    Solucin.

    logx (27) = 3 27 = expx (3) 27 = x3

    x = 3

    27 = 3.

    26

  • Ejemplo 1.14.Solucionar logx (27) = 3.

    Solucin.

    logx (27) = 3 27 = expx (3) 27 = x3

    x = 3

    27 = 3.

    26

  • Ejemplo 1.15.Reescriba las siguientes expresiones en trminos de log5 (2) ylog5 (3) :

    1 log5(

    53

    );

    2 log5 (8) ;3 log5 (36) .

    27

  • Ejemplo 1.15.Reescriba las siguientes expresiones en trminos de log5 (2) ylog5 (3) :

    1 log5(

    53

    );

    2 log5 (8) ;3 log5 (36) .

    27

  • Ejemplo 1.15.Reescriba las siguientes expresiones en trminos de log5 (2) ylog5 (3) :

    1 log5(

    53

    );

    2 log5 (8) ;3 log5 (36) .

    27

  • Ejemplo 1.15.Reescriba las siguientes expresiones en trminos de log5 (2) ylog5 (3) :

    1 log5(

    53

    );

    2 log5 (8) ;3 log5 (36) .

    27

  • Solucin.

    1

    log5(5

    3

    )= log5 (5) log5 (3) = 1 log5 (3) .

    2

    log5 (8) = log5(23)

    = 3 log5 (5) = 3.

    3

    log5 (36) = log5(2232

    )= 2 log5 (2) + 2 log5 (3) .

    28

  • Solucin.

    1

    log5(5

    3

    )= log5 (5) log5 (3) = 1 log5 (3) .

    2

    log5 (8) = log5(23)

    = 3 log5 (5) = 3.

    3

    log5 (36) = log5(2232

    )= 2 log5 (2) + 2 log5 (3) .

    28

  • Solucin.

    1

    log5(5

    3

    )= log5 (5) log5 (3) = 1 log5 (3) .

    2

    log5 (8) = log5(23)

    = 3 log5 (5) = 3.

    3

    log5 (36) = log5(2232

    )= 2 log5 (2) + 2 log5 (3) .

    28

  • Solucin.

    1

    log5(5

    3

    )= log5 (5) log5 (3) = 1 log5 (3) .

    2

    log5 (8) = log5(23)

    = 3 log5 (5) = 3.

    3

    log5 (36) = log5(2232

    )= 2 log5 (2) + 2 log5 (3) .

    28

  • Logaritmos

    Logaritmo natural

    29

  • Consideremos una inversin inicial de $1, a una tasa de intersanual de r = 1, a un plazo de T = 1, es decir, de un ao. Sivariamos el nmero de periodos M, en el que se compone lainversin al ao, obtenemos los siguientes resultados:

    M (1 + 1/M)M

    1 2.010 2.5937424601100 2.704813829421000 2.7169239322410000 2.71814592683

    30

  • Como se puede observar,(

    1 + 1M

    )M 2.71828182846

    si M .

    Observacin 1.1.e 2.71828182846 se llama constante de Euler y al logaritmobase e se le llama logaritmo natura y se denota por ln(x).

    31

  • Como se puede observar,(

    1 + 1M

    )M 2.71828182846

    si M .

    Observacin 1.1.e 2.71828182846 se llama constante de Euler y al logaritmobase e se le llama logaritmo natura y se denota por ln(x).

    31

  • En general, realizando el cambio de variable M = Nr, tenemos

    que

    A(1 + rN

    )NT = A(1 + 1M

    )rMT

    = A((

    1 + 1M

    )M)rT AerT

    cuando N,M .

    Observacin 1.2.Esta es la motivacacin de la frmula de inters compuestocontinuamente.

    32

  • Ejemplo 1.16.Resuelva 3 = e20x.

    Solucin.

    3 = e20x ln(3) = ln(e20x) ln(3) = 20x

    x = ln(3)20 0.0549

    33

  • Ejemplo 1.16.Resuelva 3 = e20x.

    Solucin.

    3 = e20x ln(3) = ln(e20x) ln(3) = 20x

    x = ln(3)20 0.0549

    33

  • Ejemplo 1.17.Resuelva 2 ln(x) = 1

    Solucin.

    2 ln(x) = 1 ln(x) = 12 x = exp(12)

    x = e 12 =e 1.648

    34

  • Ejemplo 1.17.Resuelva 2 ln(x) = 1

    Solucin.

    2 ln(x) = 1 ln(x) = 12 x = exp(12)

    x = e 12 =e 1.648

    34

  • Ejemplo 1.18.Considere una inversin inicial C0 = $1, 000, a una tasa anualr = 8 % compuesta continuamente, a que plazo de T aosdebe hacerse la inversin, para que esta s